Tải bản đầy đủ

Toán tử Toeplitz

LèI CÁM ƠN
Trưóc khi trình bày n®i dung chính cna lu¾n văn, tác giá xin bày
tó lòng biet ơn sâu sac tói PGS. TS. Nguyen Năng Tâm, ngưòi đã t¾n
tình hưóng dan đe tác giá có the hoàn thành lu¾n văn này.
Tác giá cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói các thay giáo,
cô giáo giáng day chuyên ngành Toán Giái tích, cùng các thay giáo,
cô giáo phòng sau đai hoc trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 đã giúp
đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p và thnc hi¾n đe tài.
Xin cám ơn các ban hoc viên lóp K13 Toán Giái tích đã giúp đõ và
có nhung đóng góp quý báu cho bán lu¾n văn này.
Hà N®i, ngày 25 tháng 6 năm 2011
Tác giá

Đào Th% Hoàng Giang


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi,
dưói sn hưóng dan t¾n tình và chu đáo cna PGS. TS. Nguyen Năng
Tâm.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc

cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, ngày 25 tháng 6 năm 2011
Tác giá

Đào Th% Hoàng Giang


Mnc lnc

Má đau

1

1

3

M®t so kien thNc chuan b%
1.1

1.2

Các khái ni¾m cơ bán cna giái tích hàm . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3



Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Tôpô yeu.....................................................................12

1.1.5

Không gian Lebesgue.................................................12

1.1.6

Đai so Banach............................................................ 13

Các toán tú trong không gian Banach và không gian
Hilbert..................................................................................17
1.2.1

Toán tú liên hop.......................................................17

1.2.2

Toán tú compact và toán tú Fredholm....................20

2 tN
CácToeplitz
toán

23

C∗-đai2.1
so.........................................................................................................23
2.2

Không gian Hardy..................................................................27

2.3

Các toán tú Toeplitz............................................................36
iii


iv

2.3.1

Đ%nh nghĩa.....................................................................36

2.3.2

Đ%nh lý bao hàm pho....................................................36

2.3.3

Pho cna toán tú liên hop và cna toán tú giái tích 38

2.3.4

Tính khá ngh%ch cna toán tú Toeplitz vói bieu
trưng liên tuc...........................................................42

2.3.5

Tính liên thông cna pho thnc sn.............................44

2.3.6

Đ%a phương hóa cho tâm cna C* -đai so....................51

2.3.7

Tính đ%a phương Fredhom cho toán tú Toeplitz

54

Ket lu¾n

57

Tài li¾u tham kháo

58


BÁNG KÝ HIfiU

R

T¾p so thnc

C

T¾p so phúc

Z

T¾p so nguyên

C(X)

T¾p tat cá các hàm so thnc liên tuc trên X

T = {z ∈ C : |z| = 1} Đưòng tròn đơn v% trong t¾p so phúc
D = {z ∈ C : |z| < 1} Hình tròn đơn v% mó trong t¾p so
phúc clos(A)

Bao đóng cna t¾p A

kerT

Nhân cna toán tú T

ranT

Hang cna toán tú T

LF (H)

T¾p các toán tú hang huu han trong H

LC(H)

T¾p các toán tú compact trong H

σ(f )

Pho cna f

ρ(f )

T¾p các giá tr% chính quy cna f

X∗

Không gian liên hop cna X

(X)1

Hình cau đơn v% trong X

L(X, Y )

Không gian các toán tú tuyen tính tù X vào Y

L(X)

