Tải bản đầy đủ

giao trinh co ky thuat

GIÁO TRÌNH

MÔN HỌC: CƠ KỸ THUẬT
TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP, CAO ĐẲNG

1


MỤC LỤC

2


DANH MỤC BẢNG

DANH MỤC HÌNH

3


CHƯƠNG I

TĨNH HỌC
Mục tiêu:
 Trình bày đầy đủ các tiên đề, khái niệm, cách biễu diễn lực, các loại liên kết

cơ bản, hệ lực, hợp lực đồng quy.
 Biểu diễn, phân tích và tính toán chính xác lực tác dụng và các phản lực

liên kết, các khái niệm về mômen của lực đối với một điểm, ngẫu lực.
 Tính lực bằng phương pháp đa giác, phương pháp chiếu để giải các bài toán

về hệ lực bất kỳ
 Lập được phương trình mô men tính toán hệ lực tác dụng, các bài toán hệ

lực phẳng song song.
1. Các khái niệm cơ bản và các định luật tĩnh học.
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Vật rắn tuyệt đối
Là vật mà dưới tác dụng của ngoại lực thì khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
sẽ không thay đổi.
Trạng thái cân bằng của vật rắn : là trạng thái mà vật rắn đang đứng yên ( v
= 0) hoặc đang chuyển động thẳng đều (a = 0).
1.1.2 Trạng thái cân bằng
Vật ở hệ thống đứng yên so với một hệ trục nào đó hay vật rắn được gọi là
cân bằng khi vị trí của nó không thay đổi so với vị trí của một vật nào đó được
chọn làm chuẩn (gọi là hệ qui chiếu). Trong tĩnh học hệ qui chiếu đó gọi là hệ qui
chiếu quán tính.
1.1.3 Lực
Là đại lượng đặc trưng cho tác dụng tương hỗ giữa các vật. Nó là đại lượng
vectơ gọi là vectơ lực, được đặc trưng bởi:
+ Phương chiều
+ Độ lớn
+ Điểm đặt
Ký hiệu : F , P . . .
Đơn vị : Niutơn, ký hiệu N. (1N = 1kgm/s2).
+ Lực tập trung: là lực tác dụng lên 1 đvdt rất bé của vật thể.
+ Lực phân bố : là lực tác dụng lên cả chiều dài và bề mặt của vật thể.

Hình 1: Lực phân bố

4




R = q.l : đặt tại trọng tâm phân bố

1
R = 2 q.l : Đặt tại trọng tâm phân bố

1.1.4 Các định nghĩa khác
1.1.4.1 Hệ lực
Là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên vật rắn :
Hợp lực của hệ lực:
Là một lực có tác dụng tương đương với tác dụng của cả hệ:
Hệ lực cân bằng:
Là hệ lực tương đương với không: ( P, Q, R) ~ 0
1.1.4.2 Momen của lực đối với điểm
a. Momen của lực đối với điểm
M0(F) = r ^ F(Hình 1.1)

Hình 2: Momen
F quay quanh O và ngược chiều kim đồng hồ
{M0(F)} = {r}.{ F }. Sin(r ^ F).
{M0(F) } = F.d
Trong đó : d là cánh tay đòn
Chú ý : Cách xác định cánh tay đòn d : Từ điểm lấy momen ta kẻ đường
thẳng vuông góc với lực thì đường thẳng đó là cánh tay đòn .
b. Momen của lực đối với trục ( biễu diễn trên hình 1.2)

F1

F

m (F)
o
r

A (x,y,z)

F
O

α

A (x,y,0)

5






m∆ ( F ) = mo ( F ′)

Hình 3: Momen của lực đối với trục
Chú ý :

- Khi lấy momen của lực đối với trục thì bắt buộc phương của “Lực – trục – cánh tay
-

