Tải bản đầy đủ

Ôn tập Toán 12 năm 2018

Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

PHẦN 1: HÀM SỐ - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hàm số sin: y  sin x

 1;1 ,có nghĩa là 1 �sin x �1, x ��.
Tập xác định �.Tập giá trị:
sin  x  k 2   sin x
Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa
với k ��.


�

  k 2 ;  k 2 �

2

�và nghịch biến trên mỗi khoảng
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng � 2
3
�

 k 2 �
�  k 2 ;
2
�2
�, k ��.
y  sin x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng (Hình 1).

Hình 1.
2. Hàm số côsin: y  cos x

 1;1 ,có nghĩa là 1 �cos x �1, x ��.
Tập xác định �.Tập giá trị:
cos  x  k 2   cos x
Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa
với k ��.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

   k 2 ; k 2 

và nghịch biến trên mỗi khoảng

 k 2 ;   k 2  ,

k ��.
y  cos x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng (Hình 2).

Trang 1


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Hình 2.

3. Hàm số tang:

y  tan x 



sin x
cos x

�

�\ �  k k ���
�2
Tập xác định:
Tâp giá trị là R.

tan  x  k   tan x,( k ��)
Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa
.


�

  k ;  k �
,  k ��

2
2


Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
.
y  tan x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng
x


 k , k ��
2
làm đường tiệm cận.(Hình 3)

Hình 3.

4. 4. Hàm số cotang:
Tập xác định:

�\  k k ��

y  cot x 

cos x
sin x .

.

Tập giá trị: �.

cot  x  k   cot x, ( k ��)
Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa
.
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

 k ;   k  , k ��.

Trang 2


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
y  cot x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng
x  k , k ��làm đường tiệm cận (Hình 4).

Hình 4
II.

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
�

1
y  tan � cosx �
y  cos x 
�2

cos x
a.
b.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
2. Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

y  4  2sin 5  2 x   8

6
6
a.
b. y  sin x  cos x .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
3. Ví dụ 3:Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác sau :
� 9 �
y  f  x   sin �
2x 

y  f  x   tan x  cot x
2 �.

a.
b.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 3


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình sin x  m


Nếu



Nếu

m 1
m �1

thì phương trình vô nghiệm.
thì tồn tại  sao cho sin   m . Khi đó:

x    k 2

sin x  m � sin x  sin  � �
 k �� .
x      k 2

2. Phương trình cos x  m


Nếu



Nếu

a 1

a �1

thì phương trình vô nghiệm.
thì tồn tại  sao cho cos   m . Khi đó:

x    k 2

sin x  a � sin x  sin  � �
 k �� .
x      k 2

3. Phương trình tan x  m


Tồn tại  sao cho tan   m . Khi đó

tan x  m � x    k  k ��
� 
u �  k�


tan u  tan v � � 2
��
 k, k�

u  v  k


Tổng quát:
4. Phương trình cot x  m


Tồn tại  sao cho cot   m . Khi đó

cot x  m � x    k  k ��

II.

u �k �


cot u  cot v � �
u  v  k

Tổng quát:

��
 k, k�

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
Trang 4


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
� �
cos 2 x  cos �x  �
� 4 �.
a.
b. cos 2 x.cos x  sin x cos 3 x  sin 2 x sin x  sin 3 x cos x .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
2. Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
� � 1
� �
tan �
2 x  �
tan 2 x  cot �x  �
3� 2

� 6 �.
a.
b.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
sin   cos 2 x   1
3. Ví dụ 3:Giải phương trình
.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
4. Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a. 4sin x cos x cos 2 x  1
b.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
sin 4 x  cos 4 x  cos 4 x .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Trang 5


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
I.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Phương trình đa thức theo một hàm số lượng giác:
2
a, b, c  � a 0 
Là phương trình có dạng at  bt  c  0 với
và t là một trong
các hàm số lượng giác.
Cách giải.
Bước 1. Đặt t bằng biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ
( nếu có).
2
Bước 2. Đưa phương trình về dạng at  bt  c  0 rồi giải phương trình ẩn t .
Bước 3. Đối chiếu điều kiện nếu có rồi thay t lại phép đặt đưa về phương trình lượng
giác cơ bản.

