Tải bản đầy đủ

SKKN Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
I. Lời giới thiệu :
Toán học được ví như là chiếc chìa khóa vàng, để mở cánh cửa kho tàng tri thức
của nhân loại . Môn toán có tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện tính
linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác, thẩm mỹ cùng sự kiên trì, nhẫn nại.
Toán học rất phong phú và đa dạng nhưng trong chương trình Toán THCS “Giá
trị tuyệt đối của một số” là một mảng kiến thức rất nhỏ, khá khó và tương đối
trừu tượng. Khi gặp một bài toán về giá trị tuyệt đối, nhiều học sinh lúng túng vì
không biết phải bắt đầu từ đâu và không vận dụng được lý thuyết trong sách
giáo khoa để chỉ ra phương pháp giải bài toán. Điều đó cũng dễ hiểu, vì tuy đã
được học phần lý thuyết cơ bản song số lượng bài tập để củng cố, để khắc sâu và
để bao quát hết các dạng toán trong sách giáo khoa thì lại không nhiều, không có
sức lôi cuốn học sinh tích cực tìm tòi, nghiên cứu. Vấn đề đặt ra là làm thế nào
để học sinh lớp 7 hiểu được một cách sâu sắc các kiến thức về giá trị tuyệt đối
của một số hữu tỉ và nắm được cách giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng
cao. Đây cũng là lí do để tôi viết chuyên đề “Một số dạng toán về giá trị tuyệt
đối của một số hữu tỉ”.
II. Tên sáng kiến:
Chuyên đề: Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
III. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến :

IV. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
V. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:
Sáng kiến này được áp dụng giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 lần
đầu tiên vào năm học 2015 - 2016
VI. Mô tả bản chất của sáng kiến:
A. Về nội dung của sáng kiến
1. Cơ sở lý thuyết:
Trong sách giáo khoa môn Toán 7 thì các kiến thức về giá trị tuyệt đối chỉ được
nói đến ở một, hai bài và mang tính chất chung chung, trừu tượng. Ngoài ra các
bài tập, các dạng toán về giá trị tuyệt đối còn ít và đơn điệu, chưa có hệ thống,
1


chưa khai thác hết các dạng bài tập cũng như chưa đi sâu phát triển kiến thức
nâng cao.
2. Cơ sở thực tiễn:
Khi dạy về giá trị tuyệt đối mà chưa áp dụng sáng kiến tôi thấy học sinh chỉ làm
được các bài toán ở mức độ rất đơn giản như là nhận biết. Song khi gặp các bài
toán ở mức độ thông hiểu và mức độ vận dụng thì các em còn lúng túng vì chưa
xác định được dạng toán và phương pháp giải, vận dụng kiến thức chưa sáng
tạo.
3. Khảo sát thực tiễn của đề tài:
a) Số liệu thống kê:
Khi chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy về phần giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ thì kết quả
thu được là:

Đạt loại

Số lượng (bài)

Tỉ lệ so với cả lớp
(%)

Giỏi

0

0

Khá



5

11,1

Trung bình

28

62,2

Yếu

10

22,2

Kém

2

4,5

b) Phân tích nguyên nhân
-Học sinh chưa biết liên hệ giữa các kiến thức cơ bản và kiến thức nâng cao
-Học sinh chưa thể tự phân dạng và hình thành phương pháp giải
-Khả năng vận dụng kiến thức còn yếu.
4.Giải pháp:
Khi dạy về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ, giáo viên cần xây dựng thành một
chuyên đề cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản và nâng cao.
Phân dạng bài tập và phương pháp giải phù hợp cho từng dạng bài tập đó.
Chuyên đề: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT
SỐ HỮU TỈ
4.1. Kiến thức lý thuyết về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ.
4.1.1.Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá
trị tuyệt đối của số a
Kí hiệu: a
4.1.2Tính chất: Với a, b, x, y �Q, ta luôn có:
a) Với x �0 , ta có x  x
2


Với x  0 , ta có x   x
b) Giá trị tuyệt đối của mọi số hữu tỉ đều không âm
x �0 với mọi x �Q
c) Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược
lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối
nhau.
ab

a b ��
a  b

d) Nếu x �a ( a > 0 ) thì a �x �a

Nếu x �a ( a > 0 ) thì a �x và x �a
e) Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
Nếu a  b  0  a  b
Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
Nếu 0  a  b  a  b
f) Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
a.b  a . b

Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
a
a

b
b

g) Bình phương giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
2

a a 2

h) Với hai số x, y , ta luôn có

x  y �x  y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x. y �0
i) Với hai số x, y , ta luôn có x  y �x  y
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x. y �0 và x  y
4.2. Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ
4.2.1.Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Học sinh cần thấy được sự giống và khác nhau giữa dạng toán này với dạng toán
tính giá trị của một biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: A = 3x2 - 2x + 1 với x = 2
Phân tích: với x = 2 thì x = 2 hoặc x = -2 nên có hai giá trị tương ứng của A
Lời giải:
x = 2 nên x = 2 hoặc x = -2
* Với x = 2 ta có A = 3.22 - 2.2 + 1 = 9.
3


* Với x = -2 ta có A = 3.(-2)2 - 2.(-2) + 1 = 17.
Vậy với x = 2 thì A = 9 hoặc A = 17.
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
B = 2 x - 2 - 3 1- x tại x = 4
Phân tích: Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x = 4 vào biểu thức B
sau đó bỏ giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức B.
Lời giải:
Với x = 4 ta có B = 2 4 - 2 - 3 1 - 4 = 2.2 - 3.3 = - 5.
Vậy với x = 4 thì B = -5
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức khi
A= x

