Tải bản đầy đủ

Tính ổn định của các G-khung

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN NGOC MAI

TÍNH ON бNH CÚA CÁC G-KHUNG

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

HÀ N®I, 2016


B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN NGOC MAI

TÍNH ON бNH CÚA CÁC G-KHUNG
Chuyên ngành : Toán giái tích
Mã so : 60 46 01 02


LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc:
TS. NGUYEN QUỲNH NGA


Lài cám ơn
Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành tói cô giáo TS. Nguyen
Quỳnh Nga đã t¾n tâm truyen thu kien thúc và hưóng dan tôi hoàn
thành lu¾n văn này.

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc,
các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc
Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p tai
trưòng.

Hà N®i, tháng 11 năm 2016
Tác giá

Nguyen Ngoc Mai


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn chí báo và hưóng dan cna TS. Nguyen Quỳnh Nga.
Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùa
nhung ket quá cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Hà N®i, tháng 11 năm 2016
Tác giá

Nguyen Ngoc Mai


Mnc lnc
Má đau

1

1 Kien thNc chuan b%


3

1.1 Toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Hilbert . . .

3

1.2

Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

G-khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . .

15

2 Tính on đ%nh cúa các g-khung
2.1 Tính on đ%nh cna các khung
2.2 Tính on đ%nh cna các g-khung

32
. . . . . . . . . . . . . . .

32

. . . . . . . . . . . . . .

45

2.3 Tính on đ%nh cna các khung đoi ngau

. . . . . . . . . .

51

2.4 Tính on đ%nh cna các g-khung đoi ngau . . . . . . . . .

54

Ket lu¾n
Tài li¾u tham kháo

57
58


Má đau

1. Lí do chon đe tài
Khung đưoc R. J. Duffin và A. C. Schaeffer [6] đưa ra vào năm 1952.
Tuy nhiên phái đen năm 1986, sau bài báo [5] cna I. Daubechies, A.
Grossmann và Y. Meyer thì khung mói đưoc các nhà khoa hoc quan
tâm r®ng rãi. Khung đưoc sú dung nhieu trong lĩnh vnc xú lý tín hi¾u,
xú lý hình ánh, nén du li¾u, lý thuyet mau, lý thuyet m¾t mã, lý thuyet
lưong tú. . .
Gan đây có m®t so các khái ni¾m tong quát hóa khái ni¾m khung
đưoc đưa ra, ví du như các khung cna các không gian con [1], [2]
(Frames of subspaces), các khung nghiêng [4] (Oblique frames), các
giá khung [9] (Pseudoframes). Tat cá các khái ni¾m này đeu đã đưoc
chúng minh là huu ích trong nhieu úng dung và có the xem như các
trưòng hop đ¾c bi¾t cna g-khung, m®t khái ni¾m đưoc đưa ra bói W.
Sun [10] năm 2006. Nhieu tính chat cơ bán cna khung van còn đúng
cho g-khung.
Tính on đ%nh cna các khung có ý nghĩa quan trong trong úng dung, do
đó đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi bói nhieu tác giá. Gan đây, W. Sun [11]
và Y. Zhu [12] cũng đã nghiên cúu tính on đ%nh cna các g-khung trong
không gian Hilbert.
Vói mong muon hieu biet sâu sac hơn ve các g-khung và tính on đ%nh
cna chúng, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna cô giáo, TS. Nguyen
1


Quỳnh Nga, tôi đã manh dan chon nghiên cúu đe tài "Tính on đ%nh cna
các g-khung" đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p.

2. Mnc đích nghiên cNu
Đe tài nham nghiên cúu, trình bày ve các g-khung và tính on đ%nh cna
chúng trong không gian Hilbert.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Tìm hieu ve: Tính on đ%nh cna các khung, tính on đ%nh cna các g-khung
và tính on đ%nh cna các g-khung đoi ngau.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu: Nghiên cúu ve khung, g-khung trong không gian
Hilbert, tính on đ%nh cna các khung, g-khung và g-khung đoi ngau.
Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, các bài báo trong và ngoài nưóc liên
quan đen g-khung và tính on đ%nh cna g-khung trong không gian Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cNu
Sú dung các kien thúc cna giái tích hàm đe nghiên cúu van đe.

