Tải bản đầy đủ

Hàm Zeta-Riemann và định lý số nguyên tố

Lài cám ơn
Nhân d%p lu¾n văn đưoc hoàn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân
thành, sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình hưóng dan tác
giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đai
hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà
trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã
tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên và
tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 07 năm 2012
Tác giá

Trương Nguyen Minh


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, lu¾n
văn “Hàm Zeta-Riemann và Đ%nh lý so nguyên to” đưoc hoàn
thành, không trùng vói bat kỳ lu¾n văn nào khác.

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 07 năm 2012
Tác giá

Trương Nguyen Minh


Mnc lnc
Má đau.................................................................................................3
Chương 1. M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±.........................7
1.1. Hàm chính hình.............................................................................7
1.2. Tích phân cna hàm bien phúc....................................................9
1.3. Khai trien chuoi luy thùa cna hàm chính hình........................17
1.4. Khai trien chuoi luy thùa cna m®t so hàm sơ cap.....................19
Chương 2. KHÔNG ĐIEM CÚA HÀM ZETA-RIEMANN . .
20
2.1. Hàm Zeta-Riemann......................................................................20
2.2. Moi liên quan khác cna chuoi Dirichlet vói hàm ζ(s)...............25
2.3. Các tong liên quan đen σa(n)..................................................30
2.4. Đ¾c trưng giái tích cna hàm ζ(s) và phương trình hàm...........33
2.4.1. Thác trien giái tích và phương trình hàm...............................................................33
2.4.2. Không điem và công thúc nhân tú.........................................................................40

Chương 3. бNH LÝ SO NGUYÊN TO...................................44
3.1. Giói thi¾u..........................................................................................44
3.2. M®t so bo đe....................................................................................50
3.3. Đ%nh lý Tauberian.....................................................................55
3.4. Đ%nh lý so nguyên to.......................................................................61
3.5. Công thúc ti¾m c¾n Selberg...........................................................63

1


3.6. Phép chúng minh cơ bán cna đ%nh lý so nguyên to..................66
Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
....
78
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


...
79

2


Má đau
1. Lí do chon đe tài
M®t trong nhung nhà toán hoc đ¾t nen móng cho vi¾c nghiên cúu hàm
zeta ζ(s) là Leonhard Euler, nhưng ve m¾t cơ bán ông mói chí
nghiên cúu nó dưói dang hàm vói bien so thnc. M®t trong nhung ket
quá quan trong cna ông đó là công thúc tích vô han (goi là tích Euler)
lay trên tat cá các so nguyên to. Tích này h®i tu khi phan thnc cna s lón
hơn 1. Đây là m®t phiên bán giái tích cho đ%nh lý cơ bán cna so hoc,
rang moi so nguyên có the phân tích m®t cách duy nhat thành các
thùa so nguyên to. Euler đã dùng tích này đe chúng minh rang tong ngh
%ch đáo cna các so nguyên to là không b% ch¾n.
Công thúc tích Euler đã thu hút sn quan tâm cna Riemann tói hàm zeta,
đieu đó đưoc the hi¾n qua vi¾c ông co gang chúng minh m®t giá thuyet
cna Legendre. Dưói m®t dang chính xác hơn, giá thuyet đưoc phát bieu
bói Gauss qua công thúc
¸x
π(x) ∼
2

dt

,
log(t
)

trong đó π(x) là so các so nguyên to không vưot quá x. Riemann
đã tao ra m®t bưóc tien lón tói giá thuyet cna Gauss. Ông nh¾n ra rang
sn phân bo các so nguyên to phu thu®c vào sn phân bo các không điem
cna hàm zeta. Công thúc tích Euler chúng tó không có không điem nào


cna ζ(s) có phan thnc lón hơn 1. Bang vi¾c chúng minh rang ζ(s)
thóa mãn


m®t phương trình hàm mà dang đoi xúng cna nó là
s

ζ (s) = s (s − 1)
π 2Γ

. s ζ (s) = ζ (1 − s) ,
.

