Tải bản đầy đủ

Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC
SUAT VÀ HÀM Đ¾C
TRƯNG

LU¤N VĂN THAC SY KHOA
HOC

Hà N®i, 2015
1


ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

2



------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC
SUAT VÀ HÀM Đ¾C
TRƯNG

Chuyên ngành:
Mã so:

LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC
60.46.01.06

LU¤N VĂN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:

PGS. TS. PHAN VIET THƯ


Hà N®i, 2015


Lài cám ơn
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói PGS.TS. Phan
Viet Thư, ngưòi thay đã t¾n tình giúp đõ, chí báo, đ%nh hưóng nghiên cúu
cho tôi đe hoàn thành lu¾n văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám
ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin hoc,
B® môn Xác suat thong kê trưòng Đai hoc Khoa hoc tn nhiên - Đai hoc
quoc gia Hà N®i, nhung ngưòi đã giúp đõ, giáng day và truyen đat kien
thúc cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và nghiên cúu tai trưòng.
M¾c dù đã có nhieu co gang, do han che ve thòi gian thnc hi¾n nên lu¾n
văn không the tránh khói nhung thieu sót. Tác giá kính mong nh¾n đưoc ý
kien đóng góp quý báu cna quý thay cô và các ban đe lu¾n văn đưoc hoàn
thi¾n hơn.
Xin trân trong cám ơn!
Hà N®i,tháng 06 năm 2015


Lê Nam Trung


Mnc lnc
Mé ĐAU

4

1 TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Mé ĐAU
5
1.1 BIEN NGAU NHIÊN............................................................................... 6
1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT......................................................................... 7
1.2.1 Quan h¾ giua phan tú ngau nhiên và phân phoi xác suat . 7
1.2.2 Phân phoi ròi rac và phân phoi liên tuc..................................11
2 HÀM PHÂN PHOI
14
2.1 CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI...........................................................14
2.2 H®I TU CÚA DÃY HÀM PHÂN PHOI...............................................17
2.2.1 Đ%nh nghĩa và tính compact...................................................17
2.2.2 Khoáng cách Levy.....................................................................22
2.2.3 H®i tu cna dãy tích phân..........................................................27
2.3 ÚNG DUNG HÀM PHÂN PHOI VÀO NGHIÊN CÚU BÀI TOÁN
RÚI RO BÁO HIEM...............................................................................32
2.3.1 Đ¾t van đe.................................................................................32
2.3.2 Các giá thiet cna đ%nh lý Cramer - Lundberg.......................36
2.3.3 Phát bieu đ%nh lý Cramer - Lundberg...................................37
2.3.4 Chú ý...........................................................................................37
3 HÀM Đ¾C TRƯNG
40
3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG..................................................................40
3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG..............................................................................43
3.2.1 Đ%nh nghĩa và tính chat..........................................................43
3.2.2 Tính chính quy, khai trien hàm đ¾c trưng.............................47
4 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55
4.1 TÍNH QUY LU¾T...................................................................................55


4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM
Đ¾C TRƯNG.........................................................................................59


Mé ĐAU
Hàm phân phoi xác suat và hàm đ¾c trưng là nhung khái ni¾m nhat cna
lý thuyet xác suat và thong kê toán hoc. Vói sn ra đòi cna tác pham "Nhung
khái ni¾m cơ bán cna lý thuyet xác suat"(Kolmogorov, 1933) thì nhung nen
móng vung chac cho hai khái ni¾m trên đưoc hình thành. Cho đen nay
nhieu ket quá liên quan đã thu đưoc và m®t lý thuyet hi¾n đai ve XSTK đã
đưoc xây dnng và phát trien. Ý nghĩa cna các khái ni¾m trên se đưoc trình
bày trong phan Tong quan cna chương I. Lu¾n văn đưoc trình bày gom 4
chương:
Chương I: Giói thi¾u tong quan và nhung khái ni¾m cơ bán ve bien ngau
nhiên và hàm phân phoi, trong đó có đe c¾p đen m®t khang đ%nh quan
trong cna Kolmogorov ve phân phoi huu han chieu.
Chương II: Trình bày ve lý thuyet hàm phân phoi; cau trúc và sn h®i tu,
khoáng cách Levy và úng dung nghiên cúu bài toán rni ro báo hiem.
Chương III: Nói ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính chính quy
và khai trien hàm đ¾c trưng.
Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi và hàm đ¾c
trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi và
phép nhân cna hàm đ¾c trưng.


