Tải bản đầy đủ

Các định lý về điểm bất động xấp xỉ trong không gian định chuẩn xác suất

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà
Đúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh
nghi¾m quý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn quan
tâm, đ®ng viên, khích l¾ và t¾n tình hưóng dan đe tác giá vươn lên trong
hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n
văn. Tác giá xin bày tó lòng kính trong, biet ơn chân thành và sâu sac
nhat đen thay.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giám hi¾u
Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các quý thay
cô trong nhà trưòng và các quý thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành
Toán Giái tích đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot
đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng
viên và tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn
thành bán lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Thanh Hái


2

LèI CAM ĐOAN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong.
Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tác giá đã
sú dung và ke thùa nhung thành quá cna các nhà khoa hoc vói sn trân
trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2012
Tác giá

Nguyen Th% Thanh Hái


Mnc lnc

Má đau

1

1

5

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian đ%nh chuan................................................................. 16
1.3. Không gian Banach.................................................................... 23
2

Không gian đ%nh chuan xác suat


26

2.1. Không gian metric xác suat....................................................... 26
2.2. Không gian metric xác suat Menger..........................................33
2.3. Không gian đ%nh chuan xác suat..............................................37
3

Các đ%nh lý ve điem bat đ®ng xap xí trong không gian đ
%nh chuan xác suat
3.1. Điem bat đ®ng xap xí trong không gian đ%nh chuan xác

41


suat...........................................................................................41
3.2. Điem bat đ®ng xap xí trong không gian metric xác suat
Menger........................................................................................ 44
Ket lu¾n

49

Tài li¾u tham kháo

50


Mé ĐAU

Cho M là m®t t¾p hop nào đó, ánh xa T : M → M là ánh xa đi
tù t¾p M vào chính nó. Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx =
x đưoc goi là điem bat đ®ng cna ánh xa T trên t¾p M .
Lý thuyet điem bat đ®ng đã và đang phát trien gan lien vói tên tuoi
cna các nhà toán hoc lón trên the giói như: Banach, Brouwer, Schauder,
Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, . . .
Tuy nhiên, vói nhieu bài toán thnc te đieu ki¾n cna các đ%nh lý
điem bat đ®ng đoi vói ánh xa T có the quá ch¾t đe ta có Tx = x .
Khi đó vói đieu ki¾n khác ta có Tx ≈ x thì x đưoc goi là điem bat
đ®ng xap xí cna ánh xa T . Chang han trong không gian metric (X, d),
ánh xa T : X → X, vói ε > 0 ta có d(T x, x) < ε thì x là điem bat
đ®ng xap xí cna ánh xa T trên X. Hay x còn đưoc goi là ε−điem bat
đ®ng cna ánh xa T .
Vi¾c nghiên cúu ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng xap xí có ý
nghĩa rat lón cá ve lý thuyet và úng dung nên đã thu hút đưoc nhieu
nhà toán hoc quan tâm.
Năm 1942 Menger đã đưa ra khái ni¾m metric xác suat. Đó là
sn mó r®ng khái ni¾m metric thông thưòng: thay cho vi¾c xét khoáng
cách d(x, y), ngưòi ta xét hàm phân bo Fx,y(t) bieu dien xác suat
đe d(x, y) < t, vói t là m®t so thnc. Khái ni¾m này đã thu hút sn
quan