6. Đóng góp mái cúa lu¾n văn
Lu¾n văn trình bày tong quan ve g-khung và tính on đ%nh cna g-khung
trong không gian Hilbert.

2


Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1

Toán tN tuyen tính b% ch¾n trên không
gian Hilbert

Trong muc này chúng tôi se trình bày các khái ni¾m và các tính chat
cơ bán cna các toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Hilbert đe
chuan b% cho các muc tiep theo. N®i dung cna muc này đưoc trích dan
tù tài li¾u tham kháo [8].
Toán tú tuyen tính T tù không gian Hilbert H vào không gian
Hilbert K là liên tuc khi và chí khi nó b% ch¾n, nghĩa là, ton tai
hang so c > 0 sao cho
"T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ H.

(1.1)

Ký hi¾u L(H, K) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù H
vào K. Khi H = K thì L(H, K) đưoc ký hi¾u đơn gián là L(H).
Chuan cna T ∈ L(H, K) đưoc đ%nh nghĩa là hang so c nhó nhat thóa
mãn (1.1). Nói m®t cách tương đương,
"T " = sup {"T x" : x ∈ H, "x" ≤ 1}
= sup {"T x" : x ∈ H, "x" = 1} .
M¾nh đe 1.1.1. Giá sú H, L, K là các không gian Hilbert. Neu T ∈
L(H, K) thì ton tai duy nhat m®t phan tú T ∗ ∈ L(K, H) sao cho
(T ∗x, y) = (x, T y) , (x ∈ K, y ∈ H)
3


Hơn nua,
(i) (aS + bT )∗ = aS∗ + bT ∗ .
(ii) (RS)∗ = S∗ R∗ .


(iii) (T ∗) = T.
(iv) I ∗ = I.


(v) Neu T khá ngh%ch thì T ∗ cũng khá ngh%ch và (T −1) = (T ∗)
−1

, trong đó S, T ∈ L(H, K), R ∈ L(K, L) và a, b ∈ C.
Toán tú T ∗ ó M¾nh đe 1.1.1 đưoc goi là toán tú liên hop cna toán tú

T.
M¾nh đe 1.1.2. Giá sú T ∈ L(H, K) và S ∈ L(K, L). Khi
đó (i) "T x" ≤ "T " "x" , ∀x ∈ H.
(ii) "ST " ≤ "S" "T ".
(iii) "T " = "T ∗ ".
2

(iv) "T T ∗ " = "T" .
Cho T ∈ L(H). T đưoc goi là toán tú tn liên hop neu T ∗ = T , là
unita neu T ∗ T = T T ∗ = I. T đưoc goi là dương (ký hi¾u T ≥ 0)
neu

(T x, x) ≥ 0 vói moi x ∈ H. T, K ∈ L(H), T ≥ K neu T −

K ≥ 0. T đưoc goi là xác đ%nh dương neu ton tai M > 0 sao cho
(T x, x) ≥
2

M "x , ∀x ∈ H.
"
Chú ý rang vói moi T ∈ L(H) thì (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ 0 vói
moi
x ∈ H. Do đó T ∗ T là dương.
M¾nh đe 1.1.3. Giá sú T ∈ L(H). Khi đó
(i) T là tn liên hop neu và chs neu (T x, x) là thnc vói moi x ∈ H.
Đ¾c bi¾t, toán tú dương là tn liên hop.

4


(ii) T là unita neu và chs neu T là ánh xa báo toàn chuan (hay tương
đương là báo toàn tích vô hưóng) tù H lên H.

