Tải bản đầy đủ

Biến đổi Laplace và một số ứng dụng

LèI CÁM ƠN

Nhân d%p lu¾n văn đưoc hoàn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn
sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào đã t¾n tình hưóng dan tác giá trong
quá trình thnc hi¾n lu¾n văn này.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám Hi¾u, Phòng sau đai hoc,
các thay giáo, cô giáo trong Khoa Toán Trưòng Đai Hoc Sư Pham Hà
N®i 2, đã đ®ng viên giúp đõ và tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá có đieu
ki¾n tot nhat trong suot quá trình hoc t¾p, thnc hi¾n đe tài và nghiên
cúu khoa hoc.
Tác giá xin trân thành cám ơn UBND tính Vĩnh Phúc, Só GD - ĐT
tính Vĩnh Phúc, BGH trưòng THPT Bình Sơn huy¾n Sông Lô tính Vĩnh
Phúc đã tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoc t¾p và hoàn thành lu¾n
văn.
Do thòi gian và kien thúc có han nên lu¾n văn không tránh khói
nhung
han che và thieu sót nhat đ%nh.Tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý
kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên đe lu¾n
văn đưoc hoàn thành như hi¾n nay.

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2012

Tác giá

Hà Văn Th¾n


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào,
lu¾n văn tot nghi¾p “Bien đoi Laplace và m®t so Nng dnng” đưoc
hoàn thành bói sn nh¾n thúc cna chính bán thân tác giá và không trùng
vói bat kỳ lu¾n văn nào khác.
Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, ngày 25 tháng 05 năm 2012
Tác giá

Hà Văn Th¾n


Mnc lnc
Mé ĐAU

1

1 KIEN THÚC CHUAN B±

5

1.1

So phúc và m¾t phang phúc . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

So phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5



1.1.2

Bieu dien hình hoc cna so phúc, m¾t phang phúc

6

1.2

Hàm bien phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Hàm chính hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Các khái ni¾m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

M®t so đ%nh lý ve hàm chính hình . . . . . . . . .

9

1.4

Tích phân phúc........................................................................11
1.4.1

1.5

1.6

1.7

Các tính chat cơ bán cna tích phân phúc...................12

Các công thúc tích phân Cauchy............................................14
1.5.1

Công thúc tích phân Cauchy.......................................14

1.5.2

Tích phân loai Cauchy...................................................15

Chuoi Taylor...............................................................................20
1.6.1

Moi liên h¾ giua h¾ so và tong cna chuoi lũy thùa

20

1.6.2

Đ%nh lý Taylor...................................................................20

Chuoi Laurentz...........................................................................22
1.7.1

Đ%nh nghĩa và mien h®i tu...............................................22

1.7.2

Đ%nh lý Laurentz...............................................................24

ii


MUC LUC

1.7.3
1.8

MUC LUC

Các điem bat thưòng cô l¾p..........................................26

Th¾ng dư cna hàm và úng dung cna nó...................................26
1.8.1

Đ%nh nghĩa và cách tính................................................26

1.8.2

Các đ%nh lý cơ bán ve th¾ng dư......................................29

2 BIEN ĐOI LAPLACE
2.1

2.2

2.3

31

Bien đoi Laplace và các ví du...................................................31
2.1.1

Bien đoi Laplace............................................................31

2.1.2

Đòi hói tính liên tuc......................................................33

2.1.3

Lóp L............................................................................34

2.1.4

Các tính chat cơ bán cna bien đoi laplace...................37

2.1.5

H®i tu đeu......................................................................39

Bien đoi Laplace ngưoc.............................................................40
2.2.1

M®t so khái ni¾m..............................................................40

2.2.2

M®t so phương pháp tìm hàm goc................................42

Các đ%nh lý bien đoi Laplace........................................................45

3 M®T SO ÚNG DUNG CÚA PHƯƠNG PHÁP LAPLACE 51
3.1

Tính giá tr% hàm Gama.................................................................51

3.2

Phương phương trình vi phân vói h¾ so là hang so.................53
3.2.1

Phương trình vi phân vói đieu ki¾n đau . . . . . .

54

3.2.2

Nghi¾m tong quát . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.2.3

Phương trình vi phân vói đieu ki¾n biên

. . . . .

59

3.3

Bài toán tìm cưòng đ® dòng đi¾n . . . . . . . . . . . . .