3
3
1
- |x + 1| + x  với x = 
2
4
2

Đáp số: A = 1,75
1
3

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức a  , b 0,25
a) A = 3a – 3ab –b;

b) B=

5a 3

3 b

Đáp số:
1
3

1
4

1
3

1
4

a)Với a  ; b  0, 25  ta có A =

1
2

1
3

1
3

Với a   ; b  0, 25  ta có A = -1
1
3

1
4

Với a  ; b  0, 25   ta có A = 1
1
3

1
4

b) Với a  ; b  0, 25  ta có B = 11
1
4

Với a   ; b  0, 25  ta có B = 12
1
2

1
3

1
4

Với a  ; b  0, 25   ta có B =12

1
4

1
3

1
4

4
9

5
9
5
9

Với a   ; b  0, 25   ta có A = -1 Với a   ; b  0, 25   ta có B= 11

5
9

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với a 1,5; b  0,75
b) N =

a 2

với a 1,5; b  0,75
2 b

Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
a) A 2 x  2 xy  y với x 2,5; y 

3
4

4


1
3

b) B 3a  3ab  b với a  ; b 0,25
5a 3
1

với a  ; b 0,25
3 b
3
1
d) D 3x 2  2 x  1 với x 
2

c) C 

Bài 5: Tính giá trị của các biểu thức:
3
2
a) A 6 x  3x  2 x  4 với x 

 2
3

1
2

b) B 2 x  3 y với x  ; y  3
c) C 2 x  2  31  x với x = 4
1
5x 2  7 x  1
d) D 
với x 
2
3x  1

4.2.2. Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối với dạng toán này học sinh cần nhớ : + Với x �0 , ta có x  x
+ Với x  0 , ta có x   x
Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của 1 biểu thức cần xét xem giá trị của biến
làm cho biểu thức dương hay âm. Dấu của các biểu thức thường được viết
trong bảng xét dấu.
Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn biểu thức.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 3) - x - 8
Phân tích: Ở bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét 2 trường hợp
của biến x làm cho x - 8  0 và x - 8 < 0.
Lời giải:
Ta có: x - 8 = x- 8 khi x – 8  0 hay x  8
x - 8 = 8 - x khi x – 8 < 0 hay x < 8
* Với x  8 ta có A = 3(2x - 3) - (x - 8) = 6x - 9 - x +8 = 5x - 1.
* Với x < 8 ta có A = 3(2x - 3) - (-x + 8) = 6x - 9 + x - 8 = 7x - 17
Vậy nếu x  8 thì A = 5x – 1, nếu x < 8 thì A = 7x - 17
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
A = x - 3 - x - 4
Phân tích: Ở đây biểu thức A có chứa 2 biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối
do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên , cần hướng dẫn cho học sinh lập
5


bảng xét dấu.
x
3
4
x-3
0
+
x-4
0
Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x.

+
+

Hoặc có thể cho học sinh lập bảng biến đổi sau:
x
x - 3
x - 4
A = x - 3 - x - 4
Lời giải:

3
0

3-x
4-x
-1

4
x-3
4-x
2x - 7

0

x-3
x-4
1

* Nếu x < 3 thì A = (3 - x) - (4 - x) = 3 - x - 4+x = -1.
* Nếu 3  x  4 thì A = (x - 3) - (4 - x) = x - 3 - 4 + x = 2x - 7.
* Nếu x > 4 thì A = (x - 3) - (x - 4) = x - 3 - x + 4 = 1.
Vậy nếu x < 3 thì A = - 1, nếu 3  x  4 thì A = 2x - 7 và nếu x > 4 thì A=1
Bài tập áp dụng
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 x 4,1
a) A  x  3,5  4,1  x

b) B   x  3,5  x  4,1

Đáp số:

a) A = 0,6

b) B = 0,6

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) A  x  1,3  x  2,5
Đáp số:
a) A = -3,8

b) B   x  1,3  x  2,5

b) B = 1,2 -2x

Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) A  x  2,5  x  1,7

1
5

b) B  x   x 

2
5

c) C  x  1  x  3

Đáp số:
a) + x < 1,7 thì A = 4,2 -2x

b) + x 

+ 1,7 �x < 2,5 thì A = 0,8
+ 2,5 �x thì A = 2x -4,2

+

1
1
thì B = -2x
5
5

1
2
3
�x  thì B = +2x
5
5
5
2
5

+ �x thì B =

3
5

6


Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
a) A  x 

3
1
x
5
7

1
3 4
 x 
7
5 5

b) B   x 

1
3 2
  x 
7
5 6

Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) A  x  0,8  x  2,5  1,9 với x < - 0,8
2
2
 9 với x 4,1
3
3
1
1
1
1
1
c) C  2  x  x   8 với x 2
5
5
5
5
5
1
1
d) D  x  3  x  3 với x > 0
2
2

b) B  x  4,1  x 

4.2.3. Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt
đối.
*Dạng 3.1: f(x)  k (Trong đó f(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho
trước )
Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt
đối của mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có f ( x)  0 � f ( x)  0
�f ( x )  k
�f ( x )  k

- Nếu k > 0 thì ta có: f ( x)  k � �
Ví dụ : Tìm x biết:
a) x 

3
4

4
5

c) x  0, 4  0

b)2x - 1 = 3
d)  x  1  6 x  2 0

e) x  5  4 3
Lời giải:
a) Vì x 

3
3
4
�0 với  x nên không có giá trị nào của x thỏa mãn x   
4
4
5

b) 2x - 1 = 3
2x  4
x2
2x  4
2x 1  3




��
��
��
��
2 x  1  3
2 x  2
2 x  2
x  1





Vậy x = 2 hoặc x = -1
c) x  0, 4  0 � x  4  0 � x  4
7


Vậy x = 0,4
d) x  1 �0 với mọi x nên x  1  6 �0 với mọi x
Do đó  x  1  6 x  2  0 khi x – 2 = 0
e) x  5  4 3  x  5  4 3
 ) x  5  4  3 � x  5  7 � x  2 hoặc x = -12

