Tải bản đầy đủ

Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình parabolic

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HOA

XÂY DỰNG HỆ THỐNG
BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI
VỀ PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy đã trực
tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của mình. Đồng

thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong
khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo
điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian, do trình
độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong nhận được những góp ý
của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt
là sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo một số
tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Xây dựng hệ thống bài tập có hướng
dẫn giải về phương trình parabolic” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Hoa


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



2

1.2. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Biểu diễn Green của hàm nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.1. Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3.2. Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.3. Biểu diễn Green của hàm nhiệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.4. Các nguyên lý cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Chương 2. Xây dựng hệ thống bài tập có hướng dẫn giải về phương trình
parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.1. Phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2. Dạng chính tắc của phương trình parabolic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.3. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.1. Tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3.2. Công thức nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4. Bài toán biên ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . .

29

2.4.1. Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.4.2. Phương pháp tách biến Fourier giải bài toán biên ban đầu trong trường hợp
một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

31


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44


MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân đạo hàm riêng là một lĩnh vực toán học phức tạp. Trước
hết về những kí hiệu rườm rà và những dẫn dắt từ các ứng dụng lắt léo. Song từ khi
xuất hiện đến nay, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa
toán học và ứng dụng, nó thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều
lĩnh vực toán học lý thuyết khác nhau.
Trong chương trình đại học, chúng ta đã được tìm hiểu về các phương trình đạo
hàm riêng cơ bản cấp một, cấp hai, bao gồm xuất xứ, các bài toán liên quan, các
cách tiếp cận bài toán đó,. . . Tuy nhiên, do tính phức tạp của vấn đề, do thời gian
hạn hẹp của chương trình đào tạo, người học chủ yếu phải tự tìm tòi, nghiên cứu
dưới sự hướng dẫn của giảng viên nên gặp không ít khó khăn trong việc tiếp thu
kiến thức và ứng dụng. Qua quá trình học tập, nghiên cứu tôi nhận thấy rằng các tài
liệu về môn học này đều khá sâu và khó cho việc tự học. Vì thế tôi nghĩ rằng nếu
có một hệ thống bài tập thích hợp, cùng với sự định hướng rõ ràng từ dễ đến khó, từ
cơ bản đến trừu tượng,. . .thì sẽ giúp ích rất nhiều cho người học trong việc lĩnh hội
những tri thức khoa học này. Với suy nghĩ đó và nhận được sự động viên, hướng dẫn
của TS. Trần Văn Bằng tôi đã chọn đề tài "Xây dựng hệ thống bài tập có hướng
dẫn giải về phương trình Parabolic."
Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương:
Chương 1 của khóa luận trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình
parabolic, phương trình truyền nhiệt, biểu diễn Green của hàm nhiệt, bài
toán Cauchy và tính đặt đúng.
Chương 2 của khóa luận đi vào trình bày hệ thống bài tập tương ứng với các
nội dung lý thuyết, có hướng dẫn giải phù hợp.

1


Chương 1

Kiến thức cơ bản
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1. Một phương trình đạo hàm riêng là một phương trình có chứa các
đạo hàm riêng của ẩn hàm.
Nói chung ta có thể viết một phương trình đạo hàm riêng dưới dạng
F(x1 , x2 , . . . , xn , u, ux1 , . . . , uxn , ux1 x1 , . . .) = 0,

x ∈ Ω ⊂ Rn

(1.1)

trong đó x = (x1 , . . . , xn ) là các biến độc lập, u là ẩn hàm của các biến đó.
Một nghiệm của (1.1) trên Ω là một hàm u xác định, khả vi đến cấp cần thiết
trên Ω và thỏa mãn phương trình đó tại mọi điểm thuộc Ω.
Nói chung một phương trình đạo hàm riêng thường có vô hạn nghiệm.
Định nghĩa 1.2. Cấp của một phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo
hàm riêng có mặt trong phương trình.
Định nghĩa 1.3. Một phương trình đạo hàm riêng là tuyến tính nếu nó có dạng
L[u] = f (x),

(1.2)

trong đó L[u] là một tổ hợp tuyến tính của u và các đạo hàm riêng của u với các hệ
số là các hàm của biến độc lập x.
2


Nếu f ≡ 0 thì ta nói phương trình tuyến tính (1.2) là thuần nhất, trái lại thì ta
nói phương trình đó là không thuần nhất.
Định nghĩa 1.4. Một phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính thì được gọi là
phi tuyến.

