Tải bản đầy đủ

Ga phu dao

GA – phu đạo 10 - HK I

1

Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HP
§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Đònh nghóa :
Mệnh đề là một câu khẳng đònh Đúng hoặc Sai
.
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2.Mệnh đề phủ đònh:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là
mệnh đề phủ đònh của P
Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P
đúng
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3 ≤ 5 ”
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi
là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng

Q sai
Cho mệnh đề P ⇒ Q. Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh
đề đảo của P ⇒ Q 4. Mệnh đề tương đương
Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu
Q” gọi là mệnh đề tương đương , ký hiệu P ⇔ Q.Mệnh
đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5. Phủ đònh của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề
“∃ x∈X, P ( x ) ”
Phủ đònh của mệnh đề “ ∃ x∈ X, P(x) ” là mệnh
đề “∀x∈X, P ( x ) ”
Ví dụ:
Cho x là số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x):
“ x chia hết cho 3”
Ta có : • P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng
• P( x) : “ x không chia hết cho 6”
• Mệnh đề kéo theo P(x)⇒ Q(x) là mệmh đề
đúng.
• “∃ x∈ N*, P(x)” đúng có phủ đònh là “∀x∈ N*, P(x) ”
có tính sai
B: BÀI TẬP


GA – phu đạo 10 - HK I

2

Bài 1: Các câu sau dây, câu nào là mệnh đề, và
mệnh đề đó đúng hay sai :
a) Ở đây là nơi nào ?
b) Phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghiệm
c) x + 3 = 5
d) 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ đònh của các mệnh đề sau :
a) “Phương trình x2 –x – 4 = 0 vô nghiệm ”
b) “ 6 là số nguyên tố ”
c) “∀n∈N ; n2 – 1 là số lẻ ”
Bài 3: Xác đònh tính đúng sai của mệnh đề A , B và tìm
phủ đònh của nó :
A = “ ∀x∈ R : x3 > x2 ”
B = “ ∃ x∈ N , : x chia hết cho x +1”


Bài 4: Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và xét tính đúng sai
của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và
Q :“ Góc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng 2 cách và và xét
tính đúng sai của nó
a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD cắt
nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P : “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 92 + 1 là số
nguyên tố ”
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc
với BD”
b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác
đều”
c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu
mệnh đề đảo :
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A ⇒ B
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính
đúng sai của các mệnh đề sau:


3

GA – phu đạo 10 - HK I
a) P(1)

b) P(

1
)
3

c) ∀x∈N ; P(x)

d) ∃ x∈ N

; P(x)
Bài 8: Phát biểu mệnh đề A ⇒ B và A ⇔ B của các cặp
mệnh đề sau và xét tính đúng sai
a) A : “Tứ giác T là hình bình hành ”
B: “Hai cạnh đối
diện bằng nhau”
b) A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ” B: “ tứ giác có 3
góc vuông”
c) A: “ x > y ”
B: “ x 2 > y2” ( Với x y
là số thực )
d) A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy ”
B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và
lập phủ đònh của nó :
a) ∀x∈N : x2 ≥ 2x
b) ∃ x∈ N : x2 + x không chia hết cho 2
c) ∀x∈Z : x2 –x – 1 = 0
Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh
đề đảo đúng
a) A : “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó
chia hết cho 2”
b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác
đều ”
c) C: “ Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó
đều là số dương ”
d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 11:Phát biểu thành lời các mệnh đề ∀x: P(x) và ∃ x
: P(x) và xét tính đúng sai của chúng :
a) P(x) : “x2 < 0”
c) P(x) : “

x2 − 4
= x+ 2”
x−2

b)P(x) :“

1
> x + 1”
x

x) P(x): “x2-3x + 2 > 0”

§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN
TOÁN HỌC
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1:Trong toán học đònh lý là 1 mệnh đề đúng
Nhiều đònh lý được phát biểu dưới dạng “∀x∈X , P(x) ⇒
Q(x)”


GA – phu đạo 10 - HK I

4

2 Chứng minh phản chứng đinh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)”
gồm 2 bước sau:
- Giả sử tồn tại x0 thỏa P(x0)đúng và Q(x0) sai
- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến
mâu thuẫn
3: Cho đònh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)” . Khi đó
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
4: Cho đònh lý “∀x∈X , P(x) ⇒ Q(x)”
(1)
Nếu mệnh đề đảo “∀x∈X , Q(x) ⇒ P(x)” đúng được gọi là
dònh lý đảo của (1)
Lúc đó (1) được gọi là đònh lý thuận và khi đó có thể
gộp lại
“∀x∈X , P(x) ⇔ Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và
đủ để có Q(x)
B: BÀI TẬP :
Bài 1: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều
kiện cần”, “Điều kiện đủ”
a) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cùng
diện tích
b) Số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
c) Mộthình thang có 2 đường chéo bằng nhau là
hình thang cân
Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để
chứng minh :
a) Với n là số nguyên dương, nếu n2 chia hết cho 3
thì n chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng 2 là số vô tỷ
c) Với n là số nguyên dương , nếu n2 là số lẻ thì n
là số lẻ
Bài 3: Phát biểu các đònh lý sau bằng cách sử dụng
khái niệm “Điều kiện đủ ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng
vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng
đó song song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích
bằng nhau
c)Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia
hết cho 5