đòn” phải nằm trên ba phương vuông góc với nhau .
Momen của lực đối với trục bằng không khi phương của lực song song với trục hoặc
cắt trục
Momen của lực đối với trục là dương khi lực quay quanh trục theo chiều ngược kim
đồng hồ
Bài toán phẳng : lấy momen đối với điểm
Bài toán không gian lấy momen đối với trục
Ví dụ : (hình 4)


mx ( F1 ) = 0


my ( F1 ) = - F1.C


mz ( F1 ) = 0


mz ( F 2) = 0

Hình 4: Bài toán phẳng
Hình 1.3

2
mx ( F 2) = - F2y.C = - 2 .F2.C
2

my ( F 2) F2x.C = 2 .F2.C


1.1.4.3 Ngẫu lực

- Hai lực đối nhau ,song song cùng cường độ sẽ tạo thành một
-

-

ngẫu lực.(hình 5)
Phương vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực.
Chiều ngược chiều kim đồng hồ.
M = f1.d

Hình 5: Ngẫu lực

Chú ý :
Hai ngẫu lực tương với nhau khi chúng có cùng
chiều quay và cùng tri số momen .
Ngẫu lực không phụ thuộc vào điểm đặt.

6
Hình 6: Hai lực cân bằng


- Ngẫu lực có tác dụng làm cho vật quay.
1.2. Các định luật tĩnh học
1.2.1. Tiên đề 1 : (hai lực cân bằng )(hình 6)
Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là
chúng phải cùng đường tác dụng : cùng
phương, ngươc chiều,
cùng trị số, cùng tác dụng lên một vật thể.
1.2.2 Tiên đề 2 : (thêm bớt hai lực cân
bằng )
Ta có thể thêm vào hoặc bớt ra những cặp lực cân bằng và tác dụng của hệ
lực vẫn không thay đổi.
( F1, F2, F3) ~ (F1, F2, F3, P1, P2), Nếu ( P1, P2) ~ 0
Hình 1.6
Hệ quả : (hình 7)
Tác dụng củc lực không thay đổi khi chúng ta trượt lực trên đường tác dụng
của nó.

Hình 7: Hệ quả
1.2.3. Tiên đề 3 : ( tiên đề hình bình hành lực, hợp lực hai lực đồng quy)
Nếu ta có hai lực đồng quy thì hợp lực nằm trên đường chéo chính của hình
bình hành.
( F1, F2) ~ R(hình 8)

1.2.4. Tiên đề 4 : (về
Lực mà do hai vật thể tác
nhau thì
sẽ có cùng
ngược chiều, cùng trị số.
FAB = - FBA (hình 9)

Hình 8: Hai lực đòng quy

Hình 9: Lực mà do hai vật thể

tương tác)
dụng với
phương,

7


1.2.5. Tiên đề 5 : (hóa rắn)
Vật rắn biến dạng mà cân bằng thì khi hóa rắn lại thì nó cũng cân bằng.

-

1.2.6. Tiên đề 6 : (giải phóng liên kết)
Vật không tự do cân bằng có thể được xem là vật tự do cân bằng bằng cách giải phóng
tất cả các liên kết và thay thế tác dụng liên kết được giải phóng bằng các phản lực liên
kết thích hợp.
Một số quy tắc xác định các đặc trưng của phản lực liên kết đối với một số trường hợp
thường gặp:
a. Liên kết tựa.
-

Vật tựa lên một mặt hay giá tựa. . . (hình 10)

-

Phản lực vuông góc với bề mặt tiếp xúc.

Hình 10: Phản lực vuông góc
b. Liên kết dây mềm ( liên kết treo) (hình 11)
-

Phản lực ( sức căng dây) luôn hướng dọc theo dây về phía điểm treo

Hình 11: Liên kết dây mềm
c. Liên kết bản lề.
* Liên kết bản lề di động : (thực chất là liên kết tựa)(hình 12)

Hình 12: Liên kết bản lề

8


* Liên kết bản lề cố định :

liên kết bản lề trụ có phương nằm bất kỳ trong mặt
phẳng quay.(hình 13)

Hình 13: liên kết bản lề trụ
d. Liên kết bản lề cầu.
đi qua tâm có phương bất kỳ.
e. Liên kết ngàm.
Liên kết ngàm ngăn cản sự chuyển động
theo mọi phía của vật khảo sát cũng như
chuyển động quay của nó.
Hình 14 Liên kết ngàm
f. Liên kết thanh cứng.
* Điều kiện thanh cứng :
- Thanh không có trọng lượng.
- Nối bằng hai bản lề trụ.
- Không có lực tác dụng trực tiếp lên thanh.
* Phản lực liên kết đi qua hai đầu bản lề
g. Liên kết ổ đỡ chặn.