1.2. Phương trình truyền nhiệt
Giả sử Ω ⊂ R3 là vật thể với biên trơn. Gọi u(x,t) = u(x1 , x2 ,t) là nhiệt độ tại
thời điểm t (t > 0).
Theo các định lý vật lí trong một số điều kiện nhất định (Ω _ đẳng hướng,
u(x,t) ∈ C2,1 (Ω × [0, T ]), . . .).
u(x,t) thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp hai sau:
c(x)ρ(x)

3
∂u

=∑
∂t i=1 ∂ xi

k(x)

∂u
∂ xi

+ f (x,t),

(1.3)

trong đó
c(x)_ nhiệt dung riêng của Ω tại x
ρ(x)_ khối lượng riêng
k(x)_ hệ số truyền nhiệt trong Ω của x
f (x,t)_ hệ số nguồn nhiệt riêng của x tại thời điểm t.
Đặc biệt khi c(x), ρ(x), k(x) là các hằng số c, ρ, k thì (1.3) trở thành
3
∂u
∂ 2u
= ε ∑ 2 + f (x,t),
∂t
i=1 ∂ xi

k
là hệ số khuếch tán.

n ∂ 2u
Kí hiệu ∆u = ∑
với n = 3 ta có phương trình
2
i=1 ∂ xi

với ε =

∂u
= ε∆u + f (x,t),
∂t
phương trình (1.4) được gọi là phương trình truyền nhiệt.
∗ Các điều kiện bổ sung
3

(1.4)


- Điều kiện ban đầu
với ∀x ∈ Ω

u(x, 0) = ϕ0 ,

(1.5)

- Điều kiện biên
+ Thứ nhất
(x,t) ∈ Ω × [0, T ]

= ϕ1 (x,t),

ϕ

(1.6)

∂Ω

+ Thứ hai

∂u
∂t

= ϕ2 .

(1.7)

∂Ω

Khái niệm: Bài toán tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng (1.4) thỏa mãn
hai điều kiện bổ sung là điều kiện ban đầu (1.5) và điều kiện biên (1.6) hoặc (1.7)
được gọi là bài toán biên ban đầu thứ nhất (thứ hai) đối với phương trình truyền
nhiệt.

1.3. Biểu diễn Green của hàm nhiệt
1.3.1. Công thức Green đối với toán tử truyền nhiệt
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp Green để chỉ ra công thức nghiệm của
phương trình truyền nhiệt và một số tính chất khác. Kí hiệu:
Lu(x,t) :=

∂u
− ∆u
∂t

là toán tử truyền nhiệt và
L∗ u(ξ , s) := −

∂u
− ∆u
∂s

là toán tử liên hợp hình thức của toán tử truyền nhiệt L.
Giả sử Ω ⊂ Rn là một tập mở với biên ∂ Ω đủ trơn, T > 0 là một số đã cho. Đặt
QT := Ω × [0, T ];
ΩT = Ω × {t = T };

St := ∂ Ω × [0, T ];
Ω0 = Ω × {t = 0};

4

Ss := ∂ Ω × [0, s]
Ωs = Ω × {t = s}.


Giả sử u, v ∈ C2,1 (QT ) là hai hàm bất kỳ. Áp dụng công thức tích phân từng
phần ta nhận được công thức Green thứ nhất đối với toán tử truyền nhiệt trên QT :
n
QT

∂u ∂v

∂v

∑ ∂ xi ∂ xi − u ∂t

vLudxdt =
QT

dxdt −
ST

i=1

uvdx −

+
ΩT

v

∂u
dS
∂ν
(1.8)

uvdx.
Ω0

Mặt khác
n



u∆vdxdt =
QT

∂u ∂v

∑ ∂ xi ∂ xi dxdt −
QT
i=1

u
ST

∂v
dS.
∂ν

Trừ đẳng thức (1.8) cho đẳng thức này ta nhận được công thức Green thứ hai đối
với toán tử truyền nhiệt trên QT :
(vLu − uL∗ v)dxdt =
QT

ST

∂u
∂v
u−
v dS +
∂ν
∂ν

uvdx −
ΩT

uvdx.

