Tải bản đầy đủ

Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứng dụng

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Quang Huy.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô giáo
trong nhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán
giái tích đã giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá
trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.

Hà N®i, ngày

tháng

Tác giá

Bùi Tháo Nhung

năm 2012



LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Quang Huy.
Tác giá xin cam đoan rang so li¾u, ket quá nghiên cúu và các thông
tin trích dan trong lu¾n văn là trung thnc.

Hà N®i, ngày

tháng

Tác giá

Bùi Tháo Nhung

năm 2012


BÁNG KÝ HIfiU
Rn
không gian Euclid nchieu F : X ⇒ Y
ánh xa đa tr% tù
X vào Y domF t¾p xác đ%nh cna F
gphF

đo th% cna F

Limsup

giói han trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

N (x¯; Ω)
Nˆ (x¯; Ω)

nón pháp tuyen Mordukhovich cna Ω tai x¯

∂f (x)
∂∞ f (x)
∂ˆf (x)


x Ω
x−→
x¯f
x −→


dưói vi phân Mordukhovich cna f tai x
dưói vi phân suy bien cna f tai x

nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯

dưói vi phân Fréchet cna f tai
x → x¯, x ∈ Ω
x → x¯, f (x) → f (x¯)


Mnc lnc

Má đau

1

1 Đoi đao hàm Fréchet cúa F

5

2 Đoi đao hàm Mordukhovich cúa F

14

3 Úng dnng

21

Ket lu¾n

32

Tài li¾u tham kháo

32


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Xét t¾p loi đa di¾n có nhieu bói m®t ánh xa tuyen tính có dang
Θ(w) := {x ∈ Rn | Cx ≤ Dw}
ó đó C = (cij )m×n ∈
R


n

, D = (dij )m×p ∈
R



là các ma tr¾n đã cho

p

và w = (w1, . . . , wp) ∈ Rp là vecto tham so. Vói moi (x, w) ∈ Rn ×
Rp,
nón pháp tuyen cna Θ(w) tai x theo nghĩa cna giái tích loi đưoc xác
đ%nh bói
,x∗ ∈ Rn |


(x∗
N (x; Θ(w)) = 


∅

, u − x) ≤ 0

,
∀u ∈ Θ(w)
neu x


Θ(w),

neu x ƒ∈ Θ(w).

Ánh xa đa tr% F : Rn × Rp → Rn có dang
F (x, w) := N (x; Θ(w))

(0.1)

đưoc goi là ánh xa nón pháp cna t¾p loi đa di¾n phu thu®c tham so.
Dưói vi phân b¾c hai cna m®t hàm thnc suy r®ng qua m®t đoi đao
hàm cna ánh xa dưói gradient đe xuat bói Mordukhovich đưoc nh¾n biet
như là m®t công cu huu hi¾u đe nghiên cúu nhieu van đe quan trong
trong toi ưu và giái tích bien phân. Đe có thêm thông tin chi tiet nhung
phát trien gan đây và các bình lu¾n ve dưói vi phân b¾c hai, đ®c giá có
the tham kháo trong [11]. Quan tâm chính cna chúng tôi trong lu¾n văn
này liên quan tói vi¾c tính dưói vi phân b¾c hai cna hàm chí cna các t¾p
loi đa di¾n mà khói đau nghiên cúu bói Dontchev và Rockafellar [2], và


áp dung đe kháo sát tính on đ%nh nghi¾m cna bài toán bat đang thúc
bien phân có tham so.