2
. + .
trong đó Γ(s) là hàm Gamma ζ 1 it
; vói 0 < t < T . Phương trình
2
hàm chí ra không có không điem nào có phan thnc nhó hơn 0. Như
v¾y, moi không điem phúc phái nam trong dái 0 ≤ Re(z) ≤ 1.
Riemann đưa ra m®t công thúc tưòng minh cho π(x) phu thu®c vào
các không điem
phúc ρ = β + iγ cna ζ(s). M®t dang đơn gián cna công thúc nói rang
.
.
.
Ψ(x) =
Λ(n) = x p
− log(2π) −
log 1 1 −
. x
1

p
2
x2
n≤x

p

đưoc thóa mãn neu x không phái là lũy thùa cna m®t so nguyên to,
trong đó hàm hàm Von Mangoldt Λ(n) = log p neu n = pk vói p là
so nguyên to; k là m®t so nguyên nào đó và Λ(n) = 0 trong các
trưòng hop còn lai. Do đó phái có nhieu vô han các không điem ρ. é
đây tong tính
trên ρ vói so b®i và đưoc hieu là
lim

.
T →∞

ρ

β

. Chú ý rang |x| = |x| ;

do

|ρ|≤T.

đó can chí ra β < 1 đe chúng minh rang
cách

Λ(n) ∼ x, đây là m®t

n≤x

phát bieu khác giá thuyet cna Gauss.
Cũng tù phương trình hàm nêu trên chí ra rang các không điem phúc
1
. Riemann đã chúng tó rang
phái đoi xúng qua đưòng thang Re(s)
2
=
so các không điem N (t) vói phan áo nam giua 0 và T , là


N (T )
=

T


lo
g

.
7
+ + S (T ) +
1
O
.
8
.

T
e
T

Thêm nua, Riemann cũng chúng minh rang S (T ) = O (log T ) và
nêu ra
giá thuyet rang moi không điem cna ζ thnc sn đeu nam trên đưòng thang
1
; đó chính là giá thuyet Riemann. Các no lnc cna Riemann
Im (z)
2
=


đã tien gan đen vi¾c chúng minh giá thuyet cna Gauss. Bưóc cuoi cùng
đưoc hoàn tat bói Hadamard và De la Vallée Poussin, hai ngưòi đã chúng
minh đ®c l¾p nhau trong năm 1896 rang ζ(s) khác không khi phan thnc
cna s bang 1, và tù đó dan tói ket lu¾n khang đ%nh cho giá thuyet cna
Gauss, bây giò đưoc goi là Đ%nh lý so nguyên to.
Nhung công trình cna Riemann mó ra nhung ngành nghiên cúu mói ket
hop giua giái tích và hình hoc, bao gom lý thuyet hình hoc Riemann,
hình hoc đai so và lý thuyet ve đa tap phúc. Ông đã giói thi¾u hàm ZetaRiemann và thiet l¾p các ket quá quan trong cna nó trong vi¾c hieu đưoc
sn phân bo cna so nguyên to. Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan,
em chon đe tài: “Hàm Zeta-Riemann và Đ%nh lý so nguyên to”
vói mong muon đưoc tìm hieu ve sn phân bo các không điem cna hàm
Zeta-Riemann và moi liên quan tói Đ%nh lý so nguyên to đe hoàn thành
lu¾n văn khóa đào tao Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích.

2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu ve tính chat các không điem hàm Zeta-Riemann;
Áp dung tính chat các không điem đe nghiên cúu sn phân bo so nguyên
to;
Trình bày phép chúng Đ%nh lý so nguyên to cna H.L. Keng [7].

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Đoc tài li¾u, tìm hieu hieu ve hàm so Zeta-Riemann và các kien thúc
liên quan.