(1.9)

Ω0

1.3.2. Nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt
Định nghĩa 1.5. Với mỗi (ξ , s) ∈ Rn × (0, +∞), hàm

Γ(x,t; ξ , s) =





|x−ξ |2


1
e 4(t−s)
π(t−s))n



(2

, nếu t > s
nếu t < s

0,

là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thuần nhất Lu = 0 tại mọi s = t. Hàm
Γ(x,t; ξ , s) được gọi là nghiệm cơ bản của toán tử truyền nhiệt L ứng với phân bố
nhiệt tại (ξ , s).
Dễ thấy rằng nếu cố định (x,t) thì ta có L∗ Γ = 0 tại mọi s = t.

1.3.3. Biểu diễn Green của hàm nhiệt
Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (QT ) và thỏa mãn
Lu = f (x,t)
5

(1.10)


với f ∈ Cb (QT )− không gian các hàm bị chặn và liên tục trong QT . Cố định (ξ , s) ∈
QT . Chúng ta muốn sử dụng công thức Green thứ hai đối với u(x,t) và v(x,t) =
Γ(ξ , s; x,t) trên Qs , nhưng do Γ(ξ , s; x,t) có kì dị tại t = s, nên chúng ta khắc phục
bằng cách áp dụng trên Qs−ε với ε > 0 đủ nhỏ, rồi cho ε → 0. Cụ thể ta có
(Γ(ξ , s; x,t)Lu − uL∗ Γ(ξ , s; x,t))dxdt
Qs−ε

=
Ss−ε

∂u
∂ Γ(ξ , s; x,t)
u−
Γ(ξ , s; x,t) dS
∂ν
∂ν

u(x, s − ε)Γ(ξ , s; x, s − ε)dx −

+


u(x, 0)Γ(ξ , s; x, 0)dx.

(1.11)



Bởi vì L∗ Γ(ξ , s; ., .) = 0 trong Qs−ε , Lu = f trong QT và
u(x, s − ε)Γ(ξ , s; x, s − ε)dx → u(ξ , s)
Ωs−ε

khi ε → 0 nên khi chuyển qua giới hạn đẳng thức (1.11) ta nhận được biểu diễn
Green của hàm nhiệt:
u(ξ , s) =

Γ(ξ , s; x,t) f (x,t)dxdt
Qs

+
Ss

+

∂u
∂ Γ(ξ , s; x,t)
Γ(ξ , s; x,t) −
u dS
∂ν
∂ν
u(x, 0)Γ(ξ , s; x, 0)dx.

(1.12)



Từ biểu diễn này chúng ta có định lý sau:
Định lý 1.1. Nếu u(x,t) ∈ C2,1 (QT ) là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thuần
nhất Lu = 0 trong QT thì u khả vi vô hạn trong QT .

1.3.4. Các nguyên lý cực trị
Trong mục này chúng ta chủ yếu đề cập tới các nguyên lý cực trị, là công cụ cho
việc chứng minh các đánh giá tiên nghiệm cho các bài toán biên, ban đầu đối với
phương trình truyền nhiệt. Kí hiệu
Q = Ω × (t1 ,t2 ];

Ωt1 = Ω × {t = t1 };
6

Ωt2 = Ω × {t = t2 };


S = ∂ Ω × (t1 ,t2 );
GT = Rn × (0, T ];

σ = S ∪ Ωt1 ;
G∞ = Rn × (0, ∞).

Bổ đề 1.1. Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (Q) và thỏa mãn
Lu ≥ (≤)0,

(x,t) ∈ Q.

