Tải bản đầy đủ

Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

DƯƠNG MINH HOÀNG

TÍNH CHÍNH QUY CÚA
KHÔNG GIAN MAM CÁC HÀM
CHÍNH HÌNH GIÁ TR± FRECHET
Chuyên ngành: Toán giái tích
Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN GIÁI TÍCH

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn
Hào

Hà N®i-2011


LèI CÁM ƠN


Tác giá xin gúi lòi cám ơn chân thành tói Ban giám hi¾u, phòng
Sau đai hoc và các GS, TS giáng day chuyên nghành toán giái tích trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ, tao đieu ki¾n thu¾n loi tác giá trong
quá trình hoc t¾p, nghiên cúu và thnc hi¾n lu¾n văn.
Đ¾c bi¾t, tác giá xin chân thành cám ơn TS. Nguyen Văn Hào đã trnc
tiep hưóng dan tác giá trong quá trình nghiên cúu lu¾n văn và hoàn chính
lu¾n văn.
Trong quá trình thnc hi¾n công tác nghiên cúu không tránh khói nhung
han che và thieu sót, tác giá xin chân thành cám ơn nhung ý kien đóng
góp đã nh¾n đưoc cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên đe lu¾n
văn hoàn chính như hi¾n tai.
Hà N®i, tháng 05 năm 2011
Tác giá

Dương Minh Hoàng


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, lu¾n
văn vói đe tài
“Tính chính quy cúa không gian mam
các hàm chính hình vái giá tr% Frechet”.
đưoc hoàn thành vói sn nh¾n thúc cna riêng tác giá, không trùng vói bat
kỳ lu¾n văn nào khác.
Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna các
nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 05 năm 2011
Tác giá

Dương Minh Hoàng


Mnc lnc

Má đau

5


Chương 1. Các kien thNc chuan b%
1.1. M®t so chuan b% ve không gian véc tơ tô pô

10
. . . . . . . .

10

1.2. Đoi ngau và tô pô yeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3. Pô la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4. Hàm chính hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.1. Đa thúc trên không gian loi đ%a phương . . . . . . .

19

1.4.2. Hàm chính hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.4.3. Không gian mam các hàm chính hình . . . . . . . .

28

Chương 2. M®t so bat bien tô pô tuyen tính trên không gian
Frechet

31

2.1. Bat bien tô pô tuyen tính (DN ) trên không gian Frechet .

31

2.1.1. Khái ni¾m ve bat bien tô pô tuyen tính (DN ) . . .

31

2.1.2. Các đieu ki¾n tương đương . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.3. M®t so ví du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.2. Bat bien tô pô tuyen tính (Ω˜ ) . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1. Khái ni¾m ve bat bien tô pô (Ω˜ ) . . . . . . . . . . . 44
2.2.2. Các đieu ki¾n tương đương . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2.3. M®t so ví du . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Chương 3. Tính chính quy cúa không gian mam các hàm chính
hình vái giá tr% Frechet

53


4

3.1. M®t đieu ki¾n can cho tính chính quy cna không gian mam
các hàm chính hình giá tr% Frechet . . . . . . . . . . . . .

53

3.2. Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact trong
CN vói giá tr% Frechet có (DN )− chuan . . . . . . . . . . . 55
3.3. Không gian mam các hàm chính hình trên t¾p compact L˜ −
chính quy vói giá tr% Frechet có (DN ) − chuan . . . . . . . 60
3.4. Không gian mam các hàm chính hình vói giá tr% Frechet có
(LB∞) − chuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Ket lu¾n

