Tải bản đầy đủ

Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều

i

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna PGS.TS Hà Tien
Ngoan. Trong suot quá trình thnc hi¾n lu¾n văn Thay đã truyen đat cho
bán thân tôi nhung kien thúc quý báu và luôn đ®ng viên, hưóng dan t¾n
tình đe tôi hoàn thành công vi¾c. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng
kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán cùng các quý thay cô đã
tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình
Cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin trân trong cám ơn Trưòng Đai hoc Sao Đó, Khoa Khoa
hoc Cơ bán và đong nghi¾p và đ¾c bi¾t gia đình, ngưòi thân nhung
ngưòi đã tao moi đieu ki¾n tot nhat đe tác giá an tâm hoc t¾p và báo v¾
thành công lu¾n văn này!

Hà N®i, tháng 5 năm 2011
Tác giá



ii

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna PGS.TS Hà Tien Ngoan.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 5 năm 2011
Tác giá


Mnc lnc
Má đau

2

1 M®t so kien thNc chuan b%

5

1.1

Tích phân trong không gian nhieu chieu

. . . . . . . . .

5

1.1.1

Tích phân suy r®ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2


Tích phân m¾t loai hai . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Tích phân giá tr% chính.....................................................11

1.2

Tích ch¾p.........................................................................................12

1.3

Bien đoi Fourier..........................................................................14
1.3.1

Phép bien đoi Fourier trong không gian L1(En) .

14

1.3.2

Phép bien đoi Fourier trong không gian L2(En) .

23

2 Toán tN tích phân kỳ d% và các tính chat
2.1

26

Đ%nh nghĩa toán tú tích phân kỳ d%.............................................26
2.1.1

Bien đoi Hilbert và ket quá........................................26

2.1.2

Toán tú tích phân kỳ d%.....................................................30

2.2

Toán tú tích phân kỳ d% vói nhân lé.........................................33

2.3

Toán tú tích phân kỳ d% vói nhân chan.....................................40

3 M®t so Nng dnng cúa toán tN tích phân kỳ d%

46

3.1

Sn ton tai vet cna hàm vecto trên m¾t phang

. . . . . .

47

3.2

Bat đang thúc trên biên cna hàm đieu hòa . . . . . . . .

50

iii


1

Ket lu¾n

53

Tài li¾u tham kháo

54


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% là m®t b® ph¾n cna Giái tích
đieu hòa, là khói đau cna lý thuyet toán tú giá vi phân và m®t so phương
pháp hi¾n đai trong Giái tích và Phương trình đao hàm riêng.
Lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% đã xuat hi¾n hơn m®t the ký
qua. Ban đau lý thuyet này mói chí đe c¾p trong các bài toán m®t chieu
đơn gián. Đen nhung th¾p niên 50 và 60 cna the ký XX thì sn phát trien
cna lý thuyet toán tú tích phân kỳ d% đã mó r®ng hơn trong các không
gian nhieu chieu. Trong lý thuyet Phương trình đao hàm riêng và Lý
thuyet hàm, toán tú tích phân kỳ d% đóng m®t vai trò quan trong. Nó
cho phép mô tá ngh%ch đáo cna các toán tú vi phân đao hàm riêng tuyen
tính loai elliptic vói h¾ so hang và giúp mô tá nhieu tính chat đ%nh tính
cna các không gian hàm so khác nhau.
Hơn nua trong các bài toán cna cơ hoc đàn hoi và cna lý thuyet
the v%, m®t so các đai lưong can tính toán đưoc bieu dien dưói dang toán
tú tích phân kỳ d%, do đó có the đưoc xác đ%nh m®t cách huu hi¾u hơn.
Vì v¾y đòi hói chúng ta phái nghiên cúu các tính chat cna chúng đe làm
rõ vai trò cna lý thuyet này. Trên đây là nhung lý do đe chúng tôi tien
hành nghiên cúu đe tài:
"Toán tÚ tích phân kỳ d% nhieu chieu "