2. Phương trình bậc nhất theo sinu – cosu:
 Phương pháp giải:
2
2
Chia 2 vế của phương trình cho a  b
a
b
c
(1) �
sin x 
cos x 
(2)
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
2

2

� a
� � b

�
� 2

� 1
2
2
2
a

b
a

b
� �

Vì �
nên luôn có góc  sao cho:
b
 sin 
a2  b2
c
(2) � sin x.cos   cos x.sin  
2
a  b2
c
� sin  x    
2
a  b2
Điều kiện có nghiệm:
c
�1 � a2  b2 �
| c| � 2
2
2
a  b2 �c2
a b
3. Phương trình đẳng cấp:

a
a  b2
2

 cos 


a sin 2 x  b cos 2 x  c cos x sin x  d  a 2  b 2  c 2  0 
Định nghĩa: Là phương trình có dạng
.
Cách giải:
TH1: Kiểm tra cosx  0 có phải là nghiệm của phương trình hay không.
2
TH2: Xét cos x �0 . Chia cả 2 vế của phương trình cho cos x ta được

a tan 2 x  b  c tan x  d  1  tan 2 x  �  a  d  tan 2 x  c tan x  b  d  0

Giải phương trình này ta được nghiệm.
Chú ý: Ngoài cách trên ta có thể sử dụng phương pháp hạ bậc
1  cos2 x
1  cos2 x
1
sin 2 x 
, cos 2 x 
,sin xcosx  sin 2 x
2
2
2
sau đó đưa về phương trình bậc nhất đối
với sin 2 x, cos2 x : A sin 2 x  B cos 2 x  C .
II.

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
Trang 6


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
� 5 �
� 7 �
sin
2
x


3cos


�x 
� 1  2sin x
2
2
2




cos
2
x

sin
2
x

1

0
a.
b.
.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

2. Ví dụ 2:Giải các phương trình sau:
a. 3 cos 3 x  sin 3 x  1
b.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

3sin 3 x  3 cos 9 x  1  4sin 3 3x .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

2
3. Định m để phương trình m sin x  2sin x cos x  2  m  0 có nghiệm.

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

4. Ví dụ 4:Giải các phương trình sau:
2
a. sin x  3sin x cos x  1  0
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

b. sin x sin 2 x  sin 3 x  6 cos x .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

5. Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
sin 2 x  12  sin x  cos x   12  0
a.
b.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

3

sin 2 x cos x  cos 2 x  sin x  cos 2 x sin x  cos x .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 7


Trường THPT Chun Lê Hồng Phong
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
y

1
2sin x  3

1:Tìm tập xác định của hàm số:
�

D  R \ �  k 2 , k �Z �
�3
A.
.

5
�

D  R \ �  k 2 ,
 k 2 , k �Z �
6
�6
C.
.

y

�

D  R \ �  k 2 , k �Z �
�6
B.
.

2


D  R \ �  k 2 ,
 k 2 , k �Z �
3
�3
D.

1
cot x  3

2: Tìm tập xác định của hàm số:
�

D  R \ �  k , k �Z �
�6
A.
.


�

D  R \ �  k ,  k , k �Z �
2
�3
C.
.

�

D  R \ �  k , k , k �Z �
�6
B.
.

�2

D  R \ �  k ,  k , k �Z �
2
�3
D.

3: Hàm số: y = sin2x là hàm số tuần hồn, có chu kỳ bằng:

A. T = 2 .
B. T = π.
C. T = 2π.

D. T = 4π

4: Cho 3 hàm số: y = f(x) = sin2x (1); y = f(x) = cosx (2); y = f(x) = tanx (3). Trong 3 hàm số này, hàm số
nào thỏa tính chất: f(x + k) = f(x) với x  R; k  Z?
A. Chỉ (1).
B. Chỉ (2).
C. Chỉ (3).
D. (1) và (3)
5: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?
2
A. y = cosx + sin x .
B. y = sinx + cosx.

C. y = - cosx.

D. y = sinx.cos3x

6: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
A. y = - sinx.
B. y = cosx – sinx.

C. y = cosx + sin2 x.

D. y = sinx.cosx

x
7: Xét tính chẵn lẻ của hàm số: y = sin x  tan x
A. Hàm chẵn.
B. Hàm lẻ.
C. Không có tính chẵn lẻ.

D. Vừa chẵn, vừa lẻ


8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3sin(x + 4 )
A. 3.
B. -1.

C. 0.

D. -3
Trang 8


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
9: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = sinx + cosx
A. 2.

B.

2.

