Tải bản đầy đủ

4 nguyen ham, tich phan

1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

Tích phân
(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

ThS. Trần Bảo Ngọc
Bộ môn Toán, Khoa Khoa học, Đại học Nông Lâm TP HCM
Email: tranbaongoc@hcmuaf.edu.vn

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

Nội dung

1


1. NH

2

2. TPXĐ

3

3. TPBĐ

4

4. KTT

5

5. UD

6

6. TPSR

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

"Hỏi một câu chỉ dốt chốc lát. Nhưng không
hỏi sẽ dốt nát cả đời."
Ngạn ngữ phương Tây.

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân


(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

1. Nguyên hàm −→ 1.1. Định nghĩa
Định nghĩa.
Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a; b). Khi đó hàm số
y = F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x) nếu
F (x) có đạo hàm trên (a; b) và
F (x) = f (x) với mọi x ∈ (a; b).
Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số F (x) = x sin(x) + cos(x) + 2016
là một nguyên hàm của hàm số f (x) = x cos(x) trên R.
Chứng minh : Ta có
F (x)

= x sin(x) + cos(x) + 2016
= sin(x) + x cos(x) − sin(x)
= x cos(x)

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

1. Nguyên hàm −→ 1.2. Tính chất
Note. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì mọi nguyên hàm
của f (x) đều có dạng
F (x) + C ,
điều này có ý nghĩa là nếu chỉ cần tìm được một nguyên hàm của
f (x) thì ta có thể tìm được mọi nguyên hàm của f (x).
Tính chất.
Cho c là một hằng số, gọi F (x), G (x) lần lượt là các nguyên hàm
của f (x), g (x) trên (a; b). Khi đó
c.F (x) là một nguyên hàm của c.f (x) trên (a; b)
F (x) + G (x) là một nguyên hàm của f (x) + g (x) trên (a; b)

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

1. Nguyên hàm −→ 1.2. Tính chất

Câu hỏi : Nếu F (x), G (x) lần lượt là các nguyên hàm của f (x),
g (x) trên (a; b) thì F (x).G (x) có phải là một nguyên hàm của
f (x).g (x) ? Cho ví dụ minh họa.

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

1. Nguyên hàm −→ 1.3. Các nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp cơ bản.
x α+1
+C
α+1
ax
ax có nguyên hàm là
+C
ln(a)
sin(x) có các nguyên là − cos(x)
x α có nguyên hàm là

cos(x) có các nguyên là sin(x)
tan(x) có các nguyên là tan2 (x) + 1 =

1
cos2 (x)

cot(x) có các nguyên là − cot2 (x) + 1 = −

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

1
sin (x)
2

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

1. Nguyên hàm −→ 1.4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
Định lý (PP Đổi biến số).
Nếu f (x) có một nguyên hàm là F (x) thì
f (u(x)).u (x) có một nguyên hàm là F (u(x))
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số
a) e sin(x) cos(x)
b) (1 − 2x)7
c) √
d)

x
1 + x2

cos(x) − sin(x)
sin(x) + cos(x)
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

1. Nguyên hàm −→ 1.4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
Định lý (PP Nguyên hàm từng phần).
Cho f (x), g (x) có các nguyên hàm tương ứng là F (x), G (x). Nếu
f (x)G (x) có một nguyên hàm là H(x)
thì
F (x)g (x) có một nguyên hàm là F (x)G (x) − H(x)
Ví dụ : Tìm nguyên hàm của hàm số
a) x cos(x)
b) xe x
c) x ln(x)
d) e x cos(x)
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

Nội dung

1

1. NH

2

2. TPXĐ

3

3. TPBĐ

4

4. KTT

5

5. UD

6

6. TPSR

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.1. Ý tưởng tích phân
Bài toán tính diện tích.
Tính diện tích S của phần hình phẳng được giới hạn bởi y = x 2 ,
y = 0, x = 0 và x = 1.
Ta chia khoảng [0; 1] thành N khoảng với các đầu mút là
1
N −1
x0 = 0, x1 = , ..., xN−1 =
, xN = 1
N
N

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.1. Ý tưởng tích phân
Ký hiệu ∆xi = xi − xi−1 , ta có
S ≈ S1 + S2 + ... + SN
N



f (xi ).∆xi
i=1

≈ f (x1 ).∆x1 + f (x2 ).∆x2 + . . . + f (xN ).∆xN
Từ xi =

i
, ta suy ra
N
∆xi =

i
i −1
1

= .
N
N
N

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.1. Ý tưởng tích phân

Do đó
12 1
22 1
N2 1
.
+
.
+
.
.
.
+
.
N2 N
N2 N
N2 N
1
≈ 3 12 + 22 + ... + N 2
N
1 N(N + 1)(2N + 1)
≈ 3
N
6
N(N + 1)(2N + 1)

6N 3

S≈

Với N = 10
Với N = 100

ta được

S ≈ 0.385

ta được S ≈ 0.33835

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.1. Ý tưởng tích phân
Với N = 1000
Với N =

1010

ta được S ≈ 0.3338335
ta được S ≈ 0.333333333383333333335

Chú ý rằng
N

S=

lim

max{∆xi }→0

f (xi ).∆xi
i=1

N(N − 1)(2N − 1)
= lim
N→+∞
6N 3
1
=
3

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.1. Ý tưởng tích phân
S có thể được xấp xỉ bởi cách làm tổng quát như hình sau

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.2. Định nghĩa và các chú ý
Định nghĩa (Tích phân xác định).
Cho hàm số f xác định trên [a; b]. Gọi x0 = a, x1 , x2 , ..., xN = b là
một N-phân hoạch của [a; b] sao cho
∆xi = xi − xi−1 −→ 0 when N → +∞
với i = 1, 2, ..., N. Lấy xi∗ ∈ [xi−1 ; xi ], nếu giới hạn
N

f (xi∗ ).∆xi

lim

max{∆xi }→0

i=1

tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là tích phân xác định của
f trên [a; b] và f được gọi là khả tích trên [a; b].
N

