Tải bản đầy đủ

Bổ đề S và ứng dụng

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

HÀ TH± DUYÊN

BO ĐE S VÀ ÚNG DUNG

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Hà N®i-2013


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
—————— x ——————

HÀ TH± DUYÊN

BO ĐE S VÀ ÚNG DUNG
Chuyên ngành: Toán Giái

tích Mã so: 60 46 01
02

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: PGS.TS Nguyen Năng
Tâm


LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói PGS.TS
Nguyen Năng Tâm, ngưòi đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¾n tình
hưóng dan tác giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đai
hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà
trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đã
tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên
và tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 07 năm 2013
Tác giá
Hà Th% Duyên


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Nguyen Năng Tâm.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 07 năm 2013
Tác giá
Hà Th% Duyên



5

Mnc lnc
Báng kí hi¾u và viet tat
Má đau

vii
ix

N®i dung

1

1

Kien thNc chuan b%

1

1.1

Không gian véc tơ Ơclit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Không gian các ma tr¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

T¾p loi và hàm loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2

1.3.1

T¾p loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.2

Hàm loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Bài toán toi ưu và hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Ket lu¾n chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Bo đe S

10

2.1

Bo đe S...............................................................................................10

2.2

M®t so chúng minh khác nhau cna bo đe S...............................13

2.3

2.2.1

Phương pháp co đien........................................................14

2.2.2

Phương pháp hi¾n đai..........................................................18

2.2.3

Phương pháp chúng minh thú ba..................................23

M®t so trưòng hop đ¾c bi¾t và phán ví du....................................26
2.3.1

M®t so trưòng hop đ¾c bi¾t...............................................26


6

2.3.2
2.4
3

M®t so ket quá tong quát................................................27

Ket lu¾n chương 2.......................................................................34

M®t so đ%nh lý luân phiên và Nng dnng cúa bo đe S

35

3.1

Phân tích on đ%nh h¾ đ®ng lnc......................................................35

3.2

H¾ cna hai bat đang thúc toàn phương.......................................37

3.3

3.4

3.2.1

H¾ toàn phương thuan nhat.............................................38

3.2.2

H¾ không thuan nhat.......................................................43

3.2.3

Đieu ki¾n can và đn cna toi ưu toàn cuc........................49

H¾ cna ba bat đang thúc toàn phương........................................52
3.3.1

H¾ toàn phương thuan nhat.............................................52

3.3.2

H¾ không thuan nhat.......................................................62

3.3.3

Đieu ki¾n toi ưu đoi vói bài toán mien tin c¾y . . .

65

H¾ cna huu han bat đang thúc toàn phương...............................69
3.4.1

Đieu ki¾n toi ưu cho quy hoach toàn phương tong
quát.................................................................................73

3.4.2
3.5

Úng dung vào bài toán CDT.........................................74

Ket lu¾n chương 3.......................................................................78

Ket lu¾n

79

Tài li¾u tham kháo

80


vii

Báng kí hi¾u và viet tat

R : T¾p hop các so thnc.
Rn : Không gian Euclide n chieu.
R+
nn

intR

+

: T¾p hop tat cá các véc tơ không âm cna Rn.
: Phan trong cna Rn+.

Y ⊂ X : Y là t¾p con cna X.
dim(V ) : So chieu cna không gian V .
(x, y) : Tích vô hưóng cna hai véc tơ x,
y. domf :

Mien xác đ%nh huu

hi¾u cna f. epif : Đo th% cna hàm f.
sup : C¾n trên đúng.
inf : C¾n dưói đúng.
Lαf : T¾p múc dưói cna f .
L (x, λ1, ..., λm) :Hàm Lagrange.
|λ| : Giá tr% tuy¾t đoi cna so thnc λ.
"x" : Chuan cna phan tú x.
Rn×n : T¾p các ma tr¾n cap n × n.


