Tải bản đầy đủ

Toán tử định vị trong không gian biến điệu

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ

N®I 2

HO HÁI HÀ

TOÁN TÚ Đ±NH V±
TRONG KHÔNG GIAN BIEN

LU¾N VĂN THAC SY
Chuyên ngành: Toán Giái tích

Mã so: 60 46 01

Hà N®i-2011

ĐIfiU


2


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ

N®I 2

HO HÁI HÀ

TOÁN TÚ Đ±NH V±
TRONG KHÔNG GIAN BIEN

ĐIfiU

LU¾N VĂN THAC SY
Chuyên ngành: Toán giái tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc
TS. BÙI KIÊN CƯèNG
Mã so: 60 46 01

Hà N®i-2011


LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna TS Bùi Kiên Cưòng.
Thay đã t¾n tình hưóng dan và cho tác giá nhung lòi khuyên quý báu
trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích l¾
đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong
chuyên môn. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng kính trong sâu sac
nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và to Giái tích cùng các
quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep
chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin trân trong cám ơn UBND Tính Yên Bái, só GD&ĐT Tính
Yên Bái, Ban giám hi¾u trưòng THPT Tran Nh¾t Du¾t Tính Yên Bái.
Tác giá cũng xin đưoc cám ơn gia đình, ban bè và đong nghi¾p đã tao
moi đieu ki¾n cho giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn thành tot


lu¾n văn.
Hà N®i, ngày 25 tháng 5 năm
2011
Tác giá

Ho Hái Hà.


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, ngày 25 tháng 5 năm
2011
Tác giá

Ho Hái Hà.


5

Mnc lnc
Báng kí hi¾u và viet tat

v

Má đau

x

1 Kien thNc chuan b%

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Không gian hàm suy r®ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Không gian hàm cơ bán D(Ω) . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian hàm suy r®ng Dr(Ω) . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Không gian các hàm giám nhanh S(Rn)

3

1.1.4

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn)

5

Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Bien đoi Fourier và bien đoi Fourier ngưoc . . . .

7

1.2.2

Bien đoi Fourier và đao hàm . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng..............................14

1.2.4

Bien đoi Fourier thòi gian ngan.....................................16

. . . . .

Không gian Sobolev...................................................................20
1.3.1

Không gian Sobolev cap nguyên...................................21

1.3.2

Không gian Sobolev cap thnc........................................23

Không gian hon hop chuan có trong.........................................25
1.4.1

Không gian hon hop chuan............................................25

1.4.2

Hàm trong......................................................................27

1.4.3

Không gian hon hop chuan có trong.............................30


1.5
2

Không gian bien đi¾u.....................................................................34

Toán tN đ%nh v% trong không gian Lp
2.1

37

Toán tú giá vi phân Tσ............................................................39

2.1.1

M®t so đ%nh nghĩa và ví du ................................................................. 39

2.1.2

Tính b% ch¾n cna toán tú giá vi phân...............................................43

2.1.3

Toán tú giá vi phân trên không gian Sobolev . . .

52

2.2

56

Bien đoi Weyl

2.2.1

Đ%nh nghĩa.........................................................................56
2.2.2

1

2.2.3

p≤2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bien đoi Weyl vói bieu trưng thu®c L∞(R2n) . . .

2.2.4
2.2.5
2.3

3


66
69

2
<
p < ∞..............................................................................71
Phép bien đoi Weyl Compact........................................76

Toán tú đ%nh v%........................................................................................78
2.3.1

Đ%nh nghĩa.........................................................................79

2.3.2

Toán tú đ%nh v% b% ch¾n................................................80

2.3.3

Toán tú đ%nh v% và phép bien đoi Weyl . . . . . .

85

2.3.4

Toán tú đ%nh v% compact . . . . . . . . . . . . . .

86

Toán tN đ%nh v% trong không gian bien đi¾u

88

3.1

Đ%nh nghĩa toán tú đ%nh v% trong không gian bien đi¾u

.