6

tâm cna nhieu nhà toán hoc, đ¾c bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dnng
thành lý thuyet ve không gian metric xác suat, viet thành sách chuyên
kháo xuat bán năm 1983.
Sau đó đã xuat hi¾n các khái ni¾m không gian đ%nh chuan xác
suat, không gian Banach xác suat,...
Các ket quá ve điem bat đ®ng, điem bat đ®ng xap xí đã đưoc
nhieu tác giá mó r®ng sang lóp các không gian này. Gan đây m®t ket
quá mói ve điem bat đ®ng xap xí đưoc hai tác giá ngưòi Malaysia
công bo trong “ Proceedings of the 2nd IMT-GT Regional
Conference on Mathematics, Statistics and Applications.
University Sains Malaysia, Penang, June 13-15, 2006 ”.
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, đưoc sn giúp đõ
và hưóng dan t¾n tình cna TS. Hà ĐÚc Vưang, tôi manh dan chon
đe tài nghiên cúu:
“CÁC бNH LÝ VE ĐIEM BAT Đ®NG XAP XÍ
TRONG KHÔNG GIAN бNH CHUAN XÁC SUAT. ”
Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương n®i dung và m®t danh muc tài
li¾u tham kháo.
Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve không gian metric,
không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan và không gian Banach.
"Nguyên lý ánh xa co Banach (1922)" là ket quá kinh đien cna "Lý
thuyet điem bat đ®ng" ket quá đó đưoc trình bày trong Đ%nh lý 1.1.1.


Phan cuoi cna chương trình bày ve không gian Banach.
Chương 2 trình bày ve không gian đ%nh chuan xác suat. Phan đau
cna chương, trình bày các khái ni¾m ve hàm phân bo, chuan tam giác.
Sau đó trình bày đ%nh nghĩa ve không gian metric xác suat, không gian
metric xác suat Menger và không gian đ%nh chuan xác suat.
Phan cuoi cna chương trình bày khái ni¾m đưòng kính xác suat,
bán kính xác suat cna m®t t¾p khác rong.
Chương 3 trình bày ve khái ni¾m điem bat đ®ng xap xí trong
không gian metric xác suat, không gian đ%nh chuan xác suat và ket quá
ve điem bat đ®ng xap xí.
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà
Đúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh
nghi¾m quý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn quan
tâm, đ®ng viên, khích l¾ và t¾n tình hưóng dan đe tác giá vươn lên trong
hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n
văn. Tác giá xin bày tó lòng kính trong, biet ơn chân thành và sâu sac
nhat đen thay.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban Giám hi¾u
Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các quý thay
cô trong nhà trưòng và các quý thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành
Toán Giái tích đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot


đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng
viên và tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn
thành bán lu¾n văn này.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve
không gian metric, không gian metric đay đn, không gian đ%nh chuan và
không gian Banach.

1.1.

Không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là m®t t¾p hop X ƒ= ∅
cùng vói m®t ánh xa d tù X × X vào t¾p hop so thnc R, thoá mãn
các đieu ki¾n sau:
1. d (x, y) ≥ 0, d (x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;
2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.


Ánh xa d goi là metric trên X.
So d(x, y) goi là khoáng cách giua hai phan tú x và y.
Các phan tú cúa X goi là các điem.
Không gian metric đưoc kí hi¾u là (X, d).

Ví dn 1.1.1.
Trong t¾p C[a,b] các hàm so thnc liên tnc trên đoan [a, b], ta đ¾t
d (x, y) = max |x (t) − y (t)|

(1.1.1)

a≤t≤b

vói moi x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b].
Khi đó (C[a,b], d) là m®t không gian metric.
CHÚNG MINH:
Vì ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] nên x(t) − y(t) là hàm
liên tuc ∀t ∈ [a, b], do đó ton tai max |x (t) − y (t)| hay d(x, y)
xác đ%nh

a≤t≤b

∀x, y ∈ C[a,b] .
Ta kiem tra các đieu ki¾n ve metric.
1. Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b] , ta có:
| x(t) − y(t) |≥ 0, ∀t ∈ [a, b].
Ta suy ra:

max |x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b].
a≤t≤b

V¾y d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ C[a,b].
Hien nhiên d(x, y) = 0 hay max |x (t) − y (t)| = 0.
a≤t≤b

Do đó ta có:

| x(t) − y(t) |= 0, ∀t ∈ [a, b].