8

Sn : Không gian các ma tr¾n đoi xúng cap n × n.
S + : T¾p hop các ma tr¾n đoi xúng
n
núa xác đ%nh dương cap n ×
n.
In : Ma tr¾n đong nhat cap n × n.
P > 0 : P là ma tr¾n đoi xúng xác đ%nh dương.
P >0 : P là ma tr¾n đoi xúng núa xác đ%nh dương.
T rA : Vet cna ma tr¾n A.
A ∗ B : Vet cna ma tr¾n tích AB.
rankA : Hang cna ma tr¾n A.
x = (x1, x2, ..., xn) :Véc tơ trong không gian Rn.
x = (x1, x2, ..., xn) ≥ 0 : Các so xi ≥ 0, i = 1, ..., n.
T

u2:n : Kí hi¾u cho véc tơ (u2, ..., un) .
max : Giá tr% lón nhat.
min : Giá tr% nhó nhat.


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Bo đe S đưoc Yakubovich đưa ra trong [6], là m®t ket quá noi
tieng cna lý thuyet đieu khien, cho ta m®t đieu ki¾n tương đương vói tính
không âm cna m®t hàm toàn phương bat kì f (x) trên m®t mien D
xác đ%nh bói m®t bat phương trình toàn phương tùy ý g (x) ≤ 0 khi
đieu ki¾n Slater (ton tai x0 đe g .x0. < 0) đưoc thóa mãn. Cu the là:
Cho f, g : Rn → R là hai hàm toàn phương. Khi đó, neu ton tai x0 ∈
Rn sao cho g .x0. < 0 thì
[g (x) ≤ 0 ⇒ f (x) ≥ 0] ⇔ [∃µ ≥ 0, ∀x ∈ Rn : f (x) + µg (x) ≥
0] .
Bo đe S đưoc xem như m®t khái quát hóa nhung ket quá trưóc
đó cna Hestenes - McShane và Dines [3]. Sau đó Megretsky - Treil mó
r®ng ket quá cho không gian vô han chieu. Bo đe S có nhung h¾ quá hi¾u
lnc đáng ngac nhiên trong toi ưu hóa thô (robust optimization) và trong
lý thuyet đieu khien, vì nó cho phép thay the nhung bài toán toi ưu không
loi cu the bang nhung bài toán loi giái đưoc vói thòi gian đa thúc [7]. Ve
l%ch sú và nhung úng dung cna Bo đe S có the tìm thay trong bán tong
quan tuy¾t vòi cna Polik - Terlaky [5].
Bo đe S đưoc chúng minh lan đau tiên vào năm 1971. Tù đó đen
nay, Bo đe S đã đưoc chúng minh và mó r®ng theo nhieu cách khác nhau.
Cùng vói thòi gian, Bo đe S ngày càng tó ra là m®t công cu hi¾u quá, đưoc
sú dung r®ng rãi trong lý thuyet đieu khien, đ¾c bi¾t trong phân tích on


đ%nh nhung h¾ phi tuyen. Bo đe S cũng có nhung úng dung quan trong
trong Quy hoach toàn phương. Chính vì the, Bo đe S luôn giu đưoc sn
quan tâm trong dang phát bieu đep và đơn gián cna nó.
Nhieu tác giá trong và ngoài nưóc đã quan tâm nghiên cúu nhung
khía canh khác nhau cna Bo đe S (xem [5], [6] và nhung tài li¾u dan trong
đó).
Sau khi đưoc hoc nhung kien thúc ve Toán giái tích, vói mong
muon tìm hieu sâu hơn ve nhung kien thúc đã hoc, moi quan h¾ và úng
dung cna chúng, tôi đã chon đe tài nghiên cúu: " Bo đe S và úng dung".
Lu¾n văn bao gom ba chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%.
Chương 2: Bo đe S.
Chương 3: M®t so đ%nh lý luân phiên và úng dung cna bo đe S.
2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu ve Bo đe S và nhung úng dung cna nó.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu Bo đe S cùng m®t so úng dung cna nó vào lý thuyet
toi ưu.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
+ Đoi tưong: Bo đe S và úng dung vào nghiên cúu đieu ki¾n toi
ưu.
+ Pham vi: Trong không gian Ơclit.