70

Tài li¾u tham kháo

71


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài. Trong giái tích phúc, m®t van đe lón đưoc đ¾t
ra đoi vói lý thuyet các hàm chính hình đó là tính chính hình đ%a phương
trên m®t t¾p con X nào đó cna m®t không gian loi đ%a phương E vói giá
tr% trong không gian loi đ%a phương F . Đieu đó dan đen khái ni¾m mam
hàm chính hình trên t¾p X. Ý nghĩa quan trong cna khái ni¾m này là sn
đ%a phương hóa khái ni¾m phan tú, thay cho vi¾c xét m®t phan tú co đ%nh
nào đó, ngưòi ta xét lóp các phan tú tương đương đoi vói phan tú này.
Trong khái ni¾m mam ta phân ra các đ¾c điem chung liên ket các phan
tú tương đương lai vói nhau. T¾p các mam hàm chính hình H (X, F )
trên m®t t¾p compact X có the đưoc xét theo hai khía canh: M®t là, ve
m¾t đai so ta có the xem nó như là m®t vành. Các tính chat cna vành H
(X, F ) đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi; chang han theo hưóng nghiên cúu
này ta có the xem Bănică – Stănăsilă [2], Đ¾u The Cap – Nguyen Văn
Khuê [4] ,. . . . M¾t khác, H (X, F ) có the xem như m®t không gian véc
tơ tô pô trang b% tô pô loi đ%a phương tn nhiên bang cách ket hop các tô
pô cna không gian các hàm chính hình trên m®t lân c¾n cna X. Theo
hưóng nghiên cúu này ta phái ke đen các công trình nghiên cúu cna Chae
[5, 6].
Van đe nghiên cúu các tô pô loi đ%a phương trên không gian H (U, F )
= H(U ) các hàm chính hình trên m®t t¾p mó U trong không gian loi
đ%a phương E đưoc khói đau bói Nachbin [11,12] và Alexander [1]. Trong
giái tích phúc vô han chieu, ngưòi ta thay rang tô pô mó compact hay
tô pô h®i tu đeu trên các t¾p con compact cna U không chí là tô pô tn
nhiên duy nhat. Tô pô τω đưoc đe xuat lan đau tiên bói Nachbin [11,12],
nó ra đòi tù ý tưóng liên quan đen các phiem hàm giái tích mang bói t¾p
compact. Sn ra đòi cna tô pô mang bói t¾p compact mó ra nhieu hưóng
nghiên cúu trong giái tích phúc vô han chieu và tró thành công cu huu
hi¾u giái quyet


7

nhieu bài toán quan trong trong lĩnh vnc này.
M®t trong các van đe đưoc quan tâm nhieu trong lóp không gian mam
các hàm chính hình đó là vi¾c đ¾c trưng các t¾p b% ch¾n cna nó. Nhó
lai rang, không gian mam H(K, F ) đưoc xây dnng tù không gian
H(U, F ) các hàm chính hình trên lân c¾n mó U cna K trong m®t
không gian loi đ%a phương E, vói giá tr% trong m®t không gian loi đ%a
phương F , bang giói han quy nap trong pham trù các không gian loi đ%a
phương. Như v¾y, không gian mam H(K, F ) đưoc goi là chính quy
neu giói han quy nap trên là chính quy. Nghĩa là, moi t¾p con b% ch¾n
cna H(K, F ) là b% chúa và b% ch¾n trong không gian H(U, F ) nào
đó. Tính chính quy cna không gian mam H (K, F ) = H (K) đã đưoc
nhieu tác giá quan tâm, mó đau cho hưóng nghiên cúu này là Chae [5,6].
Trong đó, các tác giá xét bài toán cho trưòng hop K là m®t t¾p con
compact cna m®t không gian Banach. Các ket quá này đưoc tong quát
hóa và làm sâu sac hơn bói Mujica[10]. Năm 1981, bang vi¾c mô tá h¾
núa chuan sinh ra tô pô cna H(K) Dineen [7] đã chúng tó rang H(K) là
đay đn cùng vói giá thiet K là t¾p compact trong không gian loi đ%a
phương metric. Cũng ó đây, nhò phương pháp đưoc sú dung đe thu đưoc
tính đay cna H(K), lan đau tiên Dineen đã đưa ra đưoc m®t so đ¾c
trưng ve tính chính quy cna H(K) khi K là t¾p compact trong các không
gian không nhat thiet loi đ%a phương metric. Cũng theo hưóng nghiên
cúu này ta can phái ke đen các ket quá cna Soraggi [16], Soraggi đã chí
ra các ví du cũng như các phán ví du ve tính chính quy cna H(K). Đe
nghiên cúu tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình
H(K, F ) vói giá tr% Frechet và đưoc sn đ%nh hưóng cna TS. Nguyen
Văn Hào em chon đe tài
"CHÍNH QUY CÚA KHÔNG GIAN MAM
CÁC HÀM CHÍNH HÌNH GIÁ TR± FRECHET".
Lu¾n văn gom có phan mó đau, phan ket lu¾n, ba chương cùng tài li¾u
tham kháo.
Chương 1. Các kien thúc chuan b%.


