Tải bản đầy đủ

bài tập toán ôn thi vào lớp 10

TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

CÂU 1: ĐỀ THI VÀO 10
I. Rút gọn:
II. Câu hỏi liên quan:
1. Tính giá trị của biểu thức:
2. Tìm x :
3. Tìm m để phương trình có nghiệm, vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm.
4. Biểu thức nguyên:
Các em cần phân biệt rõ bài toán: Tìm x nguyên để biểu thức nguyên và tìm x để biểu thức
nguyên. Hai bài toán này cách giải khác nhau.
5. So sánh biểu thức với 1 số ( chứng minh biểu thức luôn lớn hơn, nhỏ hơn 1 số):
6. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức:
BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP:
𝑥−1

Bài 1. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức: 𝐴 =
a) Rút gọn B

𝑥−5


;𝐵 =

b) So sánh 𝐶 = 𝐴. 𝐵 +

𝑥+3
𝑥+1

+

𝑥−5
𝑥−5

.

5
𝑥−1

+

𝑥−5
𝑥

4
𝑥−1

với 3

HD:
â) Điều kiện: 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 25; 𝑥 ≠ 1
𝐵=

𝑥+3

𝑥−1 +5
𝑥+1

𝑥+1 +4

𝑥+7 𝑥+6


=

𝑥−1

𝑥+1

𝑥−1

=

𝑥+1

𝑥+6

𝑥+1

𝑥−1

=

𝑥+6
𝑥−1

b) Ta có:
𝐶 = 𝐴. 𝐵 +
=

𝑥+6
𝑥−5

= 𝑥+

𝑥−5
𝑥−5

+

𝑥−5

1

+ 1 mà

𝑥

𝑥−5

.

𝑥−5

.

𝑥

𝑥−5
𝑥

=

𝑥−1

=

𝑥−5

𝑥+ 𝑥+1

𝑥+

𝑥

𝑥+6
𝑥−1

.

𝑥−5

≥2

𝑥.

𝑥−5
1

.

𝑥

+

=
1
𝑥

𝑥−5

.

𝑥−5

𝑥−5
𝑥

𝑥+ 𝑥+1
𝑥

=2

Dấu bằng xảy ra khi x = 1 ( loại ) nên 𝑥 +

1
𝑥

>2⇒𝐶>3

Vậy C > 3 với mọi 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 25; 𝑥 ≠ 1
CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝑥+2 𝑥+5

Bài 2. [Trích ĐTTS] Cho 𝐴 =

𝑥−3

a) Rút gọn B

;𝐵 =

2 𝑥−9
𝑥−5 𝑥+6

𝑥+3



b) Tìm x >1 để 𝑃 =

𝑥−2
𝐴
𝐵



2 𝑥−1
3− 𝑥

đạt GTNN.

HD:
â) Điều kiện: 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 9; 𝑥 ≠ 4
𝐵=

2 𝑥−9−

𝑥+3

=

𝑥−1

𝑥−2

𝑥−3

𝑥−2

𝑥−3 + 2 𝑥−1
𝑥−3

𝑥−2

𝑥−3 𝑥+2

=

𝑥−2

𝑥−3

𝑥−2

𝑥−1

=

𝑥−3

b) Ta có:
𝑃=

𝐴
𝐵

=

𝑥+2 𝑥+5
𝑥−3

.

𝑥−3
𝑥−1

𝑥+2 𝑥+5

=

𝑥−1

Áp dụng BĐT Co si tâ có:

8

= 𝑥+3+
8

𝑥−1 +

𝑥−1

𝑥−1

≥2

=

𝑥−1 +

𝑥−1 .

8
𝑥−1

8
𝑥−1

+4

=4 2

suy ra 𝑃 ≥ 4 2 + 4
Dấu bằng xảy ra khi

8

𝑥−1 =

𝑥−1



𝑥−1

2

=8⇒ 𝑥−1= 8

⇒ 𝑥 =2 2+1⇒𝑥 =9+4 2
Vậy Pmin = 4 2 + 4 khi 𝑥 = 9 + 4 2
Bài 3. [Trích ĐTTS] Cho 𝐴 =

1

+

𝑥

𝑥
𝑥+1

; 𝐵=

a) Rút gọn và tính giá trị P khi x = 4
c) So sánh B với 1

𝑥
𝑥+ 𝑥

; 𝑃=

𝐴
𝐵

b) Tìm giá trị thực củâ x để 𝐴 ≤ 3𝐵

d) Tìm x để 𝑃. 𝑥 + 2 5 − 1 . 𝑥 = 3𝑥 − 2 𝑥 − 4 + 3

HD:
â) Đk: x > 0
Ta có: 𝐴 =
𝐵=

𝑥
𝑥+ 𝑥

=

1

𝑥

+

𝑥

𝑥+1
𝑥

𝑥

=

𝑥+ 𝑥+1
𝑥

𝑥+1
𝑥+ 𝑥+1

⇒𝑃=

𝑥+1

𝑥

Với x= 4 (tmđk) suy râ 𝑃 =
b) 𝐴 ≤ 3𝐵 ⇔

𝑥+ 𝑥+1

c) Xét 𝐵 − 1 =

𝑥+ 𝑥
𝑥
𝑥+ 𝑥



3 𝑥
𝑥+ 𝑥

−1=

4+ 4+1
4

=

7
2

⇒𝑥+ 𝑥+1≤3 𝑥 ⇔
−𝑥

𝑥+ 𝑥

𝑥−1

2

≤0⇔𝑥=1

< 0 với mọi x > 0 nên 𝐵 < 1

d) 𝑃. 𝑥 + 2 5 − 1 . 𝑥 = 3𝑥 − 2 𝑥 − 4 + 3
CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122



𝑥+ 𝑥+1

. 𝑥 + 2 5 − 1 . 𝑥 = 3𝑥 − 2 𝑥 − 4 + 3

𝑥

⇔ 𝑥 + 𝑥 + 1 + 2 5 − 1 . 𝑥 = 3𝑥 − 2 𝑥 − 4 + 3


𝑥− 5

2

+

𝑥−4−1

2

𝑥− 5=0
⇔ 𝑥 = 5(𝑡𝑚đ𝑘 )
𝑥−4−1=0

=0⇔

Vậy x = 5.
Bài 4. [Trích ĐTTS] Cho 𝑃 =

1

𝑥−

𝑥

𝑥−1

:

𝑥



1− 𝑥
𝑥+ 𝑥

a) Rút gọn P.

; 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1

b) Tính P khi 𝑥 =

c) Chứng minh 𝑃 ≥
d) Tìm x để 𝑃

1
2

2
2+ 3

𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1

𝑥+2 =6 𝑥−3− 𝑥−4

HD:
a) 𝑃 =
=

𝑥−1
𝑥

𝑥−1

𝑥−1

:

𝑥

𝑥+1
𝑥

b) 𝑥 =

𝑥+1 −1+ 𝑥

.

𝑥+1

𝑥

𝑥+1

𝑥−1

2 2− 3
2+ 3 2− 3

𝑥+2

𝑥−1

=

=

𝑥+1
𝑥

𝑥+1

:

𝑥+ 𝑥−2
𝑥

𝑥+1

2

𝑥+2

=4−2 3=

3−1

2

⇒ 𝑥 = 3−1⇒𝑃 =

3−1+1
3−1+2

2

=

3 3−3
2

c) Ta có:
1
𝑃− =
2

𝑥+1
𝑥+2

2



1 2𝑥 + 3 𝑥
1
=
≥ 0 ∀𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1 ⇒ 𝑃 ≥ ∀𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1
2 2 𝑥+2
2

d) Ta có:
𝑃



𝑥+2 =6 𝑥−3− 𝑥−4
𝑥+1
𝑥+2

2

.