60

3.4

Phương trình vi phân vói h¾ so đa thúc . . . . . . . . . .

62

3.5

H¾ phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so.................66

3.6

Tích ch¾p cna bien đoi Laplace và úng dung...........................68
3.6.1

Đ%nh nghĩa và các tính chat.........................................68

3.6.2

Ánh cna tích ch¾p qua bien đoi Laplace......................70
3


MUC LUC

MUC LUC

KET LU¾N

73

TÀI LIfiU THAM KHÁO

74


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Bien đoi Laplace là m®t bien đoi tích phân và cùng vói bien đoi Fourier
là hai bien đoi rat huu ích và thưòng đưoc sú dung trong viêc giái các
bài toán trong lĩnh vnc v¾t lý. Qua bien đoi Laplace, các phép toán giái
tích phúc tap như đao hàm, tích phân đưoc đơn gián hóa thành các
phép tính đai so (giong như cách mà hàm logarit chuyen m®t phép toán
nhân các so thành phép c®ng các logarit cna chúng). Vì v¾y nó đ¾c bi¾t
huu ích trong vi¾c giái các phương trình vi phân thưòng, phương trình
vi phân đao hàm riêng, phương trình tích phân, đó là nhung phương
trình thưòng xuat hi¾n trong các bài toán v¾t lý, trong phân tích mach
đi¾n, xú lý so li¾u, dao đ®ng đieu hòa, các h¾ cơ hoc. Bói vì qua bien
đoi Laplace các phương trình này có the chuyen thành các phương trình
đai so đơn gián hơn. Giái ra nghi¾m là các hàm ánh trong không gian
s, chúng ta dùng bien đoi Laplace ngưoc đe có lai hàm goc trong không
gian thnc t.
Ve l%ch sú cna phép bien đoi Laplace đưa ta tró lai các công trình cna
Leonard Euler (1763-1769), ông xét chúng chn yeu dưói dang cna các
phép bien đoi ngưoc trong lòi giái cna các phương trình vi phân tuyen
tính thưòng b¾c hai. Cùng thòi đó, Laplace đã gúi tói Euler công trình
xuat bán năm 1812 “Théorie analytique des probabilités” giói thi¾u ve
bien đoi tích phân. Năm 1878, Spitzer là ngưòi đã gan tên cna Laplace
cho bieu dien

b

¸

esxφ(s)ds.

y=
a


Sau đó, bieu dien này đã đưoc Euler sú dung trong m®t so công trình
nghiên cúu cna ông,dưói dang bieu dien này nó tró thành phương trình
vi phân vói y là hàm chưa biet cna x. Trong the ký 19, bien đoi Laplace
đưoc mó r®ng tói dang phúc bói Poincare và Pincherle, và đưoc Picard
mó r®ng tói trưòng hop hàm hai bien. Ta có the ke thêm nua là các
nghiên cúu đưoc tien hành bói Abel và nhieu nhà toán hoc khác. Năm
1910, áp dung trưóc tiên cna bien đoi Laplace đưoc xuat hi¾n trong
các công trình cna Bateman, ông bien đoi các phương trình ve sn
phân dã
phóng xa cna Rutherford

bang cách đ¾t

dp

= −λiP

dt
¸∞
p(x) =

e−xtP (t)dt

0

và thu đưoc m®t so phương trình bien đoi hat nhân. Năm 1920, trong
trong các công trình nghiên cúu ve hàm theta, Bernstain sú dung bieu
dien
f (s) = ¸



e−suφ(u)du

0

và goi nó là bien đoi Laplace. Phương pháp hi¾n đai đưoc đưa ra tù sn
thúc đay cna Doetch và nhung năm 1920-1930, ông đã áp dung bien đoi
Laplace tói các phương trình vi phân, tích phân.
Không có sn giái thích hoàn háo ve bien đoi Laplace neu không ke
đen công trình cna Oliver Heaviside (chn yeu trong lĩnh vnc ky thu¾t
đi¾n), ông tao ra m®t van đe r®ng lón vói tên goi "phép tính toán tú" và
đưa ra nhieu van đe tương tn phương pháp cna Laplace. Các tính toán
cna Heaviside chưa th¾t ch¾t che, nhưng nó đã mang lai nhieu huu ích
cho các lĩnh vnc ve ky thu¾t đi¾n.
Đe tiep c¾n vói lý thuyet bien đoi Laplace và áp dung nhung lý thuyet