2

Sn can thiet cna vi¾c tính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm
Mordukhovich cna ánh xa nón pháp tuyen F vùa đưoc trình bày và tháo
lu¾n trong [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. Trong
trưòng hop ma tr¾n D là m®t ma tr¾n đơn v%, Yen và Yao [18, 19] lan
đau tiên thiet l¾p đưoc m®t vài đánh giá trên ho¾c đánh giá dưói đoi
đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna ánh xa nón pháp
tuyen F . Sau đó dưói m®t đieu ki¾n đ®c l¾p tuyen tính liên quan
đen các ràng bu®c hoat, Nam [12] đã cho các công thúc chính xác tính
đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna F . Gan đây
các ket quá trong [12] vùa đưoc phát trien hơn nua bói Qui [14, 15, 16]
và Trang [17], ó đó đieu ki¾n đ®c l¾p tuyen tính đưoc thay bói đieu ki¾n
đ®c l¾p tuyen tính dương. Hơn nua, Qui [15] đã trình bày m®t công
thúc chính xác tính đoi đao hàm Fréchet cna F , và sau đó m®t công
thúc chính xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F đã đưoc thiet
l¾p trong [6] mà không đòi hói bat kì m®t giá thuyet chính quy nào.
Chúng ta de dàng thay rang các ket quá trong [6, 15] không the áp
dnng đe tính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich
cúa F neu D không có ma tr¾n ngh%ch đáo. vi¾c thiet l¾p đưoc
công thúc chính xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F là m®t khâu
quan trong giúp đat đưoc đieu ki¾n can và đú cho tính Lipschitz
kieu Aubin cúa ánh xa nghi¾m cúa cúa bài toán bat đang thúc bien
phân có tham so:
Tìm

x ∈ Θ(ω) sao cho

(f (x, ϑ), u − x) ≥ 0

∀u ∈ Θ(ω)

(0.2) ó đó f : Rn × Rm → Rn là hàm khá vi liên tuc. Đe tài “Đoi đao
hàm cúa ánh xa nón pháp cho các t¾p loi đa di¾n có tham so
và Nng
dnng” nham thiet l¾p công thúc chính xác tính đoi đao hàm cna ánh
xa F xác đ%nh trong (0.1) và đ¾c trưng can và đn cho tính Lipschitz
kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân có
tham so (0.2).


2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích cna đe tài là nghiên cúu tìm công túc chính xác tính đoi
đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh trong
(0.1) và đieu ki¾n can và đn đ¾c trưng tính Lipschitz kieu Aubin cho ánh
xa nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân có tham so (0.2).

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu ve giái tích bien phân và đao hàm suy r®ng, cu the là
lý thuyet đoi đao hàm cna Mordukhovich. Thiet l¾p công thúc chính
xác tính đoi đao hàm Fréchet và đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác
đ%nh trong (0.1). Đưa ra đ¾c trưng can và đn cho tính Lipschitz kieu
Aubin cho ánh xa nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân có
tham so (0.2).

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Giái tích bien phân và đao hàm suy r®ng, đai so tuyen tính, quy
hoach toán hoc, lý thuyet toi ưu, toi ưu có tham so và tính on đ%nh
nghi¾m.

5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các phương pháp nghiên cúu trong giái tích bien phân và
đao hàm suy r®ng, đai so tuyen tính, giái tích đa tr%, giái tích loi và lý
thuyet toi ưu.


6. Giá thiet khoa hoc (hay nhÑng đóng góp mái)
Neu đưa ra đưoc công thúc chính xác tính đoi đao hàm Mordukhovich cna F xác đ%nh trong (0.1) se là m®t đóng góp có ý nghĩa cho
lý thuyet dưói vi phân b¾c hai. Tù đó có the giúp thiet l¾p đưoc m®t
đ¾c trưng can và đn cho tính Lipschitz kieu Aubin cna ánh xa nghi¾m
cna bài toán bat đang thúc bien phân có tham so (0.2).


Chương 1
Đoi đao hàm Fréchet cúa F
Trong chương này chúng ta trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán cna
giái tích bien phân và đao hàm suy r®ng. Đưa ra công thúc chính xác
tính đoi đao hàm Fréchet cna ánh xa nón pháp cho các t¾p loi đa di¾n
có tham so.

