Tải bản đầy đủ

CƠ HỌC CHẤT LỎNG

TRẦN V Á N C Ú C

C

C

H

A

ơ

T

L

H

O

Õ


N

NHẢ XUẤT BẢN ĐAI HOC QUỐC G IA HÀ NỘI

C

G


TRẤN VĂN CÚC

C0 HỌC CHẤT LỎNG
m

(In lần th ứ 2)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


NHÒXUAtbồn ĐẠI HỌCọuốc GIAhAnội
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trung - Hà Nội
Điện thoại: <04) 9715012; (04) 7685236. Fax: (04) 9714899
E-mail: nxh@ vnu.edu.vn

★ ★ ★
C hịu tr á c h n h iệ m x u ấ t bản:


«

Giám đốc:

PHÙNG QUỐC BẢO

Tổng biên tập:

PHẠM THÀNH HƯNG

C hịu tr á c h n h iệ m nội dung:


Hội đồng; nghiệm.thu giáo trình
Trường ĐHKHTN - Đại học Quốc gia Hà Nội
Người nhận xét

GS. TSKH. NGUYEN VĂN ĐIỆP
GS. TS. TRẦN TÂN TIẾN
TS. TRẦN VĂN TRẢN

B iên tập:

TRẦN VÃN TRẢN
NGỌC QUYÊN

T rìn h b à y

bìa:

NGỌC ANH

Cơ HỌC CHẤT LỎNG
Mà sõ: 1K-01114-02404
In 1000 cuốn, khổ 14,5 X 20,5 tại Công ty in Giao thông
Số xuất bàn: 58/113/XB-QLXB, ngáy 10/2/2004. Số trích ngang: 264KH/XB
In xong và lìộp lưu chiểu quý tv năm 2004


MỤC LỤC
Tran tị

Lời nói đầu
C h ư ơ n g L ĐỘNG HỌC CHẤT LỎNG

1.1. Các khái niệm và các quan điểm nghiên cứu

9
1i
11

/ . / . / . H ạ t iòìIỊỊ và k h ô n g g iu n c h ấ t lò n g

11

/. / .2- C á i q u a n đ iể n ì n g h iê n á m

11

1.2. Một số khái niệm vể lý thuyết trường

14

12 .1 . Trường vô hướỉHỊ

15

I 2.2. Trường véc tơ

15

1.3. Sự phân bố vận tô'c trong chất lỏng

18

1.4. Phương trình liên tục

22

/ .4 .Ị . P h ư ơ tìiị tr ìn h liê n tụ c th e o b iế n L a g r a n g e

22

l .4 .2 . P h ư ơ n g tr ìn h liê n tụ c th e o b iế n E u l e r

23

1.5. Đặc trưng của chuyên động khóng xoáy và xoáy

25

/ . 5 / . Chuyền độ/iỊỊ không xoáy (chuyển dộng có thê

25

Ị .5 2. Chuyển dộng có xo á y

28

Bài tập
C h ư ỉ m g 2. C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H c o BẢ N CỦA

29
39

ĐỘNG L ự c HỌC CHẤT LONG LÝ TƯỞNG
2.1. Lực tác dụng trong chất lỏng

39

2.2. Phương trình tổng quát của chuyển động

40

2 .2 . ỉ ■Á p s u ấ t tlm v đ ộ n \ị trom> c h ấ t ỈỎ/HỊ /ý tư ở n g

41

2 .2 .2 . P hươiìỊỊ tr ìn h tổ n iị q u á t c ù a c h ấ t lõ n g lý tưởtoỊ

42


2.3. Phương trình trạng thái của chât lòng lý tương

44

2 .3 . Ỉ . C ỉ u ĩ t l ò i i t Ị t ừ á p

44

2.3.2. Pliươiiạ trình rtyiiỊỊ thái <ùa một sốdựHìị i licit lôiiiỊ

45

2.4. Phương trình thu nhiệt

45

2.5. Phương trình nâng lượng

47

2.6. Phương trình dộng lượng và mô men động lượne

50

2.7. Bài toán thuỷ động lực dưới dạng tổng qoát

53

2.7./. C h ín lóm> k h ô n lị n é n đ ư ợ c

54

2.7.2. C h ủ ) tỏuv, n é n đ ư ợ c

55

2.8. Các (rường hơp đơn giản của chuyến động chất lóng lý
tường

55

2 .8 .1 . C h u v ể n íĩộiiìị d ừ tig

55

2.8.2. Chuyển d ộ m f khỏmỊ xoáy

58

2.9. ú h g dụng các lích phân
2 .9 .1 . S ự tồ n tụ i c ù a t'M ' til'll p h ú n B e r n o u lli. L ú iỊra n tỊe-

59

59

C o m 7i V. B rrn o n lli-ỈL u le r

2.9.2. Cỏn lị thứi T oris selli

60

2 .9 .3 . ÚiiiỊ dụ/HỊ (ỉô i vớ i c h ấ t k h i

61

2.9.4. ÔniỊ Pirot

62

2 .9 .5 . Ô n ỵ V e IItu r i

62

Bài tập

63
C h ư ơ n g 3. THUỶ TĨNH

68

3.1. Phương trình cân bằng

68

3.2. Điểu kiện cùa lực ngoài

69

3.3. Công thức tính áp lực lên vật rán
3.3.]. C hát IỎIHỊ nặng không nén

70
7]

3.3.2. Á p lực ỉêtì thành p/uìiiiỊ

71

3.3.3. Á p lực /én thành co m !

