Tải bản đầy đủ

Điểm bất động và ứng dụng trong bài toán tựa cân bằng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN TH±
NGA

ĐIEM BAT Đ®NG VÀ ÚNG DUNG
TRONG BÀI TOÁN TUA CÂN BANG

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH



2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN TH±
NGA


ĐIEM BAT Đ®NG VÀ ÚNG DUNG
TRONG BÀI TOÁN TUA CÂN BANG

Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc: GS. TSKH. Nguyen Xuân
Tan


LèI CÁM ƠN

Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna khóa lu¾n, tôi xin bày
tó lòng biet ơn sâu sac tói GS. TSKH. Nguyen Xuân Tan ngưòi đã đ%nh
hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thành khóa
lu¾n này.
Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai
hoc, các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích trưòng Đai
hoc Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p và
làm lu¾n văn.
Cuoi cùng, tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,
ban bè đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tôi hoàn thành
lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Th% Nga


LèI CAM ĐOAN

Dưói sn hưóng dan cna GS. TSKH. Nguyen Xuân Tan lu¾n văn
Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng và úng
dung trong bài toán tna cân bang” đưoc hoàn thành bói chính sn nh¾n
thúc cna bán thân, không trùng vói bat cú lu¾n văn nào khác.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu
cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.


Hà N®i, tháng 6 năm 2012

Nguyen Th% Nga


Mnc lnc

Báng kí hi¾u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Má đau

5

Chương 1. Các kien thNc cơ bán

8

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Không gian đ%nh chuan..................................................................15

1.3

Không gian Hilbert....................................................................17

1.4

Ánh xa đa tr%..................................................................................18

Chương 2. Điem bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr%

8

20

2.1

Điem bat đ®ng cna ánh xa dang co..........................................20

2.2

Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn.....................................24

2.3

Điem bat đ®ng cna ánh xa liên tuc...........................................29

Chương 3. Điem bat đ®ng cúa ánh xa đa tr%

39

3.1

Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Nadler..............................................39

3.2

Đ%nh lý Caristi..........................................................................45

3.3

Đ%nh lý điem bat đ®ng cna Ky Fan.............................................47

Chương 4. Úng dnng

54

4.1

Bài toán tna cân bang suy r®ng loai m®t.................................54

4.2

M®t so bài toán liên quan.........................................................55

4.3

Sn ton tai nghi¾m cna bài toán cân bang..............................58

Ket lu¾n............................................................................................63


BÁNG KÍ HIfiU

R

đưòng thang thnc

R

đưòng thang thnc mó r®ng

Rn không gian Euclid n - chieu
d (x, y) khoáng cách giua x và y (x,
y)

tích vô hưóng cna x và y
"x"

conv C
o

intC( hay C)
C

chuan cna x
bao loi cna t¾p C
phan trong cna t¾p C
bao đóng cna t¾p C

f −1 hàm ngưoc cna hàm f
inf f

c¾n dưói đúng cna hàm f

sup f c¾n trên đúng cna hàm f
min f giá tr% nhó nhat cna hàm
f max f

giá tr% lón nhat cna

hàm f rge f ánh cna hàm f
Gr f
dom f
Fix f

đo th% cna hàm f
mien huu hi¾u cna hàm f
t¾p các điem bat đ®ng cna hàm f


Mé ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Lý thuyet điem bat đ®ng ra đòi gan m®t the ký nay và đưoc phát
trien manh me trong th¾p ký gan đây. Sn ra đòi cna Nguyên lý ánh xa
co Banach (1922) và Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912) đã hình
thành hai hưóng chính cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem bat
đ®ng cna ánh xa dang co và sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa liên
tuc.
Đen nhung năm 60, Nguyên lý ánh xa co Banach tiep tuc đưoc mó
r®ng nghiên cúu theo hai hưóng: đưa ra khái ni¾m co mói, ánh xa co đa
tr% và mó r®ng ánh xa co đen ánh xa không giãn. Tù vi¾c tìm ra moi
quan h¾ giua ánh xa co vói ánh xa không giãn và sn ton tai điem bat
đ®ng cna ánh xa co đã đ%nh hưóng cho nhung nghiên cúu ve điem bat
đ®ng cna ánh xa không giãn đưoc rõ ràng hơn. Tuy nhiên, các nhà khoa
hoc cũng chí ra đưoc rang sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa không
giãn thưòng gan vói cau trúc hình hoc cna các không gian Banach, hay
các không gian khác như không gian metric siêu loi, không gian trac đ%a
v.v.
Tiep đó, mó r®ng tn nhiên cho lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa
không giãn là nghiên cúu sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa Lipschitz
vói h¾ so lón hơn 1. Khói đau, Kakutani đã chí ra ton tai ánh xa Lipschitz vói h¾ so đn gan 1 trong hình cau đơn v% đóng cna không gian
Hilbert mà không có điem bat đ®ng. Sau đó, bang vi¾c đưa ra khái ni¾m
Lipschitz đeu, K. Goebel và W. A Kirk (1973) đã nêu ra mó r®ng hop
lý cho ánh xa không giãn.