Chương này dành cho vi¾c giói thi¾u các khái ni¾m liên quan đen vi¾c xét
bài toán ve tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình vói
mien xác đ%nh và mien giá tr% là các không gian Frechet. Trong đó, chúng
tôi đã trình bày các kien thúc quan trong liên quan đen hưóng nghiên cúu

1. M®t so chuan b% ve không gian véc tơ tô pô.
2. Đoi ngau và tô pô yeu.
3. Pô la.
4. Hàm chính hình.
Chương 2. M®t so bat bien tô pô tuyen tính trên không gian Frechet.
Khác vói chương 1, trong chương 2 chúng tôi giói thi¾u đen hai bat bien
tô pô tuyen tính là (DN ) và .Ω˜ . trên không gian Frechet. Trong
đó, đe
tao đieu ki¾n thu¾n loi cho vi¾c tiep tuc đi sâu vào vi¾c nghiên cúu cna
chương sau chúng tôi đã đ¾c bi¾t chú trong đưa ra m®t so các đieu ki¾n
tương đương đe m®t không gian Frechet có tính chat (DN ) và .Ω˜ ..

đó dan đen các chúng minh cu the cho các không
gian dãy K¨othe,
không gian
chương
nàychuoi
chúnglũy thùa có tính (DN ) và .Ω˜ .. Cu the trong
tôi đã trình bày các van đe sau
1. Bat bien tô pô tuyen tính (DN ) trên không gian Frechet.
2. Bat bien tô pô tuyen tính .Ω˜ . trên không gian Frechet.
Chương 3. Không gian mam các hàm chính hình vói giá tr% Frechet.
Trong chương 3 chúng tôi trình bày hưóng nghiên cúu chính cna lu¾n văn.
Đau tiên chúng tôi đưa ra m¾nh đe nói đen đieu ki¾n can ve tính chính
quy cna không gian H(K, F ) vói K là t¾p compact trong CN . Chúng
tôi quy bài toán ve vi¾c xét tính chính quy cna giói han quy nap cna m®t
dãy tăng các không gian Frechet ( (LF ) - không gian). Cũng vói ky


thu¾t đó, chúng tôi đưa ra m®t đieu ki¾n can và đn cho tính chính quy
cna không


gian mam H(K, F ) vói K là t¾p
compact L˜ gian Frechet.

− chính quy trong m®t không
Đieu ki¾n ó đây là không
gian Frechet F có tính chat
(DN ). Phan tiep theo trong
chương này dành đe trình
bày ket quá nghiên cúu tính
chính quy cna H(K, F ) khi
F có tính chat (LB∞) manh
hơn (DN ), nhưng đoi
vói t¾p compact K chí can
thóa mãn đieu ki¾n duy nhat.
1. M®t đieu ki¾n can cho
tính chính quy cna
không gian mam các
hàm chính hình giá tr%
Frechet.
2. Không gian mam các
hàm chính hình trên
t¾p compact trong CN
vói gia tr% Frechet có
(DN ) − chuan.
3. Không gian mam



các hàm chính hình chí
trên t¾p compact
nh
˜
L quy vói giá tr%
Frechet có (DN ) −
chuan.
4. Không gian mam các
hàm chính hình vói giá tr
% Frechet có (LB∞) −
chuan.