72


3.4. Oil'll kiện ón định của vàt nổi trong chất lỏng

73

3.4 /. Đ ịnh lỉỉậĩ A n himt'dt’

73

3 .4 .2 . Đ iề n kiệ/ỉ ô n đ ịn h n i a v ậ t n ố i

74

Bài lộp

74

C h ư ơ iig 4 . CHUYỂN ĐỘNG PHẢN.CÌ k h ô n g x o á y

7X

CỦ A C H Ấ T L Ỏ N G K H Ô N G NÉN Đ ư ợ c
4.1. Một số khái niệm cúa hàm biến phức

78

4 . 1 1 . M ật p h a n g Ịìììứí

78

4 .1 .2 . H ù m h iế n p h ứ t■

79

4.1.3. Phép lìiến hình hào iỊÌác

80

4.1.4. T ú 7i phân phứt

XI

4.2. Hàm dòng, thế vận tốc

82

4.3. Vận tốc phức và thê phức

84

4

.3 .1 . S ự liê n h ệ ìỊÌữơ h à m ilòm>vù t h ể v ậ n tố c

84

4.3.2. Vận tôcpliửi và t h ể phức

84

4.3.3. M ột sô ví dụ

85

4.3.4. Đ iểm ntỊHồii và điểm hút

87

4 3 . 5 . L ư ỡ n g c ự c - Đ iể m x o á y

88

Bài tẠp

99
C h ư ơ n g 5. CHUYẾN ĐỘNG XOÁY

103

CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
5.1. Các định lý vổ xoáy
5 .1 . ỉ . C h u y ể n d ộ n g x o á y

103
103

5 .1 .2 . Đ ịn h iý T iô m Xơn

104

5.2. Các phương trình về xoáy

105

5.2 /. P hư ơ ittỊ tr ìn h F r itn ia n

105

5.2.2. P h ư ơ in Ị tr ìn h H e m h o ltz

106

5.3. Sự hình thành xoáy

107


C h ư ơ n g 6. SựCH UYEN đ ộ n g s ó n g

110

CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
6 . 1. Các phương Tinh c« bán của chuyến động sóng

110

6.1.1. Định nghĩa

110

6 . Ị .2. P h ư ơ ìi# tr ìn h s ó n g tr ọ n g lự c

110

6.2. Sóng phảng

114

6 .2 .1 . S ó n g

114

6 .2 .2 . Sóriiị tiế n

118

6 .2 .3 . S ó n ịỊ tr ơ u g ( h ú t lỏ n g ( ó đ ộ s á u h ữ u liạ n

120

Chương 7. CHẤT LỎNG KHÔNG NÉNĐ ược

123

7. [. Hệ phương tình Navier-Stock

123

7.1.1. T'en.xơ vận tôi hiến dạn í> vừ len.xơ ibìỊị xuất

123

7.1.2. H ệ phươìiìị trình NuYÌer-Stock

129

7.2. Nghiêm giải tích của hệ phương trình Navier-Stock
7.2.1. Dỏm; giữa hai bàn phỏng sotHỊ SOHỊỈ (Dòng Couette)
7 .2 .2 . D o n g P o is e n ille

7.3. Vé điểu kiện biẻn trong các bài toán Ihuỷ động lực học

132
132

135
[38

của chất lỏng thực

7.4 Trường hợp tổng quát cùa dòng dừng một chiéu
7 .4 .1 . D ò n g íỉừ tìỉị

139

7 .4 .2 . D ò n x k h ô n g d ừ n g

143

7.5. Dòng phảng dừng giũa hai mặt trụ

144

7 .5 .1 . B à i to á n

144

7 .5 .2 . ứ n g thiH g

147

Bài tập

6

139

í 47


C h ư ơ n g 8. L Ớ P B IÊ N

153

X. I. Khái niệm lớp bién

153

8.2. Hệ phương trình lớp biên

155

8.3. Giái hệ phương trình lớp biên

160

S J . 1. Một sốphươHỊị pháp ụừi hệ phiìơtiỊỊ trìnli lớ}) biên
H ệ th ứ c tíc h p h â n K a r m u n
C h ư ơ n g 9. CHUYỂN ĐỘNG R ố i