6

Song song vói sn mó r®ng cna Nguyên lý ánh xa co Banach, Nguyên
lý điem bat đ®ng Brouwer cũng đưoc phát trien manh. Ban đau, ngưòi
ta mó r®ng ket quá này trên các lóp không gian tong quát như là: đ%nh lý
Schauder (1930) trong không gian đ%nh chuan, đ%nh lý Tikhonov (1935)
trong không gian loi đ%a phương,... Sau đó là sn mó r®ng đen ánh xa đa
tr% núa liên tuc trên, mó đau là ket quá cna Kakutani (1941), và tiêu
bieu là ket quá cna Ky Fan (1952), Browder - Ky Fan (1965),...
M®t đieu thú v% là vào năm 1929 ba nhà toán hoc Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã đưa ra Bo đe KKM, bo đe này tương tn vói
Nguyên lý Brouwer và chí cách chúng minh đơn gián Nguyên lý điem
bat đ®ng Brouwer mà trưóc đó cách chúng minh cna nó khá phúc tap
phái dna vào m®t so công cu cna tôpô.
Sn xuat hi¾n Bo đe KKM đã mó ra m®t hưóng nghiên cúu mói là
Lý thuyet KKM. Bưóc ngo¾t phát trien cna lý thuyet này đưoc đánh
dau bang vi¾c Ky Fan (1961) đã chúng minh m®t dang tưong tn cna Bo
đe KKM cho không gian vô han chieu, goi là Nguyên lý ánh xa KKM,
đây đưoc xem như trung tâm cna Lý thuyet KKM. Nhò đó, nó đưoc sú
dung r®ng rãi như m®t công cu huu ích cho lý thuyet điem bat đ®ng, lý
thuyet bien phân, bài toán kinh te,...
Tam quan trong cna lý thuyet điem bat đ®ng và Lý thuyet KKM
trong các ngành toán hoc khác nhau cũng như nhung úng dung cna nó
can đưoc chúng ta nghiên cúu, tìm hieu ky hơn nua. Chính vì v¾y, vói
sn hưóng dan cna thay Nguyen Xuân Tan, tôi đã chon đe tài “Điem bat
đ®ng và úng dung trong bài toán tna cân bang” đe nghiên cúu.
2. Mnc đích nghiên cNu
Nam đưoc các khái ni¾m và úng dung cna lý thuyet điem bat đ®ng
đe bo sung kien thúc, cnng co và hieu biet sâu hơn ve Toán giái tích và
úng dung cna nó.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu


7

Tìm hieu ve điem bat đ®ng và úng dung trong bài toán tna cân
bang.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Lý thuyet điem bat đ®ng và úng dung.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Tìm hieu các thông tin trong sách báo liên quan đen n®i dung
nghiên cúu.
- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.
6. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
Trình bày đưoc m®t cách có h¾ thong các kien thúc cơ bán ve điem
bat đ®ng và m®t so tính chat. Nghiên cúu m®t so úng dung cna lý thuyet
điem bat đ®ng trong bài toán tna cân bang và úng dung trong lý thuyet
toi ưu.


Chương 1
Các kien thNc cơ bán
Trong toán hoc, m®t bài toán đưoc đ¾t ra luôn gan vói m®t không
gian nào đó. Chính vì v¾y vi¾c nghiên cúu toán hoc, hay tìm lòi giái cho
các bài toán cu the, trưóc het ta phái quan tâm tói không gian cna bài
toán. Trong chương này, ta nhac lai nhung không gian cơ bán hay g¾p
khi nghiên cúu giái tích hi¾n đai và các kien thúc liên quan. Phan chi
tiet và chúng minh cho các h¾ quá có the tham kháo trong các tài li¾u
so [1], [2], [3].

