Tải bản đầy đủ

Đề vượt vũ môn toán 2018 lần 2 trường THPT chuyên nguyễn quang diêu – đồng tháp

Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Tổ Toán - Tin

VƯỢT VŨ MÔN TOÁN

ĐỀ SỐ 2
A. Phần trắc nghiệm (8 điểm)
Câu 1: Giả sử x, y là cá c số thực dương. Mênh
̣ đề nà o sau đây là sai?
A. log 2 ( x + y ) = log 2 x + log 2 y

B. log 2 xy =

C. log 2 xy = log 2 x + log 2 y

D. log 2

Câu 2: Cho hà m số y =

1
( log 2 x + log 2 y )

2

x
= log 2 x − log 2 y
y

3
có đồ thi la
̣ ̀ (C). Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
x +1

A. ( C ) có tiêm
̣ câṇ ngang là y = 3

B. ( C ) có tiêm
̣ câṇ ngang là y = 0

C. ( C ) có tiêm
̣ câṇ đứng là x = 1

D. ( C ) chı̉ có môṭ tiêm
̣ câṇ

Câu 3: Cho hà m số y = f ( x ) có bả ng biế n thiên như hı̀nh vẽ bên. Mênh
̣ đề nà o sau đây là sai?
x

1

−∞
+

y'
y

0

2
-



0

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ )
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;1)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;3)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞ )

+

+∞

3

−∞

+∞

0


1

Câu 4: Tập xác định của hàm số y = ( x − 1) 2 là
A. D = [1; +∞ )

B. D = (1; +∞ )

C. D = ( −∞;1)

D. D = ( 0;1)

Câu 5: Cho hà m số y = f ( x ) có đồ thi ̣như hıǹ h vẽ bên. Biế t rằ ng f ( x ) là
môṭ trong bố n hà m đươc̣ đưa ra trong cá c phương á n A, B, C, D dưới đây.
Tı̀m f ( x )

A. f ( x ) = x 4 − 2 x 2
B. f ( x ) = x 4 + 2 x 2
C. f ( x ) = − x 4 + 2 x 2 − 1
D. f ( x ) = − x 4 + 2 x 2
Câu 6: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện.

A.

B.

Câu 7: Cho hà m số y =

C.

D.

x
. Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
2x

A. Hàm số đã cho có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu.
B. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
C. Hàm số đã cho có điểm cực đại.
D. Hàm số đã cho không có điểm cực trị.
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hà m số y = − x 3 + mx 2 − x có 2 điể m cưc̣ tri ̣
A. m ≥ 2 3

B. m > 2

C. m > 3

D. m ≥ 3

Câu 9: Cho hà m số y = f ( x ) có đaọ hà m f ' ( x ) = x 2 ( x 2 − 4 ) , x ∈ » . Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

C. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = −2

Câu 10: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 − 3
trên đoaṇ
x−2

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. M + m =

8
3

B. M + m =

4
3

C. M + m =

7
2

D. M + m =

16
3

Câu 11: Đaọ hà m củ a hà m số y = log 3 ( 4 x + 1) là
A. y ' =

4
( 4 x + 1) ln 3

B. y ' =

1
( 4 x + 1) ln 3

C. y ' =

4 ln 3
4x + 1

D. y ' =

ln 3
4x + 1

 3
 −1; 2  .


Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2 x + 1 cắ t đồ thi ha
̣ ̀ m số y =
A. −

3
< m ≠ −1
2

B. m ≥ −

3
2

C. −

3
≤ m ≠ −1
2

D. m > −

x+m
x −1

3
2

Câu 13: Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy bằng 2. Góc ở đỉnh của hình nón bằng
A. 1500

B. 1200

C. 600

Câu 14: Giả sử a là số thưc̣ dương, khá c 1. Biể u thức
A. α =

2
3

B. α =

11
6

D. 300

a 3 a đươc̣ viế t dưới dang
̣ aα . Khi đó

C. α =

1
6

D. α =

5
3

Câu 15: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối tru ̣ đã cho
bằ ng

A. 4π a 3

B. 3π a 3

C. π a 3

D. 5π a 3

Câu 16: Cho hıǹ h chó p S.ABC có đá y ABC là tam giá c vuông taị C, AB = 5a, AC = a . Canh
̣ SA = 3a
và vuông gó c với măṭ phẳ ng đá y. Thể tı́ch khố i chó p S . ABC bằ ng

A. a 3

B.

5 3
a
2

C. 2a 3

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trıǹ h x −
A. −1 < m ≠ 0

B. m > −1

D. 3a 3

1
= m có hai nghiêm
̣ phân biêṭ
log 3 ( x + 1)

C. không tồ n taị m

D. −1 < m < 0

Câu 18: Cho hà m số y = log a x và y = log b x có đồ thi ̣như hıǹ h
vẽ bên. Đường thẳ ng x = 7 cắ t truc̣ hoà nh, đồ thi ̣ hà m số
y = log a x và y = log b x lầ n lươṭ taị H, M và N. Biế t rằ ng
HM = MN . Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?

A. a = 7b

B. a = b 2

C. a = b 7

D. a = 2b

Câu 19: Tı̀m tấ t cả cá c giá tri cu
̣ ̉ a tham số a để đồ thi ha
̣ ̀ m số y =
A. a < 0, a ≠ 1

B. a > 0

x2 + a
có 3 đường tiêm
̣ câṇ
x 2 + ax 2

C. a ≠ 0, a ≠ ±1

D. a ≠ 0, a ≠ −1

Câu 20: Tı̀m tấ t cả cá c giá tri ̣ củ a tham số m để hà m số y = ( m 2 − 1) x 4 − 2mx 2 đồ ng biế n trên khoả ng

(1; +∞ )
A. m ≤ −1
C. m ≤ −1 hoăc̣ m ≥

B. m = −1 hoăc̣ m >
1+ 5
2

1+ 5
2

D. m ≤ −1 hoăc̣ m > 1


Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hà m số y =

1
xá c đinh
̣ trên khoả ng
m log x − 4 log 3 x + m + 3
2
3

( 0; +∞ ) là
A. m ∈ ( −4;1)

B. m ∈ [1; +∞ )

C. m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ )

D. m ∈ (1; +∞ )

Câu 22: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy
tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên
với các kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ
này (phần tô màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng
hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

A. 711, 6cm3

B. 1070,8cm3

C. 602, 2cm3

D. 6021,3cm3

Câu 23: Cho hı̀nh chó p đề u S . ABCD có canh
̣ đá y bằ ng 2a, khoả ng cá ch giữa hai đường thẳ ng SA và CD
3a . Thể tıć h khố i chó p S.ABCD bằ ng

bằ ng

3a 3
3

A.