Không gian các toán tú tuyen tính tù X vào X

Lp

Không gian Lebesgue

Hp
P+

Không gian Hardy
T¾p các đa thúc lưong giác xác đ%nh trên C

MB

T¾p các hàm tuyen tính nhân tính trong B



Toán tú Toeplitz


6

Má đau
1. Lý do chon đe tài
Lý thuyet toán tú là m®t lĩnh vnc phong phú cna toán hoc. Nó
đưoc coi như là sn thúc đay hay đ®ng lnc cho sn phát trien cna m®t so
lĩnh vnc khác cna toán. Chang han, sn nghiên cúu phương trình tích
phân ó cuoi the kí trưóc đã đưoc đưa ve mô hình cna lý thuyet toán
tú. Không chí the, hi¾n nay, vi¾c nghiên cúu các toán tú đã xuat hi¾n
ó nhieu nhánh khác nhau cna v¾t lý và cơ hoc. Hơn nua, vi¾c cho ra
đòi cna m®t so tài li¾u chuyên kháo và nhung nghiên cúu gan đây đã
chúng tó súc song và quy mô cna lĩnh vnc toán hoc này.
Trong lý thuyet toán tú, lóp toán tú Toeplitz đóng m®t vai trò
khá quan trong. Ngưòi đau tiên nghiên cúu ve lóp này nhung năm
đau the kí XX chính là Toeplitz. Ke tù đó, nó đã nh¾n đưoc nhieu
sn quan tâm cna các nhà toán hoc và theo đó, m®t loat ket quá thú v
% và quan trong đã đưoc phát hi¾n. Cho dù v¾y, van còn nhieu
đieu ve lóp toán tú này can đưoc nghiên cúu thêm. Nhieu úng
dung cna lóp toán tú này trong nhung lĩnh vnc khác nhau cna toán
hoc dan tói dn đoán rang chúng se ngày càng có m®t v% trí quan
trong hơn.
Cùng vói mong muon hieu biet sâu hơn ve van đe này, dưói sn
hưóng dan cna PGS. TS. Nguyen Năng Tâm, tôi manh dan chon đe
tài nghiên cúu:
"CÁC TOÁN TÚ TOEPLITZ"


Bo cuc cna lu¾n văn bao gom 2 chương:
Chương 1 cna lu¾n văn trình bày m®t so khái ni¾m cna giái tích
hàm và khái ni¾m liên quan tói lý thuyet ve toán tú ó chương sau.
Chương 2 cna lu¾n văn t¾p trung trình bày và xây dnng lý thuyet
toán tú Toeplitz, tù nhung đ%nh nghĩa đau tiên cho tói nhung đ%nh lí
đien hình ve toán tú này.
2. Mnc đích nghiên cNu
Có m®t góc nhìn tương đoi đay đn ve lý thuyet toán tú Toeplitz.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Làm rõ nhung n®i dung can the hi¾n. Qua đó, thay đưoc loi ích
và tính huu dung cna lóp toán tú này.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu phương lý thuyet toán tú Toeplitz.
5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu tài li¾u, suy lu¾n logic, phân tích tong hop.
6. DN kien đóng góp mái
Trình bày m®t cách có h¾ thong các kien thúc cơ bán ve lý thuyet
toán tú Toeplitz.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
Chương 1 trình bày nhung kien thúc cơ só cna giái tích hàm đe chuan
b% cho n®i dung chương sau. Trong chương này ta se kháo sát ve các
khái ni¾m trong các không gian metric, không gian đ%nh chuan và
không gian Hilbert. Thêm vào đó ta se đe c¾p đen khái ni¾m đai so
Banach và đ¾c bi¾t dành m®t phan cho vi¾c phân loai các toán tú
trong không gian Banach và không gian Hilbert.

1.1
1.1.1

Các khái ni¾m cơ bán cúa giái tích hàm
Không gian metric

Cho X là m®t t¾p tùy ý khác rong.
Đ%nh nghĩa 1.1. M®t metric trong X là m®t ánh xa
d:X×X→R
cúa tích X × X vào đưòng thang thnc R, thóa mãn các đieu ki¾n
sau đây:
3


9

1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
M®t không gian metric là m®t t¾p hop cùng vói m®t metric trong
t¾p hop ay. Các phan tú cna m®t không gian metric đưoc goi điem
cna không gian ay; so d(x, y) đưoc goi là khoáng cách giua các
điem x và y.
Đ%nh nghĩa 1.2. M®t dãy điem (xn), n = 1, 2, ... trong không
gian metric X goi là h®i tn đen điem a ∈ X neu
lim
n→∞

d(a, xn) = 0.