1.1 M®t so kien thNc cơ bán ve đoi đao hàm
Cho F : Rm ⇒ Rn là m®t ánh xa đa tr%. Ký hi¾u Limsupx →x¯ F
(x)
là giói han trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé cna F khi x → x¯.
Lim sup F (x) := ,x∗ ∈ R.n . ∃ xk → và
→ x∗ vói
k
x∗

.
,
x→x
¯
x k ∈ F (xk ) ∀ k = 1, 2, . . . .


n

Cho Ω ⊂ R , nón pháp tuyen Fréchet cna Ω tai x¯ ∈ Ω đưoc xác đ%nh
bói

Nˆ (x¯; Ω) := ,x∗ ∈. Rn . lim
(x
sup
. Ω
x−→x¯

x−
x¯)

"x − x¯"

trong đó x → x¯ có nghĩa là x → x¯ vói x ∈ Ω.




0,,

∗,




Nón pháp tuyen Mordukhovich N (x¯; Ω) thu đưoc tù Nˆ (x;
Ω) bang cách lay giói han trên theo nghĩa Kuratowski-Painlev khi x →
x¯ như sau
N (x¯; Ω) := Lim sup Nˆ (x; Ω).
x→x¯


6

Mien xác đ%nh và đo th% cna F đưoc xác đ%nh bói
dom F := {x ∈ Rm | F (x) ƒ= ∅}, gph F := {(x, y) ∈ Rm×Rn | y ∈ F
(x)}.
Đoi đao hàm Mordukhovich D∗ F (x¯, y¯) : Rn ⇒ Rm cna F tai
(x¯, y¯)
∈ gphF đưoc đ%nh nghĩa như sau
.
.
.
D∗ F (x¯, y¯)(y ∗ ) := x∗ ∈. Rm (x∗ , −y ∗ ) ∈ N ((x¯, y¯); gph F ) ,
y ∗ ∈ Rn . Tương tn, Đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, y¯) ∈ gph F
xác đ%nh bói Dˆ



F (x¯, y¯)(y ∗ ) := {x∗ ∈ Rm | (x∗ , −y ∗ ) ∈ Nˆ

((x¯, y¯); gph F ))}, y ∗ ∈ Rn . Chúng ta có m®t moi quan h¾ giua hai
khái ni¾m trên
D∗ F (x¯, y¯)(y¯∗ ) = Lim sup Dˆ



F (x, y)(y ∗ ).

(x,y)→(x¯,y
¯)∗y∈F (x)
y →y¯∗

Cho C = (cij )m×n ∈
R


n

, D = (dij )m×p ∈
R



là các ma tr¾n.

p

Xét t¾p loi đa di¾n có nhieu
Θ(w) := {x ∈ Rn | Cx ≤ Dw}
phu thu®c tham so w = (w1, . . . , wp) ∈ Rp.
Đ¾t T := {1, 2, . . . , m}. Vói moi ω ∈ Rp và x ∈ Θ(ω), t¾p chs
so
tương úng c¾p phan tú (x, ω) ∈ Rn × Rp đưoc đ%nh nghĩa bói
I(x, ω) := {i ∈ T | Cix = Di}.
Lay (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) ∈ gph F vói F đã đưoc đ%nh nghĩa ó (0.1). Tù [12,
Lemma 3.1], chúng ta có
N (x¯; Θ(ω¯)) = posi {C T | i ∈ I(x¯, ω¯)},
, .
,


7

trong đó pos {vj | j ∈ J}
và pos ∅ =
i∈J λjvj | λj ≥ 0 ∀j ∈
:=
{0}.
J
Rõ ràng,
.

¯
λiC i vói moi λi ≥ 0, i ∈ I(x¯, ω¯).
ξ =
i∈I(x¯,ω¯)

T


Đe đơn gián hơn, chúng ta viet I thay cho I(x¯, ω¯). Xét các t¾p chí
so sau
T
I(x¯, ω¯, ξ¯∗ ) = {P ⊂ I | P ƒ= ∅, ξ ∗ ∈ pos
i {C | i ∈ P }},

J (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) = {P ∈ I(x¯, ω¯, iξ¯∗ ) | C T , i ∈ P, là đ®c l¾p
tuyen tính},