B. 4 3a 3

C.

D.

3a 3

4 3a 3
3

Câu 24: Cho hà m số bâc̣ ba y = f ( x ) có đồ thi ̣ như hıǹ h vẽ bên. Tấ t cả cá c
giá tri cu
̣ ̉ a tham số m để hà m số y = f ( x ) + m có ba điể m cưc̣ tri ̣là :

A. m ≤ −1 hoăc̣ m ≥ 3
B. m ≤ −3 hoăc̣ m ≥ 1
C. m = −1 hoăc̣ m = 3
D. 1 ≤ m ≤ 3
Câu 25: Cho lăng tru ̣ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = a, BC = a 3 . Canh
̣
bên AA ' = 2a . Bá n kıń h măṭ cầ u ngoaị tiế p tứ diêṇ AB’C’C bằ ng

A. a

B. a 5

C. a 3

Câu 26: Cho cá c số thưc̣ x, y thỏ a mañ x + y = 2

(

D. a 2

)

x − 3 + y + 3 . Giá tri ̣ nhỏ nhấ t củ a biể u thức

P = 4 ( x 2 + y 2 ) + 15 xy là :

A. min P = −83

B. min P = −63

C. min P = −80

D. min P = −91

Câu 27: Cho hı̀nh lăng tru ̣ đứng ABC.A’B’C’ có thể tı́ch bằ ng V. Cá c điể m M, N, P lầ n lươṭ thuôc̣ cá c
canh
̣ AA’, BB’, CC’ sao cho

A.

2
V
3

B.

AM 1 BN CP 2
= ,
=
= . Thể tı́ch khố i đa diêṇ ABC.MNP bằ ng:
AA ' 2 BB ' CC ' 3
9
V
16

C.

Câu 28: Giải phương trình sin 3x − 4sin x.cos 2 x = 0 .

20
V
27

D.

11
V
18


 x = k 2π
A. 
 x = ± π + kπ
3


 x = kπ
B. 
 x = ± π + kπ
6




x = 2
C. 
 x = ± π + kπ

4

k 2π

x = 3
D. 
 x = ± 2π + kπ

3

Câu 29: Cho hình thoi ABCD tâm O (như hình vẽ). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề
đúng?
B

A

O

C

D

A. Phép quay tâm O , góc −

π
2

biến tam giác OCD thành tam giác OBC .

B. Phép tịnh tiến theo vec tơ DA biến tam giác DCB thành tam giác ABD .
C. Phép vị tự tâm O , tỷ số k = 1 biến tam giác ODA thành tam giác OBC .
D. Phép vị tự tâm O , tỷ số k = −1 biến tam giác CDB thành tam giác ABD .

Câu 30: Cho cấp số nhân (un ); u1 = 1, q = 2 . Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
A. 10

B. 8

C. 11

D. 9

Câu 31: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó.Tính xác
suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.
A.

2
5

B.

2
15

1 − cos x

Câu 32: Cho hai hàm số f ( x ) =  x 2
1

C.

11
12

khi x ≠ 0
khi x = 0

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. f ( x ) có đạo hàm tại x = 0

B. f ( x ) liên tục tại x = 0

C. f ( 2) < 0

D. f ( x ) gián đoạn tại x = 0

D.

7
24


B. Phần tự luận (2 điểm)
cos x + sin3 x
= 1 + sin x + cot x.
sin x − sin 2 x

Bài 1. Giải phương trình

Bài 2. Nhân dịp kỷ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam, trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu tuyển
chọn được 24 tiết mục văn nghệ tiêu biểu, trong số đó lớp 11A có 2 tiết mục để công diễn trong toàn
trường. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai buổi công diễn, mỗi buổi 12 tiết mục.
Tính xác suất để 2 tiết mục của lớp 11A được biểu diễn trong cùng một buổi.

n


1 
Bài 3. Tính hệ số của x trong khai triển biểu thức  x + 3(1 − ) , ( x > 0) , biết rằng n là số nguyên
x 

4

dương thoả mãn 3Cn1+1 + 8Cn2+ 2 = 3Cn3+1 .
Bài 4. Cho x , y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

1
2

x + xy

+

1
2

y + xy

+

2 3
.
1+ z

----------------------Hết-----------------


LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. Phần trắc nghiệm (mỗi câu đúng 0,25 điểm)
Câu 1: Đáp án A
Ta có log 2 x + log 2 y = log 2 ( xy ) nên A sai
Câu 2: Đáp án B
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = −1 , tiê ̣m câ ̣n ngang là y = 0 nên B đú ng
Câu 3: Đáp án C,D
Câu 4: Đáp án B
Tâp̣ xá c đinh
̣ củ a hà m số là x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇒ D = (1; +∞ )

Câu 5: Đáp án D
Ta có lim y = −∞ và lim y = −∞ ⇒ hê ̣ số a < 0 ⇒ Loaị A và B. Mà ( C ) qua O ( 0;0 ) ⇒ D đú ng.
x →−∞
x →+∞

Câu 6: Đáp án C
Rõ rà ng C là đá p á n đú ng

Câu 7: Đáp án C
x

Ta có y =

x

x

x
1 1
1
1
1
= x   ⇒ y ' =   + x   ln =  
x
2
2 2
2
2
2
x

Do đó y ' = 0 ⇔ x =

x

x

1 1

 1 + x ln  =   (1 − x ln 2 )
2 2

x

1
1
1
1
. Mà y" =   ln . (1 − x ln 2 ) +   . ( − ln 2 )
ln 2
2
2
2
1

1
 1 
 1  ln 2
⇒ y" 
 = 0 +   ( − ln 2 ) < 0 ⇒ hà m số đaṭ cực đaị taị x =
ln 2
 ln 2 
2

