Tải bản đầy đủ

Một số ứng dụng của đồng dư thức (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC


Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


i

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Kiến thức cơ bản về đồng dư thức . . . . . . . . . . . . .
1.2 Một vài áp dụng phổ biến của đồng dư thức trong số học
1.2.1 Nghiên cứu dấu hiệu chia hết . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Tìm số dư trong phép chia . . . . . . . . . . . . .
2 Một số ứng dụng của đồng dư thức
2.1 Thiết kế mô hình . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kiểm tra mã số của sách ISBN . . . . . .
2.3 Trò chơi xếp p quân hậu (tùy chọn) . . .
2.4 Giải đấu vòng tròn một lượt (tùy chọn) .
2.5 Tìm ngày, tháng, năm trong lịch vạn niên

ii
iii

.
.
.
.
.



.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

3
3
6
7
11

.
.
.
.
.

16
16
22
30
33
38

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46


ii

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hoàng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và trân trọng những công lao, sự quan
tâm, động viên và sự tận tình chỉ bảo, hướng dẫn của thầy trong suốt quá
trình tác giả thực hiện luận văn.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các giáo sư,
tiến sĩ đang công tác tại Viện toán học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên,
trường Đại học sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả đã
trau dồi thêm rất nhiều kiến thức để nâng cao trình độ của mình. Từ đáy
lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất cả các thầy, cô.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ quốc tế, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập, thực hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã tạo mọi điều kiện
giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn này.


iii

Danh sách hình vẽ
Stt Tên hình Trang
1
Hình 1
16
2
Hình 2
17
3
Hình 3
18
4
Hình 4
18
5
Hình 5
19
6
Hình 6
19
7
Hình 7
20
8
Hình 8
20
9
Hình 9
21
10 Hình 10
21
11 Hình 11
23
12 Hình 12
24
13 Hình 13
26
14 Hình 14
28
15 Hình 15
31
16 Hình 16
33
17 Hình 17
34
18 Hình 18
37


1

Mở đầu
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) được mệnh danh là "Ông vua toán học",
ông có những đóng góp lớn trong đại số, hình học, vật lý, và thiên văn học.
Disquisitiones Arithmeticae của ông đã đặt nền móng cho lý thuyết số
hiện đại. Gauss đã nói rằng, số học là thống soái của toán học. Một trong
những mối quan hệ đáng chú ý nhất trong lý thuyết số là quan hệ đồng dư,
việc phát minh ra kí hiệu đặc biệt ≡ của Gauss là một ví dụ nổi bật những
lợi thế mà có thể được bắt nguồn từ một ký hiệu thích hợp. Lý thuyết đồng
dư được Gauss đưa ra và giải quyết một cách có hệ thống chặt chẽ và được
ứng dụng rộng rãi trong toán học. Đồng dư thức là một phương pháp có
tính chất kỹ thuật giúp chúng ta bổ sung giải quyêt một số vấn đề trong số
học như: Chia hết trong vành số nguyên, tìm dư trong phép chia,... Đặc biệt
đồng dư thức còn được ứng dụng to lớn trong đời sống thực tế như: Trong
lĩnh vực truyền thông phát hiện và sửa các lỗi trong thông điệp truyền đi.
Kiểm tra chữ số thường được sử dụng để phát hiện các sai sót trong chuỗi
các chữ số thập phân như kiểm tra serial của tờ tiền giấy trong ngân hàng,
nhà xuất bản sách, thư viện, và các công ty... Với những công lao, đóng góp
lớn của Gauss, tờ tiền Mark của Đức đã in hình ảnh nhà toán học Gauss và
đường cong chuẩn tắc nổi tiếng của ông ấy. Chúng ta thường không nhận
thấy quan hệ đồng dư trong cuộc sống hàng ngày. Qua luận văn này ngoài
những ứng dụng đã biết tôi muốn nêu thêm một số ứng dụng của đồng dư
thức trong thực tiễn đời sống.
Nội dung của luận văn chia thành 2 chương đề cập đến các vấn đề sau
đây:
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản của đồng dư thức và một vài
áp dụng của đồng dư thức trong số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết,
tìm số dư trong phép chia. Chương này nghiên cứu các mối quan hệ đồng


2

dư. Các mối quan hệ đồng dư có liên quan chặt chẽ, nó được sử dụng xuyên
suốt lý thuyết số.
Chương 2: Một số ứng dụng của đồng dư thức trong thực tiễn đời sống.
Các ứng dụng của đồng dư thức, là một phần của cuộc sống hàng ngày: Ứng
dụng trong thiết kế mô hình, kiểm tra mã số của sách ISBN, trong chò chơi
xếp p quân hậu trên bàn cờ pxp, sắp lịch trong giải đấu vòng tròn một lượt,
tìm ngày, tháng, năm trong lịch vạn niên.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả

Trịnh Thị Kiều Vân


3

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Kiến thức cơ bản về đồng dư thức