Chương 1
TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI
NIfi

Mé ĐAU

Trong chương này trình bày vài nét tong quan ve nhung van đe can nghiên
cúu và nhung khái ni¾m mó đau can dùng cho các chương sau.
Khác vói the giói tat đ%nh, trong pham trù ngau nhiên ngưòi ta làm vi¾c
vói các đai lưong lay nhung giá tr% ngau nhiên. Ta không the coi nhung giá
tr% ngau nhiên đó như giá tr% cna m®t tham so tat đ%nh bien đoi tùy ý
đưoc. Đoi vói m®t bien ngau nhiên, ngưòi ta can biet cái lu¾t phân phoi
cna nó. Đoi vói nhung bien ngau nhiên ròi rac, ta can biet nó có the lay
nhung giá tr% nào và nó lay moi giá tr% đó vói xác suat bao nhiêu; đoi vói
nhung bien ngau nhiên liên tuc, ta can biet nó lay giá tr% trong m®t khoáng
nào đó vói xác suat bao nhiêu? Nhung xác suat đó the hi¾n lu¾t phân phoi
cna các bien ngau nhiên. Lu¾t phân phoi lai đưoc bieu dien qua hàm phân
phoi. Biet hàm phân phoi cu the cna m®t bien ngau nhiên cu the là coi như
ta xác đ%nh đưoc bien ngau nhiên đó.
Ta lai có m®t cách khác đe the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên
đó là dna trên hàm đ¾c trưng. Biet đưoc hàm đ¾c trưng, ta biet bien ngau
nhiên đó là bien ngau nhiên gì. V¾y van đe đ¾t ra là hàm phân phoi và hàm
đ¾c trưng liên quan đen nhau như the nào? Ve m¾t toán hoc, thnc ra hàm
đ¾c trưng là m®t bien đoi Fourier cna hàm phân phoi. Ngưoc lai neu biet
hàm đ¾c trưng thì ta tính đưoc hàm phân phoi nhò đ%nh lý đáo cna bien
đoi Fourier. Trong nhieu bài toán thnc te, sú dung hàm đ¾c trưng thì thu¾n
loi hơn hàm phân phoi. Đóng góp vào vi¾c xây dnng các đ%nh lý đáo có
các công trình cna Levy, Gurland, Gil
- Palaez, Shiely ...


V¾y trong lu¾n văn này sau khi nêu các khái ni¾m mó đau chúng tôi se
trình bày 3 van đe:


1. Hàm phân phoi
2. Hàm đ¾c trưng
3.
Quan h¾ giua hàm đ¾c trưng và hàm phân phoi.
Trong đó có trình bày m®t úng dung ve nghiên cúu "bài toán rúi ro
báo hiem."

1.1

BIEN NGAU NHIÊN

Đ%nh nghĩa: Cho không gian xác suat (Ω, F, P). Không giám tính tong quát
ta có the giá thiet (Ω, F, P) là không gian xác suat đn túc là neu A là bien co
có xác suat 0 (P(A)=0) thì moi t¾p con B ⊂ A cũng là bien co.
1. Giá sú E là không gian metric, ánh xa X : Ω −→ E đưoc goi là m®t
bien ngau nhiên vói giá tr% trên E neu vói moi t¾p Borel cna E ta có
X−1(B) ∈ F .
2. Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên E = Rn ta nói X là vectơ
ngau nhiên n - chieu.
3. Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên t¾p so thnc R ta nói X là
bien ngau nhiên.
M¾nh đe 1. a, X : Ω −→ R là đai lưong ngau nhiên khi và chs khi
X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R
b,
= (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω −→ Rn là véc tơ ngau nhiên khi và chs khi moi toa
˙
X

đ®

Xk(k = 1, . . . , n) cúa nó là đai lưong ngau nhiên.

Chúng minh. Ta de suy ra a,. Đe chúng minh b, ta xét phép chieu πk : Rn −→
R, πk ˙x = xk (toa đ® thú k cna ˙x), πk liên tuc nênπk đo đưoc (đoi vói (B n ,
B 1 )).
Do đó, neu là véc tơ ngau nhiên, thì Xk =
là đai lưong ngau nhiên.


πk .X˙

Ngưoc lai, giá sú moi Xk là đai lưong ngau nhiên. Đe đơn gián hơn, ta xét
trưòng hop n = 2 và chú ý rang: R2 = R × R, B2 = B1 × B1 (σ - đai so tích).
Khi đó, vói B1, B2 ∈ B1 ta có:


−1

(B1 × B2 ) = X −1 (B1 ) ∩ X −1 (B2 ) ∈ A

Do đó ta có X˙ −1 (B 2 ) ∈ A túc
là X˙

1

2

là véc tơ ngau nhiên.


1.2

PHÂN PHOI XÁC SUAT

Đ%nh nghĩa: 1. Cho X là bien ngau nhiên E - giá tr%. Xét hàm t¾p µX xác đ
%nh trên σ - đai so Borel cna E theo cách sau:
µX (B) = P (X−1(B)), ∀B ∈ B.

