Tải bản đầy đủ

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC

BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO - CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC
Câu 1:
đúng:

(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức
z1  z2
0
z

z
1
2
A.
.
z1  z2
C. z1  z 2 là số thực.

z1 , z2

khác nhau thỏa mãn:


z1  z2 .

Chọn phương án

z1  z2
B. z1  z2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 .
z1  z2
D. z1  z2 là số thuần ảo.

z  3  4i �2.
(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Trong mặt phẳng
Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích
A. S  9 .
B. S  12 .
C. S  16 .
D. S  25 .
z  3i  z  2  i .
Câu 3:
(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
Tìm số phức
có môđun nhỏ nhất?
1 2
1 2
z  i
z  i
5 5 .
5 5 .
A. z  1  2i .
B.
C.
D. z  1  2i .
Câu 2:

z 3  z 3  8
Câu 4: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt giá
z.
trị lớn nhất và nhỏ nhất
Khi đó M  m bằng


A. 4  7.
B. 4  7.
C. 7.
D. 4  5.
z  2  3i  1
(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất của

Câu 5:
z 1 i


A. 13  2 .

B. 4 .
z1 , z2 , z3

Câu 6:
(THTT – 477) Cho
định nào dưới đây là sai ?
A.
C.
Câu 7:
đúng?

Câu 8:

D. 13  1 .
z  z2  z3  1.
z z z 0
là các số phức thỏa mãn 1 2 3
và 1
Khẳng
C. 6 .

z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

B.

z13  z23  z33 �z13  z23  z33 .
(THTT – 477) Cho

z1 , z2 , z3

D.
là các số phức thỏa

z13  z23  z33 �z13  z23  z33 .
z13  z23  z33 �z13  z23  z33 .
z1  z2  z3  1.

Khẳng định nào dưới đây là

A.

z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

B.

z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

C.

z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

D.

z1  z2  z3 �z1 z2  z2 z3  z3 z1 .

(THTT – 477) Cho
A.

P  z   0.

P z

P  z  0
là một đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn
thì
�1 �
�1 �
P � � 0.
P � � 0.
P  z   0.
B. �z �
C. �z �
D.


Câu 9:
đúng?

z �1
(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn
. Đặt
A.
y

Q

A �1

.

B.

A �1

.

C.

Câu 10: (CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phức z thỏa mãn

A 1

z 

A

.

2z  i
2  iz . Mệnh đề nào sau đây
D.

A. điểm Q .
C. điểm N .

.

2
2 và điểm A trong hình vẽ

M
A
bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
O trong bốnxđiểm M , N , P , Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là
là một
N

A 1

w

1
iz

B. điểm M .
D.điểm P .

P

A  1

z 1
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 5.
B. 4.
C. 6.

5i
.
z

D. 8.

z  2z  3i
z2  2 , trong đó z là số phức thỏa mãn
Câu 12: Gọi M là điểm biểu diễn số phức
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuur
Ox
,
ON

2



Ox
,OM
 2 i   z  i   3 i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho
, trong đó

Ox
OM
N
góc lượng giác tạo thành khi quay tia
tới vị trí tia
. Điểm
nằm trong góc phần tư nào?





A. Góc phần tư thứ (I).
C. Góc phần tư thứ (III).







B. Góc phần tư thứ (II).
D. Góc phần tư thứ (IV).

z 1
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức
M  z2  z  1  z3  1.

A. M max  5; M min  1.
C. M max  4; M min  1.
Câu 14: Cho số phức z thỏa
3
.
A. 4

B. M max  5; M min  2.
D. M max  4; M min  2.
P

z � 2

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2
.
B. 1.
C. 2 .
D. 3
4

Câu 15: Gọi z1, z2 , z3 , z4









�z  1 �
�2z  i � 1.

là các nghiệm của phương trình �
Tính giá trị biểu thức



P  z12  1 z22  1 z32  1 z42  1

A. P  2.

z i
z .

.
B.

P

17
.
9

C.

P

16
.
9

D.

P

15
.
9

z  1 2i  3
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.


26 6 17.

A.

B.

26 6 17.

26 8 17.

C.

D.

26  4 17.

z 1
P  1 z  31 z .
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 3 15

B. 6 5

20

C.

D. 2 20.

z  1.
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

P  z  1  z2  z  1.

Tính giá trị của M .m.

13 3
.
A. 4

39
.
B. 4

13
.
D. 4

C. 3 3.
z�


1 i
z;  z �0
2
trên mặt phẳng tọa độ (

Câu 19: Gọi điểm A , B lần lượt biểu diễn các số phức z và
A , B, C và A �
, B�
, C�đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại O.
C. Tam giác OAB vuông cân tại B.
D. Tam giác OAB vuông cân tại A.
z2  4  2 z .
Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Khẳng định nào sau đây là đúng?

31
3 1
�z �
.
6
A. 6
C.

B.

5  1�z � 5  1.

21
21
�z �
.
3
D. 3

6  1�z � 6  1.

z  1 2i  2
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
9  4 5.

A.

B.

11 4 5

6 4 5

C.

D.

5 6 5

Câu 22: Cho A , B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức
1 2i ; 1 3  i ; 1 3  i ; 1 2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I . Tâm I biểu diễn số phức nào sau

đây?
A. z  3.

B. z  1 3i.

C. z  1.

D. z  1.

z   2 i 
Câu 23: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức
uuuur
góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính cos2 .

A.



425
.
87

475
.
B. 87

C.



475
.
87

Câu 24: Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn
số phức z1.

z1
��
z22

2

 4 i 

và gọi  là

425
.
D. 87



z1  z2  2 3.

Tính môđun của


A.

z1  5.

B.

z1  3.

C.

z1  2.

D.

z1 

5
.
2

m

�2  6i �
z�
�,
1;50�
3

i

�để z là số thuần ảo?

� m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m��
Câu 25: Cho số phức
A.24.
B.26.
C.25.
D.50.

z2  1
z 1
Câu 26: Nếu
thì z
A. lấy mọi giá trị phức.
C. bằng 0.

B. là số thuần ảo.
D. lấy mọi giá trị thực.

 1 i  z  6 2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn
A. 4 5
Câu 28: Gọi

z  x  yi   x, y �R 

đạt giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
9
xy  .
4
A.