đó, đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan tôi đã chon đe tài
“PHƯƠNG PHÁP LAPLACE VÀ M®T SO ÚNG DUNG”
đe thnc hi¾n lu¾n văn khóa đào tao Thac sy Toán hoc chuyên ngành giái
tích. Lu¾n văn đưoc cau trúc thành 03 chương.
Trong chương 1 cna lu¾n văn, chúng tôi trình bày m®t so kien thúc
căn bán nhat ve lý thuyet hàm bien phúc, can thiet cho muc đích nghiên
cúu ve bien đoi Laplace.
Chương 2 cna lu¾n văn đưoc giành cho vi¾c trình bày m®t cách h¾
thong ve khái ni¾m bien đoi Laplace, các tính chât cơ bán và m®t so
phép toán giái tích cơ bán cna phép bien đoi này.
Điem cot yeu và cũng chính là muc đích chính cna lu¾n văn là minh
hoa tam quan trong cna bien đoi Laplace đưoc trình bày trong chương
3. é đây, chúng tôi trình bày m®t so áp dung cna bien đoi Laplace qua
vi¾c giái quyet các bài toán trong lĩnh vnc toán hoc thuan túy như: Giái
phương trình vi phân vói đieu ki¾n đau; giái phương trình vi phân vói
đieu ki¾n biên; phương pháp xác đ%nh giá tr% hàm Gamma; úng dung ve
tích ch¾p cna bien đoi Laplace, cũng như trong vi¾c giái quyet các bài
toán thu®c lĩnh vnc v¾t lý như: Áp dung trong vi¾c tính toán cưòng đ®
dòng đi¾n.

2. Mnc đích, đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu ve lý thuyet bien đoi Laplace và m®t so úng
dung cna nó như: Tính giá tr% hàm Gama, giái bài toán phương trình vi
phân tuyen tính vói h¾ so hang so.


3. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u.
Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.

4. DN kien đóng góp cúa đe tài.
Trình bày m®t cách h¾ thong ve phép bien đoi Laplace. Cùng m®t so
áp dung cna phép bien đoi này.


Chương 1
KIEN THÚC CHUAN B±
1.1
1.1.1

So phNc và m¾t phang phNc
So phNc

Đ%nh nghĩa 1.1.1. So phúc là so có dang z = x + iy; vói x, y ∈ R và
i
là đơn v% áo mà i2 = −1 . Ta goi x là phan thnc và y là phan áo, ký hi¾u
x = Rez, y = Imz
T¾p hop tat cá các so phúc đưoc ký hi¾u bói C. T¾p hop các so phúc
đưoc đong nhat vói m¾t phang R2 bói phép tương úng
C → R2
z = x + iy ›→ (x, y).
M®t cách tn nhiên, ngưòi ta goi Ox là truc thnc, Oy là truc áo.
Phép c®ng và phép nhân các so phúc đưoc thnc hi¾n m®t cách thông
thưòng như các phép toán trên t¾p hop so thnc vói lưu ý rang i2 =
−1. Ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )

5



z1.z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)
= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2
= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2).
Vói moi so phúc z = x + iy , ta xác đ%nh modul cna so phúc z là
,
|z| = x2 + y2
So phúc liên hop cna so phúc z = x + iy đưoc ký hi¾u

z¯ = x −

là Không khó khăn, ta có the kiem tra đưoc

iy.

Rez
=

z + ; Imz
z¯ =
2

z−

2i


2

|z| = z.z¯;

1
z

=

z¯ vói z ƒ= 0
|z|

2

So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r >
0, θ ∈ R đưoc goi là argument cna so phúc z (argument cna so
phúc z đưoc xác đ%nh m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i cna
2π ) và
.eiθ .= cosθ + i sin θ. Bói vì = 1, nên r = |z| và θ là góc hop bói
eiθ
. .
chieu dương cna truc Ox và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ®
đi qua điem z . Cuoi cùng, ta lưu ý rang neu z = r.eiθ và w = s.eiϕ
thì
z.w = r.s.ei(θ+ϕ) .
1.1.2

Bieu dien hình hoc cúa so phNc, m¾t phang phNc


Giá sú trên m¾t phang R2 cho h¾ toa đ® Descartes vuông góc xOy.
Như đã biet, hai điem đưoc xác đ%nh bói các toa đ® Descartes vuông
góc trùng nhau khi và chí khi chúng có hoành đ® trùng nhau và tung
đ® trùng nhau. Do đó ta có the xác l¾p m®t phép tương úng đơn tr%


m®t-m®t giua các điem cna m¾t phang R2 vói các so phúc cna C; trong
đó moi so phúc z = x + iy ∈ C se tương úng vói m®t điem xác đ
%nh M (x, y) ∈ R2 và ngưoc lai moi điem M (x, y) ∈ R2 se tương úng
vói so phúc xác đ%nh z = x + iy ∈ C.