160

163
166

9.1. Trạng thái chuyển đóng rối của chất lòng

166

9.2. Hệ phương trình Reynold

167

9.2. ỉ . Các điều kiện trmnỊ bình

167

9 .2 .2 . H ệ p h ư ơ n g tr ìn h R e w o l d

169

9.3. Một sổ' khái niệm

171

9.3 ỉ . Hệ sô m a sút vôi

171

9.3.2. Phiin bô vận tốc Lo\ịưrit

173

C h ư ơ n g 10. LÝ THUYẾT TƯƠNG T ự VÀ THỨ NGUYÊN

10.1. Tương tự và mò hình hoá
Ỉ O . Ị . l . T ư ơ m ; t ự h ìn h h ọ c
Ị 0 .1 .2 . T ư ơ n g t ự đ ộ n g h ọ c
1 0 .ỉ .3. Tươriụ: tự đ ộ tìỊỊ lự c h ọ c

10.2. Lý thuyết thư nguyẻn
1 0 .2 .ỉ . C úc đụ i I uợihị có thứ tiguyên và không có th ứ
nguyên

178
178
179
179
180
184
184

ỉ 0 .2 2 T h ứ nguyên

ỉ 84

10.2.3. C ông thức rốHỊị quát cùa th ứ nguyên

185

Bài tập

188

Hướng dẫn và trả lời một sô bài tập
Tài liệu tham kháo

190
220
7


LỜI NÓI ĐẦU
Giáo trình nàv giới thiệu nhữns kiến thức cơ bản về Cơ học
chất lòng, được biên soạn dựa trên những bài giảng nhiều nám của
chúng tòi cho sinh viên ngành Cơ học. ngành Khí tượng, Hải dương
và Tbuý vãn của trường Đại học Tổng hợp trước đây và trường Đại
học Khoa học Tự nhiên. Đại học Quốc gia Hà Nội hiện nay.
Cơ học chất lỏng có liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và
kỹ ihuật. Vi vậy, việc biên soạn một giáo trình để đáp ứng được tất
cả các đối tượng quan tâm là khó thực hiện. Hem nữa, do khuôn khổ
giáo trinh có hạn nên chúng tôi chỉ giới hạn trình bày chù yếu phần
chất lỏng không nén được, còn phần chất lỏng nén được (chất khí)
sẽ được trình bày dưới dạng chuyên để.
Giáo trình gồm mười chương. Chương đầu giới thiệu một số
khái niệm về động học chất lòng và các quan điểm nghiên cứu.
Nàm chương tiếp theo trình bày các vấn đề cơ bản của chuyển động
chát lỏng lý tưởng. Chương bảy, chương tám trình bày phương pháp
thiết lập hệ phương trình cho chuyển động chất lỏng thực và một số
trường hợp giải được hệ phương trình đó mà có ứng đụng kỹ thuật.
Chương chín trình bày cách thiết lập hệ phương trình và môt số đặc
trưng cho chất lỏng chuyển động rối. Chương mười trình bày lý
thuyết thứ nguyên và tương tự. Sau một số chương chúng tỏi có đưa
vào một số bài tập để người đọc biết vận dụng lý thuyết vào việ:

ííiài các bài toán cụ thể.
9


Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng giáo trình này không tránh khỏi
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận dược ý kiến đóng góp của các
đồng nghiộp và độc giả dể giáo trình được hoàn thiện hơn trong lần
xuất bản sau.
nn

*

»’

l á c giá

10


C hương 1

ĐỘNG
HỌC
CHẤT LỎNG

«
1.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ CÁC QUAN ĐIEM NGHỈẼN cứu
1.1.1. Hạt lông và không gian chát lỏng
Ta định nghĩa hạt lỏng là một thể tích chất lỏng đượe giới hạn bởi
mặt đơn liên i' đù bé CÒI1 không gian chất lỏng là một thê’ tích chất

lỏng hữu hạn được lấp dẩy liên tục bời các hạt lỏng, trong đó được gắn
một hệ toạ độ Descartes hoặc một hộ toạ độ cong trực giao.
1.1.2. Các quan điếm nghiên cứu
a ) Q u a n đ iể m L a g r a n g e

Theo Lagrange dối tượng nghiên cứu là chính các hạt lỏng.
Quá trình nghiên cứu bao gồm:

- Sự thay đổi theo (hòi gian các đại lượng có hướng và vô hưóng
đặc trưng cho hạt lỏng chẳng hạn vận tốc, gia tốc, khối lượng riêng...
- Khảo sát sự biến thiên chính các đại lượng ấy khi chuyển từ
hạt lòng này đến các hạt lỏng khác. Như vậy theo Lagrange các đại
lượng đặc trưng cho hạt lỏng là những hàm của thời gian và các số
đánh dấu hạt lỏng riêng biệt đang xét. Những số đánh dấu ẩy có thể

chọn ià toạ độ Descartes
nào đó.

