Tải bản đầy đủ

Điểm bất động chung trong không gian metric mờ

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS. Hà Đúc Vưong.
Tôi xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS. Hà Đúc
Vưong, ngưòi thay đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình hưóng dan
tôi trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn.
Tôi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban Giám hi¾u trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong
nhà trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích
đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tôi trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu.
Tôi xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên
và tao moi đieu ki¾n đe tôi hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Lan Anh


LèI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan lu¾n văn là ket quá nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna Tien Sĩ Hà Đúc Vưong.
Quá trình nghiên cúu tôi đã sú dung và ke thùa thành quá cna các
nhà Khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Lan Anh


Mnc lnc

Má đau

1

Chương 1. Kien thNc chuan b%

3

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Không gian metric đay đn . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Đ%nh lý điem bat đ®ng Banach.................................................... 12

Chương 2. Không gian metric mà


16

2.1

T¾p mò............................................................................................16

2.2

Không gian metric mò...............................................................19

2.3

Không gian metric mò đay đn...................................................25

Chương 3. Điem bat đ®ng chung trong không gian metric


31

3.1

Ánh xa tương thích.................................................................... 31

3.2

Đ%nh lý điem bat đ®ng chung trong không gian metric mò

35

Ket lu¾n

52

Tài li¾u tham kháo

53


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Nhieu bài toán khác nhau cna khoa hoc ky thu¾t đã dan đen vi¾c
nghiên cúu van đe sau:
Vói M là m®t t¾p hop khác rong nào đó, ta xét ánh xa T : M → M .
Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx = x đưoc goi là điem bat đ®ng
cna ánh xa T trên t¾p M . Vi¾c nghiên cúu van đe trên đã góp phan
đac lnc cho vi¾c giái quyet các bài toán quan trong trong Toán hoc nói
riêng, trong Khoa hoc ky thu¾t nói chung. Lĩnh vnc nghiên cúu này đã
thu hút nhieu nhà toán hoc quan tâm và các ket quá ve lĩnh vnc này đã
hình thành nên: "Lý thuyet điem bat đ®ng".
Năm 1965, Zadeh đã đưa ra khái ni¾m "t¾p mò", đó là các ánh
xa đi tù t¾p X vào đoan [0; 1]. Sau đó rat nhieu nhà toán hoc
quan tâm nghiên cúu van đe này như: George, Rhoades, Deng, Erceg,
Kaleva, Seikala,... .
Tù đó khái ni¾m "không gian metric mò" đưoc hình thành và ket
quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa trong lóp không gian này đưoc nghiên
cúu và úng dung.
Năm 2009, Aage và Salunke là hai nhà toán hoc An Đ®, đã công
bo m®t so ket quá ve điem bat đ®ng và điem bat đ®ng chung cho các
ánh xa trong không gian metric mò trong bài báo: "On Fixed Point
Theorem in Fuzzy Metric Spaces".
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng
chung trong không gian metric mò, đưoc sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình
cna TS. Hà Đúc Vưong, tôi manh dan chon đe tài nghiên cúu:
"Điem bat đ®ng chung trong không gian metric mà".


2

2. Mnc đích nghiên cNu
Tong hop các ket quá ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng chung
trong không gian metric mò. Công trình nghiên cúu đưoc dna trên ket
quá cna C. T. Aage và J. N. Salunke trong bài báo "On Fixed Point
Theorem in Fuzzy Metric Spaces ".
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng chung trong không
gian metric mò.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve: "Điem bat đ®ng chung trong không gian
metric mà".
5. Phương pháp nghiên cNu
- D%ch, đoc nghiên cúu tài li¾u.
- Tong hop, phân tích, v¾n dung kien thúc cho muc đích nghiên
cúu.
6. NhÑng đóng góp cúa đe tài
Đây là bài tong quan ve điem bat đ®ng chung trong không gian
metric mò. Qua đe tài này giúp ngưòi đoc thay đưoc moi quan h¾ giua
không gian metric và không gian metric mò, ket quá ve điem bat đ®ng
chung trong không gian metric mò.


Chương 1
Kien thNc chuan b
%

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái ni¾m cơ bán ve
không gian metric, không gian metric đay đn, đ%nh lý điem bat đ®ng
Banach và các ví du minh hoa.

1.1

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [3] Không gian metric là m®t c¾p (X, d) trong đó X
là m®t t¾p hop khác rong, d là m®t hàm so xác đ%nh trên X × X thóa
mãn các đieu ki¾n sau:
1. d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xa d đưoc goi là metric trên X. Các phan tú cúa X goi là các điem.
Khi đó ta có không gian metric (X, d).