Khi đó, ta kí hi¾u
lim
n→∞

xn = a ho¾c xn → a, khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.3. Dãy điem (xn) đưoc goi là dãy cơ bán trong
không gian metric X neu vói moi ε > 0 cho trưóc , đeu ton tai
m®t so n0
sao cho vói moi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đeu có
d(xn , xm ) < ε.


Nói cách khác, ta có
lim
n,m→∞

d(xn, xm) = 0.

De thay moi dãy điem h®i tu trong không gian metric đeu là dãy
cơ bán.
Đ%nh nghĩa 1.4. M®t không gian metric X đưoc goi là đay đú neu
moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn tói m®t phan tú trong X.
1.1.2

Không gian đ%nh chuan

Cho X là m®t không gian vectơ trên trưòng so phúc C .
Đ%nh nghĩa 1.5. M®t chuan, kí hi¾u || · ||, trong X là m®t ánh xa đi
tù X vào R thóa mãn các đieu ki¾n:
1) ||x|| ≥ 0 vói moi x ∈ X ;
2) ||x|| = 0 khi và chs khi x = θ (θ là kí hi¾u phan tú không);
3) ||λx|| = |λ|||x|| vói moi so λ ∈ C và moi x ∈ X; 4)
||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| vói moi x, y ∈ X.
So ||x|| đưoc goi là chuan ( hay đ® dài) cna vectơ x ∈ X. M®t
không gian vectơ X cùng vói m®t chuan xác đ%nh trong không gian
ay, đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan.
M¾nh đe 1.1. Giá sú X là m®t không gian đ%nh chuan. Vói moi
x, y ∈ X, đ¾t
d(x, y) = ||x − y||


Khi đó, d là m®t metric trên X.
Đ%nh nghĩa 1.6. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc
goi là h®i tn đen x0 ∈ X neu limn→∞ ||xn − x0|| = 0.
Khi đó, ta kí hi¾u
lim
n→∞

xn = x0 ho¾c xn → x0, khi n → ∞.

Đ%nh nghĩa 1.7. Dãy (xn) trong không gian đ%nh chuan X đưoc
goi là m®t dãy cơ bán, hay dãy Cauchy, neu
lim
m,n→∞

||xm − xn|| = 0.

Đ%nh nghĩa 1.8. Giá sú không gian đ%nh chuan X là m®t không gian
metric đay đú (vói khoáng cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X
đưoc goi là m®t không gian đ%nh chuan đay đú, hay còn goi là
không gian
Banach.
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho hai không gian tuyen tính X và Y trên trưòng
C. Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y đưoc goi là tuyen
tính neu A thóa mãn:
1) A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X;
2) A(αx) = αAx ∀x ∈ X, α ∈ C.
A cũng đưoc goi là toán tú tuyen tính. Khi đó, neu A chí thoá mãn
1) thì A đưoc goi là toán tú c®ng tính; neu A chí thóa mãn 2) thì A
đưoc goi là toán tú thuan nhat. Khi Y = C thì toán tú tuyen tính A
đưoc goi là phiem hàm tuyen tính.


Đ%nh nghĩa 1.10. Cho không gian đ%nh chuan X và Y . Toán tú tuyen
tính A ánh xa không gian X vào không gian Y đưoc goi là b% ch¾n neu
ton tai hang so C ≥ 0 sao cho:
||Ax|| ≤ C||x||∀x ∈ X.
M¾nh đe 1.2. Giá sú toán tú tuyen tính A ánh xa không gian đ%nh
chuan X vào không gian đ%nh chuan Y . Khi đó, các m¾nh đe sau là
tương đương:
1) A b% ch¾n;
2) A liên tnc;
3) A liên tnc tai 0.
Đ%nh nghĩa 1.11. Cho hai không gian đ%nh chuan X và Y . Kí hi¾u
L(X, Y ) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian
X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
• Tong cúa hai toán tú A, B ∈ L(X, Y ) là toán tú, kí hi¾u A +
B, xác đ%nh bói bieu thúc
(A + B)(x) = Ax + Bx, vói moi x ∈ X;
• Tích vô hưóng cúa α ∈ C vói toán tú A ∈ L(X, Y ) là toán tú,
kí hi¾u αA, đưoc xác đ%nh bói bieu thúc
(αA)(x) = α(Ax).