X '„ y „ ,

z„ của hạl lỏng tại một ỉhời điểm i„

Với quan niệm như vậy có thế xem toạ độ .V, V. - của một hạt

lỏng bất kỳ là hàm xác định của thời gian t và các toạ độ ban dầu
của chính các hạt ấy:
11


X — x( \ f ),

)

y =y(x0,y0.zli,r)

, 1 .1 . 1 )

z — z ( x tị , y fị,Z(),t).

Thay cho các toạ độ .v„, yn. zn ta có thể lấy trong thêtích lỏrụ đang
xét ba đại lượng a . b, <■liên hệ với -V„, v,„", theotương quan đơn Irị:
- X i i t t . k . c ị y o = x : ( ư .b .c ) ,z n = g j,{ a .h .r )
Theo quan điểm Lagrange thì các biến /, a , b. <• là các ỉói sô'
xác định cùa các hàm véc tơ và vô hướng đặc trưng cho chuyên
động chất lòng. Các biến này được gọi là các biến Lagrange.
Như vậy toạ độ V, V, z của một hạt lỏng nào đó trong gian sẽ là:

.V= f , { u , h . c , t )
= f 2{ a .b 'C ,t)

y

(1.1.2)

z = fị( a ,b ,c ,r Ỵ

Từ (1 .1.2) ta xác dịnh được các thành phán của véc tơ vin tốc
và gia tốc cùa hạt lòng dạng:
_ dx _ õf,(u .h > c .t)
r v' ~~õt~

dt

_ õ y _ df2( a , b . i \ t)
* ~ dt ~

ôt

_ Ỡ2 _ Õf , ( u , b , c . t )
dt

õt

_ d ‘ x _ ỡ' f i ( a , h , c , t )
w

“ T T

Ôt

d 2y



T~ĩ

õí

d2

M- = ---f = ---- — , —
õr



_ à~2 _ õ 2f ị { a ,h .c ,t )

VI'. —

- ~ d r ~

Tỷ khối sẽ là :
12

p = p(
dr


bì Quart điếm Euler
Theo Euler đối lương nghiên cứu khống phái chính chát lỏng
mà là không gian c ố định dirơe lấp dầy bới chất lỏng chuyến động.

Quá trình nghiên cứu bao gốm;
- Sự biến thiên theo thời gian các đặc tnmg cùa chuyên đông
cùa chát lỏng tại một điếm cô' định của không gian.

- Sự biến thiên của chính các đại lượng ấy từ các điểm này
sang diểm khác cùa không gian. Nói cách khác các đặc trưng của
chuyển động là hàm của thời gian và của toạ độ điểm, nghĩa là hàm
cúa bốn dối số -V.y,z,t. Các biến đó được gọi là biến Euler.

Chảng hạn vectơ vận tốc:
V = F( r , t )

hay dưới dang các thành phần:
'\ = f , { x , y , z . t )
- Vv = / :( * > > '• - • ')

( 1 . 1 -5 )

?: - f Ả x > y ^ A

Tương tự khối lượng riềng:

P=fẢ-x-y-z>t)1.13. Sự liên hệ giữa biến Lagrange và biến Euler
Từ (1.1.2), theo già thiết ta có thể giải đơn trị:
a -G i(x,y,z,t)

• h = G 2( x , y , 2 ,t)

(1.1.6)

I =G,{x.y,z.tỴ

Các hệ thức (1.1.6) là mối liên hệ giữa biến Lagrange với biến
Euler
Mặt khác từ hệ (1.1.5) ta có:

13


dt
” =
at

V.2-.0

dz

.(

a

= »'-• = / , ( - ' • y - Z ' t y

dt

\

Tích phân các phương trình trên ta được:
A* —FỊịi Ị ,c ),( Ị ,/)
- y = F2( c , , c 2 X



, í)

(1.1.7)

z = F?(r/Iọ . f ỉ , 4
trong đó C/, Cị, c , là các hằng s ố tích phân. Nếu đăi a =C/ , b ~ c 2.
c= c\ị thì ta lại biểu diễn được các biến Euler qua các biến Lagrange.

1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG
Một số đặc trưng của chuyển động của chất lỏng là các đại
lượng vectơ và vô hướng. Vì vây cần nhắc lại một sô' kiến thức về lý
thuyết trường.

1.2.1. Trường vô hướng
Cho D là một tập hợp trong không gian R ’ (ờ đày ta xét chủ
yếu không gian thực ba chiểu). Nếu mỗi điểm M e D có tương ứng
một sô' thựcp ( M ) (đại lượng vô hướng p ( M ) nào đó) thì ta gọi
( D , p ) là một trường vô hướng. Chẳng hạn trường mật đô, trường

nhiệt độ... trong chất lỏng là các trường vô hướng.
Giả sử (Đ ,p ) là một trường vô hưóng tập s, = [ M e D . ọ ị M ) = í'}
được gọi là mặt mức của trường vô hướng. Chẳng hạn trường đang
xét là trường nhiệt độ thì 5 . chính là mặt đẳng nhiột (c=cons't).