B. 3 5.

D. 3 5

C. 3.
2

là số phức thỏa mãn hai điều kiện

B.

xy 

13
.
2

C.

xy 

z  2  z  2  26

16
.
9

z1
z i
1
 1?
i

z
2

z
z
Câu 29: Có bao nhiêu số phức thỏa

A.1.
B.2.
C.3.

z

2



3
2



3
2

i

9
xy  .
2
D.

D.4.

z ;  z1.z2 �0
Câu 30: Gọi điểm A , B lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; 2
trên mặt phẳng tọa độ ( A , B, C
2
2
, B�
, C�đều không thẳng hàng) và z1  z2  z1.z2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
và A �
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại O.
C. Tam giác OAB vuông cân tại B.
D. Diện tích tam giác OAB không đổi.

Câu 31: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
A.

5

B. 3 5.

z  2  4i  z  2i

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i.

C. 3 2

D. 3 2

4
2
Câu 32: Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm
thực.

2
A. m  4n  0.

C.


m2  4n �0

m 0
.


n 0


2
B. m  4n  0 hoặc

2
D. m  4n  0 hoặc


m2  4n  0

m 0


n 0


.


m2  4n �0

m 0


n 0


.


z2  a
z  a;  a  0
Câu 33: Nếu
thì z
A. lấy mọi giá trị phức.
C. bằng 0.

B. là số thuần ảo.
D. lấy mọi giá trị thực.

z  1 2i  3
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1 i.
C. 2.
D. 2.
2z  z  1 i

z2  i
Câu 35: Gọi M là điểm biểu diễn số phức
, trong đó z là số phức thỏa mãn
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuur
Ox
,
ON

2



Ox
,OM
1

i
z

i

2

i

z
  
. Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho
, trong đó

góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?
A. 4.

B. 2 2.



A. Góc phần tư thứ (I).
C. Góc phần tư thứ (III).







B. Góc phần tư thứ (II).
D. Góc phần tư thứ (IV).
2

z  3 4i  5
M  z 2  z i
Câu 36: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu thức
đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i.

A.
C.

z  i  2 41

B.

z i  5 2

D.

2

z  i  3 5.
z  i  41.

, z�
, z�
, B�
, C�lần lượt biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 và z1�
2
3 trên mặt
Câu 37: Các điểm A , B, C và A �
 z�
 z3�
, B�
, C�đều không thẳng hàng). Biết z1  z2  z3  z1�
2
phẳng tọa độ ( A , B, C và A �
, khẳng định nào
sau đây đúng?
B��
C bằng nhau.
A. Hai tam giác ABC và A �

��
B. Hai tam giác ABC và A B C có cùng trực tâm.
B��
C có cùng trọng tâm.
C. Hai tam giác ABC và A �

��
D. Hai tam giác ABC và A B C có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp.

z   2  3i   1 i 
Câu 38: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức
và gọi  là
uuuur
góc tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính sin 2 .
5
5
12
12
 .
.
.
 .
A. 12
B. 12
C. 5
D. 5
 m i
z
, m��
1 m m 2i 
Câu 39: Cho số phức
. Tìm môđun lớn nhất của z.
1
A. 1.
B. 0.
C. 2 .
D.2.
1
.
z

m
;
m

0


Câu 40: Cho số phức z có
. Với z �m; tìm phần thực của số phức m z
A. m.

1
.
B. m

1
.
C. 4m

1
.
D. 2m


Câu 41: Cho số phức

z1, z2

thỏa mãn

z1 = 3 z2 = 2
,
được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các

z1 + z2
uuur uuur
p
� OM ,ON =
6 , tính giá trị của biểu thức z1 - z2 .
điểm M , N . Biết

(

A.

)

13

7 3
C. 2

B. 1

1

D.

Câu 42: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn z �� thỏa mãn
tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức

w   3  4i  z  1  2i

13

 2  i

z 

10
 1  2i
z
. Biết

là đường tròn I , bán kính R . Khi đó.

I  1; 2  , R  5.
I  1; 2  , R  5.
I  1; 2  , R  5.
I  1; 2  , R  5.
A.
B.
C.
D.
Câu 43: ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình
vẽ:
y

1
z

i

z?
Hỏi hình nào biểu diễn
O cho số1phức x

y


11



A.
O

1

O

1

x

C.

x

y
11

B.
OO



D.
11

xx


z + 3 + 4i = 2
z
Câu 44: (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong các số phức z thỏa
, gọi 0 là số phức có mô
đun nhỏ nhất. Khi đó
z =2
z
A. Không tồn tại số phức 0 .
B. 0
.
z =7
z =3
C. 0
.
D. 0
.


z  2  2i  1
Câu 45: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn:
. Số phức z  i có môđun nhỏ nhất
là:
A.
Câu 46:

5 1

B.

5 1

C.

5 2

D.

52.

(HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt

z  4  z  4  10.
phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện:
O  0; 0 
A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm
và có bán kính R  4. .
x2 y2

 1.
B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 9 25
C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm

 x  4

2

 y2 

 x  4

2

M  x; y 

trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình

 y 2  12.

x2 y2

 1.
D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 25 9

Câu 47:

2
3
2017
(HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tính S  1009  i  2i  3i  ...  2017i .
A. S  2017  1009 i.
B. 1009  2017i.
C. 2017  1009i.
D. 1008  1009i.

z  2i  1  z  i
Câu 48: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa
. Tìm số phức z được biểu diễn
A 1, 3
bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất với   .
A. 3  i .
B. 1  3i .

C. 2  3i .

D. 2  3i .
1 �z  1  i �2
Câu 49: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp biểu diễn số phức Z thỏa
là hình vành khăn.
Chu vi P của hình vành khăn là bao nhiêu ?
A. P  4 .
B. P   .
B. P  2 .
D. P  3 .

 

z2  z

2

2 z

Câu 50: Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn số phức Z thỏa mãn
d ,d
d ,d
là hai đường thẳng 1 2 . Khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1 2 là bao nhiêu ?
d  d1 , d 2   2
d  d1 , d 2   4
d  d1 , d 2   1
d  d1 , d 2   6
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
z
Câu 51:
(CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Cho số phức
thỏa

z 2  2 z  5   z  1  2i   z  3i  1

2

 16

mãn

.

Tính min | w | , với w  z  2  2i .
3
min | w |
2.
A.
B. min | w | 2 .

