Tải bản đầy đủ

Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

NGUYEN VĂN DƯƠNG

DƯéI VI PHÂN FRÉCHET
VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Hà N®i-2012


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

NGUYEN VĂN DƯƠNG

DƯéI VI PHÂN FRÉCHET

VÀ ÚNG DUNG
Chuyên ngành: Toán giái
tích Mã so: 60 46 01
02

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng
Tâm


LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm, ngưòi thay đã hưóng dan
và truyen cho tác giá nhung kinh nghi¾m quý trong hoc t¾p và nghiên
cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên khích l¾ đe tác giá vươn lên trong
hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên môn. Tác giá xin bày
tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u Trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và các thay
cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã tao đieu ki¾n thu¾n
loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.

Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá
Nguyen Văn
Dương


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.

Hà N®i, tháng 12 năm 2012
Tác giá
Nguyen Văn
Dương



5

Mnc lnc
Báng kí hi¾u và viet tat

vii

Má đau

x

N®i dung

1

1

1

2

3

M®t so kien thNc chuan b%
1.1

Không gian Banach và không gian đoi ngau

. . . . . . .

1

1.2

Hàm khá vi trên không gian Banach

. . . . . . . . . . .

5

1.3

Ánh xa đa tr% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Hàm loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5

Hàm Lipschitz.............................................................................11

Dưái vi phân Fréchet

13

2.1

Đ%nh nghĩa và nhung tính chat cơ bán....................................13

2.2

Nhung phép tính sơ cap.............................................................26

2.3

Dưói vi phân Fréchet và đao hàm theo hưóng.......................33

2.4

Nón pháp Fréchet....................................................................36

2.5

Nón pháp và dưói vi phân.........................................................46

2.6

Đoi đao hàm Fréchet...............................................................49

Úng dnng
3.1

52

Nghiên cúu hàm giá tr% toi ưu......................................................54


6

3.2

Nghiên cúu đieu ki¾n can toi ưu cho bài toán toi ưu . . .

58

3.3

Nghiên cúu tính chính quy metric cna ánh xa đa tr% . . .

66

Ket lu¾n

70

Tài li¾u tham kháo

71


vii

Báng kí hi¾u và viet tat

R : T¾p hop các so thnc.
R : T¾p so thnc mó r®ng.
X:

Không gian Banach.

X∗ : Không gian đoi ngau cna không gian Banach X.
X∗∗ : Không gian liên hop thú hai cna không gian X.
sup : C¾n trên đúng.
inf : C¾n dưói đúng.
F (x, d) : Đao hàm cna F theo phương d tai x.
r

∇f (x) : Đao hàm Fréchet (Gâteaux) cna f tai x.
(∇f (x))



: Đao hàm liên hop vói ∇f (x).

Q:

Hình nón.

F : X ⇒ Y : Ánh xa đa tr% tù X vào Y .
f : X → Y : Ánh xa đơn tr% tù X vào Y .
domF : Mien xác đ%nh huu hi¾u cna F .
gphF : Đo th% cna hàm F .
epif : Trên đo th% cna hàm f .
F −1 : Y ⇒ X : Ánh xa ngưoc cna ánh xa đa tr% F .


8

(x∗, x) : Giá tr% cna hàm x∗ tai x.
cl : Bao đóng.
co : Bao loi.
cl co : Bao loi đóng.
"·" : Chuan trong không gian Banach.
"·"∗ : Chuan trong không gian đoi ngau.
∂f (x) : Dưói vi phân Fréchet cna f tai x.
∂+ f (x) : Khá vi Fréchet trên cna f tai x.
df (x) (z) :Đao hàm dưói cna f tai x theo hưóng z.
dwf (x) (z) : Đao hàm dưói yeu cna f tai x theo hưóng
z.
N (x |Ω) : Nón pháp Fréchet vói Ω tai x.
N ((x, y) |gphF ) :
Nón pháp Fréchet vói gphF tai (x, y).
Ω ⊂ X : Ω là t¾p con cna X.
δΩ (u) : Hàm chí δΩ cna Ω.
dΩ (u) : Hàm khoáng cách dΩ cna Ω.
T (x |Ω) : Nón tiep tuyen vói Ω tai x.
Tw (x |Ω) : Nón tiep tuyen yeu vói Ω tai x.
∂F (x, y) : Đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x, y).
µ (x) : Hàm giá tr% toi ưu.