88

3.2

Tính b% ch¾n cna toán tú đ%nh v%....................................................89

3.3

Tính b% ch¾n cna Toán tú đ%nh v% trên không gian Sobolev 95

3.4

Toán tú đ%nh v% compact.............................................................98

Ket lu¾n

103

Tài li¾u tham kháo

104


Báng kí hi¾u và viet tat

N:
N∗ :
|α| :

T¾p hop các so tn nhiên.
T¾p hop các so nguyên dương.
B¾c cna đa chí so α,
n
.
|α| =
αi, α = (α1, ..., αn) ∈ N∗.
i=1

R:
Rn :
C:

T¾p hop các so thnc.
Không gian Ơclit n chieu.
T¾p hop các so phúc.

z, |z| :

So phúc liên hop, mô đun cna so phúc z.

Dα f :

Đao hàm cap α cna f, Dαf = (−1)

|α| α

∂ f

.
∂αu :

Đao hàm riêng cap α cna u,
(∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂αϕ).

C∞ :

Không gian các hàm khá vi vô han.

0 (Ω) : T¾p hop các hàm khá vi vô han giá compact.
C∞
C0(Rn) : Không gian các hàm liên tuc có giá compact.

D (Ω) :
S (Rn) :

Không gian các hàm cơ bán.
Không gian các hàm giám nhanh.


S r (Rn) :

Không gian các hàm tăng ch¾m.

T xf :

Phép t%nh tien theo x cna hàm
f, Txf (t) = f (t − x) .

Mω f :

Sn đieu bien theo ω cna hàm f,
Mωf (t) = e2πit·ωf (t) .

f∗ :

Phép đoi hop cna f, f ∗ (x) = f

(−x). f˜ :

Phép đoi xúng cna f, f

(x) = f (−x).
(f ∗ g)(x) :

Tích ch¾p cna f và g,
¸
f (y)g(y − x)dy.
(f ∗ g)(x)
Rn

=

fˆ, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f .
F −1 (f ) , fˇ : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f .
F, fˆ : Liên hop cna bien đoi Fourier f .
X αf (x) : Toán tú nhân, Xα f (x) = xαf (x)
. span{A} : Bao tuyen tính cna t¾p A.
Ap :

Hang so Babenko-Beckner,
Ap = . 1/
.1/2
p
p
.
(pr)1/p
r

V gf :

Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói
hàm cúa so g,
¸
Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πit·ωdt.
Rn

F2 :

Bien đoi Fourier cna hàm F theo bien thú 2,
¸
F (x, t)e−2πit·ωdt.
F2F (x, ω)
=

Rn


vii

Lp :

Không gian các hàm đo đưoc Lebesgue,
có chuan Lp huu han.
1

"f"Lp (Ω)

p

¸ |f (x)|
dx .
=  p


Hs(Rn) :

Không gian Sobolev cap s,
s

Hs(Rn) = {u ∈ Sr(Rn)| (ξ) Fu(ξ) ∈ L2(Rn)}.
Hs,p(Ω) :
Hm
0 (Ω) :
H

Không gian các hàm Lp-Sobolev cap s.

Lp,q(Rn) :

Không gian hon hop chuan.



m

Bao đóng cna C0 (Ω) trong

(Ω).

n

p,q

(R ),
"F "Lp,q : Chuan trong không gian
1
q
L
.
¸ .¸
p
.p dω. q.
Rn
"F "Lp,q
|F (x, ω)| dx
Rn

=
Lp,q(R ) :
m

Không gian hon hop chuan có trong.