C. 1.

D. 0

2
10: Cho hàm số: y = cos x  4 cos x  10 . Nếu M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số thì (M +
m) bằng bao nhiêu?
A. 19.
B. 21.
C. 23.
D. 22

11: Hàm số: y = sinx
�π

� + k 2π; π + k 2π �
�và nghịch biến trên mỗi khoảng ( + k2;
A. Đồng biến trên mỗi khoảng �2

k2).

� 3π

 + k 2π; + k 2π �

2
� và nghịch biến trên mỗi khoảng
B. Đồng biến trên mỗi khoảng � 2
π
�π

 + k 2π; + k 2π �

2
�2
�.

�π

� + k 2π; + k 2π �
2
� và nghịch biến trên mỗi khoảng
C. Đồng biến trên mỗi khoảng �2
π
�π

 + k 2π; + k 2π �

2
�2
�.
π
�π

 + k 2π; + k 2π �

2
� và nghịch biến trên mỗi khoảng
D. Đồng biến trên mỗi khoảng � 2

�π

� + k 2π; + k 2π �
2
�2


12: Hàm số: y = cosx
�π

� + k 2π; π + k 2π �
�và nghịch biến trên mỗi khoảng ( + k2;
A. Đồng biến trên mỗi khoảng �2

k2).
B. Đồng biến trên mỗi khoảng ((k2 – 1); k2) và nghịch biến trên mỗi khoảng (2k; (2k +
1)).

�π

� + k 2π; + k 2π �
2
� và nghịch biến trên mỗi khoảng
C. Đồng biến trên mỗi khoảng �2
π
�π

 + k 2π; + k 2π �

2
�2
�.

D. Đồng biến trên mỗi khoảng (2k; (2k + 1)) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2; (2k +
3))
Trang 9


Trường THPT Chun Lê Hồng Phong
13: Hàm số: y = tanx + cotx xác định khi:
π
π
A. x ≠ k 2 .
B. x ≠ 2 + k.
14: Tìm miền giá trị T của hàm số: y = sin6x + cox6x
1
A. T = [0; 1].
B. T = [ 4 ;1].
a
15: Giá trò nhỏ nhất của: A = sin 2 –

A. a = –1800.

C. x ≠ k.

D. x  R

C. T = [0; 2].

1
D. T = [ 2 ;1]

a
3 cos 2 đạt được khi a bằng:

B. a = 600.

C. a = 1200.

0
D. a  60

16: Nghiệm của phương trình: sinx.cosx = 0 là:
A. x  k 2 .

B. x = k .

17: Nghiệm của phương trình:


x  k
4
2.
A.

1
2 là:

x    k 2
2
B.
.

C.

x


 k
2
.

D.

x


 k
2
.


x  �  k 2
2
D.

k


2

cos 2 x 

C.

18: Cho phương trình: sin5x.cos3x = sin10x.cos8x. Nếu biến đổi phương trình này về dạng: sinax = sinbx
thì (a + b) bằng bao nhiêu?
A. 20.
B. 22.
C. 24.
D. 26
� �

1
 ; �
cos(2 x  ) 

4
2 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng � 2 �?
19: Phương trình:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 1
0
0
0
20: Cho phương trình: sin(2 x  15 )  cos x  0 (0  x  300 ) . Nếu S là tổng tất cả các nghiệm (tính
bằng độ) của phương trình này bằng:
0
0
0
0
A. 355 .
B. 455 .
C. 555 .
D. 545
2
21: Cho phương trình: 2sin x  3sin x  2  0 . Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình này bằng:


2
7
A. 6 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 6

22: Cho phương trình:

(tan x  1)(tan 2 x 

4
tan x  1)  0
3
. Phương trình này có 3 họ nghiệm là: x = a +

��
0; �

k; x = b + k; x = c + k [a, b, c  � 2 �; k  Z]. Khi đó (a + b + c) bằng:

A. .

2
B. 3 .

3
C. 4 .

5
D. 4

Trang 10


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

cos(2 x  )

3 1
cos(2 x  )  cos x
3
cos x
23: Khi giải phương trình:
(1) ta biến đổi và giải phương trình:
(2).
2
Nghiệm của (2) có dạng: x =  + k2 hay x =  + 3 . Nghiệm của (1):
A. Là nghiệm của (2) với k lẻ.
B. Là nghiệm của (2).
C. Là nghiệm của (2) với k chẵn.
D. Không là nghiệm của (2)
k

24: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình: 9cos2x – 12sinx – 11 = 0 là:
1
1
1
arcsin( )  2
 arcsin( )
arcsin( )
3 .
3 .
3
A.
B.
C.
.
25: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: 3cos2x + 8cosx + 3 = 0 là:

3
3
2  arccos
4.
A. 2 .
B. 2 .
C.