¯∗
neu ξ¯∗ ƒ=
Iˆ(x¯, ω¯, ξ¯∗ ) (x¯, ω¯, ξ ),
0,
J
=

ξ¯∗ = 0.
J (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) ∪ {∅},
neu

(1.1)

Vói moi (x, ω, ξ∗ ) ∈ gph F , chúng ta đ%nh nghĩa
.
Iˆ1 (x, ω, ξ ∗ ) = ,i ∈ I(x, .ω) ξ ∗ j∈I(x,ω)\{i} λiC i vói moi λj ≥ 0, j ∈
T
.
=
I(x, ω) \ {i} , và



I(x, ω),

neu ξ∗ = 0 và |I(x, ω)| = 1,

I1(x, ω, ξ∗) = 
ˆ
I 1 (x, ω, ξ ∗ ) trái lai.
Đ¾t

.
|I| . ∗

¯
L(x¯, ω¯, ξ ) = ,λ ∈ R
ξ =
i

+

λiC T ,,

i∈I

trong đó |T | đưoc kí hi¾u là lnc lưong cna T .
Bo đe 1.1. Ta có
(i) I1 =
(ii)

Sλ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) I0 (λ);

Tλ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) [I

\ I0 (λ)] = I \

Sλ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) I0 (λ).

Chúng minh. (i) Rõ ràng, I0 (λ) ⊂ I1 vói moi λ ∈ L(x¯, ω¯, ξ¯∗ ). Do
đó
S


λ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) I0 (λ)

lay
bat kì i0 ∈ I1. V¾y

⊂ I1 . Đe chúng minh bao hàm thúc ngưoc lai, ta
ξ¯∗ =

.
i \{I i

0}

thì

τiCi, τi ≥ 0 vói moi i ∈ I \ {i0 }.

|I|
Lay λ0 ∈ R + sao cho i = τi vói moi i ∈ I \ {i0}, và λ0i = 0. Suy ra
λ0
0

¯
ξ =
.
0
¯∗ ). Do đó i0 ∈ I(λ0 ).
I λi Ci . Có nghĩa là λ ∈ L(x¯, ω¯, ξ
i∈

Do i là

tùy ý nên ta chí ra đưoc I1 ⊂

S

λ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) I0 (λ).


(ii) Ket quá đưoc suy ra trnc tiep tù đ%nh lý De Morgan’s.
Lay tùy ý P, Q thóa mãn P ⊂ Q ⊂ T , đ¾t
AQ,P := span {CT | i ∈ P} + pos {CT | i ∈ Q \ P}
i

i


BQ,P := {x ∈ Rn | (CT , x) = 0 ∀i ∈ P, (CT , x) ≤ 0 ∀i ∈ Q \ P },
i

trong đó span {vj | j ∈ J}

,

i

.

i∈J µjvj | µj ∈ R ∀j ∈ J

,

và span ∅ =

:=
{0}.
Vói moi u∗ ∈ Rn, ta sú dung kí hi¾u
{u∗}⊥ := {x ∈ Rn | (u∗, x) = 0}.
Lưu ý nón tiep tuyen cna t¾p loi Ω tai x¯ ∈ Ω đưoc đ%nh nghĩa như sau
T (x¯; Ω) = {λ(x − x¯) | x ∈ Ω, λ ≥ 0}.
Ánh xa Θ−1 : Rn ⇒ Rm đưoc xác đ%nh bói
Θ−1(x) := {ω ∈ Rp | x ∈ Θ(ω)}.

(1.2)

Khi đó
gph Θ−1 = {(x, ω) ∈ Rn × Rm | ((CT , −DT ), (x, p)) ≤ 0, i ∈ T}
i

i

Tù [12, Bo đe 3.1] ta có
N ((x, ω); gphΘ−1) = pos {(CT , −DT ) | i ∈ I(x, ω)}.
i

i

Bo đe 1.2. [3, Bo đe 3.3] Neu P ⊂ Q ⊂ T , thì


(BQ,P ) = AQ,P
vói (BQ,P )∗ := {u∗ ∈ Rn | (u∗, x) ≤ 0 ∀ x ∈ BQ,P }.