2n

"F "Lp,
q

m

:

"F "Lp,m
q

p,q
Chuan trong không gian Lm
(R2n),
¸ ¸
q
1
p
p
=(
m(x,
dx)p dω) q .
|F (x,
ω)
ω)|
(
Rn
Rn

):
M p,q
m (R

Không gian bien đi¾u,

n

M p,q(R ) = {u ∈
m
S r (Rn
n

"u"M mp,q

(Rn)

)"Vgu ∈
Lp,q(R2n

)}.
m

: Chuan trong không gian
M

p,
q p,q m
n


vii
n

(R ),

"u"
p,q M
m

(Rn)

Tσ :
Tσϕ(x)

=
"Vgu"

, u ∈ Mm (R ).

p,
q

Lm

(R2n)

Toán tú giá vi phân vói bieu trưng σ,
¸
−n/2
= (2π)
eix·ξ σ(x, ξ)ϕˆ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ).
Rn


11

Tσ :
∗Js :
Js
W (f, g) :
W (f, g)(x, ξ)

Liên hop hình thúc cna toán tú Tσ.
The v% Bessel b¾cs, s ∈ R,
2

= F −1 (1 + |ξ| )−s/2 Fu, u ∈ Sr(Rn).
Bien đoi Wigner cna hai hàm f, g ∈ S(Rn),
¸
p
p
= (2π)
e−iξ·pf (x + )g(x − )dp.

−n/2

2

2

Rn

V (f, g)(q, p) : Bien đoi Fourier-Wigner cna f, g,
V (f, g)(q, p)

= (2π)−n/2 (ρ(q, p)f, g) , f, g ∈

S(Rn). Wσϕ :Bien đoi Weyl vói bieu trưng σ
cna ϕ,
¸ ¸
.
.
x+
−n
Wσϕ (x)
= (2π)
ei(x−y)ξσ y , ξ)ϕ(y)dydξ.
(

2

Rn Rn

B(L2(Rn)) :
"."∗ :

Là C∗ − đai so cna tat cá nhung
toán tú b% ch¾n tù L2(Rn) vào L2(Rn).
Chuan trong B(L 2
(R )).
n

Shf :
(Shf )(x)
Lp (R2n) :
(R2n)}.


n

(W H) :
Qs :

Toán tú Hilbert-Schmidt trên L2(Rn),
¸
= h(x, y)f (y)dy, x ∈ Rn, f ∈ L2(Rn).
Rn

vói Lp (R2n) = {σ ∈ Lp (R2n)"σˆ ∈ Lpr


Nhóm Weyl-Heisenberg.
Không gian các the v% Bessel,
Qs = {u ∈ Sr(Rn) : Λsu ∈ L2(Rn)}.


X[a,b] :
ϕa (x) :
e−
Ta :

Hàm đ¾c trưng trên [a, b].
Là hàm Gauss vói ϕa (x) =

πx2
a

.

Phép bien đoi toa đ® không đoi xúng
vói Taf (x, t) = f (t, t − x).

Ts :

Phép bien đoi toa đ® đoi xúng
.
.
x
+
,
x
.
t
t
vói Tsf (x, t) =
2 −2
f

f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f và g,
(f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t).


Má đau
1. Lí do chon đe tài
Toán tú đ%nh v%, hay còn goi là toán tú Toeplitz ho¾c toán tú
anti- Wick, xuat hi¾n trong toán hoc lý thuyet và toán hoc úng dung, có
xuat xú tù nhung lĩnh vnc nghiên cúu tương đoi khác nhau, chúng có v
% trí quan trong nhat trong lóp các toán tú không tn liên hop. Đe thay
đưoc sn ton tai tn nhiên cna toán tú đ%nh v% trong không gian bien đi¾u,
chúng ta bat đau trong ngu cánh cna giái tích thòi gian-tan so, tù
nhung van đe đơn gián sau:
Neu u(t) bieu dien m®t tín hi¾u, đó là m®t hàm cna thòi gian t, thì
bien đoi Fourier uˆ(ω) cna nó bieu dien hàm suy r®ng cna nhung tan
so ω đưoc chúa trong tín hi¾u. Tuy nhiên, nhung kien thúc ve tan so
đưoc chúa trong toàn b® tín hi¾u mà lai không có thông tin ve thòi
gian tai thòi điem mà chúng xuat hi¾n thì không có ích cho vi¾c phân
tích nhung tín hi¾u thay đoi theo thòi gian nói chung. Đe khac phuc
van đe này, m®t ý tưóng rat cơ bán đau tiên là cna Gabor, là t¾p
trung vào nhung khoáng thòi gian nhó và phân tích tan so xuat hi¾n
trong nhung khoáng thòi gian này. Đieu này có the làm đưoc bang
cách nhân hàm u(t) bói m®t hàm phat ho¾c m®t hàm cúa so φ(t)
trưóc khi nói đen khai trien Fourier. Vi¾c phân tích nhung tan so t¾p
trung ó trong m®t khoáng thòi