GA – phu đạo 10 - HK I

5

d)Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông
góc với nhau
Bài 4: Phát biểu các đònh lý sau đây bằng cách sử
dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song
song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song
song với nhau
b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc
tương ứng bằng nhau
c)số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4
và 6
d)Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng
nhau
Bài 5: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu a≠ b≠ c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
Bài 6 :Cho các đinh lý sau, đònh lý nào có đònh lý đảo,
hãy phát biểu :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia
hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương
ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng
nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2
chia 3 dư 1”

§3 TẬP HP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HP
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :


6

GA – phu đạo 10 - HK I

1. Tập hợp là khái niệm của toán học . Có 2 cách
trình bày tập hợp
Liệtkê các phần tử :
VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoặc N = { 0 ; 1; 2; . . . . ; n ; . . . . }
Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập
hợp ; dạng A = {{x/ P(x)}
VD : A = {x∈ N/ x lẻ và x < 6} ⇒ A = {1 ; 3; 5}
*. Tập con : A⊂ B ⇔(x, x∈A ⇒ x∈B)
Cho A ≠ ∅ có ít nhất 2 tập con là ∅ và A
2. các phép toán trên tập hợp :
Phép giao

Phép hợp

Hiệu của 2
tập hợp

A∩B = {x /x∈A
A∪B = {x /x∈A
A\ B = {x /x∈A và
và x∈B}
hoặc x∈B}
x∉B}
Chú ý: Nếu A ⊂ E thì CEA = A\ B = {x /x∈E và x∉A}
3. các tập con của tập hợp số thực
Tên gọi, ký
Tập hợp
Hình biểu diễn
hiệu
Đoạn [a ; b]
{x∈R/ a ≤ x ≤
b}
Khoảng (a ; b )

{x∈R/ a < x <

Khoảng (-∞ ; a)

b}

Khoảng(a ; + ∞)

{x∈R/ x < a}

Nửa khoảng [a

{x∈R/ a< x }
{∈R/ a ≤ x <

; b)

b}

Nửa khoảng (a

{x∈R/ a < x ≤

; b]

b}

Nửa khoảng (-

{x∈R/ x ≤ a}

∞ ; a]
Nửa khoảng [a

{x∈R/ a ≤ x }


GA – phu đạo 10 - HK I

7

;∞)

B: BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tập hợp A = {x∈ N / x2 – 10 x +21 = 0 hay x3 – x =
0} Hãy liệt kê tất cả các tập con của A chỉ chứa đúng
2 phần tử
Bài 2: Cho A = {x ∈R/ x2 +x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0}
B = {x ∈R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0 }
Xác đònh các tập hợp sauA ∩ B ; A \ B ; B \ A ; A∪B
Bài 3: Cho A = {x∈N / x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác đònh AUB ; A∩B ; A\B ; B\ A
b) CMR : (AUB)\ (A∩B) = (A\B)U(B\ A)
Bài 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x}
C = {x; y; 5}
Tìm các giá trò của cặp số (x ; y) để tập hợp A = B
=C
Bài 5: Xác đònh các tập hợp sau bẳng cách nêu tính
chất đặc trưng
A = {0 ; 1; 2; 3; 4}
B = {0 ; 4; 8; 12;16}
C = {-3 ; 9; -27; 81}
D = {9 ; 36; 81; 144}
E = Đường trung trực đoạn thẳng AB
F = Đường tròn tâm I cố đònh có bán kính = 5 cm
Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C bằng biểu đồ
Ven
A = {0 ; 1; 2; 3}
B = {0 ; 2; 4; 6}
C = {0 ; 3; 4;
5}
Bài 7 : Hãy liệt kê tập A, B:
A= {(x;x2) / x ∈ {-1 ; 0 ; 1}}
B= {(x ; y) / x2 + y2 ≤ 2 và
x ,y ∈Z}
Bài 8: Cho A = {x ∈R/ x ≤ 4} ; B = {x ∈R / -5 < x -1 ≤ 8 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn –
nửa khoảng
A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B)
Bài 9: Cho A = {x ∈R/ x2 ≤ 4} ; B = {x ∈R / -2 ≤ x +1 < 3 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn –
nửa khoảng
A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B)
Bài 10: Gọi N(A) là số phần tử của tập A . Cho N(A) = 25;
N(B)=29,
N(AUB)= 41.Tính N(A∩B) ; N(A\B); N(B\A)
Bài 11: a) Xác đònh các tập hợp X sao cho
{a ; b}⊂
X ⊂ {a ; b ;c ;d ; e} b) Cho A = (1 ; 2}; B = {1; 2; 3; 4; 5} Xác
đònh các tập hợp X sao cho A ∪ X = B