C. min | w | 1 .

D.

min | w |

1
2.

z  1  2i  5
Câu 52: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện :
và w  z  1  i có
môđun lớn nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2 5 .
Câu 53:

B. 3 2 .

C.

6.

D. 5 2 .

z z
( CHUYÊN SƠN LA – L2) Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức 1 , 2 . Khi đó độ

uuu
r

dài của AB bằng


A.
Câu 54:

z2  z1

.

.

C.

z1  z2

.

D.

z1  z2

.

z 1  2
(CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
. Tìm giá trị lớn nhất của

T  z i  z 2i

.

A. max T  8 2 .
Câu 55:

z2  z1

B.

C. max T  4 2 .

B. max T  4 .

D. max T  8 .

(CHU VĂN AN – HN) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z

thỏa mãn điều kiện

z  2  z  2  10

A. Đường tròn

 x  2

2

C. Đường tròn

 x  2

2

.

  y  2   100

x2 y2

1
B. Elip 25 4
.

2

  y  2   10

.

x2 y2

1
D. Elip 25 21
.

2

.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
z  z2 .
z ,z
Câu 1. (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho các số phức 1 2 khác nhau thỏa mãn: 1
Chọn phương án đúng:
z1  z2
z1  z2
0
A. z1  z2
.
B. z1  z2 là số phức với phần thực và phần ảo đều khác 0 .
z1  z2
z1  z2
C. z1  z 2 là số thực.
D. z1  z2 là số thuần ảo.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Phương pháp tự luận:


z1  z2



z1 �z2

w

z1  z2
z1  z2 và z1  z2  a , ta có

nên cả hai số phức đều khác 0 . Đặt
a2 a2

�z1  z2 � z1  z2 z1 z2 z1  z2
w�
 2

 w
�
2
z2  z1
�z1  z2 � z1  z2 a  a
z1 z2

Từ đó suy ra w là số thuần ảo. Chọn D.
Phương pháp trắc nghiệm:

z  z2
z ,z
Số phức 1 2 khác nhau thỏa mãn 1
thuần ảo. Chọn D.

z1  z2 1  i

i
z  1; z2  i
nên chọn 1
, suy ra z1  z2 1  i
là số

z  3  4i �2.
Câu 2. (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Trong mặt phẳng Oxy
tập hợp điểm biểu diễn số phức w  2 z  1  i là hình tròn có diện tích
A. S  9 .
Chọn C.

B. S  12 .

C. S  16 .
Hướng dẫn giải

D. S  25 .


w  2z 1 i � z 
z  3  4i �2 �

Giả sử

w  x  yi

w 1  i
2

w 1  i
 3  4i �2 � w  1  i  6  8i �4 � w  7  9i �4  1
2

 x, y �� , khi đó  1 �  x  7 

2

  y  9  �16

Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là hình tròn tâm
2
Vậy diện tích cần tìm là S   .4  16 .

2

I  7;  9 

, bán kính r  4.

Câu 3. (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
môđun nhỏ nhất?
1 2
1 2
z  i
z  i
5 5 .
5 5 .
A. z  1  2i .
B.
C.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Phương pháp tự luận
z  x  yi  x, y ��
Giả sử

z  3i  z  2  i .

Tìm số phức có

D. z  1  2i .

z  3i  z  2  i � x   y  3 i   x  2    y  1 i � x 2   y  3   x  2    y  1
2

2

2

� 6 y  9  4 x  4  2 y  1 � 4x  8 y  4  0 � x  2 y 1  0 � x  2 y 1

z  x2  y 2 

Suy ra

z min 

 2 y  1

2

2

5
� 2� 1
 y 2  5 y 2  4 y  1  5 �y  � �
5
� 5� 5

2
1
5
y �x
5
5
5 khi

1 2
z   i.
5 5
Vậy
Phương pháp trắc nghiệm
z  x  yi  x, y ��
Giả sử
z  3i  z  2  i � x   y  3 i   x  2    y  1 i � x 2   y  3   x  2    y  1
2

2

2

� 6 y  9  4x  4  2 y  1 � 4x  8 y  4  0 � x  2 y 1  0

z  3i  z  2  i
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện
là đường thẳng
d : x  2 y 1  0 .

 1;  2  �d nên loại A.
Phương án A: z  1  2i có điểm biểu diễn
1 2
�1 2�
 ; �
�d
z  i

5
5


5
5
Phương án B:
có điểm biểu diễn
nên loại B.
 1; 2  �d nên loại B.
Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn
1 2
�1 2 �
�d
z  i
� ; �
5 5 có điểm biểu diễn �5 5 �
Phương án C:


z 3  z 3  8
Câu 4. (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt giá trị lớn nhất
và nhỏ nhất

z.

Khi đó M  m bằng

A. 4  7.

B. 4  7.

Chọn B.
Gọi z  x  yi với x; y ��.
8=

z �=
3 z
3 z 3 z 3
Ta có
M  max z  4
Do đó
.

2z

z

4

z  3  z  3  8 � x  3  yi  x  3  yi  8 �


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

8  1.

 x  3

2

ۣ
ۣ

8 �
2  2x2
2
�x��
y2 �۳
7

Do đó

 x  3

 y 2  1.

2 y 2 18 
x2

M  min z  7

2

.

 x  3

2

 y2 

 x  3

2

 y2  8

.

 y 2 �  12  12  �
 x  3  y 2   x  3  y 2 �


2

2  2x2

y2

D. 4  5.

C. 7.
Hướng dẫn giải

7

2 y 2 18 
z

7

2

64

.

.

Vậy M  m  4  7 .
z 1 i
z  2  3i  1
Câu 5. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn
. Giá trị lớn nhất của


A. 13  2 .

B. 4 .

D. 13  1 .

C. 6 .
Hướng dẫn giải

Chọn D
z  2  3i  x  yi  2  3i  x  2   y  3 i
Gọi z  x  yi ta có
.

 x  2    y  3
Theo giả thiết
I  2;3
bán kính R  1 .
2

Ta có

2

1

nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm

z  1  i  x  yi  1  i  x  1   1  y  i 

 x  1

2

  y  1

2

.