1.2 Công thNc tính đoi đao hàm Fréchet cúa F
Bây giò chúng ta tìm m®t công thúc đe tính nón pháp tuyen Fréchet
vói gph F tai (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) ∈ gph F .
Đ%nh lý 1.1. Cho
ω¯



x¯ ∈ Θ(ω¯), ξ¯∗ ∈ N (x¯, Θ(ω¯)). Đ¾t

Rp ,



I :=

I(x¯, ω¯) và I1 := I1 (x¯, ω¯, ξ¯∗ ). Lay λ = (λi)i∈I ∈ L(x¯, ω¯, ξ¯∗ )
và K := {i ∈
I | λi > 0}. Giá sú {(Ci, Di) ∈ Rm × Rm | i ∈ I} là h¾ đ®c l¾p tuyen
tính. Khi đó
Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯∗ ); gph F ) = ,(x∗.. , ω ∗ , ξ) .(x∗ , ξ) ∈ AI,K × BI,K
(x∗, ω∗) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈ I \ I1} + pos {(CT , −DT ) | i ∈
}
I1 ,.
i
i
i
(1.3)
i

Chúng minh. Co đ%nh (x∗ , ω ∗ , ξ) ∈ Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯∗ ); gph F ). Khi đó
0. (1.4)
(x∗ , x¯∗− x¯) + (ω ∗ , ω − ω¯) + (ξ, v∗∗ −
lim sup
ξ¯∗ ) "x − x¯" + "ω − ω¯" + "v −
ξ "
∗ )−gph F
(x,ω,v−

−→¯∗
(x¯,ω¯,ξ

)

M¾t khác, bang cách đ¾t ω = ω¯, ta thay vào [3, M¾nh đe 3.2] dan tói
(x∗, ξ)


.T

(x¯; Θ(ω¯)) ∩

{ξ¯∗ }⊥ .



× .T (x¯; Θ(ω¯)) ∩
{ξ¯∗ }⊥

Do đó, tù [14, Bo đe 4.3] suy ra
(x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K.
M¾t khác, bang cách đ¾t v ∗ = ξ¯∗ , ta có

..

(1.5)


lim sup (x∗ , x − x¯) + (ω ∗ , ω −
ω¯) "x − x¯" + "ω −
ω¯"


(x,ω)→(x¯,ω¯ )
ξ¯∗ ∈F (x,ω)

0.

(1.6)

Vói moi λ ∈ L(x¯, ω¯, ξ¯∗ ), đ¾t
Ω(λ) = {(x˜, ω˜) | (C T , x˜) − (DT , ω˜) = 0, i ∈ I \ I0 (λ), (C T , x˜) −
(DT , ω˜) ≤
i

i

i

i

0, i ∈ T \ (I \ I0(λ))}.
Ta can chúng minh rang, vói moi (x, ω) ∈ Ω(λ) gan (x¯, ω¯), ξ¯∗ ∈ F
(x, ω).


Th¾t v¾y, vói moi (x, ω) ∈ Ω(λ), ta có x ∈ Θ(ω), và do đó, I \ I0(λ) ⊂
I(x, ω). Đieu đó có
nghĩa

ξ¯∗ phái thu®c vào F (x, ω) = pos {C T | i


i

I(x, ω)}. Tù (1.6) chí ra rang
(x∗ , ω ∗ ) ∈ N ((x¯, ω¯); Ω(λ)).

(1.7)

Tù [12, Bo đe 3.1], ta có
(x∗, ω∗ ) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈ I \ I0(λ)} + pos {(CT , −DT ) | i ∈
I0(λ)}.
i

i

i

.
.
Neu ∩λ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) I \ I0 (λ) ƒ= ∅

¯

i

[I \ I0(λ)]}

thì
(x∗, ω∗ ) ∈ span {(CT , −DT ) | i
∈∩
T

T

i

+ pos {(C , −D ) | i ∈

i

i

i

λ∈L(x¯,ω¯,ξ ∗ )
¯ I0(λ)}.