2


3

2. Mnc đích nghiên cNu
H¾ thong lai khái ni¾m, tính chat cna toán tú tích phân kỳ d%
nhieu chieu. Chí ra moi liên h¾ giua toán tú tích phân kỳ d% nhieu chieu
vói lý thuyet giá vi phân. Đưa ra các úng dung cna toán tú tích phân
kỳ d% vào các bài toán hàm đieu hòa.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói muc đích đã nêu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu chính cna
lu¾n văn là:
Mô tá các khái ni¾m và tính chat cna tích phân kỳ d% và phương
trình tích phân kỳ d% cũng như các úng dung cna chúng.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong: M®t so lý thuyet ve toán tú tích phân kỳ d%, các
không gian hàm liên quan và úng dung vào phương trình tích phân.
Pham vi: Nghiên cúu lý thuyet và xây dnng các úng dung trên
cơ só các tài li¾u chuyên kháo.
5. Phương pháp nghiên cNu
Lu¾n văn chn yeu dùng các phương pháp nghiên cúu truyen
thong cna Giái tích hàm: Phân tích, tong hop kien thúc. Xuat phát tù
toán tú Hilbert trong trưòng hop m®t chieu, lu¾n văn se đưa vào toán
tú tích phân kỳ d% nhieu chieu và nghiên cúu các tính chat cna chúng.
Vi¾c úng dung se đưoc mó r®ng tù lóp các hàm liên hop đieu hòa và các
phương trình tích phân kỳ d%. Ngoài ra lu¾n văn còn nghiên cúu trên các
tài li¾u liên quan: Giáo trình, tap chí,...


6. Giá thuyet khoa hoc
Lu¾n văn đưoc trình bày m®t cách có h¾ thong và khoa hoc các
van đe ve toán tú tích phân kỳ d% và các úng dung cna tích phân kỳ d%
ve sn ton tai vet cna hàm vecto trên m¾t phang và bat đang thúc giua
các thành phan tiep tuyen và pháp tuyen trên biên cna gradient hàm
đieu hòa. Đây se là m®t đóng góp quan trong ve lý thuyet đe giái quyet
tri¾t đe các van đe ve toán tú tích phân kỳ d% và phương trình tích phân
kỳ d% trên các không gian nhieu chieu khác.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1

Tích phân trong không gian nhieu chieu

1.1.1

Tích phân suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Giá sú f là hàm xác đ%nh trên Rn và f khá tích trên
moi t¾p b% ch¾n. Neu ton tai
¸

¸

f (x)dx =
lim
Rn

f (x)dx
|x|≤R

R→∞

thì ta goi giói han trên là tích phân suy r®ng loai 1 cna hàm n bien.
Tích phân I = ¸

R
n

f (x)dx đưoc goi là h®i tu neu giói han là ton
tai

và I là huu han. Ngưoc lai ta nói tích phân là phân kì.
Ví dn 1.1.1. Trong R1 xét tích phân
¸ +∞
dx
vói α ∈
R.



1

Trưòng hop 1) α = 1 thì vói moi b ∈ R ta có:
¸ b
dx
= lnb
x
1
5


6

và lnb → +∞ khi b → +∞. Do đó
= +∞
¸ +∞
dx
x

1

hay tích phân đã cho phân kì.
Trưòng hop 2) α ƒ= 1.
Khi đó vói moi b > 1, ta có:
¸

.

b

1
1

Khi đó:

dx
x

1−α
1−α
− 1
|b = b
=x

1−α

1−
α

1−α

+Vói α < 1 thì
lim

¸

b

dx
do đó

¸

b→+∞


= +∞ và tích phân đã cho phân kì.

+∞

dx

1

= +∞

1



+Vói α > 1 thì
lim

Như v¾y ta có ket
lu¾n: Tích phân

¸

b→+∞

b

dx

=

α−1

1


¸

+∞
1

1

dx


vói α ∈ R se h®i tu neu α > 1 và phân kì neu α ≤ 1.
Ví dn 1.1.2. Trong trưòng hop tong quát thì tích phân
¸
dx
Rn

(1 + |x|)m


7

se h®i tu neu m > n và phân kì neu m ≤ n


Đ%nh lí 1.1.3. Ta có các khang đ%nh sau:
¸
¸
a) Neu các tích phân suy r®ng
f (x)dx và g(x)dx h®i tn thì:
R