1
2  arcsin( )
3
D.

D.

arccos

3
4

Trang 11


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

PHẦN 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT
§1: HAI QUI TẮC ĐẾM
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
5. Qui tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án
Phương án 1 có thể thực hiện bởi n1 cách
Phương án 2 có thể thực hiện bởi n2 cách

Phương án k có thể thực hiện bởi nk cách
Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 + n2 +…+nk cách
6. Qui tắc nhân: Tổng quát: Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn:

Công đoạn 1 có thể thực hiện bởi n1 cách
Công đoạn 2 có thể thực hiện bởi n2 cách

Công đoạn k có thể thực hiện bởi nk cách
Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 . n2 .….nk cách
II.

CÁC VÍ DỤ
4. Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ
số 0;1; 2;3; 4 .

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

6 3 2
5. Ví dụ 2:Có bao nhiêu số tự nhiên là ước của A  2 .3 .7

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
6. Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia n món quà cho 3 đứa trẻ?
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Hoán vị:
Trang 12


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong


 n �1 . Mỗi cách sắp n phần tử của E
Định nghĩa: Cho tập E có n phần tử
theo một thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị của E .
P  n !  1.2...  n  1 n
Công thức: Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có: n
.


2. Chỉnh hợp:

Định nghĩa:Cho tập E có n phần tử và số nguyên k thỏa 1 �k �n . Mỗi cách
chọn k phần tử của E và sắp chúng theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh
hợp chập k của n phần tử của E .
n!
k
A

n
k
 nk! .

Công thức:Gọi An là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta có:
3. Tổ hợp:

Định nghĩa:Cho tập E có n phần tử và số nguyên k thỏa 0 �k �n .Mỗi tập
con gồm k phần tử của E được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của E
.Như vậy, lập một tổ hợp chập k của n phần tử của E là lấy ra k phần tử của
n phần tử của E . (không quan tâm đến thứ tự)
n!
Cnk 
k
k ! n  k  !

Công thức: Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có:
.
II.

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Một học sinh có 5 sách toán, 4 sách lý, 3 sách hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
lên kệ sao cho:
a. Các sách được xếp tùy ý.
b. Các sách cùng môn được xếp kề nhau.

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
A   0;1; 2;3; 4;5;6
2. Ví dụ 2: Cho
. Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa:
a. có 4 chữ số.
b. có 4 chữ số khác nhau.
c. có 4 chữ số khác nhau và là số lẻ.
d. có 4 chữ số khác nhau và chứa cả 2 chữ số 0; 1.
e. có chứa 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
f. có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
g. có 4 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 3400.
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 13


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

3. Ví dụ 3: Có 12 sinh viên trong đó có 9 nam 3 nữ. Có bao nhiêu cách chia thành 3 nhóm
sao cho số nam, nữ của mỗi nhóm bằng nhau?
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
 n �6  . Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc 3
4. Ví dụ 4: Cho đa giác lồi gồm n đỉnh
đỉnh của đa giác biết:
a. Tam giác có 2 cạnh là 2 cạnh của đa giác.
b. Tam giác có đúng 1 cạnh là 1 cạnh của đa giác.
c. Tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác.

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
5. Ví dụ 5: Phương trình x1  x2  x3  2018 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
A   1; 2;3; 4;5;6;7
6. Ví dụ 6: Cho tập
và chia hết cho 6?
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
, có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số thuộc A
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§3: NHỊ THỨC NEWTON
Trang 14


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Công thức Newton:
n
 a  b   Cn0 a n  Cn1a n1b  ...  Cnk a nk b k  ...  Cnn1ab n1  Cnnb n
2. Tính chất:

Khai triển có n  1 số hạng.
k 1 n  k 1 k 1
b

Số hạng thứ k là: Tk  Cn a
.



II.

0
1
n
k
nk
Các hệ số Cn ; Cn ;...; Cn là một dãy đối xứng vì Cn  Cn .
Số mũ của a giảm dần từ n đến 0 , số mũ của b tăng dần từ 0 đến n , tổng 2
số mũ của a và b trong từng số hạng bằng n .