+ x  5  4  3 � x  5  1 � x  4 hoặc x = -6
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2 x  5 4

b)

1 5
1
  2x 
3 4
4

c)

1
1 1
 x 
2
5 3

d)

3
7
 2x 1 
4
8

Đáp án:
a) x = 4,5 hoặc x = 0,5

b) x =

1
11
hoặc x =
3
30

c) x = 

7
2
hoặc x =
12
3

d) x = 

9
5
hoặc x = 1
16
16

Bài 2: Tìm x, biết:
a) 2 2 x  3 

1
2

d) 2 3x  1  1 5

b) 7,5  3 5  2 x  4,5
e)

x
 1 3
2

f)  x 

c) x 

4
  3,75   2,15
15

2 1
 3,5
5 2

g) x 

1
1
2
3
5

Đáp án:
3
8

a) x = 1 hoặc x = 1
1
3

5
8

c) x = 1 hoặc x = 1

b) x =
13
15

e) x = -4 hoặc x = 8
g) x = 2

1
hoặc x = 4,5
2

d) x = 

1
hoặc x = -1
3

f) x = 2

3
2
hoặc x = 3
5
5

8
13
hoặc x = 1
15
15

Bài 3: Tìm x, biết:
a) x 
c)

1 3
 5%
4 4

3 4
3 7
 x 
2 5
4 4

b) 2 

3
1
5
x 
2
4
4

d) 4,5 

3 1
5 5
x 
4 2
3 6

Đáp án:
8


a) x =

11
1
hoặc x = 1
20
20

c) x = 1

b) x =

1
7
hoặc x =
16
16

2
2
hoặc x = 
3
3

d) x = 6

4
1
hoặc x = -13
9
9

Bài 4: Tìm x, biết:
9
1
: x  2
4
3
15
3
1
c)  2,5 : x  3
4
4
2

11 3
1 7
 : 4x  
4 2
5 2
21
x 2
d)  3 :  6
5
4 3

a) 6,5 

b)

Đáp số:
a) x =

1
5
hoặc x =
6
6

c) x = 3

b) x =

7
1
hoặc x = 5
9
9

11
9
hoặc x =
20
20

d) x = 9

1
hoặc x = - 4
3

*Dạng 3.2: f(x)  g(x) hay f (x) - g (x) = 0(Trong đó f(x) và g(x) là hai
biểu thức chứa biến x )
Cách giải:
�f ( x)  g ( x)

 a b

Vận dụng tính chất: a  b  
ta có: f ( x)  g ( x) � �
�f ( x)   g ( x)
 a  b
Ví dụ : Tìm x biết: a) x - 3,5 = 4,5 - x
b) 17 x  5  17 x  5 0
Lời giải:
a) x - 3,5 = 4,5 - x
2 x  8    
�x  3,5  4,5  x �x  x  4,5  3,5    

��
 � x  4
�  �
�  �
0x   1,5 
�x  3,5  x  4,5 �x  x   4,5  3,5  �

Vậy x = 4.
b) 17 x  5  17 x  5  0 � 17 x  5  17 x  5
17 x  5  17x  5     

��

17 x  5  -17x  5 

Vậy x = 0
Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm x, biết:
a) 5 x  4  x  2
c) 2  3x  4 x  3
Đáp số:

0 x  10     

� x= 0

34 x  0 


b) 2 x  3  3x  2 0
d) 7 x  1  5 x  6 0

9


1
3
hoặc x =
3
2
1
c) x = 5 hoặc x =
7

a) x =

b) x = -5 hoặc x =

1
5

d) x = 2,5 hoặc x =

7
12

Bài 2: Tìm x, biết:
3
1
x   4x  1
2
2
7
2
4
1
c) x   x 
5
3
3
4

5
7 5
3
x   x  0
4
2 8
5
7
5 1
d) x   x  5 0
8
6 2

a)

b)

Đáp số:
1
3
hoặc x =
11
5
1
c) x = 5 hoặc x =
7

164
116
hoặc x =
25
75
8
1
d) x = 4 hoặc x = 11
33
9

a) x =

b) x =

*Dạng 3.3: f(x)  g(x)(Trong đó f(x) và g(x) là hai biểu thức chứa biến x )
Cách giải:
Cách 1: Ta thấy nếu g(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị
tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
f(x)  g(x) (1)
Điều kiện: g(x) 0 (*)
�f ( x )  g ( x)

(1) Trở thành f ( x)  g ( x) � �
Từ đây tìm được x sau đó đối chiếu
�f ( x )   g ( x)
giá trị x tìm được với điều kiện ( * ) rồi kết luận.
Cách 2: Chia khoảng giá trị của biến, xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu a 0  a a
Nếu a  0  a  a
Ta giải như sau: f(x)  g(x)
(1)
+Nếu f(x) 0 thì (1) trở thành: f(x) = g(x). Từ đây tìm được x sau đó đối chiếu
giá trị x tìm được với điều kiện rồi kết luận.
Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện
+Nếu f (x ) < 0 thì (1) trở thành: - f(x) = g(x). Từ đây tìm được x sau đó đối
chiếu giá trị x tìm được với điều kiện rồi kết luận.
Ví dụ : Tìm x biết:  x-7 + x - 5 = 3.
Lời giải:
 x-7 + x - 5 = 3 �  x-7 = 8-x (1)
Cách 1: Vì  x-7 �0 với mọi x nên điều kiện 8 - x �0 � x �8
Phương trình (1) trở thành  x-7  8  x