gian co đ%nh x dan đen phép tính cna tích phân
¸
Vφu(x, ω) = e−2πit·ω φ(t − x)u(t)dt.

(1)

Rn

Không gian Rn × Rn đưoc goi là phang thòi gian-tan so và hàm Vφu(x,
ω)
x

ω

còn đưoc goi là bien đoi Fourier thòi gian ngan cna u (viet tat là STFT),
the hi¾n các thòi gian-tan so cna tín hi¾u.
Theo nguyên lý không chac chan cna Heisenberg thì kích cõ cna hàm
cúa so không the co lai m®t cách tùy ý mà không làm mat ý nghĩa cna
thông tin thu đưoc ve nhung tan so, cho nên m®t phân tích "tan so túc
thòi" trong thnc te là không có ý nghĩa.
Tín hi¾u u có the tái xây dnng lai tù phân bo tín hi¾u cna nó bói
công thúc
1

u(t) =

"φ"L
2

¸

Vφu(x, ω)e2πit·ωφ(t − x)dxdω.

(2)

R2
n

Trưóc khi đưoc tái xây dnng, tín hi¾u đưoc trái qua m®t quá trình xú lý
hay là m®t quá trình loc có trong m®t bien đi¾u STFT Vφu cna nó. Đieu
này có the thu đưoc bang vi¾c nhân nó vói m®t hàm so F (x, ω), hàm
so
này hoat đ®ng như m®t b® loc và khuyech đai hay tri¾t tiêu nhung phan
khác cna sóng nam trong nhung phan không can thiet cna m¾t phang
thòi gian-tan so theo nhu cau cna quá trình này. Đieu này dan đen vi¾c
xem xét nhung toán tú cna tích phân sau:
¸
2πit·
u(x)
F (x, ω)Vφu(x,
φ(t − x)dxdω.

ω
2
F=
R ω)e

(3)

n

Toán tú tích phân (3) đưoc goi là toán tú đ%nh v%. Có m®t thnc te là
nhung cau trúc toán hoc tương tn cũng làm nen táng cna vi¾c xây dnng
cơ hoc lưong tú. Đay là m®t trang thái cna m®t h¾ thong v¾t lý đưoc
the hi¾n bói m®t hàm so u(t) ∈ Lp(Rn) và (2) phân tích trang thái u(t)


xii

thành nhung trang thái đưoc khái quát bói e2πit·ωφ(t − x). Nhung trang
thái này đưoc xác đ%nh là phép t%nh tien và đieu bien, nghĩa là tích
e2πit·ωφ(t − x) cna m®t trang thái co đ%nh φ(t).
Nghiên cúu ve toán tú đ%nh v% đã chn yeu t¾p trung vào nghiên cúu
tác đ®ng cna chúng trên L2(Rn), trong khi đó, vói nhung gì chúng ta biet,
rat ít ket quá ve toán tú đ%a phương hóa hoat đ®ng trong nhung không
gian Banach khác nhau đưoc biet đen. M®t so ket quá theo hưóng nghiên
cúu này có nói ve vi¾c nghiên cúu tính chat b% ch¾n và tính compact cna
toán tú đ%nh v% trong không gian Lp.
Vói toán tú Weyl, ngưòi ta đã chúng minh không gian bien đi¾u
M p,q(R ), p, q ∈ (1, +∞) vói m là hàm trong, là lóp các đ¾c trưng cna
m
n