4. Đoi tưang nghiên cNu
Nghiên cúu m®t so tính chat căn bán cna hàm ζ, khái ni¾m không điem
và moi liên quan đen đ%nh lý so nguyên to;
Chúng minh đ%nh lý so nguyên to.

5. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop, phân tích tù tài li¾u;
Sú dung các tính chat không điem hàm ζ và đ%nh lý so nguyên to.

6. DN kien đóng góp cúa lu¾n văn
Trình bày m®t cách h¾ thong ve các tính chat căn bán cna hàm ZetaRiemann;
Nêu hai phương pháp chúng minh đ%nh lý so nguyên to.


Chương 1
M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±
1.1. Hàm chính hình
Đ%nh nghĩa 1.1. Cho D là t¾p con mó trong m¾t phang phúc C và f
là m®t hàm nh¾n giá tr% phúc trên D. Giá sú h ∈ C và h ƒ= 0 sao
cho z0 + h ∈ D. Neu ton tai giói han
f (z0 + h) − f (z0)
lim
,
h→0
h
thì giói han đó đưoc goi là đao hàm phúc cna hàm f tai điem z0 và
đưoc ký hi¾u bói f r(z0). Bieu thúc
f (z0 + h) − f (z0)
h
đưoc goi là thương vi phân cna hàm f tai điem z0.
Đ%nh nghĩa 1.2. Hàm f đưoc goi là chính hình tai điem z0 neu nó khá
vi phúc trong m®t lân c¾n cna điem đó nam trong D. Hàm f đưoc goi
là chính hình trên D neu nó chính hình tai moi điem z ∈ D. Neu M là
t¾p con đóng cna m¾t phang phúc C, ta nói rang f chính hình trên M
neu f chính hình trên m®t t¾p con mó nào đó chúa M .
Ví dn 1.1. Hàm f (z) = z chính hình trên t¾p con mó bat kỳ trong
C
và f r(z) = 1. Th¾t v¾y, vói moi z ∈ C chúng ta có
= lim
f r (z) = lim f (z + h) − f
(z + h) − z
h→0
h→0
h
(z )
h


= 1.


Ví dn 1.2. Hàm f (z) = z¯ không chính hình. Bói vì,
f (z + h) − f

=

z + h z¯ h
− = ,

(z)
h

h

h

nó không có giói han khi h → 0. Th¾t v¾y, khi cho h → 0 theo truc thnc
thì bieu thúc trên có giói han 1, còn khi cho h → 0 theo truc áo thì bieu
thúc đó có giói han là i.
Rõ ràng, hàm f chính hình tai z0 ∈ D neu và chí neu ton tai so phúc a
sao cho
f (z0 + h) − f (z0) = ah + hϕ(h),
ó đó ϕ(h) là hàm xác đ%nh vói h đn bé và lim ϕ(h) = 0. Dĩ nhiên,
chúng
h→0

ta cũng thay ngay f r(z0) = a. Cũng tù công thúc trên chúng ta
nh¾n
đưoc
M¾nh đe 1.1. Neu hàm f chính hình tai z0 thì liên tnc tai điem đó.
L¾p lu¾n như trong hàm bien thnc chúng ta de dàng chúng minh đưoc
các phép tính dưói đây đoi vói các hàm chính hình
M¾nh đe 1.2. Neu f và g là các hàm chính hình trên D thì
r

(i) f ± g chính hình trên D và (f ± g) = f r ± gr;
r

(ii) f.g chính hình trên D và (f.g) = f r.g + f.gr ;
(iii) Neu g(z0) ƒ= 0 thì f/g chính hình tai z0 và
. .r
f r.g − f.gr
f
=
.
g
g2
Hơn nua, neu f : D → U và g : U → C là các hàm chính hình thì hop
thành g ◦ f cũng là hàm chính hình trên D và ta có
r

(g ◦ f ) (z) = gr (f (z)) .f r(z).