8

GA – phu đạo 10 - HK I

c) Tìm A; B bietá A∩ B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ;
9;10}
Bài 12: Cho A = {x∈R/ x ≤ -3 hoặc x >6 } B={x∈R / x2 – 25 ≤
0}
a) Tìm các khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \
( A∪B); R \ (A∩B) ; R \(A\B)
b)Cho C={x∈R / x ≤ a} ; D={x∈R / x ≥ b }. Xác đònh a và b
biết rằng
C∩B và D∩B là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và
9. Tìm C∩D
Bài 13: Cho A = {x ∈R/ x2 ≤ 4} ; B = {x ∈R / -3 ≤ x < 2 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa
khoảng A ∩ B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( A∪B)
Bài 14: Viết phần bù trong R của các tập hợp sau :
A= {x∈R / – 2 ≤ x < 1 0}
B= {x∈R / x> 2}
C=
{x∈R / -4 < x + 2 ≤ 5}
Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân
Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều
Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông
cân
Xác đònh tất cả các quan hệ bao hàm giữa các
tập hợp trên
Bài 16: Xác đònh các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A= { x∈Q / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0}
B= { x∈Z /
6x2 -5x + 1 =0}
C= { x∈N / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0}
D= { x∈N / x2

x ≤ 2 và x > -2}

> 2 và x < 4} E= { x∈Z /

Bài 17:Cho A = {x ∈Z / x < 4}
B = { x∈Z / (5x - 3x2)(x2 -2 x
- 3) = 0}
a) Liệt kê A ; B
b) CMR
(A ∪B) \ (A ∩B) = (A \ B) ∪ (B \ A)
Bài 18: Cho E = { x∈N / 1 ≤ x < 7}
A= { x∈N / (x2-9)(x2 – 5x
– 6) = 0 }
B = { x∈N / x là số nguyên tố ≤ 5}
a) Chứng minh rằng A⊂ E và B ⊂ E
b) Tìm CEA ; CEB ; CE(A∩B)
c) Chứng minh rằng :
E \ (A ∩B)= (E \A) ∪ ( E \B)
E \ ( A∪B) = ( E \A) ∩ ( E \ B)
Bài 19 :
a) Cho A ⊂ C và B⊂ D , chứng minh rằng (A∪B)⊂
(C∪D)
b) CMR : A \(B∩ C) = (A\B)∪(A\C)
2


GA – phu đạo 10 - HK I
c) CMR : A \(B∪ C) = (A\B)∩(A\C)

9


GA – phu đạo 10 - HK I

10

Chương II: HÀM SỐ
§1: Đại cương về hàm số
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1: Cho D ⊂ R. hàm số f xác đònh trên D là 1 quy tắc ứng
với mỗi x∈D là 1 và chỉ 1 số Khi đó f(x) gọi là giá trò
hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác đònh
2: Sự biến thiên hàm số Cho f(x) xác đònh trên K
f đồng biến ( tăng) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) <
f(x2)
f nghòch biến ( giảm) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1)
> f(x2)
3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
f gọi là chẵn trên D nếu ∀x∈D ⇒ -x ∈D và f(-x) = f(x), đồ
thò nhận Oy làm trục đối xứng
f gọi là lẻ trên D nếu ∀x∈D ⇒ -x ∈D và f(-x) = - f(x), đồ
thò nhận O làm tâm đối xứng
4: Tònh tiến đồ thò song song với trục tọa độ (NC)
Cho (G) là đồ thò của y = f(x) và p;q > 0; ta có
Tònh tiến (G) lên trên q đơn vò thì được đồ thò y = f(x) + q
Tònh tiến (G) xuống dưới q đơn vò thì được đồ thò y = f(x) – q
Tònh tiến (G) sang trái p đơn vò thì được đồ thò y = f(x+ p)
Tònh tiến (G) sang phải p đơn vò thì được đồ thò y = f(x – p)
B. VÍ DỤ :Tìm miền xác đònh và xét tính tăng , giảm của
2
hàm số y = f ( x) = x + 1 −
x −3
GIẢI.
D = R \ { 3} .
Xét tỉ số

T=

f ( x2 ) − f ( x1 )
2
= 1+
, ∀x1 , x2 ∈ D
x2 − x1
( x2 − 3).( x1 − 3)

 x1 − 3 < 0
∆y

>0
Ta có :Với x1 , x2 ∈ ( −∞ ;3) ⇒ 
x

3
<
0
∆x
 2
 x1 − 3 > 0
⇒T >0
Với x1 , x2 ∈ ( 3; +∞ ) ⇒ 
 x2 − 3 > 0
Vậy hàm số đã cho đồng biến trong ( −∞ ;3 ) ∪ ( 3; +∞ ) .
C:BÀI TẬP
Bài 1:Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:


11

GA – phu đạo 10 - HK I
a) y =

x −1
x2 − 1

b) y =

2x +1
2x − x −1
2

3x + 4

1
d) y = x + 8 + 2 x + 7 +
( x − 2) x + 4
1− x
Bài 2:Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
c) y =

a) y=

2x − 4 + 6 − x

b) y =

x2 − 6x + 8

9 − x2
 x +1
 x − 1 ; x < 0
1
c) y= x 2 − 4 + 2
d) y = 
x − 4x + 3
 2x ; x ≥ 0
 x + 2
Bài 3: Cho hàm số y = 5 − x + 2x + 3a
Đònh a để tập xác đònh của hàm số là đoạn thẳng có
độ dài = 2 đơn vò
 x
 x + 1 , x > 0
f ( x) =  3
Bài 4:Cho hàm số
 x +1 , −1 ≤ x ≤ 0
 x − 1
a) Tìm tập xác đònh của hàm số y=f(x).
b) Tính f(0), f(2),f(-3),f(-1).
Bài 5: Cho hàm số f ( x ) = x 2 + x − 1
a) Tìm tập xác đònh của hàm số.
b) Tính giá trò gần đúng của f(4), f ( 2), f (π ) chính xác đến
hàng phần trăm.
f ( x2 ) − f ( x1 )
Bài 6: Bằng cách xét tỉ số
, hãy nêu sự
x2 − x1
biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập
bảng biến thiên của nó) trên các khỏang đã cho:
a) y = x2 + 2x – 3 trên mỗi khỏang (−∞, −1) và (−1, +∞)
b) y = - x2 – 4x + 2 trên mỗi khỏang (−∞, −2) và (−2, +∞)
x
trên mỗi khỏang (−∞, −1) và (−1, +∞)
x +1
2x + 3
d) y =
trên mỗi khỏang (−∞, 2) và (2, +∞)
−x + 2
c) y =

Bài 7: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y = 3x 4 + 3 x 2 − 2
b) y = 2 x 3 − 5 x


12

GA – phu đạo 10 - HK I
c)

y=x x

d) y = 1 + x + 1 − x

Bài 8: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y = 1 + x − 1 − x
b) y = x( x - 2)
x+2 + x−2
1 − x2
d) y =
3
x +1 − x −1
x +x
Bài 9 : Cho hàm số y = f(x) có miền xác đònh là R . Tìm
công thức của hàm số đó biết rằng hàm số y = f(x)
vứa là hàm số chẵn , vừa lẻ
c) y =

−2
có đồ thò là (H)
x
a) Nếu tònh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vò thì ta được đồ thò
của hàm số nào?
b) Nếu tònh tiến (H) sang phải 2 đơn vò thì ta được đồ thò
của hàm số nào?
c) Nếu tònh tiến (H) lên trên 1 đơn vò, rồi sang trái 4 đơn
vò thì ta được đồ thò của hàm số nào?
Bài 10: Giả sử hàm số y =

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) có miền xác đònh R thỏa
f(x + y) = f(x) + f(y) , ∀x,y∈ R
a) Tính f(0)
b) CMR : y = f(x) là hàm số lẻ
Bài 12: Cho hàm số y = f(x) có miền xác đònh R thỏa
f(x + y) + f( x – y) = 2f(x).f(y) , ∀x,y∈ R
c) Tính f(0)
d) Xét tính chẵn lẻ của hàm số
§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1: Hàm số dạng y = ax = b , a;b∈ R và a≠ 0.
Hàm số bậc nhất có tập xác đònh D = R
a > 0 hàm số đồng biến trên R
a < 0 hàm số nghòch biến trên R
2. Bảng biến thiên :
X
y = ax +
b
(a > 0)

-∞
+∞
+∞
-∞

x
y = ax +
b
(a < 0)

-∞
+∞
+∞
-∞


13

GA – phu đạo 10 - HK I

B: VÍ DỤ.
Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thò của nó đi qua 2
điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).
Vẽ đồ thò và lập bảng biến thiên của hàm số
y = g ( x) = − f ( x) .
Giải
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b , a ≠ 0 .
b = 4
a = 2
⇔
Đồ thò hàm số qua điểm A , B ⇔ 
2 = −a + b
b = 4
Vẽ đồ thò hàm g ( x) = − 2 x + 4 , ta vẽ đồ thò hai hàm số y=
2x+4 và y=-2x-4 trên cùng 1 hệ trục tọa độ ,rồi bỏ đi
phần phía trên trục Ox.
Vẽ đồ thò hàm
g ( x) = − 2 x + 4

Bảng biến thiên.

C: BÀI TẬP
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trò của k sao
cho đồ thò của hàm số y = -2x +k(x+1)
a) Đi qua gốc tọa độ O.
b) Đi qua điểm M(-2,3)
c) Song song với đường thẳng y = 2 x
Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau, xác đònh a và b sao cho
đường thẳng y= ax+b
a) Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hòanh độ bằng
-2 và cắt đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ
bằng -2.