nhung toán tú loai này, vói lóp đ¾c trưng đó, tính b% ch¾n và tính chat
Schatten-Von Newmann cna toán tú Weyl đã đưoc chúng minh.
M®t van đe tn nhiên là nghiên cúu ve nhung đ¾c điem cơ bán cna
toán tú đ%nh v% hoat đ®ng trong không gian bien đi¾u, là xem xét m®t
so khái ni¾m và tính chat, nghiên cúu tính b% ch¾n cna toán tú đ%nh
v% trong nhung không gian bien đi¾u khác nhau, vói nhung bieu trưng
trong không gian Lp. Sau đó se nghiên cúu mó r®ng các ket quá đó đoi
vói các không gian the v% Bessel và không gian Sobolev.
Vói mong muon hieu biet sâu hơn ve nhung toán tú đ%nh v% trên
không gian bien đi¾u, cùng vói sn hưóng dan cna TS Bùi Kiên Cưòng
tôi lna chon đe tài:
"Toán tÚ đ%nh v% trong không gian bien đi¾u "
2. Mnc đích nghiên cNu.
Nghiên cúu ve không gian bien đi¾u
Nghiên cúu ve m®t so toán tú đ%nh v% trong không gian Lp.
Nghiên cúu ve toán tú đ%nh v% trong không gian bien đi¾u.


xiii

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Trình bày ve không gian bien đi¾u
Trình bày ve m®t so toán tú đ%nh v% trong không gian Lp.
Trình bày ve toán tú đ%nh v% trong không gian bien đi¾u.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưang nghiên cNu: Toán tú đ%nh v% trong không gian bien đi¾u.
Pham vi nghiên cNu: Các bài báo và các tài li¾u trong và ngoài nưóc
liên quan đen toán tú đ%nh v% trong không gian bien đi¾u.
5. Phương pháp nghiên cNu
Phương pháp nghiên cúu lý thuyet.
Phương pháp phân tích, tong hop.


17

Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1

Không gian hàm suy r®ng

Các n®i dung trong phan này đưoc tham kháo chn yeu trong ([2],[5],[11],
[12]- [19]). Ký hi¾u Ω là m®t con t¾p mó cna Rn.
1.1.1

Không gian hàm cơ bán D(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Không gian hàm cơ bán đưoc kí hi¾u là D(Ω) là
không gian gom các hàm khá vi vô han trên Ω và có giá compact trong
Ω vói topo xác đ%nh bói sn h®i tu như sau:


Dãy {ϕj}j= các hàm trong D(Ω) đưoc goi là h®i tu đen hàm ϕ ∈ D(Ω)
1

neu thóa mãn các đieu ki¾n (i) và (ii):
i, Có m®t t¾p compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . .
ii, lim sup |Dαϕj (x) − Dαϕ(x)| = 0,
j→∞

vói α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn. Khi đó ta viet là ϕ = D_ lim ϕj .
j→∞

é đây vói moi đa chí so α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn
α

Dαϕ = D 1 D
1

α2

2
n

α1

. . . Dαn ϕ = (−i)∂|α|

α

∂xα12
∂x
1

∂α . . . ∂αn ϕ.
2
α
∂x n
2

n

Đ%nh lí 1.1.1. Không gian các hàm cơ bán D(Ω) là đay đú.


1.1.2

Không gian hàm suy r®ng Dr(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Ta nói rang f là m®t hàm suy r®ng trên Ω neu f
là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc trên D(Ω).
T¾p hop tat cá các hàm suy r®ng trên Ω, kí hi¾u là Dr(Ω).
Hàm suy r®ng f ∈ Dr(Ω) tác đ®ng lên moi ϕ ∈ D(Ω) đưoc viet là (f,
ϕ).
Ví dn 1.1.2. Cho f ∈ L1
lo (Ω), khi đó phiem hàm liên tuc trên D(Ω)
đưoc xác đ%nh bói:

c

¸ f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω)
f : ϕ ›→ (f, ϕ) =

(1.1)