Tù ví du 1.2 cho ta thay khái ni¾m khá vi phúc khác vói khái ni¾m
khá vi thông thưòng cna hàm hai bien thnc. Thnc v¾y, hàm f (z) =
z¯ tương
úng như ánh xa cna m®t hàm hai bien thnc F : (x, y) ›→ (x, −y).
Hàm
này khá vi theo nghĩa cna hàm hai bien thnc, đao hàm cna nó tai m®t
điem là ánh xa tuyen tính đưoc cho bói đ%nh thúc Jacobian cna nó, ma
tr¾n 2 × 2 các đao hàm riêng cna các hàm toa đ®. Tuy nhiên, ta
thay đieu ki¾n ton tai các đao hàm thnc không đám báo tính khá vi
phúc. Đe hàm f khá vi phúc, ngoài đieu ki¾n khá vi cna hàm hai bien
thnc chúng ta can đen đieu ki¾n (C - R) đưoc cho bói đ%nh lý dưói
đây mà chúng minh cna nó có the tìm trong [1].
Đ%nh lý 1.1. (Đieu ki¾n Cauchy-Riemann [1]). Đieu ki¾n can và đú
đe hàm phúc f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khá vi tai điem z = x + iy
là tai điem đó ton tai các đao hàm riêng cúa các hàm u(x, y) và v(x,
y), đong thòi các đao hàm đó thoá mãn đieu ki¾n Cauchy-Riemann
∂v
∂u
∂v ∂u
=− .
= ;
∂x
∂x
∂y ∂y

1.2. Tích phân cúa hàm bien phNc
M®t trong nhung công cu quan trong đe nghiên cúu các hàm chính hình
là tích phân cna hàm doc theo đưòng cong. Trưóc khi đưa ra ket quá
chính, chúng ta trình bày m®t so khái ni¾m ve đưòng cong và mien.
Đưòng cong tham so trong C là m®t hàm liên tuc z(t) = x(t) + iy(t)
ánh xa đoan [a, b] ⊂ R vào m¾t phang phúc, trong đó các hàm x(t)
và y(t) là các hàm thnc liên tuc. Đưòng cong đưoc goi là trơn neu


ton tai đao hàm zr(t) liên tuc trên [a, b] và zr(t) ƒ= 0 vói moi t ∈ [a,
b].


Đưòng cong tham so đưoc goi là trơn tùng khúc neu z(t) liên tuc
trên đoan [a, b] và ton tai các điem
a = a0 < a1 < · · · < an = b
sao cho z(t) là trơn trên moi đoan [ak, ak+1].
Hai đưòng cong tham so
z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C
đưoc goi là tương đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s ›→
t(s) tù [c, d] vào [a, b] sao cho tr (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Đieu
ki¾n tr (s) > 0 đám báo rang hưóng cna đưòng cong đưoc đ%nh khi s
chay tù c đen d thì t chay tù a đen b. Ho tat cá các đưòng cong tham
so tương đương vói z(t) xác đ%nh m®t đưòng cong trơn γ ⊂ C đưoc
goi là ánh cna đoan [a, b] qua z vói hưóng cho bói z khi t chay tù a
đen b. Chúng ta có the xác đ%nh đưòng cong γ− thu đưoc tù đưòng
cong γ bang vi¾c đoi ngưoc hưóng. Như m®t dang tham so hoá đ¾c
bi¾t đoi vói γ− , chúng ta có the lay z− : [a, b] → R2 xác đ%nh bói
z−(t) = z(b + a − t).
Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là các điem đau mút cna đưòng
cong. Bói vì γ đưoc đ%nh hưóng bói phương trình tham so z : [a, b] →
C vói t chay tù a đen b, nên m®t cách tn nhiên goi z(a) là điem đau
và z(b) là điem cuoi cna đưòng cong.
M®t đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là đóng neu z(a) =
z(b) vói tham so hoá bat kỳ cna nó.
Đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là đơn neu nó không có