1.2

Hàm bien phNc

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho A là t¾p con trong m¾t phang phúc C. M®t
hàm bien phúc là ánh xa
f :A → C
z ›→ f (z).
Neu f là m®t đơn ánh thì nó còn đưoc goi là hàm đơn di¾p hay 1 lá.
Có the xáy ra f không đơn di¾p trên A, nhưng có the chia A thành các
mien con A1, A2, ... đe trên moi mien đó f đơn di¾p. Khi đó, moi
mien Aj goi là m®t mien đơn di¾p cna f. Vói moi B ⊂ A ta ký hi¾u
f (B) = {f (z) : z ∈ B}
f (A) đôi lúc đưoc goi là mien giá tr% cna hàm f. Vói moi z = x + iy
∈ A,
vì w = f (z) là so phúc nên có the viet hàm dưói dang
w = f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y).
Hàm u(x, y) là phan thnc và v(x, y) là phan áo cna hàm f, ký hi¾u
tương úng bói
u(x, y) = Ref (z); v(x, y) = Imf (z).


1.3
1.3.1

Hàm chính hình
Các khái ni¾m

Đ%nh nghĩa 1.3.1. Cho hàm f (z) xác đ%nh trên mien D. Cho z m®t so
gia ∆z sao cho z + ∆z ∈ D. Neu ton tai giói han
f (z + ∆ z ) − f ( z )
lim
∆z→0
∆z
thì giói han đó đưoc goi là đao hàm phúc cna hàm f (z) tai điem z và
df (z)
r
. Như v¾y
ký hi¾u là f (z)
dz
ho¾c
f (z + ∆ z ) − f ( z )
f r (z) = lim
.
∆z→0
∆z
Hàm f (z) có đao hàm phúc tai điem z cũng đưoc goi là khá vi phúc hay
C - khá vi tai z.
Ví dn 1.3.1. Hien nhiên zr = 1 và theo quy nap (zn)r = nzn−1. Tù đó,
neu

thì

f (z) = a0zn + a1zn−1 + ... −1 z + an
+ an

f r(z) = na0zn−1 + (n − 1)a1zn−2 + ...
− + an 1 .
1
Ví dn 1.3.2. Hàm f (z) là chính hình trên t¾p mó bat kỳ trong C
=
1
z
không chúa điem goc và f r(z) = −
f r (z) = f (z + h) − =
lim
f (z )
lim
h→∞
h→∞
h

2

z1

. Th¾t v¾y,.ta có
1

z+h
z

h



=
lim
h→∞



1

.

1

z(z + h) = −
.

Ví dn 1.3.3. Hàm f (z) = z¯ là không chính hình. Th¾t v¾y, ta thay
.
.
h
f (z + h) −
z + h − z¯
=
=
h
f (z )

z2


z¯ + h¯ − z¯



=
không có giói han khi h → 0.

h

h


Đ%nh nghĩa 1.3.2. Hàm f (z) đưoc goi là chính hình tai z0 ∈ D neu ton
tai so r > 0 sao cho f (z) là C - khá vi tai moi z ∈ S(z0, r). Hàm f
(z)
chính hình tai moi z ∈ D đưoc goi là chính hình trên D.
1.3.2

M®t so đ%nh lý ve hàm chính hình
.∞
Đ%nh lí 1.3.1. Giá sú chuoi n= cnzn có bán kính h®i tn là R > 0. Khi
0

đó tong f (z) cúa chuoi là m®t hàm chsnh hình trên D và
r

f (z) =


.

ncnzn.

n=1

Chúng minh. Trưóc het ta chúng tó chuoi .∞ ncnzn−1 = S(z) cũng
.∞ n= có
1

bán kính h®i tu là R. Th¾t v¾y,
chuoi
chuoi
z.