14


Giá sừ hàm p( M ) c ó các đạo hàm riêng theo các biẻn V, V. ;

trong hệ toạ độ Descartes ba chiểu, vectơ với ba thành phần

' d ọ <~)p ô p

dược gọi là gradien cứa p, ký hiệu là grad p . Vây

Kã \ ' ' n y ' Õ z

iheo định nghĩa ta có:
/

grad

P

ổp ổp ổp

-

vdx ’ õy d : J

Ta xét một mặt Sc của p di qua điếm Mq(x0, y„, Z(|)
S = { M e D / p ( M ) = p ( M 0 )ị.

Trên s, lấy một đường cong trơn qua M ( ịx 0, y 0, Zfì) có phương
trình tham số là :
x = x ( t) . y = y ( t ), z = z (t), ( a < / < p . ) -

Khi đó p { x ( t ) , ỵ ( t ) , z ( r ) ) = p( M a ). Lấy đạo hàm hai vếtheoítacó:
ụ . x ’ị t ) + % L / ( 0 + & z ' ( t ) = 0 .

ổ.v

uy

02

Vì vectơ có các thành phần ( x ' ( t ) , y ' ( t ) , z ' ( r ) ) nầm trong mặt

phảng tiếp xúc với mặt 5, tại M fìà o vậy g r a d p ( M 0 ) chính là vectơ
pháp tuyến cùa mặt 5,.

1.2.2. Trường vectơ
G io Q là một tập trong R \ nếu mỗi điểm M e f ì có tương ứng
một đại lượng vectơ V ị M ) nào đó thì ta gọi ị Q . ỹ ) là một trường
vectơ. Chẳng hạn trường vận tốc, từ trường...
a) Đ ư ờ n g d ò n g

Cho (£>. V ) là một trường vectơ. Một đường cong Y trong
được gọi là dường dòng nếu tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có
hướng với vận tốc V tại điểm đó. Theo định nghĩa phương trình cùa
dường dòng có dạng:
15


trong đó »\.v ,v. là thành phần cùa vectơ vận tốc V.

Từ phương trình cùa đường dòng ta thủy nếu biết dược vận lốc
tại mỗi điểm thì la lập được phương trình đường dòng và ngược lại.
Trong vật lý đường dòng còn gọi là đường sức. Nói chung đường
dòng không trùng với quỹ đạo cùa chuyển động, trong trường hợp
chuyển động là dừng (không phụ thuộc thời gian) thì dường dòng
trùng với quỹ đạo.
b ) T h ô n g lư ợ n g v e c tơ

Giả sử s là một mặt cong hai phía nàm trong Q . Ta gọi thông
lượng của trường vectơ đi qua mặt s theo hướng vectơ pháp tuyến n
là đại lượng:
3 = ị ị \ \ xd y d z + V y J z d x + v .d x d v = ị ị v . ĩ u i S .
s

s

Nếu [q . v ) là trường vận tốc chất lòng dừng thì 3 chính là thê
tích chất lỏng chảy qua mặt s trong một dcm vị thơi gian. Nếu mặt s
kín, theo công thức Ostrogradsky ta có:
3 = J j J divVdxdydz
V

trong đó

V

là thể tích lỏng được giới hạn bởi mặt s,
I- \7
_
div
V =

v.
H----- —+ d—
ôx

õy

d:

và được gọi là phân kỳ vận tốc (divergence). Trong trường hợp này
3 chính là thể tích chất lỏng chuyển qua mặt kín s . Già sử div V

liên rục và div V >0 tại M n. khi đó có thế tìm được một lân cận của M 0
trong đó div V >0. Điểm M 0 như vậy gọi là điểm nguồn. Ngược lại

nếu trong lân cận cùa M fì mà div V <0 thì M n được gọi tà điểm hút.


c) ỉ.ư u sô vận tóc
Cìiá sir V lit một dường cong trong Q . Đại lượiig:

I=

+ \ \ i l \ +v.ì

'I

(rong đó í i ĩ = (J.\. (ly. Nếu V là đường cone kín thì rđược gọi là Itai sô' vận tốc doc theo
■/ với (ff là yen tố của đường cong y .