Bρ (x) : Hình cau đóng tâm x bán kính
ρ. Dρ (x) :

Hình cau mó tâm x bán

kính ρ.
lsc : Núa liên tuc dưói.
usc : Núa liên tuc trên.
f

u → x : u → x và f (u) → f (x).


u → x : u tien đen x vói u ∈ Ω.
w

u → x : u tien đen x theo tôpô yeu trong X.
t ↓ 0 : t lón hơn 0, t tien đen 0.


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Giái tích không trơn ra đòi trong nhung năm 70 cna the ký 20
khi nhung nhà đieu khien hoc và nhung nhà l¾p trình phi tuyen muon
tìm đieu ki¾n can toi ưu cho bài toán vói du li¾u không trơn ho¾c vói
nhung hàm không trơn xuat hi¾n trong nhung bài toán vói du li¾u trơn.
Hai ví du sau minh hoa bán chat không trơn xáy ra trong nhung bài
toán vói du li¾u tưóng chùng như là trơn.
Ví du 1. Ta thưòng quan tâm đen bài toán cnc đai cna hai
ho¾c nhieu hàm so. Cho f (x) = max(f1(x), f2(x)). Vói nhung
hàm trơn đơn
gián trên R, f1(x) = x và f2(x) = −x ta nh¾n đưoc f (x) = |x| là
m®t
hàm không trơn.
Ví du 2. Xét bài toán cnc tieu đơn gián sau: Cnc tieu hàm f
(x) vói đieu ki¾n g(x) = a và x ∈ R. é đây a ∈ R là m®t tham so
cho phép nhieu cna ràng bu®c. Trong thnc te, van đe quan trong là
làm the nào đe biet đưoc mô hình tương úng vói nhieu a. Đe làm đieu
đó ta can xét, chang han, hàm giá tr% toi ưu
µ (a) = inf {f (x) : g (x) = a} .
Như m®t hàm so cna a. Xét m®t ví du cu the .vói hai. hàm trơn
f (x). = 1 .− cos x, g(x) = sin(6x) − 3x và a ∈ −π , π úng vói
x ∈ −π , π .
2

2

6

6

Ta có the chí ra đưoc hàm µ (a) không trơn (thnc te nó không liên tuc).
Đe xú lí linh hoat vói nhung bài toán như the, nhieu khái ni¾m