Câu 8: Đáp án C
Ta có y ' = −3x 2 + 2mx − 1

̣ phân biêṭ ⇔ ∆ ' = m 2 − 3 > 0 ⇔ m > 3
YCBT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiêm
Câu 9: Đáp án A
 f " ( 2 ) = 16 > 0
 x=0
Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ 
và f " ( x ) = 4x 3 − 8x ⇒ 
f " ( −2 ) = −16 < 0
 x = ±2
Do đó hà m số đaṭ cưc̣ đaị taị x = −2 và hà m số đaṭ cưc̣ tiể u taị x = 2
Khi đó x = 0 thı̀ đaọ hà m f ' ( x ) không đổ i dấ u nên f ( x ) không đaṭ cực tri ta
̣ ị x = 0

Câu 10: Đáp án A
Câu 11: Đáp án A
Ta có y ' =

( 4x + 1) ' =
4
( 4x + 1) ln 3 ( 4x + 1) ln 3

Câu 12: Đáp án B
Điề u kiêṇ : x ≠ 1


Phương trıǹ h hoà nh đô ̣ giao điể m 2x + 1 =

x+m
⇔ 2x 2 − 2x − m − 1 = 0 (*)
x −1

Để cắ t nhau thı̀ (*) có nghiêm
̣ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 2m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ −

3
2

Câu 13: Đáp án C

r 1
Ta có sin α = = ⇒ α = 300 ⇒ gó c ở đinh
̣ là 2α = 600
l 2
Câu 14: Đáp án A
Ta có

2
3

a a =a ⇒α=
3

2
3

Câu 15: Đáp án B
Goị l = h là đô ̣ dà i đường sinh củ a khố i tru ̣
Khi đó chu vi thiế t diêṇ qua truc̣ là C = 2 ( 2r + l ) = 2 ( 2r + h ) = 10a ⇒ h = 3a
Suy ra V( T ) = πR 2 h = 3πa 3

Câu 16: Đáp án A
Ta có BC = AB2 − AC2 = 2a

1
1 2a 2
Do đó VS.ABC = SA.SABC = 3a.
= a3
3
3
2
Câu 17: Đáp án B

x > −1

ĐK. 
log 3 ( x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0
Khi đó ta có : y ' = 1 −

2. log 3 ( x + 1)  '
2
3

log ( x + 1)

= 1+

2
> 0 ( ∀x > −1)
ln 3 ( x + 1) log 32 ( x + 1)

Do đó hà m số đã cho đồ ng biế n trên mỗi khoả ng ( −1;0 ) và ( 0; +∞ )

x

-1

0

+∞

+

y'

y

+

+∞
-1

+∞
−∞

Dưạ và o bả ng BBT suy ra PT đã cho có 2 nghiêm
̣ khi m > −1

Câu 18: Đáp án B


Dưạ và o hı̀nh vẽ ta thấ y HM = MN ⇔ NH = 2MH ⇔ log b 7 = 2 log a 7 ⇔

1
2
=
⇔ a = b2
log 7 b log 7 a

Câu 19: Đáp án D
Ta có D = » | {0; −a} . Đồ thi ̣hà m số y =

x2 + a
luôn có môṭ tiêm
̣ câṇ ngang là y = 0 do lim y = 0 . Để
x →∞
x 3 + ax 2

đồ thi ̣hà m số có 3 tiêm
̣ câṇ ⇔ đồ thi ̣có 2 tiêm
̣ câṇ đứng ⇔ g ( x ) = x 2 + a không nhâṇ x = 0; x = −a là

 a≠0
a≠0
nghiêm
⇔
̣ ⇔ 2
a ≠ −1
a + a ≠ 0
Câu 20: Đáp án C
Ta có y ' = 4 ( m 2 − 1) x 3 − 4mx

Với m = −1 ⇒ y ' = 4x > 0 ⇔ x > 0 nên hà m số đồ ng biế n trên (1; +∞ )
Với m = 1 ⇒ y ' = −4x > 0 ⇔ x < 0 nên hà m số không đồ ng biế n trên (1; +∞ )
Với m ≠ ±1 để hà m số đồ ng biế n trên (1; +∞ ) thı̀ ( m 2 − 1) x 2 − m  x ≥ 0 ( ∀x ∈ (1; +∞ ) )


2

1+ 5
m≥
 m −1 > 0

⇔ ( m − 1) x ≥ m ( ∀x ∈ (1; +∞ ) ) ⇔  2

2
2

( m − 1) . (1) ≥ m
 m < −1

2

2


1+ 5
m≥

Kế t hơp̣ ta có
̣ ̀ n tım
̀ .
2 là giá tri câ

 m ≤ −1
Câu 21: Đáp án C
Hà m số đã cho xá c đinh
̣ trên khoả ng

( 0; +∞ ) ⇔ g ( x ) = m log32 x − 4 log3 x + m + 3 ≠ 0 ( ∀x > 0 )
Đăṭ t = log 3 x ( t ∈ » ) khi đó ĐKBT ⇔ g ( t ) = mt 2 − 4t + m + 3 ≠ 0 ( ∀t ∈ » )
Với m = 0 ⇒ g ( t ) = −4x + 3 (không thỏ a mañ )

 m >1
Với m ≠ 0 suy ra g ( t ) = mt 2 − 4t + m + 3 ≠ 0 ( ∀t ∈ » ) ⇔ ∆ ' = 4 − m ( m + 3) < 0 ⇔ 
 m < −4
Câu 22: Đáp án B
Thể tıć h củ a hıǹ h tru ̣ là V1 = πr 2 h = π.6.62.13, 2 cm3 = 1806,39 cm3
3

4
4  13, 2 − 2 
3
Thể tích hình cầu chứa cát là V2 = πR 3 = π 
 = 735, 62 cm
3
3 
2 
Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là V = V1 − V2 = 1070, 77 cm 3

Câu 23: Đáp án D
Goị O là tâm củ a hıǹ h vuông ABCD
Ta có AB || CD ⇒ CD || ( SAB )


⇒ d ( SA;CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = 2.d ( O; ( SAB ) ) = a 3
Goị M là trung điể m củ a AB, kẻ OK ⊥ SM ( K ∈ SM )
Khi đó OK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O; ( SAB ) ) = OK =

