# CÔNG THỨC GIẢI NHANH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

1

1|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ MỞ RỘNG
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM HAY GẶP

 dx  x  C

 du  u  C

x 1
 C    1
 1
ax

x
a
dx

 C  0  a  1

ln a
dx
 x  ln x  C  x  0 
x
x
 e dx  e  C

u1
 C    1
 1
au
u
a
dx

 C  0  a  1

lna
du
 u  ln u  C  u  0 
u
u
 e du  e  C

 cos xdx  sin x  C

 cos udu  sin u  C

 sin xdx   cos x  C

 sin udu   cos u  C

 x dx 

 sin kxdx  
1

 sin

x

2

1

 cos

2

x

cos kx
C
k

 u du 

 cos kxdx 
1

dx   cot x  C

 cos

dx  tan x  C

 sin

2

u

1
2

u

sin kx
C
k

du  tan u  C

du   cot u  C

CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG

 d  ax  b  

1
 ax  b   C
a

kx
 e dx 

 1

1  ax  b 

  ax  b  dx  a    1 
dx

1

 ax  b  a ln ax  b  c
e

ax  b

a

px  q

dx 

dx 

c

1 ax  b
e
c
a

1
a px  q  c
p ln a

dx
1
x
 a 2  x 2  a arctg a  c

 c ,   1

e kx
C
k
1

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c
 sin  ax  b  dx 

1
cos  ax  b   c
a
1

 tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c
1

 cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c

2

dx
1
 sin 2  ax  b   a cotg  ax  b   c

2|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

a

x

2

dx
1
ax

ln
c
2
x
2a a  x
dx

x a
2

2

dx
a x
2

2

 ln  x  x 2  a 2   c

 arcsin

dx
x a
2

 cos

2

x
c
a

x

x

x

b

 ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c

ax
 e sin bx dx 

x

a 2  x2  c

x

a

a2  x2  c

 arctg a dx  x arctg a  2 ln  a

1 a  x2  a2

c
 x x 2  a 2 a ln
x

x

 arccos a dx  x arccos a 

dx

a 2  x 2 dx 

dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

 arcsin a dx  x arcsin a 

1
x
arccos  c
a
a

2

x a2  x2 a2
x
 arcsin  c
2
2
a
e ax  a sin bx  b cos bx 
c
a 2  b2

x

x

2

a

 x2   c

 arc cotg a dx  x arc cotg a  2 ln  a
dx

1

ax  b
c
2

dx

1

ax  b
c
2

 sin  ax  b   a ln tg
 sin  ax  b   a ln tg
ax
 e cos bx dx 

2

 x2   c

e ax  a cos bx  b sin bx 
c
a 2  b2

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
I. Phương pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
 Bước 1: Đặt x=v(t)
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
 Bước 4: Tính

v (b )

b

a

f ( x)dx 

g (t ) dt  G (t )

v(a )

 Bước 5: Kết luận : I= G (t )

v(b)
v(a )

v(b)
v(a )

2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm )
* Chú ý :
a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là :
Dấu hiệu

3

Cách chọn

3|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

a2  x2

 x  a sin t   2  t  2

 x  a cost  0  t  

x2  a2

a
  
 t   ; 
x 
sin t
 2 2

a
 
 t   0;   \  
x 
cost
2

a2  x2

  
 x  a tan t  t    2 ; 2 

 x  a cot t  t   0;  

ax
ax

ax
a x

x=a.cos2t
x=a+  b  a  sin 2 t

 x  a  b  x 
b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :

1
1
1
1
* 2
dx    0   
dx   2
du
2
2
a u k

 ax  bx  c

b     

a  x+   
 
 2a   2a  

b

Với :  u  x+ , k 
, du  dx  .
2a
2a

* áp dụng để giải bài toán tổng quát :

dx

a

2

x

2 2 k 1

k  Z  .