5


M¾nh đe 1.1.4. Neu U ∈ L(H) là toán tú tn liên hop thì "U" =
su |(U f, f)|.
p
"f"=
1

Đ%nh lý 1.1.1. Cho X là không gian Banach. Neu U : X → X tuyen
.∞
k
−1
tính b% ch¾n và "I − U" < 1 thì U khá ngh%ch và U
k= (I − U ) .
0
=
1
Ngoài ra U −1 ≤
.
1 − "I − U"
Chúng ta thưòng mong muon tìm m®t dang ngh%ch đáo cho m®t
toán tú mà không phái là khá ngh%ch theo nghĩa hep. Bo đe dưói đây
đưa ra m®t đieu ki¾n đe đám báo sn ton tai cna m®t ngh%ch đáo phái.
Bo đe 1.1.1. Cho H, K là các không gian Hilbert, và giá sú rang U :
K → H là m®t toán tú b% ch¾n vói mien giá tr% đóng RU . Khi đó ton
tai m®t toán tú b% ch¾n U † : H → K mà
UU † f = f, ∀f ∈ RU .
Toán tú U † đưoc xây dnng trong Bo đe 1.1.1 đưoc goi là giá ngh%ch
đáo cna U . Trong các tài li¾u ta thưòng thay giá ngh%ch đáo cna m®t
toán tú U vói mien giá tr% đóng RU đưoc đ%nh nghĩa là toán tú duy nhat
thóa mãn
NU † = R⊥ , RU † =
N⊥
U

và UU † f = f , ∀f ∈ RU .
U

Đ%nh nghĩa này tương đương vói vi¾c xây dnng trên. Bo đe sau cho ta
m®t so tính chat cna U † và moi quan h¾ cna nó vói U .
Bo đe 1.1.2. Cho U : K → H là m®t toán tú b% ch¾n vói mien giá tr%
đóng. Khi đó
i) Phép chieu trnc giao cúa H lên RU đưoc cho bói UU † .
ii) Phép chieu trnc giao cúa K lên RU† đưoc cho bói U † U.
iii) U ∗ có mien giá tr% đóng, và (U ∗ )† = (U † )∗ .
iv) Trên RU , toán tú U † đưoc cho bói


U † = U ∗ (UU ∗ ) −1 .


1.2

Khung trong không gian Hilbert

Trong nghiên cúu không gian vectơ, m®t trong nhung khái ni¾m quan
trong nhat là cơ só, cho phép bieu dien moi phan tú ó trong không gian
như m®t to hop tuyen tính cna các thành phan trong cơ só. Tuy nhiên
đieu ki¾n là cơ só rat han che - không cho phép sn phu thu®c tuyen tính
giua các thành phan và đôi khi chúng ta yêu cau các thành phan trnc
giao tương úng vói m®t tích vô hưóng. Đieu này làm cho khó tìm ho¾c
th¾m chí không the tìm thay cơ só đáp úng đieu ki¾n bo sung và đây là
lý do ngưòi ta muon tìm m®t công cu linh hoat hơn.
Khung là công cu như v¾y. M®t khung cho m®t không gian vectơ đưoc
trang b% m®t tích vô hưóng cũng cho phép moi phan tú trong không gian
đưoc viet như là m®t to hop tuyen tính cna các phan tú trong khung,
nhưng tính đ®c l¾p tuyen tính giua các phan tú cna khung là không can
thiet.
Muc này trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá cơ bán trong lý thuyet
khung. Các ket quá ó muc này có the tham kháo ó các tài li¾u [3], [5],
[6].
Cho H là m®t không gian Hilbert khá ly, vói tích vô hưóng (·, ·) tuyen
tính theo thành phan thú nhat, tuyen tính liên hop theo thành phan
thú hai.


Đ%nh nghĩa 1.2.1. Dãy {fi} i= trong H đưoc goi là dãy Bessel neu
1



∃B > 0 :

.

|(f,

2≤

B "f" , ∀f ∈ H.
2

fi)|
i=1

B đưoc goi là c¾n Bessel cúa {fi}



i=
1

.

(1.2)



Đ%nh nghĩa 1.2.2. M®t dãy {fi}i= trong H đưoc goi là m®t khung neu
1

ton tai hai hang so 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

.

2

A "f " ≤

2

|(f, fi)| ≤ B
i=
1

"f"

, ∀f ∈ H.