𝑥+1

𝑥+2 =6 𝑥−3− 𝑥−4
2

−6 𝑥+3+ 𝑥−4=0

⇔𝑥+2 𝑥+1−6 𝑥+3+ 𝑥−4=0
⇔ 𝑥−4 𝑥+4 + 𝑥−4=0
⇔ ( 𝑥 − 2)2 + 𝑥 − 4 = 0 ⇔

𝑥−2=0
⇔ 𝑥 = 4 (tmđk)
𝑥−4=0

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122
𝑥

Bài 5. [Trích ĐTTS] Cho 𝑀 = 1 −

𝑥+3

:

𝑥+1

𝑥−2

+

𝑥+2
3− 𝑥

a) Rút gọn M.

b) Tìm x để M < 0

c) Tìm x để M > 1.

d) Tìm GTNN của M

+

𝑥+2
𝑥−5 𝑥+6

; 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 4; 𝑥 ≠ 9

HD:
𝑥+1− 𝑥

a) 𝑀 =
=

1
𝑥+1

:

𝑥+1

𝑥+3

:

𝑥+2

𝑥−2

𝑥−9−𝑥+4+ 𝑥+2
𝑥−2

𝑥−3 −

𝑥−3

b) Ta có: M < 0 ⇔

=

𝑥−2
𝑥+1

1
𝑥+1

𝑥−2 + 𝑥+2

𝑥−3
𝑥−3

:

𝑥−2

𝑥−2

=

𝑥−3

𝑥+1

< 0 mà 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 − 2 < 0 ⇔ 𝑥 < 2 ⇔ 𝑥 < 4

Kết hợp với điều kiện tâ được: 0 ≤ 𝑎 < 4
c) Ta có: M > 0 ⇔

𝑥−2
𝑥+1

𝑥−2

>1⇔

𝑥+1

𝑥−2− 𝑥−1

−1>0⇔

−3

>0⇔

𝑥+1

𝑥+1

>0

mà 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 ∈ ∅
d) 𝑀 =

𝑥−2
𝑥+1

=

𝑥+1−3
𝑥+1

=1−

3
𝑥+1
3

Ta có: 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 4; 𝑥 ≠ 9 ⇒ 𝑥 + 1 ≥ 1 ⇒ −
⇒𝑀 =1−

3
𝑥+1

𝑥+1

≥ −3

≥ 1 − 3 = −2 . Dấu bằng xảy ra khi 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0

Vậy 𝑀𝑚𝑖𝑛 = −2 khi x = 0
Bài 6. [Trích ĐTTS] Cho 𝐴 =

𝑥 𝑥−1



𝑥− 𝑥

𝑥 𝑥+1
𝑥+ 𝑥

+

1

𝑥−

𝑥

𝑥+1

.

𝑥−1

+

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A = 7

c) Tìm x để A > 6

d) Tìm GTNN của 𝐵 = 𝐴 − 𝑥

𝑥−1
𝑥+1

; 𝑥 > 0; 𝑥 ≠ 1

HD:
a) 𝐴 =

𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1
𝑥

𝑥−1

=



𝑥+1 𝑥− 𝑥+1
𝑥

𝑥+1

𝑥+ 𝑥+1
𝑥



+

𝑥−1
𝑥

.

𝑥− 𝑥+1
𝑥

𝑥+1

2

+

𝑥−1

2

𝑥−1

+

2𝑥 + 2
𝑥

=

2𝑥 + 2 𝑥 + 2
𝑥

b)Ta có:
A=7⇔

2𝑥+2 𝑥+2
𝑥

= 7 ⇔ 2𝑥 + 2 𝑥 + 2 = 7 𝑥 ⇔ 2𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 0

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122



𝑥=4
𝑥−2=0
⇔ 𝑥 = 1 (𝑡𝑚đ𝑘 )
2 𝑥−1=0
4

𝑥−2 2 𝑥−1 =0⇔

Vậy 𝑥 = 4; 𝑥 =

1
4

c)Ta có:
A>6⇔

2𝑥+2 𝑥+2

2𝑥+2 𝑥+2

>6⇔

𝑥

𝑥

Vì 𝑥 > 0; 𝑥 ≠ 1 ⇒ 𝑥 > 0;

−6>0⇔

𝑥−1

2

2𝑥+2 𝑥+2−6 𝑥
𝑥

>0⇔

2

𝑥−1
𝑥

2

>0

>0

Vậy A > 6 khi 0 < 𝑥 ≠ 1
𝑥+2 𝑥+2

d)Ta có: 𝐴 − 𝑥 =

𝑥

= 𝑥+

Áp dụng BĐT Cosi tâ có: 𝑥 +
Dấu bằng xảy ra khi 𝑥 =

2
𝑥

2
𝑥

2
𝑥

+2.

≥2

2

𝑥. +

=2 2⇒𝐵 ≥2 2+2

𝑥

⇔ 𝑥 = 2(𝑡𝑚đ𝑘 ) .

Vậy Bmin = 2 2 + 2 khi x = 2.
Bài 7. [Trích ĐTTS] Cho 𝐵 =

𝑥+2 𝑥−7
𝑥−9

+

𝑥−1
3− 𝑥

:

1
𝑥+3



1
𝑥−1

; 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1; 𝑥 ≠ 9

a) Rút gọn B

b) Tìm B khi 𝑥 = 61 − 28 3

c) Tìm x để B < 1

d) Tìm x nguyên để B nguyên

HD:
a) Ta có:
𝐵=
𝐵=

𝑥+2 𝑥−7−

𝑥−1

𝑥−3
−4
𝑥−3

𝑥+3

𝑥+3

𝑥+3

:

𝑥−1− 𝑥−3
𝑥−3

−4

:

𝑥−3

𝑥−1

=

𝑥−1
𝑥−1
𝑥+3

b) Ta có: 𝑥 = 61 − 28 3 = 7 − 2 3
𝐵=

2

⇒ 𝑥 = 7 − 2 3 thây vào B tâ được:

7−2 3−1
7−2 3+3

=

6− 3
11

c) Ta có:
𝐵<1⇔

𝑥−1
𝑥+3

<1⇔

𝑥−1
𝑥+3

−1<0⇔

−4
𝑥+3

< 0 : Luôn đúng với mọi 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1; 𝑥 ≠ 9

Vậy 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1; 𝑥 ≠ 9 thì B < 1.
d) Ta có:
𝐵=

𝑥−1
𝑥+3

=1−

4
𝑥+3

. Để B nguyên thì 4 ⋮

CS1: LÁNG HẠ

𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 + 3 ∈ Ư (4 )
CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝑥 + 3 = 4 ⇒ 𝑥 = 1(𝑙𝑜ạ𝑖)

Vì 𝑥 + 3 ≥ 3 nên

Vậy không tồn tại x nguyên để B nhận giá trị nguyên.
x 1

2 x

25 x
.
4 x

Bài 8. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

A

â) Tìm x để biểu thức A có nghĩâ.

b) Rút gọn biểu thức A.

x 2



x 2



c) Tìm x để A = 2.

HD:
𝑥≥0
⇔ 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 4 .
𝑥−2≠4
Vậy biểu thức xác định khi 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 4
â) Biểu thức có nghĩa khi:

b) Ta có:
𝐴=

𝑥+1

𝑥+2 +2 𝑥
𝑥−2

𝑥−2 −2−5 𝑥
𝑥+2

3𝑥 − 6 𝑥

=

𝑥−2

𝑥+2

=

3 𝑥
𝑥+2

c) Ta có:
𝐴=2⇔

3 𝑥
𝑥+2

=2⇔3 𝑥=2

𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 = 4 ⇔ 𝑥 = 16 (tmđk)

Vậy x = 16 thì A = 2.
 x 2
x  2  (1  x )2
A  

.
 .
2
 x 1 x  2 x 1

Bài 9. [Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
â) Rút gọn A nếu x  0, x  1
HD: MSC:

b) Tìm x để A dương

c) Tìm giá trị lớn nhất của A.

2

𝑥 + 1 . ( 𝑥 − 1). Đk: x ≥ 0; x≠ 1.

a) Với 𝑥 ≥ 0; 𝑥 ≠ 1
𝐴=

𝐴=

𝑥−2

𝑥−2
𝑥−1
𝑥+1 −
( 𝑥 − 1)

𝑥+1



𝑥+2
𝑥+1

2

𝑥+2
𝑥+1
𝑥−1

2

.

