Tải bản đầy đủ

Rẽ nhánh trong phương trình vi phân

Lời cảm ơn
Tô i xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ giảng dạy chuyên
ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện đề tài.
Đặc biệt tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Văn Hùng đã trực tiếp hướng
dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tác giả xin
cảm ơn các bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp đã
ủng hộ, giúp đỡ tôi và có những đóng góp quý báu trong suốt quá trình
viết luận văn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010.
Tác giả


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Hùng.
Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 9 năm 2010.
Tác giả



Mục lục
Mở đầu

............................................ 1
.
Chương 1. Một số khái niệm mở
5
đầu
1.1 Nghiệm của phương trình vi phân
.................. 5
1.2 Bổ đề bổ trợ

.................................. 5
.
1.3 Dạng chính tắc NF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
.
1.4 Dạng chính tắc trên mặt bất biến NFIS . . . . . . . . . . . . . . 13
Chương 2. Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trong mặt
phẳng
2.1 Mặt phẳng
.................................
pha
.
2.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
2.1.2 Phân loại điểm cân bằng
.....................
2.1.3 Khảo sát các loại điểm cân bằng

18
18
18
19

. . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Bài toán tâm và tiêu điểm


. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
.
2.2.1 Phép biến đổi hữu hạn các lũy thừa . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Tiêu điểm trong trường hợp đại số

. . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
.
2.3.1 Phương trình rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
.
2.3.2 Nghiệm tuần hoàn và rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Chương 3. Một số ứng dụng
3.1 Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn PTVP tuyến tính
3.2 Vẽ bản đồ POINCARÉ

42
. . . . . . . . . 42

..........................
.
3.3 Vẽ bản đồ bài toán EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Kết luận
...........................................
.
Tài liệu tham khảo
...................................
.

48
50
53
54


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Lý thuyết rẽ nhánh có nguồn gốc từ
các bài toán cơ. Lần đầu tiên xuất hiện
trong các công

trình

nghiên cứu của

Lagrange, của Euler, của Poincare’, của
Liapunov… Hiện tượng rẽ nhánh xảy ra
khi có mặt của các tham số trong bài
toán phi tuyến. Khi các tham số thay đổi
sẽ làm xuất hiện thêm một số nghiệm
khác của hệ cạnh các nghiệm tầm
thường.
(
1
)

Bài toán rẽ nhánh được khảo sát
trong phương trình hàm F (x, )
= 0

hoặc các phương trình toán tử. Nghiệm x
sẽ phụ thuộc vào tham số  .

Giả sử họ
nghiệm đã biết là = x () khi đó với
mỗi lân cận của
x
đủ
0

}

{

nhỏ
cho
trước
0




<


sẽ làm xuất hiện
một nghiệm mới

x

).

( Khi
0

đó tham số  được gọi là rẽ nhánh của
hàm (hoặc toán tử). Rẽ nhánh trong
phương trình vi phân là một phần của lý
thuyết định tính của phương trình vi
phân. Bắt đầu từ bài toán đơn giản.


(2)

x

nhiều nhà khoa học quan tâm. Với mong
muốn

=
+
tr

f (t + ,
o
n ) = f (t, ) với

g
, 0 cho trước, chúng
đ
ó ta tìm những
x
nx
g
h(
i t,
ệ 0
m

của
phương
trình (2).
Nghiệm
mới

)

x vo
ớ<
( i 
t là
,


)

0

vấn đề rẽ nhánh của
nghiệm tuần hoàn
trong phương trình vi
phân (2).
Đề tài này trình
bày sự rẽ nhánh đối
với các loại phương
trình vi phân thường,
phương

trình

chính

tắc tro ng bài toán
cục

bộ, trong

phẳng.
vấn
trong

đề

mặt

Tuy

nhiên

rẽ

nhánh

phương

trình

vi phân là rất rộng
lớn và sâu rộng được


2
được tìm hiểu rõ ràng và sâu rộng hơn về vấn đề rẽ nhánh trong phương
trình vi phân nên tôi chọn đề tài này.

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về rẽ nhánh trong phương trình vi
phân trong mặt phẳng và ứng dụng của nó trong thực tiễn.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Việc nghiên cứu hoàn thiện luận văn với nhiệm vụ hệ thống làm sáng
tỏ nội dung của rẽ nhánh trong phương trình vi phân và một số ứng dụng
của nó.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kết quả về rẽ nhánh trong phương trình vi phân và một số ứng
dụng của nó cụ thể luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Một số khái niệm mở đầu.
Chương 2: Rẽ nhánh nghiệm tuần hoàn trong mặt phẳng.
Chương 3: Một số ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Áp dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học, phương
pháp số đặc biệt là các phương pháp nghiên cứu trong giải tích hàm.

6. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết rẽ
nhánh trong phương trình vi phân cùng với một số bài toán ứng dụng.


Chương 1.

Một số khái niệm mở đầu
1.1. Nghiệm của phương trình vi
phân

(1.1)

Xét phương trình vi phân x = f

(x,t)
với
x


n
 ,f

n

+

:  ×  →  là hàm vectơ giá trị thực.

Định nghĩa 1.1.1. Điểm x ∈ được gọi là điểm cân bằng của phương
n

trình (1.1),
nếu

f (x

+

∀t ∈  .

,t ) = 0
,
Định lý 1.1.1. Hệ phương trình vi phân
(1.2)

x = Ax + g (t )
với A ∈  , g (t +  ) = g
n

(t ) ∀t

+

∈  .

Có nghiệm tuần hoàn duy nhất nếu và chỉ nếu các giá trị riêng

 jcủa ma

trận A thỏa mãn:

(A) ≠

j

 - chu kỳ của

Chứng minh.

2i

K



g (t ) , K - hệ số lặp của các giá trị riêng.


(At )
k

Chúng ta sử dụng công thức e

At


= ∑
tổng quát

và viết nghiệm
k =0

k!

của hệ
(1.2)
x ( t) = e x

t

At

0

+
t

0

A(t



e g (s)ds .

(1.3)


9
Giả sử x (t + ) = x (t ) , ta có thể viết
x ( ) =



A

e x
A

Chuyển e x

0

+

0

∫0

A(−

e

g (s)ds .

về phía trái của biểu thức

(e



A
0

A(−

∫s) e

=

)

0

− E x

g (s)ds .

(1.4)

Ta thấy trong (1.4), E là ma trận đơn vị thuộc n , x trở thành nghiệm
0
của phương trình đại số (1.4), vì x 0 cho trước duy nhất, nên công thức

(

A

(1.5)

det e − E

)≠

suy
ra


j

Nhận xét.

0

(A) ≠

2i

K.

(1.6)



• Nếu x (0) = x là điều kiện ban đầu của nghiệm, thì nghiệm
0
tuần
hoàn
x (t) sẽ cho x () = x (0) = x 0 .
• Mở rộng hệ phương trình vi phân x = Ax + g

(t ) với dạng

(1.7)
x = Ax + g (t ) + h (x,t,
)

với

 <  cho trước h (x,t + , ) = h (x,t,  ) .
0

Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm

x (t, , x 0 của hệ phương trình (1.7)

)


thỏa mãn

1
0

x (t + , , x 0 ) = x ∀t ∈  .
+

(t, , x ),
0

Định lý 1.1.2. Hệ phương trình (1.7) với các
hàm
hoàn theo t sẽ có nghiệm tuần
hoàn

x (t, x 0,
)

g (t) và h (x,t, ) tuần
duy nhất nếu và chỉ nếu


các giá trị riêng 

( A)
j

thỏa mãn:

(A) ≠


j

2i

K.



Chứng minh.
Theo nhận xét về nghiệm tuần hoàn, theo điều kiện ban đầu ta
luôn có
x (, x 0,

= 0.

(1.8)

) − x 0

Đặt
hàm

 (x0, ) = x (, x0, ) − x 0 .
Nếu  = hiển nhiên  (x0, 0)
0
= 0
trên.
Nếu

≠ 0 .
Hàm

 ( x 0 , )

(1.9)

và ta có định lý vừa khảo sát ở

trong (1.9) cho phép tìm hàm ẩn

n

x 0 ∈  . Muốn có hàm ẩn điều kiện đủ là:
det

∂

≠ 0.

∂x0

(1.10)

=0

Hay

(

A

det e − E

)≠

0.

(1.11)

Suy
ra

j

(A) ≠

2i

K (đpcm).



1.2. Bổ đề bổ trợ
Định nghĩa 1.2.1 (Đa thức đồng nhất thức VHP). Vectơ hàm

X

(x )

được

gọi là đa thức đồng nhất thức (VHP: Vector Homogeneous Polynom) bậc


l , nếu có thể chỉ ra một lân cận gốc tọa độ, tại đó mỗi
chuỗi

X k (x hội

)

tụ.
Nếu
chuỗi

X (x
hội

) không hội tụ, hoặc không khẳng định được sự

k

tụ thì
chuỗi

X

k

(x ) được gọi là chuỗi hình thức.

Vi phân một chuỗi hình thức có thể tiến hành tương tự vi phân
một chuỗi hội tụ. (Một cách hình thức).
Một
chuỗi

X (x
cók

) trong đề tài này là thường bắt đầu bởi số hạng

bậc lớn hơn hoặc bằng 2.
Định nghĩa 1.2.2 (Sắp xếp thứ tự).