14

GA – phu đạo 10 - HK I
b)Song song với đường thẳng y =

1
x và đi qua giao điểm
2

1
của hai đường thẳng y = − x + 1 và y= 3x+5.
2
Bài 3: a) Cho điểm A( xo , yo ) , hãy xác đònh tọa độ của
điểm B, biết rằng B đối xứng với A qua trục hòanh .
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng y=x-2 và y=2-x đối
xứng với nhau qua trục hòanh.
c) Tìm biểu thức xác đònh hàm số y=f(x), biết rằng đồ
thò của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng
y= -2x+3 qua trục hòanh .
Bài 4: a) Tìm điểm A sao cho đường thẳng y=2mx+1-m
luôn đi qua A, dù m lấy bất kỳ giá trò nào.
b) Tìm điểm B sao cho đường thẳng y=mx-3-x luôn đi
qua B, dù m lấy bất
kỳ giá trò nào.
Bài 5: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trò của m sao
cho
a) Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và mx+5 phân biệt và
đồng quy.
b) Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân
biệt và
đồng quy.
Bài 6: Cho Cho 2 đường thẳng ∆1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ;
∆2 : y = (m – 2) x + m + 4
Tìm 2 điểm cố đònh của 2 đường thẳng
a)
Đònh m để đồ thò ∆1 song song với ∆2
b)
Bài 7: Cho (H) là đồ thò hàm số y = 3x 
a) Khi tònh tiến (H) sang phải 4 đơn vò, ta được đồ thò
hàm số nào ?
b) Khi tònh tiến (H) lên trên 2 đơn vò, ta được đồ thò
hàm số nào ?
c) Khi tònh tiến (H) sang trái 3 đơn vò,rồi tònh tiến
lên trên 2 đơn vò ;
ta được đồ thò hàm số nào ?


15

GA – phu đạo 10 - HK I

§3:HÀM SỐ BẬC HAI
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Hàm số có dạng y = ax2 + bx
a>0
• Tập xác đònh là R
b

• Đỉnh I ( −
;−
)
2a
4a
• Hàm số NB trên khoảng (
b
-∞; −
)
2a
và ĐB trên khoảng (
b

; +∞)
2a
• Bảng biến thiên
x
b
-∞

2a
+∞
y
+∞
+∞


4a
• Trục đối xứng là đường x
b
= −
2a

+ c với a ; b; c∈ R và a ≠ 0
a<0
• Tập xác đònh là R
b

• Đỉnh I ( −
;−
)
2a
4a
• Hàm số ĐB trên khoảng
b
(-∞; −
)
2a
và NB trên khoảng (
b

; +∞)
2a
• Bảng biến thiên
x
b
-∞

2a
+∞
y


4a
-∞
-∞
• Trục đối xứng là đường x
b
= −
2a

B .Ví dụ. Xác đònh hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c biết
đồ thò của nó
1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm
có tung độ là 4.
2) Có đỉnh là (-1;-2)
3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2).


16

GA – phu đạo 10 - HK I
−b −b
=
⇔ b = −4
2a
4
Cắt trục tung tại (0;4) ⇔ 4 = y (0) = c

GIẢI. 1) Trục đối xứng

x =1=

−b −b

 x = 2a = 4 = −1 ⇔ b = 4
2) Đỉnh 
2
 y = − b − 4ac = − 16 − 8c = −2 ⇔ c = 0

4a
8
−b −b
=
= 2 ⇔ b = −8
3) Hoành độ đỉnh x =
2a
4
Đồ thò qua điểm (1;-2) ⇔ −2 = y (1) = −6 + c ⇔ c = 4 .

C: BÀI TẬP
Bài 1: Xác đònh phương trình Parabol:
3
2
b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2
c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)
d) y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)e) y = x2 + bx
+ c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ
đỉnh yI = - 1
2
Bài 2:Cho hàm số y = x 2 có đồ thò là parabol(P). Phải
3
tònh tiến (P) như thế nào để được đồ thò của hàm số
a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =

a) y = 2 x + 7
2

d ) y = 2( x − 4) 2

b) y = 2 x − 5
2

e) y = 2( x − 2) 2 + 5

c ) y = 2( x + 3)

2

f ) y = 2x2 − 6x + 1

Bài 3:Không vẽ đồ thò, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục
đối xứng của mỗi parabol sau đây. Tìm giá trò nhỏ nhất
hay lớn nhất của mỗi hàm số tương ứng
a) y = 2( x + 3) 2 − 5
b) y = −(2 x − 1) 2 + 4
c) y = − 2 x 2 + 4 x
Bài 4: Vẽ đồ thò của hàm số y = − x 2 + 5 x + 6 . Hãy sử dụng
đồ thò để biện luận theo tham số m số điểm chung của
parabol y = − x 2 + 5 x + 6 và đường thẳng y=m
Bài 5: Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc
tọa độ
a)Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol,
biết rằng nó song song với trục tung.
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng
trong câu a).