Hình 15 Liên kết thanh cứng

Phản lực liên kết có ba thành phần:

Hình 16 Liên kết ổ đỡ chặn

9


Nguyên lý giải phóng liên kết: Vật rắn không tự do có thể xem như vật rắn
tự do nếu ta vứt bỏ mọi liên kết và thay thế chúng bằng các phản lực liên
kết

Hình 17 Nguyên lý giải phóng liên kết
1.3. Các hệ quả:
1.3.1: Hợp các lực đồng quy:

Công thức xác định trị số, phương, chiều của vectơ hợp lực như sau:
2

2

2

 N
  N
  N

R = R + R + R =  ∑ Fkx ÷ +  ∑ Fky ÷ +  ∑ Fkz ÷
 k =1
  k =1   k =1 
ur R
ur R y
ur R
cos (Ox,R)= x ; cos (Oy,R)=
; cos (Oz,R)= z
R
R
R
2
x

2
y

2
z

10


N
uu
r
R ' = ∑ Fk

R’z

k =1

R’
R’y
R’x
R’x

Hình 1.19
1.3.2. Các định lý biến đỗi tương đương ngẫu lực:
1.3.2.1 : Định lý 1:
Hai ngẫu lực cùng nằm trên một mặt phẳng có cùng chiều quay và
cùng trị số momen thì tương đương nhau.
a. Hệ quả 1:
Tác dụng ngẫu lực không thay đỡi khi dời tùy ý nó trong mặt phẳng
ngẫu lực
b. Hệ quả 2:
Có thể thay đỗi tay đòn của ngẫu lực mà tác dụng của nó không thay
đỗi nếu giữ nguyên chiều quay và trị số momen(tức F.d=F’.d’)
1.3.2.2: Định lý 2:
Tác dụng của ngẫu lực không thay đỗi khi chúng được dời
đến các mặt phẳng song song
2 Hệ lực phẳng:
2.1. Vectơ chính và momen
chính của hệ lực phẳng.(hình 2.1)


Giả sử ta có hệ lực ( Fk ) với k = 1, 2, ...,n . Áp dụng định lý dời lực, ta dời được
tất cả các lực thuộc hệ về điểm O. Ap dụng tiên đề hình bình hành lực cho hệ các
lực cócùngđiểm
đặt tại O này, ta có :

RO = F1 + F2 + ... + Fn

hay 

n 

Ro = ∑ Fk
i =1

Ro được gọi là vectơ chính của hệ

Ngoài ra theo định lý dời lực, mổi khi dời một lực
về O ta phải thêm vào một
hệ ngẫu
lực kết hợp


có momen bằng:



m0 ( Fk ) = rk x Fk

11




rk là bán kính vectơ có góc là O và mút là điểm đặt của Fk Tổng của tất cả các

ngẫu lực kết hợp này bằng
n
n

 
 
M o = ∑ mo ( Fk )=∑ ( rk x Fk )
k =1

i =1


M o : được gọi là momen chính của hệ lực khi thu về điểm O ( hay còn gọi là

tâm thu gọn ).
Chú ý: Khi thay tâm O bằng một điểm khác, tâm I chẳng hạn, dĩ nhiên :
n 

 
RI = ∑ Fk = Ro = R
i =1


R
Như vậy,
không đổi. Còn momen
 khi thay đổi tâm thu gọn thì vectơ chính
M
chính
thay đổi theo định lý sau

2.2. Đinh lý dời lực song song
2.2.1. Định lý dời lực song song.
Tác dụng lên vật sẽ không thay đổi nếu dời lực đó song song với chính nó tới
một điểm bất kỳ thuộc vật, đồng thời ta thêm vào một ngẫu lực có momen bằng
momen của lực sẽ di chuyển lấy đối với điểm mà lực di chuyễn tới.