Khi đó, với mọi (x,t) ∈ Q ta có
min u ≤ u(x,t) (max u ≥ u(x,t)).
σ

(1.13)

σ

Định lý 1.2. (Nguyên lý cực trị trong miền bị chặn). Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (Q) thỏa
mãn phương trình Lu = 0 trong Q. Khi đó, với bất kỳ (x,t) ∈ Q, ta có
min u ≤ u(x,t) ≤ max u.
σ

(1.14)

σ

Định lý 1.3. (Nguyên lý cực trị trong miền không bị chặn). Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (GT )∩
C(GT ) thỏa mãn phương trình Lu = 0 trong GT và bị chặn trên GT . Khi đó, với bất
kỳ (x,t) ∈ Q, ta có
infn u(x, 0) ≤ u(x,t) ≤ sup u(x, 0).

(1.15)

Rn

R

Định lý 1.4. (Nguyên lý cực trị mạnh). Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (QT ) ∩ C(QT ) thỏa
mãn phương trình Lu = 0 trong QT và đạt giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất tại điểm
(x0 ,t0 ) ∈ QT thì u ≡ u(x0 ,t0 ) trong Qt0 .
Định lý 1.5. Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (QT ) ∩C(QT ) thỏa mãn phương trình Lu = f (x,t)
trong QT . Khi đó với bất kỳ (x,t) ∈ QT ta có
min u − T sup | f | ≤ u(x,t) ≤ max u + T sup | f |.
σ

σ

QT

(1.16)

QT

Do đó
|u(x,t)| ≤ max |u| + T sup | f |.
σ

(1.17)

QT

Định lý 1.6. Giả sử u(x,t) ∈ C2,1 (GT ) ∩C(GT ) thỏa mãn phương trình Lu = f (x,t)
và bị chặn trong GT . Khi đó với bất kỳ (x,t) ∈ QT ta có
infn u(x, 0) − T sup | f | ≤ u(x,t) ≤ sup u(x, 0) + T sup | f |.
R

Rn

GT

(1.18)

GT

Định lý 1.7. Giả sử u(x,t) ∈ Cb2,1 (G∞ ) ∩C(G∞ ) là nghiệm của phương trình Lu = 0
trong G∞ và u(x, 0) → 0 khi |x| → ∞. Khi đó u(x,t) → 0 đều theo x trong Rn khi
t → ∞.
7


1.4. Bài toán Cauchy và tính đặt chỉnh của bài toán
Bài toán Cauchy (tổng quát) đối với phương trình đạo hàm riêng được hiểu là
việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng trong một miền Ω khi biết giá trị
của nó trên một mặt cong Σ ⊂ Ω nào đó và biết tốc độ biến thiên của nghiệm theo
một trường vectơ λ không tiếp xúc với Σ trên mặt cong đó. Ta thường xét trường
hợp Σ là một phần của biên ∂ Ω và λ = ν là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên
Σ. Khi đó ta gọi Σ là mặt Cauchy, các giá trị đã cho trên Σ được gọi là các dữ kiện
Cauchy.
Ba vấn đề định tính cơ bản được đặt ra đối với bài toán Cauchy là
1, Sự tồn tại nghiệm: Bài toán có ít nhất một nghiệm.
2, Tính duy nhất nghiệm: Bài toán có không quá một nghiệm.
3, Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ kiện của bài toán: Khi dữ kiện
thay đổi nhỏ thì nghiệm cũng chỉ thay đổi nhỏ.
Một bài toán thỏa mãn đồng thời cả ba điều kiện trên thì được gọi là bài toán
đặt chỉnh hay bài toán đặt đúng theo nghĩa của Hadamard.
Trong chương sau đây chúng ta sẽ chỉ ra tính đặt chỉnh của bài toán đối với
phương trình truyền nhiệt.

8


Chương 2

Xây dựng hệ thống bài tập có
hướng dẫn giải về phương
trình parabolic
2.1. Phương trình parabolic
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai tổng quát sau đối với hàm
u(x) = u(x1 , x2 , . . . , x2 ) :
n



i, j=1

n

ai j (x)uxi x j + ∑ b j (x)ux j + c(x)u = d(x),

x ∈ Ω,

(2.1)

j=1

trong đó các hệ số ai j , b j , c, d, là các hàm liên tục đã cho trên Ω, ai j = a ji và các ai j
không đồng thời bằng không.
Gọi
A(x) = [ai j (x)]
là ma trận vuông cấp n, các hệ số của các đạo hàm riêng cấp hai. Tại mỗi x ∈ Ω cố
định, A(x) là một ma trận thực, đối xứng nên A(x) có đúng n giá trị riêng thực. Ta
nói phương trình (2.1) là phương trình parabolic tại x nếu A(x) có một giá trị riêng
bằng 0 còn n − 1 giá trị riêng còn lại cùng dấu.
9