.

(𝑥 − 1)2
2
𝑥−1

2

𝑥+1

2

2

𝑥−1
= 𝑥−𝑥
2
𝑥>0
b) Để A > 0 ⇔ 𝑥 − 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 1 − 𝑥 > 0 ⇔
⇔0<𝑥<1
1− 𝑥 >0
Vậy 0 < 𝑥 < 1 thì A > 0.
𝐴 = −2 𝑥 .

c) Ta có:
CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


1

A= −

𝑥−

4

max A 

Vậy

Bài 10.

1 2
2

TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122
1

≤ . Dấu bằng xảy ra khi
4

1

1

2

4

𝑥− =0⇔𝑥=

1
1
khi x  .
4
4

A

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.

2 x 9
x 5 x 6

x 3



x 2



2 x 1
3 x

.

b) Tìm x để A  1 .

HD:
a) Ta có: Đk: x ≥ 0; x≠ 4; x≠ 9.
𝐴=

2 𝑥−9−

𝑥+3

𝑥−3 + 2 𝑥+1
𝑥−2

𝑥− 𝑥−2

𝐴=

𝑥−2

𝑥−3

=

𝑥−2

𝑥+3
𝑥+1

𝑥−2

𝑥−2

𝑥−3

=

𝑥+1
𝑥−3

b) Ta có:
𝐴<1⇔

𝑥+1

−1<0⇔

4

𝑥−3
𝑥−3
Kết hợp với điều kiện suy râ: 0 ≤ x <9 và x ≠ 4.

Bài 11.

A

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

15 x  11
x 2 x 3



3 x 2
1 x



2 x 3
3 x

.

1
2

b) Tìm x để A  .

a) Rút gọn A.
HD:MSC:

<0⇔ 𝑥<3⇔𝑥<9

𝑥 + 3 ( 𝑥 − 1).

Đk: x ≥ 0; x ≠ 1.
a) 𝐴 =

15 𝑥−11− 3 𝑥−2

𝑥+3 − 2 𝑥+3

𝑥−1

𝑥−1

𝑥+3

=

−5𝑥+7 𝑥−2
𝑥−1

𝑥+3

=

𝑥−1 −5 𝑥+2
𝑥−1

𝑥+3

=

2−5 𝑥
𝑥+3

b) Ta có:
1

2−5 𝑥

2

𝑥+3

𝐴= ⇔
Bài 12.

1

1

2

11

= ⇔ 2 2 − 5 𝑥 = 𝑥 + 3 ⇔ 11 𝑥 = 1 ⇔ 𝑥 =

⇔𝑥=

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

x   x 3
x 2
x 2 
A  1 


:
.
 1  x   x  2 3  x x  5 x  6 

a) Rút gọn A.

b) Tìm x để A  0 .
CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA

1
121

(tmđk)


HD: Đk: x ≥ 0; x≠ 4; x ≠9.
a) 𝐴 =
=

1
𝑥+1

1+ 𝑥− 𝑥
𝑥+1



𝑥+3



b) Để A < 0 thì

𝑥−3 −

𝑥+2

𝑥−2

𝑥−9−𝑥+4+ 𝑥+2
𝑥−2

TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝑥−3
𝑥−2
𝑥+1

1

=

𝑥+1



𝑥−2 + 𝑥+2

𝑥−3
𝑥−3
𝑥−2

𝑥−3

=

𝑥−2
𝑥+1

< 0 mà x ≥ 0 ⇒ 𝑥 + 1 > 0 ⇒ 𝑥 − 2 < 0 ⇔ 𝑥 < 2 ⇔ 𝑥 < 4

Kết hợp với điều kiện suy râ 0  x  4 .

Bài 13.

A

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.

b) Tìm â để A  2 .

a2  a
a  a 1



2a  a
a

1.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

HD: Đk: â > 0
a) 𝐴 =
=

𝑎

3

𝑎

𝑎 +1

𝑎− 𝑎+1

𝑎 2 𝑎+1



𝑎+1 𝑎− 𝑎+1

𝑎

+1

− 2 𝑎+1 +1= 𝑎

𝑎− 𝑎+1

𝑎+1 −2 𝑎−1+1=𝑎− 𝑎

b) Với A = 2 ⇔ 𝑎 − 𝑎 = 2 ⇔ 𝑎 − 𝑎 − 2 = 0 ⇔

𝑎+1

𝑎−2 =0

Vì 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎 − 2 = 0 ⇔ 𝑎 = 2 ⇔ 𝑎 = 4(𝑡𝑚đ𝑘 )
1

1

1

2

4
2
1

4

c) Ta có: 𝐴 = 𝑎 − 𝑎 = 𝑎 − 2. 𝑎 . + − =


𝑎−

1 2

≥0∀𝑎 >0⇒

2

Dấu bằng xảy ra khi
Vậy min A  

Bài 14.

𝑎−

2

1

1

4

4

− ≥−

1

1

2

4

𝑎− =0⇔𝑎=

𝑎−

1 2
2



1
4

.

1
1
khi a  .
4
4

 a
1 
A


 2 2 a



[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
b) Tìm â để A  0 .

a) Rút gọn A.

2

 a 1
a 1


.
 a 1

a

1



c) Tìm â để A  2 .

HD:
a) Đk: â >0; â ≠ 1.
a) 𝐴 =

𝑎. 𝑎−1
2 𝑎

2

.

𝑎−1

2



𝑎−1

𝑎+1

2

=

CS1: LÁNG HẠ

(𝑎−1)2
4𝑎

.

𝑎−2 𝑎+1−𝑎−2 𝑎−1
𝑎−1

=

(𝑎−1)2 −4 𝑎
4𝑎

.

𝑎 −1

CS2: QUAN HOA

=

1−𝑎
𝑎


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122
1−𝑎

b) Để A < 0 ⇔
Để

1−𝑎

𝑎

< 0 . Vì â >0; â ≠ 1 nên 𝑎 > 0

< 0 ⇒ 1 − 𝑎 < 0 ⇔ 𝑎 > 1 . Vậy a > 1 thì A < 0.

𝑎

c) Để A = -2 ⇔

= −2 ⇔ 1 − 𝑎 = −2 𝑎 ⇔ 𝑎 − 2 𝑎 − 1 = 0 ⇔

𝑎

𝑎 = 1 + 2 (𝑡𝑚)

𝑎−1= 2

𝑎−1=− 2



Bài 15.

1−𝑎

𝑎 = 1 − 2 (𝐿)

b) Tìm â để A 

HD: Đk: â ≥ 0; â≠ 1; a ≠

1
4

6
1 6

2

⇒𝑎 = 1+ 2

2

=2

=3+2 2

 2a  a  1 2a a  a  a  a  a
.
A  1 

.
 1 a
 2 a 1
1

a
a



[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

a) Rút gọn A.

𝑎−1

2
3

c) Chứng minh rằng A  .

.

.

a)
𝑎+1 2 𝑎−1

𝐴 =1−

1− 𝑎

𝐴 =1−
A=1−
A=1−



6
1+ 6

1
4

1− 𝑎



1− 𝑎 a+ 𝑎+1

2𝑎 𝑎 − 𝑎 + 𝑎
1− 𝑎 𝑎+ 𝑎+1

.

𝑎

.

𝑎

2 𝑎−1

2 𝑎−1

2 𝑎 − 1 a + 𝑎 + 1 − 2a 𝑎 + 𝑎 − a
1− 𝑎 𝑎+ 𝑎+1

𝑎
𝑎+ 𝑎+1

2 𝑎−1

.

𝑎

𝑎+ 𝑎+1 2 𝑎−1

2

𝑎+2 𝑎+1

3

𝑎+ 𝑎+1

2
3

𝑎
𝑎+ 𝑎+1

> 1 với mọi â ≥ 0; â≠ 1; â ≠

< 1 nên không tồn tại â để 𝐴 =

nên 𝐴 >

=1+

𝑎

.

=

𝑎−1

2 𝑎−1
.