II. Đổi biến số dạng 2
1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )
 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
 Bước 4: Tính

u (b )

b

 f ( x)dx  
a

 Kết luận : I= G (t )

g (t )dt  G (t )

u(a)

u (b)
u ( a)

u (b)
u (a)

2. Nhận dạng :
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

P( x)
dx
 ax+b

 a  0

A. DẠNG : I= 

* Chú ý đến công thức :

m

4
m

dx  ln ax+b . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta

a
 ax+b

4|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

B. DẠNG :

 ax

2

P( x)
m
1
 ax+b dx   Q( x)  ax+b dx   Q( x)dx  m ax+b dx

chia tử cho mẫu dẫn đến

P ( x)
dx
 bx  c

1. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm phân biệt

Công thức cần lưu ý :

u '( x)

dx  ln u ( x)

 u ( x)

Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
2. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c có hai nghiệm kép

Công thức cần chú ý :

u '( x)dx
 ln  u ( x) 

u ( x)

Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3. Tam thức : f ( x)  ax 2  bx  c vô nghiệm :
b

u  x

P( x)
P( x)
2a

Ta viết : f(x)=

;
2
2
2
2

b      a  u  k  k  

a  x    
 

2a
2a   2a  


Khi đó : Đặt u= ktant

C. DẠNG :

 ax

3

P( x)
dx
 bx 2  cx  d

1. Đa thức : f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có một nghiệm bội ba

Công thức cần chú ý :

1

 x

m

dx 

1
1 
. m1
1 m x 

2. Đa thức : f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có hai nghiệm :
Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu
3. Đa thức : f(x)= ax 3  bx 2  cx  d  a  0  có ba nghiệm

 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ
I. KIẾN THỨC
1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :
f '( x )
dx  f ( x)  C
f ( x)
1
- 
dx  ln x  x 2  b  C
2
x b
u '( x)
- Mở rộng : 
du  ln u ( x)  u 2 ( x)  b  C
2
u ( x)  b

-

2

5

5|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

1. Tích phân dạng : I  

1
ax 2  bx  c

 a  0

dx

a. Lý thuyết :
b

x
u


b 
  
2a
2
Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x    2   
 du  dx
2a  4a   

K
 2a
2

Khi đó ta có :
- Nếu   0, a  0  f ( x)  a  u 2  k 2  

f ( x)  a . u 2  k 2 (1)

a  0
2
b 

- Nếu :   0  f ( x)  a  x    
(2)
b
2a 

 f ( x)  a x  2a  a . u

- Nếu :   0 .

+/ Với a>0 : f ( x)  a  x  x1  x  x2  

f ( x)  a .

 x  x1  x  x2  (3)
a .  x1  x  x2  x  (4)

+/ Với a<0 : f ( x)  a  x1  x  x2  x  

f ( x) 

Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b. Cách giải .
*. Trường hợp :   0, a  0  f ( x)  a  u 2  k 2   f ( x)  a . u 2  k 2
Khi đó đặt :

t2  c
2
x

; dx 
tdt

b2 a
b2 a
bx  c  t 2  2 ax

2
ax  bx  c  t  a .x  

 x    t  t0 , x    t  t1

t2  c
t

a
.
x

t

a

b2 a

a  0
2
b 

*. Trường hợp :   0  f ( x)  a  x    
b
2
a

 f ( x)  a x  2a  a . u

 1
b 
b

ln  x   : x 
0

2a  
2a
a 
1
1
1

Khi đó : I  
dx 
 b dx   1  b  
b
a
b

a x
x

ln  x   : x 
0
2a
2a
2a  
2a
 a 
*. Trường hợp :   0, a  0

 x  x1  t

- Đặt : ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2   

 x  x2  t

*. Trường hợp :   0, a  0
 x1  x  t

- Đặt : ax 2  bx  c  a  x1  x  x2  x   

6

 x2  x  t

2. Tích phân dạng : I  

mx  n
ax 2  bx  c

dx

 a  0
6|

Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

Phương pháp :
b.1 : Phân tích f ( x) 

mx  n
ax 2  bx  c

A.d

ax 2  bx  c

ax 2  bx  c



B
ax 2  bx  c

1

b.2 Quy đồng mẫu số , sau đó đồng nhất hệ số hai tử số để suy ra hệ hai ẩn số A,B
b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)

1
b.4. Tính I = 2 A ax 2  bx  c
 B
dx (2)

ax 2  bx  c

Trong đó

1

 a  0  đã biết cách tính ở trên

dx

ax  bx  c
2

3. Tích phân dạng : I  

1

 mx  n 

ax 2  bx  c

 a  0

dx

Phương pháp :
b.1. Phân tích :