Đặc biệt, trong trường hợp hai biến độc lập, phương trình (2.1) có dạng
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0,

(x, y) ∈ R2 , (2.2)

trong đó các hệ số a, b, c là các hàm liên tục của hai biến (x, y) đã cho, a, b, c không
đồng thời bằng không. Khi đó tại mỗi (x, y) ma trận các hệ số của các đạo hàm riêng
cấp hai là
A=

a

b

b

c

có các giá trị riêng là nghiệm của phương trình bậc hai
det(A − λ I) = λ 2 − (a + c)λ + ac − b2 = 0.

(2.3)

Dễ dàng kiểm tra được phương trình này có hai nghiệm thực và dấu của các giá trị
riêng có thể kết luận được nhờ định lý Viet thông qua dấu của
∆ = b2 − ac.
Ta có thể chỉ ra (2.3) có một nghiệm bằng không và một nghiệm khác không
nếu ∆ = 0 nên (2.2) thuộc loại parabolic.
Bài tập
Bài 1 Tìm miền parabolic của các phương trình sau
a, uxx + 2uxy + uyy + ux + uy + 2u − x2 y = 0.
b, uxx + 2yuxy + xuyy − ux + u = 0.
c, 2xyuxy + xuy + yux = 0.
Lời giải
a, uxx + 2uxy + uyy + ux + uy + 2u − x2 y = 0.
Ta có a = 1, b = 1, c = 1 nên ∆ = b2 − ac = 1 − 1 = 0.
Vậy phương trình trên là phương trình parabolic trên toàn mặt phẳng.
b, uxx + 2yuxy + xuyy − ux + u = 0.
Ta có a = 1, b = y, c = x nên ∆ = b2 − ac = y2 − x.
Phương trình trên là phương trình parabolic nếu
∆ = y2 − x = 0
⇔ x = y2 .
10


Vậy phương trình trên là phương trình parabolic trên đường x = y2 .
c, 2xyuxy + xuy + yux = 0.
Bước 1 : Xác định a = 0, b = xy, c = 0 khi đó ∆ = b2 − ac = x2 y2 .
Bước 2 : Cho ∆ = x2 y2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc y = 0.
Bước 3 : Kết luận
Vậy phương trình trên là phương trình parabolic trên đường x = 0 hoặc y = 0.
Bài 2 Tìm miền parabolic của phương trình sau theo tham số λ
(λ + x)uxx + 2xyuxy − y2 uyy = 0.

Lời giải
Ta có a = λ + x, b = xy, c = −y2 nên ∆ = b2 − ac = x2 y2 + (λ + x)y2 .
TH1: y = 0 thì ∆ = 0.
Với mọi λ thì phương trình trên là phương trình parabolic trên đường y = 0.
TH2: y = 0
Phương trình trên là phương trình parabolic nếu
∆=0
⇔ x2 y2 + (λ + x)y2 = 0
⇔ (λ + x)y2 = −x2 y2
⇔ λ + x = −x2
⇔ λ = −x2 − x.
Với λ = −x2 − x thì phương trình trên là phương trình parabolic trên miền y = 0.
Vậy λ = −x2 − x thì phương trình trên là phương trình parabolic trên toàn mặt
phẳng.
Bài 3 Tìm miền parabolic của phương trình sau
a, uxx + 2uyy + uzz + 2uxz = 0.
1
b, 4uxx + uyy + uzz − 2uxy + 2uxz = 0.
3
Lời giải
a, uxx + 2uyy + uzz + 2uxz = 0.