(

*

Chúng ta nói cặp k ,q

*

) vượt quá cặp (k
*

) nếu có:
*

,q
*

k − k > 0, q *
− q
*

Xét toán
tử

L
:VHP

1

1*

> 0, q
− q
2

*
2*

→biến bộ hệ số
l
VHP X

> 0,..., q
− q
n

*
n*

> 0.
(1.12)

vào bộ hệ số mới LX với
l

định nghĩa sau:
LX

trong
đó

n

l

= l Ax l−
∂X BX

x

A∈ N ,B∈ N
một ma trận
l

m

(1.13)

. Mỗi toán tử L sẽ tương ứng với

 biến bộ hệ số X vào bộ hệ số mới LX l .


(q
)

Định lý 1.2.1. Giá trị
riêng công thức (1.13) sẽ

của ma trận  ứng với toán tử L trong

Λ
k

có dạng
( )

với
k

=
1,m, q

 ,  ,..., 
) = qk
1

2
m

Chứng minh.

= l
và k

Λ
k
=

q

(q,k ) −

=

(k , k ,..., k ) - giá trị
1

2

n

riêng của
- giá trị riêng của B ∈ N
+ qk

m

(1.14)

Λ

n
N

; còn (q,k

+ ...
+ qk.
1 1

2 2

n n


Thực hiện phép biến đổi không suy biến
x = Sy, h (x

(1.15)

) = Tg (y)
với x,y ∈
n
 ,h

- đa thức VHP khác không sao cho
−1

S
T

AS = J - Jordan của A
1

−1

BT =2 J

- Jordan của B

h là đa thức riêng của toán tử L với

Lh = h .

(1.15)

Còn g dưới tác động của L sẽ có
∂g

S

−1

ASy −T

BTg (y) = Ag (y).

−1

(1.17)

∂y
l

Với chuỗi X ta có
L *X

Giả sử J , J
1

2

l

= lS
∂X

x

−1

ASx −T

−1

l

BTX .

là ma trận dạng Jordan – tam giác dưới các phần tử

không nằm trên đường chéo chính sẽ tương ứng
và  k
 k k= 2,n
= 2,m .
k

)

(

Ta xét ma trận
Z

*

N
n×n

f

n

(x ) = ∑
k

(

của toán tử L .



Đặt L*h

= f xét

(1.18)

∂h
k
i

i =1

∂x

)


(k x
i

i

+ i x i

−1

)−

khk −  kh k −1

khi đó các hệ số của f là:
k
n
q

q

f
()



(1 +
(
) h

 h( )

= (q,k

) − 

k

q −e

+
k



k



i

q

i k

+e
i

1

i

)

q

− h

()

k k −1

i
=
2

trong đó ei là đơn vị.
Chúng ta sẽ có Z cũng là dạng tam giác dưới với các chỉ số


Λ
k

(q )

=

nằm trên đường chéo chính.

(q,k ) − 
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2.1. Phương trình đạo hàm riêng
∂V
=
Ax
∂x
U (x
vớ x ∈ C n , A
i
n
∈ N , U (x

)

(1.19)

)

là dạng toàn phương sẽ có nghiệm duy nhất

V (x ) - dạng toàn phương nếu
k k +≠
k 0, ∀ j = 1,n .
k,

1.3. Dạng chính tắc NF
Xét hai hệ phương trình vi phân:

)

(1.20)

(y )

(1.21)

x = Ax + X (x
y = Ay +Y
với X (x ),Y

là các đa thức đồng nhất VHP.

(y )
Định nghĩa 1.3.1 (Tương đương hình thức). Hai hệ phương trình vi phân
(1.20) và (1.21) được gọi là tương đương hình thức (FE – Formal
Equivalent), nếu tồn tại phép biến đổi:
x = y + h (y )

(1.22)

với h (y) là chuỗi hình thức đưa hệ (1.20) về (1.21).
Định nghĩa 1.3.2 (Tương đương giải tích). Hai hệ phương trình vi phân


(1.20) và (1.21) được gọi là tương đương giải tích (AE – Analytical
Equivalent), nếu các chuỗi

X (x ),Y

và h (y) hội tụ.

(y )
Định lý 1.3.1. Nếu (q,k
) − kk

≠ ∀k
0, = 1,
m

thì hai hệ (1.20) và (1.21)


tương đương hình thức PE và biến đổi (1.22) là duy nhất.

Chứng minh.
Lấy vi phân hai vế của (1.22) có tính đến các hệ (1.20) và (1.21) ta

x = y =
∂y
Vì Ax + X (x
∂h

)

(

∂h

y .