HM   x  1   y  1
M  x; y 
H  1;1
Gọi

thì
.
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn.
�x  2  3t
HI : �
�y  3  2t , giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
Phương trình
2

2

3
2 � �
3
2 �

1
M�
2
;3 
,M �
2
;3 


13
13 � �
13
13 �.
13 nên

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM  13  1 .
z  z2  z3  1.
z, z , z
z z z 0
Câu 6. (THTT – 477) Cho 1 2 3 là các số phức thỏa mãn 1 2 3
và 1
Khẳng định
nào dưới đây là sai ?
9t 2  4t 2  1 � t  �


A.
C.

z13  z23  z33  z13  z23  z33 .

B.

z13  z23  z33 �z13  z23  z33 .

z13  z23  z33 �z13  z23  z33 .

z 3  z23  z33 �z13  z23  z33 .
D. 1
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Cách 1: Ta có:

 z1  z2  z3 

3

z1  z2  z3  0 � z2  z3   z1

 z13  z23  z33  3  z1 z2  z1 z3   z1  z2  z3   3 z2 z3  z2  z3 

 z13  z23  z33  3 z1 z2 z3 � z13  z23  z33  3 z1 z2 z3

.

� z  z  z  3 z1 z2 z3  3 z1 z2 z3  3
3
1

3
2

3
3

3

z1  z2  z3  1

Mặt khác

nên
z1  z2  z3  1

Cách 2: thay thử

3

3

z1  z2  z3  3

. Vậy phương án D sai.

vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
z  z2  z3  1.
z ,z ,z
Câu 7. (THTT – 477) Cho 1 2 3 là các số phức thỏa 1
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
z  z  z  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
z  z  z  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
A. 1 2 3
B. 1 2 3
z  z  z  z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
z  z  z �z1 z2  z2 z3  z3 z1 .
C. 1 2 3
D. 1 2 3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Kí hiệu Re : là phần thực của số phức.

z1  z2  z3  z1  z2  z3  2 Re  z1 z 2  z2 z3  z3 z1   3  2 Re  z1 z2  z2 z3  z3 z1 
2

Ta có

2

2

2

(1).

z1 z2  z2 z3  z3 z1  z1 z2  z2 z3  z3 z1  2 Re  z1 z2 z2 z3  z2 z3 z3 z1  z3 z1 z1 z 2 
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



2

2

2

 z1 . z2  z2 . z3  z3 . z1  2 Re z1 z2 z3  z2 z3 z1  z3 z1 z2
 3  2 Re  z1 z3  z2 z1  z3 z2   3  2 Re  z1 z2  z3 z3  z3 z1 



(2).

 1 và  2  suy ra z1  z2  z3  z1z2  z2 z3  z3 z1 .
Từ
Các h khác: B hoặc C đúng suy ra D đúngLoại B, C.
z  z 2  z3
Chọn 1
 A đúng và D sai
z  z 2  z3  1
Cách 2: thay thử 1
vào các đáp án, thấy đáp án D bị sai
P z
P  z  0
Câu 8. (THTT – 477) Cho
là một đa thức với hệ số thực.Nếu số phức z thỏa mãn
thì
�1 �
�1 �
P � � 0.
P � � 0.
P  z   0.
P  z   0.
A.
B. �z �
C. �z �
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
P z
P  z   a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  a0 ; a1; a2 ;...; an  �; an 0 
Giả sử
có dạng
P  z   0 � a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  0 � a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  0
� a0  a1 z  a2 z 2  ...  an z n  0 � P  z   0


z �1
Câu 9. (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn
. Đặt
A �1
A �1
A 1
A.
.
B.
.
C.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
a  a  bi,  a, b�� � a2  b2 �1
z �1
Đặt Có
(do
)

4a2   2b 1
2z  i 2a   2b 1 i
A


2
2  iz
2  b  ai
 2 b  a2
4a2   2b  1

Ta chứng minh

 2 b

2

4a   2b  1

Thật vậy ta có

Q

 2  b

2

a

2

2z  i
2  iz . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 1
D.
.

2

2

 a2

2

A

2

�1

.
�1 � 4a2   2b  1 � 2  b  a2 � a2  b2 �1

2
2
Dấu “=” xảy ra khi a  b  1.
A �1
Vậy
.
y

Câu 10. (CHUYÊN ĐH VINH) Cho số phức z thỏa mãn

2

z 

2

2
2 và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu

1
w
M
A
iz là một trong bốn điểm M , N , P ,
diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
x
O
Q . Khi
đó điểm biểu diễn của số phức w là
N
A. điểm Q .
B. điểm M .
C. điểm N .
D.điểm P .
Hướng dẫn giải
P
Đáp án: D.
Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của
mặt phẳng Oxy nên gọi z  a  bi (a, b  0) .
2
2
a 2  b2 
2 nên
2 .
Do
1
b
a
w  2
 2
i
2
iz a  b
a  b 2 nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng
Lại có
z 

Oxy .

w

1
1

 2  2 z  2OA
iz i . z

.
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .

z 1
Câu 11. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A  1

5i
.
z


A. 5.

B. 4.

A  1

C. 6.
Hướng dẫn giải

5i
5i
5
�1 
 1  6.
z
z
z

Ta có:
� Chọn đáp án C.

D. 8.

Khi z  i � A  6.

z  2z  3i
z2  2 , trong đó z là số phức thỏa mãn
Câu 12. Gọi M là điểm biểu diễn số phức
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuur
Ox
,
ON

2



Ox
,OM
2

i
z

i

3

i

z
  
. Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho
, trong đó

góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?





A. Góc phần tư thứ (I).
C. Góc phần tư thứ (III).

Ta có:







B. Góc phần tư thứ (II).
D. Góc phần tư thứ (IV).
Hướng dẫn giải

5 1�
1
 2 i   z  i   3 i  z � z  1 i � w  45  41 i � M �
�4 ; 4 �� tan  5.




2tan
5
1 tan2  12
sin2 

 0; cos2 

0
1 tan2  13
1 tan2  13
Lúc đó:
.
� Chọn đáp án A.

z 1
Câu 13. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu thức
M  z2  z  1  z3  1.

A. M max  5; M min  1.
C. M max  4; M min  1.

B. M max  5; M min  2.
D. M max  4; M min  2.
Hướng dẫn giải

2

Ta có:

3

M �z  z  1 z  1  5

, khi z  1� M  5 � M max  5.
1 z3

Mặt
khác:
z  1� M  1� M min  1.