1.1

Không gian metric
Nhieu van đe nghiên cúu cna giái tích bán chat chí dna trên tính

chat cna khoáng cách, mà không quan tâm tói nhung tính chat khác
cna đưòng thang, m¾t phang hay không gian 3 chieu thông thưòng. Vì
v¾y, đe kháo sát bán chat các van đe đó và hieu sâu hơn ve khoáng
cách ngưòi ta đưa ra khái ni¾m không gian metrric.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Ta goi là không gian metric m®t t¾p hop M ƒ=
∅ cùng vói m®t ánh xa d tù không gian tích Descarter M × M vào t¾p
hop so thnc R thoá mãn các tiên đe sau đây:
(i) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(ii) (∀x, y ∈ M ) d(x, y) = d(y, x);
(iii) (∀x, y, z ∈ M ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Không gian metric ký hi¾u là (M, d), (viet tat là M ). Ánh xa d goi
là metric trên M , so d(x, y) goi là khoáng cách giua hai phan tú x và
y.


9

Ví di :
(i) M®t t¾p con M bat kỳ cna t¾p so thnc R, vói khoáng cách
d(x, y) = |x − y| (đ® dài đoan noi x vói y), là m®t không gian metric.
(ii) Tong quát hơn, trong không gian n chieu Rn, có the xác đ%nh
khoáng cách giua hai điem x = (x0, ..., xn) và y = (y0, ..., yn) là
.
2
d (x, y) = .n (x
y i) .
i
i=1


Ta thay rang trên m®t t¾p hop có the xây dnng nhieu metric khác
nhau đe có nhung không gian metric khác nhau.
Tù đ%nh nghĩa, ta de dàng có nhung tính chat đơn gián sau:
.n−1
(i) (∀xi ∈ M, i = 1, 2, ..., n, n ∈ N∗) d (x1, xn) ≤i=
d (xi, xi+1);
1

(ii) (∀x, y, u, v ∈ M ) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u)+d (y, v), (bat
đang thúc tú giác);
(iii) (∀x, y, u ∈ M ) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u), (bat đang thúc
tam giác).
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho hai không gian metric (M1, d1), (M2, d2).
Ánh xa F tù không gian metric M1 vào không gian metric M2 goi là
đang cn neu
d2 (F x, F y) = d1(x, y) (∀x, y ∈ M ).
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Hai không gian metric (M1, d1), (M2, d2) goi là
đang cn neu ton tai m®t ánh xa đang cn tù M1 lên M2.
Ví di :
Hai không gian metric C[0,1] và C[0,2] là đang cn.
Th¾t v¾y, xét ánh xa:
F : C[0,1] → C[0,2]

.

t
x (t) ›→ (F x (t)) = .
.
x
2


Hien nhiên, ánh xa F ánh xa C[0,1] lên C[0,2]. Vói ∀x(t), y(t) ∈ C[0,1]
ta có:

.
. ...
.
d
(F
x,
F
y)
=
max

y
t
.2
.
t
x
. .
0≤t≤2.
2
2 .
= max |x (s) − y (s)| = max |x (t) − y (t)| = d (x, y) .
0≤s≤1

0≤t≤1

Do đó F là ánh xa đang cn tù C[0,1] lên C[0,2]. Vì v¾y, hai không
gian metric C[0,1] và C[0,2] là đang cn.
Nh¾n xét :
Quan h¾ đang cn trong không gian metric có tính bac cau. Đoi vói
hai không gian metric đang cn, m®t khái ni¾m hay m¾nh đe đã đúng
trong không gian này thì đúng trong không gian kia, nên chúng đưoc coi
là như nhau.
Trong không gian metric, ta có the đưa ra khái ni¾m dãy h®i tu
như sau:
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Ta nói rang dãy điem {xn} cna không gian M h®i
tu tói điem x0 cna không gian đó neu vói (∀s > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥
n0) d(xn, x0) < s, ký hi¾u: lim
n→∞ = x0 hay xn → x0 (n → ∞).
Ví di :
(i) Sn h®i tu trên đưòng thang thnc là sn h®i tu cna m®t dãy so
theo nghĩa thông thưòng.
(ii) Trong không gian Rk, sn h®i tu cna dãy xn = (xn, ..., xn) tói
1

k

x = (x1, ..., xk) có nghĩa là
.