De kiem tra đưoc rang A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và
hai
phép toán trên thóa mãn tiên đe tuyen tính. Khi đó, t¾p L(X, Y )
tró thành m®t không gian tuyen tính trên trưòng C. Trong trưòng
hop Y = C, thì L(X, C) đưoc goi là không gian liên hop cna X, kí
hi¾u
X∗ . Neu Y = X thì L(X, Y ) đưoc kí hi¾u gon lai là L(X)
Vói moi A ∈ L(X, Y ), đ¾t
||A|| = sup
xƒ=0

||Ax||

.

||x||

Ta có || · || xác đ%nh như trên là m®t chuan trong L(X, Y ). Như the,
không gian L(X, Y ) vói chuan vùa nêu tró thành m®t không gian đ
%nh chuan.
M¾nh đe 1.3. Neu Y là m®t không gian Banach thì L(X, Y ) là
không gian Banach.
Tù đ%nh lý trên suy ra X ∗ luôn là không gian Banach.
Đ%nh lý 1.1. (Hahn − Banach)
Cho M là m®t không gian con cúa không gian Banach X. Neu f là
m®t phiem hàm tuyen tính b% ch¾n trên M, thì ton tai phiem hàm
tuyen tính b% ch¾n F trên X sao cho F (x) = f (x) vói moi x ∈ M

||F || = ||f ||.
M¾nh đe 1.4. Neu A là m®t toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa 1-1
tù không gian Banach X lên không gian Banach Y , thì toán tú ngưoc
A−1 cũng tuyen tính b% ch¾n.


Đ%nh nghĩa 1.12. Ánh xa A ánh xa không gian metric X vào không
gian metric Y đưoc goi là mó neu qua A, ánh cúa moi t¾p mó trong
X là t¾p mó trong Y .
Đ%nh lý 1.2. (Đ%nh lý ánh xa mó)
Neu A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa không gian Banach X lên
không gian Banach Y , thì A là ánh xa mó.
1.1.3

Không gian Hilbert

Đ%nh nghĩa 1.13. Cho không gian tuyen tính X trên trưòng C . Ta
goi là tích vô hưóng trên không gian X moi ánh xa tù tích Descartes
X × X vào trưòng C, kí hi¾u (·, ·), thóa mãn các tiên đe:
1) (y, x) = (x, y) vói moi x, y ∈ X ;
2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z ∈ X;
3) (αx, y) = α(x, y) vói moi so α ∈ C và moi x, y ∈ X;
4) (x, x) > 0 vói moi x ∈ X, x ƒ= θ (θ là kí hi¾u phan tú không)
;
5) (x, x) = 0, neu x = θ.
Các phan tú x, y, z, ... goi là các nhân tú cna tích vô hưóng.
So (x, y) goi là các tích vô hưóng cna hai nhân tú x và y, các tiên
đe 1), 2), 3), 4), 5) goi là h¾ tiên đe tích vô hưóng.
Đ%nh nghĩa 1.14. Không gian tuyen tính X trên trưòng C cùng vói
m®t tích vô hưóng trên X đưoc goi là không gian tien Hilbert.


Đ%nh lý 1.3. (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz) Cho X là m®t không
,
gian tien Hilbert. Vói moi x ∈ X, ta đ¾t ||x|| = (x, x). Khi đó,
ta
có bat đang thúc sau
|(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X.
Tù bat đang thúc trên ta suy ra ket quá sau.
M¾nh đe 1.5. Moi không gian tien Hilbert đeu là không gian đ%nh
,
chuan, vói chuan ||x|| = (x, x).
Đ%nh nghĩa 1.15. Hai vectơ x và y trong không gian tien Hilbert đưoc
goi là trnc giao, kí hi¾u x ⊥ y, neu (x, y) = 0.
M¾nh đe 1.6. (Pythagore) Giá sú các vectơ x1, x2, . . . xn trnc
giao tùng đôi m®t trong không gian tien Hilbert H. The thì
n