đao hàm suy r®ng đã đưoc đưa ra đe thay the đao hàm co đien: Dưói vi
phân hàm loi, dưói vi phân Fréchet, dưói vi phân Dini, dưói vi phân suy
r®ng Clarke, đoi đao hàm Mordukhovich . . . (xem [6], [7], [8] và
nhung tài li¾u dan trong đó).
Dưói vi phân có the chia thành hai nhóm lón: Dưói vi phân
“đơn ” và dưói vi phân “ng¾t ”. Dưói vi phân đơn đưoc đ%nh nghĩa tai m®t
điem co đ%nh và nó không đưoc đưa vào tính chat vi phân cna m®t hàm
trong m®t vùng lân c¾n cna nó. Thưòng thưòng, dưói vi phân khái quát
hóa m®t so khái ni¾m tính khá vi co đien (Fréchet, Gâteaux, Dini,. . . ).
Ngưoc lai vói dưói vi phân đơn, đ%nh nghĩa cna dưói vi phân
ng¾t đưoc hop nhat vói tính chat vi phân cna m®t hàm gan m®t điem
co đ%nh. Thưòng thưòng, dưói vi phân ng¾t có the đưoc bieu dien như
giói han cna dưói vi phân đơn.
Nhung khái ni¾m này không ngùng phát trien và ngày càng tó
ra có nhieu úng dung hi¾u quá trong giái tích phi tuyen và lí thuyet toi
ưu (xem [5], [6], [7], [8] và nhung tài li¾u dan trong đó). Trong nhung
khái ni¾m vi phân mói, dưói vi phân Fréchet cũng đã tó ra rat hi¾u quá
trong úng dung. Nhieu tác giá trong và ngoài nưóc đã quan tâm nghiên
cúu nhung khía canh khác nhau cna lý thuyet dưói vi phân Fréchet (xem
[6], [7], [8]).
Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve Toán giái tích, vói mong
muon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc và nhung kien thúc
mói, moi quan h¾ và úng dung cna chúng, tôi đã chon đe tài nghiên cúu:
"Dưái vi phân Fréchet và Úng ding"
2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu m®t cách h¾ thong ve dưói vi phân Fréchet như đ%nh
nghĩa, tính chat, phép tính sơ cap, nón pháp, đao hàm theo hưóng, dưói


xii

vi phân, đoi đao hàm. . . và úng dung cna dưói vi phân Frechet
trong van đe toi ưu hóa.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
H¾ thong, tong hop các kien thúc ve dưói vi phân Fréchet cùng
m®t so úng dung cna nó vào lý thuyet toi ưu.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong: Dưói vi phân Fréchet và úng dung.
Pham vi: Nhung tính chat đơn gián và úng dung vào nghiên
cúu đieu ki¾n can toi ưu, hàm giá tr% toi ưu và tính chính quy metric
cna ánh xa đa tr%.
5. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan
đen đe tài, sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích hàm và lý
thuyet toi ưu.
6. DN kien đóng góp mái
Nghiên cúu và làm rõ đưoc khái ni¾m dưói vi phân Fréchet.
Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa hoc
nghiên cúu và công bo ve dưói vi phân Fréchet và úng dung.


13

Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Trong chương này chúng ta se trình bày nhung khái ni¾m cơ bán ve
không gian Banach, hàm khá vi trên không gian Banach cùng nhung
tính chat, ánh xa đa tr%, hàm loi và hàm Lipschitz. Nhung kien thúc
trình bày trong chương này đưoc chon chn yeu tù các tài li¾u [1], [2], [3],
[4], [5], [6] và [10].

1.1

Không gian Banach và không gian đoi ngau

Muc này trình bày nhung khái ni¾m, tính chat ve không gian
Banach và không gian liên hop. Cho X là m®t không gian vectơ trên
t¾p so thnc R.
Đ%nh nghĩa 1.1.1 ([1], tr.11-12). M®t chuan trong X, kí hi¾u là "·",
là m®t ánh xa tù X vào R thóa mãn các tiên đe sau:
Vói ∀u, v ∈ X và α ∈ R
(i) "u" “ 0 (vói "u" là m®t so thnc không âm)
(ii) "u" = 0 neu u = 0
(iii) "αu" = |α| . "u"
(iv) "u + v" ™ "u" + "v" (bat đang thúc tam giác).


So "u" goi là chuan cna u ∈ X.
M®t không gian vectơ X cùng vói m®t chuan "·" xác đ%nh trong
không gian ay đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan, kí hi¾u (X, "·")
hay đơn gián là X.
M¾nh đe 1.1.1 ([1], tr.12). Cho X là m®t không gian đ%nh chuan vói
chuan "·". Vói ∀x, y ∈ X, đ¾t
d(x, y) = "x − y" .
Khi đó d là m®t metric trên X.
Đ%nh nghĩa 1.1.2 ([1], tr.21). Giá sú (X, "·") là m®t không gian đ
%nh chuan và X0 là m®t không gian con cna X. De dàng thay rang
hàm so
"·"X0 = "·" | X0 : X0 → R
.