CÁC VÍ DỤ
5

10
1. Ví dụ 1: Tìm hệ số của x

� 3 2 �
3x  2 �

x �
trong khai triển của �

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
10
� 1
3�
1  x �

2

2. Ví dụ 2: Tìm hệ số của x trong khai triển của � x

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

1
2
n
3. Ví dụ 3: Cho n là số nguyên dương, thu gọn biểu thức T  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 .

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
1
3
2 n 1
4. Ví dụ 4: Cho n là số nguyên dương, thu gọn biểu thức T  C2 n 1  C2 n 1  ...  C2 n 1 .

......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
Trang 15


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
5. Ví dụ 5: Tìm số n nguyên dương thỏa
C21n 1  2.2C22n1  3.22 C23n 1  ...   2n  1 2n C22nn11  2017
.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

1
1
1
1
T  C21n  C23n  C25n  ...  C22nn 1
2
4
6
2n
6. Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương, tính tổng
.

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§4: BIẾN CỐ XÁC SUẤT

I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Biến cố - xác suất:
Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay hành động mà:
Trang 16


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

Có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau.

Kết quả của nó không dự đoán được.

Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra ở phép thử
đó.
Phép thử thường được kí hiệu bởi chữ T
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu và kí
hiệu bởi chữ  .
Biến cố: Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con  A nào đó
của không gian mẫu  . Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập  A .
Mỗi phần tử của  A gọi là một kết quả thuận lợi cho A.
Định nghĩa xác suất: Cho A là biến cố liên quan đến phép thử T chỉ có hữu hạn kết quả
n  A
n  

n  A n   
là xác suất của biến cố A , với
,

P  A
số phần tử của A và  , ký hiệu là
.
đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi

2. Biến cố hợp – qui tắc cộng xác suất:
Biến cố hợp: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “ A hoặc B
xảy ra” được gọi là hợp của 2 biến cố A và B, ký hiệu là A �B .
Biến cố xung khắc: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và
B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
Qui tắc cộng xác suất : Nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra
P  A �B   P( A)  P( B )
là:
.
Biến cố đối:Cho A là biến cố. Khi đó biến cố “không xảy ra A”, ký hiệu là A được gọi

 

II.

P A  1  P( A)
là biến cố đối của A. Ta có :
.
3. Biến cố giao – qui tắc nhân xác suất:
Biến cố giao: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố “ A và B
cùng xảy ra” được gọi là giao của 2 biến cố A và B, ký hiệu là AB .
Biến cố độc lập: Cho 2 biến cố A, B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B
được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này không làm ảnh hưởng đến việc
xảy ra biến cố kia.
Qui tắc nhân xác suất : Nếu 2 biến cố A và B độc lập thì xác suất để A và B cùng xảy ra
P  AB   P ( A) P( B )

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Cho một hộp gồm 4 bi xanh và 6 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất để
lấy được 1 bi xanh và 2 bi đỏ.

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
2. Ví dụ 2: Từ các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết ngẫu nhiên 1 số có 5 chữ số đôi một
khác nhau. Tính xác suất để số đó có chữ số 1 và chữ số 2.
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 17


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

3. Ví dụ 3: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II hoạt động độc lập nhau. Xác suất để động
cơ I và II chạy tốt lần lượt là 0.8 và 0.7. Tính xác suất để:
a. Cả 2 động cơ đều chạy tốt
b. Cả 2 động cơ đều không chạy tốt
c. Có ít nhất một động cơ chạy tốt.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1
Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau được
lập ra từ các chữ số trên?
A. 224.
2

B. 504.

C. 252.

D. 729.

Có 3 học sinh nữ và 2 hs nam. Ta muốn sắp xếp vào một bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp để 2 học sinh nam ngồi kề nhau.
A. 48.
3

B. 42.

C. 58.

D. 28.

12 4
12
Hệ số của số hạng chứa x y trong khai triển ( x  2 xy ) là:

A. 3960.
4

B. 3690.

C. 7920.

D. 7290.

Lập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong các
số lập được. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 25.
11
.
A. 324 .
5

12
.
B. 324 .

13
.
C. 324 .

