Tải bản đầy đủ

Tom tat cong thuc XSTK

Châu Minh Hoàng

Email : minhhoang12061993@gmail.com

Tóm tắt công thức Xác Suất - Thống Kê
I. Phần Xác Suất
1. Xác suất cổ điển
 Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
 A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
 Ta có
o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B).
o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
o P( A)  1 P( A) .
P( AB)
P( AB)
, P(B / A) 
.
 Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B) 
P(B)
P( A)
 Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).

 A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).
 Ta có
o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B).
o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).
 Công thức Bernoulli: B(k; n; p)  Cnk pk qnk , với p=P(A): xác suất để biến cố A
xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.
 Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân
 A .A   i  j; i, j 1, n
hoạch của    i j
 A1  A2  ...  An  
o Công thức xác suất đầy đủ:
n

P(B)   P( Ai ).P(B / Ai ) P( A1).P(B / A1)  P( A2 ).P(B / A2 )  ...  P( An ).P(B / An )
i1

o Công thức Bayes:
P( Ai ).P(B / Ai )
P( A / B) 
i
P(B)
với P(B)  P( A1).P(B / A1)  P( A2 ).P(B / A2 )  ...  P( An ).P(B / An )
2. Biến ngẫu nhiên
a. Biến ngẫu nhiên rời rạc
 Luật phân phối xác suất
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
với pi  P( X  xi ), i  1, n.
Ta có:
n

 pi  1 và
i1

P{a  f(X)  b}=



pi



af(xi b

1




Hàm phân phối xác suất
FX (x)  P(X  x)   pi
xi  x






Mode
ModX  x0  p0  max{ pi : i  1, n}
Median
  pi  0, 5
P( X  x )  0, 5

x x
e
MedX  x  
  i e
e
P( X  xe )  0, 5
  pi  0, 5
 xi  xe
Kỳ vọng
n

EX   (xi . pi ) x1. p1  x2. p2  ...  xn . pn
i1
n

E(

( X ))   (

( xi ). pi ) 

(x1). p1 

(x2 ). p2  ... 

( xn ). pn

i1



Phương sai
VarX  E( X 2 )  (EX )2
với E( X 2 )   (x 2 . p ) x2 . p  x2 . p  ...  x2 . p
n

i

i

1

1

2

2

n

n

i1

b. Biến ngẫu nhiên liên tục.




f(x) là hàm mật độ xác suất của X 





f ( x)dx  1 ,


b

P{a  X  b}   f ( x).dx
a



Hàm phân phối xác suất
x

FX (x)  P( X  x)   f (t)dt







Mode
ModX  x0  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0.
Median
xe
1
MedX  x  F (x )  1  f (x)dx  .
e
X
e

2
2

Kỳ vọng


EX 

 x. f ( x)dx .


E(

( X ))  

( x). f (x)dx



2






Phương sai



VarX  E( X 2 )  (EX )2 với EX2 

2
 x . f ( x)dx .

c. Tính chất
- E(C)  C, Var(C)  0 , C là một hằng số.

- E(kX )  kEX , Var(kX )  k 2VarX
- E(aX  bY )  aEX  bEY
- Nếu X, Y độc lập thì E( XY )  EX .EY , Var(aX  bY )  a2VarX  b2VarY
- ( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX.
3. Luật phân phối xác suất
a. Phân phối Chuẩn ( X ~ N (;2 ))
 X ()  , EX=ModX=MedX= , VarX  2




Hàm mđxs f (x,
1

f (x) 

e
2





,

) 

x2
2 (Hàm

P(a  X  b)  (

b

1
2

)2

( x
2

e

2

 Với

 0,

 1:

Gauss)
)  (

a 

x

)

với (x)  

1

t2

e 2 dt

(Hàm Laplace)
2
0
 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối
xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc
Tác vụ
Máy CASIO 570MS
Máy CASIO 570ES
Khởi động gói Thống kê
Mode…(tìm)…SD
Mode…(tìm)…STAT 1-Var
Tính




2

x

(x)  
0

1



e

t
2 dt

Shift 3 2 x ) =

Shift 1 7 2 x ) =

Shift 3 1 x ) =

Shift 1 7 1 x ) =

Mode 1

Mode 1

2
2

x

F (x) 



1



e

t
2 dt

2
Thoát khỏi gói Thống kê


Lưu ý: F (x)  0, 5  (x)
b. Phân phối Poisson ( X ~ P())
 X ()  , EXk  VarX 

 

. ModX=k 

-1  k 

, k

P(X=k)=e
k!