"x" | X 0 = "x" vói ∀x ∈ X0

.

là m®t chuan trên X0. Không gian đ%nh chuan .X0, "·"X0 . goi là không
gian con cna không gian đ%nh chuan (X, "·") .
Neu X0 đong thòi là t¾p đóng trong không gian X thì không gian
đ%nh chuan X0 goi là không gian con đóng trong không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([1]. tr.12). Cho X là m®t không gian đ%nh chuan
vói chuan "·". Neu X vói khoáng cách d(x, y) = "x − y" là m®t
không gian metric đn, khi đó X đưoc goi là m®t không gian Banach.
Neu không nói gì thêm trong lu¾n văn này, không gian Banach đưoc
kí hi¾u là X. Chuan trong không gian Banach đưoc kí hi¾u là "·"X ho¾c
"·".
M®t so ví du ve không gian Banach.
Ví dn 1.1.2. Không gian X := R là không gian Banach trên trưòng
so thnc vói chuan "u" = |u| , ∀u ∈ R.


Ví dn 1.1.3. Không gian l2 bao gom tat cá nhung dãy so x = (xn)
.
sao cho
chuoi

.∞ |xn|2 h®i tu vói chuan "x"
n= =

.∞ |xn|2 là không gian
n=
1

1

Banach.
Ví dn 1.1.4. Không gian C([a,b]) gom nhung hàm liên tuc (giá tr% thnc
ho¾c phúc) trên m®t đoan [a, b] vói chuan" f " = max| f (x) là
không
|
[a,b]

gian Banach.

Đ%nh nghĩa 1.1.4 ([1], tr.61). Cho X là m®t không gian đ%nh chuan
vói chuan "·". Ánh xa tuyen tính liên tuc x∗ : X → R goi là m®t
phiem hàm tuyen tính liên tuc xác đ%nh trên X.
Neu x∗ : X → R là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc và x ∈ X
thì giá tr% cna x∗ tai x đưoc kí hi¾u là (x∗, x), nghĩa là (x∗, x) =
x∗(x).
De dàng chúng minh đưoc rang, t¾p tat cá các phiem hàm tuyen tính
liên tuc trên X vói phép c®ng ánh xa tuyen tính và phép nhân ánh xa
tuyen tính vói m®t so thnc l¾p thành m®t không gian vectơ ( tuyen tính)
thnc. Ta goi không gian này là không gian liên hop (hay không gian đoi
ngau) cna X và kí hi¾u là X ∗ .
Đ%nh lí 1.1.5 ([1]). Không gian X ∗ vói chuan xác đ%nh bói
"x∗" = sup
(x

|

, x)|

.





là m®t không gian Banach.

xƒ=

"x"

0

Đ%nh nghĩa 1.1.5 ([1], tr.73). Không gian liên hop cna không gian X ∗
goi là không gian liên hop thú hai cna không gian đ%nh chuan X và kí
hi¾u X∗∗ . Như v¾y


X∗∗ = (X∗) .


Đ%nh lí 1.1.6 ([1], tr.85). Cho X là không gian Banach, X∗∗ là
không gian liên hop thú hai cúa X. Khi đó, ton tai m®t phép đang
cn tuyen


tính tù không gian đ%nh chuan X vào không gian liên hop thú hai X∗∗
cúa không gian X.
Đ%nh nghĩa 1.1.6 ([1], tr.85). Không gian đ%nh chuan X goi là không
gian phán xa, neu X = X∗∗ .
Theo đ%nh lý 1.1.6 thì X đang cn tuyen tính vói không gian liên
hop thú hai X∗∗ cna nó. Do đó không gian phán xa là m®t không
gian Banach.
Đ%nh lí 1.1.7 ([1]. Đ%nh lý 3.2). Không gian con đóng cúa m®t không
gian phán xa là không gian phán xa.
Tôpô σG sinh bói metric cna X ∗ trong đ%nh lí 1.1.5 nên goi là tôpô
manh trong X∗ .
Đ%nh nghĩa 1.1.7 ([5]). Tôpô σW trong X ∗ goi là tôpô yeu neu m®t ho
các lân c¾n cna x0 là các t¾p có dang
{x∗ ∈ X∗ : (xi∗∗, x∗) < ε, i = 1, ..., k} ,