V¾y x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.
2. Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b]:
| x(t) − y(t) |=| y(t) − x(t) |, ∀t ∈ [a, b].
Ta suy ra:
max |x (t) − y (t)| = max |y (t) − x (t)| , ∀t ∈ [a, b].
a≤t≤b

a≤t≤b

Hay d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C[a,b].
3. Vói ∀x = x(t) ∈ C[a,b], ∀y = y(t) ∈ C[a,b], ∀z = z(t) ∈ C[a,b], ta có:
| x(t) − y(t) |=| x(t) − z(t) + z(t) − y(t) |
≤| x(t) − z(t) | + | z(t) − y(t) |
≤ max | x(t) − z(t) | + max | z(t) − y(t) | .
[a,b]

[a,b]

Ta suy ra:
max | x(t) − y(t) |≤ max | x(t) − z(t) | + max | z(t) − y(t) |
.
[a,b]

[a,b]

[a,b]

Hay d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C[a,b].
Do đó công thúc (1.1.1) xác đ%nh m®t metric trên C[a,b] .
V¾y (C[a,b], d) là m®t không gian metric.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy {xn} ⊂ X,
điem x0 ∈ X. Dãy {xn} goi là h®i tn tói điem x0 khi n → ∞ neu vói
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, vói ∀n ≥ n0 thì d(xn, x0) < ε.
Hay
lim

d(xn, x0) = 0.
n→∞

Kí hi¾u:
lim
n→∞

xn = x0 hay

xn → x0, n → ∞.


Điem x0 đưoc goi là giói han cúa dãy {xn} trong X.

Đ%nh nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy {xn} ⊂ X
đưoc goi là dãy Cauchy, neu vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0 thì
d(xn , xm ) < ε.
Ha
y

lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Ví dn 1.1.2.
Cho không gian metric (C[0,1], d) vói metric d đưoc đ%nh nghĩa như sau:
1

¸
d(x, y) =

| x(t) − y(t) | dt.

0

Xét dãy {xn} ⊂ C[0,1] như sau:


0

xn(t) = nt − n
2

1


khi
kh
i
khi

0
1



t <

1
2
1

1

≤t≤ +
n
2
1 < t ≤ 1.
+
2 n

2
1

Khi đó {xn} là dãy Cauchy trong không gian (C[0,1], d).
Th¾t v¾y:
Vói moi m > n ta có:
¸1
d(xn , xm ) = | xn(t) − xm(t) | dt
0


1

=

1
2
n

+1

¸

¸2

| xn(t) − xm (t) |

1

dt 0+

1

| xn(t) − xm(t) |
| xn(t) − xm (t) | dt
¸ dt
+1 1
2

1

=

1
2

¸2

+1

2

| 0 − 0 | dt

¸
=


1

1

+1

n

¸ | xn(t) − xm(t) | dt + | 1 − 1 | dt
¸
1
n

+0
1
2
n

+

2

2

1

+

n

| xn(t) − xm(t) | dt.

1
2

| xn(t) − xm(t) |≤ 1, ∀n, m ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1].

Nên ta có
1
2
n

Suy ra :

+1

1
2
n

+1

¸ | xn(t) − xm(t) | dt ¸
1
1dt =

1
1
.n
2

2

0 ≤ d(xn , xm ) 1.

n
Cho n → ∞ ta đưoc d(xn, xm) → 0.
V¾y {xn} là m®t dãy Cauchy trong (C[0,1], d).

Đ%nh nghĩa 1.1.4. [1]. Không gian metric (X, d) đưoc goi là không
gian metric đay đú, neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tn tói m®t
điem thu®c X.

Ví dn 1.1.3.
Không gian C[a,b] là không gian metric đay đú.
CHÚNG MINH:


Giá sú {xn(t)} là dãy Cauchy tuỳ ý trong không gian C[a,b]. Theo đ%nh
nghĩa dãy Cauchy vói ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀n, m ≥ n0 :
d(x(n), x(m)) = max | xn(t) − xm(t) |< ε.
a≤t≤b

⇒| xn(t) − xm(t) |< ε, ∀n, m ≥ n0, ∀t ∈ [a, b].
Các bat đang thúc trên chúng tó vói moi t co đ%nh thu®c đoan [a, b]
thì dãy {xn(t)} là dãy so thnc cơ bán, nên phái ton tai giói han
lim
n→∞

xn(t) = x(t), t ∈ [a, b].