2.2.2 Định lý ba lực cân bằng
Ba lực cân bằng là chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, và nếu chúng không
song song thì đường tác dụng phải đồng quy tại một điểm .

12


2.3. Điều kiện cân bằng của một hệ lực phẳng – phương trình cân bằng :
2.3.1- Định lý :

Ro
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính

momen chính M o của hệ lực ấy đối với một tâm thu gọn bất kỳ đều bằng
không.
  
( F1 , F2 ...Fn ) ≈ 0 ⇔

-

-

n 

Ro = ∑ Fi = 0
i =1

n

  n  
M o = ∑ mo ( Fi )=∑ (ri x Fi ) = 0
i =1

i =1

2.3.2- Phương trình cân bằng :



M
R
o = 0,
o = 0 ta chiếu trên các trục tọa
Từ điều kiện cân bằng của hệ lực :

độ sẽ nhận được 6 phương trình vô hướng sau đây và được gọi là 6 phương
trình cân bằng của hệ lực .
 − Rx = ∑ X = 0

 − Ry = ∑Y = 0

− R =∑ Z =0
z



 − M x = ∑ m x ( Fi ) = 0


 − M = m (F ) = 0

y
y
i


 − M z = ∑ mz (F ) = 0


2.3.3 -Điều kiện cân bằng của vật rắn không tự do.
Trường hợp không tự do, ngoài các lực chủ động tác dụng lên vật rắn còn có
các phản lực liên kết . Giải phóng các liên kết ta có vật tự do cân bằng chịu hệ
lực sau :  
( Fi , Rk ) = 0

( i, k = 1, 2 , ... n )

a) Vật rắn quay được quanh một trục cố định:
A, B là các
 bảnlề trụ.
 Vật
 cân bằng nếu ( Hình a) :
( F1 , F2 . . . Fn , R A , RB ) ∼ 0

 
R
các phản lực liên kết A , RB đều cắt trục ,
vậy :
Σ m ( Fi ) = 0
z

Do đó : Điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh
trục cố định là : “ Tổng momen của các lực chủ động
đối với trục quay bằng không “.
Hình 18 Vật rắn quay được quanh một trục cố định
b) Vật rắn quay được quanh một điểm:
O là bản lề cầu. Vật rắn cân bằng thì ta có ( Hình b):

13


 


F
,
F
.
.
.
F
R
n ,
o) ∼ 0
( 1 2


R
o phải đi qua
Vì đường tác dụng của phản
 lực liên kết
O nên :
Σ m ( Fi ) = 0
o

Vậy điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh
một điểm cố định là: “ Tổng momen của các lực chủ
động đối với tâm quay bằng không”
Hình 19 Vật rắn quay được quanh một điểm
2.4. Bài toán hệ lực phẳng với liên kết ma sát.
2.4.1- Phản lực liên kết tại các mặt tựa thực:
Trong thực tế tại chổ tiếp xúc giữa hai vật không phải là tiếp xúc điểm mà tiếp
xúc nhiều điểm ( hay mặt ). Phản lực xuất hiện tại chổ tiếp xúclà một hệ lực.
R và một ngẫu
Thu hệ lực này
 về tâm thu gọn ta được một phản lực liên kết
lực liên kết M . Phản lực liên kết có thể phân ra thành :



R



- N có phương pháp tuyến n của mặt tiếp xúc


- F có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc




- M X có phương song song với n và M



M
- l có phương vuông góc với n

Khi hai vật tiếp xúc chuyển dịch, hay có xu hướng chuyển dịch tương đối với
nhau. Các liên
kết trên có tác dụng cản trở những chuyển dịch đó.