điem tn cat, nghĩa là z(s) ƒ= z(t) khi s ƒ= t ngoai trù s = a và t
= b.
Đưòng cong đơn và đóng goi là chu tuyen.
T¾p D ⊂ C đưoc goi là m®t mien neu thóa mãn hai đieu ki¾n sau đây
(i) D là t¾p mó;
(ii) Vói moi a, b ∈ D ton tai đưòng cong L ⊂ D noi a và b.
Mien giói han bói chu tuyen γ đưoc ký hi¾u là Dγ . Mien D đưoc goi
là đơn liên neu vói moi chu tuyen γ ⊂ D thì ta đeu có Dγ ⊂ D. Mien
thu
đưoc tù mien đơn liên D sau khi bó đi n-mien Dγ1 , Dγ2 , ..., Dγn
không giao nhau nam trong D đưoc goi là mien (n + 1)-liên (khi
không can phân bi¾t rõ, chúng ta goi chung là mien đa liên).
Quy ưác. Goi chieu dương cna biên cna mien D là chieu đi doc theo
biên thì mien đưoc xét nam ve bên tay trái, chieu có hưóng ngưoc lai là
chieu âm. Đoi vói mien D đưoc xét ngưòi ta thưòng ký hi¾u ∂D là biên
cna nó lay theo chieu dương, ∂D− là biên lay theo hưóng âm.
Đ%nh nghĩa 1.3. Cho đưòng cong trơn γ trong C đưoc tham so hoá
bói phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tuc trên γ. Tích phân
cna hàm f doc theo γ đưoc cho bói công thúc
b

¸

f (z(t)) zr(t)dt.

¸
f (z)dz =
γ

a

Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc, thì tích phân cna hàm f trên γ
là tong các tích phân cna hàm f trên các phan trơn cna γ. Do đó neu
z(t)
là phương trình tham so hoá trơn tùng khúc γ như trên thì
ak+1
¸
n−1
¸


f (z)dz =

.
k=0

γ
ak

f (z(t))zr(t)dt.


Neu viet f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì
b

¸
¸ f (z(t)) zr(t)dt
f (z)dz =
γ

a

r
r
b
¸ [u (x(t), y(t)) + iv (x(t), y(t))] (x (t) + iy (t))
= dt
a

b

¸
=

[u (x(t), y(t)) xr(t)dt − v (x(t), y(t)) yr(t)dt]
b

a

¸
+ i [u (x(t), y(t)) yr(t)dt + v (x(t), y(t))
xr(t)dt].
a

Tù đó chúng ta nh¾n đưoc
¸ v(x, y)dx + u(x, y)dy.
¸
u(x, y)dx − v(x, y)dy +
¸
f (z)dz = i
γ

γ

γ

Tù công thúc trên đây cho ta thay tích phân cna hàm bien phúc trên
đưòng cong γ đưoc hieu như tong cna hai tích phân đưòng. Tù tính chat
cna tích phân đưòng, chúng ta de dàng nh¾n đưoc các tính chat sau cna
tích phân hàm bien phúc
M¾nh đe 1.3. Tích phân cúa hàm liên tnc trên đưòng cong có các tính
chat sau
dz =
α

(i) Tính chat tuyen tính
¸
¸

β

γ
γ


vói moi α, β ∈ C.

¸
f (z) + g(z)dz;
β
γ


(ii) Tính chat phn thu®c hưóng cúa đưòng cong. Neu γ− là đưòng
cong γ vói hưóng ngưoc lai thì
¸

f (z)dz.

¸
f (z)dz = −
γ−
γ

(iii) Chúng ta có bat đang thúc
.
.
.. ¸
..
.. f (z)dz.. ≤ sup |f (z)| .l(γ);
.
. z∈γ
γ

vói l(γ) là đ® dài đưòng cong γ.
Ví dn 1.3. Tính tích phân
¸
n

(z − z0) dz; n = 0, ±1, ±2, ...,
γ

trong đó γ là đưòng tròn z = z0 + reit, t ∈ [0, 2π].
Ta có


¸
n

(z − z0) dz
=
γ



¸
.

reit

it

.n

.i re
i

.