λ∈L(x¯,ω¯,ξ ∗ )

Tù Bo đe 1.1, ta có
(x∗, ω∗ ) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈
[I\∪
i

¯

I0(λ)]};

λ∈L(x¯,ω¯,ξ ∗ )

i

Suy ra
(x∗ , ω ∗ ) ∈ span {(C T , −DT ) | i ∈ I \ I1 } + pos {(C¯ T , −DT ) | i ∈
I1 }.
i

i

i

i

.
.
Neu ∩λ∈L(x¯,ω¯,ξ¯∗ ) I \ I0 (λ) = ∅, tù Bo đe 1.1 suy ra I = I1 . Ta còn
phái
chí ra rang

(x∗, ω∗) ∈ pos {(CT , −DT ) | i ∈ I}.
i

i

(1.8)

Rõ ràng, vói moi j ∈ I1 phái ton tai λ ∈ L(x¯, ω¯, ξ¯∗ ) sao cho j ∈
I0 (λ). Đieu này có nghĩa vói moi j ∈ I,


(x∗, ω∗ ) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈ I \ {j}} + pos {(CT , −DT )}.
i

i

j

Khi đó, vói moi j ∈ I, ton tai λj ≥ 0 và
µ

i

j

∈ R, i ∈ I \ {j} sao cho

j




(x , ω ) =

.

j

µ (CT , −DT ) + λj (CT , −DT ).
i

i

i

j

j

i∈I\{j}

Co đ%nh j = j0, ta

.
j
(x∗, ω ∗) =
µ 0 (CT , −DT ) + λj (CT , −DT ).
i

i∈I\{j0}

i

i

0

j0

j0


Lay tùy ý k ∈ I \ j0. Khi đó {(Ci, Di) ∈ Rm × Rm | i ∈ I} là m®t h¾ đ®c
j

l¾p tuyen tính, và do đó µk 0 = λk. Đieu này suy ra (1.8). Do đó
Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯∗ ); gph F ) ⊂ ,(x∗.., ω ∗ , ξ) .(x∗ , ξ) ∈ AI,K
× BI,K
(x∗, ω∗) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈ I \ I1}
T

i

T

i

+pos {(C , −D ) | i ∈ I1 ,.
}
i
i
Đe chúng minh bao hàm thúc ngưoc lai, ta co đ%nh (x∗, ω∗, ξ) sao cho
(x∗, ξ) ∈ AI,K × BI,K và
(x∗, ω∗ ) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈ I \ I1} + pos {(CT , −DT ) | i ∈ I1
}
,.
i

i

i

i

Tù [3, M¾nh đe 3.2] và [14, Bo đe 4.3] ta có ξ ∈ T (x¯; Θ(ω¯)) ∩
{ξ¯∗ }⊥ và ton tai λi ≥ 0 và µi ∈ R sao cho
x∗ =

+

.i∈I\I 1 µiCi

ω∗ = −

.

T

∈I
1

λi C i ,
T

i
T

.i∈I\I 1 µiDi
.i∈I1



λ iD i .
T

Giá sú rang (x∗ , ω ∗ , ξ) ƒ∈ Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯∗ ); gph F ). Khi đó, ton tai
γ > 0 và m®t dãy {(xk , ωk , v ∗ )} ⊂ gph F h®i tu tói (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) sao
k

cho
(x∗ , x¯k∗− x¯) + (ω ∗ , ωk − ω¯) + (ξ, v∗

ξ¯∗ ) "xk − x¯" + "ωk − ω¯" + "v∗ − γ > 0
ξ "
k

k

Tù I(xk , ωk ) ⊂ I khi xk →


đó

∀k.

(1.9)

và ωk → ω¯, suy
ra v ∗


k

∈ N (x¯; Θ(ω¯)). Khi
(ξ, vk∗ − ξ¯∗ ) ≤ 0

∀k.

(1.10)
Không mat tính tong quát bói có the thay bang m®t dãy con neu can
thiet, ta có the giá thiet rang I(xk, ωk) = Q. Ta có
Q \ I1 = I \ I 1 .