3


c. Phân phối Nhị thức ( X ~ B(n; p))
 X ()  {0..n}, EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n 1) p 1  k  (n 1) p


P(X=k)=Ckn. p k .qnk , q   p 0  k  n, k 



Nếu (n  30; 0,1  p  0, 9; np  5, nq  5) thì X ~ B(n; p)  N (; 2 ) với



  n. p,   npq
1 k
 P(X=k)  f (
), 0  k  n, k 


b
a
 P(a  X)  (
)


Nếu (n  30, p  k np  5) thì X ~ B(n; p)  P() với   np
 




P(X=k)  e

, k
k!
Nếu (n  30, p  0, 9, nq  5)
nk
P(X=k)  e  
,k
(n  k )!

với   nq

d. Phân phối Siêu bội ( X ~ H (N ; N A; n))
 X ()  {max{0; n  (N  N A )}..min{n;N A}}
N n
NA
 EX=np, VarX=npq
, q=1-p.
với p 
N 1
N

( N  1)(n 1)  2
(N 1)(n  1)  2
ModX  k  A
1  k  A
.
N2
N2
C k C nk
 P(X=k)= N A N  N A , k  X ()
C Nn
N
NA
.
 Nếu  20 thì X ~ H (N ; N A; n)  B(n; p) với p 
n
N
P(X=k)  Ckn. p k .qnk , k  X (), q  1 p .

4


Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông
dụng:

Siêu bội: X~H(N;NA;n)
CNkA.C Nnk N A
P( X  k ) 
C Nn
N>20n
N
p= A , q=1-p
N

n 30, np<5
p 0,1
=np

Nhị thức: X~B(n;p)

Poisson: X~ P(
P( X  k) 

P( X  k )  Cnk . p k .qn k

k

k!

)
e

n 30, np  5 , nq  5
0,1P( X  k ) 
P(a  X  b) 

với
Chuẩn: X~ N (
f (x; ;

) 

;

2

 np,

f(
(

b

k
)

)
(

a

( x
2

)2
2

)

 npq

Y

)


1
.e
2

1

X

Chuẩn chuẩn tắc: Y~ N(0;1)
y2

1
f ( y) 
.e 2
2

5


II. Phần Thống Kê.
1. Lý thuyết mẫu.
a. Các công thức cơ bản.
Các giá trị đặc trưng
Mẫu ngẫu nhiên
Mẫu cụ thể
Giá trị trung bình
X  ...  X n
x  ...  xn
X 1
x 1
n
n
2
2
2
(x1  x )  ...  (x n  x )2
Phương sai không hiệu chỉnh ˆ 2 ( X  X )  ...  ( X  X )
2
ˆ
s

x
S X 1 n
n
n
2
2
2
(x1  x )  ...  (x n  x )2
Phương sai hiệu chỉnh
( X  X )  ...  ( X  X )
2
2
s


1 n
x
SX 
n 1
n 1
b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau:

xi
x1
x2
xk

ni
n1
n2
nk
Khi đó
Các giá trị đặc trưng
Giá trị trung bình
Phương sai không hiệu chỉnh
Phương sai hiệu chỉnh

Mẫu cụ thể
x n  ...  xk nk
x 1 1
n
2
(x  x ) n1  ...  (xk  x )2 nk
2
ˆs x  1
n
2
(x1  x ) n1  ...  (xk  x )2 nk
2
sx 
n 1

c. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu
- Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a;b) hay (a;b] thì ta sử dụng giá
a b
trị đại diện cho miền đó là
để tính toán.
2
Tác vụ
Bật chế độ nhập tần số
Khởi động gói Thống kê