𝑎

2 𝑎−1

𝑎+2 𝑎+1
𝑎+ 𝑎+1

4

6
1+ 6

3 𝑎+2 𝑎+1 −2 𝑎+ 𝑎+1

3

3 𝑎+ 𝑎+1

=

𝑎+4 𝑎+1
3 𝑎+ 𝑎+1

> 0 với mọi â ≥ 0; â≠

(đpcm)

CS1: LÁNG HẠ

𝑎−1

1

2

− =

𝑎−1

𝑎−1

1− 𝑎 𝑎+ 𝑎+1

c) Xét hiệu: 𝐴 − =
1; a ≠

2 𝑎−1

2a 𝑎 − 𝑎 + a

2a 𝑎 + 2a + 2 𝑎 − a − 𝑎 − 1 − 2a 𝑎 + 𝑎 − a

A=1+

b) Vì A = 1 +

𝑎+1



CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

Bài 16.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
 x 5 x
 
25  x
x 3
x 5
A
 1 : 


.
 x  25
  x  2 x  15

x

5
x

3

 


â) Rút gọn A.

b) Tìm x để A  1 .

HD:
a) Đk: x ≥ 0; x ≠9; x≠ 25.
Ta có:
𝐴=
𝐴=

𝑥−5 𝑥−𝑥+25



𝑥−25
5 5− 𝑥
𝑥−5

25−𝑥−

b) Để A < 1 ⇔

𝑥−3 +
𝑥+5



𝑥+5

𝑥+3

25−𝑥−𝑥+9+𝑥−25
𝑥+5

5
𝑥+3

5
𝑥+3

Vì x ≥ 0 ⇒ 𝑥 + 3 > 0 nên để

−5

=

𝑥−3

<1⇔

𝑥−5

𝑥+5

𝑥−3
𝑥−5

𝑥−5

𝑥+5

−1<0⇔

2− 𝑥
𝑥+3





𝑥−3

𝑥+3

𝑥+5

2− 𝑥
𝑥+3

𝑥−3

=

5
𝑥+3

<0

<0⇒2− 𝑥 <0⇔ 𝑥 >2⇔𝑥 >4

Kết hợp với điều kiện tâ được: x  4; x  9; x  25 .

Bài 17.

 1
1   a 1
a 2
A


.
 : 
a   a 2
a  1 
 a 1

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
1
6

b) Tìm â để A  .

a) Rút gọn A.
HD:

a) Đk: â >0; â≠ 1; â≠ 4.
𝑎− 𝑎+1

Ta có: 𝐴 =
𝐴=

1
𝑎

𝑎−1

𝑎+1

:

𝑎

𝑎−1

:

𝑎−1−𝑎+4

𝑎−2

𝑎−2

𝑎−1

1

𝑎−2

6

3 𝑎

b) Để 𝐴 > ⇔

𝑎−1 −

=

𝑎

𝑎−2

6

3 𝑎

𝑎−2

𝑎−1

1

1

> ⇔

𝑎+2

𝑎−1

1

.

𝑎−2

𝑎−1
3

− >0⇔

2

6

=

𝑎−2
3 𝑎

𝑎−2 − 𝑎
6 𝑎

>0⇔

𝑎−4
6 𝑎

>0

Vì a > 0 ⇒ 𝑎 > 0 ⇒ 𝑎 − 4 > 0 ⇔ 𝑎 > 16
Vậy a > 16 thì 𝐴 >

1
6

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

Bài 18.

 x  1 x  1  2
x
1 
A

:



.
2
 x  1 x  1  x  1 x  1 x  1

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

b) Tính giá trị củâ A khi x  3  8 .

â) Rút gọn A.

c) Tìm x để A  5 .

HD:
a) Đk: x≠1; x≠ -1.
(𝑥+1)2 −(𝑥−1)2

Ta có: 𝐴 =

(𝑥−1)(𝑥+1)



2−𝑥(𝑥+1)+(𝑥−1)
(𝑥−1)(𝑥+1)

1−𝑥 2

4𝑥

4𝑥

𝐴 = (𝑥−1)(𝑥+1) ∶ (𝑥−1)(𝑥+1) =

1−𝑥 2

b) Ta có: 𝑥 =

3+2 2=

3+ 8=

2+1

2

= 2+1

Suy ra 𝑥 2 = 3 + 2 2 thây vào A tâ được:
𝐴=
c) Ta có: 𝐴 = 5 ⇔

4𝑥
1−𝑥 2

4

2+1

1− 3+2 2

= −2

= 5 ⇔ 5. 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0

Ta có: ∆= 36 > 0 nên phương trình có hâi nghiệm phân biệt:
𝑥1 =

−4+ 36
2 5
1

Vậy 𝑥 =

5

=

1
5

; 𝑥1 =

−4− 36
2 5

= − 5 (tmđk)

; 𝑥 = − 5 thì A = 5



[Trích ĐTTS] Cho biểu thức: B   x 

Bài 19.



y  xy   x

:
x  y   xy  y

y
xy  x

b) Tính giá trị củâ B khi x  3, y  4  2 3 .

â) Rút gọn B.
HD:
a) Đk: x>0; y>0; x≠ y.
Ta có:
𝐵=

𝑥

𝑥+ 𝑦 +𝑦− 𝑥𝑦
𝑥+ 𝑦

𝐵=

𝑥+𝑦

𝐵=

𝑥+𝑦

𝑥+ 𝑦
𝑥+ 𝑦

:


:

𝑥 𝑥

𝑦 − 𝑥 +𝑦 𝑦
𝑥𝑦

𝑥+ 𝑦 −(𝑥+𝑦 )(𝑦−𝑥)

𝑥+ 𝑦

𝑦− 𝑥

𝑥 𝑥𝑦 −𝑥 2 +𝑦 𝑥𝑦 +𝑦 2 − 𝑦 2 −𝑥 2
𝑥𝑦

𝑥+ 𝑦

𝑦− 𝑥

𝑥𝑦 (𝑥+𝑦 )
𝑥𝑦

𝑥+ 𝑦

𝑦− 𝑥

b) Ta có: 𝑦 = 4 + 2 3 =

=

3+1

𝑦− 𝑥
2

CS1: LÁNG HẠ

⇒ 𝑥 = 3+1⇒𝐵 = 3+1− 3=1
CS2: QUAN HOA



x  y
.
xy 


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

Bài 20.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức: B 

x3
xy  2 y



2x

.

1 x

x  x  2 xy  2 y 1  x

b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y  625 và B  0,2 .

a) Rút gọn B.
HD:

a) Đk: x>0; y>0; x≠ 1; x ≠ 4y.
Ta có: 𝐵 =
𝐵=
𝐵=
𝐵=

𝑥3
𝑦

𝑥3
𝑦

𝑥3
𝑦
𝑥

𝑥−2 𝑦

𝑦

𝑥−2 𝑦
2𝑥



𝑥−2 𝑦

𝑥−2 𝑦

1+ 𝑥

.

𝑥−2 𝑦

1− 𝑥 1+ 𝑥
1− 𝑥

. 1+ 𝑥

𝑥 3 −2𝑥 𝑦

=

𝑦

𝑥−2 𝑦

𝑥

=

𝑥−2 𝑦

𝑥−2 𝑦 + 𝑥

2𝑥



𝑥−2 𝑦

2𝑥



𝑥−2 𝑦

𝑦

𝑥

b) Với y= 625 và B < 0,2 suy ra

625

< 0,2 ⇔ 𝑥 < 5 .

Vì x nguyên dương và x≠ 1 nên x  2;3;4 .

Bài 21.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
 1
1 
2
1 1  x 3  y x  x y  y3
.
B  

  :
.
y  x  y x y 
 x
x 3y  xy3

b) Cho x.y  16 . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.

â) Rút gọn B.
HD:
a) Đk: x>0; y>0.
Ta có:
𝐵=

𝑥+ 𝑦

𝐵=

2

𝐵=

𝑥𝑦
𝑥𝑦

.