là m®t hàm suy r®ng. Hàm suy r®ng bieu dien như (1.1) đưoc goi là hàm
suy r®ng chính quy. Hàm suy r®ng không chính quy đưoc goi là hàm suy
r®ng kỳ d%.
Ví dn 1.1.3 (Hàm suy r®ng Delta Dirac). Ký hi¾u δ là phiem hàm xác
đ%nh bói:
δ : ϕ ›→ (δ, ϕ) = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω), 0 ∈ Ω.
Nh¾n xét 1.1.4. Hàm suy r®ng δ còn đưoc goi là hàm suy r®ng Delta
Dirac và hàm suy r®ng Delta Dirac là hàm suy r®ng kỳ d%. Th¾t v¾y,
vói moi ϕ1, ϕ2 ∈ D(Ω) thì:
(δ, ϕ1 + ϕ2) = (ϕ1 + ϕ2)(0) = ϕ1(0) + ϕ2(0) = (δ, ϕ1) + (δ, ϕ2) .
(δ, λϕ) = (λϕ)(0) = λ ϕ(0) = λ (δ, ϕ) .
Giá sú ton tai m®t hàm khá tích đ%a phương u sao cho:
¸
ϕ(0) = (δ, ϕ) = u(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω).
Rn

Lay dãy ϕk ∈ D(Ω) đưoc xác đ%nh bói
ϕk(x) = ϕ(kx) và ϕ(0) = c ƒ= 0.


Khi k → ∞ theo Đ%nh lí h®i tu b% ch¾n Lebesgue thì:
¸
ϕ(0) = lim
u(x)ϕk(x)dx → 0.
k→∞
Rn

Đieu này là mâu thuan vói ϕ(0) = c ƒ= 0. Nên không ton tai hàm
khá
tích đ%a phương u đe

¸ u(x)ϕ(x)dx.
(δ, ϕ) = ϕ(0) =
Rn

V¾y δ là hàm suy r®ng kì d%.
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ Dr (Ω), α = (α1, α2, . . . , αn) ∈ Nn.
Đao
hàm cap α cna hàm suy r®ng f trong Ω, kí hi¾u là Dαf là hàm suy r®ng
trên Ω đưoc xác đ%nh bói:
|α|

(Dαf, ϕ) = (−1)

(f, Dαϕ) , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + . . . + αn.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho fk, f ∈ Dr (Ω), k = 1, 2, . . .


Ta nói rang, dãy {fk} k= h®i tu đen f trong Dr (Ω) khi k → ∞ neu
1

lim
k→∞

(fk, ϕ) = (f, ϕ) , ∀ϕ ∈ D (Ω) .

Kí hi¾u Dr_ lim fk = f .
k→∞

Vói khái ni¾m h®i tu đó chúng ta có
Đ%nh lí 1.1.5 ([13],[14]). Không gian hàm các hàm suy r®ng Dr(Ω) là
đay đú.
1.1.3

Không gian các hàm giám nhanh S(Rn)

Vói moi α, β ∈ Nn.


Đ%nh nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm giám nhanh, kí hi¾u là S (Rn)
là t¾p hop đưoc xác đ%nh bói:
S(Rn) .ϕ ∈ C∞(Rn)| sup .xαDβϕ(x). < ∞, ∀x ∈ Rn.
=
.
.
Rn

cùng vói khái ni¾m h®i tu đưoc đ%nh nghĩa như sau:


n
n
Dãy {ϕk}k=
. trong S (R ) đưoc goi.là h®i tu đen ϕ ∈ S(R ) neu:
li sup 1 xαDβϕk (x) − xαDβϕ (x) = 0. Kí hi¾u S_ ϕk = ϕ.
m lim
.
.
k→∞

k→∞ x∈Rn

Chú ý 1.1.6.
1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn) là giám nhanh khi và chí khi m®t trong hai đieu
ki¾n sau thóa mãn:
a) Vói moi m ∈ N, β ∈ Nn có
m.
.
.Dβϕ (x). ≤ Cm,β , vói moi x ∈ Rn.
.1 + |x|
2

.

b) Vói moi m ∈ N∗ có
m .
.1

+ |x|

.