1

 mx  n 

1

. (1)

n

m  x   ax 2  bx  c
m

1 
n
1
 y  x  t  t  m   dy   x  t dx

1
n

b.2 Đặt :  x   
2
y
m
 x  1  t  ax 2  bx  c  a  1  t   b  1  t   c

y
y 
y 

'
dy
b.3 Thay tất cả vào (1) thì I có dạng : I   
. Tích phân này chúng ta đã biết cách
2
Ly  My  N
'
ax  bx  c
2

tính .

4. Tích phân dạng : I   R  x; y  dx   R  x; m

x 
 x 

 dx

( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và  ,  ,  ,  là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
x 
b.1 Đặt : t= m
(1)
 x 
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng x    t 
b.3. Tính vi phân hai vế : dx=  '  t  dt và đổi cận

x 
b.4. Cuối cùng ta tính :  R  x; m
 x 

*) Tính tích phân: I 

'

 dx   R   t  ; t   '  t  dt
'

mx  n
dx,
ax 2  bx  c

 a  0 .
7

mx  n
(trong đó f ( x ) 
liên tục trên đoạn  ;   )
ax 2  bx  c
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:
7|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

mx n
A(2axb)
B

ax2 bx c ax2 bxc ax2 bx c

+)Ta có I=

.

Tích phân

2
A(2axb)
dx = Aln ax  bx  c
2
ax bxc

Tích phân

mxn
A(2axb)
B
dx  2
dx  2
dx
2
ax bxc
 ax bxc
 ax bx c

dx
tính được.
ax  bx  c

2

*) Tính tích phân I 

b

P ( x)

 Q( x) dx với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
a

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn

1 ,  2 ,..., n thì đặt

An
P( x)
A1
A2
.

 ... 
Q ( x ) x  1 x   2
x  n

+ Khi Q( x)   x    x 2  px  q ,   p 2  4q  0 thì đặt

P ( x)
A
Bx  C

 2
.
Q ( x) x   x  px  q
+ Khi

Q( x)   x    x    với    thì đặt
2

P ( x)
A
B
C
.

2
Q( x) x  
x   x   
 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
b

 a; b thì:

b

b
u ( x)v ( x)dx   u ( x)v( x)   v( x)u ' ( x) dx
a a
a

'

b

b

8

hay udv  uv b  vdu .
a a
a

Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
8|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

udv  uv ' dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x)

 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
làm u(x) và phần còn lại
 Bước 2: Tính
 Bước 3: Tính

dv  v ' ( x )dx.

du  u ' dx và v 
b

b

 dv   v ( x)dx .
'

vdu  vu ' dx và uv

a

a

b
a

.

 Bước 5: Áp dụng công thức trên.
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
b

 P( x)e dx
x

a

b

b

b

 P( x)ln xdx  P( x)cos xdx  e cos xdx
x

a

a

a

u

P(x)

lnx

P(x)

ex

dv

e x dx

P(x)dx

cosxdx

cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

dv  v ' dx thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần
của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

dv  v ' dx là phần của f(x)dx là vi phân một hàm

số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:

 Nếu tính tích phân

 P( x)Q( x)dx mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những

hàm số:

ax

e , cos ax,

du  P ' ( x)dx
u  P( x)

sin ax thì ta thường đặt 

dv  Q( x)dx v  Q( x) dx

 Nếu tính tích phân

 P( x)Q( x)dx mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì

 du  Q '  x  dx
u

Q
(
x
)

ta đặt


dv  P( x) dx v  P ( x)dx

9

9|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

 Nếu tính tích phân I 

e

ax

cos bxdx hoặc

J  eax sin bxdx thì

du  ae ax dx
ax
u

e

ta đặt


1
dv  cos bxdx v  sin bx

b
 du  ae ax dx
ax
u

e

hoặc đặt


1
dv  sin bxdx v   cos bx

b
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân
ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác
1. Tính I 