R

n

¸

n

(f (x)+g(x))dx
Rn

cũng h®i tn

¸

¸
(f (x)+g(x))dx =

¸
f (x)dx+

Rn

b) Neu tích phân

¸

Rn

Rn

R
n

g(x)dx

f (x)dx h®i tn và λ là m®t so thnc thì:
¸
λ f (x)dx
Rn

h®i tn

¸

¸
λ f (x)dx = λ

f (x)dx

Rn
Rn

Đ%nh lí 1.1.4. Giá sú f là m®t hàm so xác đ%nh trên Rn và khá tích
trên
moi t¾p b% ch¾n. Neu f (x) ≥ 0 vói moi x ∈ Rn thì tích phân f
R
¸
n
(x)dx
luôn luôn ton tai (huu han ho¾c bang +∞).

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Giá sú Ω là m®t t¾p b% ch¾n, x0 ∈ Ω và f (x)
xác
đ%nh, liên tuc trên Ω \ {x0}. Khi đó neu ton tai:
¸

f (x)dx =
lim


s→0

¸

f (x)dx
Ω\Bs(x0)


thì giói han đó đưoc goi là tích phân suy r®ng loai 2 cna hàm f trên Ω
Cũng giong như tích phân suy r®ng loai 1 đưoc đ%nh nghĩa như ó
trên, neu tích phân I = ¸Ω f (x)dx có giá tr% huu han thì ta nói tích
phân h®i
tu và ngưoc lai ta nói tích phân phân kì.


Ví dn 1.1.5. Trong R1 xét tích phân trong Rn:
¸ 0
dx

2
¸ 0
−1 1 − x
¸ 0
Ta có
dx
dx


= lim
+
2
c→(−1)
1 − x2
−1 1 − x
và ta de dàng có ket
quá

¸

c

0


−1

dx

=

π

1 − x2 2

như v¾y tích phân là h®i tu.
Ví dn 1.1.6. Trong trưòng hop tong quát, xét tích phân
¸

dx
|x|≤1

|x|

k

Khi đó tích phân se h®i tu neu k < n và phân kì khi k ≥ n.
Nh¾n xét 1.1.7. Tích phân suy r®ng loai 2 cũng có các tính chat và
ket quá giong vói tích phân suy r®ng loai 1.
1.1.2

Tích phân m¾t loai hai

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Xét m¾t cong S là t¾p hop các điem M (x, y, z) thóa
mãn phương trình
F (x, y, z) = 0
M¾t S goi là trơn khi và chí khi hàm F (x, y, z) có các đao hàm
riêng
Fr r r
x, Fy, Fz liên tuc và không đong thòi bang không, hay nói cách khác
vecto gradient:
5F (x, y, z) = (F r , F r , F r )
x

y

z


liên tuc và khác 0 trên m¾t S.
Trưòng hop m¾t S có phương trình tham so:
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)
Giá sú vecto r = r(u, v) = ix + jy + kz. Khi đó m¾t S goi là trơn
neu hàm r(u, v) khá vi, liên tuc và:
.
rank

D(x, y,
.
z)

D(u, v)

=2

Đ%nh nghĩa 1.1.4. M¾t S goi là m¾t đ%nh hưóng đưoc (hay goi là m¾t
hai phía) neu tai moi điem M cna S xác đ%nh đưoc m®t vecto pháp tuyen
− − −→
− − −→
đơn v% n (M
) và hàm vecto n (M
) là liên tuc trên S, đong
thòi sau khi di
chuyen theo đưòng cong kín bat kỳ trên S và quay ve v% trí ban đau thì
vecto pháp tuyen này không đoi hưóng.

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Cho các hàm so P (x, y, z), Q(x, y, →−
z), R(x, y, z) xác đ
%nh trên m¾t đ%nh hưóng S vói vecto pháp tuyen đơn v%
n (cosα, cosβ,
cosγ).
Khi đó tích phân m¾t loai hai cna các hàm P, Q, R trên m¾t đ%nh hưóng
S đưoc tính theo công thúc:
¸¸
(P cosα + Qcosβ + Rcosγ)dS
S