14
.
D. 324

Trang 18


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 8 cuốn sách Hóa lên một kệ sách
sao cho các cuốn sách cùng một môn học thì xếp cạnh nhau, biết các cuốn sách đôi một khác
nhau.
A. 7.5!.6!.8!. .
B. 6.5!.6!.8!. .
C. 6.4!.6!.8!. .
D. 6.5!.6!.7!.
6
Từ các số 1, 2, 3 lập được bao nhiều số tự nhiên gôm 6 chữ số thỏa mãn trong mỗi số, mỗi chữ
số có mặt đúng một lần
A. 90.
B. 78.
C. 95.
D. 38.
7

A   0,1, 2,3, 4,5,6 .
Cho tập
Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số
đôi một khác nhau
A. 720.
B. 261.
C. 235.
D. 679.
8
A   1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 .
Cho tập
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một
khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
A. 15120.
B. 23523.
C. 16862.
D. 23145.
9
M

Tính
9
.
A. 10 .

An41  3 An3
 n  1 !

2
2
2
2
, biết Cn 1  2Cn  2  2Cn 3  Cn  4  149.
10
1
.
.
B. 9 .
C. 9 .

3
.
D. 4

10
Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3,.,80. Tính xác suất của biến cố “trong 3 số đó
có và chỉ có 2 số là bội số của 5”
96
6
96
96
.
.
.
.
A. 127 .
B. 1027 .
C. 107 .
D. 1027
11
Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ.Tính xác suất để trong sấp bài chứa hai bộ
đôi (hai con cùng thuộc 1 bộ, hai con thuộc bộ thứ 2, con thứ 5 thuộc bộ khác)
198
19
198
198
.
.
.
.
A. 465 .
B. 415 .
C. 4165 .
D. 416
12
Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài.Tính xác suất để trong sấp bài có 5 quân lập thành bộ liên tiếp tức
là bộ (A,2-3-4-5) (2-3-4-5-6) ….(10 –J-Q-K-A).Quân A vừa là quân bé nhất vừa là quân lớn
nhất.
128
18
18
128
.
.
.
.
A. 3287 .
B. 32487 .
C. 3287 .
D. 32487
13

Trang 19


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt
đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
A. 11340.
14

B. 23100.

C. 10290.

D. 11760.

2
2017
 a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...  a4034 x 4034 .
Biết (2 x  x  4)
Khi đó giá trị của biểu thức
S  a0  a1  a2  a3  ...  a4034 là:

A. -1.
15

B. 0.

C. 1.

D. 2.
13

� 2 3 �
�2x 

x � là
Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển �
A. 1437696.
16

B. 135104112.

C. 160123392.

D. -1437696.

Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất
2 học sinh khá.
A. 6666.
17

B. 3780.

C. 7560.

Tính tổng các chữ số gồm 5 chữ số được lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5?
A. 5599944.
B. 33778933.
C. 4859473.
18
B

Tính
9
.
A. 10 .

1
2

A2



1
2

A3

 ... 

1
2

An

2

Cn1

biết
10
.
B. 9 .

2

Cn

1

Cn

D. 7650.

D. 3847294.

n

 ...  n

Cn

n 1

Cn

 45.

1
.
C. 9 .

D. 9.

19

C xy11  C xy1

� y 1
3C  5Cxy11
Nghiệm của hệ phương trình � x 1

A. x  6; y  3. .
B. x  2; y  1. .
C. x  2; y  5. .
20

D. x  1; y  3.

Gieo một con xúc sắc 4 lần. Tìm xác suất của biến cố “mặt 3 chấm xuất hiện đúng một lần”.
5
5
5
5
P  A 
.
P  A  .
P  A  .
P  A  .
324 .
32 .
24 .
34
A.
B.
C.
D.
21
Chọn ngẫu nhiên 3 số trong 80 số tự nhiên 1,2,3,.,80. Tính xác suất của biến cố “trong 3 số đó
có ít nhất một số chính phương”
Trang 20


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
53
56
.
.
A. 254 .
B. 205 .

563
.
C. 2054 .

53
.
D. 204

22
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có
đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta
được một cách xếp mới).
A. 21600.
B. 151200.
C. 1440.
D. 4320.
23
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai
chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
A. 480.
24

B. 600.

C. 672.

D. 696.

Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách
Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi
em một cuốn. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách
trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
A. 805.
25

B. 579600.

C. 85680.

D. 157680.

Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chứa các chữ số 3, 4, 5 và
chữ số 4 đứng giữa chữ số 3 và chữ số 5.
A. 1500.