(1.3)

2

Các so A, B đưoc goi là các c¾n cna khung. Chúng không là duy
nhat. C¾n khung dưói toi ưu là superemum trên tat cá các c¾n khung
dưói và c¾n khung trên toi ưu là infimum trên tat cá các c¾n khung
trên. Chú ý rang, các c¾n khung toi ưu là các c¾n khung thnc sn.

Khung {fi}i= đưoc goi là ch¾t neu A = B và đưoc goi là khung
1 Parseval
neu A = B = 1.
m

M¾nh đe 1.2.1. Cho m®t dãy {fj }
m

chieu V. Khi đó {fj}j=1 là m®t

trong không gian Hilbert huu han
m

j=1
khung

cho span {fj}j=1 .

ChNng minh. Ta có the giá sú rang không phái tat cá các fi đeu
bang không.
Như v¾y ta thay, đieu ki¾n khung trên là thóa mãn vói
m
2
m
.
B
. Bây giò lay W := span {fj}j=1 và xem xét ánh xa
= "fj" liên
j=1
tuc
m
2
.
|(f, fj)| .
Φ : W → R, Φ (f )
j=1
:=
M¾t cau đơn v% trong W là compact, vì v¾y ta có the tìm g ∈ W vói
"g" = 1 sao cho
A:
=

.
m

|(g,

2

fj)|

=
inf

..

m

|(f,

2

fj)|

j=1

.
: f ∈ W, "f" = 1

j=1

Rõ ràng là A > 0. Bây giò ta lay f ∈ W, f ƒ= 0, ta có
m

2
m

..
f

..2

.


.
fj)|
j=1

|(f,

..
. "f ,
j=1
" fj

.
=

M¾nh đe đưoc chúng minh.

.
2
2
. "f" ≥ A "f" .
.
Q


H¾ quá 1.2.1. M®t ho các phan} tú {fj

m

trong không gian

Hilbert huu han chieu V là m®t khung j=1
cúa V khi và chs khi}span {fj
m

j=1

=V.

H¾ quá trên chí ra m®t khung có the có so phan tú nhieu hơn so phan
k

tú can thiet đe là cơ só. Đ¾c bi¾t, neu {fj }
m

là m®t khung cna V và
k

j=1

{gj}j=1 là m®t t¾p huu han tùy ý các véc tơ trong V thì {fj}j=1
∪{gj}j=1
cũng là m®t khung cna V .
2

T

Ví dn 1.2.1. Lay H = R , e1 = (0, 1) , e2
=
.

e3 =

1
3 −
,
2
2

.√

3, 1
2 2

.T

m

,

.T
.

3

Khi đó {e1, e2, e3} là m®t khung ch¾t vói c¾n khung là
T

2

Th¾t v¾y, vói x = (x1, x2) ∈ R bat kì, ta có
.2 . √
2
.√
.
3
3
1
3
|(x,
= x2 2
x1
x2
x1
ej)|
+
2
2
2
j=1
+

3.
+
.
= x 12 + x 2 2
2
3
2
=

2

2

.
.2

1x
2
2

"x" .


Ví dn 1.2.2. Giá sú {ek}k= là m®t cơ só trnc chuan cna H. Khi đó
(i)
(ii)

1


{ek}k= là khung Parseval.
1


Bang cách l¾p moi phan tú trong dãy {ek} k= hai lan ta thu đưoc


{fk}k= = {e1, e1, e2, e2, ... } khi đó
1

{fk}



1

k=
1

là khung ch¾t vói c¾n


khung A = 2.
Th¾t v¾y, ta


.∞
k=
1

|(f, fk)|

|(f, ek)| 2

2

=2
.

= 2"f"

, ∀f ∈ H.

2



k=
1


Neu chí e1 đưoc l¾p lai ta thu đưoc {fk}k= = {e1, e1, e2, e3, ... }
1
khi



đó {fk}k= là khung vói c¾n A = 1, B = 2. Th¾t v¾y, ta có
1

.∞ |(f, fk )|

2 =|(f,

k=1

e1

2

+

.


k=
1

)|
.∞



|(f, ek )|
.∞

2

k=1

|(f, ek )| +

.