Đ%nh nghĩa 1.1.2. [1] Cho không gian metric (X, d). M®t t¾p con bat
kỳ M ƒ= ∅ cúa t¾p X cùng vói metric d l¾p thành m®t không gian
metric. Không gian metric (M, d) goi là không gian metric con cúa
không gian metric đã cho.

Ví dn 1.1.1. Vói hai vectơ bat kỳ x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2, ...,
yk)
thu®c không gian vectơ thnc k chieu Rk (k là so nguyên dương nào đó).


7

Ta đ¾t:


. ..k
, (xj,
d(x, y) =
yj ) 2

.

(1.1)

j=1

Ta có (Rk, d) là m®t không gian metric.
Chúng minh. Ta có

.
k
..
, (x , y )2 ≥ 0, vói moi x, y ∈ Rk.
j
j
j=1

Suy ra d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Rk.
Ta lai có:


. ..k
, (xj, yj )2 = 0
d(x, y) = 0 ⇔
j=1
k



.(x , y )2 = 0
j
j
j=1

⇔ (xj, yj )2 = 0, ∀j = 1, 2, ..., k
⇔ xj = yj , ∀j = 1, 2, ..., k
⇔ x = y.
V¾y d(x, y) = 0 ⇔ x =
y.
Đe kiem tra h¾ thúc (1.1) thóa mãn tiên đe 3. ve metric, trưóc het ta
chúng minh bat đang thúc Cauchy-Bunhiacopski.
Vói 2k so thnc a j, bj (j = 1, 2,‚..., k) ta có:

.
.
k
k
k
.
...
.. . .
.
..
.
a jb j . ≤
(a
)
(bj )2.
j
,
.
j= 2 ,
j=
1
1
.
Th¾t
v¾y

(1.2)

j=1

k

0≤

.

i=1


.
.

8

k

.
(aibj − ajbi)2
j=1


=

k
.

k

.

k
2

k.

2

k

.

(ai) (bj ) − 2

k

a i b ia j b j +

.

.

aj 2bi2
i=1 j=
1

.

=2

k.

. .

.

k

.

aj 2
Suy ra

i=1 j=
1

2
j=
1

j=1

.

b

j

. . k
.

k

.

i=1 j=1

.

−2

2
a
j=1

.
bj

.
2

.2

. ≥ 0.

ajb j

j=1

j=1
k

k

.2


.

a jb j .

j=1

j

Hay

.2

k
.

.

.


ajb j

. .
.k

k
.

.
bj 2

.

j=1

aj 2

j=1

.
. ‚ j=1
k
k
. k
...
.. . .
.
..
.
a jb j . ≤
(a
)
(bj )2 .
j
,
.
j= 2 ,
j=
j=1
1
1
.

Tù đó suy ra

Bây giò ta xét ba vectơ bat kỳ x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2, ...,
yk), z = (z1, z2, ..., zk) thu®c Rk, ta có:
k
2

.

d (x, y) = (xj −
yj )2
j=
1

=

k
.

2

[(xj − zj ) + (zj − yj )]

j=1
.k

k

j=1

j=1

k

.

.
= (xj − zj )2 + 2 (xj − zj )(zj − yj ) + (zj − yj )2
j=1



k
. k..
... k
.
.k
2 ,
2

(xj − zj ) + 2 (xj − , (zj − yj + (zj − yj
j=1

)2

zj )
j=1

j=1

)2
j=1


= d2(x, z) + 2d(x, z)d(z, y) + d2(z, y)
2

= [d(x, z) + d(z, y)] .
Suy ra

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).


Do đó, h¾ thúc (1.1) xác đ%nh m®t metric trên Rk.
V¾y (Rk, d) là m®t không gian metric.

Nh¾n xét 1.1.1. Trên cùng m®t t¾p hop có the xác đ%nh nhung metric
khác nhau. Ví du trên cùng t¾p Rk, ngoài metric Euclide, ta có the xác
đ%nh nhung metric sau đây: Vói hai phan tú
x = (x1, x2, ..., xk), y = (y1, y2, ..., yk) thu®c Rk ta đ¾t:
k

d1(x, y) =

.

|xi − yi| ,

i=1

d2(x, y) = max |xi − yi| .
1≤i≤k

De dàng ta kiem tra đưoc d1, d2 đeu là metric trên Rk.