10


2 x  15
�x  7  8  x �
� x = 7, 5 ( thỏa mãn điều kiện)
��
��
0
x


1
(

nghi
ê
m
)
x

7

x

8





Vậy x = 7,5
Cách 2:
+) Với x - 7 �0 � x �7 thì phương trình (1) trở thành x - 7 = 8 - x
� 2x

= 15 � x = 7,5( thỏa mãn)

+) Với x – 7<0 � x < 7 thì phương trình (1) trở thành 7- x = 8- x
� 0x

= -1 (vô nghiệm)

Vậy x = 7, 5
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x, biết:
a)

1
x 3  2 x
2

b) x  1 3x  2

Đáp số:
a) ĐK: x �1,5
x=1,2(thỏa mãn) ; x = 2( loại)

c) 5 x x  12

d) 7  x 5 x  1
2
3

b) ĐK: x �

x= -1,5(loại); x=
c) ĐK: x �12
x=2(loại) ; x = -3( loại)
Vậy không có giá trị nào của x
thỏa mãn đề bài

1
5

1
(thỏa mãn)
4

d) ĐK: x �

x= -2(loại); x=1(thỏa mãn)

Bài 2: Tìm x, biết:
a) 9  x 2 x
b) 5 x  3x 2

c) x  6  9 2 x

d) 2 x  3  x 21

Bài 3: Tìm x, biết:
a) 4  2 x  4 x
b) 3x  1  2  x

c) x  15  1 3x

d) 2 x  5  x 2

Bài 4: Tìm x, biết:
a) 2 x  5  x  1
b) 3x  2  1  x

c) 3x  7 2 x  1

d) 2 x  1  1  x

Bài 5: Tìm x, biết:
a) x  5  5  x
b) x  7  x 7
c) 3x  4  4 3x d) 7  2 x  7 2 x
*Dạng 3.4: A  B  0 (Trong đó A và B là hai biểu thức chứa biến )
Cách giải:


�A 0
�A  0
Vì �
với mọi x nên A  B  0 khi �
(1)
�B �0
�B  0
Giải điều kiện (1) ta tìm được x
11


Chú ý 1: Bài toán có thể cho dưới dạng A  B �0 nhưng kết quả không thay đổi
Cách giải: A  B �0 (1)

�A 0
� A  B �0 (2)
Vì �
B

0


�A  0
Từ (1) và (2) � A  B  0 � �
�B  0
Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất
không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các
bài tương tự.
Ví dụ : Tìm x, y thoả mãn:
a) 3  2 x  4 y  5 0 ;

b) x  3 y

2007

 y4

2008

0

c) x  2007  y  2008 0
Lời giải:
a) 3  2 x  4 y  5 0


�3  2 x �0
�3  2 x  0
với mọi x, y nên 3  2 x  4 y  5 0 khi �
�4 y  5 �0
�4 y  5  0

Vì �

3  2x  0

�x  1,5
��
��
4y  5  0

�y  1, 25
�x  1,5
�y  1, 25

Vậy �

b) x  3 y

2007

 y4

2008

0

2007

�0
�x  3 y
2007
2008
 y4
0 khi
Vì �
với mọi x, y nên x  3 y
2008
y

4

0




�x  3 y  0

�y  4  0

�x  3 y  0
�x  12
��
��
�y  4  0
�y  4
�x  12
�y  4

Vậy �

c) x  2007  y  2008 0 (1)


�x  2007 �0
Vì �
(2)
�y  2008 �0
12



�x  2007
�x  2007  0
��
Từ (1) và (2) suy ra �
�y  2008
�y  2008  0
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x  4  3 y  5 0 ;

b) x  y  y 

9
0 ;
25

c) x  y  2  y  3 0

9
;
25

c) x= -1 và y = -3

Đáp số:
a) x=

4
5
và y = ;
3
3

b) x= y =

Bài 2: Tìm x, y thoả mãn:
3
2
x  y  3 0 ;
4
7
c) x  2016  y  2017  0

a) 5 

b)

Đáp số:
a) x= 6

2
1
và y =10 ;
3
2

b) x=

2 1 3
11 23
  x  1,5 

y 0
3 2 4
17 13

2
377
và y =
;
9
782

c) x= 2016 và y = 2017

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5 x  1  6 y  8 0 ;
c) x  y  2  2 y  1 0 ;
Đáp số:

b) x  2 y  4 y  3 0
d) x  2007  y  2008 0

a) x=

b) x= 1,5 và y = ;

1
4
và y = ;
5
3
1
c) x= -2,5 và y = ;
2

3
4

d) x= 2007 và y = 2008

Bài 4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12 x  8  11 y  5 0 ; b) 3x  2 y  4 y  1 0 ;
Bài 5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
4
2
a) x  y  2  y  3  0
c)  x  y   2007 y  1 0
Đáp số:
a) x= -1 và y = -3;
c) x= -1 và y = 1;
2006

Bài 6: Tìm x, y thoả mãn :
a)  x  1 2   y  3 2 0
c) 3 x  2 y 

2004

4 y

1
0
2

c) x  y  7  xy  10 0

b) x  3 y
d)

2007

 y4

2008

x  y  5  2007 y  3

0

2008

0

b) x= -12 và y = - 4;
d) x= 8 và y = 3
5

4
b) 2 x  5  5 2 y  7 0

d)