5. Phương pháp nghiên cNu
Tong hop kien thúc thu th¾p đưoc qua nhung tài li¾u liên quan
đen đe tài, sú dung các phương pháp nghiên cúu cna giái tích hàm.
6. Giá thuyet khoa hoc
+ Nghiên cúu và làm rõ đưoc Bo đe S.
+ Tong hop, h¾ thong m®t so ket quá đã đưoc các nhà khoa hoc
nghiên cúu và công bo ve Bo đe S và úng dung.


12

Chương 1
Kien thNc chuan b%
Chương này trình bày nhung kien thúc cơ bán, đưoc áp dung cho
chương sau nên các ket quá không chúng minh. Các ket quá này đưoc
lay tù [2].

1.1

Không gian véc tơ Ơclit

Dưói đây là các đ%nh nghĩa và tính chat ve không gian véc tơ Ơclit và
các kien thúc có liên quan như tích vô hưóng, góc giua hai véc tơ,. . .
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho V là không gian véc tơ thnc, tích vô hưóng cna
hai véc tơ x, y là m®t so thnc , ký hi¾u (x, y) thóa mãn các tính chat sau:
1. (x, y) = (y, x)

∀x, y ∈ V

2. (λx, y) = λ (x, y)
∀x, y ∈ V
.
.
.
.
.
.
1
2
1
2
3. x + x , y = x , y + x , y ∀x1, x2, y ∈ V
4. (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = 0

∀x, y ∈ V

Không gian véc tơ thnc huu han chieu V trên đó xác đ%nh m®t tích vô
hưóng goi là không gian Ơclit, ký hi¾u là E.


Đ%nh nghĩa 1.1.2. (Đ® dài cna m®t véc tơ) Giá sú E là m®t không gian
Ơclit. Khi đó chuan hay đ® dài cna m®t véc tơ x ∈ E là đai lưong
,
"x" := ( x, x).
Nh¾n xét 1.1.1. Trong Rn ta đ%nh nghĩa tích vô hưóng như sau:
n

(x, y) =

.

xiyi, x = (x1, ..., xn), y = (y1, ..., yn).

i=1

Đ%nh nghĩa 1.1.3. (Góc giua hai véc tơ) Giá sú E là m®t không gian
Euclid. Vói moi véc tơ x, y ƒ= 0 cna E, ta goi góc giua x và y là góc α
vói 0 ≤ α ≤ π sao cho

(x, y)
cosα =
.
"x" . "y"

Khái ni¾m trên phù hop vói khái ni¾m góc thông thưòng trong hình
hoc.
Theo đ%nh nghĩa trên hai véc tơ x, y vuông góc vói nhau khi và chí khi
(x, y) = 0.
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Giá sú S1, S2 là hai t¾p hop các véc tơ trong
E. Ta goi S1 trnc giao (vuông góc) vói S2 neu (x, y) = 0 vói moi
véc tơ x ∈ S1 , y ∈ S2 .

1.2

Không gian các ma tr¾n

Phan này trình bày ve các ma tr¾n thưòng g¾p và các phép toán trên
ma tr¾n.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho m và n là hai so tn nhiên. M®t m × n ma
tr¾n là m®t báng so hình chu nh¾t gom m dòng và n c®t. Kí hi¾u (aij
), trong đó aij ký hi¾u so ó dòng i c®t j (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n). Các
so aij đưoc goi là các phan tú cna ma tr¾n.