k

(xni − xi)2 → 0 (n → ∞),

i=1

đieu này tương đương vói xn → xi, (i = 1, 2, ..., k). V¾y sn h®i tu
i
trong không gian Rk là h®i tu theo toa đ®.
Đieu hien nhiên rang, neu m®t dãy đã h®i tu thì moi dãy con cna nó


cũng h®i tu. Ta de dàng nh¾n ra hai tính chat quan trong sau đây:
(i) Neu xn → x và xn → xr thì x = xr, nghĩa là giói han cna m®t
dãy điem là duy nhat.
(ii) Neu xn → x và yn → y thì d(xn, yn) → d(x, y), nghĩa là khoáng
cách d là m®t hàm liên tuc đoi vói x và y.
Khi đưa vào t¾p nen cna không gian metric khái ni¾m các t¾p mó,
ta có the xác đ%nh tôpô trong metric.
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric (M, d), a ∈ M , so r > 0.
Ta goi:
T¾p S(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} là hình cau mó tâm a, bán kính
r;
T¾p Sr(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} là hình cau đóng tâm a, bán
kính r.
Đ%nh nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric (M, d). Ta goi là lân cân cna
điem x ∈ M moi hình cau mó tâm x, bán kính r nào đay.
Nhò đ%nh nghĩa này ta có the phân loai các điem trong không gian
metric như sau:
Cho không gian metric (M, d), t¾p A ⊂ M , điem x ∈ M :
Điem x goi là điem trong cna t¾p A, neu ton tai lân c¾n cna điem x
bao hàm trong t¾p A;
Điem x goi là điem ngoài cna t¾p A, neu ton tai lân c¾n cna điem x
không chúa điem nào cna t¾p A;
Điem x goi là điem biên cna t¾p A, neu moi lân c¾n cna điem x
đeu chúa nhung điem thu®c t¾p A, và nhung điem không thu®c t¾p
A. T¾p tat cá các điem biên cna t¾p A ký hi¾u là ∂A;
Điem x goi là điem giói han (hay điem tu) cna t¾p A, neu moi lân
c¾n cna điem x đeu chúa ít nhat m®t điem cna t¾p A khác x. T¾p tat

các điem giói han cna t¾p A đưoc goi là t¾p dan suat và ký hi¾u là Ar;


Điem x goi là điem cô l¾p cna t¾p A, neu x ∈ A và x không là điem
giói han cna t¾p A.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M :
T¾p A goi là t¾p mó trong không gian (M, d), neu moi điem thu®c
A đeu là điem trong cna A;
T¾p A goi là t¾p đóng trong không gian (M, d), neu moi điem không
thu®c A đeu là điem ngoài cna A.
Đ%nh lý 1.1.1. (Xem [1]). Trong không gian metric bat kỳ, moi hình
cau mó là t¾p mó, moi hình cau đóng là t¾p đóng.
Đ%nh lý 1.1.2. (Xem [2]). Cho không gian metric (M, d), t¾p A ⊂ M,
A ƒ= ∅. T¾p A đóng trong không gian M khi và chí khi moi dãy
điem
{xn} ⊂ A h®i tn tói điem x thì x ∈ A.
H¾ quá 1.1.1. Trong không gian metric (M, d), phan bù cúa m®t t¾p
mó là t¾p đóng, phan bù cúa m®t t¾p đóng là t¾p mó. Các t¾p M, ∅
vùa là đóng vùa là mó.
H¾ quá này de dàng suy ra tù hai đ%nh lý trên.
Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M :
Hop cna tat cá các t¾p mó chúa trong A goi là phan trong cna A, và
o

ký hi¾u A hay intA;
Giao cna tat cá các t¾p đóng chúa A goi là bao đóng cna A và ký
hi¾u A hay [A].
Dna vào đ%nh nghĩa ta de dàng có nhung tính chat sau đây:
o

(i) φ = φ, φ = φ;
o

(ii) M = M, M = M ;
o

o

(iii) A ⊂ B ⇒ A ⊂ B, A ⊂ B;
o
o

o

(iv) A ∩ B = A ∩ B , A ∪ B = A ∪ B;


o

(v) A ⊂ M là t¾p mó khi và chí khi A = A;
(vi) A ⊂ M là t¾p đóng khi và chí khi A = A.
Đ%nh lý 1.1.3. (Xem [2]). Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M,
phan
trong

o

A cúa t¾p A là t¾p tat cá các điem trong cúa A, còn bao

đóng A cúa A là t¾p tat cá các điem giói han cúa t¾p A.
H¾ quá 1.1.2. (Xem [2]). Trong không gian metric (M, d) phan trong
cúa m®t t¾p hop là t¾p mó, bao đóng cúa m®t t¾p hop là t¾p đóng.
Đ%nh lý 1.1.4. (Xem [1]). Cho không gian metric (M, d) và t¾p A ⊂ M.
Khi đó
..
o
A = M\ M\A

.