1.2

Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1. [1] Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) đưoc
goi là h®i tn đen x0 X, neu lim d(x , x ) = 0.
n
0

n→∞
Khi đó, ta viet lim x = x hay x → x khi n → ∞, x đưoc goi là
0
n
0
0
n→∞ n
han cúa dãy {x }. giói
n

Đ%nh nghĩa 1.2.2. [3] Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X
đưoc goi là dãy Cauchy, neu
lim d(xm, xn) = 0.

m,n→∞

Túc

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d(xm, xn) < ε.


là dãy Cauchy.

.

Ví dn 1.2.2. Cho không gian X = (0; 1) thì

.1

dãy Th¾t v¾y
n
lim
m,n→∞

.
.
d(x , x ) = lim
1
1
m n
− m,n→∞ m n
1
= lim 1
− lim
m→∞ m
n→∞ n
= 0.

Đ%nh nghĩa 1.2.3. [3] Không gian metric (X, d) goi là đay đú, neu moi
dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t điem thu®c X.

Ví dn 1.2.3. Không gian A2 là không gian đay đn.
Chúng minh. Giá sú x(n) = (x
dãy

(n)

1

,x

(n)

, ..., x

2

(n)

, ...), n = 1, 2, .... là

k

Cauchy trong không gian A2.
Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0
‚ ..
(n)
(n)
(m) . ∞
d(x (m)
,x
)=
.x
2 < ε.
−x
.
.
.
,
.
.
k=1

Suy ra:

k

k

. p

.
2
.
(m)
. . . (n
)
.
,
.
− xk . < ε, ∀m, n ≥ n0, ∀p = 1, 2, ....
k=1 x
k
.
.
. (n)
(m).
. < ε, ∀m, n ≥ n0, ∀k = 1, 2, ....
.xk −
xk
(n)

(1.3)

(1.4)

Các bat đang thúc (1.4) chúng tó vói moi k co đ%nh dãy (xk ) là dãy
Cauchy, nên phái ton tai giói han
(n)

lim (x

) = xk, ∀k = 1, 2, ....


n→∞

k


Đ¾t x = (x1, x2, ..., xk, ...) = (xk). Vì các bat đang thúc (1.3) không
phu thu®c vào p, nên có the cho qua giói han trong các bat đang thúc
này
khi m → ∞ ta đưoc
. p

.2
.. .. (n)
,

≤ ε, ∀n ≥ n0, ∀p = 1, 2, ....
.
.
.
k=1 x
xk
k

(1.5)

Tiep tuc cho qua giói han trong các bat đang thúc (1.5) khi p → ∞ ta
đưoc

.
. ∞
.
(n)
2
.. .
,

M¾t
khác

k=
1

.
xk

2

|xk| = ...xk −
x

(n
)

− . ≤ ε, ∀n ≥ n0.
.
xk
..2
(n).
+x

k
k .
.. .
.. .. k . ..2
. (n)
k
≤ .x − xk. + .x(n).
.
.
.
.2
. (n) .2
. (n)
. 2 xk −
≤ 2 xk
+
, ∀k, n = 1, 2, ....
x
k
.
.
.
.

Tù các bat đang thúc (1.6) và (1.7) suy ra
p
p
p
. .2
.
.2
.
.
.
2
. (n1).
. (n1)
.
|xk| ≤
x
x
+
− xk
2
2
. k .
. k
.
k=1


k=1

≤2
.x

k=1


.
.

2

.

k=1

..

(n1).

k

. .2(n1).
x

<2
Suy ra

.
k=1

.

. +2
.x
.

k

.
.

(n1
)
k

..
− xk
.

2

. +



.

.

k=1

2

. .2

vói n1 > n0 , ∀p = 1, 2, ....

(1.6)

(1.7)


2

|xk| < 2
k=1

.
+ 2ε2 vói n1 > n0.
(n1).
.x k .

k=1

Chúng tó dãy Cauchy .x(n). đã cho h®i tu tói x ∈ A2 trong không gian
A2. Vì v¾y không gian A2 là không gian đay đn.