M¾t khác, vói ε > 0 cho trưóc, ton tai Nε sao cho ∀n, m ≥ Nε, ∀t ∈ [a,
b]
ta có
| xn(t) − xm(t) |≤ ε.
Cho m → ∞ ta đưoc vói ∀n ≥ Nε, ∀t ∈ [a, b] :
| xn(t) − x(t) |≤ ε.
Túc là dãy {xn(t)} h®i tu đeu tói x(t), ∀t ∈ [a, b].
Do v¾y x(t) là liên tuc và x(t) ∈ C[a,b], đong thòi {xn(t)} h®i tu tói
x(t)
trong C[a,b] .
V¾y C[a,b] là không gian đay đn.

Ví dn 1.1.4.
Không gian

L
C[0,1
]

là không gian metric không đay đú.

CHÚNG MINH:

Trong không gian C L[0,1 ta xét dãy xn(t) như sau:
]



1

xn(t) = n


1
0 t <
1≤
2
2nt + 1 khi
1
1
≤t≤ +
khi



0


khi

2
1

2 2n
1 < t ≤ 1.
+
2 2n

Vói moi m > n ta có:
¸1
d(xn , xm ) = | xn(t) − xm(t) | dt
0

1

1 +
1
2
2n

¸

2

=

¸

| xn(t)−xm(t) |

1

1

1

dt+
0

2
1 +
1
2
2n

1

¸

2

=

¸

1

| 1 − 1 | dt

2

1

1

¸
=


+

2n

1

+

2

1

| 0 − 0 | dt

| xn(t) − xm(t) | dt +
¸

+0
1 +
1
2
2n

| xn(t)−xm(t) | dt

| xn(t)−xm(t) | dt+
¸

2n

2

| xn(t) − xm(t) | dt.

1
2

nên

| xn(t) − xm(t) |≤ 1, ∀n, m ∈ N∗, ∀t ∈ [0, 1],
1

1

1

+
2
2n

¸

1

+
2

| xn(t) − xm(t) | dt


1
2

2n

¸

1dt =

1

.
2n

1
2

Do đó
0 ≤ d(xn , xm ) 1 .

2n
Cho n → ∞ ta đưoc d(xn, xm) → 0.
V¾y nên {xn} là m®t dãy Cauchy .
Tuy nhiên dãy Cauchy này không h®i tu tói m®t điem thu®c C L[0,1 .
]


Th¾t v¾y :
L
Giá sú xn(t) h®i tu tói x(t) nào đó trong C[0,1
]

, túc là


lim

¸1

| xn(t) − x(t) | dt = 0.

n→∞ 0



1

¸ | xn(t) − x(t) | dt.
¸
¸
| xn(t) − x(t) | dt +
| xn(t) − x(t) | dt =
1
2

1

0

1
2

0

Vì the
lim

¸12

| xn(t) − x(t) | dt = 0,

n→∞ 0
1

lim ¸ | xn(t) − x(t) | dt = 0.
n→∞

1
2

Nhưng ta lai có:
lim

¸12

| xn(t) − 1 | dt = 0,

n→∞ 0
1

lim ¸ | xn(t) − 0 | dt = 0.
n→∞

Như v¾y
L
Trong C[0,
1
]

1
2

: hai hàm x(t) và 1 cùng là giói han cna xn(t).

2

Trong C L

[2 ,1]
1

: hai hàm x(t) và 0 cùng là giói han cna (t).
xn

Vì v¾y x(t) không thu®c C L . Do đó dãy {xn(t)} không có giói han nào
[0,1
trong C

L

[0,1
]

]

.

V¾y không gian C L

[0,1
]

là không gian metric không đay đn.