Ví di :
Trong không gian R bao đóng cna t¾p so huu tí Q và bao đóng cna
t¾p so vô tí R\Q đeu là so thnc R; còn phan trong cna t¾p Q và phan
trong cna t¾p R\Q đeu là t¾p φ.
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Cho m®t t¾p M bat kỳ, ta nói m®t ho T nhung t¾p
con cna M là m®t tôpô (hay xác đ%nh m®t cau trúc tôpô) trên M neu:
(i) Hai t¾p ∅ và X đeu thu®c ho T .
(ii) Giao cna m®t so huu han t¾p thu®c ho T thì cũng thu®c ho đó.
(iii) Hop cna m®t so bat kỳ t¾p thu®c ho T thì cũng thu®c ho đó.
M®t t¾p M cùng vói m®t tôpô T trên M goi là không gian tôpô
(M, T ).
Các khái ni¾m lân c¾n, h®i tu, t¾p mó, t¾p đóng đeu xác đ%nh
trên không gian metric cùng m®t cau trúc ta goi là cau trúc tôpô.
Đ%nh lý 1.1.5. (Xem [1]). Trong không gian metric (M, d), ho tat cá
các t¾p mó trong M l¾p thành m®t tôpô trên M.


Đ%nh nghĩa 1.1.10. Ho T tat cá các t¾p mó trong không gian metric
(M, d) goi là tôpô sinh bói metric d.
Đ%nh lý 1.1.6. (Xem [2]). Trong không gian metric (M, d), tôpô T sinh
bói metric d là tôpô có cơ só lân c¾n đen đưoc.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian metric (M1, d1) và (M2,
d2), ánh xa f tù không gian M1 đen không gian M2:
Ánh xa f goi là liên tuc tai điem x0 ∈ M1 neu (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈
M1 : d1(x, x0) < δ) d2(f (x), f (x0)) < ε;
Ánh xa f goi là liên tuc trên t¾p A ⊂ M , neu ánh xa f liên tuc
tai moi điem x ∈ A. Khi A = M thì ánh xa f goi là liên tuc;
Ánh xa f goi là liên tuc đeu trên t¾p A ⊂ M , neu (∀ε > 0) (∃δ >
0) (∀x, xr ∈ A : d1(x, xr) < δ) d2(f (x), f (xr)) < ε.
De dàng thay, neu ánh xa f liên tuc đeu trên t¾p A ⊂ M , thì
ánh xa f liên tuc trên t¾p A.
Đ%nh lý 1.1.7. (Đ%nh lý năm m¾nh đe tương đương ve ánh xa liên
tnc). (Xem [1]). Cho ánh xa f tù không gian metric (M1, d1) đen
không gian metric (M2, d2). Năm m¾nh đe sau đây là tương đương:
(i) f liên tnc;
(ii) Tao ánh cúa m®t t¾p đóng bat kỳ trong M2 là m®t t¾p đóng
trong M1;
(iii) Tao ánh cúa m®t t¾p mó bat kỳ trong M2 là m®t t¾p mó trong
M1 ;
(iv) Vói moi t¾p A ⊂ M1 đeu có f (A) ⊂ f (A);
(v) Vói moi t¾p B ⊂ M2 đeu có f

o
−1

(B) ⊂

o
−1
f (B).

Đ%nh nghĩa 1.1.12. Cho không gian metric (M, d), dãy {xn} đưoc goi
là dãy có bán neu lim

n,m→∞ d(xn, xm) = 0, túc là vói ∀ε > 0, ∃N ∈ N sao


cho ∀n, m ≥ N thì d(xn, xm) < ε.
De thay moi dãy (xn) ⊂ M h®i tu trong M đeu là dãy cơ bán.
Đ%nh nghĩa 1.1.13. Không gian metric (M, d) goi là không gian đay
đn, neu moi dãy cơ bán trong không gian này đeu h®i tu.
Ví di :
(i) Không gian metric R là không gian đay đn.
(ii) Không gian C[a,b] (không gian các hàm b% ch¾n trên đoan [a, b])
là không gian đay đn.

1.2

Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.2.1. T¾p M khác rong đưoc goi là không gian tuyen tính
trên trưòng K = {R, C}, các phan tú x, y ∈ M đưoc goi là các véctơ
neu trên M xác đ%nh hai phép toán
(+) : M × M → M : (x, y) → x + y;
( . ) : K × M → M : (λ, x) → λx,
thoá mãn tám tiên đe sau:
(i) x + y = y + x, (∀x, y ∈ M );
(ii) (x + y) + z = x + (y + z) , (∀x, y, z ∈ M );
(iii) (∃θ ∈ M ) x + θ = θ + x, (∀x ∈ M );
(iv) (∀x ∈ M ) (∃ − x ∈ M ) x + (−x)
= θ;
(v) λ (x + y) = λx + λy, (∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ K);
(vi) (α + β) x = αx + βx, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ K);
(vii) α (βx) = (αβ) x, (∀x ∈ M, ∀α, β ∈ K);
(viii) (∃1 ∈ M ) 1x = x, (∀x ∈ M ).
θ và 1 lan lưot đưoc goi là phan tú không và phan tú đơn v% cna M .