.
β
n
.
|β|≤m .D ϕ (x) ≤ Cm, vói moi x ∈ R .

2

.

2. Vói moi λ, µ ∈ C, ϕk, ψk, ϕ, ψ ∈ S (Rn) , k = 1, 2, . . .
ϕk = ϕ và ψk = ψ thì
Neu S_ lim
k→∞

lim
k→∞

S_ lim (λϕk + µψk) = λϕ + µψ.
k→∞

3. Vói moi α ∈ Nn, phép toán đao hàm Dα là ánh xa tuyen tính liên tuc
tù S (Rn) vào S (Rn).
4. Không gian các hàm cơ bán D(Ω) trù m¾t trong không gian các hàm
giám nhanh S(Rn).


Bo đe 1.1.1. Neu ϕk → 0 trong S(Rn) thì ϕk → 0 trong Lp(Rn) khi
k → ∞, 1 ≤ p ≤ ∞.


H¾ quá 1.1.1. Neu f ∈ S(Rn) và m®t dãy {gk}∞
k= gom nhung hàm
1
trong S(Rn) sao cho gk →
0 trong S(Rn) thì
.
.
¸
.
.
|α|
|β|
γ
.
δ
p..
.p .. .
|x| |p|
dp,
.
.(∂ f ) +
gk ) x −
.
(∂
2
Rn
2
n
vói moi α, β, γ, δ ∈ N là h®i tn đeu ve 0 theo x trên Rn khi k → ∞.
Đ%nh lí 1.1.7 ([5]). Không gian các hàm giám nhanh S(Rn) là đay đú.
Nh¾n xét 1.1.8. Chúng ta có
D(Rn) ⊂ S(Rn) ⊂ C∞(Rn).
1.1.4

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn)

Đ%nh nghĩa 1.1.6. Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn)
là không gian topo đoi ngau cna S (Rn), nói cách khác S r (Rn) là không
gian các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên S (Rn) .
M¾nh đe 1.1.9 ([19]). Hàm suy r®ng f là hàm suy r®ng tăng ch¾m khi
và chs khi f là m®t phiem hàm tuyen tính trên S (Rn) và ton tai m®t
so dương C và vói moi đa chs so α, β ∈ Nn sao cho
.
.
|(f, ϕ)| ≤ C sup. xα∂βϕ(x). vói moi ϕ ∈ S(Rn).
x∈Rn
r
n
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Dãy {uk}∞
k= trong S (R ) đưoc goi là h®i tu ve 0

trong Sr (Rn) neu

1

uk(ϕ) → 0 khi k → ∞, vói moi ϕ ∈ S(Rn).
Khi đó kí hi¾u uk → 0.
Đ%nh nghĩa 1.1.8. Cho u là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m, vói moi đa
chí so α đao hàm cna u ký hi¾u ∂αu đưoc xác đ%nh bói:
(∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂αϕ), ϕ ∈ S(Rn).


Nh¾n xét 1.1.10. Đao hàm ∂αu cũng là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m.
Neu ϕk ⊂ S(Rn) sao cho ϕk → 0 trong S(Rn) thì
∂αϕk → 0 trong S(Rn) khi k → ∞.
Do đó (∂αu)(ϕk) → 0 khi k → ∞.
V¾y ∂αu : Sr(Rn) → Sr(Rn) là ánh xa tuyen tính liên tuc.
Đ%nh lí 1.1.11 ([13]). Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m Sr (Rn)
là đay đú.
Nh¾n xét 1.1.12. Chúng ta có
S(Rn) ⊂ Lp(Rn) ⊂ Sr(Rn), vói 1 ≤ p ≤ ∞.
Các toán tN cơ bán
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Vói x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S (Rn) ta đ%nh nghĩa
các toán tú sau đây:
1. Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u Txf là m®t "sn d%ch chuyen thòi
gian" đưoc xác đ%nh bói:
Txf (t) = f (t − x) .
2. Sn đieu bien theo ω cna f , kí hi¾u Mωf đưoc xác đ%nh bói:
Mωf (t) = e2πit·ωf (t) .
3. Phép đoi hop cna f , kí hi¾u f ∗ đưoc đ%nh nghĩa bói:
f ∗ (x) = f (−x).
4. Toán tú đoi xúng cna f , kí hi¾u f˜ đưoc xác đ%nh bói:
f˜(x) = f (−x) .