.
||

n

2
x || = . ||xi|| 2.

i=1 i

i=1

Đ%nh nghĩa 1.16. Ta goi không gian Hilbert H là không gian tuyen
tính H trên trưòng C thóa mãn các đieu ki¾n:
1) H là không gian tien Hilbert;
,
2) H là không gian Banach vói chuan ||x|| = (x, x) vói x ∈
X.
Đ%nh nghĩa 1.17. Giá sú M là m®t t¾p con cúa không gian Hilbert
H. Ta goi phan bù cúa M, kí hi¾u M ⊥ , là t¾p tat cá nhung vectơ cúa
H trnc giao vói moi phan tú cúa M.
Rõ ràng M ⊥ là m®t không gian con đóng cna M .


Đ%nh lý 1.4. (Đ%nh lý hình chieu) Giá sú M là m®t không gian con
đóng cúa không gian Hilbert H. Khi đó, vói bat kì vectơ x ∈ H, ton
tai duy nhat các vectơ y ∈ M và z ∈ M ⊥ sao cho x = y + z.
Vectơ y đưoc goi là hình chieu cna vectơ x lên không gian con M .
Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý bieu dien Riesz) Giá sú f là phiem hàm tuyen
tính b% ch¾n trên không gian H. The thì, ton tai duy nhat phan tú
a ∈ H sao cho f (x) = (x, a) vói moi x ∈ H.
Đ%nh nghĩa 1.18. H¾ vectơ (en)n≥1 trong không gian Hilbert H
đưoc goi là trnc chuan neu

(en, em) =



1, n = m


0, n ƒ= m.

Neu không ton tai m®t vectơ khác không nào cúa H trnc giao vói tat
cá các phan tú cúa h¾ trên, thì h¾ trnc chuan (en)n≥1 đưoc goi là
cơ só trnc chuan cúa không gian Hilbert H.
M¾nh đe 1.7. (Bat đang thúc Bessel) Giá sú h¾ vectơ (en)n≥1 là
trnc chuan trong không gian Hilbert H. Vói moi x ∈ H, ta luôn có bat
đang thúc sau



. |(x, en)| 2≤ ||x|| .
n=1

Đang thúc trong bat đang thúc trên xáy ra khi (en)n≥1 là cơ só
trnc chuan. Và nó đưoc goi là đang thúc Parseval.


1.1.4

Tôpô yeu

Giá sú X là m®t t¾p hop, Y là không gian tôpô và F là ho các hàm
ánh xa X vào Y . Tôpô yeu trên X cám sinh bói F là tôpô yeu nhat
T trên X sao cho moi hàm trong F đeu liên tuc.
Đ%nh nghĩa 1.19. [8, Definition 1.18] Vói moi f thu®c không gian
đ%nh chuan X, kí hi¾u fˆ là hàm xác đ%nh trên không gian liên hop
X ∗ xác đ%nh bói fˆ(ϕ) = ϕ(f ) vói moi ϕ ∈ X ∗ . Không gian tôpôyeu∗ trên X ∗ là tôpô yeu trên X ∗ cám sinh bói ho các hàm {fˆ : f
∈ X}.
Đ%nh nghĩa 1.20. [8, Definition 1.22] Hình cau đơn v% trong không
gian đ%nh chuan X là t¾p hop {f ∈ X : ||f || ≤ 1} và đưoc kí hi¾u
bói (X)1.
Đ%nh lý 1.6. [8, Theorem 1.23] Hình cau đơn v%
(X)∗

1

cúa không gian

liên hop cúa không gian Banach là compact trong không gian tôpô-yeu∗.
1.1.5

Không gian Lebesgue

Cho µ là m®t đ® đo xác suat trên σ−đai so S nhung t¾p con cna X.
Goi L1 là không gian tuyen tính nhung hàm giá tr% phúc khá tích
trên X vói phép c®ng theo tùng điem và phép nhân vô hưóng, và goi
N là không gian cna các hàm không. Khi đó, m®t hàm đo đưoc f
trên X là