Ví di :
T¾p Rn vói phép c®ng và phép nhân thông thưòng là m®t không gian
tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Không gian tuyen tính đ%nh chuan là c¾p (M, "."),
trong đó M là m®t không gian tuyen tính còn (".") là m®t ánh xa M → R
thoá mãn:
(i) "x" ≥ 0, ∀x ∈ M, "x" = 0 ⇔ x = θ;
(ii) "λx" = |λ| . "x" ;
(iii) "x + y" ≤ "x" + "y" .
So "x" đưoc goi là chuan cna x.
Ví di :
Không gian đ%nh chuan C[a,b] (không gian các hàm b% ch¾n trên đoan
[a, b]) vói chuan "x" = max |x(t)| .
a≤t≤b

Ta thay rang moi không gian đ%nh chuan đeu là không gian metric
vói d(x, y) = "x − y".
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Cho không gian tuyen tính M và "."1, "."2 là hai
chuan trên M . Hai chuan "."1 và "."2 goi là tương đương neu ton tai
hai so dương a, b sao cho
a"x"1 ≤ "x"2 ≤ b"x"1, ∀x ∈ M.
Ví di :
Cho không gian vectơ n chieu En, vói E = {R, C}. Ta xác đ%nh
.
hai chuan sau:
2
.n
"x"1 =
, ∀x = (x1, ..., xn) ∈ En;
i=1 |
xi|
"x"2 = max |xi| , ∀x = (x1, ..., xn) ∈ En.
1≤i≤k

Khi đó, hai chuan "."1, và "."2 là tương đương vì

"x"2 ≤ "x"1 ≤ n"x"2, ∀x ∈ En .


Đ%nh lý 1.2.1. (Xem [1]). Hai chuan "."1 và "."2 cho trên không gian
tuyen tính M là tương đương khi và chi khi hai chuan đó sinh cùng
m®t tôpô trên M.
Đ%nh nghĩa 1.2.4. Không gian Banach là không gian đ%nh chuan và
đay đn.
Các ví du ó trên cũng là các không gian Banach.

1.3

Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.3.1. Cho M là không gian tuyen tính trên trưòng K =
{R, C}. Hàm (., .) : M × M → K đưoc goi là tích vô hưóng trên M
neu: (i) (y, x) = (x, y), ∀x, y ∈ M ;
(ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) , ∀x, y, z ∈ M ;
(iii) (λx, y) = λ (x, y) , ∀x, y ∈ M, ∀λ ∈ K;
(iv) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ, ∀x ∈ M
.
Ta có m®t so tính chat đơn gián sau:
(i) (∀x ∈ M ) (θ, x) = 0.
Th¾t v¾y, (θ, x) = (0.x, x) = 0. (x, x) = 0.
(ii) (∀x, y ∈ M ) (∀λ ∈ K) (x, λy) = λ (x, y).
Th¾t v¾y, (x, λy) = (λy, x) = λ (y, x) = λ(y, x) = λ (x, y).
(iii) (∀x, y, z ∈ M ) (x, y + z) = (x, y) + (x, z).
Th¾t v¾y, (x, y + z) = (y + z, x) = (y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z).
Đ%nh lý 1.3.1. (Bat bang thúc Schwarz). (Xem [1]). Đoi vói moi x ∈ M
ta có
,
"x" = ( x, x).
Khi đó, ∀x, y ∈ M ta có bat bang thúc Schwarz
|(x, y)| ≤ "x" . "y" .


Đ%nh nghĩa 1.3.2. Không gian M đưoc trang b% m®t tích vô hưóng
đưoc goi là không gian tien Hilbert.
Không gian tien Hilbert đay đn đưoc goi là không gian Hilbert.
Ví di :
n

n

n

(i) Không gian R , C vói tích vô hưóng (x, y) =
không

.

xiyi là các

i=1

gian Hilbert.