Dòng CASIO MS
Không cần
Mode…(tìm)…SD
x1 Shift , n1 M+
xk Shift , nk M+

Nhập số liệu

Nếu ni  1 thì chỉ cần
nhấn
xi M+

Dòng CASIO ES
Shift Mode  4 1
Mode…(tìm)…STAT 1-Var
X
x1 =

FREQ
n1 =

xk =

nk =

6


Xóa màn hình hiển thị
Xác định:
 Kích thước mẫu (n)
 Giá trị trung bình
(x)
 Độ lệch chuẩn không
hiệu chỉnh ( sˆx )
 Độ lệch chuẩn hiệu
chỉnh ( sx )
Thoát khỏi gói Thống kê

AC

AC

Shift 1 3 =

Shift 1 5 1 =

Shift 2 1 =

Shift 1 5 2 =

Shift 2 2 =

Shift 1 5 3 =

Shift 2 3 =

Shift 1 5 4 =

Mode 1

Mode 1

2. Ước lượng khoảng.
a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết)
 Ước lượng đối xứng.
1 

(z ) 
 z     z  .    x   ; x  )
2
n


2

2

2

Ước lượng chệch trái.


(z )  0, 5    z    z .   ; x  )
n
 Ước lượng chệch phải.

(z )  0, 5    z    z .    x  )
n
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )
 Ước lượng đối xứng.
1 
s
(z ) 
 z    z  .
  x   ; x  )
2
n


2

2

2

Ước lượng chệch trái.
(z )  0, 5    z    z .



s
 ; x  )
n

Ước lượng chệch phải.
(z )  0, 5    z    z .

s
  x  )
n

Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)
 Ước lượng đối xứng.

s
1    t
   t
.
  x   ; x  )
(n1; )
(n1; )
2
n
2
2


Ước lượng chệch trái.
1     t (n1;)    t(n1;) .

s

  ; x  )
n
7




Ước lượng chệch phải.
1     t (n1;)    t(n1;) .

b) Khoảng tin cậy cho tỉ lệ.
 Ước lượng đối xứng.
1 
(z ) 
 z    z  .
2


2

2

f (1 f )   f   ; f  )
n

2

Ước lượng chệch trái.
(z )  0, 5    z    z .



s
  x   ;  )
n

f (1 f )
n

 ; f  )

Ước lượng chệch phải.
(z )  0, 5    z    z .

f (1 f )
n

  f  )

c) Khoảng tin cậy cho phương sai.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề bài chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải xác định s (bằng máy
tính).
 Ước lượng không chệch.


2
1    2   2(n , 1   1   1 
1;)
(n1;1 
)
2
2
2
2





(n 1)s2 (n 1)s2
(

;
)
2
1
Ước lượng chệch trái.
2

(n 1)s2

1   1   (n1;1)  (0;


Ước lượng chệch phải.
2

1     2   (n1;)  (
Trường hợp 2. (  đã biết)

1

)

(n 1)s2
2

; )

k

- Tính (n 1)s   ni .(xi  )2
2

i1



Ước lượng không chệch.

2

1
2
1 

,
1


1


    2   (n; 
)
(n;1 )
2
2
2
2
(n 1)s2 (n 1)s2
(

;
)
2
1

8




Ước lượng chệch trái.
2

(n 1)s2

1   1   (n;1)  (0;


Ước lượng chệch phải.
2

1     2   (n;)  (

1

)

(n 1)s2
2

; )

3. Kiểm định tham số.
a) Kiểm định giá trị trung bình.
Trường hợp 1. (  đã biết)
 Ho :   o , H1 :   o
1 
x  o
(z ) 
 z , z 
.n
2

2

2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
2



Ho :   o , H1 :   o
x  o
n.

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
Ho :   o , H1 :   o
x  o
n.
(z )  0, 5    z , z 

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
(z



)  0, 5    z , z 

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )
 Ho :   o , H1 :   o
1 
x  o
(z ) 
 z , z 
.n
2
s
2

2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
2



Ho :   o , H1 :   o
(z

)  0, 5    z , z 

x  o
n.
s
9


- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
 Ho :   o , H1 :   o
x  o
(z )  0, 5    z , z 
n.
s
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. (  chưa biết, n<30)
 Ho :   o , H1 :   o

x  o
 t
. n
 , t 
(n 1; )
s
2
2

- Nếu t  t
- Nếu t  t



(n1; )
2

: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.