1

x  3y  1   2 y  
2


2000

0

13


Bài 7: Tìm x, y thoả mãn:
2008
2007
a) 2007 2 x  y  2008 y  4 0 ;

c)

13
1
 x 
24
2

2006



b)

5

3 x  y  10 y 

2
3

7

0

2007 4
6
y
0
2008 5
25

*Dạng 3.5: A( x)  B( x)  C ( x) m (Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị
tuyệt đối)
Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ : Tìm x thoả mãn: x  1  x  2  x  3 6 (1)
Lời giải: Lập bảng xét dấu
x
-3
-1
2
x+1
0
+
x–2
0
x+3
0
+
+
+) Với x < - 3 thì phương trình (1) trở thành –x – 1 +2 –x –x – 3 = 6

+
+
+

8
( loại)
3

� -3x = 8 � x =

+) Với -3 �x <-1 thì phương trình (1) trở thành –x – 1 +2 –x +x + 3 = 6

� -x = 2 � x = -2( thỏa mãn)
+) Với -1 �x < 2 thì phương trình (1) trở thành x + 1 +2 –x +x + 3 = 6

� x = 0 ( thỏa mãn)
+) Với 2 �x thì phương trình (1) trở thành x + 1 +x-2 +x + 3 = 6

� 3x = 4 � x =

4
( loại)
3

Vậy x = 0 hoặc x = -2
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 4 3x  1  x  2 x  5  7 x  3 12
1
5

c) 2  x  x 

1
1
 8 1,2
5
5

b) 3 x  4  2 x  1  5 x  3  x  9 5
1
2

1
2

1
5

d) 2 x  3  x  3  2  x

Bài 2: Tìm x, biết:
a) 2 x  6  x  3 8

b) 2 x  2  4  x 11

c) x  5  x  3 9

d) x  2  x  3  x  4 2

Bài 3: Tìm x, biết:
14


a) x  2  x  3  2 x  8 9

b) 3x x  1  2 x x  2 12

c) x  1  3 x  3  2 x  2 4

d) x  5  1  2 x  x

e) x  2 x  3  x  1

f) x  1  x  x  x  3

Bài 4: Tìm x, biết:
a) x  2  x  5 3
b) x  3  x  5 8
c) 2 x  1  2 x  5 4
d) x  3  3x  4  2 x  1
*Dạng 3.6: A(x) B(x) C(x)D(x) (1)
Cách giải:
Vì A( x) 0; B( x) 0; C ( x) 0 kéo theo điều kiện D(x) 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
� lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Ví dụ : Tìm x thoả mãn: 2 x  3  x  5  3x  4  12  x (1)
Lời giải: 2 x  3  x  5  3x  4  12  x (1)
Vì 2 x  3 �;0 x  5 �0; 3x  4 �0 với mọi x nên 12 – x 0 � x �12
Với điều kiện x �12 thì phương trình (1) trở thành
2x + 3 +x – 5 + 3x – 4 = 12 – x

� 7x = 18
�x =

18
2
 2 ( thỏa mãn)
7
7

Vậy x = 2

2
7

Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x, biết:
a) x  1  x  2  x  3 4 x
3
5

c) x  2  x   x 

1
4 x
2

b) x  1  x  2  x  3  x  4 5 x  1
d) x  1,1  x  1,2  x  1,3  x  1,4 5 x

Đáp số:
a) x=6;

b) 3

1
;
10

c) x=11;

d) x= 5

Bài 2: Tìm x, biết:
1
2
3
100
 x
 x
 ...  x 
101x
101
101
101
101
1
1
1
1
 x
 x
 ...  x 
100 x
b) x 
1.2
2.3
3.4
99.100

a) x 

15


1
1
1
1
 x
 x
 ...  x 
50 x
1.3
3.5
5.7
97.99
1
1
1
1
 x
 x
 ...  x 
101x
d) x 
1 .5
5 .9
9.13
397.401

c) x 

Đáp số:

1  2  3  ...  100
=50;
101
1
1
1
1
99

 ... 

b) x=
=1 
;
100 100
1.2 2.3
99.100
1
1
1
1
98

 ... 
1

c) x=
;
1.3 3.5
97.99
99 99
1
1
1
1
400


... 

d) x=
1.5 5.9 9.13
397.401 401

a) x=

*Dạng 3.7: Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nằm trong dấu giá trị
tuyệt đối.
Cách giải:
Lần lượt xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối từ ngoài vào trong
Ví dụ : Tìm x, biết:
a) 2 x  3  x  1 4 x  1

b) 3x  1  5 2

Lời giải:
a) 2 x  3  x  1 4 x  1 (1)
1
4x -1 �0 � x �
4
�2 x  3  x  1  4 x  1
�2 x  3  4 x  1  x  1
1
��
Với x � thì từ (1) � �
4
�2 x  3  x  1  1  4 x
�2 x  3  1  4 x  x  1
�2 x  3  5 x  2
��
� 2 x  3  5 x  2 (2)
�2 x  3  3x (lo ai )


2
Vì 2 x  3 �0 nên 5 x  2 �0 � x �
5
� 1
x
lo a i
2x  3  5x  2
3 x  1 � 3



2
��
��
Với x � thì từ (2) � �
2x  3  2  5x
7x  5
5


�x  5 (t / m)

� 7
5
Vậy x 
7

Vì 2 x  3  x  1 �0 nên

 

16


�3x  1  5  2
�3x  1  7
��
b) 3 x  1  5 2 � �
�3x  1  5  2
�3x  1  3
�x  2
3x  1  7
3x  6