¸
dt =

0

0

Neu n = −1, thì tích phân trên tró thành
¸2π
¸
dz
=i
z−
¸
γ
z0
0
Neu n ƒ= −1, thì ta có
¸

rn+1ei(n+1)tdt.




dt = 2πi.
n
(z − z0) dz = irn+1 [cos(n + 1)t + i sin(n + 1)t] dt =
0.
γ
0


Ví dn 1.4. Giá sú γ là đưòng cong trơn tuỳ ý có phương trình tham so
z = z(t); t ∈ [a, b] vói các điem đau mút z(a) và z(b). Khi đó
b
b
b
¸
¸
¸
¸
dz = zr(t)dt = dx(t) + i dy(t)
γ

a

b

b

= (x(b) − x(a)) + i (y(b) − y(a))
= z(b) − z(a).
¸

b

¸ z(t).zr(t)dt
zdz = =

γ

a

1
=

.
2

b

1
2

¸d

.

z2(t)

.

a

.
z2(b)− z2(a) .

Tù ví du 1.4, chúng ta thay rang các tích phân trên không phu thu®c
vào hình dang cna đưòng cong và tích phân bang 0 theo đưòng cong
đóng bat kỳ. M®t ket quá quan trong cna tích phân doc theo đưòng
cong đoi vói hàm chính hình là
Đ%nh lý 1.2. (Cauchy-Goursat, [1]) Giá sú D là m®t mien n- liên trong
C vói biên ∂D gom các chu tuyen đóng trơn tùng khúc và f là hàm chính
hình trên D liên tnc trên D = D ∪ ∂D. Khi đó, ta có
¸
f (z)dz = 0.
∂D

ChNng minh. Chúng ta viet f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). Khi
đó
¸
¸
(udx − vdy) + i(vdx + udy).
f (z)dz =
∂D
∂D

Theo đ%nh lý Green đoi vói tích phân đưòng
¸
¸
F=

∂D

D


dF .


Neu F = udx − vdy, thì theo đieu ki¾n Cauchy - Riemann chúng ta có
.
¸
¸ .
∂u
udx − vdy =

∂v −

∂D

∂x



dxdy = 0.

∂y

D

Tương tn, tích phân cna phan áo trong cũng bang 0 và đ%nh lý đưoc
chúng minh.
Đ%nh lý 1.3. (Công thúc tích phân Cauchy) Neu f là hàm chính hình
trong m®t mien D và z0 ∈ D. Khi đó, vói moi chu tuyen đóng bat
kỳ γ ⊂ D mà z0 ∈ Dγ ⊂ D thì
f (z0) = 1
2πi

¸
γ

f
dξ; vói moi z0 ∈ Dγ.
(ξ)
ξ−
z0

Hơn nua, neu f liên tnc trên D vói ∂D là m®t chu tuyen đóng thì vói
moi z ∈ D ta có
f (z) =

1
2πi

¸ f
(ξ) dξ.
ξ−
z

∂D

ChNng minh. Giá sú γ là chu tuyen tùy ý vây quanh điem z0 sao
cho Dγ ⊂ D. Chon ρ đn bé sao cho đĩa đóng S(z0, ρ) tâm z0 bán kính
ρ chúa trong Dγ . Ký hi¾u Cρ là biên cna đĩa S(z0, ρ) và Dγ, ρ =
Dγ\S(z0, ρ).
f (ξ)
Bói vì
là hàm chính hình vói moi ξ ∈ Dγ\S(z0, ρ), nên chúng ta
ξ−

z0
¸

ta
đó,
suy

chú
ra
γ+Cρ
ng


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×