(1.1)

trong đó xi∗∗ ∈ X∗∗ , i = 1, ..., k và ε > 0.
Đ%nh nghĩa 1.1.8 ([5]). Tôpô σ∗ trong X ∗ goi là tôpô yeu * neu
m®t ho các lân c¾n cna x0 là các t¾p có dang
{x∗ ∈ X ∗ : (xi∗, xi) < ε, i = 1, ..., k} ,

(1.2)

trong đó xi ∈ X, i = 1, ..., k và ε > 0.
Đ%nh nghĩa 1.1.9 ([5]). T¾p A ⊂ X đóng (b% ch¾n, compact) theo tôpô
yeu trong X đưoc goi là t¾p đóng yeu (tương úng , b% ch¾n, compact).
T¾p A đóng (b% ch¾n, compact) theo tôpô yeu * trong X ∗ đưoc goi
là t¾p đóng yeu * (tương tn, b% ch¾n, compact yeu *).


1.2

Hàm khá vi trên không gian Banach

Muc này trình bày khái ni¾m các đao hàm co đien: Đao hàm theo
phương, đao hàm Gâteaux, đao hàm Fréchet. Các kien thúc trình bày
trong phan này đưoc lay tù tài li¾u [2]. Cho X, Y là nhung không gian
Banach trên m®t trưòng so thnc R. Giá sú rang F : X → Y là m®t ánh
xa vói mien xác đ%nh D (F ) = X.
Đ%nh nghĩa 1.2.1 ([2]. Đ%nh nghĩa 1.5). Cho d ∈ X và x ∈ X. Neu
giói han
lim F (x + td) − F
,
(1.3)
t↓0
(x )
t
ton tai thì F có đao hàm theo phương d tai x, kí hi¾u là F r (x, d).
Đ%nh nghĩa 1.2.2 ([2]. Đ%nh nghĩa 1.6). Cho x ∈ X là m®t điem co
đ%nh. Ánh xa F : X → Y đưoc goi là khá vi Gâteaux tai x neu ton tai
m®t ánh xa tuyen tính liên tuc A : X → Y thóa mãn
lim
(x )
t→0

F (x + th) − F − A (h)

=0

(1.4)

t

vói moi h ∈ X, trong đó t → 0 trong R.
Ánh xa A đưoc goi là đao hàm Gâteaux cna F tai x và giá tr% cna nó
tai h đưoc kí hi¾u là A (h) = dF (x, h).
Tù đ%nh nghĩa trên, đao hàm Gâteaux cna m®t ánh xa tù X vào Y tai
x ∈ X là m®t ánh xa tuyen tính tù X vào Y . Chú ý rang neu F là m®t
ánh xa tuyen tính, thì dF (x, h) = F (h) hay dF (x) = F vói ∀x ∈
X.
Neu f là m®t hàm trên X, hay f : X → R, và f khá vi Gâteaux tai
x ∈ X,
thì

.
df (x, h) .
d
f (x +
=
t=0
th)
dt

và vói moi x ∈ X co đ%nh, df (x, h) là m®t hàm tuyen tính cna h ∈ X.