Xé t ∆SMO vuông taị M, có

a 3
2

1
1
1
+
=
⇒ SO = a 3
2
2
SO OM
OK 2

1
4 3 3
Vâỵ thể tı́ch khố i chó p S.ABCD là V = SO.SABCD =
a
3
3
4

Ta có V = π∫ xdx = π
0

x2 4
= 8π ⇒ V1 = 4π
2 0

Câu 24: Đáp án A
Đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) + m là đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) tinh
̣ tiế n trên truc̣ Oy m đơn vi ̣
Để đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) + m có ba điể m cực tri ̣ ⇔ y = f ( x ) + m xả y ra hai trường hơp̣ sau:


Nằ m phıá trên truc̣ hoà nh hoăc̣ điể m cực tiể u thuôc̣ truc̣ Ox và cực đaị dương



Nằ m phıá dưới truc̣ hoà nh hoăc̣ điể m cực đaị thuôc̣ truc̣ Ox và cực tiể u dương

Khi đó m ≥ 3 hoăc̣ m ≤ −1 là giá tri câ
̣ ̀ n tım
̀ .

Câu 25: Đáp án D
Dê ̃ thấ y tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p tứ diêṇ AB’C’C cũ ng là tâm măṭ cầ u
ngoaị tiế p khố i lăng tru ̣ dứng đã cho
Goị O là tâm đường trò n ngoaị tiế p tam giá c ABC

Đường thẳ ng qua O vuông gó c với (ABC) cắ t măṭ phẳ ng trung trực củ a
AA’ taị I. Khi đó I là tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p.
Măṭ khá c cos A =

AB2 + AC 2 − BC 2
1
=−
2.AB.AC
2

Ta có : RABC = a do đó R = IA = OI 2 + OA 2 = a 2

Câu 26: Đáp án A
Ta có x + y = 2

(

)

2

x − 3 + y + 3 ⇔ ( x + y ) = 4 ( x + y ) + 8 x − 3. y + 3 ≥ 4 ( x + y )

x + y ≥ 4
. Măṭ khá c
⇔
x + y ≤ 0
x+y=2

(

)

x − 3 + y + 3 ≤ 2 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ 8 ⇒ x + y ∈ [ 4;8]
2

Xé t biể u thức P = 4 ( x 2 + y 2 ) + 15xy = 4 ( x + y ) + 7xy và đăṭ

t = x + y ∈ [ 4;8] ⇒ P = 4t 2 + 7xy .
2

Laị có ( x + 3)( y + 3) ≥ 0 ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − 9 ⇒ P ≥ 4 ( x + y ) − 21( x + y ) − 63
= 4t 2 − 21t − 63 .


Xé t hà m số f ( t ) = 4t 2 − 21t − 63 trên đoaṇ [ 4;8] suy ra Pmin = f ( 7 ) = −83

Câu 27: Đáp án D
Goị K là hıǹ h chiế u củ a P trên AA’
Khi đó VABC.KPN =

2
V; VM.KPN
3

1
1 1
1
= MK.SKNP = . AA 'SABC = V
3
3 6
18
Do đó VABC.MNP =

2
1
11
V− V = V
3
18
18

Câu 28: Đáp án B
Câu 29: Đáp án D
Câu 30: Đáp án C
Câu 31: Đáp án A
Câu 32: Đáp án D

B. Phần tự luận (mỗi bài đúng 0,5 điểm)
Bài 1. (0,5 điểm)

Bài 2. (0,5 điểm)

Bài 3. (0,5 điểm)


Bài 4. (0,5 điểm)
Hướng dẫn giải
+ Biểu thức thứ 1 và 2 có tính đối xứng theo hai biến x , y
+ Sử dụng bất đẳng thức đại số và điều kiện đánh giá hai biểu thức thứ 1 và 2 nhằm đưa về hàm theo
biến z
Lời giải
B1 • Ước lượng biểu thức P về hàm một biến số.
Theo bất đẳng thứ Cauchy ta có:
1
2

1

+

x + xy

2



y + xy

2
4

2

2

( x + xy)( y + yx )



2
2

2

=

x + xy + y + xy
2

2

x+y
2

2
2

x + y2

(1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x = y . Kết hợp với điều kiện x 2 + y 2 + z2 = 1 , ta được:
P≥

2
x2 + y2

+

12
2
12
=
+
= f ( z)
z +1
1 − z2 z + 1

B2 • Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến z .
Do x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z2 = 1 nên 0 < z < 1
Vậy z ∈ ( 0;1)
B3 • Tìm GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN của P .
Xét hàm số f ( z) =

Ta có: f '(z) =

2
1− z

2

+

2z
(1 − z2 ) 1 − z2

12
trên khoảng ( 0;1)
z +1



12
2 z(1 + z)2 − 12(1 − z2 ) 1 − z2
=
(1 + z)2
(1 + z2 )2 (1 − z2 ) 1 − z2

f '( z) = 0 ⇔ 2 z(1 + z)2 − 12(1 − z2 ) 1 − z2 = 0 ⇔ 16 z6 + 16 z5 − 12 z 4 + 16 z3 + 40 z2 − 12 = 0


⇔ 4(z + 1)3 (2 z − 1)(2 z2 − 3z + 3) = 0 ⇔ z =

1
2

Bảng biến thiên
z
f '( z)

1
2

0

1

0



+

f ( z)

8 3
3

Từ bảng biến thiên suy ra:

8 3
8 3
, ∀z ∈ ( 0;1) ⇒ P ≥
3
3

f ( z) ≥

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x = y =

3
1
,z = .
2
2

B4 • Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

8 3
3
1
đạt khi x = y =
,z = .
3
2
2

--------------------Hết------------------

(2)


Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu
Tổ Toán - Tin

ĐÁP ÁN VƯỢT VŨ MÔN TOÁN

ĐỀ SỐ 2
A. Phần trắc nghiệm (8 điểm)
Câu 1: Giả sử x, y là cá c số thực dương. Mênh
̣ đề nà o sau đây là sai?