Trong chương này, ta quy ước rằng tất cả các chữ "a, b, c, x, y, z . . ." biểu
thị số nguyên và tất cả các môđun "m, n, . . ." là các số nguyên dương.
Định nghĩa 1.1.1. (Định nghĩa đồng dư thức) Cho m là số nguyên. Số
nguyên a đồng dư với số nguyên b theo môđun m nếu m|(a − b). Kí hiệu
a ≡ b (mod m). Trường hợp ngược lại ta kí hiệu a ≡ b (mod m).
Tiếp theo ta nhắc lại một số tính chất của đồng dư thức.
Tính chất 1.1.2.
(i) a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi tồn tại k ∈ Z để a = b + km.
(ii) a ≡ b (mod m) khi và chỉ khi a và b chia cho m cùng được một số dư.
(iii) a ≡ a (mod m). (Tính chất phản xạ)
(iv) Nếu a ≡ b (mod m), thì b ≡ a (mod m).(Tính chất đối xứng)
(v) Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m). (Tính chất
bắc cầu)
Tính chất 1.1.3. Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d
(mod m) và ac ≡ bd (mod m).
Hệ quả 1.1.4.
(i) Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a − c ≡ b − d (mod m).
(ii) Nếu a ≡ b (mod m) và c là số nguyên bất kỳ, thì


4

a + c ≡ b + c (mod m),
ac ≡ bc (mod m),

a − c ≡ b − c (mod m),
a2 ≡ b2 (mod m).

(iii) Nếu a ≡ b (mod m), thì an ≡ bn (mod m) với n là số nguyên dương.
Tính chất 1.1.5.
(i) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).
(ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = d, thì a ≡ b (mod

m
d ).

Chứng minh. (ii) Giả sử ac ≡ bc (mod m), và có (c, m) = d. Ta có
m|(ac − bc), vì vậy ac − bc = km (k ∈ Z) nên c(a − b) = km. Chia cả hai
vế cho d ta được dc (a − b) = k md . Biết rằng ( dc , md ) = 1, do đó md |(a − b).
Vậy a ≡ b (mod m).
Tính chất 1.1.6. Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), ..., a ≡ b
(mod mk ), thì a ≡ b (mod [m1 , m2 , ..., mk ]).
Hệ quả 1.1.7. Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), . . . , a ≡ b (mod mk ),
với m1 , m2 , . . . , mk đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó

a ≡ b (mod m1 m2 . . . mk ).
Hệ quả 1.1.8. Mỗi số nguyên có ít nhất 0, 1, 2, ..., (m − 1) đồng dư theo
môđun m.
Ví dụ 1.1.9 (Tìm số thứ sáu ngày mười ba trong một năm). Đồng dư có
thể được sử dụng để tìm số thứ Sáu ngày mười ba trong một năm đã cho.
Dù có hay không thứ Sáu ngày mười ba xảy ra trong một tháng nhất định
phụ thuộc vào hai yếu tố: Thứ mà có ngày mười ba trong tháng trước và số
ngày trong tháng trước đó.
Giả sử đây là năm không nhuận và ta muốn tìm số ngày thứ Sáu trong
năm này, và giả sử ta biết ngày mười ba xảy ra vào tháng mười hai năm
ngoái. Lấy Mi là số tháng từ tháng mười hai năm ngoái đến tháng mười một
năm nay, và lấy Di là số ngày trong tháng Mi . Các giá trị của Di tương ứng
là 31, 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, và 30.
Ta đặt tên cho các ngày từ Chủ nhật đến thứ Bảy tương ứng bởi các số
từ 0 đến 6; Do đó ngày 5 là ngày thứ Sáu.


5

Ta có Di ≡ di (mod 7), trong đó 0 ≤ di < 7. Các giá trị tương ứng của
di là 3, 3, 0, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 2, 3, và 2. Mỗi giá trị của di biểu diễn số ngày
của ngày mười ba trong tháng Mi phải được cộng vào để tìm ngày mười ba
rơi vào tháng Mi+1 .
Chẳng hạn ngày 13 tháng 12 năm 2000, là một ngày thứ Tư. Vì vậy, ngày
13 tháng một năm 2001 là vào (3 + 3) = ngày 6, tức là ngày thứ Bảy.
i

dj (mod 7), trong đó 1 ≤ i ≤ 12. Khi đó, ti biểu diễn cho tổng

Lấy ti =
j=1

số ngày ngày 13 tháng mười hai phải được di chuyển để xác định ngày của các
thứ mười ba trong tháng Mi . Chẳng hạn, t3 ≡ d1 + d2 + d3 = 3 + 3 + 0 ≡ 6
(mod 7). Vì vậy, ngày 13 tháng 12 năm 2000 (thứ Tư), phải cộng thêm sáu
ngày để xác định ngày của 13 tháng ba năm 2001; Đó là ngày (3 + 6) =
ngày 2 = ngày thứ Ba.
Chú ý rằng nhiều giá trị khác nhau của ti theo môđun 7 là 3, 6, 6, 2, 4,
0, 2, 5, 1, 3, 6,và 1; Chúng bao gồm các thặng dư nhỏ nhất theo môđun 7.
Biết ngày 13 tháng 12, chúng ta có thể sử dụng các thặng dư nhỏ nhất để
xác định ngày mười ba của mỗi tháng Mi trong một năm không nhuận.
Bảng tóm tắt tương ứng với mỗi lựa chọn của ngày 13 tháng của mỗi
tháng trong một năm không nhuận, tương ứng với mọi lựa chọn của ngày 13
tháng 12 của năm trước. Từ bảng ta thấy có nhiều nhất ba ngày thứ Sáu
ngày 13 trong một năm không nhuận.

Đối với một năm nhuận, nhiều giá trị khác nhau của di là 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2,
3, 3, 2, 3, và 2; Các giá trị tương ứng của ti là 3, 6, 0, 3, 5, 1, 3, 6, 2, 4, 0, và
2. Từ đây chúng ta cũng có thể xây dựng một bảng tương tự cho một năm
nhuận.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full
















Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×