Đ%nh nghĩa 1.2.2. (Ma tr¾n vuông) M®t ma tr¾n vuông A = (aij ) là
ma tr¾n có so dòng bang so c®t.
So dòng cna ma tr¾n vuông goi là cap cna ma tr¾n đó.
H¾ các phan tú aii cna A có cùng chí so dòng và c®t đưoc goi là đưòng
chéo chính cna A.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. Ma tr¾n vuông I = (aij ) cap n mà aij = 1 neu i
= j, và aij = 0 neu i ƒ= j đưoc goi là ma tr¾n đơn v% cap n.
Sau đây ta chí xét các ma tr¾n có phan tú trong m®t trưòng so thnc
R.
Đ%nh nghĩa 1.2.4. Cho A = (aij ), B = (bij ) và c ∈ R ta có the đ
%nh
nghĩa phép c®ng A + B và phép nhân vô hưóng cA như sau:
A + B = (aij + bij
) , cA = (caij ).
Ta kí hi¾u L(m, n) là t¾p hop tat cá các m × n ma tr¾n.
M¾nh đe 1.2.1. L(m, n) là m®t không gian véctơ vói
dim L(m, n) = mn.
Chúng minh. Ta có the coi các m × n ma tr¾n như là các b® gom m × n
phan tú cna R. Khi đó L(m, n) chính là không gian véc tơ Rmn.
Đ%nh nghĩa 1.2.5. Giá sú A = (aij ) là m®t m × n ma tr¾n và B =
(bjk)
là m®t n × p ma tr¾n. Ma tr¾n tích AB là m × p ma tr¾n (dik) vói
dik = ai1b1k + ai2b2k + ... + ainbnk.
Phép nhân hai ma tr¾n chí có the thnc hi¾n đưoc khi ma tr¾n thú nhat
có so c®t bang so dòng cna ma tr¾n thú hai.


Đ%nh nghĩa 1.2.6. Ma tr¾n nh¾n đưoc tù m®t ma tr¾n A bang vi¾c đoi
các dòng thành các c®t đưoc goi là ma tr¾n chuyen v% cna A, kí hi¾u là
AT . Neu A = (aij ) là m®t m × n ma tr¾n thì AT = (ar ji) là m®t n
× m ma
tr¾n vói ar ji = aij (i = 1, ..., m, j = 1, ..., n).
Nh¾n xét 1.2.2. Phép chuyen v% có nhung tính chat sau:
.
.T
AT
= A,
T
(A + B) = AT + BT ,
.
.
T
(cA) = c AT .
Các tính chat này cho thay ánh xa A → AT là m®t đang cau giua hai
không gian véc tơ L(m, n) và L(n, m).
Đ%nh nghĩa 1.2.7. Cho A là m®t ma tr¾n vuông cap n. M®t ma tr¾n
vuông B cap n đưoc goi là ma tr¾n ngh%ch đáo cna A neu
AB = BA = I.
Neu A có ma tr¾n ngh%ch đáo thì A đưoc goi là khá ngh%ch.
Neu A là khá ngh%ch thì A có duy nhat m®t ma tr¾n ngh%ch đáo.
Đ%nh nghĩa 1.2.8. M®t ma tr¾n vuông A = (aij ) đưoc goi là ma
tr¾n đưòng chéo neu aij = 0 vói moi i ƒ= j, có nghĩa là tat cá các phan
tú nam ngoài đưòng chéo chính cna A đeu bang 0.
Đ%nh nghĩa 1.2.9. M®t ma tr¾n vuông A = (aij ) đưoc goi là ma
tr¾n đoi xúng neu aij = aji vói moi chí so i, j. Đieu này có nghĩa là
AT = A.
Ma tr¾n A đưoc goi là m®t ma tr¾n đoi xúng l¾ch neu aij = −aji
vói moi chí so i, j. Đieu này có nghĩa là
AT = −A.