và ta thưòng kí hi¾u là:
¸¸
I =

P dydz + Qdzdx + Rdxdy
S

Đe tính đưoc tích phân trên, ta can tính:
¸¸

¸¸
Rdxdy =

S

RcosγdS
S


Trong đó S là m¾t cong có phương trình z = z(x, y)(trơn ho¾c trơn
tùng khúc) vói vecto pháp tuyen đ%nh hưóng phía trên (phía trên m¾t
cong tao vói hưóng dương truc Oz m®t góc nhon).
Ta thay cosγi∆Si ≈ ∆Di, trong đó:
∆Si: Di¾n tích m¾t cong ∆Si
∆Di: Di¾n tích hình→−
chieu mánh cong ∆Si xuong m¾t phang Oxy.
Khi đó vecto pháp tuyen
n tao vói truc Oz m®t góc nhon, nên cosγi
>0
và ∆Di lay dau dương. Khi đó:
¸¸

¸¸
Rdxdy = +
S

R(x, y, z(x, y))dxdy
D1

trong đó D1 là hình chieu cna S xuong Oxy.
Neu đoi hưóng m¾t S túc cosγi < 0 và ∆Di lay dau âm. Khi đó:
¸¸

¸¸

R(x, y, z(x, y))dxdy

Rdxdy = −
S

Tương tn

D1

¸¸

¸¸
Qdxdz = ±

Q(x, y(x, z), z)dxdz

¸ ¸D2
¸¸
P dydz = ±

P (x(y, z), y, z)dydz

S

S
D3

Ví dn 1.1.8. Tính tích phân

¸¸
S

2dydz

y

x

+

2

dxdz + 2dxdy

z

trong đó S là m¾t phía ngoài cna núa m¾t cau x2 + y2 + z2 = R2, z
≥0
Ta có:
¸¸
I3 =
¸¸

S

z2dxdy
(R2 − x2 − y2)dxdy

=
x2+y2≤R2


=

πR4
2


¸¸
I2 =
¸¸
=

y2dxdz

S

y2dxdz

¸¸
y2dxdz +
S1

S2

trong đó
S = S1 + S2
và nó úng cho hai giá tr% y dương và y âm. Khi đó:
¸¸

(y2)dxdz

S1

lay dau dương và:

¸¸
(y2)dxdz
S2

lay dau âm.
Do hàm y2 là hàm chan, nên:
¸¸

¸¸

y2dxdz

2

y dxdz = −
S1

S2

hay I2 = 0. M®t cách hoàn toàn tương tn, ta cũng có:
¸¸

(x2)dydz = 0
S

V¾y I =
πR
4.

1.1.3

2

Tích phân giá tr% chính

Đ%nh nghĩa 1.1.6. Không gian S các hàm thú đưoc đ%nh nghĩa bói
lóp tat cá các C ∞ cna hàm ϕ trong En (đao hàm riêng moi cap cna ϕ
ton tai và liên tuc) thóa mãn:
.

α

β

.

sup x (D ϕ)(x) < ∞
.
.


x∈En


vói moi đa chí so α = (α1, α2, ..., αn) và β = (β1, β2, ..., βn) cna
các
β1 β2
α1 α2
α
αn
β
so nguyên
không
âm,
trong
đó
x
=
x
x
...x
,
D
=
D
D
...Dβn ,
Dj =


j

1

.

2
n

1

2

n


x

Đ%nh nghĩa 1.1.7. Trong không gian En thnc, S - không gian các hàm
thú, ϕ ∈ S, vói P (x) là đa thúc đieu hòa trong En (thuan nhat b¾c k).
P (x)

Xét hach K(x) =

n+
k

, k ≥ 1. Hàm K(x) không khá tích tai lân

c¾n
cna goc toa đ®

|x|

Khi đó ta đ%nh nghĩa hàm suy r®ng tăng ch¾m (phiem hàm tuyen tính
trên không gian các hàm giám nhanh ó vô cnc):
L(ϕ) = lim

¸

s→0

K(t)ϕ(t)dt
0t|

vói moi hàm thú ϕ.
Neu giói han ó trên mà ton tai thì ta goi nó là tích phân giá tr% chính.
Ngưòi ta thưòng dùng kí hi¾u:
¸
L(ϕ) = P.V

K(t)ϕ(t)dt
En

đe chúng tó L là hàm tuyen tính vói moi ϕ ∈ S.