Đ%nh nghĩa 1.1.5. [1]. Cho không gian metric (X, d). Ánh xa T
tù không gian (X, d) vào chính nó goi là ánh xa co, neu ton tai so k ∈
[0, 1)


d(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X.

sao
cho

Đ%nh lý 1.1.1. [1]. Moi ánh xa T là ánh xa co tù không gian metric đay
đú (X, d) vào chính nó đeu có điem bat đ®ng duy nhat x∗, nghĩa là
ton tai x∗ ∈ X thoá mãn T x∗ = x∗.
Chúng minh.
Lay điem x0 bat kỳ, x0 ∈ X và l¾p dãy xn = T xn−1 , ∀n = 1, 2,
... . Vì T là ánh xa co nên ton tai hang so k ∈ [0, 1) thoá mãn
:
d(T x1 , T x0 ) ≤ kd(x1, x0).
Khi đó ta có :
d(x2, x1) = d(T x1 , T x0 ) ≤ kd(x1, x0) = kd(T x0 , x0).
d(x3, x2) = d(T x2 , T x1 ) ≤ kd(x2, x1) ≤ k2 d(T x0 , x0).
...............
d(xn+1, xn) = d(T xn , T xn−1 ) ≤ kd(xn, xn−1)
= kd(T xn−1 , T xn−2 )
≤k
= k 2 d(T xn ,
−2
Tx
... ... ...

n−
3

2

d(xn−1, xn−2)

)≤
k3d(x

n−
2

, xn−3)

= k n−1 d(T x1 , T x0 ) ≤ knd(x1, x0) = k n d(T x0 , x0), ∀n =
1, 2, ...
.


Tù đó suy ra vói ∀m, n ∈ N∗ ta có
m
.
d(xn+k, xn+k−1)
d(xn+m, xn)
k=1

m
.
≤ d(T x0 , x0)
kn+k−1
k=1

n

n+m

=k − k
d(T x0 , x0)
1− k
kn d(T x0 , x0).
d(xn+m, xn) = 0, ∀m ∈

1−k

Vì 0 k < 1 nên lim
kn = 0 , do đó N

lim
n→∞
n→∞

nghĩa là dãy {xn} là dãy Cauchy trong không gian metric đay đn (X,
d).
Tù đó ton tai lim
n→∞


Ta chúng minh x

xn = x∗ ∈ X.
là điem bat đ®ng cna ánh xa T trong X.

Ta có :
d(T x∗ , x∗) ≤ d(T x∗ , xn) + d(xn, x∗)
= d(T x∗ , T xn−1 ) + d(xn, x∗)
≤ kd(x∗, xn−1) + d(xn, x∗)
= kd(xn−1, x∗) + d(xn, x∗), ∀n = 1, 2, ...
Do
lim
n→∞

d(xn, x∗) = d(x

n−1, x ) = 0, (vì {xn(t)} là dãy Cauchy).
lim


n→∞


Nên ta suy ra d(T x , x ) = 0 hay T x∗ = x∗, nghĩa là x∗ là điem bat
đ®ng
cna ánh xa T.
Bây giò ta chúng minh x∗ là điem bat đ®ng duy nhat cna ánh xa T.
Giá sú ton tai điem y∗ ∈ X cũng là điem bat đ®ng cna ánh xa T.
The thì
d(x∗, y∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd(x∗, y∗).


Suy ra

Hay

d(x∗, y∗) − kd(x∗, y∗ ) ≤ 0.
(1 − k)d(x∗, y∗) ≤ 0.

Do k < 1
nên

d(x∗, y∗) = 0.

Suy ra x∗ = y∗.
Vì v¾y x∗ là điem bat đ®ng duy nhat cna ánh xa T.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.

Ví dn 1.1.5.
Chúng minh phương trình x + asinx − π = 0, vói a là tham so, a ∈
[0, 1)
có nghi¾m duy nhat.
CHÚNG MINH:
Viet lai phương trình dưói dang
x = π − asinx.
Đ¾t Tx = π − asinx, ta nh¾n đưoc ánh xa T tù không gian đay đn R
vào chính nó.
Ta chúng minh sint < t, ∀t > 0. Th¾t v¾y:
Xét hàm so f (t) = sint − t, ∀t ∈ R.
Ta có f r(t) = cost − 1 ≤ 0, ∀t ∈ R.
Do đó hàm so f (t) là hàm ngh%ch bien vói moi t ∈ R.