GA – phu đạo 10 - HK I

17

c) Tìm hàm số có đồ thò là parabol đã cho.
Bài 6:
2
a) Ký hiệu (P) là parabol y = ax + bx + c, a ≠ 0 . Chứng minh
rằng nếu một đường thẳng song song với trục hòanh, cắt
(P) tại hai điểm phân biệt A và B thì trung điểm C của đọan
thẳng AB thuộc trục đối xứng của parabol (P).
b) Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thò
(P) của một hàm số bậc hai tại hai điểm M(-3,3) và N(1,3).
Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol (P).
Bài 7:Hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có giá trò nhỏ
3
1
nhất bằng
khi x = và nhận giá trò bằng 1 khi x=1.
4
2
a)Xác đònh các hệ số a,b và c. Khảo sát sự biến
thiên ,vẽ đồ thò (P) của hàm số vừa nhận được .
b) Xét đường thẳng y=mx, ký hiệu bởi (d). Khi (d) cắt
(P) tại hai điểm A và B phân biệt, hãy xác đònh tọa độ
trung điểm của đọan thẳng AB.
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
1) Chứng minh rằng y= 0 là hàm số duy nhất xác đònh
trên R và có đồ thò nhận trục hòanh làm trục đối xứng.
2) Giả sử y=f(x) là hàm số xác đònh trên tập đối xứng
S (nghóa là x ∈ S thì -x ∈ S).Chứng minh rằng :
1
a/ Hàm số F(x)= [f(x) + f(-x)] là hàm số chẵn xác đònh
2
trên S.
1
b/ Hàmsố G(x)= [f(x) - f(-x)}là hàm số lẻ xác đònh trên
2
S.
3) Gọi A vàB là hai điểm thuộc đồ thò của hàm số
f(x)=(m-1)x +2 và có hòanh độ lần lượt là -1 và 3.
a/ Xác đònh tọa độ của hai điểm A và B.
b/ Với điều kiện nào của m thì điểm A nằm ở phía trên
trục hòanh ?
c/ Với điều kiện nào của m thì điểm B nằm ở phía trên
trục hòanh ?
d/ Với điều kiện nào của m thì hai điểm A và B cùng
nằm ở phía trên trục hòanh? Từ đó hãy trả lời câu
hỏi : Với điều kiện nào của m thì f(x) > 0 với mọi x thuộc
đọan [-1,3] ?
4) Cho hàm số y = - 3x2 có đồ thò là parabol (P).
a/ Nếu tònh tiến (P) sang phải 1 đơn vò rồi tònh tiến
parabolvừa nhận được xuống dưới 3 đơn vò thì ta được đồ
thò của hàm số nào?


GA – phu đạo 10 - HK I

18

b/ Nếu tònh tiến (P) sang trái 2 đơn vò rồi tònh tiến parabol
vừa nhận được lên trên 2 đơn vò thì ta được đồ thò của
hàm số nào?
5)Tìm hàm số bậc hai có đồ thò là parabol (P), biết rằng
đường thẳng y= -2,5 có một điểm chung duy nhất với (P)
và đường thẳng y=2 cắt (P) tại hai điểm có hòanh độ là
-1 và 5. Vẽ parabol (P) cùng các đường thẩng y=-2,5 và
y=2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Các phép biến đổi tương đương của phương trình:
• Thực hiện các phép biến đổi trong từng vế nhưng không
làm thay đổi tập xác đònh của
phương trình
• Dùng quy tắc chuyển vế
• Nhân hai vế của phương trình với cùng một biểu thức
xác đònh và khác 0 với mọi giá trò
của ẩn thuộc tập xác đònhcủa phương trình
• Bình phương hai vế của phương trình có hai vế luôn luôn
cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trò
thuộc tập xác đònh của phương trình
2.Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :
• Bình phương hai vế của một phương trình ta đi đến phương
trình hệ quả
B: BÀI TẬP :


19

GA – phu đạo 10 - HK I

Bài 1: Tìm điều kiện của mỗi phương trình sau rồi suy ra
tập nghiệm
a) x - x − 3 = 3 − x + 3
b) − x 2 + 4 x − 4 = x2 – 4 c) x - 1 − x =
−2 − x
Bài 2:.Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng
cách xét điều kiện
a) 4 − x - 2 = x - x
b) 3 x + 2 = 2 − x + 2 2
Bài 3:.Giải các phương trình sau :
a) x + x = x - 1
b) x2 +

2−x =

2−x + 9

Bài 4:.Giải phương trình sau bằng cách phép biến đổi
phương trình hệ quả
a) 2x + 3  = 1
b) 2 – x  = 2x - 1
c) 3x − 2 = 1 -2x
d) 5 − 2x = x − 1
Bài 5:.Tìm điều kiện xác đònh của phương trình hai ẩn rồi
suy ra tập nghiệm của nó
− x 2 − ( y + 1) 2 + xy = (x+1)(y+1)

§2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giải và biện luận phương trình dạng ax+b = 0
b
• a ≠ 0: Phương trình có nghiệm duy nhất x= 
a
• a = 0 và b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm
• a = 0 và b=0: Phương trình nghiệm đúng với
mọi x∈R
2.Giải và biện luận phương trình dạng
ax2+bx+c = 0
• a= 0 :Trở về giải và biện luận phương trình
bx + c = 0
• a ≠ 0 . Lập ∆= b2  4ac
Nếu ∆ > 0:phương trình có hai nghiệm phân
biệt
−b − ∆
−b + ∆
x=
v x=
2a
2a


GA – phu đạo 10 - HK I

20

Nếu ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép : x =
−b
2a
Nếu ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm
B. VÍ DỤ :
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình : m(x - m ) = x +
m- 2
(1)
Giải :
phương trình (1) ⇔ (m - 1)x = m2 + m - 2
Ta xét các trường hợp sau đây :
1)Khi (m-1) ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 nên phương trình (1) có nghiệm duy
nhất
m2 + m − 2
x=
=m-2
m −1
2)Khi (m – 1) = 0 ⇔ m = 1 . phương trình (1) trở thành 0x = 0:
phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ R
Kết luận : m ≠ 1 : Tập nghiệm là S = {m - 2}
m = 1 : Tập nghiệm là S = R
Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình theo tham số m :
(m + 1)x2 - (2m + 1)x + (m - 2) = 0
Giải :
Với m = - 1 , phương trình có nghiệm x = 3
Với m ≠ - 1 Lập ∆ = 8m + 9
9
Do đó m < thì phương trình vô nghiệm
8
9
m=phương trình có ngiệm kép x = 5
8
Với m∈ (x=