5. Tích ch¾p cna hai hàm f, g ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là f ∗ g đưoc xác đ%nh
bói:
¸
f (y)g (x − y) dy.
(f ∗ g) (x) =
Rn

Tù đ%nh nghĩa, theo ([12]) chúng ta có, vói x, ω ∈ Rn thì
1. TxMω = e−2πix·ωMωTx.
2. "Tx Mω f"Lp = "f"Lp .
3. (f ∗ g)(x) = (f, Txg∗) .

1.2
1.2.1

Bien đoi Fourier
Bien đoi Fourier và bien đoi Fourier ngưac

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Bien đoi Fourier cna hàm f ∈ L1 (Rn ), kí hi¾u là
fˆ ho¾c Ff , là m®t hàm đưoc xác đ%nh bói
¸
fˆ(ω) = f (x) e−2πix·ωdx , ω ∈ Rn.
(1.2)
Rn

Ngoài đ%nh nghĩa bien đoi Fourier như trên bien đoi Fourier còn đưoc
đ%nh nghĩa bói:


−ix·ω
− f (x) e
dx.
ˆ
Ff (x) = f (ω) = (2π)

(1.3)

2

Rn

Ta dùng kí hi¾u Ff đe nhan manh rang phép bien đoi Fourier là m®t
toán tú tuyen tính tác đ®ng trên m®t không gian hàm f ∈ L1 (Rn).
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Cho f ∈ L1 (Rn). Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm
f , kí hi¾u F −1f ho¾c fˇđưoc đ%nh nghĩa bói
fˇ(x) =

¸

Rn

f (ω) e2πix·ωdω , x


Rn,

(1.4)


và theo (1.3) ta có


F

−1

f (x) = (2π)



2

f (ω) eix·ωdω , x ∈ Rn.

(1.5)

Rn

Tù đ%nh nghĩa trên ta có F −1 f =
˜
f ˆ.

fˆ ∈ L1 (Rn) thì neu theo
(1.2)

Đ%nh lí 1.2.1 ([13]). Neu f ∈ L1(Rn)
và ta có
¸
f (x) = fˆ(ω) e2πix·ω dω , x ∈ Rn
Rn

và theo (1.3) ta


−2
f (x) = (2π)
Ff (ω) eix·ωdω , x ∈ Rn
Rn

nghĩa là F−1 và F là các toán tú ngưoc cúa nhau.
Bo đe 1.2.1 (Bo đe Riemann-Lebesgue). ([13]) Bien đoi Fourier F là
ánh xa tuyen tính liên tnc tù L1(Rn) vào L∞(Rn) thóa mãn: vói f ∈
L1(Rn) thì
"fˆ "L ∞ (Rn ) ≤ "f"L1(Rn ) , fˆ(ξ) → 0 khi |ξ| → ∞.
Nh¾n xét 1.2.2. Vói C0 (Rn) là không gian Banach cna các hàm
liên tuc tri¾t tiêu tai vô cnc, khi đó tù Bo đe 1.2.1 chúng ta có phép
bien đoi Fourier
F : L1 (Rn) → C0 (Rn) .
là m®t ánh xa liên tuc
Vói ϕ ∈ S(Rn) ta cũng ký hi¾u bien đoi Fourier cna ϕ là ϕ
ˆ ho¾c Fϕ
và đưoc xác đ%nh bói


ϕˆ(ξ) = (2π)−
2

Rn


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×