Đ%nh nghĩa 1.2.10. Cho A, B là hai ma tr¾n vuông cap n. Khi đó tích
vô hưóng cna hai ma tr¾n A và B đưoc xác đ%nh bói
A ∗ B = T r(AB) =i=
1
.n

.n

j=
1

aij bji,

trong đó aij là phan tú (i, j) cna A, bji là phan tú (j, i) cna B.
Nh¾n xét 1.2.3. Cho A, B là hai ma tr¾n vuông cap n. Khi đó ta có
m®t so tính chat :
1. A ∗ B = T r(AB) = T r(BA).
.
.
2. A ∗ xxT = xT Ax vói moi x ∈ Rn và a ∈ Sn .
3. Neu A và B là hai ma tr¾n núa xác đ%nh dương thì A ∗ B ≥ 0.

1.3

T¾p loi và hàm loi

1.3.1

T¾p loi

Đ%nh nghĩa 1.3.1. T¾p hop C ⊂ X đưoc goi là loi neu vói moi c¾p điem
x, y ∈ C ta có (x, y) ⊂ C. Trong đó (x, y) = {λx + (1 − λ) y |λ ∈
[0, 1]}.
Nh¾n xét 1.3.1. Giao cna m®t ho các t¾p loi là loi.
Neu A và B là các t¾p loi và α ∈ R, thì các t¾p A + B, αA cũng loi.
Đ%nh nghĩa 1.3.2. (Nón loi) M®t t¾p K ⊂ X đưoc goi là nón neu moi
điem k ∈ K và λ > 0 ta có λk ∈ K. Hơn nua neu K là t¾p loi thì nó
se
đưoc goi là nón loi. M®t to hop tuyen tính

.

m
i=
1

λiai se đưoc goi là m®t to

hop dương neu λi ≥ 0 vói moi i là to hop dương không tam thưòng neu
ton tai ít nhat m®t h¾ so λi dương ch¾t.
Nh¾n xét 1.3.2. Giao cna m®t ho bat kỳ các nón loi là m®t nón loi.


Đ%nh lí 1.3.3. (Đ%nh lý Caratheodory) Giá sú dim X = n < ∞và A ⊂
X.
Lúc đó, vói moi X ∈ coA, x là m®t to hop loi cúa m®t ho không
quá n + 1 véc tơ thu®c A. Túc là ton tai h¾ {a0, a1, ..., am} ⊂ A và
các so λ0, ..., λm ≥ 0, vói m ≤ n, sao cho
.

m

λi = 1 và x =

0

m.
0

λi a i .

Đ%nh lí 1.3.4. (Đ%nh lý tách t¾p loi) Cho A và B là hai t¾p con cúa
không gian véc tơ X. M®t phiem hàm tuyen tính f ∈ X∗ | {0} đưoc goi
là tách A
và B neu
f (a) ≤ f (b) (ho¾c f (a) ≥ f (b)); a ∈ A, b ∈ B.
Đieu này tương đương vói ton tai m®t so α ∈ R sao cho
f (a) ≤ α ≤ f (b) ∀a ∈ A, b ∈
B. Lúc đó, ta nói siêu phang
H (f ; α) = f −1 (α) = {x ∈ X| f (x) = α},
tách A và B. Trưòng hop B là t¾p m®t điem B = {x0}, ta nói đơn
gián H (f ; α) tách A và x0. Rõ ràng siêu phang tách hai t¾p, neu có
là không duy nhat.
Đ%nh lí 1.3.5. (Đ%nh lý tách cơ bán) Cho A và B là hai t¾p loi khác
rong, coreA ƒ= ∅ và A ∩ B = ∅. Lúc đó ton tai siêu phang tách A và
B.
1.3.2

Hàm loi

Đ%nh nghĩa 1.3.3. Hàm f : X → R đưoc goi là thuan nhat dương neu
f (λx) = λf (x) ; ∀x ∈ X, ∀λ > 0.