Ví dn 1.2.4. Cho C[0;1] là t¾p hop tat cá các hàm liên tuc trên
đoan
[0; 1]. Khi đó C[0;1] là không gian metric không đay đn vói metric
đưoc xác đ%nh như sau: Vói x = x(t), y = y(t) ∈ C[0;1], ta có
1

¸
d(x, y) =

|x(t) − y(t)| dt.
0

Chúng minh. Trưóc het ta có:
|x(t) − y(t)| ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0;1],∀t ∈ [0; 1] .
Suy ra

¸1
d(x, y)
=

|x(t) − y(t)| dt ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0;1].
0

Hay
d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[0;1].
Hien nhiên
1

¸
d(x, y) = 0 ⇔

|x(t) − y(t)| dt = 0
0

⇔ |x(t) − y(t)| = 0 , ∀t ∈ [0; 1]
⇔ x(t) = y(t), ∀t ∈ [0; 1]
⇔ x = y.
Ta lai

|x(t) − y(t)| = |y(t) − x(t)| , ∀x, y ∈ C[0;1], ∀t ∈
Hay

[0; 1] . d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[0;1].

Cuoi cùng vói moi x, y, z ∈ C[0;1] ta có:
|x(t) − z(t)| = |x(t) − y(t) + y(t) − z(t)|
≤ |x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)| , ∀t ∈ [0; 1] .

(1.8)


Suy ra
1
¸ |x(t) − z(t)| dt


1

|y(t) − z(t)| dt.

1

¸

¸

|x(t) − y(t)| dt +

0

Hay

0

0

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
V¾y d là m®t metric trên C[0;1].
Ta chúng minh C[0;1] là không gian metric không đay đn vói metric
đưoc xác đ%nh bói (1.8).
Th¾t v¾y, vói n ≥ 3 xét dãy hàm {xn} ⊂ C[0;1] như sau:

1
neu 0 ≤ t < 1,

21 1
n
xn(t) = −nt + + 1 neu
≤t≤ + ,
1

10

2

neu

2
1
2



2 n
< t ≤ 1.

+
n

Khi đó, vói moi so tn nhiên m, n ≥ 3 ta có:
1
¸
d(xm, xn) = |xm(t) − xn(t)| dt.
0

Neu m ≥ n
thì

1

|xm(t) − xn(t)| dt
¸
+
d(xm, xn) =
2

0
2

1+ 1
n

+

1

¸1

1

1

2
m
1+ 1
2
m

¸

1

1 1

1
2

|xm(t) − xn(t)| dt

|xm(t) − xn(t)| dt +
1

.

¸ |xm(t) − xn(t)| dt

¸

+

=
+

1 +1
2
m

.2

1. .
..
|m − n| t −
dt
.
.
.
2.

+

1

2
n
1+ 1
2
n

¸

.nt

.
.

1
2

1

+

m



n
2

− 1. dt.
.
.


Vói t


;

+
2 2
m

ta
có:

1
t−

2
0.




Suy ra
.

1
.
Vói t


2

1 1
+

1

; + .
m 2 n

Ta có

.nt


Do đó:
2

.
.1.
1
=t− .
.
2
2

nt


n

n

.
.

Suy ra

.
..t

.

2
+

¸
1

n

− 1. = −nt 2

1+ 1
m

d(xm, xn) =

− 1 ≤ 0.

2
..

¸

1+ 1
2
n

1

(m − n)(t −
.

2

2
2

1

2

n

(−nt
+

)dt +

1+ 1
m

.
= 1(m − n)(t2 − ..
.1
2
t)
.
.
2
1
1 1
=

.
2 n m

+ 1.

+

2

+ 1)dt

1
m

. n
n
+ −2 t2 + ( +
1)t 2

2

Neu m ≤ n thì bang cách làm tương tn
. ta đưoc:
.
1
1 1
d(xm, xn) =
2
Do đó

m

.



n

.

.

1 1 1
. − . ∀m, n ≥ 3.
2.m n.
.
.
..
. .
li
1
1 1 .. = 0.
m d(x , x ) =
.

m
n
.
lim
.
m,n→∞
m,n→∞ 2
m n .
d(xm, xn)
=

Suy ra

. 1 +1
2
n
. ..
..1 1

Vì v¾y {xn} là dãy Cauchy trong C[0;1].

+

m


Tuy nhiên dãy này không có giói han thu®c C[0;1].
Th¾t v¾y, giá sú có x0 ∈ C[0;1] sao cho:
lim xn = x0.
n→∞


Hay
d(xn , x0) =
Ta có

¸1
0

|x(t) − x0(t)| dt → 0 khi n → ∞.
¸1

d(xn , x0 )
=

|x(t) − x0(t)| dt
0

¸

1

1
2
n

2

=

|1 − x0(t)| dt

+1

.
¸ . nt + n
+ 1 − x0(t)
.−
.
dt
2
1
2

+
0

¸1
+

|x0 (t)| dt −→ 0 khi n → ∞.
1
2

Suy ra

1

+

n

x0(t)
=



1
1 neu 0 ≤ t < ,
2
1


Ta
thay:

neu

0
2

≤ t ≤ 1.

lim x0(t) = 1,
1

(1.9)

lim x0(t) = 0.