2. Mnc đích nghiên cNu. Lu¾n văn nghiên
cúu tính chính quy cna không gian mam
các hàm chính hình H(K, F ) vói giá tr%
Frechet.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Xuat phát tù vi¾c nghiên cúu đieu ki¾n
can đoi vói tính chính quy cna không
gian mam các hàm chính hình vói giá tr%
Frechet.
Lu¾n văn trình bày m®t so tính chính
quy cna không gian mam các hàm chính
hình H(K, F ) vói giá tr% Frecht có tính
chat (DN ), (LB∞).
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu.
Nghiên cúu tính chính quy cna
không gian mam các hàm chính hình vói
giá tr% Frechet có tính chat (DN ), (LB∞).
5. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u.
Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc
đích nghiên cúu.
6. DN kien đóng góp cúa lu¾n văn.
Nghiên cúu tính chính quy cna


không gian mam các hàm chính hình vói mien giá tr% trong các không
gian Frechet có (DN ) − chuan, trên các t¾p compact trong CN và t¾p
compact
L˜ − chính quy. Ket quá tương tn cũng đưoc khang đ%nh cho lóp
không
gian mam có mien giá tr% Frechet có (DN ), (LB∞) − chuan.


Chương 1
Các kien thNc chuan b%
1.1.

M®t so chuan b% ve không gian véc tơ tô pô

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho E là không gian véc tơ và A là m®t t¾p con cna E
i) T¾p A goi là loi neu vói moi x, y ∈ A ta có λx + µy ∈ A, trong
đó
λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1.
ii) T¾p A đưoc goi là cân neu moi x ∈ A thì λx ∈ A khi |λ| ≤ 1.
iii) T¾p A đưoc goi là tuy¾t đoi loi neu nó đong thòi là loi và cân.
iv) T¾p tat cá các to hop tuyen tính huu han
n
n .
.
λi.xi vói λi ≥ 0,
λi = 1, xi ∈ A
i=1

i=1

là m®t t¾p loi chúa A và đưoc goi là bao loi cna A .
v) Bao tuy¾t đoi loi cna A là t¾p tat cá các to hop tuyen tính huu
n.
han
λi.xi vói
|λi| ≤ 1 và vói moi xi ∈ A (là t¾p hop tuy¾t đoi loi
nhó
n
.

i=1

nhat chúa A ).

i=1

vi) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ E, ton tai λ > 0 sao
cho
x ∈ µA vói moi µ thóa mãn |µ| ≥ λ.
Đ%nh nghĩa 1.2. M®t không gian véc tơ tô pô có m®t cơ só gom nhung
lân c¾n loi cna điem goc đưoc goi là không gian véc tơ tô pô loi đ%a
phương (Không gian loi đ%a phương) và tô pô cna nó goi là tô pô loi đ%a
phương.
Đ%nh nghĩa 1.3. a) Giá sú E là m®t không gian véc tơ trên trưòng K
(K = C ho¾c K = R). M®t hàm p xác đ%nh trên E có giá tr% thnc và
không âm (huu han) đưoc goi là m®t núa chuan neu
+) p(x) ≥ 0;
+) p(λx) = |λ| .p(x);


+) p(x + y) ≤ p(x) +
p(y); vói moi x, y ∈ E, λ ∈ K.


15

b) M®t núa chuan p tương đương vói t¾p hop tuy¾t đoi loi và hút A, đưoc
goi là hàm cõ cna A.
M¾nh đe 1.1. Trong không gian loi đ%a phương E, m®t núa chuan p là
liên tnc khi và chí khi nó liên tnc tai điem goc.
Chúng minh. Neu p liên tuc tai điem goc và ε > 0 là m®t so cho trưóc
thì tai m®t lân c¾n V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V . Do đó, vói a là m®t
điem tùy ý cna E, ta có
|p(x) − p(a)| ≤ |p(x − a)| < ε
khi x ∈ a + V .

Q

Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian véc tơ E đưoc goi là khá đ%nh chuan neu tô
pô cna nó có the đưoc xác đ%nh bói m®t chuan p.
M¾nh đe 1.2. Không gian loi đ%a phương E là khá metric khi và chí khi
nó là tách và có m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc đem đưoc. Tô pô cúa
m®t không gian khá metric luôn luôn có the xác đ%nh đưoc bói m®t
metric, bat bien vói các phép t%nh tien.
Chúng minh. Neu E là khá metric thì dĩ nhiên nó là tách và có m®t cơ só
đem đưoc nhung lân c¾n cna điem goc. Ngưoc lai, neu E có m®t cơ só lân
c¾n đem đưoc, thì vì moi lân c¾n đeu chúa m®t lân c¾n tuy¾t đoi loi, nên
ton tai m®t cơ só (un) nhung lân c¾n tuy¾t đoi loi. Goi pn là hàm cõ cna
un. Đ¾t