1 z3 1 z3 1 z3  1 z3
M
 1 z �


 1,
2
2
2
1 z
3

� Chọn đáp án A.
Câu 14. Cho số phức z thỏa
3
.
A. 4

P

z � 2

. Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
2
.
B. 1.
C. 2 .
D. 3
Hướng dẫn giải

P  1
Ta có

i
1 3
i
1 1
�1
� .
1 �1
� .
z
| z| 2 Mặt khác:
z
| z| 2

z i
z .

khi


1
3
z


2
i

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P  là 2 , xảy ra khi
giá trị lớn nhất của P bằng 2 xảy ra khi z  2i.
� Chọn đáp án A.
4

Câu 15. Gọi z1 , z2 , z3 , z4







�z  1 �
�2z  i � 1.

là các nghiệm của phương trình �
Tính giá trị biểu thức





P  z12  1 z22  1 z32  1 z42  1

A. P  2.

.
B.

P

17
.
9

P

C.
Hướng dẫn giải

Suy ra:
fi

  i   i  1


� Chọn đáp án B.

15
.
9

4

f  z  15 z  z1   z  z2   z  z3   z  z4 
4

D.

P

� f  z   2z  i    z  1  0.
4

Ta có phương trình

16
.
9

4

. Vì

z12  1   z1  i   z1  i  � P 

 5; fi     3i    i  1  85.
4

4

Vậy từ

fi  . fi 



 1 .

225

.
 1 � P  17
9

z  1 2i  3
Câu 16. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun lớn nhất của số phức z  2i.
A.

26 6 17.

26 6 17.

Gọi

z  x  yi;  x ��; y �� � z  2i  x   y  2 i

Đặt

x  1 3sin t; y  2  3cost; t ��
0;2 �

.


B.

C. 26 8 17.
Hướng dẫn giải

D.

26  4 17.

z  1 2i  9 �  x  1   y  2  9
2

. Ta có:

2

.

� z  2i   1 3sin t    4  3cost   26  6 sin t  4cost   26 6 17 sin  t    ;   �� .
2

2

2

� 26  6 17 �z  2i � 26  6 17 � z  2i max  26  6 17.

� Chọn đáp án A.
z 1
P  1 z  31 z .
Câu 17. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A. 3 15
Gọi

B. 6 5

z  x  yi ;  x ��; y ��

Ta có:

P  1 z  3 1 z 

Xét hàm số

x� 1;1

C. 20
Hướng dẫn giải

. Ta có:

 1 x

2

D. 2 20.

z  1� x2  y2  1� y2  1 x2 � x ��
1;1�
.



 y2  3  1 x  y2  2 1 x  3 2 1 x
2

.


1;1�
f  x  2 1 x  3 2 1 x ; x ��
1;1�
.


Hàm số liên tục trên � � và với
f�
 x 

ta có:

1
2 1 x



3

4
 0 � x   � 1;1 .
5
2 1 x


ff 1  2;

4�
 � 2
 1  6; f �

5
� �

Ta có:
� Chọn đáp án D.

20 � Pmax  2 20.

z  1.
Câu 18. Cho số phức z thỏa mãn
Gọi M và mlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

P  z  1  z2  z  1.

Tính giá trị của M .m.

13 3
.
A. 4
Gọi
Đặt

39
.
B. 4

z  x  yi ;  x ��; y ��
t  z 1

Ta có

, ta có

. Ta có:

C. 3 3.
Hướng dẫn giải

z  1 � z.z  1

0  z  1�z  1 �z  1  2 � t ��
0;2�
.



t2   1 z  1 z   1 z.z  z  z  2 2x � x 

Suy ra

z2  z  1  z2  z  z.z  z z  1 z 

Xét hàm số

13
.
D. 4

f  t   t  t2  3 ,t ��
0;2�
.



t2  2
.
2

 2x  1

2

 2x  1  t2  3

.

Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra

13
13 3
; min f  t   3 � M .n 
.
4
4
� Chọn đáp án A.
max f  t  

z�


1 i
z;  z �0
2
trên mặt phẳng tọa độ (

Câu 19. Gọi điểm A , B lần lượt biểu diễn các số phức z và
A , B, C và A �
, B�
, C �đều không thẳng hàng). Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại O.
C. Tam giác OAB vuông cân tại B.
D. Tam giác OAB vuông cân tại A.
Hướng dẫn giải

OA  z ; OB  z�
Ta có:

1 i
1 i
2
.z 
.z 
z.
2
2
2

uuur uuur uuur
1 i
1 i
2
BA  OA  OB � BA  z  z� z 
z
.z 
z.
2
2
2
Ta có:
2
2
2
Suy ra: OA  OB  AB và AB  OB � OAB là tam giác vuông cân tại B.
� Chọn đáp án C.

z2  4  2 z .
Câu 20. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Khẳng định nào sau đây là đúng?

3 1
3 1
�z �
.
6
A. 6

B.

5  1�z � 5  1.


C.

21
21
�z �
.
3
D. 3
Hướng dẫn giải

6  1�z � 6  1.

Áp dụng bất đẳng thức

u  v �u  v , 
ta được

2 z �
4��
z2 
4
4 z
2

2 z z���
z2 4
z2

z
Vậy,
nhỏ nhất là
� Chọn đáp án B.

2

4

z
z

2

2

2z 4 0

z

5 1.

2z 4 0

z

5 1.

5  1, khi z  i  i 5 và z lớn nhất là

5  1, khi z  i  i 5.

z  1 2i  2
Câu 21. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
A.

9  4 5.

Gọi

z  x  yi ;  x ��; y ��

Đặt

x  1 2sin t; y  2  2cost; t ��
0;2 �


.

11 4 5

C. 6  4 5
Hướng dẫn giải

5 6 5

z  1 2i  2 �  x  1   y  2  4.
2

. Ta có:

D.
2

z   1 2sin t    2  2cost   9   4sin t  8cost   9  42  82 sin  t    ;   ��
2

Lúc đó:

B.

2

2

2
� z  9  4 5sin  t    � z ��
 9  4 5; 9  4 5 �





� zmax  9  4 5 đạt được khi

z

5 2 5 10  4 5

i.
5
5

� Chọn đáp án A.