= 2 ∞ |(f, ek )|

2

2

k=
1

2

|(f, ek )|

k=1 2

= 2"f" .
M¾t khác |(f, e1
2

)|

|(f, ek )| 2

.

+

k=
1



Do đó
"f" 2

.∞ |(f, ek )| 2
2
= "f" .


k=
1 ∞

.



|(f, fk )|

2≤

2"f"2, ∀f ∈ H.

k=
1

Vì v¾y {fk}k= là m®t khung vói m®t c¾n khung dưói là 1 và m®t c¾n
1
1
1
1
1
khung trên là 2.
.




.

1
(iii) Giá sú {fk}k=
e2 ,
e2 ,
e3 ,
e3, √ e3 , ... ,
:=
2
1
2
3
3
3
1
e1,

√ ek đưoc l¾p lai k lan. Khi đó
nghĩa là {fk} k= là dãy mà moi véc
k
1

..
..2

vói moi f ∈ H
1



.
k=1

|(f, fk )|

2=

.

. .
k
k=1

.

f,

.. = "f"2.
.

√ ek
k

Vì the {fk} là m®t khung ch¾t cna H vói c¾n khung A = 1.



Đ%nh nghĩa 1.2.3. Dãy {fk} k= đưoc goi là đay đú trong H neu
1

span {fk}k= = H.
1



Bo đe 1.2.1. Neu {fk} k= là m®t khung cúa H thì {fk} k= là m®t dãy

đay đú trong H.

1

1

ChNng minh. Ta se chúng minh bang phán chúng. Giá sú g ƒ=
0
thu®c H sao cho g⊥span
{fk}



k= .
1

Khi đó (g, fk) = 0, vói moi k. Khi đó


.∞ |(g, fk )| = 0. M¾t khác, do {fk} là m®t khung nên ton tai 0 < A
2
<
k=
1

+∞ sao cho A"f " ≤

k=
2 1

2

A"g" ≤

.∞

.∞

2

|(f, fk )| , vói moi f ∈ H. Cho f = g ta đưoc

|(g, fk )| = 0. Do g ƒ= 0 nên A = 0. Mâu thuan trên

2

k=
1

tó span


{fk}k=
1

chúng
= H.

Q




Đ%nh lý 1.2.1. Giá sú {fk} k= là m®t dãy trong H. Khi đó {fk} k= là
1
1
m®t dãy Bessel vói c¾n Bessel B khi và chs khi



{ck}k=
1

T:

.



ck fk

(1.4)

k=1

là toán tú hoàn toàn xác đ%nh, tuyen tính, b% ch¾n tù l2(N) vào H và

"T " ≤ B.

ChNng minh. Trưóc het, giá thiet {fk} k= là dãy Bessel vói c¾n Bessel
1



B. Giá sú {ck}k= ∈ l2(N). Ta phái chí ra T {ck }k= là hoàn toàn xác
1
1
đ%nh, túc .∞ c f là h®i tu. Xét m, n ∈ N, n > m. Khi đó
k k
k=

1
.
n
m.
n
ck f k −
ck fk =. ckfk

k=1

k=
1

k=m+1

..
...
. .
n
c k fk , g .
= sup ..
.
"g"=1

k=m+
1

≤ sup
"g"=1

.


n
.
k=m
+1

n

. |ck|
k=m+1

2

|ck (fk, g)|
.
1/2

su
p

"g"=1

.

n

.

k=m+1


.1/2

2

.




B

n
.

k=m+1

.1/2
|ck|

2

|(fk, g)|

.

. .
.∞
n
là dãy Cauchy trong C.
|
∈ l2(N), ta biet
Do
n=
2
1
c k|
rang k=1
. n
.∞
.
Tính toán trên chí ra rang
là m®t dãy Cauchy trong H
n=
ck fk
1

{ck}k=
1

k=1


và do đó h®i tu.