��
� � 8
+) 3x  1  7 � �
3 x  1  7 �
3x  8 �x 

� 3
� 2
�x  3
3x  1  3
3x  2


��
��
+) 3x  1  3 � �
3
x

1


3
3
x


4


�x  4

� 3
�2 4 8 �
; ; 2�
�3 3 3

Vậy x�� ;

Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm x, biết:
a) 2 x  1 
2
c) x x 

1 4

2 5

2
b) x  2 x 

3
x 2
4

1
x2  2
2

d) x  1  1 2

Đáp số:
1
2

17 3 13 7



a) x ��20 ; 20 ; 20 ; 20 �

b) x  1 hoặc x  



c) x  0 ; x 

1
3
hoặc x  1
4
4

1
2

d) x  2 hoặc x  4

Bài 2: Tìm x, biết:
a) 2 x  1 

1 1

2 5

b)

1
3 2
x 1  
2
4 5

2
c) x x 

3
x
4

Bài 3: Tìm x, biết:
3
x
4

1

2

*Dạng 3.8: A  B  A  B

2
a) x x 

b)  x   2 x 

3
3
2 x 
4
4

c) x 

1
3
3
2x 
2 x 
2
4
4

Cách giải: Sử dụng tính chất: Với hai số hữu tỉ x, y ta luôn có x  y �x  y
Từ đó ta có x  y  x  y ۳ x. y 0
Ví dụ : Tìm x, biết: 3x  5  3x  1 6
Lời giải:
17


Ta có 3x  5  3x  1  5  3x  3x  1 �5  3x  3x  1  6
Dấu “ =” xảy ra khi (5-3x)(3x+1) �0
1
5
�
x
3
3
1
5
�x �
Vậy
3
3
Bài tập áp dụng
Bài 1:Tìm x, biết:
a) x  5  3  x 8 ;
c) x  3  5  x  2 x  4 2 ;
e) x  1  2 x  3  3x  2
Đáp số:
a) 5 �x �3 ; b) 2 �x �5 ;

b) x  2  x  5 3
d) 2 x  3  2 x  5 11

c) x = 4;

d) 2,5 �x �3 ;

e) x �1 hoặc x �1,5

Bài 2: Tìm x, biết:
a) x  4  x  6 2
b) x  1  x  5 4
c) 3x  7  3 2  x 13
d) 5 x  1  3  2 x  4  3x e) x  2  3x  1  x  1 3
f) x  2  x  7 4
4.2.4. Dạng 4: Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn đẳng thức hoặc bất đẳng
thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
*Dạng 4.1: A  B =m với m > 0
A  B m (1)
Cách giải:
Do A 0 nên từ (1) ta có: 0  B m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên (x,y), biết:
2
a) 5 x  2 y  3 7
b) 3 4 x  y  3 21
c) 3 y 12  x  2
Lời giải:
a)Vì 2 y  3 �0 với mọi y nên từ 5 x  2 y  3 7 suy ra 5 x �7 � 7 �5 x �7
7
7
�  �x � � x � 1;0;1 (vì x �Z )
5
5

y

2y  3  2

��
+) Với x = �1, ta có 2 y  3  2 � �
2 y  3  2 �

y


1
2
(loại)
5
2

2y  3  7
y2


��
2 y  3  7 �
y5


+) Với x = 0, ta có 2 y  3  7 � �

Vậy các cặp số nguyên(x; y) cần tìm là (0; 2); (0; 5)
b) 3 4 x  y  3 21
21
Vì y  3 �0 với mọi y nên từ 3 4 x  y  3 21 suy ra 3 4 x �

4x

7

18


��
7 4�
x 7

7
4

x

7
� x � 1;0;1 (vì x �Z )
4
y 3 9
y6


��
y  3  9 �
y  12


+) Với x = �1, ta có y  3  9 � �

y  3  21

�y  18
��
y  3  21 �y  24


+) Với x = 0, ta có y  3  21 � �

Vậy các cặp số nguyên(x; y) cần tìm là (1; 6); (1; -12); (-1; 6); (-1; -12); (0; 18);
(0; 24)
2
2
c) 3 y 12  x  2 � 3 y  x  2  12
2
12 ��
y2 4
Vì x  2 �0 với mọi x nên từ 3 y  x  2  12 suy ra 3y2 ��
y α�
 2; 1;0 (vì x �Z )

2

y

2

+) Với y=0, ta có � x  2  12 � x  14 hoặc x  10
+)Với y  �1, ta có � x  2  9 � x  11 hoặc x  7
+) Với y  �2 , ta có � x  2  0 � x  2 hoặc x  7
Vậy các cặp số nguyên(x; y) cần tìm là (11;1); (-7;1); (11; -1); (-7; -1); (2; 2);
(2; -2); (-7; 2); (-7; -2); (14; 0); (-10; 0)
Bài tập áp dụng
Bài 1:Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x  4  y  2 3
b) 2 x  1  y  1 4

c) 3x  y  5 5

Bài 2:Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3 x  5  y  4 5
b) x  6  4 2 y  1 12

c) 2 3x  y  3 10

Bài 5:Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
2
2
a) y 3  2 x  3
b) y 5  x  1

2
c) 2 y 3  x  4

*Dạng 4.2: A  B  m với m > 0.
Cách giải:
A  B  m (1)
A 0
  A  B 0 (2)
B 0
Từ (1) và (2)  0  A  B  m từ đó giải bài toán A  B k với 0 k  m
Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên (x,y), biết: 3 2 x  1  4 2 y  1 7

Lời giải:
3 2 x  1  4 2 y  1 7 (1)
Vì 3 2 x  1 �0 với mọi x; 4 2 y  1 �0 với mọi y nên 0 �3 2 x  1 �7 � x � 0; 1