Câu 22. Cho A , B, C , D là bốn điểm trong mặt phẳng tọa độ theo thứ tự biểu diễn các số phức
1 2i ; 1 3  i ; 1 3  i ; 1 2i . Biết ABCD là tứ giác nội tiếp tâm I . Tâm I biểu diễn số phức nào sau

đây?
A. z  3.

B. z  1 3i.

C. z  1.
Hướng dẫn giải

D. z  1.

3  3i
 3i
uuur
uuur
3

i
;
3

3i
3

i
AB
DB
Ta có
biểu diễn số phức
biểu diễn số phức
. Mặt khác
nên
uuur uuur
uuur uuur
AB.DB  0 . Tương tự (hay vì lí do đối xứng qua Ox ), DC.AC  0 . Từ đó suy ra AD là một đường

I  1;0 � z  1.
kính của đường tròn đi qua A , B, C , D. Vậy
� Chọn đáp án C.
z   2 i 
Câu 23. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức
uuuur
tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ OM . Tính cos2 .

2

 4 i 

và gọi  là góc


A.



425
.
87

Ta có:

475
.
B. 87

z   2 i 

cos2 

2



475
.
87

425
.
D. 87

C.
Hướng dẫn giải

13
.
 4 i   16 13i � M  16;13 � tan  16

1 tan2  425

.
1 tan2  87

Ta có:
� Chọn đáp án D.

Câu 24. Cho z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau và thỏa mãn

z1
��
z22



z1  z2  2 3.

Tính môđun của

số phức z1.
A.

z1  5.

B.

z1  3.

z1  2.

C.
Hướng dẫn giải

Gọi

z1  a bi � z2  a bi ;  a��; b��

Do

z1  z2  2 3 � 2bi  2 3 � b  3.

D.

z1 

5
.
2

. Không mất tính tổng quát ta gọi b�0.

Do z1 , z2 là hai số phức liên hợp của nhau nên z1.z2 ��, mà

z1
z13

��� z13 ��.
2
2
z2  z z 
1 2

�
b 0
3
z13   a bi   a3  3ab2  3a2b b3 i ��� 3a2b b3  0 � � 2
� a2  1.
2
3a  b

Ta có:



 



z  a2  b2  2.
Vậy 1
� Chọn đáp án C.
m

�2  6i �
z�
�,
1;50�
3

i

�để z là số thuần ảo?

� m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị m��
Câu 25. Cho số phức
A.24.
B.26.
C.25.
D.50.
Hướng dẫn giải
m

�2  6i �
z�
 (2i )m  2m.i m

�3 i �
Ta có:
*
z là số thuần ảo khi và chỉ khi m 2k  1, k�� (do z �0; m�� ).
Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.

� Chọn đáp án C.

z2  1
z 1
Câu 26. Nếu
thì z
A. lấy mọi giá trị phức.
C. bằng 0.

B. là số thuần ảo.
D. lấy mọi giá trị thực.
Hướng dẫn giải


z2  1
1
z
z
 z  z
 z 2  z z
z
z
z.z
z

Ta có:
� Chọn đáp án B.

là số thuần ảo.

 1 i  z  6 2i  10 . Tìm môđun lớn nhất của số phức z.
Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn
A. 4 5
Gọi
Ta

B. 3 5.

z  x  yi ;  x ��; y ��

D. 3 5

C. 3.
Hướng dẫn giải

.
có:

 1 i  z  6 2i 

10 �  1 i  . z 

2
2
6 2i
 10 � z  2  4i  5 �  x  2   y  4  5.
1 i
Đặt

x  2 5sin t; y  4  5cost; t ��
0;2 �

�.

Lúc đó:
2



 
2

z  2  5sin t  4  5cost



2





 4 5   8 5 
2

 25  4 5sin t  8 5cos t  25 

2

sin  t    ;   �

2
� z  25 20sin  t    � z �� 5;3 5�



� zmax  3 5

đạt được khi z  3 6i.
� Chọn đáp án B.

Câu 28. Gọi

z  x  yi   x, y �R 

giá trị lớn nhất. Tính tích xy.
9
xy  .
4
A.

2

là số phức thỏa mãn hai điều kiện

z  x  iy  x, y �R  .

B.

xy 

13
.
2

xy 

z  2  z  2  26

16
.
9

C.
Hướng dẫn giải

P�
z

3
2



� �
i  18  18sin �
t  ��6.
2
� 4�

3

� �
3
3 2 3 2
sin �
t  � 1� t  
�z 

i.
4
4
2
2


Dấu bằng xảy ra khi
� Chọn đáp án D.
z1
z i
1
 1?
i

z
2

z
z
Câu 29. Có bao nhiêu số phức thỏa

A.1.
B.2.
C.3.
Hướng dẫn giải



9
xy  .
2
D.

2
2
Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được x  y  36.
Đặt x  3cost, y  3sin t. Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Đặt

z

2

D.4.

3
2



3
2

i
đạt


�z  1

3
1

x 


z

1

i

z

x


y
i

z



2 � z   3  3 i.
��
��
��

4x  2y  3 � 3
2 2

�z  i  1 �z  i  2 z
y
�2  z
� 2
Ta có : �
� Chọn đáp án A.

z ;  z1.z2 �0
Câu 30. Gọi điểm A , B lần lượt biểu diễn các số phức z1 ; 2
trên mặt phẳng tọa độ ( A , B, C
2
2
, B�
, C�đều không thẳng hàng) và z1  z2  z1.z2 . Với O là gốc tọa độ, khẳng định nào sau đây đúng?
và A �
A. Tam giác OAB đều.
B. Tam giác OAB vuông cân tại O.
C. Tam giác OAB vuông cân tại B.
D. Diện tích tam giác OAB không đổi.

Hướng dẫn giải
z12  z22  z1.z2 � z12  z1  z2  z1  ; z1  z1 . z2  z1

z1 �0 � z2  z1 

2

Ta có:

Mặt khác:

z2
Từ (1) và (2) suy ra:
� Chọn đáp án A.

z1

2

z1



� z1  z2
. Vậy ta có:

Câu 31. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện
5

Gọi

z  x  yi ;  x ��; y ��

Ta có:

(1)

2

z2

(do z2 �0 ) (2)

z1  z2  z2  z1 � OA  OB  AB

.

. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  2i.
D. 3 2

C. 3 2
Hướng dẫn giải

.

 x  2   y  4
2

2

 x2   y  2 � x  y  4  0 � y  4 x.
2

z  2i  x2   y  2  x2   6  x  2x2  12x  36  2 x  3  18 �18
2

Ta có:

z  2  4i  z  2i

B. 3 5.

z  2 4i  z  2i �

;

2

z2

A.

z1

2

z1

. Do

z12  z2  z1  z2  � z1  z2 . z1  z2 � z1  z2 
2

z2

� z  2i min  18  3 2

� Chọn đáp án C.

2

2

2

khi z  3 i.

4
2
Câu 32. Tìm điều kiện cần và đủ về các số thực m, n để phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm thực.

2
A. m  4n  0.

2
B. m  4n  0 hoặc


m2  4n  0

m 0


n 0


.



m2  4n �0

m 0
.


n 0
C. �


m2  4n �0

m 0


n 0
2
D. m  4n  0 hoặc �
.
Hướng dẫn giải

4
2
Phương trình z  mz  n  0 không có nghiệm thực trong các trường hợp:
2
TH 1: Phương trình vô nghiệm, tức là m  4n  0.

TH 2: Phương trình
� Chọn đáp án D.



t4  mt2  n  0; t  z2

z2  a
z  a;  a  0
Câu 33. Nếu
thì z
A. lấy mọi giá trị phức.
C. bằng 0.



có hai nghiệm âm


 �0 �
m2  4n �0


��
S 0 � �
m 0
.

P0 �
n 0



B. là số thuần ảo.
D. lấy mọi giá trị thực.
Hướng dẫn giải

z 2  a2
a
a2z
a2z
 z  z
 z 2  zz
z
z
z.z
z

Ta có:
� Chọn đáp án B.

là số thuần ảo.

z  1 2i  3
Câu 34. Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z  1 i.
B. 2 2.

A. 4.

D.

z  x  yi ;  x ��; y �� � z  1 i   x  1   y  1 i

Gọi

z  1 2i  9 �  x  1   y  2  9
2

Đặt

C. 2.
Hướng dẫn giải

2.

.

Ta

có:

2

.

x  1 3sin t; y  2  3cost; t ��
0;2 �

.


z��
1 
i
 3sin t �  1 3cost
2

2

2

10 6cost

2

z 2i

4

z 1 i min

2

,

khi

z  1 i.

� Chọn đáp án C.
2z  z  1 i
z2  i
Câu 35. Gọi M là điểm biểu diễn số phức
, trong đó z là số phức thỏa mãn
uuu
r uuuu
r
uuu
r uuuur
Ox
,
ON

2



Ox
,OM
 1 i   z  i   2 i  z . Gọi N là điểm trong mặt phẳng sao cho
, trong đó

góc lượng giác tạo thành khi quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?





A. Góc phần tư thứ (I).
C. Góc phần tư thứ (III).



B. Góc phần tư thứ (II).
D. Góc phần tư thứ (IV).
Hướng dẫn giải






Ta có:

7 19
� 7 19 �
19
 i�M�
 ;  �� tan   .
 1 i   z  i   2 i  z � z  3i � w   82
82
82 82
7


sin2 



2tan
133
1 tan2 
156


0;
cos2



0
2
2
205
1 tan  205
1 tan 
.

Lúc đó:
� Chọn đáp án C.

2

2

z  3 4i  5
M  z 2  z i
Câu 36. Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện
và biểu thức
đạt
giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z  i.
z  i  2 41

A.
C.

B.

z i  5 2

Gọi

z  x  yi ;  x ��; y ��

z  i  3 5.

z  i  41.
D.
Hướng dẫn giải
z  3 4i  5 �  C  :  x  3   y  4  5
2

. Ta có:

2

: tâm

I  3;4



R  5.

Mặt khác:

 

2
2
2
2
M  z  2  z  i   x  2  y2  �x2   y  1 � 4x  2y  3 � d : 4x  2y  3 M  0.



 C  có điểm chung
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và
23 M
ۣ�
 d I ; d

ۣ
 �R �
2 5

5

23 M

10

13 M

33


4x  2y  30  0

x 5

� M max  33 � �
��
� z  i  5 4i � z  i  41.
2
2
 x  3   y  4  5 �y  5


� Chọn đáp án D.
, z�
, z�
, B�
, C� lần lượt biểu diễn các số phức z1 , z2 , z3 và z1�
2
3 trên mặt
Câu 37. Các điểm A , B, C và A �
 z�
 z3�
, B�
, C�đều không thẳng hàng). Biết z1  z2  z3  z1�
2
phẳng tọa độ ( A , B, C và A �
, khẳng định nào
sau đây đúng?
B��
C bằng nhau.
A. Hai tam giác ABC và A �
B��
C có cùng trực tâm.
B. Hai tam giác ABC và A �
B��
C có cùng trọng tâm.
C. Hai tam giác ABC và A �
B��
C có cùng tâm đường tròn ngoại tiếp.
D. Hai tam giác ABC và A �
Hướng dẫn giải

Gọi



.

z1  x1  y1i ; z2  x2  y2i ; z3  x3  y3i ; x�
; y�
��; k  1;3
k
k

�x  x  x y  y  y �
ABC � G � 1 2 3 ; 1 2 3 �
.
A  x1; y1  ; B x2 ; y2  ; C  x3 ; y3 
3
3


Khi đó:
, gọi G là trọng tâm
Tương tự, gọi
Khi đó:



.

z1� x1�
 y1�
i ; z�
 x�
 y�
i ; z�
 x�
 y�
i ; x�
; y�
��; k  1;3
2
2
2
3
3
3
k
k

A�
; y�
; C�
; y�
 x1�; y1� ; B� x�
 x�
2
2
3
3
,


�x1�
 x�
 x�
y�
 y� y��
2
3
A �
B��
C � G�
; 1 2 3�
.

3
3



G
gọi
là trọng tâm
Do

z1  z2  z3  z1� z�
 z�
�  x1  x2  x3    y1  y2  y3  i   x1�
 x�
 x�
  y1�
 y2� y�
i
2
3
2
3
3

�x  x  x  x1�
 x�
 x�
2
3
��1 2 3
G G�
.



y

y

y

y

y

y
1
2
3
�1 2 3
� Chọn đáp án C.

z   2 3i   1 i 
Câu 38. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M là điểm biểu diễn số phức
và gọi  là góc
uuuur
OM
. Tính sin 2 .
tạo bởi chiều dương trục hoành và vectơ
5
5
12
12
 .
.
.
 .
A. 12
B. 12
C. 5
D. 5
Hướng dẫn giải
1
z   2  3i   1 i   5 i � M  5; 1 � tan   .
5
Ta có:
2tan 
5
sin 2 
 .
2
12
1 tan 
Ta có:
� Chọn đáp án A.
m i
z
, m��
1 m m 2i 
Câu 39. Cho số phức
. Tìm môđun lớn nhất của z.
1
A. 1.
B. 0.
C. 2 .