¸

¸

|f |dµ = 0. Ta đ¾t L1
X
¸
là không gian đ%nh chuan thương L1/N vói chuan ||[f ]||1 = X |f |dµ.
thu®c L1 neu

X |f |dµ < ∞ và thu®c N neu

Ta cũng có L1 là không gian Banach.
Vói 1 < p < ∞ goi Lp là t¾p tat cá các hàm trong L1 sao cho

¸
X

|f | p

dµ < ∞ và đ¾t N

p


= N ∩ . The thì Lp
Lp

là không
gian tuyen


tính con cna L1 và không gian thương Lp = Lp/N
Banach vói chuan
||[f ]||p =

¸
.
X

p

|f | dµ

.

1/p

p

là không gian

.

Cuoi cùng goi L∞ là không gian con cna L1 bao gom nhung hàm f
sao cho {x ∈ X : |f (x)| > M} có đ® đo không vói M đn lón. Kí
hi¾u
||[f ]||∞ là giá tr% M nhó nhat trong so đó. Đ¾t N ∞ = N ∩ L∞. The
thì || ||∞ là m®t chuan cna không gian thương L∞ = L∞/N ∞. Hơn
nua, vói chuan đó L∞ là không gian Banach.
Dù nhung phan tú cna Lp thnc ra là các lóp tương đương, ta van
coi chúng như nhung hàm so. Vì v¾y khi ta viet f thu®c Lp thì có
nghĩa là f thu®c Lp và f kí hi¾u cho lóp tương đương trong Lp bao
hàm f . Lp cũng đưoc kí hi¾u là Lp(X) hay Lp(µ) tùy theo đoi
tưong muon nhan manh là t¾p nen X hay đ® đo µ.
Vói ϕ ∈ L∞ , kí hi¾u ϕˆ là hàm tuyen tính xác đ%nh bói
¸
f ϕdµ∀f ∈ L1 .

ϕˆ(f ) =
X

Đ%nh lý 1.7. [8, Theorem 1.45] Ánh xa ϕ → ϕˆ là m®t đang cau
đang
cn cúa L∞ lên (L1)∗.
1.1.6

Đai so Banach

Đ%nh nghĩa 1.21. M®t đai so Banach B là m®t đai so trên trưòng
C (vói phan tú đơn v% trong B là 1) sao cho có m®t chuan bien B
tró thành không gian Banach. Hơn nua, chuan phái thóa mãn các đieu
ki¾n ||1|| = 1 và ||fg|| ≤ ||f |||g||| vói moi f, g ∈ B.


Ví dn 1.1. Cho X là không gian Hausdorff compact và kí hi¾u
C(X) là t¾p hop tat cá các hàm giá tr% phúc liên tnc trên X. Vói
f1, f2 ∈ C(X) và λ ∈ C, ta đ%nh nghĩa:
1) (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) ;
2) (λf1)(x) = λf1(x);
3) (f1f2)(x) = f1(x)f2(x).
Cùng các phép toán này, C(X) là m®t đai so có phan tú đơn v%
trên trưòng C. Bói moi f ∈ C(X) đeu b% ch¾n trên X nên ta đ%nh
nghĩa đưoc
||f ||∞ = sup{|f (x)| : x ∈ X}.
Ta có các tính chat sau:
1) ||f ||∞ = 0 ⇔ f = 0 ;
2) ||λf||∞ = |λ|||f ||∞;
3) ||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞;
4) ||fg||∞ ≤ ||f ||∞||g||∞.
Ba tính chat đau chúng tó || · || là chuan trong C(X). Tù tính chat
cuoi cùng suy ra rang C(X) là m®t đai so Banach.
M¾nh đe 1.8. [8, Proposition 2.5] Giá sú f là m®t phan tú trong đai
so Banach B thóa mãn ||1 − f || < 1. The thì, f khá ngh%ch và
||f −1 || ≤