.

ncnzn−1 h®i tu neu và chí neu

n=
1

ncnz

n=1

n−1



=

ncnzn

n=1

h®i tu. Do đó bán kính h®i tu cna chuoi là
1
1
=
=
√n
,
n
lim , |nc |
n lim |c |
li
n
n
m n
n→∞
n→∞

.

n→∞

1
,

= R.

n

li
m

|cn|

n→∞

Lay zo tùy ý mà z0 < R. Đ¾t
f (z0 + ∆z) − f (z0)
δ(z0, ∆z)
− S(z0 )
=
∆z
Đe hoàn thành chúng minh, ta chúng minh rang lim δ(z , ∆z) =
0
∆z→0
0.


Chon r sao cho |z0| < r < R. Xét ∆z đn bé sao cho |z0 + ∆z| < r.
Ta


thay



.
δ(z0, ∆z)
=

n=
0


.
.

− ncnz0n−1

n

cn(z0, ∆z) −
c nzn
∆z

.

=
.(z0 + ∆z)
n−1
nz
..cn

0

n−1

+ (z0 + ∆z)

n−2

z0 + ... + zn−1 −
0

n=0


.
=

0

δn(z0, ∆z).

n=0

Chú ý rang
.

. n−1 n−1
.
n−2
n−1
.
|z
+ |z0 + ∆z|
|z0| + ... + |z0|
+0
c|δn|n (z0, ∆z)| ≤ |
nz
0 + ∆z|
< 2ncnrn−1.
.∞
Bói vì chuoi
2ncnrn−1 h®i tu nên vói moi ε > 0 ton tai N = N (ε)
n=
so
0
sao cho


.
n=N

M¾t khác, ta có

.

N−1

li
m

2ncnrn−1ε< .
2
c
(z

N−1

.
. δn (z0, ∆z)
=

∆z→0

lim

n=1

∆z → 0

n

n 0

0

N−1
.
n=0

Tù đó vói ε > 0 đn bé, ta

.
N−1

− ncnzn−1 = 0

∆z
0

n=1

nên vói ∆z đn bé, ta


.

+ ∆z) − c zn

δn (z0, ∆z)ε <.
2

..


.

.

.
.
. ε
..
. . ..
. (z0, ∆z)| ≤
. 0, ∆z)

δn (z
δn (z0, ∆z) <
+
.
+
.. ..
.
2
.
.
n=0
n=


N

ε

= ε.

2


Nh¾n xét 1.3.1.1. Vì bang phép bien đoi t = z − z0, z0 ƒ= 0 chuoi
.
.
n
an(z − z0) đưoc quy ve chuoi
antn nên ta có đ%nh lý sau
n≥
0

n≥0


Đ%nh lí 1.3.2. Tong f (z) cúa chuoi lũy thùa
.
n
an(z − z0)
n≥0

là hàm chsnh hình trong hình tròn h®i tn |z − z0| < R cúa chuoi đó và
đao hàm f r(z) đưoc tìm theo công thúc
.
n−1
r
f (z) =
nan(z − z0)
.
n≥1

1.4

Tích phân phNc

Đ%nh nghĩa 1.4.1. Cho hàm f (z) xác đ%nh trên đưòng cong trơn
tùng khúc γ. Chia γ thành n– phan nhó bói các điem chia η0, η1, ..., ηn
(η0 là điem đau và ηn là điem cuoi cna đưòng cong). Chon tùy vý điem
η∗ thu®c
cung ηvηv+1 và l¾p
tong

n−1

Sn =

.

fv (η∗) (ηv+1 − ηv)

(1.1)

v=o

Neu khi n → ∞ mà max |ηv+1 − ηv| → 0 ton tai giói han cna tong
v

(1.1) không phu thu®c vào cách chia cung cung γ thành các cung nhó
và cách chon cácv điem η∗, thì giói han đó đưoc goi là tích phân cna
hàm f (z) trên cung γ và ký hi¾u là
¸

n−1

f (z)dz =
γ

lim

max|ηv+1−ηv|→0
v

.

fv (η∗) (ηv+1 − ηv) (1.2)

v=0

Neu đ¾t f (z) = u(x, y) + iv(x, y) và ηv+1 − ηv = ∆xv + i∆yv thì
tong
(1.1) có the viet


.
n−1

[u (η∗) + iv (η∗)] (∆xv + i∆yv)