D.2.

Hướng dẫn giải

z

m i
m
i
1
 2
 2
�z
�1� z max  1� z  i ; m 0.
2
1 m m 2i  m  1 m  1
m 1

Ta có:
� Chọn đáp án A.
Câu 40. Cho số phức z có
A. m.
Gọi

Re z

Ta xét:



1
.
. Với z �m; tìm phần thực của số phức m z
1
1
1
.
.
.
B. m
C. 4m
D. 2m
Hướng dẫn giải

z  m;  m 0

là phần thực của số phức z.

1
�1 � 1
1
m z  m z
2m z  z
�



 2

m z �m z � m z m z  m z  m z  m  z.z  mz  mz

2m z  z
2m z  z
1
�1 � 1

 � Re�
.
�
2
2m  mz  mz m 2m z  z  m
�m z � 2m

� Chọn đáp án D.


z1, z2

Câu 41. Cho số phức

thỏa mãn

z1 = 3 z2 = 2
,
được biểu diễn trong mặt phẳng phức lần lượt là các

z1 + z2
uuur uuur
p
� OM ,ON =
6 , tính giá trị của biểu thức z1 - z2 .
điểm M , N . Biết

(

A.

)

13

7 3
C. 2
Hướng dẫn giải

B. 1

Câu 42. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho thỏa mãn z �� thỏa mãn
tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức
A.

I  1; 2  , R  5.

B.

w   3  4i  z  1  2i

1

D.

13

 2  i

z 

10
 1  2i
z
. Biết

là đường tròn I , bán kính R . Khi đó.

I  1; 2  , R  5.
C.
Hướng dẫn giải

I  1; 2  , R  5.

D.

I  1; 2  , R  5.

ChọnC.

z c0
Đặt z  a  bi và
, với a; b; c ��.
w  1  2i
w   3  4i  z  1  2i � z 
3  4i .
Lại có
Gọi w  x  yi với x; y ��.
z c�

Khi đó


 x  1

2

w  1  2i
w  1  2i
c�
 c � x  yi  1  2i  5c
3  4i
3  4i

  y  2   5c �  x  1   y  2   25c 2
2

2

2

.

I  1; 2 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn
.
Khi đó chỉ có đáp án C có khả năng đúng và theo đó R  5 � 5c  5 � c  1 .
Thử c  1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn.
Câu 43. ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hình vẽ:
y
1
z
O

1

x


Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức



i
z?

Hướng dẫn giải
Gọi z  a  bi; a, b ��.
Từ giả thiết điểm biểu diễn số phức z nằm ở góc phần tư thứ nhất nên a, b  0 .
i  a  bi 
i
i
b
a
 
 2
 2
 2
i
2
2
a b
a b
a  b2
z a  bi
Ta có
� b

0

� a2  b2


a

0
2
2
a
,
b

0
Do
nên �a  b
điểm biểu diễn số phức  nằm ở góc phần tư thứ hai.
Vậy chọn C.
z + 3 + 4i = 2
z
Câu 44. (CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ) Trong các số phức z thỏa
, gọi 0 là số phức có mô đun
nhỏ nhất. Khi đó
z =2
z
A. Không tồn tại số phức 0 .
B. 0
.
z =7
z =3
C. 0
.
D. 0
.
Hướng dẫn giải.
Chọn D
z = a + bi ( a, b ��) .

Đặt

Khi

đó

z + 3 + 4i = 2 � (a + 3) 2 + (b + 4) 2 = 4

.
Suy ra biểu diễn hình học của số phức z là đường tròn

 C

I 3; 4 
tâm 
và bán kính R  5 .
M  z
Gọi
là điểm biểu diễn số phức z . Ta có:
M  z  � C 

.
z  OM �OI  R  3

Vậy

z

.

bé nhất bằng 3 khi

M  z    C  �IM

.

z  2  2i  1
Câu 45. (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn:
. Số phức z  i có môđun nhỏ nhất là:
A.

5 1

Chọn A.

B.

5 1

C. 5  2
Hướng dẫn giải

D.

52.


Gọi z  x  yi , x, y ��.
z  2  2i  1 � ( x  2)  ( y  2)i  1 � ( x  2) 2  ( y  2) 2  1
Ta có:
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn của số phức z là đường tròn (C ) tâm I (2; 2) và bán
kính R  1 .
z  i  x 2   y  1  IM
2

, với

I  2; 2 

là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng

N  0;1 �Oy, I  2; 2 
cách này ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm
với
đường tròn (C).

IM min  IN  R  5  1
Câu 46. (HAI BÀ TRƯNG – HUẾ ) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn hình học số phức z trong mặt phẳng

z  4  z  4  10.
phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện:
O  0; 0 

và có bán kính R  4. .
x2 y2

 1.
B. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 9 25
A. Tập hợp các điểm cần tìm là đường tròn có tâm

C. Tập hợp các điểm cần tìm là những điểm

 x  4

2

 y2 

 x  4

2

M  x; y 

trong mặt phẳng Oxy thỏa mãn phương trình

 y 2  12.

x2 y2

 1.
D. Tập hợp các điểm cần tìm là đường elip có phương trình 25 9
Hướng dẫn giải
Chọn D.
M  x; y 
Ta có: Gọi
là điểm biểu diễn của số phức z  x  yi.
A  4;0 
Gọi
là điểm biểu diễn của số phức z  4.
B  4;0 
Gọi
là điểm biểu diễn của số phức z  4.
z  4  z  4  10 � MA  MB  10.
Khi đó:
(*)
Hệ thức trên chứng tỏ tập hợp các điểm M là elip nhận A, B là các tiêu điểm.
x2 y 2
 2  1,  a  b  0, a 2  b 2  c 2 
2
a
b
Gọi phương trình của elip là
Từ (*) ta có: 2a  10 � a  5.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×