11


Ta có



1 0



1


A=
 0 2


0 

1

1 0

Nên
det(A − λ I) = 0

1−λ
0

⇔
2−λ
 0
1
0

1



0





1−λ

⇔ (1 − 2λ + λ 2 )(2 − λ ) − 2 + λ = 0
⇔ − λ 3 + 4λ 2 − 4λ = 0
⇔ − λ (λ 2 − 4λ + 4) = 0
⇔ λ = 0 hoặc λ = 2.
Vậy phương trình đã cho là phương trình parabolic trên toàn mặt phẳng.
1
b, 4uxx + uyy + uzz − 2uxy + 2uxz = 0.
3
Bước 1 : Xác định A(x) là ma trận vuông cấp n các hệ số của các đạo hàm riêng cấp
hai


−1

4


−1
A=


1

1

0

1




0 

1
3

Bước 2 : Tính
det(A − λ I) = 0

4−λ
−1

−1 1 − λ
⇔

1
0

1



0





1
−λ
3√

8 + 31
8 − 31
⇔ λ = 0 hoặc λ =
hoặc λ =
.
3
3

12


Bước 3 : Kết luận
Vậy phương trình đã cho là phương trình parabolic trên toàn mặt phẳng.

2.2. Dạng chính tắc của phương trình parabolic
Xét phương trình đạo hàm riêng đối với hàm u(x) = u(x1 , x2 , . . . , xn ) :
n



ai j (x)uxi x j + f (x, u, ux1 , . . . , uxn ) = 0,

x ∈ Ω,

(2.4)

i, j=1

trong đó các hệ số ai j là các hàm liên tục đã cho trên Ω, ai j = a ji và các ai j không
đồng thời bằng không.
Trước hết chúng ta xét tác động của phép đổi biến đối với (2.4). Giả sử ξ = ξ (x)
là một phép đổi biến thuộc lớp C2 và không suy biến tức là
D(ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )
= 0.
D(x1 , x2 , . . . , xn )
Khi đó ta có

n

ux j =

∂ ξr

∑ uξr ∂ x j ;

r=1
n

uxi x j =



uξr ξs

r,s=1

n
∂ 2 ξr
∂ ξr ∂ ξs
+ ∑ uξr
.
x j xi

x

x
i
j
r=1

Thay các đạo hàm này vào (2.4) ta nhận được phương trình
n

∑ a˜rs uξr ξs + g(ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0,

(2.5)

r,s=1

trong đó
n

a˜r,s =



ai j

i, j=1

∂ ξr ∂ ξs
= a˜s,r .
∂xj xj

Nếu ta kí hiệu
˜ ) = [a˜rs (ξ )];
A(ξ

A(x) = [ai j (x)];

J(x) = [bkl (x)], với bkl =
13

∂ ξl
∂ xk

(2.6)


thì (2.6) có thể viết dưới dạng
˜ ) = J(x)t A(x)J(x).
A(ξ

(2.7)

˜ ) và A(x) là hai ma trận đồng dạng hay chúng có cùng chỉ số quán
Chứng tỏ A(ξ
tính. Vậy nếu (2.4) là phương trình parabolic tại điểm x0 thì cũng là phương trình
parabolic tại điểm ξ0 = ξ (x0 ).
Cố định x = x0 , ta có A(x0 ) là một ma trận hằng. Khi đó, tồn tại một ma trận
T = [αkl ] sao cho ma trận T t A(x0 )T có dạng

λ1
0
...

 0
λ2
...

 .
..
 ..
.


 0

0
...



0

0

0








0 

λn

..

.

0

0
..
.

trong đó λi ∈ {1, −1, 0}, i = 1, 2, . . . , n.
Giả sử đã biết ma trận T. Lúc đó nếu ta thực hiện phép đổi biến tuyến tính
n

ξk = ∑ αik xi , k = 1, 2, . . . , n
i=1

thì ta sẽ có
J=

∂ ξk
= [αki ] = T
∂ xi

˜ 0 ) có dạng đường chéo như trên và phương trình (2.5) lúc đó được gọi là
do đó A(ξ
dạng chính tắc của phương trình (2.4) tại điểm x0 .
Nói chung trong trường hợp n > 2 chúng ta không tìm được phép đổi biến để
đưa (2.4) về dạng chính tắc trong một miền ma trận các hệ số của các đạo hàm
cấp hai chỉ có dạng đường chéo như trên tại điểm ξ0 . Đặc biệt trong trường hợp ai j
không phụ thuộc x thì ma trận các hệ số của các đạo hàm cấp hai có dạng đường
chéo như trên tại mọi điểm nên ta có (2.4) là phương trình parabolic thì dạng chính
tắc của nó là:

n−1

∑ uξi ξi + g(ξ1 , . . . , ξn , u, uξ1 , . . . , uξn ) = 0.