A. log 2 ( x + y ) = log 2 x + log 2 y

B. log 2 xy =

C. log 2 xy = log 2 x + log 2 y

D. log 2

1
( log 2 x + log 2 y )
2

x
= log 2 x − log 2 y
y

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Ta có log 2 x + log 2 y = log 2 ( xy ) nên A sai
Câu 2: Cho hà m số y =

3
có đồ thi la
̣ ̀ (C). Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
x +1

A. ( C ) có tiêm
̣ câṇ ngang là y = 3

B. ( C ) có tiêm
̣ câṇ ngang là y = 0

C. ( C ) có tiêm
̣ câṇ đứng là x = 1

D. ( C ) chı̉ có môṭ tiêm
̣ cân.
̣

Hướng dẫn giải: Đáp án B
Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là x = −1 , tiê ̣m câ ̣n ngang là y = 0 nên B đú ng
Câu 3: Cho hà m số y = f ( x ) có bả ng biế n thiên như hı̀nh vẽ bên. Mênh
̣ đề nà o sau đây là sai?
x

1

−∞
+

y'
y

0

2
-

0

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 2; +∞ )

+

+∞

3

−∞

+∞

0


B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;1)
C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;3)
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( 3; +∞ )

Hướng dẫn giải: Đáp án C,D (Học sinh hưởng điểm)
1

Câu 4: Tập xác định của hàm số y = ( x − 1) 2 là
A. D = [1; +∞ )

C. D = ( −∞;1)

B. D = (1; +∞ )

D. D = ( 0;1)

Hướng dẫn giải: Đáp án B
Điều kiện xá c đinh
̣ củ a hà m số là x − 1 > 0 ⇔ x > 1 ⇒ D = (1; +∞ )
Câu 5: Cho hà m số y = f ( x ) có đồ thi ̣như hıǹ h vẽ bên. Biế t rằ ng f ( x ) là
môṭ trong bố n hà m đươc̣ đưa ra trong cá c phương á n A, B, C, D dưới đây.
Tı̀m f ( x )

A. f ( x ) = x 4 − 2 x 2
B. f ( x ) = x 4 + 2 x 2
C. f ( x ) = − x 4 + 2 x 2 − 1

D. f ( x ) = − x 4 + 2 x 2
Hướng dẫn giải: Đáp án D
Ta có lim y = −∞ và lim y = −∞ ⇒ hê ̣ số a < 0 ⇒ Loaị A và B. Mà ( C ) qua O ( 0;0 ) ⇒ D đú ng.
x →−∞
x →+∞

Câu 6: Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải: Đáp án C
Câu 7: Cho hà m số y =

x
. Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
2x

A. Hàm số đã cho có cả điểm cực đại và điểm cực tiểu.
B. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu.
C. Hàm số đã cho có điểm cực đại.
D. Hàm số đã cho không có điểm cực trị.

Hướng dẫn giải: Đáp án C
x

x

x

x
1 1
1
1
1
Ta có y = x = x   ⇒ y ' =   + x   ln =  
2
2 2
2
2
2

x

x

1 1

1 + x ln  =   (1 − x ln 2 )
2 2



x

x

1
1
1
1
Do đó y ' = 0 ⇔ x =
. Mà y" =   ln . (1 − x ln 2 ) +   . ( − ln 2 )
ln 2
2
2
2
1

1
 1 
 1  ln 2
⇒ y" 
 = 0 +   ( − ln 2 ) < 0 ⇒ hà m số đa ̣t cực đa ̣i ta ̣i x =
ln 2
 ln 2 
2
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hà m số y = − x 3 + mx 2 − x có 2 điể m cư ̣c tri ̣
A. m ≥ 2 3

B. m > 2

C. m > 3

D. m ≥ 3 .

Hướng dẫn giải: Đáp án C
Ta có y ' = −3x 2 + 2mx − 1 . YCBT ⇔ y ' = 0 có 2 nghiêm
̣ phân biêṭ ⇔ ∆ ' = m 2 − 3 > 0 ⇔ m > 3
Câu 9: Cho hà m số y = f ( x ) có đaọ hà m f ' ( x ) = x 2 ( x 2 − 4 ) , x ∈ » . Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.

B. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

C. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = −2

Hướng dẫn giải: Đáp án A
 f " ( 2 ) = 16 > 0
 x=0
Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ 
và f " ( x ) = 4x 3 − 8x ⇒ 
f " ( −2 ) = −16 < 0
 x = ±2
Do đó hà m số đaṭ cưc̣ đaị taị x = −2 và hà m số đaṭ cưc̣ tiể u taị x = 2
Khi đó x = 0 thı̀ đaọ hà m f ' ( x ) không đổ i dấ u nên f ( x ) không đaṭ cực tri ta
̣ ị x = 0

Câu 10: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 − 3
trên đoaṇ
x−2

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. M + m =

8
3

B. M + m =

4
3

C. M + m =

7
2

D. M + m =

16
3

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Câu 11: Đaọ hà m củ a hà m số y = log 3 ( 4 x + 1) là
A. y ' =

4
( 4 x + 1) ln 3

B. y ' =

1
( 4 x + 1) ln 3

C. y ' =

4 ln 3
4x + 1

D. y ' =

ln 3
4x + 1

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Ta có y ' =

( 4x + 1) ' =
4
( 4x + 1) ln 3 ( 4x + 1) ln 3

Câu 12: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = 2 x + 1 cắ t đồ thi ha
̣ ̀ m số y =
A. −

3
< m ≠ −1
2

B. m ≥ −

3
2

C. −

3
≤ m ≠ −1
2

D. m > −

x+m
x −1

3
2

Hướng dẫn giải: Đáp án B
Điề u kiêṇ : x ≠ 1 . Phương trı̀nh hoà nh đô ̣ giao điể m 2x + 1 =

x+m
⇔ 2x 2 − 2x − m − 1 = 0 (*)
x −1

 3
 −1; 2  .