.∞
f (x) = n= 2−ninf{pn(x), 1},
1

the thì f (x+y) ≤ f (x)+f (y), f (−x) = f (x) và neu f (x) = 0
thì pn(x) = 0,
vói moi n. Bói vì E là tách nên x = 0. Đ¾t d(x, y) = f (x − y) thì d là
m®t metric và d(x + z, y + z) = d(x, y). Như v¾y d là bat bien vói các
phép t%nh tien. Trong tô pô metric, các t¾p hop Vn = {x : f (x) <
2−n}, l¾p thành m®t cơ só lân c¾n. Nhưng Vn là mó đoi vói tô pô xuat
phát bói moi pn và


do đó f là liên tuc. Hơn nua Vn ⊂ Un bói vì neu x ∈/ Un thì pn (x) ≥ 1,
v¾y
f (x) ≥ 2−n. Thành thú d xác đ%nh tô pô xuat phát cna E.

Q

M¾nh đe 1.3. M®t hàm p : X → R là m®t cơ só chuan khi và chí khi nó
là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút; nó là m®t sơ chuan khi và chí khi
nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút và không chúa chon m®t đưòng
thang nào.
Chúng minh. Th¾t v¾y, neu B là m®t t¾p loi, cân, hút thì de dàng thay
rang hàm cõ pB cna nó nghi¾m đúng pB (−x) = pB (x), do đó vói moi α <
0, pB (αx) = −αpB (−x) = −αpB (x)
pB (αx) = |α| pB (x)

cho
nên

vói moi α và pB là m®t sơ chuan.
Ngưoc lai, neu p là m®t sơ chuan thì t¾p B = {x : p(x) < 1} loi,
vì vói x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có
p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y) < 1.
Hơn nua B cân đoi vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) = p(x) < 1, và B
cũng là hút vì neu x ∈ X và λ > p(x) thì
p(x/λ) = p(x)/λ < 1.
De thay

p(x) = inf{λ > 0 : x ∈
λB}.

cho nên
p(x) = pB (x).
Sau cùng, neu p là m®t chuan thì vói moi x ƒ= 0, p(x) > 0 ta có
p(αx) = αp(x) ≥ 1;
vói α đn lón, túc là αx ƒ= B. Đieu đó, chúng tó B không chúa chon
m®t đưòng thang nào đi qua 0 và x.

Q

M¾nh đe 1.4. Trong m®t không gian tuyen tính X cho m®t ho sơ chuan
Γ tùy ý. Trên X có m®t tô pô tương thích vói cau trúc đai so, trong


đó moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc. Tô pô ay là tô pô loi đ%a
phương và


nh¾n ho tat cá các t¾p có dang
.
.
x : sup p (x) <
(ε > 0, pi ∈ Γ)
i
1≤i≤n
ε
làm lân c¾n cúa điem goc. Nó là tô pô Hausdorff khi và chí khi

(1.1)

(∀x ƒ= 0) (∃p ∈ Γ) p(x) > 0

(1.2).

Chúng minh. Cho B0 là ho tat cá các t¾p có dang V = {x : p (x) < 1} ,
vói p ∈ Γ. Khi đó, các t¾p V loi, cân, hút nên có m®t tô pô trên X tương
hop vói cau trúc đai so, mà trong đó moi t¾p V là m®t lân c¾n, túc là
theo m¾nh đe 1.3, moi sơ chuan p ∈ Γ. là liên tuc. Tô pô ay loi đ%a
phương, vói cơ só lân c¾n là ho tat cá các t¾p có dang
n

ε

\

Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 ) .

i=
1

Nhưng rõ ràng

n

ε

\

Vi = {εx : pi(x) < 1, i = 1, 2, ..., n}

i=1

= {x : pi(x) < ε, i = 1, 2, ..., n}
.
.
= x:
pi(x) < ε ,
sup
1≤i≤

nên
n

ε
chính là các t¾p
(1.1).