F : cản trượt

M l : cản lăn

M X : Cản xoay

2.4.2 -Các lực ma sát:

14


a- Định nghiã : Các phản lực liên kết của mặt tựa gây cản trở chuyển động hay
xu hướng chuyển
động cuả vật tựa trên nó đựợc gọi là :

F : Lực ma sát trượt

M l : Ngẫu lực ma sát lăn

M X : Ngẫu lực ma sát xoay

b- Tính chất :
 Chúng đều cản trở chuyển động hoặc xu hướng chuyển động
 Chúng xuất hiện ở chổ tiếp xúc trượt, lăn hoặc xoay
 Chúng có trị số :
0 ≤ Fms ≤ Fmax
0 ≤ M1 ≤ k.N
0 ≤ Mx ≤ fx.N
Trong đó:
- f : Hệ số ma sát trượt
- k : Hệ số ma sát lăn, tính ra m
- fx : Hệ số ma sát xoay, tính ra m



M
M
F
1
 Khi vật còn ở trạng thái tĩnh thì ,
và x có trị số luôn luôn bằng lực,

momen lực tác dụng lên vật gây xu hướng trượt, lăn hoặc xoay.
 Khi lực hoặc momen lực tác dụng bằng các trị số cực đại trở lên của chúng
thì vật bắt đầu trượt, lăn hoặc xoay
Fmax = f.N , M1max = f1.N , Mxmax = fx.N

Các hệ số f, k, fx chỉ phụ thuộc vào tính chất của mặt tiếp xúc, không phụ
thuộc vào diện tích tiếp xúc

Khi vật chuyển động thì các hệ số ma sát ( ứng với trạng thái động ) nói
chung là nhỏ so với trạng thái tĩnh.
2.4.3 - Điều kiện cân bằng khi có ma sát:
a- Điều kiện cân bằng tổng quát - Miền cân bằng:
Ngoài các phương trình cơ bản chung, khi có ma sát còn phải thêm các
phương trình và bất phương trình :
 Hình chiếu các lực lên phương trựơt y :
Σ Yi ≤ f.N
 Momen của các lực gây lăn :
Σ m1( Fi ) ≤ k.N
 Momen của các
 lực gây xoay

Σ mx ( Fi ) ≤
fx.N
Do có bất phương trình, nên bài toán ma sát có tập hợp nghiệm làm thành
miền cân bằng.
Ngoài ra, trong các bài toán ma sát có thể còn đặt ra các điều kiện:
 Lăn không trượt:
Σ yi ≤ f.N

F
Σ m1 ( i )

≥ k.N
 không lăn, không trượt

15


Σ yi



f.N


Σ m1( Fi ) ≤ k.N

 không lăn, không xoay, không trượt
Σ yi




F
Σ m1 ( i )

F
Σm ( i )

f.N


k.N


fx.N
 Vừa lăn, Vừa xoay, Vừa trượt
Σ yi ≥ f.N
x


F
Σ m1( i ) ≥ k.N

F
Σ m ( i ) ≥ f .N
x

x

b-Phản lực toàn phần, góc ma sát, nón ma sát:
Xét trường
hợp ma
sát trượt, phản lực liên toàn phần trong trường hợp này là


R = N + F
N = R.cos α

F = R.sin α

R
N
Điều kiện cân bằng có ma sát: F ≤ f.N
nên F ≤ f. R. cos α
Hay
R.sin α ≤ f. R. cos α

Vậy:
tg α ≤ f
F
Trường hợp Fmax thì Rmax và tương ứng: tg ϕ ≤ f
Trong đó: ϕ : góc ma sát



R Max


N


R

Khi không trượt thì F < f. N ⇒ R nằm trong góc ϕ
Xu hướng trượt có thể diển ra theo mọi phía do đó hình nón tương ứng với
góc ϕ được gọi là nón ma sát. và điều kiện không trượt có thể nêu là :

“ Phản lực toàn phần R phải nằm trong nón ma sát”
3. Hệ lực không gian
3.1. Véctơ chính và momen chính của hệ lực không gian