Với x= 0 hoặc x = -1, ta có :
4 2 y ����
1 4 �2y�1�
1 ��
1 2 y 1 1

0

y 1

y

 0;1
19


Vậy các cặp số nguyên(x; y) thỏa mãn đề bài là (0;0); (0; 1); (-1; 0); (-1; 1)
Bài tập áp dụng
Bài 1:Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x  y 3
c) 2 x  1  y  4 3

b) x  5  y  2 4
d) 3x  y  5 4

Bài 2:Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5 x  1  y  2 7 ;
b) 4 2 x  5  y  3 5 ;

c) 3 x  5  2 y  1 3

*Dạng 4.3: Sử dụng tính chất: A  B �A  B , dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi AB �0
Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên (x,y), biết: 3 2 x  1  4 2 y  1 7
a) 3x  2 + 3x  1 = 3
b) x – 2y = 5 và x  2 y  1 6
Lời giải:
a) 3x  2 + 3x  1 = 3
Ta có 3x  2 + 3x  1 � 2-3x + 3x  1 = 2-3x+3x+1  3  3
1
3

Dấu “=” xảy ra khi (2-3x)(3x+1) �0 �

x

2
3

1
2
�x �
3
3
b) Với x – 2y = 5, ta có x  2 y  1  x  1  2 y �x  2 y  1  5  1  6
1
2
x
Dấu “=” xảy ra khi (2-3x)(3x+1) �0 �
3
3

Vậy 3x  2 + 3x  1 = 3 khi

Bài tập áp dụng
Bài 1:Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x  1  4  x 3
c) x  1  x  6 7

b) x  2  x  3 5
d) 2 x  5  2 x  3 8

Bài 2:Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x  2  y 6
b) x +y = 4 và 2 x  1  y  x 5
c) x –y = 3 và x  y 3
Bài 3:Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x  1  y  2 4
b) x – y = 3 và x  6  y  1 4
c) x – y = 2 và 2 x  1  2 y  1 4
d) 2x + y = 3 và 2 x  3  y  2 8
* Dạng 4.4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu
của một tích:
Cách giải : A( x).B( x)  A( y )
Đánh giá: A( y ) 0  A( x).B( x) 0  n  x m tìm được giá trị của x.
Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:  x  2   3  2 x   y  1
Lời giải:
20


Vì y  1 �0 nên  x  2   3  2 x  �0 � 2 �x �1,5 � x � 2; 1;0;1
+Với x = 1, ta có y  1  3 � y  4 hoặc y  2
+Với x = 0, ta có y  1  6 � y  7 hoặc y  5
+Với x = -1, ta có y  1  5 � y  6 hoặc y  4
+Với x = -2, ta có y  1  0 � y  1
Vậy (x;y) � (1; 4);(1; 2);(0;7);(0; 5);(1;6);( 1; 4);( 2;1)
Bài tập áp dụng
Bài 1:Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)  2  x  x  1  y  1 ;
b)  x  31  x   y ;
c)  x  2 5  x   2 y  1  2
Bài 2:Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)  x  1 3  x  2 y  1 ; b)  x  2 5  x   y  1 1 c)  x  3 x  5  y  2 0
*Dạng 4.5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A m (1)
Đánh giá: B m (2)
 A m
 B m

Từ (1) và (2) ta có: A  B  

6

Ví dụ : Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: x  1  3  x  y  3  3
Lời giải:
Ta có :
x  1  3  x �x  1  3  x  2 với x
(1)
6
6
� 2
y  3 �0 với y nên
y 3 3 3

(2)

�x  1  3  x  2

Từ (1) và (2) suy ra � 6
�y  3  3  2


+ x  1  3  x  2 và x �Z � x � 1; 2; 3
6

+ y  3  3  2 � y  3
Vậy (x;y) � (1; 3);(2; 3);(3; 3)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
12

10

2
a) x  2  x  1 3   y  2 ; b) x  5  1  x  y  1  3 ; c) y  3  5 
 2 x  6 2  2

Bài 2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
8

a) 2 x  3  2 x  1  2 y  5 2  2

16

b) x  3  x  1  y  2  y  2
21


12

10

c) 3x  1  3x  5   y  3 2  2

d) x  2 y  1  5  y  4  2

Bài 3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
14

20

2
a)  x  y  2  7  y  1  y  3

2
b)  x  2  4  3 y  2  5

6

30

c) 2 x  2007  3  y  2008  2
d) x  y  2  5  3 y  5  6
4.2.5. Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
*Dạng 5.1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính
chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
12

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: P  2  3 x  5  4
Lời giải:
5 4�
4
Vì x  5 �0 với mọi x nên 3 x 

12
x5 4

12
4

3

P

2 3 5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  5  0 � x  5
Vậy biểu thức P đạt giá trị lớn nhất là PMax = 5 khi x = -5
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) A 0,5  x  3,5
b) B  1,4  x  2
c) C 