1

.
1 − ||1 − f ||


Đ%nh nghĩa 1.22. [8, Definition 2.11] Giá sú B là m®t đai so. Ánh
xa mũ trong B, kí hi¾u bói exp, đưoc đ%nh nghĩa như sau
∞ 1 fn .
.
n!
exp f =
n=0

M¾nh đe 1.9. [8, Proposition 2.12] Giá sú B là m®t đai so và f, g
là các phan tú trong B giao hoán đưoc vói nhau. The thì
exp(f + g) = exp f exp g.
Đ%nh nghĩa 1.23. [8, Definition 2.21] Cho B là m®t đai so Banach.
M®t phiem hàm tuyen tính phúc ϕ trên B đưoc goi nhân tính neu
1) ϕ(fg) = ϕ(f )ϕ(g), ∀f, g
∈ B; 2) ϕ(f ) = 1.
Kí hi¾u M = MB là t¾p các phiem hàm nhân tính trên B.
M¾nh đe 1.10. [8, Proposition 2.22] Giá sú ϕ là m®t phiem hàm
nhân tính trên không gian đai so Banach B. The thì, ||ϕ|| = 1.
Giá sú B là đai so

M¾nh đe 1.11. [8, Proposition 2.23]

Banach. Khi đó, M là t¾p compact-yeu∗ cúa B∗.
1

Như v¾y M là không gian compact Hausdorff úng vói topo-yeu*.
Vói moi f ∈ B, kí hi¾u fˆ : B∗ → C là hàm đ%nh nghĩa bói fˆ(ϕ)
= ϕ(f ).

1

Đ%nh nghĩa 1.24. [8, Definition 2.24] Trong đai so Banach B, bien
đoi Gelfand là hàm Γ : B → C(M ) cho bói Γ(f ) fˆ| M , túc
là,
= Γ(f )(ϕ) = ϕ(f ) vói moi ϕ ∈ M .


M¾nh đe 1.12. [8, Proposition 2.25] Giá sú Γ là bien đoi
Gelfand trong đai so B. The thì
1) Γ là m®t đong cau đai so;
2) ||Γf||∞ ≤ ||f || vói moi f ∈ B.
Đ%nh nghĩa 1.25. [8, Definition 2.27] Giá sú f là m®t phan tú trong
đai so Banach B. Pho cúa f là t¾p hop
σ(f ) = σB(f ) = {λ ∈ C : f − λ 1 không khá ngh%ch trong B},
và t¾p giá tr% chính quy cúa f là
ρ(f ) = ρB(f ) = C\σ(f ).
Thêm nua, bán kính pho cúa f là so
r(f ) = rB(f ) = sup{|λ| : λ ∈ σ(f )}.
M¾nh đe 1.13. [8, Proposition 2.28] Giá sú f là m®t phan tú trong
không gian đai so Banach B. The thì, σ(f ) là compact và r(f ) ≤ ||
f ||.
M¾nh đe 1.14. [8, Proposition 2.29] Neu f là m®t phan tú trong
không gian đai so Banach B, thì σ(f ) là khác rong.
Đ%nh lý 1.8. [8, Theorem 2.37] Giá sú f là m®t phan tú trong đai so
B và ϕ là m®t hàm nguyên trên C. The thì
σ(ϕ(f )) = ϕ(σ(f )).


Đ%nh lý 1.9. [8, Theorem 2.54] Neu B là m®t đai so Banach, A
là m®t đai so con đóng cúa B, và f là m®t phan tú trong A, thì
biên cúa ρA(f ) chúa trong biên cúa ρB(f ).
Đ%nh nghĩa 1.26. [8, Definition 2.62] Giá sú f là m®t hàm đo đưoc
trên X. Ta goi là hang thnc sn cna f , kí hi¾u R(f ), là t¾p tat cá
các so λ ∈ C sao cho {x ∈ X : |f (x) − λ| < s} có đ® đo dương
vói moi s > 0.
M¾nh đe 1.15. [8, Proposition 2.63] Neu f thu®c L∞, thì σ(f ) =
R(f ).