1.2.3. Trường thế, (rường ổng
Trường veclơ (q. V ) dược gọi là trường thế nếu tồn tại một
hâm vô hướng

u

sao cho grad V - V , dược gọi là trường ống nếu

ton tại một Irường vectư khác (n .ẽ ) sao cho 0 = ro tỹ trong đó
rot ỉ ' là một vectơ có các thành phán:
ọ _ Ị d\'j_


\ ôy

õ:

ÕY.0\'y

Õ\\ '

ổv c.\

ô\' J

ô:

Trong chất lóng vectơ có các
vcctơ xoáy.

thànhphán như vậy được gọi là

Toán từ Hamilton (hay nabla), ký hiệu V là vectơ tượng (rưng
/ õ

có các thành phẩn

â

ô

. Áp dụng một cách hình thức các

d.\ ôy dz J

phép lính vectơ, ta có:

v .ơ = i
\

r

d

_ a

++

Ỡ.v
j

vỹ = i -

ọy

B 4. k - ô

....

- Q\

U=fỊraJU
Õ z)

(

ly

r
/ + V

-íj + v.k 1r=\

dy d z, v r

õ\
=

p

d \\
d.\

t / r,r ƯV.
ỒY_
+ — - + — = tlỊvV

ổv

õz
p


V A V = I-O/V'
v . v = A (loán tứ Laplace).

1 .3 . S ự« P H Â N B Ổ V Ậ■N T Ố C T R O N G C H A T L O N G

Trong động học cố thế vận tốc cùa một điếm bát kỳ CÌKI cố thế
có dạng:
V = v„ +tÕAp

(J.3.I)

trong đó ỉ,.( ià vân tốc tịnh liên cùa điểm trong cố thê dược chọn
làm cực, (0 là vận lốc góc cùa cố thế quay quanh trục quay tức thời
đi qua điểm cưc, P là bán kính vectư tương đối, V - — . vái ĩ là
clr

bán kính vectơ tuyột đối ( P [à khoáng cách từ điếm cực đến diòni
điins xéi. ĩ là khoáng cách từ điếm đanc xét đến một diốm cỏ' định

hay là gốc toa độ cô dinh).
Tìr (I.3.1), ta có ihẻ xác dịiìh dược dịch chuyên yêu tó
í l r dưới dạng:
d ĩ = dr0 + {(0 A P )dt .

( l .3.2)

Bây giờ ta xc> vận tốc. sự dịch chuyến cúa chất lòng. Xéi tường
tượng một hạt ỉỏng bé giới hạn bởi rnột mặi đơn liên và xét nó tại
hai vị irí liỏn tiếp tại thời điếm t và t+ilr, cách nhau một khoảng thời
gian vò vùng bé Jr. Tại t ta xét hai điểm tuỳ ý o và A và chọn chắng
hạn o làm cực. Giả sử /Ị r |C là hệ toụ độ cố định (HTmh I ). Ký hiệu

bán kính vectơ cúa các dicin 0 , A đỏi với hệ loạ độ cô' dịnh tà r{l. f
và p = O A . Tại r+(lr các điểm O A tương ihig sẽ là 0 A . các bán
kính vectơ tương t'mg sẽ là

còn p ' - 0 ’A ' .

Khi dó dịch chuyển yếu tố của o và ,4 sẽ là:
d ĩ t) -

IX

Fn '

-

fn ; (If

= r ' - r

; (lộ

= p' - P


tioim ctc d p !à dịch ehuycn yếu tỏ tương đối cùa A dối với (). Vì:
ộ - ĩ ' - rỏ ; P = ĩ - r„ =>


Hỉnh 1

với V và v 0 là vận tốc của o và A lại ỉ. Bay giờ ta xem:
v = v ( r ) . v 0 = v „ (r n ).

Kh đó theo cóng thức đạo hàm của vectơ, nếu bò qua các đại
lượng b: bậc cao, ta có:
jp = ( p ỹ ỳ j f .

Ch cu ( i .3.3) lẽn hệ toạ độ cố định ta có:

(1.3.3)


với:

p = U -n .;)

t/p = {JZ,.Cauchy biến đổi các hệ thức trên nhir sau:
,d v x

ì

* õx

2

d ị = ị — 1- + —n
1

ÕY

dz

i

ôy

d.x

( Õv

ÒV

1 õ:

ôx

( ÕY

õv.

d \'

+—
2

íd v

(// 4-

(lí

a.Y

õx

.

d\'
<^'v

l j dyỵ
ổv, '
Jx] = ĩ| --- - + -“ s ---^ + —^
ởv 2 \ ô.x
ổv /

ổr



ỡv. '

(lỉ +

dy

í//

+—

2

ỡv.

/

( ỡ v_

5v

,/<; = q —-- +■ - ịe __L + : 1
ôx
ôz
s Ôz
2
Ổ1 ’;
/
+ •“
2
- L l õy

àvy
- ị

Õz
~

'

1

fÔỊV

2

02

+-n

J

r dvx

õv: '

< Õz

ô.x ,

dv_]

(lt +

õv

Để cho gọn, ta ký hiệu:
ƠI’.