Đ%nh nghĩa 1.3.4. (Hàm loi) Cho hàm f : X → R ∪ {−∞, ∞} thì
domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}
là mien xác đ%nh huu hi¾u và
epif := {(α, x) ∈ R × X/f (x) ™ α}
là đo th% (epigraph) cna f .
Hàm f đưoc goi là th¾t neu domf ƒ= ∅ và f (x) > −∞ vói moi x
∈ X. Hàm f là m®t hàm loi neu epif là m®t t¾p loi trong R ×
X.
M¾nh đe 1.3.6. Cho f : X → R loi khi và chs khi
f (λx1 + (1 − λ) x2) ™ λf (x1) + (1 − λ) f (x2) , ∀x1, x2 ∈ X,
λ ∈ [0, 1] .
Đ%nh lí sau đây đưa ra m®t so tính chat quan trong cna hàm loi đoi
vói bài toán cnc tr%.
Đ%nh lí 1.3.7. Chof : X → R là m®t hàm loi th¾t.
(i) Moi t¾p múc dưói
Lαf := {x ∈ X/f (x) ™ α}

(1.1)

là loi (∀α ∈
R).
(ii) Moi điem cnc tieu đ%a phương cúa f là m®t điem cnc tieu toàn cnc.
(iii) Moi điem dùng cúa f là m®t điem cnc tieu toàn cnc.

1.4

Bài toán toi ưu và hàm Lagrange

Đ%nh nghĩa 1.4.1. (Bài toán toi ưu) Bài toán toi ưu tong quát đưoc phát
bieu như sau:
min f (x) vói đieu ki¾n x ∈ D, (P 1)


ho¾c

max f (x)
(P 2)

vói đieu ki¾n x ∈ D,

trong đó D ⊆ Rn đưoc goi là t¾p nghi¾m chap nh¾n đưoc hay t¾p ràng
bu®c và f : D → R là hàm muc tiêu. Moi điem x ∈ D đưoc goi là m®t
nghi¾m chap nh¾n đưoc hay m®t phương án chap nh¾n đưoc ( goi tat là
m®t phương án). Điem x∗ ∈ D mà
f (x∗) ™ f (x) ∀x ∈ D
đưoc goi là nghi¾m toi ưu, ho¾c nghi¾m toi ưu toàn cuc, ho¾c nghi¾m
cnc tieu toàn cuc, ho¾c là nghi¾m cna bài toán (P1).Ngưòi ta còn goi
m®t nghi¾m toi ưu là m®t phương án toi ưu hay lòi giái cna bài toán đã
cho.
Điem x∗ ∈ D đưoc goi là nghi¾m cnc tieu toàn cuc ch¾t neu
f (x∗) < f (x) ∀x ∈ D và x ƒ= x∗.
Không phái bài toán (P1) nào cũng có nghi¾m cnc tieu toàn cuc neu bài
toán có nghi¾m cnc tieu toàn cuc thì cũng chưa chac có nghi¾m cnc tieu
toàn cuc ch¾t.
Giá tr% toi ưu (hay giá tr% cnc tieu) cna bài toán (P1) đưoc kí hi¾u là
min f (x) ho¾c min {f (x) |x ∈ D} .
x∈D

Neu bài toán (P1) có nghi¾m toi ưu là x∗ thì
f (x∗) = min {f (x) |x ∈ D} .
Ta kí hi¾u Arg min {f (x) |x ∈ D} là t¾p nghi¾m toi ưu cna bài
toán (P1). Neu bài toán chí có m®t nghi¾m toi ưu x∗ thì có the viet
x∗ = arg min {f (x) |x ∈ D}.
Tương tn đoi vói bài toán (P2), ta cũng có các khái ni¾m như trên.


Đ%nh nghĩa 1.4.2. (Hàm Lagrange) Cho C là t¾p khác rong trong Rn, fi :
C → R, bi ∈ R, i = 0, 1, ..., m là nhung hàm xác đ%nh trên C. Xét bài
toán toi ưu :
min {f0 (x) : x ∈ D} ,

(Q)

trong đó D = {x ∈ Rn : x ∈ C, fi (x) ™ bi, i = 1, ..., m} là mien ràng
bu®c cna bài toán.
Đe nghiên cúu đieu ki¾n toi ưu cna bài toán trên ngưòi ta quan tâm
đen hàm Lagrange
m

L (x, λ) := L (x, λ1, ..., λm) := f0 (x) +

.