3x 2
4x  5

2 x 3

d) D  3 x  1

e) E 5,5  2 x  1,5

f) F  10,2  3x  14

g) G 4  5 x  2  3 y  12

h) H  2,5  x  5,8

i) I  2,5  x  5,8

k) K 10  4 x  2

l) L 5  2 x  1

m) M  x  2  3

Đáp số:
a)AMax = 0,5 khi x = 3,5

5,8

1

b)BMax = -2 khi x = 1,4

c)CMax = 2

2
khi x = 2
3

3
3
f) FMax = -14 khi x = 3,4
khi x = 1
e) EMax = 5, 5 khi x =
4
4
2
h) HMax = 1 khi x =2,5
= 4 khi x = , y= - 4
5

d) DMax = 3
g) GMax

i) IMax = -5, 8 khi x =2,5

k) KMax = 10 khi x =2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A 1,7  3,4  x
b) B  x  2,8  3,5
d) D  3x  8,4  14,2
e) E  4 x  3  5 y  7,5  17,5

l) LMax = 5 khi x = 0,5
c) C 3,7  4,3  x
f) F  2,5  x  5,8
22


2 3

5 7
l) L 2 3x  2  1

g) G  4,9  x  2,8

h) H  x 

k) K 2 3x  1  4

i) I 1,5  1,9  x
m) M 51  4 x  1

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
15

1

a) A 5  4 3x  7  3
4

20

24

c) C  5  3x  5  4 y  5  8
2

21

b) B  3  815 x  21  7
d) D  6  2 x  2 y  3 2 x  1  6

21

e) E  3   x  3 y  2  5 x  5  14
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A 

2 7 x  5  11

b) B 

7x  5  4

2 y  7  13

15 x  1  32

c) C 

2 2y  7  6

6 x 1  8

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
8

a) A 5  4 5 x  7  24 ;

6

14

b) B  5  5 6 y  8  35 ;

15

28

c) C 12  3 x  3 y  2 x  1  35

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A 

21 4 x  6  33
3 4x  6  5

;

b) B 

6 y  5  14
2 y  5  14

;

c) C 

 15 x  7  68
3 x  7  12

*Dạng 5.2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá
trị của biểu thức:
Học sinh cần nhớ : Nếu f ( x) �0 thì f ( x)  f ( x)
Nếu f ( x)  0 thì f ( x)   f ( x)
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  4 x  5  4 x  1
Lời giải:
+ Xét x �-5, ta có M = 4(x+5) +4x- 1 = 8x + 19 �8.(-5) +19 = -21
+ Xét x < -5, ta có M = - 4(x+5) +4x- 1 = -21
Vậy biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất là -21 khi x = -5
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  5  2  x
b) B  2 x  1  2 x  6
d) D  4 x  3  4 x  5
e) E  5 x  6  3  5 x

c) C  3x  5  8  3x
f) F  2 x  7  5  2 x

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A 2 x  3  2 x  5

b) B 3 x  1  4  3x

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A  x  5  x  4
b) B  2 x  3  2 x  4

c) C  3x  1  7  3x

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
23


a) A  2 x  5  2 x  6

b) B  3 x  4  8  3x

Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  1  x  5
b) B  x  2  x  6  5

c) C  5 5  x  5 x  7
c) C  2 x  4  2 x  1

* Dạng 4.3: Sử dụng bất đẳng thức a  b  a  b
Ví dụ : a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x  2015  x  2016  x  2017
b)Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A  2 x  3  y  2  2
Lời giải:
a) Ta có x  2015  x  2017  x  2015   x  2017 � x  2015  x  2017  2
Dấu “=” xảy ra khi (x+2015)(x-2017) �0 � 2017 �x �2015
Lại có x  2016 �0
Do đó x  2015  x  2016  x  2017 �2 . Dấu “=” xảy ra khi x = -2016
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho là 2 khi x = -2016
b) Với 2x+y = 3, ta có 2 x  3  y  2 �2 x  3  y  2  8
� 1
2x  y  3

�x 
�� 2
Dấu “=” xảy ra khi �
2x  3  y  2


�y  2
� 1
�x 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8+ 2= 10 khi � 2

�y  2

Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  2  x  3
b) B  2 x  4  2 x  5

c) C 3 x  2  3x  1

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  5  x  1  4
b) B  3x  7  3x  2  8 c) C 4 x  3  4 x  5  12
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A  x  3  2 x  5  x  7
b) B  x  1  3x  4  x  1  5
c) C  x  2  4 2 x  5  x  3
d) D  x  3  5 6 x  1  x  1  3
Bài 4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A  x 1  y  2

Bài 5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
B  x  6  y 1

Bài 6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C  2x 1  2 y 1

24


B.Về khả năng áp dụng của sáng kiến:
Sáng kiến này có thể áp dụng trong công tác giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 7 ở các trường THCS. Tôi đã tiến hành áp dụng sáng kiến trong
công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 trường THCS ... và đã thu
được kết quả rất tốt. Hi vọng sáng kiến này được nhân rộng ở các trường THCS
trong huyện để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán 7.
VII. Những thông tin cần được bảo mật :

Không

IX. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
-Phải có sự quan tâm, chỉ đạo của Ban Giám Hiệu
-Phải có đối tượng là học sinh lớp 7
-Giáo viên bộ môn phải có trình độ chuyên môn chuẩn hoặc trên chuẩn.
-Giáo viên phải có ý thức tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ.
-Phải có môi trường dạy học với đủ đồ dùng thiết bị dạy học như sách vở, phấn,
bảng, thước, máy tính, máy chiếu hoặc bảng phụ …
-Phụ huynh học sinh phải có sự quan tâm đến con em mình và thường xuyên
phối kết hợp với giáo viên trong việc giáo dục học sinh.
X. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến :
10.1.Kết quả thu được
Sau khi áp dụng chuyên đề vào giảng dạy cho HS lớp 7A 1 trường THCS thì kết
quả khảo sát như sau:
CHẤT LƯỢNG ĐẠI TRÀ

Đạt loại

Số lượng (bài)

Tỉ lệ so với cả lớp
(%)

Giỏi

13

28,9

Khá

26

57,8

Trung bình

6

13,3

Yếu

0

0

Kém

0

0

HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học

Môn thi

2015 - 2016

Toán 7

Số HS dự
thi

Số HS đạt
giải

4

4

Xếp giải
3 giải Ba; 1 giải KK

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×