Nh¾n xét 1.2.1. Neu đao hàm Gâteaux ton tai thì nó là duy nhat.
Tù đ%nh nghĩa cna đao hàm thông thưòng có the đưoc suy r®ng cho
m®t ánh xa tù m®t không gian Banach vào m®t không gian Banach.
Đieu này dan đen khái ni¾m đao hàm Fréchet.
Đ%nh nghĩa 1.2.3 ([2]. Đ%nh nghĩa 1.8). Cho x là m®t điem co đ%nh
trong không gian Banach X. M®t ánh xa tuyen tính liên tuc A : X → Y
đưoc goi là đao hàm Fréchet cna ánh xa F : X → Y tai x neu
F (x + h) − F (x) = Ah + r (h)
trong đó lim
"h"→0

"r(h)"
"h"

= 0, hay tương đương

lim

"F (x + h) − F (x) −
Ah" "h"

= 0.

"h"→0

Đao hàm Fréchet tai x đưoc kí hi¾u là F r (x) hay dF (x) hay ∇f (x).
Nh¾n xét 1.2.2. Neu đao hàm Fréchet ton tai thì nó là duy nhat.
Đ%nh lí 1.2.3. Neu m®t ánh xa có đao hàm Fréchet tai m®t điem, thì
nó có đao hàm Gâteaux tai điem đó và cá hai đao hàm bang nhau.
.
2
2
2
Ví dn 1.2.4. Cho f : R → R : f (u1, u2) |u1| + |u2| vói u2 =
=−
u2

1

và f (u1, u2) = 0 tương úng. Hàm này khá vi Gâteaux (có đao hàm
bang
0) nhưng không khá vi Fréchet tai (0, 0).

1.3

Ánh xa đa tr%

Muc này trình bày khái ni¾m cna nón, đ%nh nghĩa ánh xa đa tr% và
ánh xa ngưoc, tính chat liên tuc cna ánh xa, tính metric chính quy. Các
kien thúc trình bày đưoc lay tù [4], [6], [10].


Đ%nh nghĩa 1.3.1 ([4]. Đ%nh nghĩa 1.1.1). Cho Y là không gian tuyen
tính và Q ⊆ Y . Ta nói rang Q là nón trong Y neu: tc ∈ Q vói moi
c ∈ Q, t “ 0.
Nón Q đưoc goi là nón loi neu Q là t¾p loi.
Nón Q goi là nón đóng neu Q là t¾p đóng. Kí hi¾u: l (Q) = Q∩
(−Q). Neu Q là nón loi thì l (Q) là không gian con tuyen tính nhó
nhat nam trong Q và nó đưoc goi là phan trong tuyen tính cna nón Q.
Đ%nh nghĩa 1.3.2 ([6], trang 9-10). Cho X, Y là hai t¾p hop bay
kì. Cho F : X ⇒ Y là ánh xa tù X vào t¾p hop gom toàn b® các t¾p
con cna Y ( đưoc kí hi¾u là 2Y ). Ta nói F là ánh xa đa tr% tù X vào
Y . Như v¾y vói moi x ∈ X, F (x) là m®t t¾p hop con cna Y .
Không loai trù khá năng là vói m®t so phan tú x ∈ X nào đó, ta có
F (x) là t¾p rong. Ta thưòng kí hi¾u ánh xa đa tr% là
F : X ⇒ Y.
Neu vói moi x ∈ X t¾p F (x) chí gom đúng m®t phan tú cna Y ,
thì ta nói F là ánh xa đơn tr% tù X vào Y . Khi đó ta kí hi¾u:
F : X → Y.
Mien xác đ%nh huu hi¾u và đo th% cna F đưoc đ%nh nghĩa như sau
domF = {x ∈ X |F (x) ƒ= φ} ,
gphF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) , x ∈ domF } .
Trong trưòng hop Y là không gian tuyen tính vói nón Q ⊂ Y , thì
trên đo th% cna F đưoc đ%nh nghĩa
epiF = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) + Q, x ∈ domF } .
Ánh xa ngưoc F − 1 : Y ⇒ X cna ánh xa đa tr% F : X ⇒ Y đưoc
xác đ%nh bói công thúc
F −1 (y) = {x ∈ X |y ∈ F (x)} , (y ∈ Y ).