2
𝑥+ 𝑦

1

1

𝑥

𝑦

+ +

𝑥+2 𝑥𝑦 +𝑦
𝑥𝑦

:

1

1

𝑥

𝑦

+ +



𝑥

𝑥+ 𝑦 +𝑦

𝑥+ 𝑦

𝑥𝑦 (𝑥+𝑦 )

𝑥+ 𝑦 (𝑥+𝑦 )



𝑥𝑦 (𝑥+𝑦 )

𝑥+ 𝑦
𝑥𝑦

=

𝑥+ 𝑦

b) Với xy = 16 suy ra 𝐵 =
Dấu bằng xảy ra khi

2

𝑥𝑦

𝑥+ 𝑦
16

.

𝑥𝑦
𝑥+ 𝑦



2

=

𝑥𝑦
4

𝑥+ 𝑦
𝑥𝑦

=1

𝑥= 𝑦
⇒𝑥 =𝑦=4
𝑥𝑦 = 16

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA

.


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

Vậy Bmin = 1 khi x= y = 4
Bài 22.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:



1
3 ab  
1
3 ab 
ab
B



 . 
:
 a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b 

 



b) Tính B khi a  16, b  4 .

a) Rút gọn B.
HD:
a) Đk: â>0; b>0; â≠ b.
Ta có:
1

𝐵=

𝑎+ 𝑏

𝑎− 𝑏

.

𝑎+ 𝑏 𝑎− 𝑎𝑏 +𝑏

𝑎− 𝑏

𝑎− 𝑏 𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏



𝑎− 𝑏 (𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏

2

𝑎+ 𝑏

𝐵=

3 𝑎𝑏



𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏−3 𝑎𝑏

.

𝑎+ 𝑏 𝑎− 𝑎𝑏 +𝑏

1

.

𝑎+ 𝑏 𝑎− 𝑎𝑏 +𝑏

𝑎− 𝑎𝑏 + 𝑏+3 𝑎𝑏

𝐵=

𝐵=

3 𝑎𝑏

+

2

𝑎− 𝑏 𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏

.

𝑎−𝑏

:

𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏

𝑎−𝑏
𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏

𝑎+ 𝑎𝑏 +𝑏
𝑎−𝑏

1
𝑎− 𝑎𝑏 +𝑏

b) Với â= 16; b= 4 (tmđk) thây vào B tâ được:
𝐵=

1

=

𝑎− 𝑎𝑏 +𝑏

Bài 23.

1
16− 16.4+4

=

1
12

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
 xy
x 3  y3
B

 x y
yx


â) Rút gọn B.


:





x y



2

 xy

x y

.

b) Chứng minh B > 0.

HD:
â) Điều kiện: x>0; y>0; x≠ y.
Ta có:
𝐵=

𝑥− 𝑦

𝐵=

𝑥+ 𝑦−

𝐵=

𝑥+ 𝑦

𝑥− 𝑦

𝑥+ 𝑦

2

𝑥− 𝑦

𝑥+ 𝑥𝑦 +𝑦
𝑥+ 𝑦

−𝑥− 𝑥𝑦 −𝑦

𝑥+ 𝑦

𝑥− 𝑦 (𝑥+ 𝑥𝑦 +𝑦)



.



𝑥+ 𝑦



𝑥−2 𝑥𝑦 +𝑦+ 𝑥𝑦
𝑥+ 𝑦

𝑥− 𝑥𝑦 +𝑦
𝑥+ 𝑦

𝑥+ 𝑦
𝑥− 𝑥𝑦 +𝑦

=

𝑥+2 𝑥𝑦 +𝑦−𝑥− 𝑥𝑦 −𝑦

CS1: LÁNG HẠ

𝑥− 𝑥𝑦 +𝑦

=

𝑥𝑦
𝑥− 𝑥𝑦 +𝑦

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

b) Vì x>0; y>0 ⇒

𝑥𝑦 > 0

và 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 =

𝑥−

Bài 24.

2

𝑦
2

+

3𝑦

>0⇒𝐵>0

4

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:
 a 1

ab  a   a  1
ab  a
B

 1 : 

 1
 ab  1
  ab  1

ab  1
ab  1

 


b) Tính giá trị củâ B nếu a  2  3 và b 

a) Rút gọn B.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất củâ B nếu

3 1
1 3

.

a  b  4.

HD:
a) Đk: â ≥ 0; b≥ 0; âb≠1.
Ta có: Đặt B = A:C . Ta có:
𝐴=

𝑎+1

𝑎𝑏 −1 +

𝑎𝑏 + 𝑎

𝑎𝑏 +1 −

𝑎𝑏 −1

𝑎𝑏 +1

𝑎𝑏 −1

𝐴=

𝑎 𝑏 − 𝑎+ 𝑎𝑏 −1+𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 +𝑎 𝑏+ 𝑎−𝑎𝑏 +1

𝐴=

2 𝑎𝑏

𝑎𝑏 −1
𝑎+1

𝑎𝑏 −1

𝑎+1

𝐶=

𝑎𝑏 −1 −

𝑎𝑏 + 𝑎

𝑎𝑏 +1 +

𝑎𝑏 −1

𝑎𝑏 +1

𝑎𝑏 −1

𝐶=

𝑎 𝑏− 𝑎+ 𝑎𝑏 −1−𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 −𝑎 𝑏 − 𝑎+𝑎𝑏 −1

𝐶=

−2

𝑎𝑏 −1
𝑎+1

⇒𝐵=

𝑎𝑏 −1

b) Ta có: 𝑏 =
⇒𝐵=−

3−1
3+1

𝐴
𝐶

=
2

2− 3

c) Ta có: 𝑎 + 𝑏 ≥ 2

=

2 𝑎𝑏

𝑎+1

𝑎𝑏 −1

3−1
3−1

2

3+1

=



−2

𝑎+1

𝑎𝑏 −1

4−2 3
3−1

= − 𝑎𝑏

=2− 3

=− 2− 3 = 3−2

𝑎𝑏 ⇒

𝑎𝑏 ≤

𝑎+ 𝑏
2

4

= = 2 ⇒ 𝑎𝑏 ≤ 4 ⇒ − 𝑎𝑏 ≥ −4
2

𝑎= 𝑏
⇒ 𝑎= 𝑏=2⇒𝑎=𝑏=4
𝑎+ 𝑏=4
Vậy Bmin = -4 khi a= b= 4.
Dấu bằng xảy ra khi

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

Bài 25.

[Trích ĐTTS] Cho P=

𝑥+4 𝑥−2
𝑥+ 𝑥−2



𝑥+1
𝑥+2



𝑥−2
1− 𝑥

a) Rút gọn
b) Chứng minh mọi m < 0; m ≠ -1 thì phương trình P=3+m 𝑥 luôn có một nghiệm duy
nhất
HD: Các em tách 𝑥 + 𝑥 − 2 =

𝑥+2

𝑥 − 1 . Chú ý đổi dấu phân số cuối cùng .

a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠1
P=

𝑥+4 𝑥−2
𝑥+2



𝑥−1

𝑥+1
𝑥+2

𝑃=

𝑥+4 𝑥−2−

𝑃=

𝑥+4 𝑥−2−𝑥+1+𝑥−4

𝑃=

𝑥+1

𝑥−1 +

𝑥+2
𝑥+2

𝑥−2
𝑥−1
𝑥−2

𝑥+2

𝑥−1

𝑥−1

𝑥+4 𝑥−5
𝑥+2

+

𝑥−1

=

b) P =3+m 𝑥 ⇔

𝑥−1

𝑥+5

𝑥+2

𝑥−1

𝑥+5
𝑥+2

=

𝑥+5
𝑥+2

=3+𝑚 𝑥



𝑥+5 = 3+𝑚 𝑥

Đặt

𝑥 = 𝑡 ≥ 0 phương trình có dạng: mt2 +2t(m+1) +1 =0 (2)

∆= (𝑚 − 1)2 > 0
𝑃=

1
𝑚

<0

𝑥 + 2 ⇔mx +2 𝑥 (m+1) +1 =0 (1)

với mọi m < 0; m ≠ -1 nên phương trình (2) luôn có hâi nghiệm trái

dấu suy râ phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất
Bài 26.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức


1
x 3
2
x 2
P 


.
 
x 1  2  2  x
2 x  x 
 x  x 1

a) Tìm điều kiện để P có nghĩâ.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị củâ P với x  3  2 2 .
HD: Trục căn thức ngoặc thứ nhất, quy đồng ngoặc thứ 2.
a)Biểu thức có nghĩâ khi:

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝑥>0
𝑥−1≥0
𝑥≥1
𝑥 ≠ 𝑥 − 1 ⇔ 𝑥 ≠ 2 . Vậy biểu thức có nghĩâ khi x  1; x  2; x  3
𝑥≠3
𝑥−1≠ 2
2≠ 𝑥
b) Ta có:
𝑥+ 𝑥−1

𝑃=
𝑃=

𝑥− 𝑥−1
𝑥+ 𝑥−1
𝑥−𝑥+1

𝑃=
𝑃=



𝑥+ 𝑥−1
(𝑥−3)

𝑥−1+ 2

𝑥−1− 2

𝑥−1+ 2

𝑥−1+ 2

.