Để cắ t nhau thı̀ (*) có nghiêm
̣ ∆ ' ≥ 0 ⇔ 2m + 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ −

3
2

Câu 13: Một hình nón có tỉ lệ giữa đường sinh và bán kính đáy bằng 2. Góc ở đỉnh của hình nón bằng
A. 1500

B. 1200

C. 600

D. 300

Hướng dẫn giải: Đáp án C
r 1
Ta có sin α = = ⇒ α = 300 ⇒ gó c ở đinh
̣ là 2α = 600 .
l 2
Câu 14: Giả sử a là số thưc̣ dương, khá c 1. Biể u thức
A. α =

2
3

B. α =

11
6

a 3 a đươc̣ viế t dưới dang
̣ aα . Khi đó

C. α =

1
6

D. α =

5
3

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Câu 15: Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua trục bằng 10a. Thể tích của khối tru ̣ đã cho
bằ ng

A. 4π a 3

B. 3π a 3

C. π a 3

D. 5π a 3

Hướng dẫn giải: Đáp án B
Goị l = h là đô ̣ dà i đường sinh củ a khố i tru ̣
Khi đó chu vi thiế t diêṇ qua truc̣ là C = 2 ( 2r + l ) = 2 ( 2r + h ) = 10a ⇒ h = 3a . Suy ra V( T ) = πR 2 h = 3πa 3

Câu 16: Cho hı̀nh chó p S.ABC có đá y ABC là tam giá c vuông taị C, AB = 5a, AC = a . Canh
̣ SA = 3a
và vuông gó c với măṭ phẳ ng đá y. Thể tıć h khố i chó p S . ABC bằ ng

A. a 3

B.

5 3
a
2

C. 2a 3

D. 3a 3

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Ta có BC = AB − AC = 2a . Do đó VS.ABC
2

2

1
1 2a 2
= SA.SABC = 3a.
= a3
3
3
2

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trıǹ h x −
A. −1 < m ≠ 0

B. m > −1

1
= m có hai nghiêm
̣ phân biêṭ
log 3 ( x + 1)

C. không tồ n taị m

D. −1 < m < 0

Hướng dẫn giải: Đáp án B
x > −1

ĐK. 
log 3 ( x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0
Khi đó ta có : y ' = 1 −

2. log 3 ( x + 1)  '
2
3

log ( x + 1)

= 1+

2
> 0 ( ∀x > −1)
ln 3 ( x + 1) log 32 ( x + 1)

Do đó hà m số đã cho đồ ng biế n trên mỗi khoả ng ( −1;0 ) và ( 0; +∞ )


x

-1

0

+∞

+

y'

+

y

+∞
-1

+∞
−∞

Dưạ và o bả ng BBT suy ra PT đã cho có 2 nghiêm
̣ khi m > −1

Câu 18: Cho hà m số y = log a x và y = log b x có đồ thi ̣như hıǹ h
vẽ bên. Đường thẳ ng x = 7 cắ t truc̣ hoà nh, đồ thi ̣ hà m số

y = log a x và y = log b x lầ n lươṭ taị H, M và N. Biế t rằ ng

HM = MN . Mênh
̣ đề nà o sau đây là đú ng?
A. a = 7b

B. a = b 2

C. a = b 7

D. a = 2b

Hướng dẫn giải: Đáp án B
Dư ̣a và o hı̀nh vẽ ta thấ y HM = MN ⇔ NH = 2MH ⇔ log b 7 = 2 log a 7 ⇔

Câu 19: Tı̀m tấ t cả cá c giá tri cu
̣ ̉ a tham số a để đồ thi ha
̣ ̀ m số y =
A. a < 0, a ≠ 1

B. a > 0

1
2
=
⇔ a = b2
log 7 b log 7 a

x2 + a
có 3 đường tiêm
̣ câṇ
x 2 + ax 2

C. a ≠ 0, a ≠ ±1

D. a ≠ 0, a ≠ −1

Hướng dẫn giải: Đáp án D
Ta có D = » | {0; −a} . Đồ thi ha
̣ ̀ m số y =

x2 + a
luôn có môṭ tiêm
̣ câṇ ngang là y = 0 do lim y = 0 . Để
x →∞
x 3 + ax 2

đồ thi ̣hà m số có 3 tiêm
̣ câṇ ⇔ đồ thi ̣có 2 tiêm
̣ câṇ đứng ⇔ g ( x ) = x 2 + a không nhâṇ x = 0; x = −a là

 a≠0
a≠0
nghiêm
̣ ⇔ 2
⇔
a ≠ −1
a + a ≠ 0
Câu 20: Tı̀m tấ t cả cá c giá tri ̣ củ a tham số m để hà m số y = ( m 2 − 1) x 4 − 2mx 2 đồ ng biế n trên khoả ng

(1; +∞ )
A. m ≤ −1
C. m ≤ −1 hoăc̣ m ≥

B. m = −1 hoăc̣ m >
1+ 5
2

1+ 5
2

D. m ≤ −1 hoăc̣ m > 1

Hướng dẫn giải: Đáp án C
Ta có y ' = 4 ( m 2 − 1) x 3 − 4mx
Với m = −1 ⇒ y ' = 4x > 0 ⇔ x > 0 nên hà m số đồ ng biế n trên (1; +∞ )


Với m = 1 ⇒ y ' = −4x > 0 ⇔ x < 0 nên hà m số không đồ ng biế n trên (1; +∞ )
Với m ≠ ±1 để hà m số đồ ng biế n trên (1; +∞ ) thı̀ ( m 2 − 1) x 2 − m  x ≥ 0 ( ∀x ∈ (1; +∞ ) )


2

1+ 5
m≥
 m −1 > 0

⇔ ( m − 1) x ≥ m ( ∀x ∈ (1; +∞ ) ) ⇔  2

2
2

( m − 1) . (1) ≥ m
m
<

1



2

2


1+ 5
m≥

̣ ̀ n tı̀m.
Kế t hơp̣ ta có
2 là giá tri câ

 m ≤ −1
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hà m số y =

1
xá c đinh
̣ trên khoả ng
m log x − 4 log 3 x + m + 3
2
3

( 0; +∞ ) là
A. m ∈ ( −4;1)

B. m ∈ [1; +∞ )

C. m ∈ ( −∞; −4 ) ∪ (1; +∞ )

D. m ∈ (1; +∞ )

Hướng dẫn giải: Đáp án C
Hà m số đã cho xá c đinh
̣ trên khoả ng ( 0; +∞ ) ⇔ g ( x ) = m log 32 x − 4 log 3 x + m + 3 ≠ 0 ( ∀x > 0 )