\

n

Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 )

i=
1

M¾t khác, X là không gian Hausdorff khi và chí khi giao cna tat cá các
t¾p (1.1) là {0}, mà đieu này lai tương đương vói bat kỳ x ƒ= 0,
ton tai m®t t¾p (1.1) không chúa x , túc là ton tai m®t ε > 0 và m®t
p ∈ Γ sao cho p(x) ≥ ε.

Q

Đ%nh nghĩa 1.5. a) M®t không gian loi đ%a phương mà tô pô đưoc xác
đ%nh bói m®t ho sơ chuan Γ huu han ho¾c đem đưoc, và thóa mãn đieu
ki¾n tách (1.2), goi là không gian đem đưoc chuan.
b) M®t không gian đem đưoc chuan và đn goi là m®t không gian Frechet.


Như v¾y moi không gian Banach (Không gian đ%nh chuan đn) đeu là
không gian Frechet.
c) M®t t¾p loi, cân, đóng và hút trong m®t không gian loi đ%a phương goi là
m®t thùng. M®t không gian loi đ%a phương trong đó moi thùng đeu là
lân c¾n cna goc goi là m®t không gian thùng và moi không gian Frechet là
không gian thùng.
Đ%nh nghĩa 1.6. Cho I là t¾p đa chí so đ%nh hưóng tùy ý. Vói moi α
∈ I, cho να : E → Eα là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian véc tơ
E vào không gian loi đ%a phương Eα. Tô pô xa ánh trên E là tô pô yeu
nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa να là liên tuc. Tô pô xa ánh trên
E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính η : G → E cna
m®t không véc tơ tô pô G vào E là liên tuc neu chí neu να ◦ η là liên
tuc vói moi α ∈ I.
Đ%nh nghĩa 1.7. Cho I là t¾p đa chí so đ%nh hưóng. Vói moi α ∈ I,
cho Eα là m®t không gian loi đ%a phương và giá sú rang vói moi α ≤
β, ton tai m®t ánh xa tuyen tính liên tuc uαβ : Eα → Eβ sao cho
i) uαβ là ánh xa đong nhat, vói moi α ∈ I.
ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ , vói moi α ≤ β ≥ γ.
Khi đó ho các không gian và các ánh xa tuyen tính {Eα, uαβ} đưoc goi là
m®t h¾ xa ánh. Không gian con
.
.
Q
E = {xα} ∈ Eα : uαβ (xβ ) = xα, ∀α ≤ β
Q
α∈I
cna
Eα vói tô pô cám sinh đưoc goi là giói han xa ánh cna {Eα, uαβ}
α∈I

và ta viet là
E = lim proj Eα.
α

M¾nh đe 1.5. Moi không gian loi đ%a phương là giói han xa ánh cúa m®t
ho không gian đ%nh chuan.
Chúng minh. Cho X là m®t không gian loi đ%a phương bat kỳ, Γ là m®t ho
sơ chuan úng vói m®t cơ só lân c¾n B cna X. Ta biet là trong m®t không
gian loi đ%a phương, ho các t¾p b% ch¾n yeu trùng vói ho các t¾p b% ch¾n


nên ta thay rang vói moi p ∈ Γ t¾p p−1(0) là m®t không gian con cna
X
và p xác đ%nh m®t chuan trên không gian thương Xp = X/p−1(0). Khi
ay,
goi up là ánh xa cho tương úng vói x ∈ X phan tú x˜ ∈ Xp

là lóp các

( x˜
xr ∈ X vói p(xr − x) = 0). Dna vào m¾nh đe 1.4 ta thay X chính là
giói
han xa ánh cna các Xp đoi vói các up.