1.2

Các toán tN trong không gian Banach và
không gian Hilbert

1.2.1

Toán tN liên hap

Đ%nh nghĩa 1.27. Giá sú T là toán tú tuyen tính b% ch¾n trong không
gian Hilbert H. Toán tú liên hop cúa T , kí hi¾u T ∗ , là m®t toán
tú trong H thóa mãn
(T x, y) = (x, T ∗ y), ∀x, y ∈ H.
Toán tú liên hop cna T như trên ton tai và duy nhat.
M¾nh đe 1.16. [8, Proposition 4.4] Giá sú H là không gian Hilbert.
The thì, ta có
1) T ∗∗ = (T ∗)∗ = T, ∀T ∈ L(H);


2) ||T || = ||T ∗||, ∀T ∈ L(H);
3) (αS + βT )∗ = α¯S ∗ + β¯T ∗ , ∀α, β ∈ C, ∀S, T ∈ L(H);
4) (ST )∗ = T ∗ S ∗ , ∀S, T ∈ L(H);
5) ||T ||2 = ||



T ||, ∀T ∈ L(H).

T
Đ%nh nghĩa 1.28. Giá sú T là toán tú trong không gian Hilbert H.
Nhân cúa T , kí hi¾u kerT , là không gian con đóng {x ∈ H : Tx =
0}, và hang cúa T . kí hi¾u ranT , là không gian con {T x : x ∈
H}.
M¾nh đe 1.17. Giá sú T là toán tú trong không gian Hilbert H. The
thì kerT = (ranT ∗ )⊥ và T ∗ = (ranT )⊥.
Đ%nh nghĩa 1.29. Toán tú T trong không gian Hilbert H đưoc goi là
b% ch¾n dưói neu ton tai ε > 0 sao cho ||T f || ≥ ε||f || vói moi f ∈
H.
M¾nh đe 1.18. Giá sú T là toán tú trong không gian Hilbert H. Khi
đó, T khá ngh%ch khi và chs khi T b% ch¾n dưói và có hang trù m¾t
trong H.
H¾ quá 1.1. [8, Corollary 4.9] Giá sú T là toán tú trong không gian
Hilbert H sao cho cá T và T ∗ b% ch¾n dưói. The thì T khá ngh%ch.
Đ%nh nghĩa 1.30. [8, Definition 4.11] Giá sú T là toán tú trong không
gian Hilbert H. Khi đó
1) T đưoc goi là chuan tac neu T T ∗ = T ∗ T ;
2) T là tn liên hop neu T = T ∗ ;
3) T là dương neu (T x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H;


4) T là phép chieu neu T 2 = T và T là tn liên hop;
5) T là đơn nhat neu T T ∗ = T ∗ T = I.
M¾nh đe 1.19. [8, Proposition 4.12] Toán tú T trong không gian
Hilbert H là tn liên hop khi và chs khi (T x, x) ∈ R, ∀x ∈ H.
H¾ quá 1.2. [8, Corollary 4.13] Toán tú dương trong không gian
Hilbert là toán tú tn liên hop.
Đ%nh nghĩa 1.31. [8, Definition 4.17] Cho M là không gian con đóng
cúa không gian Hilbert H. Đ%nh nghĩa PM là ánh xa PM f = g, ó
đó f = g + h vói f ∈ M, g ∈ M ⊥ .
Đ%nh lý 1.10. [8, Theorem 4.18] Neu M là không gian con đóng cúa
H, thì PM là phép chieu có hang M. Hơn nua, neu P là m®t phép chieu
trên H, thì ton tai m®t không gian con đóng M sao cho P = PM .
Đ%nh nghĩa 1.32. M®t toán tú V trong không gian Hilbert H đưoc
goi là đang cau riêng neu ||V f|| = ||f || vói moi f trnc giao vói nhân
cna V .
Nh¾n xét 1.1. Khi kerV = {0} thì đang cau riêng V tró thành
đang cau.
M¾nh đe 1.20. Cho V là m®t toán tú trong không gian Hilbert H.
Khi đó, các m¾nh đe sau là tương đương
1) V là đang cau riêng;
2) V ∗ là đang cau riêng;


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×