9
; 1)∪ (1; +∞), phương trình có hai nghiệm
8

2m + 1 − 8m + 9
2 m + 1 + 8m + 9
;x=
2(m + 1)
2(m + 1)

C:. BÀI TẬP :
Bài 1:. Giải và biện luận các phương trình sau :
a) (m2+2)x - 2m = x -3
b) m(x -m+3) = m(x
-2) + 6
c) m2(x- 1) + m = x(3m -2)
d) m2x = m(x + 1) -1


21

GA – phu đạo 10 - HK I
e) m2(x – 3) +10m = 9x + 3
f) m3x –m2 -4 = 4m(x – 1)
2
g) (m+1) x + 1 – m = (7m – 5)x
h) a2x = a(x + b) – b
2
2
2
2
i) (a + b) x + 2a = 2a(a + b) + (a + b )x
Bài 2:
a) Đònh m để phương trình (m2- 3)x = -2mx+ m- 1 có tập
nghiệm là R
b) Đònh m để phương trình (mx + 2)(x + 1) = (mx + m2)x có
nghiệm duy nhất
c)Đònh a ; b đề phương trình (1 – x)a + (2x + 1) b= x + 2
vô số nghiệm
d) Đònh m để phương trình m2x = 9x +m2 -4m + 3 vô số
nghiệm ∀x∈R
Bài 3: Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
a)mx2 + 2x + 1 = 0
b)2x2 -6x + 3m - 5 = 0
c)(m2 - 5m -36)x2 - 2(m + 4)x + 1 = 0
Bài 4: Cho a ; b ; c là 3 cạnh của ∆. Chứng minh rằng
phương trình sau vô nghiệm
a2x2 + (c2 – a2 –b2)x +b2 = 0

Bài 5: Cho a ; b ; c ≠ 0 và 3 phương trình
ax2 +2bx + c = 0
2
bx +2cx + a = 0
cx2 +2ax + b = 0
CMR ít nhất 1 trong 3 phương trình có nghiệm
Bài 6: Cho phương trình : x2 + 2x = a. Bằng đồ thò , tìm các
giá trò của a để phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 1.
Khi đó , hãy tìm nghiệm lớn hơn 1 đó
Bài 7: Giả sử x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình : 2x2 11x + 13 = 0. Hãy tính :
2

a) x13 + x23
2

b) x14 + x24

c) x14 - x24

x 
d)  1 ÷ +
 x2 

 x2 
 ÷
 x1 
Bài 8:Các hệ số a, b , c của phương trình trùng phương : ax4
+ bx2 + c = 0 phải thỏa điều kiện gì để phương trình đó
a)Vô nghiệm
b) Có một nghiệm
c)
Có hai nghiệm
d) Có ba nghiệm
e) Có bốn nghiệm


GA – phu đạo 10 - HK I

22

Bài 9: Giải và biện luận:
a) (m-2)x2 -2(m-1)x +m – 3 = 0
b) (m-1)x2 -2mx +m +1 = 0
Bài 10: Cho phương trình : x2 -2(m-1)x +m2 – 3m = 0
a)Đònh m để phương trình có nghiệm x1 = 0. Tính nghiệm x2.
b)Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2
thỏa x12 +x22 = 8
Bài 11: Cho phương trình : mx2 -2(m-3)x +m – 6 = 0
a) CMR: phương trình luôn có nghiệm x1 = 1 ; ∀m. Tính
nghiệm x2.
b) Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa
1 1
+ = −1
x1 x2
c) Đònh m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu có giá trò
tuyệt đối bằng nhau
Bài 12: Giả sử phương trình ax2 +bx + c = 0 có 2 nghiệm
dương phân biệt x1 ; x2.
a) CMR phương trình cx2 +bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm
dương phân biệt x3 ; x4. b) CMR x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4
Bài 13: Cho phương trình (m +2)x2 -2(4m – 1)x -2m + 5=0
a) Đònh m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm
kép đó
b) Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm . suy
ra nghiệm câu a
Bài 14: Cho 2 số x1; x2 thỏa hệ
(x1+ x2) - 2 x1 x2 = 0
m x1x2 – (x1+ x2) = 2m + 1
(Với m≠ 2)
a) lập phương trình có 2 nghiệm x1; x2
b) Đònh m để phương trình có nghiệm
c) Đònh m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 2
cạnh tam giác vuông có cạnh huyền = 2
Bài 15: Cho 2 phương trình x2 +b1x + c1 = 0 và x2 +b2x + c2 =
0 thỏa b1b2 ≥ 2(c1 + c2 )Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2
phương trình có nghiệm
Bài 16: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0
a) Đònh m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12 + x22
= 20
b) Đònh m để phương trình có nghiệm kép. Tính
nghiệm kép đó