ổ»’v

_

*

' *

^

+ ib i = 9 3

õổy
y
*tể

ôr

Ôrr

*
^

ổr

=

(1.3.4)
e

, . ^


ổ.v
.V

. + -^ i = 9,

■ õổy
9y


ôỔA
x

và theo
o định nghĩa cùa vectơ xoáy rot K
V , ta có:
,

JỄ, = ZE /&ị ++ --1 T10í
iỉt ++- ■
{;c 3r o í vVV-- Tịror.V
n6.< ++ -!- q9:
se : V
Ty o t . V )) ú(iíi
X\
22
12
)) 22
cỉr\ = e ,ĩi + - ệ ô i + - c f i l \ / f + - (ẽ, r o t . v - cr o t KV ) ( l t (1.3.5)

V.

20

2

2

)

2


í/ụ -

t: ,q + ^ r | 0 , + ^ £ 0 , k.
2
2
) 2

(tV‘ơ , «ỹ “ ệ/'0fvV ')í/r

Nêu dua vào hàm:

F=

2

(e ,£ ' + e : r|: + c ,-s: + T|C0/ + ịc,Q2 + c r |ỡ ỉ)

(1 3.6)

thì (1.3.5) có thể viết dưới dạng:

ÔF

( I/

pp
f;>5

lV*
7

ÔF

(1

J t = —— lit +

-

\'

—r o tV A p ÍI
dt

Jx
-\

í/r| = — d i + —r o tV A p (I
V2
J/ vy
ÔF

tic, - —— (it + — r o tV A p

ồc,

\2

(1.3.7)

(It.

Nếu ký hiệu: W= - r o t V thì ta biểu diễn (1.3.7) dưới dạng vectơ:
2
( lộ = iịr u d F (ỉt + ( ó A P )d t

V ì: (If = cỉr0 + dip =clrn + y a d F t l t + ( ỏ A P \ ỉ t

nên ta có thể xem dịch chuyên yếu tô' của một điểm bất kỳ của hạt
lỏng ]à tổng cùa ba dịch chuyển: tịnh tiến, quay và biến dạng. Trên
cơ SỪdó la có công thức phân bỏ' vận tốc trong chất lỏng là:

v = v0 + v ,+ v 2

(1.3.8)

trong đó ỹfl= — là vân tốc chuyển đông tinh tiến của điểm cưc o ,
dt

V, = õ> A P là vận tốc cúa chuyển động quay của điểm đang xét

(điểrn /4) quanh trục quay lức thời đi qua điểm cực 0 với vận tóc
góc:õ> = —r o tv ,V - , = 1>raiỉF là vân tốc biến dang thuần tuý, nghĩa
là một vectơ thế xác định bời một hàm toàn phương thuần nhất
(1.3.6). Tenxơ:
2!


E/

10
2

4*

e,
3 e'
-0 , - 0/
<2 2 2

e .*

được gọi là tenxơ vận tốc biến dạng.

1.4. PHƯƠNG TRÌNH LIẾN TỤC
Khi khảo sát chuyến động của chất lòng, ta luôn già thiết rằng
chất lỏng thoã mãn định luật bảo toàn khối lượng. Giả thiết này
ràng buộc sự biến thiên của tỷ khối và thê tích lỏng theo mội điều
kiện dược gọi là phương trình liên tục.

1.4.1. Phương trình liên tục theo biến Lagrange
Xéi một thể tích lỏng r0được giới hạn bời mặt s , . tại thời điếm
t,è các hạt lỏng trong thế tích đó có toạ độ lương ứng là xn.ỵ0f: n. Khi

chuyến sang thời điểm t thế tích tương ứng sẽ là r được giới hạn bời
s và toạ độ các hạt lỏng sẽ là x,y,z. Các toạ độ .v„, yn, và V. V, :

được xác định bởi các phương trình:
x 0 = fi ( ư ,b ,c .ỉnl -V= f , ( u , h x , t )
y o - U t i J h i ' . t 0), y - f 2( u . h x , t )
z n - f i ( u . b . c j 0). z = f f (a ,b .c ,t)

Tỷ khối chất lòng tại tn và / là:

Píì - f { ư , h , c , t n),p = f ( a , h , c , t j
trong đó a .b .c .t là các biến Lagrange.Theo định ỉuât bào toàn khối
lượng ta có:

Jjjp d \ 0tlyn(lzn - fffp đx tly tk .
t" ,

~>2

T

(1.4.1)


Bay lĩiờ ta đổi sang biến a.b.t trong cá hai tích phan trôn. la có :

ị ị ỳ Pir*(> ■' p j kiưdbclc - 0

(1.4.2)

I,

trong đó v„ là miền xác định cua các biến a, h, c. còn
./ là trị
tuyệt ilối cùa Jucobian cùa các phép biến đối iừ.v„.y,„r(, và .v.v.r san a
biên u. b. c. Do the tích lòng đang xét là tuỳ ý và do dó v„ là tuỳ ý
nõn từ (1.4.2) la suy ra:
(1.4.3)