dx
asinx  b cos x  c

Phương pháp:
Đặt

x
2dt
t  tan  dx 
2
1 t2

1 t2
2t
Ta có: sin x 
và cos x 
1 t2
1 t2
I

dx

 asinx  b cos x  c    c  b  t

2. Tính I 

2

2dt
đã biết cách tính.
 2at  b  c

dx
a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d

Phương pháp: I 

dx

  a  d  sin x  b sin x cos x   c  d  cos x
2

2

dx
cos 2 x

 a  d  tan 2 x  b tan x   c  d 

Đặt

t  tgx  dt 

dx
dt
đã tính được.
I 
2
2
cos x
 a  d  t  bt   c  d 

10

10|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

3. Tính I 

m sin x  n cos x  p
dx .
a sin x  b cos x  c

Phương pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:

m sin x  n cos x  p  A  a sin x  b cos x  c   B  a cos x  b sin x   C , x +) Vậy

I

m sin x  n cos x  p
dx =
a sin x  b cos x  c

= A dx  B

a cos x  b sin x

dx

 a sin x  b cos x  c dx  C  a sin x  b cos x  c

Tích phân  dx
Tích phân

tính được

a cos x  b sin x
 a sin x  b cos x  c dx  ln a sin x  b cos x  c  C

Tích phân

dx

 asinx bcosx c tính được.

Nguyên hàm dạng

 R sin x,cos x  dx , với R sin x,cos x  là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết
cách tính tích phân.
 Trường hợp chung: Đặt t  tan x  dx  2dt
2
1 t2
Ta có sin x 

2t
1 t2
;cos x 
1 t2
1 t2

 Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu

R  sin x,cos x  là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R   sin x,  cos x   R  sin x,cos x  thì đặt t  tan x hoặc t  cot x , sau đó đưa
tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
+) Nếu

R  sin x,cos x  là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin x,cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  cos x .
+) Nếu

11

R  sin x,cos x  là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:
11|

Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

R  sin x,  cos x    R  sin x,cos x  thì đặt t  sin x .
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số y  f ( x) liên tục và lẻ trên đoạn   a; a  . Khi đó
a

I

 f ( x)dx  0 .

a

2.Cho hàm số
I

y  f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn  a; a  . Khi đó

a

a

a

0

 f ( x)dx  2 f ( x)dx .

Chứng minh : Ta có

a

I

0

f ( x)dx 

a

a

f ( x)dx 

a

 f ( x)dx

(1)

0

0

Ta tính J 

 f ( x)dx bằng cách đặt x  t  0  t  a   dx  dt

a

J 

0

0

a

a

a

a

0

0

 f ( x)dx   f (t )dt   f (t )dt   f ( x)dx (2)

Thay (2) vào (1) ta được I 
3.Cho hàm số

a

a

a

0

 f ( x)dx  2 f ( x)dx

y  f ( x) liên tục và chẵn trên đoạn   :  . Khi đó

f (x)
1
I   x
dx 
a 1
2

Chứng minh:

f ( x ) dx



Đặt t= -x  dt= - dx

at  1
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); a +1= a +1=
at
x

Khi x= -  thì t = 

; x =

Vậy

I 

f (x)
  a x  1dx 

-t

thì t =- 

a t f (t )
 a t  1 dt 


at  1  1
 a t  1 f ( t ) dt


12

f (t )
  f (t )dt   t
dt   f ( x)dx  I
a

1




12|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

f ( x)
1
I   x
dx   f ( x ) dx
a 1
2 


Suy ra

4.Cho f(x) liên tục trên đoạn 0;   .Khi đó
 2 

2

2

0

0

 f (sin x)dx   f (cos x)dx

.

Chứng minh:
Đặt

t

2

 x  dx   dt

Khi x = 0 thì

t

2

, khi

x

2

thì t = 0

Do đó

2

0

0

2

2

0

0

 f (sin x)dx   f (sin( 2  t )dt   f (cos t )dt   f (cos x)dx

.

2

Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên

0;1 thì

 

0;1 thì

 

 xf (sin x)dx  2  f (sin x)dx

*Nếu f(x) liên tục trên

2 

2 

 xf (cos x)dx   

f (cos x)dx

13

13|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

14

14|
Toán thầy Đạt – Chuyên luyện thi Đại Học khối 11, 12

### Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×