Đăṭ t = log 3 x ( t ∈ » ) khi đó ĐKBT ⇔ g ( t ) = mt 2 − 4t + m + 3 ≠ 0 ( ∀t ∈ » )
Với m = 0 ⇒ g ( t ) = −4x + 3 (không thỏ a mañ )

 m >1
Với m ≠ 0 suy ra g ( t ) = mt 2 − 4t + m + 3 ≠ 0 ( ∀t ∈ » ) ⇔ ∆ ' = 4 − m ( m + 3) < 0 ⇔ 
 m < −4
Câu 22: Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát bằng thủy tinh
có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với các
kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần tô
màu làm bằng thủy tinh). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với
giá trị nào trong các giá trị sau

A. 711, 6cm3

B. 1070,8cm3

C. 602, 2cm3

D. 6021,3cm3

Hướng dẫn giải: Đáp án B
Thể tıć h củ a hıǹ h tru ̣ là V1 = πr 2 h = π.6.62.13, 2 cm3 = 1806,39 cm3
3

4
4  13, 2 − 2 
3
Thể tích hình cầu chứa cát là V2 = πR 3 = π 
 = 735, 62 cm
3
3 
2 
Vậy lượng thủy tinh cần phải làm là V = V1 − V2 = 1070, 77 cm 3

Câu 23: Cho hıǹ h chó p đề u S . ABCD có canh
̣ đá y bằ ng 2a, khoả ng cá ch giữa hai đường thẳ ng SA và CD
bằ ng

A.

3a . Thể tıć h khố i chó p S.ABCD bằ ng
3a 3
3

B. 4 3a 3

C.

3a 3

D.

4 3a 3
3


Hướng dẫn giải: Đáp án D
Goị O là tâm củ a hıǹ h vuông ABCD
Ta có AB || CD ⇒ CD || ( SAB )

⇒ d ( SA;CD ) = d ( CD; ( SAB ) ) = 2.d ( O; ( SAB ) ) = a 3
Goị M là trung điể m củ a AB, kẻ OK ⊥ SM ( K ∈ SM )
Khi đó OK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( O; ( SAB ) ) = OK =
Xé t ∆SMO vuông taị M, có

a 3
2

1
1
1
+
=
⇒ SO = a 3
2
2
SO OM
OK 2

1
4 3 3
Vâỵ thể tı́ch khố i chó p S.ABCD là V = SO.SABCD =
a
3
3
4

Ta có V = π∫ xdx = π
0

x2 4
= 8π ⇒ V1 = 4π
2 0

Câu 24: Cho hà m số bâc̣ ba y = f ( x ) có đồ thi ̣ như hıǹ h vẽ bên. Tấ t cả cá c
giá tri cu
̣ ̉ a tham số m để hà m số y = f ( x ) + m có ba điể m cưc̣ tri la
̣ ̀:

A. m ≤ −1 hoăc̣ m ≥ 3
B. m ≤ −3 hoăc̣ m ≥ 1
C. m = −1 hoăc̣ m = 3
D. 1 ≤ m ≤ 3

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) + m là đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) tinh
̣ tiế n trên truc̣ Oy m đơn vi ̣
Để đồ thi ha
̣ ̀ m số y = f ( x ) + m có ba điể m cực tri ̣ ⇔ y = f ( x ) + m xả y ra hai trường hơp̣ sau:


Nằ m phıá trên truc̣ hoà nh hoăc̣ điể m cực tiể u thuôc̣ truc̣ Ox và cực đaị dương



Nằ m phıá dưới truc̣ hoà nh hoăc̣ điể m cực đaị thuôc̣ truc̣ Ox và cực tiể u dương

Khi đó m ≥ 3 hoăc̣ m ≤ −1 là giá tri câ
̣ ̀ n tım
̀ .

Câu 25: Cho lăng tru ̣ đứng ABC.A’B’C’ có AB = AC = a, BC = a 3 . Canh
̣ bên AA ' = 2a . Bá n kıń h măṭ
cầ u ngoaị tiế p tứ diêṇ AB’C’C bằ ng

A. a

B. a 5

C.

a 3

D. a 2

Hướng dẫn giải: Đáp án D
Dê ̃ thấ y tâm măṭ cầ u ngoaị tiế p tứ diêṇ AB’C’C cũ ng là tâm măṭ cầ u
ngoaị tiế p khố i lăng tru ̣ dứng đã cho
Goị O là tâm đường trò n ngoaị tiế p tam giá c ABC


Đường thẳ ng qua O vuông gó c với (ABC) cắ t măṭ phẳ ng trung trưc̣ củ a AA’ taị I. Khi đó I là tâm măṭ cầ u
ngoaị tiế p.
Măṭ khá c cos A =

AB2 + AC 2 − BC 2
1
=−
2.AB.AC
2

Ta có : RABC = a do đó R = IA = OI 2 + OA 2 = a 2

Câu 26: Cho cá c số thưc̣ x, y thỏ a mañ x + y = 2

(

)

x − 3 + y + 3 . Giá tri ̣ nhỏ nhấ t củ a biể u thức

P = 4 ( x 2 + y 2 ) + 15 xy là :

A. min P = −83

B. min P = −63

C. min P = −80

D. min P = −91

Hướng dẫn giải: Đáp án A
Ta có x + y = 2

(

)

2

x − 3 + y + 3 ⇔ ( x + y ) = 4 ( x + y ) + 8 x − 3. y + 3 ≥ 4 ( x + y )

x + y ≥ 4
. Măṭ khá c x + y = 2
⇔
x + y ≤ 0

(

)

x − 3 + y + 3 ≤ 2 2 ( x + y ) ⇔ x + y ≤ 8 ⇒ x + y ∈ [ 4;8]
2

Xé t biể u thức P = 4 ( x 2 + y 2 ) + 15xy = 4 ( x + y ) + 7xy và đăṭ

t = x + y ∈ [ 4;8] ⇒ P = 4t 2 + 7xy .
2

Laị có ( x + 3)( y + 3) ≥ 0 ⇔ xy ≥ −3 ( x + y ) − 9 ⇒ P ≥ 4 ( x + y ) − 21( x + y ) − 63 = 4t 2 − 21t − 63 .
Xé t hà m số f ( t ) = 4t 2 − 21t − 63 trên đoaṇ [ 4;8] suy ra Pmin = f ( 7 ) = −83

Câu 27: Cho hı̀nh lăng tru ̣ đứng ABC.A’B’C’ có thể tı́ch bằ ng V. Cá c điể m M, N, P lầ n lươṭ thuôc̣ cá c
canh
̣ AA’, BB’, CC’ sao cho

A.