2 𝑥− 𝑥− 2
𝑥

2− 𝑥

𝑥− 2

.

𝑥−1−2

𝑥

2− 𝑥

𝑥+ 𝑥−1− 𝑥−1− 2 .

1
− 𝑥

2− 𝑥
𝑥

c) Với 𝑥 = 3 − 2 2 =
𝑃=

(𝑥−3)



2−

2−1
2−1

Bài 27.

1

=

2−1

2

2−1

=

⇒ 𝑥 = 2 − 1 . Thây vào P tâ được:

2+1
2−1

=

2+1

2+1
2−1

= 2+1

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

 2x  1
  1  x3
x
 .
B

 x  với x  0 và x  1 .
 3


 x 1 x  x 1  1 x


a) Rút gọn B.

b) Tìm x để B = 3.

HD: Đk: x ≥ 0; x≠ 1.
a) 𝐵 =
𝐵=
𝐵=
𝐵=

2𝑥+1
𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1

2𝑥+1− 𝑥

𝑥−1

𝑥−1 (𝑥+ 𝑥+1)
2𝑥+1−𝑥+ 𝑥
𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1
𝑥+ 𝑥+1
𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1



𝑥
𝑥+ 𝑥+1

.

1+ 𝑥 𝑥− 𝑥+1
1+ 𝑥

− 𝑥

. 𝑥− 𝑥+1− 𝑥
.

𝑥−1

.

𝑥−1

2
2

= 𝑥−1

b) Với B = 3 ⇔ 𝑥 − 1 = 3 ⇔ 𝑥 = 4 ⇔ 𝑥 = 16 (tmđk) . Vậy x = 16 thì B = 3.

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

Bài 28.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức:

a) Rút gọn P.

1

P

x 1



b) Tính giá trị của biểu thức P khi x 

x
x x
1
2

.

.

HD: Đk: x >0; x≠ 1.
a) Ta có:
𝑃=
𝑃=

1
𝑥+1

𝑥



𝑥

𝑥−1− 𝑥

𝑥+1

𝑥−1

b) Với 𝑥 =

1

𝑥−1

⇒𝑃=

2

𝑥



𝑥+1

𝑥−1

𝑥−1−𝑥− 𝑥

=

𝑥+1

1

=

𝑥−1

1
+1
2
1
1−
2

=

=

−1−𝑥

1+ 2
2
2−1
2

𝑥−1

=

=

2+1
2−1

𝑥+1
1−𝑥

2+1

=

2−1

2

2+1

=

3+2 2
2−1

=3+2 2

 2x  1
1  
x2 

 : 1 

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức A= 
x 1  x  x  1
 x x 1

Bài 29.

2 3
2

a) Rút gọn A

b) Tính A biết x=

d) Tìm GTNN của A

e)Tìm x để A =1/3

f) So sánh A với 1

g) Tìm x để A > 1/2

c)Tìm x ∈ Z để A ∈ Z

HD:
a)Điều kiện: x ≥ 0; x≠1
Ta có: 𝐴 =
𝐴=
𝐴=

2𝑥+1− 𝑥+ 𝑥+1
𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1

𝑥− 𝑥
𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1
𝑥

𝑥−1

𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1


.

𝑥+ 𝑥+1−𝑥+2



𝑥+ 𝑥+1

𝑥+3
𝑥+ 𝑥+1
𝑥+ 𝑥+1
𝑥+3

=

𝑥
𝑥+3

b) Ta có:
𝑥=

2− 3
2

=

4−2 3
4

=

3−1
2

2

⇒ 𝑥=

CS1: LÁNG HẠ

3−1
2

⇒𝐴=

3−1
2
3−1
+3
2

=

3−1
3+5

=

−4+3 3
11

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122
𝑥

c)Ta có : 𝐴 =

𝑥+3

=1−

3
𝑥+3

. Để A nguyên thì 3 ⋮

𝑥 + 3 suy ra 𝑥 + 3 = 3 ( vì x ≥ 0)

suy ra 𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 0 (tmđk) . Vậy x = 0 thì A nguyên.
3

d)Ta có : 𝐴 = 1 −

𝑥+3
𝑥

Vì x ≥ 0 nên 𝐴 =
1

𝑥

3

𝑥+3

e) Ta có : 𝐴 = ⇔
Vậy 𝑥 =

9
4

≥ 0 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Amin=0 khi x=0

𝑥+3

1

3

9

3

2

4

= ⇔ 3 𝑥 = 𝑥 + 3 ⇔ 𝑥 = ⇔ 𝑥 = (tmđk) .

1

thì 𝐴 =

3

f) Xét hiệu : 𝐴 − 1 =

𝑥
𝑥+3

−1=

𝑥− 𝑥−3
𝑥+3

−3

=

𝑥+3

< 0 với mọi x ≥ 0. Suy râ A < 1.

g) Ta có :
1

𝑥

2

𝑥+3

𝐴> ⇔


𝑥−3
2

𝑥+3

1

𝑥

2

𝑥+3

> ⇔

1

− >0⇔
2

2 𝑥− 𝑥−3
2

𝑥+3

>0

> 0 . Vì x ≥ 0 nên 𝑥 + 3 > 0 ⇒ 𝑥 − 3 > 0 ⇔ 𝑥 > 9 .

Vậy x > 9 thì 𝐴 >

Bài 30.

1
2

[Trích ĐTTS] B=

x (1  x) 2
1 x

 x x  1

: 


  x x 1

 x   
 x 
x 1
  x 1


a)Rút gọn B

b)Tìm x để 𝐵 =

d) Tìm GTNN củaB

e) So sánh B với

2

c)Tính B biết 𝑥 = 12 − 6 3

5
1

g) Tìm x để B >

2

HD:
â) Đk:
𝐵=
𝐵=

𝑥 𝑥−1=
𝑥≥0
. Các em chú ý:
𝑥≠1
𝑥 𝑥+1=

𝑥(𝑥−1)2
𝑥+1
𝑥 (𝑥−1)2
𝑥+1

:


𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1
𝑥−1

+ 𝑥 .

𝑥−1 𝑥+ 𝑥+1
𝑥+1 𝑥− 𝑥+1

𝑥+1 𝑥− 𝑥+1
𝑥+1

.

− 𝑥

𝑥+2 𝑥+1 𝑥−2 𝑥+1
CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA

3
x


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝑥 (𝑥−1)2

𝐵=

1

.

𝑥+1

2

𝑥+1

.

𝑥−1

2

𝑥

5

𝑥+1

b) Ta có: 𝐵 = ⇔

2

𝑥 (𝑥−1)2

=

𝑥+1

.