R
F
F

M

1

2

O

Fn

Hình 20 Véctơ chính và momen chính

16


Định lý: Hệ lực không gian bất kỳ tương đương với 1 lực và một ngẫu lực đặt tại
điểm tuỳ ý, chúng gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn. Lực thu gọn được biểu
diễn bằng véctơ chính của hệ lực đặt tại tâm thu gọn, còn ngẫu lực thu gọn có
véctơ mômen bằng mômen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.
3.2. Định lý dời lực song song: (Trình bày ở mục 2 bài 2 hệ lực phẳng)
3.3. Điều kiện cân bằng – phương trình cân bằng của hệ lực không gian.
Hệ lực song song trong không gian là hệ gồm các lực có dường tác dụng song
song với nhau nhưng không cùng nằm trên một mặt phẳng
Hệ lực song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực không gian nên điều kiện cân
bằng của nó có thể được suy ra từ điều kiện cân bằng
Nếu trục z song song với phương của các lực thì trong mọi trường hợp ta luôn
có :

∑X = 0,
∑Y = 0 ,

∑ m (F ) = 0
z

Do đó để hệ lực cân bằng ta chỉ cần thoả mãn ba phưong trình sau

∑ Z = 0r 

∑ m ( Fr ) = 0 

∑ m ( F ) = 0
x

y

Vậy
Điều kiện cần và đủ để hệ lực song song trong không gian cân bằng là tổng
hình chiếu của tất cả các lực lên trục song song với các lực phải bằng không và
tổng mômen của các lực đối với hai trục vuông góc với các lực cũng phải bằng
không.

17


Câu hỏi
Bài tập 1 : Dầm AB đặt nằm ngang, chịu tác dụng của lực P nghiêng góc 45 0 so
với phương nằm ngang tại giữa dầm. Hãy xác định phản lực ở gối A và B tác dụng
lên dầm?
Bài giải :
Khảo sát cân bằng của dầm AB;

Các lực tác dụng .Lực cho : P

Phản lực tại B : N B , Vuông góc
mặt tựa nằm ngang. Cắt đường
tác dụng của P tại I. 

Phản
lực ở gối A : R A .Ta có :
  
( P, N B , R A )  0

Theo định lý ba lực phẳng cân
bằng thì hệ lực này đồng
qui.


Vậy đường tác dụng của R A đi qua I, và hợp với phương nằm ngang góc 
Hệ phương cân bằng :
X = RAcos - P cos450 = 0
(1)
Y = RAsin - Pcos450 + NB = 0
(2)
Trong đó :

cos α =

⇒ RA =

Từ (1)
Từ (2)

2
5

;

sinα =

1
5

2
P cos 450 P
2 = P 10
=
2
cos α
4
5
2 P 10 P 2 P 5. 2 P
− .
=
− .
=
2
2
4
2
4
5
5
4
P
. 2
; RB = 4

⇒ N B = P cos 450 − R A sinα = P.
P
. 10
RA = 4

Bài tập 2: (hs tự giải)Xác định phản lực ở ngàm của dầm nằm ngang có trọng
lượng không đáng kể, chịu lực như hình vẽ. Cho q=1,5 KN/m ; m = 2 KNm ; P= 4
KN ;  = 45o

18


CHƯƠNG II
ĐỘNG HỌC
Mục tiêu :
 Xác định được loại chuyển động, các phương trình biểu diễn chuyển động
thẳng của chất điểm, vận tốc và gia tốc của chuyển động thẳng, các phương
trình biểu diễn chuyển động cong của chất điểm và vận tốc, gia tốc của
chuyển động cong.
 Trình bày đầy đủ các khái niệm và các phương trình biểu diễn chuyển động
cơ bản, chuyển động quay quanh một trục cố định, chuyển động tổng hợp,
chuyển động song phẳng của vật rắn.
 Xác định được vận tốc, gia tốc của vật rắn chuyển động.
Nội dung :
1. Chuyển động của chất điểm
1.1. Phương pháp vectơ :
1.1.1 Phương trình chuyển động :
Xét một điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz
Vị trí của điểm M xác định bởi vectơ
đó M thay đổi theo
thời gian:







r = OM . Điểm M chuyển động, do



r = r (t)