Suy ra f (t) < f (0), ∀t > 0.
Hay sint − t < 0, ∀t > 0.
V¾y sint < t, ∀t > 0.
Giá sú x > xr, khi đó ta có
| Tx − T xr |=| asinx − asinxr |
x + xr
= 2. | a | . |
cos
x − xr

2

x − xr
| . | sin

2

|

≤ 2.a. |

|
2r
= a. | x − x | .
Vì a ∈ [0, 1), suy ra T là ánh xa co. Hơn nua R là không gian metric
đay
đn nên theo Nguyên lý điem bat đ®ng Banach thì ánh xa T có điem bat
đ®ng duy nhat, nghĩa là phương trình đã cho có nghi¾m duy nhat.

1.2.

Không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.2.1. [1]. Cho X là không gian tuyen tính trên trưòng K
(thnc ho¾c phúc). M®t ánh xa " . " xác đ%nh trên X, có giá tr% thnc,
huu han đưoc goi là m®t chuan neu:
1. " x "≥ 0, ∀x ∈ X.
" x "= 0 ⇔ x = θ.
2. " λx "=| λ | . " x ", ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.
3. " x + y "≤" x " + " y ", ∀x, y ∈ X.


So " x " đưoc goi là chuan cúa vectơ x.

Đ%nh nghĩa 1.2.2. [1]. Cho X là không gian tuyen tính trên trưòng
K(thnc ho¾c phúc). Không gian X cùng vói chuan " . " xác đ%nh trên X
đưoc goi là không gian đ%nh chuan.
Kí hi¾u : Không gian đ%nh chuan (X, " . ").
Các phan tú thu®c X đưoc goi là các điem.

Ví dn 1.2.1.
Cho không gian tuyen tính phúc En = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈
C} và ánh xa

‚ ..
.
" . ": E → R, x −→" x "= n
,
n

k=1
n

Khi đó (E , " . ") là m®t không gian đ%nh chuan.
CHÚNG MINH:
Ta đi kiem tra các đieu ki¾n cna Đ%nh nghĩa 1.2.1.
1. Hien nhiên

Ta có


.
n
..
,
" xk "2 ≥ 0, ∀x ∈ En.
k=
1

‚..
. n
"
xkx""= 0 ⇔
,

" = 0.

k=1

Suy ra

n

.
k=1

" xk
"

2

= 0.

2

" xk " .
2


" xk "= 0, ∀k = 1, 2, ..., n.

Do đó

V¾y x = θ.
2. Vói moi x ∈ En, ∀λ ∈ K, ta có
.
.
n
" λx "=
" λxk "2
k=
1

2

= |λ| .
.

n

" xk "

k=
1

= |λ|. " x " .
n

3. ∀x, y ∈ E ta có
.
"x+y
"=

.n
k=
1

" xk + yk "2

.

"

n

.
=

.

(" xk

k=1

2

+ " yk " )
2

" xk "2

" yk " 2

n

n

.

+
.

k=1

k=
1

.


n

.
k=1

" xk " 2

.
+

n

.
k=
1

" yk "
2

=" x " + " y " .
Suy ra " . " là m®t chuan trên En.
V¾y (En, " . ") là m®t không gian đ%nh chuan.

Đ%nh lý 1.2.1. [1]. Moi không gian đ%nh chuan đeu là không gian
metric. Chúng minh.


Giá sú (X, " . ") là không gian đ%nh chuan.
Vói moi x, y ∈ X ta đ¾t


d(x, y) =" x − y " .
Khi đó d là m®t metric trên X.
Th¾t v¾y:
1.Theo Đ%nh nghĩa 1.2.1. ta có vói moi x, y ∈ X
" x − y "≥ 0.
d(x, y) ≥ 0.

Suy ra

Hơn nua
d(x, y) = 0.
" x − y "= 0.

Nên ta có

V¾y x = y.
2.∀x, y ∈ X ta cũng có
" x − y "=" y − x " .
Suy ra
d(x, y) = d(y, x).
3.∀x, y, z ∈ X theo Đ%nh nghĩa ve chuan ta có
" x + y "≤" x " + " y " .
Suy ra

d(x, y) =" x − y "=" x − z + z − y "


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×