i=1

14


Riêng trong trường hợp hai biến, chúng ta có thể đưa được phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp hai về dạng chính tắc trong miền mà dạng của phương
trình đó không đổi. Thật vậy, xét phương trình:
a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + d(x, y, u, ux , uy ) = 0.

(2.8)

Để biến đổi phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc, trước hết chúng ta
chỉ ra ảnh hưởng của một phép đổi biến đối với phương trình đạo hàm riêng (2.8).
Giả sử ξ , η là hai hàm khả vi liên tục đến cấp hai của x, y :
ξ = ξ (x, y),
η = η(x, y).
Giả thiết Jacobian của phép đổi biến
J=

ξx

ηx

ξy

ηy

= 0.

Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta tính được
ux = uξ ξx + uη ηx ;
uy = uξ ξy + uη ηy ;
uxy = uξ ξ ξx ξy + uξ η (ξx ηy + ξy ηx ) + uηη ηx ηy + uξ ξxy + uη ηxy ;
uxx = uξ ξ ξx2 + 2uξ η ξx ηx + uηη ηx2 + uξ ξxx + uη ηxx ;
uyy = uξ ξ ξy2 + 2uξ η ξy ηy + uηη ηy2 + uξ ξyy + uη ηyy .
Thay các đạo hàm này vào (2.8) ta nhận được phương trình
a∗ uξ ξ + 2b∗ uξ η + c∗ uηη + d ∗ (ξ , η, u, uξ , uη ) = 0,
trong đó các hệ số là các hàm của ξ , η và
a∗ = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 ;
b∗ = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy ;
c∗ = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 ;
Hơn nữa ta có
∆∗ = (b∗ )2 − a∗ c∗ = J 2 ∆.
15

(2.9)


Khi phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai là phương trình parabolic
trong một miền ta có ∆ = b2 − ac = 0 nên
√ √
b = ± a c.
Lúc này ta chỉ có một đường cong đặc trưng là nghiệm của phương trình:
dy b
= .
dx a

(2.10)

Gọi tích phân tổng quát của (2.10) là Φ1 (x, y) = C và thực hiện đổi biến
ξ = Φ1 (x, y).
Khi đó ta sẽ có a∗ = 0

0 = a∗ = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2
√ √
= aξx2 + 2 a cξx ξy + cξy2


= ( aξx + cξy )2 .
Do đó với mọi cách chọn η(x, y) ta đều có
b∗ = aξx ηx + b(ξx ηy + ξy ηx ) + cξy ηy




= ( aξx + aξy )( aηx + cηy ) = 0.
Vì thế để nhận được dạng chính tắc, chúng ta chỉ việc chọn η(x, y) sao cho
Jacobian của phép đổi biến khác không là được. Khi đó ta có
c∗ uηη = −d ∗ ,
và chia cho c∗ (không thể bằng không) ta có dạng chính tắc của phương trình
parabolic
uηη

d∗
=− ∗.
c

Nếu ta chọn η = Φ1 (x, y) thì ta sẽ có c∗ = 0 và ta cũng có b∗ = 0 và dạng chính
tắc trong trường hợp này là:
uξ ξ

d∗
=− ∗.
a
16


Bài tập
Bài 1 Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc
a, 2uxx − 4uxy + 2uyy + 3u = 0.
b, sin2 xuxx + sin 2xuxy + cos2 xuyy = x.
c, x2 uxx − 2xyuxy + y2 uyy = ex .
Lời giải
a, 2uxx − 4uxy + 2uyy + 3u = 0.
Ta có a = 2, b = −2, c = 2, ∆ = b2 − ac = 4 − 4 = 0 nên đó là phương trình parabolic
trên toàn mặt phẳng. Phương trình đặc trưng:
dy
= −1.
dx
Đây là các phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm cho bởi
x + y = C.
Thực hiện phép đổi biến
ξ = x + y,
η = x.
Ta được
J = − 1 = 0;
ux = uξ + uη ;
uy = uξ ;
uxy = uξ ξ + uηξ ;
uxx = uξ ξ + 2uηξ + uηη ;
uyy = uξ ξ .
Thay vào phương trình ta được
uηη =