(n1; )
2

: Chấp nhận Ho.

Ho :   o , H1 :   o
x  o
. n
  t(n1;) , t 
s
- Nếu t  t(n1;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu t  t(n1;) : Chấp nhận Ho.



Ho :   o , H1 :   o
x  o
. n
  t(n1;) , t 
s
- Nếu t  t(n1;) : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu t  t(n1;) : Chấp nhận Ho.

b) Kiểm định tỉ lệ.
 Ho : p  po , H1 : p  po
1 
k
(z ) 
 z  , f  , z  f  po . n
2
n
po (1 po )
2
2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
2



Ho : p  po , H1 : p  po
k
f  po
. n
(z )  0, 5    z , f  , z 
n
po (1 po )

10




- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
Ho : p  po , H1 : p  po
k
(z )  0, 5    z , f  , z  f  po


. n
po (1 po )
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
c) Kiểm định phương sai.
Trường hợp 1. (  chưa biết)
- Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác
định s. 
 Ho : 2  2, H : 2  2
n





o

1
2

o

 1  

1



2
(n1;1  )
2

2

, 

2

2

 2  

  
2
- Nếu 
: Bác bỏ H0, chấp nhận H1.
2
2
    1
2



2

2

2
(n1;)
2

,



(n 1)s2
o2

- Nếu 21  2  2 2: Chấp nhận Ho.
Ho : 2  2 , H : 2  2


o
2

2

1   1  

1o

2
(n1;1) ,

(n 1)s2

 2

o

- Nếu 2  21 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1.


- Nếu 2  21 : Chấp nhận Ho.
Ho : 2  2 , H : 2  2
o

   2  2
2

1

o

2
(n1;) ,

(n 1)s2

 2

o

- Nếu 2  22: Bác bỏ H0, chấp nhận H1.
- Nếu 2  22: Chấp nhận Ho.
4. Kiểm định so sánh tham số.
a) Kiểm định so sánh giá trị trung bình.
Trường hợp 1. ( 1, 2 đã biết)
 Ho : 1  2 , H1 : 1  2 
1 
(z ) 
 z  , z  x1  x2
2
21 22
2
2

n1 n2
11


- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
2



Ho : 1  2 , H1 : 1  2 
(z )  0, 5    z , z 

x1  x2
12

22


n1 n2
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
 Ho : 1  2 , H1 : 1  2
x x
(z )  0, 5    z , z  1 2
12 22

n1 n2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 2. ( 1, 2 chưa biết, n1 n2  30 )
 Ho : 1  2 , H1 : 1  2 
1 
(z ) 
 z  , z  x1  x2
2
s 21 s 22
2
2

n1 n2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
2



Ho : 1  2 , H1 : 1  2



(z )  0, 5    z , z 



x1  x2
s 21 s 22

n1 n2

- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
Ho : 1  2 , H1 : 1  2
x x
(z )  0, 5    z , z  1 2
s 21 s 22

n1 n2

12




- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
Trường hợp 3. ( 1  2 chưa biết, n1, n2  30 )
 Ho : 1  2 , H1 : 1  2 

x1  x2




t

2

 ,t
(n1n2 2; )
2




(n1n2 2; )
2
t
 :
(n1n2 2; )
2

)

2

n1  n2  2

Chấp nhận Ho.

Ho : 1  2 , H1 : 1  2
x1  x2
(n1 1).s2  (n2 1).s2
2

1
2
t(n1n2 2;) , t  2 1 1 , với s 
s (  )
n1  n2  2
n1 n2
- Nếu t  t

Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

- Nếu

Chấp nhận Ho.

 :
)
2
t  t
 :
(n1n2 2; )
2
(n1n2 2;





1

n1 n2
: Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

- Nếu t  t
- Nếu t

s (

1

(n1 1).s2  (n2 1).s2

, với s 1


2

2

Ho : 1  2 , H1 : 1  2
x1  x2
(n1 1).s2  (n2 1).s2
2

1
2
t(n1n2 2;) , t  2 1 1 , với s 
s (  )
n1  n2  2
n1 n2
- Nếu t  t

Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.

- Nếu

Chấp nhận Ho.