Q

M¾nh đe 1.6. Giói han xa ánh cúa m®t ho các không gian loi đ%a
phương đay là đay.
M¾nh đe 1.7. Neu E là m®t không gian loi đ%a phương Hausdorff và
đay thì
E = lim proj Eˆ/kerα,
α

ó đây, α chay trên tat cá các núa chuan liên tnc trên E.
M¾nh đe 1.8. Cho E là giói han xa ánh cúa không gian loi đ%a phương
Eα đoi vói ánh xa να. M®t t¾p M trong E b% ch¾n khi và chí khi να(M
) cũng b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.8. Cho I là t¾p đa chí so đ%nh hưóng tùy ý. Vói moi α ∈
I cho να : Eα → E là ánh xa tuyen tính tù không gian loi đ%a phương
S
Eα vào không gian E = να(Eα). Tô pô quy nap trên E là tô pô manh
nhat
α

trên E sao cho tat cá các ánh xa tuyen tính να là liên tuc.
Tô pô quy nap trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen tính
η : E → C là liên tuc neu và chí neu η ◦ να là liên tuc vói moi α ∈ I.
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho không gian véc tơ E là t¾p hop cna m®t ho các
không gian loi đ%a phương {Eα} đưoc đ%nh hưóng bói quan h¾ bao hàm và
moi ánh xa bao hàm Eα → Eβ là liên tuc. Khi đó, E đưoc trang b% bói tô
pô quy nap vói các ánh xa bao hàm Eα → E đưoc goi là giói han quy nap
cna các không gian con Eα và đưoc kí hi¾u bói E = lim ind Eα.
α


Ví dn 1.1. Ví du đơn gián và quan trong ve giói han quy nap là không
gian thương. Cho X0 là m®t không gian loi đ%a phương, M là m®t
không gian tuyen tính con cna X0, và X = X0/M . Goi η là ánh xa
chính tac tù


X0 vào X (túc là ánh xa cho tương úng vói moi x ∈ X0 lóp tương đương
x˜ chúa nó), thì de thay rang tô pô thương chính là tô pô loi đ%a
phương
manh nhat đe η liên tuc.
Đ%nh nghĩa 1.10. Cho E = lim indEα là giói han quy nap cna các
không
α

gian con Eα. Khi đó ta nói rang
i) E là giói han quy nap ch¾t neu Eα có tô pô cám sinh cna Eβ moi khi Eα
⊂ Eβ .
ii) E là đay đn neu moi lưói Cauchy trong E là h®i tu.
iii)

E là giói han quy nap chính quy neu moi t¾p b% ch¾n cna E là b%

chúa và b% ch¾n trong Eα.
iv)

E là giói han quy nap chính quy Cauchy neu cho trưóc B ⊂ E b%

ch¾n thì ton tai α sao cho B b% chúa và b% ch¾n trong Eα và ngoài ra moi
lưói {xα} ⊂ B là E − Cauchy neu và chí neu nó là Eα − Cauchy.
M¾nh đe 1.9. ([13], p.58 − 59, proposition6.4) Cho E = là giói
lim indEn
n

han quy nap ch¾t cúa dãy các không gian con En. Khi đó
i) Moi En có tô pô cám sinh cúa E;
ii) Neu En là đóng trong En+1, vói moi n thì E = lim
indEn

là giói

n

han quy nap chính quy Cauchy;
iii)Neu moi En là Hausdorff và đay.
Đ%nh nghĩa 1.11. M®t không gian loi đ%a phương E là m®t (DF ) −
không gian neu
a) E có m®t dãy cơ bán cna các t¾p b% ch¾n.
b) Moi hop đem đưoc b% ch¾n manh cna các t¾p con đong liên tuc cna E
là đong liên tuc.
M¾nh đe 1.10. ([8], p.77, corollary2) M®t (DF ) không gian tna
đay là đay.


M¾nh đe 1.11. ([10], p.78, Theorem9) Cho E là giói han quy nap
cúa m®t dãy tăng cúa (DF ) − không gian En. Khi đó, E là m®t (DF
) − không


gian và moi t¾p con b% ch¾n cúa E b% chúa trong bao đóng E cúa m®t
t¾p con b% ch¾n cúa En.

1.2.