−3
u,
2

là dạng chính tắc của phương trình parabolic đã cho.
b, sin2 xuxx + sin 2xuxy + cos2 xuyy = x.
17


1
1
sin 2x, c = cos2 x, ∆ = b2 − ac = sin2 2x − sin2 xcos2 x =
2
4
sin2 xcos2 x − sin2 xcos2 x = 0 nên đó là phương trình parabolic trên toàn mặt phẳng.
Ta có a = sin2 x, b =

Phương trình đặc trưng:
dy 1 sin 2x cos x
=
=
.
dx 2 sin2 x
sin x
Đây là các phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm cho bởi
ln(sin x) − y = C.
Thực hiện phép đổi biến
ξ = ln(sin x) − y,
η = x.
Ta được
J = 1 = 0;
cos x
u + uη ;
ux =
sin x ξ
uy = − uξ ;
cos x
uxy = −
u − uηξ ;
sin x ξ ξ
cos x cos x
cos x
uxx =
uξ ξ + uξ η +
u + uηη ;
sin x sin x
sin x ηξ
uyy = uξ ξ .
Thay vào phương trình ta có:
uηη =

uξ + x

.
sin2 x
Thay biến x = η ta có dạng chính tắc của phương trình parabolic đã cho
uηη =

uξ + η
sin2 η

.

c, x2 uxx − 2xyuxy + y2 uyy = ex .
Bước 1 : Ta có a = x2 , b = −xy, c = y2 , ∆ = b2 − ac = x2 y2 − x2 y2 = 0 nên đó là
phương trình parabolic trên toàn mặt phẳng.
Bước 2 : Phương trình đặc trưng là
dy
y
=− .
dx
x
18


Đây là phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm cho bởi
ln x + ln y = C.
Bước 3 : Thực hiện phép đổi biến
ξ = ln x + ln y,
η = x,
ta nhận được phương trình kết quả là
uηη =

2uξ + ex
.
x2

Thay biến x = η ta có dạng chính tắc của phương trình đã cho
uηη =

2
1
uξ + 2 eη .
2
η
η

Bài 2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau
x2 uxx + 2xyuxy + y2 uyy = 0.
Lời giải
Ta có a = x2 , b = −xy, c = y, ∆ = b2 − ac = x2 y2 − x2 y2 = 0 nên đó là phương trình
parabolic trên toàn mặt phẳng. Phương trình đặc trưng là
dy y
= .
dx x
Đây là các phương trình vi phân thường tách biến và có nghiệm cho bởi
ln x − ln y = C.
Thực hiện phép đổi biến
ξ = ln x − ln y,
η = x,
ta nhận được phương trình kết quả là
uηη = 0,
19


là dạng chính tắc của phương trình parabolic đã cho.
Đặt v = uη ta có
vη = 0
⇔ v = F(ξ )
⇔ uη = F(ξ )
⇔u=

F(ξ )dη = ηF(ξ ) + G(ξ ).

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
u(x, y) = yF(ln x − ln y) + G(ln x − ln y).
Bài 3 Đưa các phương trình sau về dạng chính tắc
a, uxx + 2uyy + uzz + 2uxz = 0.
1
b, 4uxx + uyy + uzz − 2uxy + 2uxz = 0.
3
Lời giải
a, uxx + 2uyy + uzz + 2uxz = 0.
Dạng đặc trưng của phương trình là
ξ12 + 2ξ22 + ξ32 + 2ξ1 ξ3
= (ξ1 + ξ3 )2 + 2ξ22
= η12 + η22 ,
ở đó

ta có




 η1 =

ξ1 + ξ3 ,

2ξ2 ,

η2 =


 η =
3

ξ3 ,



ξ1 =



ξ2 =



 ξ =
3

η1 − η3 ,
1
√ η2 ,
2
η3 .

20


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×