B. 750.

C. 2940.

D. 1470.

Trang 21


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong

PHẦN 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ
§1: DÃY SỐ
III.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
7. Định nghĩa:




Định nghĩa 1:Cho M là tập hợp m số tự nhiên khác 0 đầu tiên M  {1; 2;3;...; m} .
Một hàm số xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn.
Định nghĩa 2: Một hàm số xác định trên N* được gọi là dãy số vô hạn (hay gọi
tắt là dãy số)
Tập giá trị của dãy số là {u (1); u (2);...} . Người ta thường ký hiệu các giá trị đó
là:

u  1  u1 ; u (2)  u2 ;...; u (m)  um ;...

Người ta thường viết dãy số dưới dạng: u1 ; u2 ;...un ;... . Dạng này gọi là dạng khai
triển của dãy số u.
u1 được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu).
u2 được gọi là số hạng thứ 2

un được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số .
Người ta còn ký hiệu một cách ngắn gọn là (un).


8. Phương pháp xác định dãy số:
Cho công thức tổng quát của dãy số:Cho công thức biểu diễn số hạng thứ n theo n .
Cho dãy số bằng biểu thức truy hồi:



Cho số hạng đầu (hoặc một vài số hạng đầu)
Cho hệ thức biểu thị số hạng un thông qua số hạng đứng trước nó (hoặc một vài
số hạng trước nó)

9. Dãy số tăng – Dãy số giảm:

 un 
 un 

u 

Dãy số n được gọi là tăng nếu un 1  un , n �N *
tăng � u1  u2  u3  ... 
u 

Dãy số n được gọi là giảm nếu un 1  un , n �N *
giảm � u1  u2  u3  ... 


Dãy số tăng hay giảm được gọi là dãy số đơn điệu.

10. Dãy số bị chặn:




 un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
Dãy số
n  �* , un M
.
 un  được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
Dãy số
n  �* , un m
.
Trang 22


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
u 

Dãy số n được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới;
n �* , m un M
nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho Σ�

IV.

CÁC VÍ DỤ

u1  2


un 1  2un  4 n �1


7. Ví dụ 1: Tìm công thức tổng quát của dãy số
.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

un 
8. Ví dụ 2:Chứng minh dãy số
số đơn điệu.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

1
1
1

 ... 
n  n  1  n  1  n  2 
 n  n  1  n  n 

là dãy

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................


u1  3


u  un  3 n �1
9. Ví dụ 3:Chứng minh dãy số �n 1
là dãy bị chặn.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§2: CẤP SỐ CỘNG
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trang 23


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
1. Định nghĩa:
Cấp số cộng là dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng là tổng của số
hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công sai.
Gọi d là cộng sai, ta có: un 1  un  d n �1
2. Số hạng tổng quát:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức:
un  u1   n  1 d
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai, đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên
của nó.
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Cho cấp số cộng có công sai là d: u1 , u2 ,...
Đặt S n  u1  u2  ...  un


II.

Định lý 3:

Sn 

n
 u1  un 
2

Sn 

n
2u1   n  1 d �


2�

Định lý 4:

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Trong các dãy số
a. un  4n  5 .

 un 

dưới đây, dãy số nào là CSC?
2
b. un  n  2n  2 .

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
u1  u3  8


u2  u5  14


u 
2. Ví dụ 2:Tìm công thức tổng quát của CSC n biết
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
2
2
2
2
a
,
b
,
c
3. Ví dụ 3:Cho
là 3 số lập thành CSC. Chứng minh a  ab  b , c  ca  c ,
b 2  bc  c 2 là cấp số cộng.
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 24


Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
4. Ví dụ 4:Tìm 5 số lập thành CSC biết tổng của chúng là 15 và tổng binh phương của
chúng bằng 85 .
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

§3: CẤP SỐ NHÂN
I.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:

Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng là tích của số
hạng đứng trước nó với một số không đổi gọi là công bội.
n �1
Gọi q là cộng bội, ta có: un 1  un .q
2. Số hạng tổng quát:
Số hạng tổng quát của cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q được cho bởi công thức:
un  u1.q n 1
3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân:
Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai, có trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số
hạng kề bên của nó.
4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp số nhân có công bội là q : u1 , u2 ,...
Đặt S n  u1  u2  ...  un .
qn 1
Sn  u1
q 1
Định lý :
II.

CÁC VÍ DỤ
1. Ví dụ 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân:
u1  2
u1  1




2
u  3un
u  un
a. �n 1
.
b. �n 1
.

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................

......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
......................................................................
Trang 25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×