Đoi ngau và tô pô yeu

Đ%nh nghĩa 1.12. E và F là hai không gian véc tơ trên cùng m®t trưòng
vô hưóng. Hàm < · >: E × F → K đưoc goi là m®t dang song tuyen tính
neu
a) Vói moi u ∈ F ánh xa x ›→< x, u > là dang tuyen tính trên E.
b) Vói moi x ∈ E ánh xa u ›→< x, u > là dang tuyen tính trên F . M®t
c¾p đoi ngau là b® ba (E, F ; < · >) ho¾c viet (E, F ) trong đó < · >:
E × F → K là dang song tuyen tính thóa mãn hai đieu ki¾n
(DE ) neu < x, u >= 0 vói moi x ∈ F thì x
= 0; (DF ) neu < x, u >= 0 vói moi x ∈ E
thì u = 0;
Ví dn 1.2. 1. Neu < E, F > là c¾p đoi ngau thì dang (u, x) ›→< x, u
>
xác đ%nh c¾p đoi ngau < E, F >.
2. Giá sú E là không gian véc tơ và E∗ là đoi ngau đai so cna nó. Khi đó
dang (x, u) ›→ u(x), x ∈ E, u ∈ E∗ xác đ%nh c¾p đoi ngau < E, E∗
>.
3. Giá sú E là không gian loi đ%a phương Hausdorff vói đoi ngau tô pô
Er . Khi đó dang (x, u) ›→ u(x), x ∈ E, u ∈ Er cho ta c¾p đoi
ngau
< E, E r >.
Đ%nh nghĩa 1.13. Giá sú < E, F > là c¾p đoi ngau. Vói moi u ∈ F xác
đ%nh núa chuan pu trên E bói công thúc
pu(x) = |< x, u >| , x ∈ E
Tô pô loi đ%a phương trên E sinh bói các núa chuan {pu, u ∈ F} ký
hi¾u là σ(E, F ) goi là tô pô yeu trên E cna c¾p đoi ngau < E, F >.
M¾nh đe 1.12. Neu < E, F > là c¾p đoi ngau thì σ(E, F ) là tô pô
loi đ%a phương Hausdorff yeu nhat trên E thoá mãn
r

(E, σ (E, F )) = F.


Chúng minh. Tù đieu ki¾n (DF ) thì σ(E, F ) là tô pô Hausdorff.
Vì pu
r
liên tuc vói moi u ∈ F ,r nên ta suy ra F ⊂ (E, σ(E, F )) . M¾t khác
giá sú f ∈ (E, σ(E, F )) . Khi đó ton tai u1, u2, ..., un và ε > 0 sao cho
|f (x)| ≤ 1; vói moi x ∈ W (u1, u2, ..., un, ε) .
Đ¾c
bi¾t

f (x) = 0; vói moi x ∈ E.

Do đó u1(x) = u2(x) = ... = un(x) = 0. V¾y f là to hop tuyen
tính cna
u1, u2, ..., un, túc là f ∈ F . Tù đó suy ra σ (E, F ) là tô pô loi đ%a
phương yeu nhat trên E đe
r

(E, σ(E, F )) ∈ F.

Q

Đ%nh nghĩa 1.14. Giá sú < E, F > là c¾p đoi ngau. Tô pô loi đ%a phương
r

ξ trên E goi là tô pô cna c¾p đoi ngau < E, F >. Neu (E, ξ) = F .
M¾nh đe 1.13. Neu < E, F > là c¾p đoi ngau và A là t¾p con loi cúa
E, thì A có cùng bao đóng trong moi tô pô cúa c¾p đoi ngau < E, F >.
Chúng minh. Ta chí can chúng tó
cAξ A = cAσ(E,F )A,
vói moi tô pô ξ cna c¾p đoi ngau.
Trong đó cAξ A ký hi¾u bao đóng cna A đoi vói ξ. Trưóc het do σ (E, F ) ≤ ξ
nên cAξ A ⊆ cAσ(E,F )A. Giá sú a cAξ A, chon lân c¾n loi mó U cna 0 ∈ E
∈/
đoi vói tô pô ξ sao cho (a + U ) ∩ A = ∅. Do đó, ton tai f ∈ (E, ξ)
= F

r

sao cho f (a + U ) ∩ f (A) = ∅. Do đó f (U ) là mó, nên f (a) ∈/
f (A). Tù đó, suy ra ton tai δ > 0 đe
|f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ∀x ∈ A.
V¾y neu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân c¾n cna a đoi
vói tô pô σ (E, F ) không giao vói A. Q


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×