Sn =
=

v

v=0
.
n−1

[u (η∗) ∆xv − v (η∗) ∆yv]
v

v=0
.
n−1

trong đó
η∗

v



v

[u (η∗) ∆yv + v (η∗) ∆xv]

+ i


v

v

v

(1.3)

v=0

= (x , y ). Phan thnc và phan áo cna (1.3) là tong cna
hai
v

v

tích phân đưòng loai hai. Như v¾y, tích phân (1.2) ton tai neu ton tai
hai tích phân đưòng

¸
udx − vdy
γ



¸
udy + vdx.
γ

Như v¾y neu f liên tuc trên γ thì tích phân (1.2) ton tai và
¸
¸
udy + vdx.
udx

vdy
+
i
¸
γ

f (z)dz =
γ

1.4.1

(1.4)

γ

Các tính chat cơ bán cúa tích phân phNc

1. Neu γ+ và γ− là đưòng cong γ lay theo hai chieu ngưoc nhau thì
¸
¸
f (z)dz.
f (z)dz = −
γ−

γ+

2. Giá sú f (z) và g(z) là các hàm khá tích trên γ. Khi đó, hàm
c1f (z) + c2g(z); c1, c2 ∈ C.
cũng khá tích trên γ, và


¸
¸
(c1f (z) + c2f (z)) dz =
c1
γ

γ

f (z)dz +
c2

¸ g(z)dz.

γ


3. Giá sú γ = γ1 ∪ γ2. Khi đó, ta có
¸
¸
¸ f (z)dz.
f (z)dz = f (z)dz
γ
γ1 +
γ2

4. Neu l là đ® dài cung γ, thì
.
.
.. ¸
. . ¸ |f (z)|dz ≤ l. max f (z).
. f (z)dz
.

.
.
.
.
γ

γ

5. Neu z = ϕ(η) là hàm giái tích ánh xa 1-1 đưòng cong Γ lên
đưòng cong γ = ϕ(Γ), thì
¸

f (ϕ(η)) · ϕr(η)dη.

¸
f (z)dz =
γ

Γ

Đ¾c bi¾t, neu z = z(t); t ∈ [a, b] là phương trình cna đưòng cong γ thì
b

¸

f (z(t)) · zr(t)dt.

¸
f (z)dz =
γ

a

Neu ton tai m®t hàm chính hình g trong mien D chúa γ sao cho
g r(z) = f (z) vói moi z ∈ γ, thì g đưoc goi là m®t nguyên hàm cna
hàm
f. Giá sú z = z(t); t ∈ [a, b] là phương trình cna γ thì ta có
b

¸
f (z)dz
=

γ

¸
γ

¸

¸
g (z)dz =
r

b

a


gr (z(t)) · zr(t)dt
=

d [g (z(t))] = g (z(b)) − g (z(a)) .
a


y

¸

b

f (z)dz = g(B) − g(A); B = z(b); A = z(a).
(1.5)
a


Tù công thúc (1.5) ta thay g là hàm đơn tr% và γ là đưòng cong đóng thì
¸

b

f (z)dz = g(B) − g(A) = 0.
a

1.5
1.5.1

Các công thNc tích phân Cauchy
Công thNc tích phân Cauchy

Đ%nh lí 1.5.1. Giá sú z0 là m®t điem tùy ý thu®c mien đơn liên D và
f ∈ H(D). Khi đó, vói moi chu tuyen đóng γ ⊂ D sao cho z0 ∈ Dγ ⊂
D ta có công thúc Cauchy
¸

f (z0) = 1
2πi

f
(η)
η−
z0

dη.

(1.6)

γ+

Neu thêm giá thiet rang, hàm f liên tnc trên D vói ∂D là m®t chu tuyen
đóng, thì vói moi z ∈ D ta có
dη.
¸ f
f (z) = 1
(η)
η−
2πi z

(1.7)


D

Chúng minh. Giá sú γ là chu tuyen tùy ý vây quanh z0 sao cho Dγ ⊂ D.
Chon ρ > 0 đn bé sao cho S (z0, ρ) ⊂ Dγ . Ký hi¾u Cρ là biên cna
hình

f (z)

tròn S (z0, ρ) và Dγ,ρ = Dγ\S (z0, ρ) là m®t mien 2-liên.
η−

z ∈ Dγ,ρ nên ta có
z0
+
γ
hình vói moi
¸
+Cρ
f (η) η − z0


chính


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×