Plr^í) ~

hay:
õxfí
da
cx„


dv
L.'II
s
ca
r\' 0
uy

õz„

õx

õy

õz

da
ôz„

da
ôx

da



õy

dz

ẽx„

db
ày(ị

ô:„

à-

dc

ôc

õb

db

-M

ẽb
õx

õc

õh
ôy

ẽc

ôb

(1.4.4)

ôz

õc

Phương (rình (1.4.4) được gọi là phương trình liên tục theo
biến Lagrange.
Nếu chát lỏng không nén được và nếu chọn x„-a, y\,=b. :„=(■
thì phương trình liên tục theo biến Lagrange sê là :

ôx

ô\'

ôz

da

ôa

3»a.x

da
ỡv

rb
ỡ.\

ôb
CV

~õb

ôc

õc

'de

Ôz
=/

(1.4.5)

ôz

1.4.2. Phưong trình liên tục theo biên Euler
Xét lưu lượng chất lỏng qua mặt kín s cố định dạng tuỳ ý.
Theo công thức Ostrogradsky - Gauss, ta có:
23


jjpV'.ĩĩdS = ịịịciivịpv) d x d y d z
s

X

( ĩi là pháp tuyến ngoài cùa S)

Ta đã biết thóng lượng này biểu thị lượng chất lone chảy ra
khỏi mặl s trong một dơn vị thời gian, do đó làm giâm tỷ khối lại
các điểm trong thể tích t trong một đơn vị thời gian một đại lượns
là - — và trong X sẽ giảm mỏt lương chất lỏng là:
õt

Theo định luật bảo toàn:

ịịịdi v(pỹ )dxd\dz = - ỊỊỊ^dxdyd:
t

T

Do r là tuỳ ý nên ta có:
^

+ d iv (p v )^ Q .

(1.4.6)

õt
Nếu chất lỏng không nén được ( p = c o n s t ) , phương trinh liên
tục (1.4.6) sẽ có dạng:
ỡv ỡv. ổv
d ìv V = 0 , hay — + —— + — = 0 .
õx dy
dz

(1.4.7)

Phương trình (1.4.6) hay (1.4.7) đuợc gọi là phương trình liên
tục trong biến Euler.
Với chất lỏng không nén được, giả sử c là mội đường cong
đóng nằm hoàn toàn trong chất lỏng, qua mỗi điểm của c ta vạch
một đường dòng và ta có một ống dòng. Nếu ống dòng có tiết diện
vỏ cùng bé ta gọi là ống dòng nguyên tố. Ta xét một thể tích lỏng
trong ống dòng nguyên tố được giới hạn bời hai thiết diện S/.S,

24


Vi .S'...S', he. nên có the xem vận lốc lại các điếm cùa mồi ihict

diện íà không dối V /.V ỵ. Do chất lóng không nén được nên lượng
chãi lỏng thoát ra qua mặt bao ihế tích ấy bằng không:

jj\'tidS =
s t

+ jjrw/s+
s,

.V.

=0 (I.4.K)

SK

trong đó s„ là mặt bên cùa (hể tích lòng và do đó trên s„ thì V'„=í^.
Mật kliãc trên s , và S 2 vân tốc không đổi bảng V ị .V , vé đỏ lớn và có
hướng ngược nhau nên từ (1.4.8) ta suy ra:
V ịS ^ V ì S ^ ohsí

(1 .4 .9 )

hay dọc Ihco một ỏng dòng nguyên tố ta có:
VS= ronxt

(1.4.10)

trong dó s là diện tích thiết diện, V là độ
lớn vận tốc tại các điểm cùa s (Hình 2). Từ
(1.4.10) ta suy ra các đườne dòng trong
chất lòng không nén được không thể bắt
đẩu hoặc kết thúc bên trong một mặt kín 5
bát kỳ (vì nếu đường dòng kết thúc có
nghía là s tiến tới khõng và do đó V tiến ra
vỏ cùng, điéu đó không xảy ra).

1.5. ĐẶC TRƯNG CỦA CHUYỂN đ ộ n g

không xo áy và x o á y

Trường vận tốc V của chuyên động chất lỏng có thể có hai
trạng thái, trạng thái chuyển động mà vận tốc thỏa mãn điều kiện
r o tV = 0 dược gọi là chuyển động khổng xoáy. Trong trường hợp

ngược lại được gọi là chuyển động xoáy.

1.5.1.Chuyến động không xoáy (chuyển động có thế)
Theo định nghĩa, chuyến động không xoáy tức là r o t V = 0. mật
khác theo lý thuyết trường, nếu trong trường vận tốc tồn tại một
hàm vồ hướng u mà V =iỊrưdUt tức là trường V có thế thì ta cũng có:
25


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×