λi (fi (x) − bi)

i=1

xác đ%nh trên C × Rm, trong đó b® so λ = (λ1, ..., λm) goi là các nhân
+

Lagrange.

1.5

Ket lu¾n chương 1

Trong chương này ta đã trình bày đ%nh nghĩa, m®t so tính chat cơ bán
cna không gian véc tơ Ơclit, không gian các ma tr¾n, t¾p loi và hàm loi,
bài toán toi ưu và hàm Lagrange. Chương tiep theo ta se trình bày ve bo
đe S, các cách chúng minh bo đe S.


Chương 2
Bo đe S
Bo đe S là m®t đe tài hay và có nhieu moi liên h¾ giua các lĩnh vnc
khác nhau trong toán hoc. Hi¾n nay, bo đe S van đưoc rat nhieu nhà toán
hoc say mê nghiên cúu. Chương này trình bày bo đe S và các cách chúng
minh bo đe S: như phương pháp co đien, hi¾n đai, và phương pháp chúng
minh cơ bán. Sau đó đưa ra m®t so ket quá đ¾c bi¾t và phán ví du. Và
cuoi cùng ta se phát bieu ve bo đe S tong quát. Các ket quá này đưoc lay
tù [3], [5], [6].

2.1

Bo đe S

Đau tiên chúng ta se trình bày Bo đe Farkas, m®t đ%nh lý cơ bán cna
giái tích loi.
Bo đe 2.1.1. (Bo đe Farkas, [5]) Giá sú f, g1, ..., gm : Rn → R là
nhung hàm loi. Giá thiet rang đieu ki¾n Slater đúng vói g1, ..., gm nghĩa
là ton tai m®t x ∈ Rn sao cho gj (x) < 0, j = 1, ..., m. Khi đó hai
khang đ%nh sau tương đương:


(i) H
¾


 f (x) ≤ 0
gj (x) ≤ 0, j = 1,
..., m


x ∈ Rn

(2.1)

là vô
nghi¾m.
(ii) Ton tai λ1, ..., λm ≥ 0 sao cho
m

f (x) +

.

λi.gi(x) ≥ 0

(2.2)

i=1

vói moi x ∈
Rn.
Chúng minh. Theo đ%nh lý tách t¾p loi. Ta có t¾p hop
.
K = (p, q1, ..., qm) ∈ Rm+1 : ∃x ∈ Rn, f (x) < p, gi(x) ≤ qi, i =
.
1, ..., m là loi và h¾ (2.1) không giái đưoc khi và chí khi điem không
không nam trong t¾p hop loi này.
Giá sú (pr, q r 1 , ..., q r m) ∈ K, khi đó
∃xr ∈ Rn : f (xr) < pr, gi (xr) ≤ qi, i = 1, ..., m.
Suy ra t (p, ..., qm)+(1 − t) (pr, ..., qr m) = (tp + (1 − t) pr, ..., tqm +
(1 − t) qr m).
Bây giò ta đi chúng minh
(tp + (1 − t) pr , ..., tqm + (1 − t)
qr m) ∈ K
nghĩa là ton tai xt ∈ Rn sao cho
f (xt) < tp + (1 − t) qr; gi (xt) ≤ tqi + (1 − q) qr , i = 1, ...,
i
m, ∀x ∈ Rn.
Th¾t v¾y vói xt = tx + (1 − t) xr ta có
f (tx + (1 − t) xr) ≤ tf (x) + (1 − t) f (xr) < tp + (1 −
t) pr,


g (tx + (1 − t) xr) ≤ tg (x) + (1 − t) g (xr) < tq1 + (1 − t)
qr1...
V¾y K là t¾p loi.
Giá sú h¾ (i) là không giái đưoc thì


.







.