1
(𝑥−1)2

=

𝑥
𝑥+1

2

= ⇔ 5 𝑥 = 2𝑥 + 2
5

⇔ 2𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 0 ⇔

𝑥=4
𝑥=2
1
1 ⇔
𝑥 = (thỏa mãn)
𝑥=
4

𝑥−2 2 𝑥−1 =0⇔

2

1

2
𝑥=
4 thì 𝐵 =
5
𝑥=4

Vậy

c) 𝑥 = 12 − 6 3 = 3 − 3
𝐵=

3− 3
12−6 3+1

d) Vì

=

nên 𝑥 = 3 − 3 . Thây vào B tâ được:

21+5 3
61

𝑥≥0
nên 𝐵 ≥ 0 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy Bmin = 0 khi x = 0.
𝑥≠1
1

𝑥

2

𝑥+1

e) Xét 𝐵 − =
Suy ra 𝐵 <

f) 𝐵 >

2

3
𝑥

1

2 𝑥−𝑥−1

2

2(𝑥+1)

− =

=



2

𝑥−1

2(𝑥+1)

𝑥≥0
𝑥≠1

< 0 với mọi

1
2



Bài 31.

𝑥
𝑥+1

>

3
𝑥



𝑥
𝑥+1



3
𝑥

>0⇔

𝑥−3(𝑥+1)
𝑥(𝑥+1)

>0⇔

−2𝑥−3

2 x





[Trích ĐTTS] Cho biểu thức C= 

𝑥(𝑥+1)

 2x  5 x  3

a)Rút gọn C

b)Tìm GTLN củâ C’ với C’=

d)Tìm x để C > 0

e)Tìm x  Z để C’  Z

HD : Các em tách 2𝑥 − 5 𝑥 + 3 =

1
1
.
C x 1

> 0 ⇔ 𝑥 ∈ ∅ ( vì x≥ 0)

 
2 
 :  3 


2 x  3  1 x 
5

c)Tính C với 𝑥 =
g)Tìm x để C= 5

𝑥−1 2 𝑥−3

𝑥≥0
a) Đk : 𝑥 ≠ 19
𝑥≠
4

Ta có : 𝐶 =

2 𝑥−5

𝑥−1

𝑥−1 2 𝑥−3



3 1− 𝑥 +2
1− 𝑥

CS1: LÁNG HẠ

=

5−3 𝑥
𝑥−1 2 𝑥−3

.

1− 𝑥
5−3 𝑥

=

−1
2 𝑥−3

=

1
3−2 𝑥

CS2: QUAN HOA

2
2− 3


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122
1

b) 𝐶 ′ = 3 − 2 𝑥 .


𝑥 ≥ 0 nên

𝑥+1

3−2 𝑥

=

= −2 +

𝑥+1

𝑥+1 ≥ 1⇔

5
𝑥+1

5
𝑥+1

≤ 5 ⇔ −2 +

5
𝑥+1

≤ 3. Dấu bằng xảy ra khi x =0.

C’mâx= 3 khi x= 0
c) 𝑥 =
𝐶=

2 2+ 3
2− 3 2+ 3
1

3−2

=

=

3+1

4+2 3
4−3

1
1−2 3

=−

1

d)Ta có : C > 0 ⇔

=4+2 3=

3−2 𝑥

3+1

2

⇒ 𝑥 = 3 + 1 thay vào C tâ được :

1+2 3
11
3

9

2

4

> 0 ⇔ 3 − 2 𝑥 > 0 ⇔ 𝑥 < ⇔ 𝑥 < . Kết hợp với điều kiện ta

9

được:

0≤𝑥<
4
𝑥≠1
5

e) 𝐶 ′ = −2 +

𝑥+1

𝑥 + 1 ⇒ 𝑥 + 1 ∈ Ư(5) = *1; 5+ ( vì x ≥ 0)

. Để C’ nguyên thì 5 ⋮

Suy ra x= 0 ; x=16 (tmđk) . Vậy x = {0 ;16} thì C’ nguyên.

f)

1
3−2 𝑥

1

28

5

5

= 5⇔3−2 𝑥 = ⇔ 𝑥 =

Bài 32.

⇔𝑥=

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức E=

49
25

( thỏa mãn đk) . Vậy 𝑥 =

b)Tìm x để E > 1

c)Tìm GTNN của E với x > 1

d)Tìm x  Z để E  Z

e)Tính E tại 2 x  1  5

f)Tìm x để E = 9/2

HD :
𝑥>0
.
𝑥≠1

Ta có : 𝐸 =

𝑥

𝑥+1
𝑥−1

2



𝑥+1 1− 𝑥 − 𝑥−2+𝑥
𝑥 1− 𝑥

CS1: LÁNG HẠ

25

thì C = 5.

 x 1
1
2 x 

: 


x  2 x 1 
x
1  x x  x 
x x

a)Rút gọn E

â) Đk :

49

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝐸=

𝑥

𝑥+1
𝑥−1

2

b) E > 1 ⇔





𝑥+1

=

𝑥 1− 𝑥

𝑥
𝑥−1

𝑥

𝑥−1

−1>0⇔
1

c) 𝐸 = 𝑥 + 1 +

𝑥−1

𝑥+1
2

𝑥

.

𝑥+1

𝑥− 𝑥+1

>0⇔

𝑥−1

1

= 𝑥−1+

Dấu bằng xảy ra khi 𝑥 − 1 =

𝑥−1

𝑥−1

1

𝑥−1
1 2 3
+
2
4

𝑥−

> 0 ⇔ 𝑥 − 1 > 0 ⇔ x > 1.

𝑥−1

+2≥2



𝑥−1

𝑥

=

𝑥−1 .
2

𝑥−1

1
𝑥−1

+2=4

=1⇔ 𝑥−1=1

⇔ 𝑥 = 2 ⇔ 𝑥 = 4(tmđk) . Vậy Emin=4 khi x=4.
d) x = 4
e) Ta có : 2𝑥 + 1 = 5 ⇔
𝐸=

2
2−1

2+1

2−1

𝑥

f) Ta có :


2

=

2+1

𝑥 = 2(𝑡𝑚 )
2𝑥 + 1 = 5

. Thây x = 2 vào E tâ được :
𝑥 = −3(𝐿)
2𝑥 + 1 = −5

=2+2 2

9

𝑥−1

= ⇔ 2𝑥 = 9
2

𝑥 − 1 ⇔ 2𝑥 − 9 𝑥 + 9 = 0 ⇔

𝑥−3 2 𝑥−3 =0

𝑥=9
𝑥=9
𝑥=3
9
9 (𝑡𝑚đ𝑘 ) . Vậy
9 thì 𝐸 =
3 ⇔
𝑥
=
𝑥
=
2
𝑥=
4
4
2

 x 1

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức G= 

Bài 33.

 x 1



x   x 1 1 x 
:


x  1 1  x   x  1
x  1 
x



a)Rút gọn G

b)Tìm GTNN của G với x>0

c)Tính G tại x = 17- 4 13

d)Tìm x để G = 9/8

HD :
â) Đk :

𝑥≥0
.
𝑥≠1

Ta có : 𝐺 =
𝐺=

2𝑥+1
𝑥−1

.

𝑥−1
4 𝑥

𝑥+1

2

+ 𝑥

𝑥−1

=

𝑥−1 − 𝑥
𝑥+1



𝑥+1

2

𝑥−1



𝑥−1

2

𝑥+1

2𝑥+1
4 𝑥

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

b) 𝐺 =

2𝑥
4 𝑥

+

1
4 𝑥
2

Suy ra Gmin =
c) 𝑥 =

2

2

13 − 2

2

+

1
4 𝑥

khi 𝑥 =

𝑥

≥2

2

.

1
4 𝑥

=

2
2

9

2𝑥+1

8

4 𝑥

𝑥

Dấu bằng xảy ra khi

2

=

1
4 𝑥

⇔𝑥=

1
2

.

1
2

⇒ 𝑥 = 13 − 2 suy ra 𝐺 =

d) Ta có : 𝐺 = ⇔


𝑥

=

2 17−4 13 +1
4

13−2

=

−34+19 13
36

9

= ⇔ 2(2𝑥 + 1) = 9 𝑥 ⇔ 4𝑥 − 9 𝑥 + 2 = 0
8

𝑥=4
𝑥=2
1 (𝑡𝑚đ𝑘 )
1 ⇔
𝑥=
𝑥=
16

𝑥−2 4 𝑥−1 =0⇔

4

𝑥=4
9
Vậy 𝑥 = 1 thì 𝐴 =
8
16

Bài 34.