 :
)
2
t t
 :
(n1n2 2; )
2
(n1n2 2;

b) Kiểm định so sánh tỉ lệ.
k
k
f1  1 , f2  2 , f  k1  k2
n1
n2
n1  n2
 Ho : p1  p2 , H1 : p1  p2
1 
(z ) 
 z  , z 
2
2

2

f1  f2
1 1
f (1 f ).(  )
n 1 n2

- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
2

- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
13




Ho : p1  p2 , H1 : p1  p2



f1  f2
1 1
f (1 f ).(  )
n1 n2
- Nếu z   z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z   z : Chấp nhận Ho.
 Ho : p1  p2 , H1 : p1  p2
f1  f2
(z )  0, 5    z , z 
1 1
f (1 f ).(  )
n1 n2
- Nếu z  z : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu z  z : Chấp nhận Ho.
c. Kiểm định so sánh phương sai.
- 1, 2 chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa
cho.
 Ho :  2  2 , H :  2  2
(z )  0, 5    z , z 

1

f 

-

Nếu

s12

2

1

1

2

, f1  f (n1 1; n2 1;1

s 22
 f  f1


) , f2  f (n1 1; n2 1; )
2
2

: Bác bỏ H , chấp nhận H .
o

f

  f
2




1

- Nếu f1  f  f2 : Chấp nhận Ho.
Ho :  2  2 , H :  2  2
1

2

1

1

2

2

s
f  1 ,2f1  f (n1 1; n2 1;1 )
s2
- Nếu f  f1 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu f1  f : Chấp nhận Ho.
Ho :  2  2 , H :  2  2

-



1

-

f

2
2
s
 12, f2
s2

1

1

2

 f (n1 1; n2 1;

)

- Nếu f  f2 : Bác bỏ Ho, chấp nhận H1.
- Nếu f  f2 : Chấp nhận Ho.
5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu.

14


n

n

n

n  xi yi   xi  yi

i 1
i 1
i 1
n
n
n

a. Hệ số tương quan mẫu: r

n  xi  ( xi )
2

i 1

n

n  y  ( yi )2

2

i 1

i 1

2
i

i 1

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: yx  A  B x với
B 

n

n

n

i 1

i 1
n

i 1
2

n

n  xi yi   xi  yi

và A 

n  x2  ( x )
n

i 1

i

i 1

n

y

i

i 1

 B. xi
n

i 1

.

i

b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số:

xi
x1
x2

yi
y1
y2

xk



nk

ni

n1

n2

yk

Ta tính theo công thức thu gọn như sau:
k

k

k

n  n i xi yi   ni xi  ni yi

i 1
i 1
i 1
rk 
k
k
k
2
2
2
n ni xi  (ni xi ) n n yi i  (n yi )i 2

Hệ số tương quan mẫu:

i 1

i 1

i 1

i 1

Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: yx  A  B x với
B

k

k

i 1

i 1

n  n i xi yi   ni xi

k

n y
i

i 1

n  n x  (n x )
k

i 1

2

i

i

k

i 1

2

i

k

và A 

k

n y
i

i 1

i

 B. ni xi
n

i 1

.

i i

15


c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy
tuyến tính mẫu:
Tác vụ
Bật chế độ nhập tần số
Khởi động gói Hồi quy
tuyến tính

Nhập số liệu

Dòng CASIO MS
Không cần
Mode…(tìm)…REG
Lin
x1 , y1 Shift , n1 M+
xk , yk Shift , nk M+
ni  1 thì chỉ cần nhấn
xi , yi M+

Xóa màn hình hiển thị
Xác định:
 Hệ số tương quan
mẫu (r)
 Hệ số hằng: A
 Hệ số ẩn (x): B
Thoát khỏi gói Hồi quy

AC

Dòng CASIO ES
Shift Mode  4 1
Mode…(tìm)…STAT
A+BX
X
x1 =

Y
y1 =

FREQ
n1 =

xk =

yk =

nk =

AC

Shift 2

3=

Shift 1 7 3 =

Shift 2
Shift 2

1=
2=

Shift 1 7 1 =
Shift 1 7 2 =

Mode 1

Mode 1

Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì
không cần kích hoạt nữa.
……………………………………….

16



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×