L = a = (p , q , ..., q. ) p < 0, q < 0, ∀j = 1, ..., m
1

1

m

1

.

j

giao vói K bang rong. Theo đ%nh lý tách t¾p loi thì K và L đưoc tách bói
m®t siêu phang. Suy ra ton tai véc tơ t = (t0,, t1, ..., tm) (t ƒ= 0) thóa
mãn:
0 ≤ (t, a) = t0,p + t1q1 + ... + tmvm, ∀a ∈ K,
0 ≥ (t, a∗) = t0p∗ + t1q∗ + ... + tmq∗ , ∀a∗ ∈ L.
1

1

m

Giá sú ton tai m®t ti, chon a∗ = (0, ..., −ε, 0, ..., 0), thì ti (−θ) ≤ 0,
mâu
thuan. Suy ra ti ≥ 0, ∀i = 1, ...,
m. Vói θ > 0 bat kì ta có
0 ≤ λ0 [f (x) + θ] + ... + λm [gm (x) + θ]
Suy ra 0 ≤ t0f (x) + ... + tmgm (x) , ∀x ∈ Rn.
Trưòng hop tm
0 = 0 không thóa mãn đieu ki¾n Slater. Suy ra t0 > 0.
.
V¾y f (x) +
λigi (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn.
i=1

Bo đe đã đưoc chúng minh.
Đ%nh lý mà chúng ta trình bày dưói đây là bo đe S đưoc chúng minh
bói Yakubovich [6] vào năm 1971.
Đ%nh lí 2.1.1. (Bo đe S, Yakubovich, [6]) Giá sú f, g : Rn → R là
nhung hàm toàn phương và giá sú đieu ki¾n Slater thóa mãn đoi vói g,
nghĩa là ton tai x ∈ Rn sao cho g (x) < 0. Khi đó các phát bieu sau
tương đương:
(i) Không ton tai x ∈ Rn sao cho
.
f (x) < 0
g(x) ≤ 0

(2.3)

(ii) Có m®t so thnc λ ≥ 0 sao cho
f (x) + λg(x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn.

(2.4)


Nh¾n xét 2.1.2. Bo đe Farkas đúng vói so hàm là huu han còn vói bo
đe S theo đ%nh lý trên thì chí đúng vói hai hàm toàn phương và các hàm
này có the là không loi.
Nh¾n xét 2.1.3. Bo đe S chí đúng vói hai hàm toàn phương. Trong
trưòng hop tong quát có nhieu hơn ho¾c bang ba hàm toàn phương thì
bo đe S không còn đúng nua.
Nh¾n xét 2.1.4. Neu đieu ki¾n Slater không đưoc thóa mãn thì bo đe S
không còn đúng nua.
Ví dn 2.1.5. Cho f (x) = x và g (x) =
5x2. Ta thay h¾

.
f (x) < 0
g (x) ≤ 0

là vô nghi¾m, vì không thóa mãn đieu ki¾n Slater: nghĩa là không ton tai
x ∈ R đe g (x) < 0.
Th¾t v¾y, giá sú có m®t so t ≥ 0 sao cho
f (x) + tg (x) = x + 5tx2 = x (1 + 5tx) ≥ 0, ∀x ∈ R.
Trưòng hop 1: Neu t = 0 thì f (x) = x không the lón hơn 0 vói moi
x ∈ R. Trưòng hop 2: Neu t ƒ= 0 thì phương trình f (x) + tg (x) =
0 luôn có hai
1
nghi¾m phân bi¾t x = 0, x
. Đieu này có nghĩa là f (x) + tg
−5 (x)
=
t
không the lón hơn ho¾c bang 0 trên R đưoc.
V¾y bo đe S không đúng khi đieu ki¾n Slater không còn đưoc thóa mãn.
Sau đây chúng ta se đi chúng minh bo đe S.

2.2

M®t so chNng minh khác nhau cúa bo đe S

Trong muc này, chúng ta trình bày ba cách chúng minh cho bo đe S.
Chúng ta bat đau vói chúng minh nguyên bán cna Yakubovich, sau đó


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×