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức K=

2 x 9
x 5 x 6



x 3
x 2



2 x 1
3 x

a)Rút gọn K

b)Tìm x để K<1

c)Tìm x  Z để K  Z

d)Tìm GTNN củâ K’=1/K

e)Tìm x để K = 5

f) Tính K biết 𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 0

g) So Sánh K’ với 1
HD: Các em tách ∶ 𝑥 − 5 𝑥 + 6 =
â) Đk:

𝑥≥0
𝑥 ≠ 4; 𝑥 ≠ 9

Ta có: 𝐾 =
𝐾=

2 𝑥−9−

b) 𝐾 < 1 ⇔
c) 𝐾 = 1 +

𝑥−3

𝑥+3

=

𝑥+1
𝑥−3
4
𝑥−3

𝑥 − 3 . Phân số cuối cùng đổi lại mẫu số.

.
𝑥−3 + 2 𝑥+1
𝑥−2

𝑥− 𝑥−2
𝑥−2

𝑥−2

𝑥−2

𝑥−3

𝑥+1

𝑥−2

𝑥−2

𝑥−3

−1<0⇔

=
4
𝑥−3

=

2 𝑥−9−𝑥+9+2𝑥−4 𝑥+ 𝑥−2
𝑥−2

𝑥−3

𝑥+1
𝑥−3

< 0 ⇔ 𝑥 − 3 < 0 ⇔ 𝑥 < 9 . Vậy

0≤𝑥<9
𝑥 ≠ 4;

𝑥 − 3 hay 𝑥 − 3 ∈ Ư(4) = *±1; ±2; ±4+

. Để K nguyên thì 4 ⋮
𝑥−3

1

-1

2

-2

4

-4

𝑥

4

2

5

1

7

-1

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

x

16

4(L)

25

1

49

L

Vậy x = {1;16;25;49}
𝑥−3

d) 𝐾 ′ =

𝑥+1

4

=1−

𝑥 ≥ 0 nên

𝑥+1
4

𝑥 + 1 ≥ 1 suy ra −

𝑥+1

≥ −4 ⇒ 1 −

4
𝑥+1

≥ −3 . Dấu bằng xảy ra khi x = 0


𝐾𝑚𝑖𝑛
= −3 khi x = 0

e)

𝑥+1
𝑥−3

= 5 ⇔ 𝑥 + 1 = 5 𝑥 − 15 ⇔ 𝑥 = 4 ⇔ 𝑥 = 16 (thỏa mãn). Vậy x = 16.

f) 𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 0 ⇔

𝑥−1

𝑥−2 =0⇔

𝑥 = 1(𝑐ℎọ𝑛)
.
𝑥 = 4(𝐿)

Với x = 1 suy ra 𝐾 = −1
𝑥−3

g) Xét 𝐾 ′ − 1 =

𝑥+1

−1=

−4
𝑥+1

𝑥≥0
. Vậy 𝐾 ′ < 1
𝑥 ≠ 4; 𝑥 ≠ 9

< 0 với mọi

 x 1

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức M= 

Bài 35.

 x 1

8

a)Rút gọn M

b)Tìm x để 𝑀 =

d)Chứng minh M  0

e)So sánh M với 1

9



x 1  1
x
2 
:



x  1   x  1 1  x x  1 

c)Tính M tại x= 17+12 2
f) Tìm GTNN của M

HD: Chú ý đổi lại mẫu số phân số thứ hai từ cuối lên.
â) Đk:

𝑥≥0
.
𝑥≠1

Ta có: M =
M=

4 x
𝑥−1



2

x+1



x−1

𝑥−1

𝑥+2 𝑥+1
𝑥−1

=

8

4 𝑥

9

𝑥+2 𝑥+1

b) 𝑀 = ⇔

2



𝑥−1+ 𝑥

𝑥+1 +2

𝑥−1

4 𝑥
𝑥+2 𝑥+1
8

= ⇔ 36 𝑥 = 8 𝑥 + 2 𝑥 + 1
9

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

𝑥=4
𝑥−2 2 𝑥−1 =0⇔ 𝑥 =1

⇔ 8𝑥 − 20 𝑥 + 8 = 0 ⇔

4

𝑥=4
8
Vậy 𝑥 = 1 thì 𝑀 =
9
4

c) Ta có: 𝑥 = 3 + 2 2
d) Vì

4
𝑥≥0
⇒𝑀=
𝑥+2
𝑥≠1

e) 𝑀 − 1 =

4 𝑥
𝑥+2 𝑥+1

2

⇒ 𝑥 =3+2 2⇒𝑀 =

𝑥
𝑥+1

17+12 2+2 3+2 2 +1

=

4 3+2 2
8 3+2 2

=

1
2

≥ 0 (đpcm)



−1=

4 3+2 2

𝑥−1
𝑥+1

2

< 0 với mọi

2

𝑥≥0
nên M < 1.
𝑥≠1

f) Theo d suy ra Mmin = 0 khi x =0.

 x3 x
  9 x
x 3
x 2

 1 : 


x  3 
 x9
  x x 6 2 x

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức N= 

Bài 36.
a)Rút gọn

b)Tìm x để N <0

d)Tìm x  Z để N  Z

e)Tính N tại x=7-4 3

HD: Các em phân tích x + x − 6 =

c)Tìm GTLN của N

x−2

x + 3 . Chú ý đổi mẫu số của phân số thứ

hai từ cuối lên.
𝑥≥0
â) Đk: 𝑥 ≠ 4; 𝑥 ≠ 9 .
Ta có: 𝑁 =
𝑁=

−3
𝑥−3

𝑥−3 𝑥−𝑥+9
𝑥−9

𝑥−3
𝑥+3



b) Ta có : N < 0 ⇔



9−𝑥+



𝑥−3

𝑥+3 −

𝑥−2
𝑥−2

𝑥−2
3
𝑥−2

2

𝑥+3

=

𝑥−2

2

𝑥+3

3
𝑥−2

< 0 ⇔ 𝑥 − 2 ≤⇔ 𝑥 < 4 .

Kết hợp với điều kiện suy ra 0 ≤ 𝑥 < 4 .
c) Vì 𝑥 ≥ 0 ⇒ 𝑥 − 2 ≥ −2 ⇒

3
𝑥−2

CS1: LÁNG HẠ

3

≤ − . Dấu bằng xảy ra khi x = 0.
2

CS2: QUAN HOA


Vậy 𝑁𝑚𝑎𝑥 = −

3
2

TTLT Thầ y Nguyẽ n ChíThành 0975.705.122

khi x = 0
𝑥 − 2 ⇒ 𝑥 − 2 ∈ Ư(3) = *±1; ±3+

d) Để N nguyên thì 3 ⋮
𝑥−2

1

-1

3

-3

𝑥

3

1

5

-1

9(L)

1

25

L

x

Vậy x=1 ; x=25 thì N nguyên.
e) 𝑥 = 2 − 3

2

⇒ 𝑥 =2− 3⇒𝑁 =

3
2− 3−2

=− 3

 2 x

[Trích ĐTTS] Cho biểu thức P= 

Bài 37.

 x 3



x
x 3

a)Rút gọn P

b)Tìm x  Z để P  Z

c)Tìm GTNN của P

d)Tính P tại x = 25  4 6



3x  3   2 x  2 
:
 1
x  9   x  3


HD:
a) Điều kiện: x ≥ 0; x ≠ 9.
Ta có :
𝑃=
𝑃=

2 𝑥

𝑥−3 + 𝑥

𝑥+3 −3𝑥−3

𝑥−3
−3
𝑥−3

𝑥+1
𝑥+3

𝑥+3

.

𝑥−3
𝑥+1

=

b) Để P nguyên thì 3 ⋮



2 𝑥−2− 𝑥+3
𝑥−3

−3
𝑥+3

𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 + 3 ∈ Ư(3) = *±1; ±3+

𝑥+3

1

-1

3

-3

𝑥

-2

-4

0

-6

(Loại)

(Loại)

0

(Loại)

x

CS1: LÁNG HẠ

CS2: QUAN HOA


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×