Cho F : X ⇒ Y là ánh xa đa tr% tù không gian Banach X vào không
gian Banach Y .
Đ%nh nghĩa 1.3.3 ([6], trang 19). Ta nói F là núa liên tuc trên tai
x ∈ domF neu vói moi t¾p mó V ⊂ Y thóa mãn F (x) ⊂ V ton tai
lân c¾n mó U cna x sao cho
F (u) ⊂ V (∀u ∈ U ).
Neu F là núa liên tuc trên tai moi điem thu®c domF thì F đưoc goi
là núa liên tuc trên ó trong X.
Đ%nh nghĩa 1.3.4 ([6], trang 20). Ta nói F là núa liên tuc dưói tai
x ∈ domF neu vói moi t¾p mó V ⊂ Y thóa mãn F (x) ∩ V ƒ= φ ton
tai lân c¾n mó U cna x sao cho
F (u) ∩ V ƒ= φ (∀u ∈ U ∩ domF ).
Neu F là núa liên tuc dưói tai moi điem thu®c domF thì F đưoc goi
là núa liên tuc dưói ó trong X.
Đ%nh nghĩa 1.3.5 ([6], trang 20). Ta nói F liên tuc tai x ∈ domF neu
F đong thòi là núa liên tuc trên và núa liên tuc dưói tai x. Neu F là liên
tuc tai moi điem thu®c domF thì F đưoc goi là núa liên tuc ó trên X.
Đ%nh nghĩa 1.3.6 ([10], tr.1725). Cho F : X ⇒ Y là ánh xa đa tr% tù
không gian Banach X vào không gian Banach Y và điem (x0, y0) ∈ gphF
. Ánh xa F là metric chính quy gan điem (x0, y0) neu ton tai k, r
dương sao cho

.
.
d x, F −1 (y) ™ kd (y, F (x)) ,
vói moi x ∈ B (x0, r) và y ∈ B (y0, r).


1.4

Hàm loi

Các ket quá ve hàm loi đưoc lay tù [3], [5]. Giá sú X là không gian
tuyen tính, A ⊂ X, f : A → R ∪ {±∞}.
Đ%nh nghĩa 1.4.1 ([3]. Đ%nh nghĩa 1.1). T¾p A ⊂ X đưoc goi là t¾p
loi neu ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0; 1] ta có
tx + (1 − t) y ∈ A
Đ%nh nghĩa 1.4.2 ([3]. Đ%nh nghĩa 2.1). Trên đo th% cna hàm f , ký
hi¾u là epif , đưoc đ%nh nghĩa như sau
epif = {(x, r) ∈ A × R : f (x) ™ r} .
Mien huu hi¾u cna hàm f , ký hi¾u là domf , đưoc đ%nh nghĩa như sau
domf = {x ∈ A : f (x) < +∞} .
Hàm f đưoc goi là chính thưòng, neu domf ƒ= ∅ và f (x) > −∞ (∀x
∈ A).
Đ%nh nghĩa 1.4.3 ([3]. Đ%nh nghĩa 2.2). Hàm f đưoc goi là loi trên A
neu epif là t¾p loi trong X × R. Hàm f đưoc goi là hàm lõm trên A neu
−f là hàm loi trên A.
Nh¾n xét 1.4.1. Neu f loi thì domf loi.
Ví dn 1.4.2. Hàm chí δ (· |A) cna t¾p loi A ⊂ X là hàm loi. δ (· |A) = 0
neu x ∈ A và δ (· |A) = +∞ neu x ∈/ A.
Đ%nh lí 1.4.3 ([3]. Đ%nh lý 2.1). Giá sú D là t¾p loi trong không gian
X, hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f loi trên D khi và chs khi
f (λx + (1 − λ) y) ™ λf (x) + (1 − λ) f (y) (∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈
A)
(1.5)