(ii) Không gian l2 (không gian vectơ các dãy so phúc x = (xn) sao

cho chuoi so .∞ |xn|2 h®i tu ) vói tích vô hưóng (x, y) = .
xiyi là không
i=
i=1
gian Hilbert.
1

1.4

Ánh xa đa tr%

Cho M là t¾p hop bat kỳ. Ký hi¾u 2M là t¾p gom các t¾p con cna M .
Đ%nh nghĩa 1.4.1. Moi ánh xa T tù t¾p X vào Y đưoc goi là ánh xa
đa tr% tù X vào Y , ký hi¾u T : X → 2Y .
Mien đ%nh nghĩa, đo th% và mien ánh cna T đưoc đ%nh nghĩa lan lưot
như sau:
domT = {x ∈ A|T x ƒ= φ} vói A ⊂ X;
Gr (T ) = {(x, y) ∈ A × Y |y ∈ T x};
rgeT = {y ∈ Y |∃x ∈ X sao cho y ∈ T x}.
Ví di :
Cho a, b là các so thnc, T : R → 2R đưoc xác đ%nh bói

 (a, b) neu x ƒ= 0
Tx = 
{a} neu x = 0
khi đó T ánh xa đa tr%.


Đ%nh nghĩa 1.4.2. Cho T : X → 2Y , ánh xa T −1 : Y → 2X xác đ%nh
bói
T −1 y = {x ∈ X : y ∈ T x} ,
đưoc goi là ánh xa ngưoc cna T .
Như v¾y, khác vói ánh xa đơn tr%, ánh xa đa tr% luôn ton tai ánh xa
ngưoc.
Đ%nh nghĩa 1.4.3. Cho X, Y là hai không gian tôpô, T : X → 2Y là
m®t ánh xa đa tr%:
Ánh xa T goi là núa liên tuc trên tai điem x0 ∈ X neu vói moi t¾p
hop G mó chúa T x0 , ton tai lân c¾n U cna x0 sao cho Tx ⊂ G vói
moi x ∈ U . Ánh xa T đưoc goi là núa liên tuc trên neu nó núa liên
tuc trên
tai moi điem cna X;
Ánh xa T đưoc goi là núa liên tuc dưói tai điem x0 ∈ X neu vói moi
t¾p hop G mó thoá mãn G ∩ T x0 ƒ= φ, ton tai lân c¾n U cna x0 sao
cho G ∩ Tx ƒ= φ vói moi x ∈ U . Ánh xa T đưoc goi là núa liên tuc
dưói neu nó núa liên tuc dưói tai moi điem cna X;
Ánh xa T đưoc goi là liên tuc neu nó vùa liên tuc trên vùa liên tuc
dưói.
Hien nhiên, neu T là ánh xa đơn tr% thì cá ba khái ni¾m: liên tuc,
liên tuc trên, liên tuc dưói trùng nhau.


Chương 2
Điem bat đ®ng cúa ánh xa đơn tr%
Tiep tuc nghiên cúu và phát trien nguyên lý ánh xa co Banach (1922)
và nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912), các nhà toán hoc đã hình
thành hai hưóng chính cna lý thuyet điem bat đ®ng: sn ton tai điem bat
đ®ng cna ánh xa dang co và sn ton tai điem bat đ®ng cna ánh xa liên
tuc. Theo đó, ho phân loai lý thuyet điem bat đ®ng cna ánh xa đơn tr%
theo dang cna ánh xa. Đó là, điem bat đ®ng cna ánh xa dang co, dang
ánh xa không giãn và dang ánh xa liên tuc.

2.1

Điem bat đ®ng cúa ánh xa dang co
Ánh xa dang co là trưòng hop đ¾c bi¾t cna ánh xa Lipschitz khi h¾

so Lipschitz b% giói han. Ta hãy nhac lai khái ni¾m ánh xa Lipschitz đe
có cái nhìn khái quát hơn ve ánh xa dang co.
Đ%nh nghĩa 2.1.1. Cho (M, d) là m®t không gian metric. M®t ánh xa
F : M → M đưoc goi là ánh xa Lipschitz neu ton tai α không âm sao
cho:
d(F x, F y) ≤ αd(x, y), ∀x, y ∈ M.

(2.1)

So α nhó nhat thoá mãn (2.1) đưoc goi là h¾ so Lipschitz cna ánh
xa F và ký hi¾u là α(F ).
Neu α(F ) < 1 thì ánh xa F : M → M đưoc goi là ánh xa co.
Đ%nh lý 2.1.1. (Banach, 1922). Cho (M, d) là m®t không gian metric
đay đú và F : M → M là m®t ánh xa co. Khi đó, F có duy nhat m®t