(1.11)

Rõ ràng, Q \ I1 ⊂ I \ I1 . Neu ξ¯∗ ƒ= 0 thìkv ∗ ƒ= 0 vói k đn lón. Khi đó,
tù [15, Bo đe 2.1], vói moi k ton tai Γk ⊂ Q sao cho Ci, i ∈ Γk,là đ®c
l¾p
tuyen tính, và
v∗

k

T
∈ pos {C
i | i ∈ Γk}. Bang cách lay m®t dãy con neu


can thiet, ta có the giá sú rang Γk = Γ vói moi k. Vì limk→∞ kv ∗ = ξ¯∗
nên ta có ξ¯∗ ∈ ipos {C T | i ∈ Γ}. Túc là Q \ Γ ⊂ I1 . Suy ra I \ I1 ⊂
(Q \ Γ) \ I1 , nên, I \ I1 ⊂ Q \ I1 và (1.11) đưoc chúng minh. Bên canh
đó,
(x∗ , xk − x¯) + (ω ∗ , ωk − ω¯)
.
.
T
µ
D
= . . µ iC i +
i
λii C , xk − x¯.
λiiDT , ωk
i +
T
T
.
−.
− ω¯ .
i∈I1
i∈I1
i∈I\I1 µ C
i∈I\I1
i i
.
.
T
=. .
λiiDT ,
+
λiiC T , xk. − . µiD i +
T
.
ωk.
i∈I\I1
i∈I1
. . µ iC i
T
+.


i∈I\I1

T

T

λi i C , x¯. + .
.

i∈I

i∈I\I1

µ iD i

1

T

λiC , xk . −

.

1

i

µ iD +
T

=

i∈Q\I1
.

.

µiCTi

T

T

λiiC , xk. −

+
.

.

i∈I1

λ iC , x k . −
i

i∈I1

.

T

.

λ iD T , ω k .
i

i∈I1

i∈I\I1

.

.

i

i∈I1

λiDT , ω¯ .

i∈I

i

=. .

+.

i∈I\I1

.
= . . µ iC i +
T
.
i∈I\I1

i∈I1

µiD i +

.

T

λiiDT , ωk.

i∈I1

i∈Q\I1

λiD , ωk. ≤ 0.

i

i∈I1

Ket hop đieu này vói (1.10) suy ra rang
(x∗ , xk − x¯) + (ω ∗ , ωk − ω¯) + k(ξ, v ∗ − ξ¯∗ )
lim sup

k→∞
"x − x¯" + − ω¯" + "v∗ − ξ¯∗ "
k

"ωk

0,

k

mâu thuan vói (1.9). V¾y, (x , ω , ξ) ∈ Nˆ ((x¯, ω¯, ξ¯∗ ); gph F ). Đ
%nh lý đưoc chúng minh.





Tiep theo chúng ta đưa ra công thúc tính đoi đao hàm Fréchet cna
F.
Đ%nh lý 1.2. Co đ%nh (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) ∈ gph F. Đ¾t I := I(x¯, ω¯),
I1 :=
I1 (x¯, ω¯, ξ¯∗ ) và K đưoc đ%nh nghĩa như trong Đ%nh lí 1.1. Ta có




F (x¯, ω¯, ξ¯∗ )(ξ) = ,(x..∗ , ω ∗ ) .(x∗ , −ξ) ∈ AI,K × BI,K

(x∗, ω∗ ) ∈ span {(CT , −DT ) | i ∈ I \ I1} + pos {(CT , −DT ) | i ∈ I1
}
i
i
i
i

,


Chúng minh. Tù đ%nh nghĩa đoi đao hàm Fréchet cna F tai (x¯, ω¯,
ξ¯∗ ), ta có
ˆ ∗ F∗(x¯, ω¯, ξ¯∗ )(ξ) = , . (x∗ , ω ∗ , −ξ) ∈ N ((x¯, ω¯, ξ ∗ ); gph
D∗
F ),.
(x , ω )
.
ˆ
¯
Khi đó, ket lu¾n cna đ%nh lý ngay l¾p túc đưoc suy ra tù Đ%nh lý 1.1.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×