V¾y T {ck }k= là hoàn toàn xác đ%nh. Rõ ràng T là tuyen tính. Tù
1



"T {ck}k= " =
1 sup

|(T {ck}

"g"=



, g)| ,

k=
1

1

tính toán tương tn như trên chí ra T b% ch¾n và "T " ≤ √B.
Đe chúng minh đieu ngưoc lai, giá sú T : l2 (N) →∗H đưoc xác
đ%nh bói
(1.4) là hoàn toàn xác đ%nh và "T " ≤ √B. Goi T : H → l2 (N) là toán

2
tú liên hop cna T . Goi {ej}j= là cơ só trnc chuan chính tac cna l (N),
1

túc là h¾ gom các véctơ ej , bang 1 ó v% trí thú j, bang 0 ó các v% trí
còn lai. Tù (1.4) ta suy ra T (ek) = fk. Khi đó
(T ∗ f, ek) = (f, T ek ) = (f, fk) .
Tù đó
T ∗ f = {(f, fk)}



k=
1




. |(f, fk )| 2 =


"T f"

k=1

2


"T


2"

"f"

2=
2

"T "f"2 ≤ B"f" 2.
"


Do đó {fk}k= là dãy Bessel vói c¾n Bessel B.
1

H¾ quá 1.2.2. Neu


{fk} k=
1

là m®t dãy trong H


Q
.∞

k=
1

ckfk h®i tn vói



moi {ck}k= ∈ l2(N) thì {fk}k= là m®t dãy Bessel.
1
1
.∞
k= gk trong không gian Banach X đưoc goi
Đ%nh nghĩa 1.2.4.
1
Chuoi
.∞
là h®i tn không đieu ki¾n neu k= gσ(k) h®i tn tói cùng m®t phan tú vói
1

moi hoán v% σ.
H¾ quá 1.2.3. Neu


{fk} k=
1

là m®t dãy Bessel trong H,
thì

.∞

k=1


ckfk h®i

tn không đieu ki¾n vói moi {ck} k= ∈ l2(N).
1



H¾ quá 1.2.4. Dãy {fk} k= là Bessel vói c¾n B khi và chs khi vói moi
1

{ck} ∈ l2(N) ta


2

≤B

.

.

2

|ck| .

(1.5)

ck f k
k

k


Do m®t khung {fk} k= là m®t dãy Bessel nên toán tú
1

T : l2(N) → H, T {ck}


.



k=
1

=

ck f k

k=1

b% ch¾n bói Đ%nh lý 1.2.1. T đưoc goi là toán tú tong hop.

là cơ só trnc
Goi T ∗ : H → l2(N) là toán tú liên hop cna T và {ej}
j=
1

2

chuan chính tac cna l (N).

Theo đ%nh nghĩa cna toán tú liên hop thì vói moi j ta có
(T



f, e j) = (f, T ej ) = (f, fj) .



Tù đó T ∗ f = {(f, fj)}j= . T đưoc goi là toán tú phân tích. Hop thành
1
cna T và T ∗ đưoc goi là toán tú khung



S : H → H, Sf = T T f =

.

(f, fk)fk.

k=1

M¾nh đe 1.2.2. Giá sú {fk} k= là m®t khung vói toán tú khung S và
1

các c¾n khung A, B. Khi đó ta có các khang đ%nh sau.
(i) S tuyen tính b% ch¾n, khá ngh%ch, tn liên hop và là toán tú dương;
.
.∞
(ii)
S−1fk k= là khung vói các c¾n B−1, A−1, neu A, B là các c¾n
1

ưu cúa
khung

toi


{fk}k= thì các
.1
.∞
cúa S−1fk k=
1

c¾n B

−1

là S−1.

,A

−1

.

là toi ưu cúa S

−1

.∞

fkk= . Toán tú
1


ChNng minh. (i) S b% ch¾n như m®t sn hop thành cna hai toán tú b%
ch¾n. Ta có:
"S" = "T T ∗ " ≤ "T " . "T ∗ " =
"T "

2≤

B.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×