21

điem bat đ®ng trong M, và vói moi x0 ∈ M dãy {F n x0 } h®i tn đen điem
bat đ®ng này.
Khi h¾ so Lipschitz đưoc thay đoi ta có khái ni¾m ánh xa mói.
Đ%nh nghĩa 2.1.2. Cho (M, d) là không gian metric. M®t ánh xa
F : M → M đưoc goi là ánh xa co yeu neu
d(F x, F y) < d(x, y), ∀x, y ∈ M, x ƒ= y.
Đe Nguyên lý ánh xa co Bancach van đúng khi F là ánh xa co yeu
thì ta can đieu ki¾n bo sung là tính compact cna không gian.
Đ%nh lý 2.1.2. (Edelstein, 1962). Cho (M, d) là không gian metric đay
đú và F : M → M là ánh xa co yeu, và vói x0 ∈ M dãy {F n x0 } có
dãy con h®i tn. Khi đó, F có duy nhat m®t điem bat đ®ng trong M
và vói moi x0 ∈ M dãy {F n x0 } h®i tn đen điem bat đ®ng này.
Chúng minh. Lay x0 thu®c M . Đ¾t x1 = F x0 , xn = F xn−1 , ∀n ≥
2, (xn = F n x0 ).
Xét d(F n x0 , F n+1 x0 ) ≤ d(F n−1 x0 , F n x0 ) ≤ ... ≤ d(x1, x0) = d(F x0 ,
.
.
n
n+1
x0).
Tù đó suy ra dãy d(F x0 , F
x0 ) h®i tu.
M¾t khác, do {F n x0 } ⊂ M có dãy con {F nk x0} h®i tu, giá sú
F nk x0 → y.
Tù d(F nk x0, F nk+1 x0) → 0, ta có d(y, F y) = 0. V¾y Fy = y. Đ%nh


đưoc chúng minh.

Q

Đ%nh lý 2.1.3. Cho (M, d) là không gian metric đay đú và F : M → M
là ánh xa không nhat thiet liên tnc. Giá sú đieu ki¾n sau đưoc thoá
mãn (*) Vói moi e > 0, ton tai δ(e) > 0, sao cho:
Neu d(x, F x) < δ(e) thì F [B(x, e)] ⊂ B(x,
e).


Khi đó, neu d(F n u, F n+1 u) → 0 vói u nào đó thu®c M, thì {F n u}
h®i tn đen điem bat đ®ng cúa F.
Chúng minh. Đ¾t un = F n u. Đau tiên, ta se chí ra rang {un} là dãy
Cauchy.
Th¾t v¾y, cho e > 0, chon N đn lón sao cho d(un, un+1) < δ(e) vói
moi n ≥ N . Vì d(uN , F uN ) < δ nên theo tính chat (*) ta có F [B(uN ,
e)] ⊂ B(uN , e). Suy ra F uN = uN +1 ∈ B(uN , e), và bang quy nap ta

F k uN = uN +k ∈ B(uN , e), vói moi k ≥ 0.
Như v¾y, d(uk, us) < 2e vói moi s, k ≥ N và ta có {un} là dãy
Cauchy. Vì M là không gian metric đay đn nên dãy này h®i tu, chang
han đen điem z ∈ M . Đe chúng tó z là điem bat đ®ng cna F ta
chúng minh bang phán chúng: neu d(z, F z) = a > 0, ta có the chon
un ∈ B(z,

a

) sao cho d(un, un+1) < δ( a ). Khi đó, bói tính chat (*)

ta
3
3
có F [B(un, a )] ⊂ B(un, a ), do đó Fz ∈ B(un, a ). Nhưng mâu thuan vói
3

3

d(F z, un) ≥ d(F z, z) − d(un, z)

3

≥32a .

Suy ra d(z, F z) = 0 và ta có

đieu
phái chúng minh.

Q

Trong Nguyên lý ánh xa co Banach, h¾ so α(F ) nh¾n giá tr% trong
[0, 1). Nên đã có nhung ý tương mó r®ng tn nhiên cho nguyên lý này là
mó r®ng mien giá tr% cna h¾ so α(F ) hay thay h¾ so đó bói m®t hàm
thnc vói mien giá tr% xác đ%nh đe ánh xa F van có điem bat đ®ng. Tù
đó có sn khái quát hoá cna Nguyên lý ánh xa co Banach.
Đ%nh lý 2.1.4. (Matkowski, 1975). Giá sú (M, d) là không gian metric
đay đú và F : M → M là m®t ánh xa thoá mãn
d(F x, F y) ≤ ϕ(d(x, y)), ∀x, y ∈ M,
trong đó ϕ : R+ → R+ là m®t hàm bat kỳ không giám (không nhat
thiet liên tnc) sao cho ϕn (t) → 0 vói moi t > 0.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×