Đ%nh nghĩa 1.4.4 ([3]. Đ%nh nghĩa 2.6). Hàm f : A → R ∪ {±∞} đưoc
goi là đóng neu epif đóng trong X × R.
Đ%nh nghĩa 1.4.5 ([3]. Đ%nh nghĩa 2.9). Bao đóng cna hàm f , kí
ki¾u là f hay clf , đưoc xác đ%nh như sau
epif = epif .
Bao loi và bao loi đóng cna hàm f , kí hi¾u là cof và cof (hay cl (cof
)), đưoc xác đ%nh tương úng như sau
epi (cof ) = co (epif )
epi (cof ) = co (epif )
Nh¾n xét 1.4.4. Hàm f đóng ⇔f = f .
Đ%nh nghĩa 1.4.6 ([5]). M®t không gian tôpô X goi là không gian loi
đ%a phương neu trong X có m®t cơ só lân c¾n gom toàn t¾p hop loi.
Cho X là không gian loi đ%a phương, f : A → R ∪ {±∞}.
Đ%nh nghĩa 1.4.7 ([3]. Đ%nh nghĩa 2.11).
(i) Hàm f đưoc goi là núa liên tuc dưói (lsc) tai x ∈ X (f (x) < ∞) neu
vói moi ε > 0, ton tai lân c¾n U cna x sao cho
f (x) − ε < f (y) (∀y ∈ U ).
(ii) Hàm f đưoc goi là núa liên tuc dưói (lsc), neu f núa liên tuc dưói tai
moi x ∈ X.
(iii)Hàm f đưoc goi là núa liên tuc trên (usc) tai x ∈ X (f (x) < ∞)
neu vói moi ε > 0, ton tai lân c¾n U cna x sao cho
f (x) < f (y) + ε

(∀y ∈ U ).


(iv)
Hàm f đưoc goi là núa liên tuc trên (usc), neu f núa liên tuc trên
tai moi x ∈ X.
Cho X là không gian tuyen tính, X∗ là không gian liên hop (không
gian đoi ngau) cna X, f là hàm xác đ%nh trên X.
Đ%nh nghĩa 1.4.8 ([3]. Phép bien đoi Young- Fenchel). Hàm liên hop
cna f đưoc xác đ%nh trên X ∗ như sau
f ∗ (x∗) = sup {(x∗, x) − f (x)} .
x∈X

Tù đ%nh nghĩa ta suy ra


f ∗∗ (x) = (f ∗ ) (x) = sup {(x∗, x) − f ∗ (x∗)} .
x∗

Đ%nh nghĩa 1.4.9 (Không gian Asplund). Không gian Banach X goi
là không gian Asplund neu moi hàm loi liên tuc trên t¾p loi, mó U ⊂
X là hàm khá vi Fréchet tai nhung điem cna t¾p trù m¾t U0 ⊂ U .

1.5

Hàm Lipschitz

Muc này trình bày đ%nh nghĩa hàm Lipschitz . Kien thúc trình bày ó
đây đưoc lay trong [2]. Cho X là không gian Banach, ánh xa f : X → R.
Đ%nh nghĩa 1.5.1 ( Hàm Lipschitz). Hàm f đưoc goi là Lipschitz đ%a
phương tai x ∈ X hay Lipschitz ó gan x, neu ton tai lân c¾n U cna x,
so k > 0 sao cho
(∀u, v ∈ U ) |f (u) − f (v)| ™ k "u − v" .
(1.6) Hàm f
đưoc goi là Lipschitz đ%a phương trên t¾p Y
⊂ X, neu f
Lipschitz đ%a phương tai moi u ∈ Y .
Hàm f đưoc goi là Lipschitz vói hang so Lipschitz k trên t¾p Y ⊂ X,
neu (1.6) đúng vói moi u, v ∈ Y .


Trong chương này chúng ta đã trình bày m®t cách h¾ thong các kien
thúc ve không gian Banach, hàm so khá vi trên không gian Banach, hàm
loi, hàm Lipschitz, trong đó có đưa vào m®t so ví du minh hoa.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×