1.2

Tích ch¾p

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Neu f và g thu®c L1(En) thì tích ch¾p cna f và g
ký hi¾u f ∗ g đưoc xác đ%nh như sau:
(f ∗ g)(x) ¸
:=

f (y)g(x − y)dy :=
En


¸

f (x − y)g(y)dy

En


trong đó tích phân trên là ton tai hau khap nơi theo x ∈ En và khi đó
f (x − y)g(y) là hàm đo đưoc cna hai bien x và y.
Đ%nh lí 1.2.1. Neu tích ch¾p f ∗ g ton tai thì tích ch¾p g ∗ f cũng
ton tai và:
f ∗ g = g ∗ f.
M¾nh đe 1.2.2. Tích ch¾p cúa moi hàm suy r®ng f vói δ đeu ton tai
và:
f ∗ δ = δ ∗ f = f.
Đ%nh lí 1.2.3. Neu f ∈ Lp(En), 1 ≤ p ≤ ∞ và g ∈ L1(En), thì:
h = f ∗ g đưoc xác đ%nh và tích ch¾p thu®c Lp(En). Hơn the nua:
"f ∗ g"p ≤ "f"p "g"1 .
Chúng minh. Đ%nh lí này là rat rõ ràng. Th¾t v¾y, ta có:
|h(x)| ≤ ¸

|f (x − y)| |g(y)| dy
En

Vì v¾y ta có the áp dung bat đang thúc tích phân Minkowski chí ra
rang:

p

1

|h(x)|


ha
y
¸

|f (x − y)| |g(y)|p |g(y)|
dy

q

dx,

En





p

En

.p

1

|h(x)| dx ≤ ("g"1)

. dx.

p

|f (x − y)| |g(y)| dy

q

En
En




¸
|g(y)|
En

.
E
n

"
p

p

|f (x − y)| dx


dy = "f

p

"g"1 .


Do đó:
"h"p ≤ "f"p "g"1 .

Đ%nh lí 1.2.4. Neu tích ch¾p f ∗ g ton tai thì các tích ch¾p Dαf ∗ g

f ∗ Dαg cũng ton tai. Hơn the nua:
Dαf ∗ g = Dα(f ∗ g) = f ∗ Dαg.

1.3

Bien đoi Fourier

1.3.1 Phép bien đoi Fourier trong không gian L1 (En)
Đ%nh nghĩa 1.3.1. Phép bien đoi Fourier cna hàm f ∈ L1(En) cho
bói công thúc:
¸
vói x ∈
En.

fˆ(x)
:=

En

f (t)e−2πix.tdt

Đ%nh lí 1.3.1. Cho f ∈ L1(En), ánh xa:
f → fˆ
là tuyen tính, b% ch¾n bien đoi tù L1(En) vào L∞(En) và ta có:
a) f
≤ "f"
ˆ
1

b) fˆ liên tnc đeu trên En
c) Neu f ∈ L1(En)

fˆ h®i tn đeu

thì
d) Neu đao hàm f r ton tai và thu®c L1(En) thì:
fˆr (x) = −2πitfˆ(x)


e) fˆ(x) → 0 khi x → ±∞
Đ%nh lí 1.3.2. Neu f, g ∈ L1(En) thì bien đoi Fourier:
(ˆf ∗ g) = fˆg
Đ%nh lí 1.3.3. Neu f và g ∈ L1(En) thì:
¸

¸

fˆ(x)g(x)dx
=

En

f (x)g(x)dx
ˆ

En

Chúng minh. Đ%nh lí này de dàng có đưoc dna vào đ%nh lí Fubini. Th¾t
v¾y:
¸

fˆ(x)g(x)dx
=

. g(x)dx



¸

f (t)e−2πit.xdt

En

En

En

¸
=
=

En

¸

.


En

g(x)e−2πit.xdx f (t)dt

f (t)g(t)dt
En
ˆ

Đ%nh lí 1.3.4. Giá sú α là m®t so phúc thóa mãn 0 < Re(α) < n

P (x) là m®t đa thúc đieu hòa trên En (thuan nhat có b¾c k). Neu:
K(x)
=
thì
:

i−k π
)

P (x)
n+k−α

|x|

γ P (t)
Kˆ (t) =
k+α
|t|
(k+α)

( n −α)
2
Γ(


ó đây γ = γk,α =

2
(n+k−α)
Γ(
2

)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×