Hình 21 Phương pháp vectơ


Liên hệ giữa r và t gọi là phương trình chuyển động của chất điểm theo
bán kính vectơ
1.1.2. Vận tốc :


t1 → r1



t2 → r2

19


∆t = t2 – t1








∆ r = r2 – r1



∆r

Vận tốc trung bình: V tb = ∆t




∆r
dr •


lim
Vận tốc tức thời: v = ∆t →0 ∆t = dt = r

Vậy: Vận tốc tức thời bằng đạo hàm của vectơ r theo thời gian
1.1.3. Gia tốc
Chứng minh tương tự như vận tốc ta có gia tốc tức thời ở thời điểm t :




W=

lim

∆t →0


∆v

∆t = v

Vậy: Vectơ gia tốc bằng đạo hàm của vectơ vận tốc theo thời gian
Ta có:






d dr
dr

d2 r
••




2
v = dt = r ⇒ W = dt ( dt ) = dt = r (1)

Vậy: vectơ gia tốc bằng đạo hàm bậc hai của bán kính vectơ của điểm theo
thời gian
1.2. Phương pháp tọa độ (Descartes)
1.2.1. Phương trình chuyển động
Vị trí của điểm M được xác định bằng ba tọa độ x, y, z của điểm ở trong tọa độ
Đề các vuông góc Oxy

Hình 22 Phương pháp tọa độ

20










r = x i + y j + zk
Điểm M chuyển động x, y, z thay đổi theo thời gian. Vậy phương trình chuyển
động của điểm có dạng:
x=x(t), y=y(t), z=z(t).

1.2.2. Vận tốc
Để xác định V thì ta xác định các hình chiếu của nó lên các trục tọa độ.
Ký hiệu: Vx, Vy, Vz.
Sử dụng công thức (1) ta được:


d r dx → dy → dz → • → • → • →

v = dt = dt i + dt j + dt k = x i + y j + z k






(Với Vx= x , Vy= y , Vz= z )
Vậy: Các hình chiếu của vận tốc trên các trục tọa độ đề các bằng đạo hàm
theo thời gian của tọa độ tương ứng
Biết hình chiếu ta có thể tìm trị số v , phương của vận tốc:


V x2 + V y2 + V z2





2
2
2
V=
= x + y + z (m/s)
Vy
Vx
Vz
Cos α = V , Cos β = V , Cos γ = V .


( α , β , γ lần lượt là góc tạo bởi v với các trục tọa độ x, y, z)
1.2.3. Gia tốc
Chứng minh tương tự như vận tốc ta có gia tốc W:





∆v
d 2 r •• → • • → • • →

••



••

lim
W = ∆t →0 ∆t = v = dt 2 = x i + y j + z k ; (Wx = V x = x , Wy = V y = y , Wz = V z

••

=z)
W=

W x2 + W y2 + W z2

(m/s2)

 Hệ tọa độ tự nhiên
Dựng trong mặt phẳng mặt tiếp với quĩ đạo tại
hướng theo tiếp tuyến của quĩ đạo về phía dương.
Dựng trục Mn hướng theo pháp tuyến của quĩ đạo
phía lm, pháp tuyến Mn goi là pháp
chính (nằm trong mặt phẳng mặt tiếp).
Dựng pháp tuyến Mb vuông góc với
mặt phẳng mặt tiếp, pháp tuyến Mb goi là

điểm M trục M τ
về
tuyến
trục trùng pháp tuyến

21








Vectơ đơn vị trên ba trục là τ , n , b .
Như thế tại mọi điểm của đường cong ta luôn dựng được một hệ tọa độ vuông góc
có 3 trục hướng theo tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến gọi là hệ tọa
độ tự nhiên.

 Phương trình chuyển động




Điểm M chuyển động do s thay đổi theo thời gian. Phương trình: s = s (t)
biểu diễn qui luật chuyển động của điểm M dọc theo quĩ đạo gọi là phương trình
chuyển động của điểm dạng tọa độ tự nhiên.