23

GA – phu đạo 10 - HK I

c) Tìm hệ thức độc lập giữa 2 nghiệm. Suy ra giá
trò nghiệm kép
§3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG
TRÌNH

BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1/ Phương trình dạng: ax + b = cx + d
 ax + b = cx + d
Cách 1: pt ⇔ 
ax + b = −(cx + d)
Cách 2: ax + b = {cx + d{ ⇔ (ax + b)2 = (cx +
d)2
2/ Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở
mẫu thức
Phương pháp:
 Đặt điều kiện để mẫu thức khác 0
 Quy đồng mẫu thức. Giải và biện luận
phương trình thu được
3/ Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn
số phụ
Phương pháp:Biến đổi biểu thức có trong
phương trình, đặt ẩn số phụ để chuyển phương trình
đã cho về phương trình bâc hai
B- VÍ DỤ
Ví du 1: Giải và biện luận phương trình

mx − m + 1
=3
x+2

Giải
Điều kiện: x ≠ -2
Với điều kiện phương trình ⇔ mx-m+1 = 3x + 6 ⇔ (m-3)x =
m+5 (1)
Biện luận:
m+5
 m ≠ 3 (1) ⇔ x =
≠ −2 ⇔ m + 5 ≠ -2m + 6 ⇔ -2m + 6 ⇔ m ≠
m −3

1
3

 m = 3 (1) ⇔ 0x = 8 : Phương trình vô nghiệm
Kết luận: m = 3 hoặc m =

1
3

: Phương trình vô nghiệm


24

GA – phu đạo 10 - HK I
m ≠ 3 và m ≠

1
3

: Phương trình có nghiệm duy nhất

m+5
m−3
Ví dụ 2 : Giải phương trình 2x − x 2 + 6x 2 − 12x + 7 = 0 (1)
2
2
Giải: Đặt t =
6 x 2 − 12 x + 7 ≥ 0 ⇒ t = 6x - 12x + 7 ⇒
x=

2x − x 2 =

7 − t2
6
7 − t2
+ t = 0 ⇔ -t2 + 6t + 7 = 0
6
t = 7

6x 2 − 12 x + 7 = 7
⇔
 t = −1 (loại) ⇔ x 2 − 2 x − 7 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 2

Lúc này (1) ⇔

C: BÀI TẬP:
Bài 1: Giải và biện luận các phương trình
a) mx - x + 1 = x + 2
b) mx + 2x - 1 = x
c) mx - 1 = 5
d) 3x + m = 2x - 2m
Bài 2: Tìm các giá trò tham số m sao cho phương trình mx2=x+4có nghiệm duy nhất
Bài 3: Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là
những tham số)
a
1
mx − m − 3
+
=1
a)
b)
=1
x − 2 x − 2a
x +1
3x + k x − k
x+m
x−2
=
c)
d)
+
=2
x −3
x +3
x −1
x
x+m
x−2
x−2
1− x
e)
+
=2
f
)
+
=
x+m
x−m
x−2
x+m

2(x − m) − 2
m2 − x 2

Bài 4:Giải các phương trình
b) x 2 + 6x + 9 = 2x − 1
x2 + x +1 = 3 − x
Bài 5: Giải và biện luận các phương trình
2a − 1
a) (mx + 1) x − 1 = 0
b)
=a−2
x−2
Bài 6:Giải các phương trình (bằng cách đặt ẩn phụ)
a) 4x2 - 12x - 5 4x 2 − 12x + 11 = 0
b) x2 + 4x - 3 x + 2 + 4 = 0
a)


25

GA – phu đạo 10 - HK I

c) 4x2 +

1
1
+ 2x − − 6 = 0
x2
x

d) x2 – x +

x 2 − x + 9 =3

e) x2 + 2 x 2 − 3x + 11 =3x + 4
f) x2 +3 x - 10 + 3 x(x + 3) = 0
Câu 7: Đònh tham số để phương trình
x+m
x +1
x+2
x −1
a)
=
có nghiệm duy nhất)
+
=2
x +1
x −1
x−m
x
vô nghiệm

§4:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) Đònh nghóa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có
dạng:
ax +by =c
Với a2 + b2 ≠ 0, a’2 + b’2 ≠ 0

a'x +b'y =c'
Tính:
Dy =

D=

a b
= ab' - a'b ;
a' b'

Dx =

c b
= cb' - c'b ;
c' b'

a c
= ac' - a'c
a' c'

Dx

 x = D
 D ≠ 0 : Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với 
 y = Dy

D
Dx ≠ 0
 D = 0 và  D ≠ 0 : Hệ vô nghiệm
 y
 D = Dx = Dy = 0 : Hệ có vô số nghiệm (x; y) tính theo
− by + c

 x∈R
x =

a
công thức 
(a ≠ 0) hoặc  y = −ax + c (nếu b ≠ 0)
 y ∈ R

b
II ) Phương pháp giả hệ phương trìnhbậc nhất ba
ẩn :
 a1 x + b1 y + c1 z = d1

 a2 x + b2 y + c2 z = d 2
Dạng
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3
 Chọn một phương trình, biểu diễn một ẩn theo hai ẩn
còn lại


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×