De kiem tra đưoc µX là m®t đ® đo xác suat trên E. µX đưoc goi là phân bo
xác suat trên (E, B) cna bien ngau nhiên X.
2. Giá sú X = (X1, . . . , Xn) là véc tơ ngau nhiên n - chieu. Hàm so F (x)
=
F (x1, x2, . . . , xn) xác đ%nh bói công thúc:
F (x1, x2, . . . , xn) = P (X1 < x1, X2 < x2, . . . , Xn
< xn )

đưoc goi là hàm phân bo xác suat cna vectơ ngau nhiên X

1.2.1

Quan h¾ giÑa phan tN ngau nhiên và phân phoi xác suat

M¾nh đe 2. Neu ν là xác suat trong (E, «) thì ton tai ít nhat m®t không gian
xác suat cơ bán (Ω, A, P) và m®t phan tú ngau nhiên E - giá tr% X, sao cho ν

phân phoi cúa nó: PX = ν
Chúng minh. Lay Ω = E, A = «, P = ν và X là ánh xa đong nhat tù R lên R:
X(x) = x, ∀x ∈ R.

Khi đó,

PX (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ «

M¾nh đe 3. Neu X là đai lưong ngau nhiên, thì hàm phân phoi cúa nó:
FX (x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chat sau:
1. Không giám: FX (x1) ≤ FX (x2) vói x1 ≤ x2.
2. Liên tnc bên trái : FX (x) = FX (x − 0).
3. Nh¾n giá tr% 0 tai −∞ và 1 ta% +∞:
Ngưoc lai, neu cho trưóc hàm F (x) có ba tính chat trên thì ton tai ít nhat
m®t không gian xác suat cơ bán (Ω, A, P) và m®t đai lưong ngau nhiên X sao
cho F
là hàm phân phoi cúa nó: FX = F.


Chúng minh. 1, Suy ra tù đang thúc
(−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1 + x2).

2, 3, suy ra tù tính liên tuc cna PX và tù các nh¾n xét:
1

(−∞, x −

) = Bn ↑ B = (−∞, x),
n
(−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞)

Cuoi cùng, giá sú F là hàm so có ba tính chat 1, 2, 3,. Khi đó, đ® đo
Lebesgue- Stieltjes µF tương úng là xác suat trên đưòng thang.Tù m¾nh đe
2 suy ra đieu phái chúng minh.

Chú ý Phân phoi PX chính là đ® đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra tù hàm
phân phoi FX.
Đe mó r®ng m¾nh đe trên cho trưòng hop vec tơ ngau nhiên, ta phái đưa
vào
n
R m®t quan h¾ thú tn.
Giá sú ˙a = (a1 , . . . , an ), ˙b = (b1 , . . . , bn ). Ta quy ưóc viet ˙a < ˙b(˙a ≤
˙b), neu ak < bk(ak ≤ bk) vói ∀k = 1, 2, . . . , n. Rõ ràng, vói quan h¾ thú tn
đó Rn tró thành t¾p đưoc sap thú tn m®t phan.Ta viet a ↑ b neu ak ↑ bk vói
moi ∀k = 1, 2, . . . , n.
Bây giò ta nhac lai đ%nh nghĩa cna sai phân.Giá sú F (x) là hàm m®t bien
so, sai phân cap 1 cna F là

1

hF

(a) = F (a + h) − F (a), a

∈ R1

Chính xác hơn ,ta goi
∆1

h

, h > 0.

là toán tú sai phân cap 1 vói bưóc h. Tiep theo, giá sú

F (˙x) = F (x1 , . . . , xn ) là hàm n bien so. Đ¾t
1
1
∆n F (˙a) = ∆
+ h1 , . . . , an + hn )
h.
h1 . . . ∆hn F (a1 , . . . , an ) = F (a1.

F (a1 + h1, . . . , aj, . . . , an + hn) +
F (a1 + h1, . . . , aj, . . . ,
an + hn)
− . . . + (−1)nF (a1, . . . , an)
và goi ∆n là toán tú sai phân cap n vói bưóc ˙h = (h1 , . . . , hn ) > 0. Chang
hh

han,
vói n=2 ta có:

h F (˙a) = F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F
∆(a , a ).
n

1

2

Ta nói F (˙x) là hàm n bien không giám, neu
∆n

h F (˙a) ≥ 0, ∀˙a
∈R

n

n
˙
˙
, ∀h > 0, h ∈ R .


tiep theo ta nói rang F (˙x) liên tuc bên trái tai ˙x0 khi và chí khi F (˙x) liên
tuc bên trái theo moi bien tai ˙x0 .
Bang nhung l¾p lu¾n tương tn như khi chúng minh m¾nh đe 3 ta có
m¾nh đe sau:


TÀI LIfiU THAM KHÁO
Tieng Vi¾t
1. Nguyen Viet Phú - Nguyen Duy Tien (2004), Cơ só lý thuyet xác suat,
NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i.
2. Tran Hùng Thao (2009), Nh¾p môn toán hoc tài chính, NXB Khoa hoc và
ky thu¾t.
3. Đ¾ng Hùng Thang (2013), Xác suat nâng cao, NXB Đai hoc Quoc Gia
Hà N®i.
4. Nguyen Duy Tien - Vũ Viet Yên (2013), Lý thuyet xác suat, NXB Giáo
dnc Vi¾t Nam.
Tieng Anh
1. Leda D. Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes,
2. Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Publishing Co.

67



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×