 Độ cong quĩ đạo

∆ϕ
Đại lượng Ktb = ∆S được goi là độ cong trung bình của quĩ đạo với cung MM1

∆ϕ
Đại lượng k = ∆s →0 ∆S = dS gọi là độ cong của quĩ đạo tại điểm M.
VD: Xét qũy đạo là đường tròn có bán kính là R: ∆S = R.∆ϕ
lim

1
∆ϕ
⇒ ∆S = R , ρ = R.

Như vậy bán kính cong của đường tròn tại các điểm của chúng chính bằng bán
kính của đường tròn đó.



Vận tốc.




ds d r
dr
• →

v = dt = dt . ds = s . τ (Vì vectơ v hướng theo phương tiếp tuyến của qũi đạo




nên v = vτ . τ ) .



Gia tốc.

22










d • →
dv

d τ ds •• →

•2



•• →
( s . τ ) •• →
W = dt = dt
= s . τ + s . dt = s . τ + s . ds . dt = s . τ + s . ds




n

•2

•• →
ρ
W = s . τ + s . (Trong hình học vi phân người ta chứng minh được rằng ds


n
= ρ ).

v2
dv →



Wτ Wn
ρ
W
τ
n
dt
Vậy ta có: =
. +
. =
+



••

Với Wτ = v = s
v2
Wn = ρ
W=

Wτ2 + Wn2

Kết luận:
+
Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về
phương
+
Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc về
trị số.
Bài tập ứng dụng : Cho chất điểm chuyển động theo phương trình:
x = asinωt
y = - acosωt
z = bt
Hãy xác định vận tốc và gia tốc của chất điểm.
Bài giải
a) Vận tốc của chất điểm, ta có :
Vx = x = aωcosωt
Vy =
Vz =

y = aωsinωt

z = b

V x2 + V y2 + V z2 = a 2ω 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt ) + b 2 = a 2ω 2 + b 2
V=
b) Gia tốc của chất điểm.
Wx = x = - aω2sinωt
Wx = y = aω2cosωt
Wz = z = 0
W = Wx2 + W y2 + Wz2 = a 2ω 4 = aω 2


W
Dấu Wx ngược với x, dấu của Wy ngược với y.Nên
là gia tốc hướng tâm

2. Chuyển động của vật rắn.
2.1. Hai chuyển động cơ bản của vật rắn :

23


2.1.1 Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
a.Định nghĩa :

Hình 23 Chuyển động của vật rắn.
Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển
mà bất kỳ đoạn thẳng nào thuộc vật đều
chuyển động song song với chính nó.

động

b.Tính chất :






rB = rA + AB

(1)
Đạo hàm 2 vế biểu thức (1) ta được:




VB = V A

(2)
Đạo hàm 2 vế biểu thức (2) ta được:




WB = W A

(3)

Kết luận: ‘’’Trong chuyển động tịnh tiến vận tốc và gia tốc tại mọi điểm như
nhau’’’
2.1.2. Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định.
2.1.2.1. Định nghĩa.
Là chuyển động trong đó hai điểm nào đó của vật rắn (hoặc gắn liền với
vật) luôn luôn cố định trong suốt quá trình chuyển động.

24


Hình 24 Chuyển động của vật rắn quay quanh một trục cố định
2.1.2.2. Phương trình chuyển động
Dựng mặt phẳng cố định P0 qua trục và mặt phẳng động P qua trục và gắn
chặt với vật rắn.
Góc giữa mp(P) và mp(P0) là ư.
Khi vật chuyển động góc ư thay đổi theo thời gian, vì vậy:
ư = ư(t)
được gọi là phương trình chuyển động của vật rắn quay.
Qui ước: Góc quay ư dương khi trục quay ngược chiều kim đồng hồ và
ngược lại.
2.1.2.3. Vận tốc góc.
Ký hiệu: ω (rad/s)
dϕ •
ω = dt = ϕ (t )

ω > 0 khi vật quay theo chiều dương.
ω < 0 khi vật quay theo chiều âm.

25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×