(1.10)

t→(


2)

t→( 12 )+

Tù (1.9) và (1.10) suy ra x0(t) không liên tuc tai t =
2

1

. Do đó

x0(t) không thu®c C[0;1]. V¾y C[0;1] là không gian metric không
đay đn vói metric xác đ%nh bói (1.8).

1.3

Đ%nh lý điem bat đ®ng Banach

Đ%nh nghĩa 1.3.1. [2] Ánh xa T tù không gian metric (X, d) vào chính
nó đưoc goi là ánh xa co, neu ton tai so k ∈ [0; 1) sao cho


d(T x, T y) ≤ kd(x, y), vói moi x, y ∈ X.


Đ%nh lý 1.3.1. [2](Nguyên lý ánh xa co Banach) Cho (X, d) là m®t
không gian metric đay đú và T là m®t ánh xa co trong X. Khi đó, ton
tai duy nhat x∗ ∈ X mà T x∗ = x∗. Ngoài ra vói moi x0 ∈ X ta

T n x0 → x∗ khi n → ∞.
Chúng minh. Lay m®t điem bat kỳ x0 ∈ X và l¾p dãy xn+1 = T xn
vói
n = 0, 1, 2, ....
Theo đ%nh nghĩa ánh xa co ta có:
d(x1, x2) = d(T x0 , T x1 ) ≤ kd(x0, x1),
d(x2, x3) = d(T x1 , T x2 ) ≤ kd(x1, x2) ≤ k2d(x0, x1),
d(x3, x4) = d(T x2 , T x3 ) ≤ kd(x2, x3) ≤ k2d(x1, x2) ≤ k3d(x0, x1),
.....................................................................................................,
n−1

d(xn−1, xn) = d(T xn−2, T xn−1 ) ≤ kd(xn−2, xn−1) ≤ ...
≤k
d(xn, xn+1) = d(T xn−1, T xn ) ≤ kd(xn−1, xn)
≤k

n

d(x0, x1),

d(x0, x1).

Tù đó suy ra d(xn, xn+1) ≤ knd(x0,
x1). Lay m ≥ n, ta có
d(xn, xm) ≤ d(xn, xn+1) + ... + d(xm−1, xm)
≤ (kn + kn+1 + ... + km−1)d(x0, x1)
≤ kn(1 + k + ... + km−n−1)d(x0, x1)

Vì k ∈ [0; 1),
nên

n
≤ k d(x0, x1).
1−k

lim k n = 0.

n→∞

Do đó ta có:
lim
n→∞

d(xm, xn) = 0.

V¾y dãy {xn} là dãy Cauchy. X là không gian metric đay đn nên ta có:
lim

n→∞


xn = x∗ ∈ X.


Vói moi n ta có
0 ≤ d(x∗, T x∗ ) ≤ d(x∗, xn) + d(xn, T x∗ )
= d(x∗, xn) + d(T xn−1 , T x∗ )
≤ d(x∗, xn) + kd(xn−1, x∗).
Cho n → ∞ ta đưoc d(x∗, T x∗ ) = 0, túc là T x∗ = x∗. V¾y x∗ là
điem bat đ®ng cna ánh xa T trên X.
Bây giò ta chúng minh tính duy nhat cna điem bat đ®ng.
Giá sú neu còn có y∗ ∈ X mà T y ∗ = y∗ thì ta có
d(x∗, y∗) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗, y∗).
Vì k < 1 nên d(x∗, y∗ ) = 0 do đó x∗ = y∗.
V¾y điem bat đ®ng cna ánh xa T là duy nhat.

Ví dn 1.3.5. Chúng minh phương trình.
x + asinx = π, a là tham so thoá mãn, 0 < a < 1,
có nghi¾m duy nhat .
Th¾t v¾y, phương trình đã cho tương đương vói
x = π − asinx.
Đ¾t y = Tx = π − asinx, ta có ánh xa T : R1 →
R1. Trưóc het ta đi chúng minh bat đang thúc:
sint < t. Xét hàm so f (t) = sint − t.
Ta có
f r(t) = cost − 1 ≤ 0 vói moi t.
Do đó f (t) là hàm ngh%ch bien nên ta có:
Vói moi t > 0 thì f (t) < f (0) = 0.

(1.11)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×