2
V
3

B.

AM 1 BN CP 2
= ,
=
= . Thể tı́ch khố i đa diêṇ ABC.MNP bằ ng:
AA ' 2 BB ' CC ' 3

9
V
16

C.

20
V
27

D.

11
V
18

Hướng dẫn giải: Đáp án D
Goị K là hıǹ h chiế u củ a P trên AA’
Khi đó VABC.KPN =

2
V; VM.KPN
3

1
1 1
1
= MK.SKNP = . AA 'SABC = V
3
3 6
18
Do đó VABC.MNP =

2
1
11
V− V = V
3
18
18

Câu 28: Giải phương trình sin 3x − 4sin x.cos 2 x = 0 .
 x = k 2π
A. 
 x = ± π + kπ
3


 x = kπ
B. 
 x = ± π + kπ
6


Hướng dẫn giải: Đáp án B



x = 2
C. 
 x = ± π + kπ

4

k 2π

x = 3
D. 
 x = ± 2π + kπ

3


Câu 29: Cho hình thoi ABCD tâm O (như hình vẽ). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề
đúng?
B

A

O

C

D

A. Phép quay tâm O , góc −

π
2

biến tam giác OCD thành tam giác OBC .

B. Phép tịnh tiến theo vec tơ DA biến tam giác DCB thành tam giác ABD .
C. Phép vị tự tâm O , tỷ số k = 1 biến tam giác ODA thành tam giác OBC .
D. Phép vị tự tâm O , tỷ số k = −1 biến tam giác CDB thành tam giác ABD .

Hướng dẫn giải: Đáp án D
Câu 30: Cho cấp số nhân (un ); u1 = 1, q = 2 . Hỏi số 1024 là số hạng thứ mấy?
A. 10

B. 8

C. 11

D. 9

Hướng dẫn giải: Đáp án C
Câu 31: Một cái hộp đựng 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi từ cái hộp đó.Tính xác
suất để viên bi được lấy lần thứ 2 là bi xanh.
A.

2
5

B.

2
15

C.

11
12

Hướng dẫn giải: Đáp án A
1 − cos x

Câu 32: Cho hai hàm số f ( x ) =  x 2
1

khi x ≠ 0
khi x = 0

Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau?

A. f ( x ) có đạo hàm tại x = 0

B. f ( x ) liên tục tại x = 0

C. f ( 2) < 0

D. f ( x ) gián đoạn tại x = 0

Hướng dẫn giải: Đáp án D

D.

7
24


B. Phần tự luận (2 điểm)
cos x + sin3 x
= 1 + sin x + cot x.
sin x − sin 2 x

Bài 1. Giải phương trình

Hướng dẫn giải:

Bài 2. Nhân dịp kỷ niệm ngày Nhà giáo Việt Nam, trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu tuyển
chọn được 24 tiết mục văn nghệ tiêu biểu, trong số đó lớp 11A có 2 tiết mục để công diễn trong toàn
trường. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành hai buổi công diễn, mỗi buổi 12 tiết mục.
Tính xác suất để 2 tiết mục của lớp 11A được biểu diễn trong cùng một buổi.

Hướng dẫn giải:

n


1 
Bài 3. Tính hệ số của x trong khai triển biểu thức  x + 3(1 − ) , ( x > 0) , biết rằng n là số nguyên
x 

4

dương thoả mãn 3Cn1+1 + 8Cn2+ 2 = 3Cn3+1 .

Hướng dẫn giải:


Bài 4. Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z2 = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức P =

1
x 2 + xy

1

+

y 2 + xy

+

2 3
.
1+ z

Hướng dẫn giải:
+ Biểu thức thứ 1 và 2 có tính đối xứng theo hai biến x , y
+ Sử dụng bất đẳng thức đại số và điều kiện đánh giá hai biểu thức thứ 1 và 2 nhằm đưa về hàm theo
biến z
B1 • Ước lượng biểu thức P về hàm một biến số.
Theo bất đẳng thứ Cauchy ta có:
1
x 2 + xy

+

1
y 2 + xy



2
4

( x 2 + xy)( y 2 + yx )



2
x 2 + xy + y 2 + xy
2

=

2

x+y
2

2
x 2 + y2

(1)

Dấu “=” ở (1) xảy ra khi x = y . Kết hợp với điều kiện x 2 + y 2 + z2 = 1 , ta được:
2

P≥

2

x +y

2

+

12
2
12
=
+
= f ( z)
2
z +1
z +1
1− z

B2 • Tìm điều kiện ĐÚNG cho biến z .
Do x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z2 = 1 nên 0 < z < 1
Vậy z ∈ ( 0;1)
B3 • Tìm GTNN của hàm một biến, từ đó suy ra GTNN của P .
Xét hàm số f ( z) =

Ta có: f '( z) =

2
1 − z2

+

2z
(1 − z2 ) 1 − z2

12
trên khoảng ( 0;1)
z +1



12
2 z(1 + z)2 − 12(1 − z2 ) 1 − z2
=
(1 + z)2
(1 + z2 )2 (1 − z2 ) 1 − z2

f '( z) = 0 ⇔ 2 z(1 + z)2 − 12(1 − z2 ) 1 − z2 = 0 ⇔ 16 z6 + 16 z5 − 12 z 4 + 16 z3 + 40 z2 − 12 = 0


⇔ 4(z + 1)3 (2 z − 1)(2 z2 − 3z + 3) = 0 ⇔ z =

1
2

Bảng biến thiên
z
f '( z)

1
2

0

1

0



+

f ( z)

8 3
3
Từ bảng biến thiên suy ra:

8 3
8 3
, ∀z ∈ ( 0;1) ⇒ P ≥
3
3

f ( z) ≥

Dấu “=” ở (2) xảy ra khi x = y =

6
1
,z = .
4
2

B4 • Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là

8 3
6
1
đạt khi x = y =
,z = .
3
4
2

----------- HẾT -----------

(2)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×