Chú ý 1. Giá trị của giới hạn

lim

max{∆xi }→0

f (xi ).∆xi

không

i=1

phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch x0 = a, x1 , x2 , ..., xN = b.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.2. Định nghĩa và các chú ý
Định nghĩa (Tích phân xác định).
Cho hàm số f xác định trên [a; b]. Gọi x0 = a, x1 , x2 , ..., xN = b là
một N-phân hoạch của [a; b] sao cho
∆xi = xi − xi−1 −→ 0 when N → +∞
với i = 1, 2, ..., N. Lấy xi∗ ∈ [xi−1 ; xi ], nếu giới hạn
N

b

f (x)dx :=
a

f (xi∗ ).∆xi

lim

max{∆xi }→0

i=1

tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là tích phân xác định của
f trên [a; b] và f được gọi là khả tích trên [a; b].
N

Chú ý 1. Giá trị của giới hạn

lim

max{∆xi }→0

f (xi ).∆xi

không

i=1

phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch x0 = a, x1 , x2 , ..., xN = b.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.2. Định nghĩa và các chú ý

Trong định nghĩa tích phân xác định,
được gọi là dấu tích phân
a, b được gọi là cận tích phân
b

Chú ý 2. Tích phân

f (x)dx là một số thực và không phụ
a

thuộc vào x, nên
b

b

f (x)dx =
a

b

f (t)dt =
a

ThS. Trần Bảo Ngọc

b

f (s)ds =
a

Tích phân

f (u)du
a

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.2. Định nghĩa và các chú ý
Chú ý 3. Tổng
N

f (xi∗ ).∆xi
i=1

được gọi là tổng Riemann. Khi N tăng lên, tổng này sẽ xấp xỉ một
b

cách chính xác hơn giá trị tích phân

f (x)dx.
a

• Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ [a; b] thì giá trị của tích phân xác
định
b

f (x)dx
a

bằng với diện tích phần hình phẳng được giới hạn bởi các đường
y = f (x), y = 0, x = a và x = b.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định

• Nếu f có thể âm dương tuỳ ý như hình sau

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.2. Định nghĩa và các chú ý
thì

b

f (x)dx = A+ − A−
a

trong đó A+ là diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox và
phía dưới đồ thị của f , và A− là diện tích của phần hình phẳng
phía dưới Ox và phía trên đồ thị của f .
Chú ý 4. Có rất nhiều hàm số mà giới hạn tương ứng
N

f (xi∗ ).∆xi

lim

max{∆xi }→0

i=1

không tồn tại hoặc không hữu hạn. Hãy tìm một hàm số như thế !
Định lý (Tính khả tích của hàm số liên tục).
Nếu f liên tục trên đoạn [a; b] thì f khả tích trên [a; b].
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.3. Tổng trên Riemann
Trong định nghĩa tích phân, nếu ta chọn một N-phân hoạch đều
x0 = 0, x1 =

1
N −1
, ..., xN−1 =
, xN = 1
N
N

N

thì tổng

f (xi ).∆x được gọi là tổng trên Riemann. Bằng cách
i=1

chọn xi∗ = xi , định nghĩa tích phân cho ta hệ quả sau :
Định lý (Tính tích phân bằng tổng trên Riemann)
Nếu f là khả tích thì
N

b

f (x)dx =
a

trong đó

xi = a + i∆x

lim

N→+∞



ThS. Trần Bảo Ngọc

f (xi ).∆x
i=1

∆x =

b−a
.
N

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.3. Tổng trên Riemann
Ví dụ :
a) Sử dụng tổng trên Riemann để tính tích phân xác định
2

x 3 − x 2 dx.

0

b) Sử dụng tổng trên Riemann và sự hỗ trợ của máy vi tính để
5

tính tích phân xác định

x 5 dx.

2

c) Tìm giá trị của các tích phân xác định sau thông qua các
phần diện tích tương ứng
1.5

9 − 4x 2 dx

c1)
0

2

(1 − x)dx

c2)
0

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.4. Tính chất
Định lý. (Tính chất cơ bản của tích phân xác định)
Cho c là một hằng số và f , g là các hàm khả tích trên [a; b]. Khi
đó
a

P1.

f (x)dx = 0
a
b

c.dx = (b − a)c

P2.
a
b

a

f (x)dx = −

P3.
a

f (x)dx
b
N

a

trong đó tích phân xác định

f (x)dx :=
b

được định nghĩa với ∆x =

a−b
.
N

ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

lim

N→+∞

f (xi ).∆x
i=1

(Dành


1. NH 2. TPXĐ 3. TPBĐ 4. KTT 5. UD 6. TPSR

2. Tích phân xác định −→ 2.4. Tính chất
Định lý. (Phép toán +, − và × đối với tích phân xác định)
Cho c là một hằng số và f , g là các hàm khả tích trên [a; b]. Khi
đó
b

b

f (x) ± g (x) dx =

P4.
a

a
b

P5.

g (x)dx
a

b

c.f (x) dx = c.
a

f (x)dx
a

b

P6.

b

f (x)dx ±

c

f (x)dx =
a

b

f (x)dx +
a

f (x)dx
c

b

Chú ý. Tính chất

b

f (x).g (x)dx =
a

b

f (x)dx.
a

g (x)dx
a

không đúng. Hãy cho một ví dụ để minh họa điều này.
ThS. Trần Bảo Ngọc

Tích phân

(Dành


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×