)

(1.23)

(

) nên

= A y + h ( y ) + X y + h ( y)

(

A (y ) − Ah = X y + h

(h ) −Y (y).
∂y

(

)

(y ) −

∂h

Y
(1.24)

∂y

)

Thế X y + h (y ) ,Y (y ) và h (y ) với
X (x







) = ∑ X (x ), và h (y) = ∑h
Y (y) = ∑Y (y)
(y)
l

l

l

vào (1.24) ta


l
=
2

l =2

l
=
2

l

∂h
l
Ax − Ah
= f
∂y

l

(h ,Y
i

j

,X

k

) −Y

l

.

(1.25)

Theo quy ước, các khai triển của các chuỗi bắt đầu bằng các cấp số
hạng có cấp lớn hơn hoặc bằng 2, nên i
j < l, k = 2, 3,...
< l,
≤ l
Hệ phương trình (1.25) có dạng của toán tử L trong bổ đề hỗ trợ
trên.
Vậy điều kiện

)−
nghiệm
l
h

kk

(q,k

≠ 0

(

, k

và suy ra h (y), hay tồn tại
x

=
1,m, q

= là điều kiện để có
l

)
= y + h (y )


trong
(1.22).
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.3 (Hệ số cộng hưởng - Resonance). Các hệ số bất kỳ của
một chuỗi lũy thừa có cặp (k,q) thỏa mãn


10

(q,k ) −

kk = 0

(*)

được gọi là hệ số cộng hưởng, còn các số hạng có chứa hệ số cộng hưởng
được gọi là số hạng cộng hưởng. Còn (*) được gọi là phương trình cộng
hưởng.
Các hệ số bất kỳ của một chuỗi lũy thừa có cặp (k,q) thỏa mãn

(q,k ) −

kk ≠ 0

được gọi là hệ số không cộng hưởng, còn các số hạng tương ứng là số
hạng không cộng hưởng.
Định nghĩa 1.3.4 (Hệ có dạng chính tắc). Hệ phương trình vi phân
x = Jx + X (x

)

(1.26)

được gọi là hệ có dạng chính tắc (NF – normal form), nếu trong đó tất cả
các hệ số không cộng hưởng của

X (x

) đều bằng 0.

chuỗi Biến đổi
Y

(a )

g
=
k

(q )

(1.27)

với trường hợp các hệ số cộng hưởng bằng 0 được gọi là biến đổi chuẩn.
Định lý 1.3.2. Bất kỳ một hệ (1.26) nào cũ ng tương đương hình thức với
một hệ chính tắc NF và biến đổi chuẩn (1.27) là duy nhất.
Ví dụ 1.3.1. Tìm dạng NF của hệ
x = Ax + X (x ) .
Với n
= 2

và ma trận A có các giá trị
riêng

Chúng ta có

J =  
0 0 .

−


Nên hệ phương trình cộng hưởng

± .


21

(q,k
)−

Từ đó ta


= 0.
kk

(q − q
− 1)  =
(q − q
+ 1)  =
1

= 1.

2

1

(1.28)

0, k = 2.

2

0, k

Hệ đã cho (1.3.1) như trêncó dạng chính tắc NF.
 
P
y = y1 + y1 1

 1
(y1,y2 ) 2 2 2 1 2
P1 (y1,y2
trong
đó

),



y
 = −y + y P (y ,y

(1.29)

)

là chuỗi hình thức theo bậc của y1
y
P2 (y1,y2

không
2

)
có hệ số tự do.
Ví dụ 1.3.2. Tìm dạng NF của hệ
x = A () x +

(1.30)

X (x, )
với A (), X (x,

giải tích.

)
Khi  = 0 , hệ (1.30) có
dạng

nên ta có hệ mới

x = Jx
+ X

*

(x, )

 = 0



x = Jx
*
+ X (x, ).

(1.31)

(1.32)


X

*

22
=
k



(
)
X q ,q 

0

q0
+ q
=2

q

k

q0

q
x , ∈ .

Giả sử n = 2 , ma trận A có các giá

k

0

± .

trị riêng Dùng phép biến đổi
x = y
1
1
2
 1 12
2
1
2
+ h (y ,y , )

 = y + h (y ,y , )

sẽ có dạng NF như sau



x2

(1.33)


 
P
y = y1 + y1

 1
(y1,y2, ) 2 2 2 1

(1.34)
1
2

 y2 = −y + y P (y ,y , )
 
trong
đó

P , P là chuỗi hình thức và không có số hạng hệ số tự do.
1

2

Định nghĩa 1.3.5 (Hệ số cộng hưởng). Các hệ số của chuỗi lũy thừa tương
ứng cặp (k,q) thỏa mãn

(q,k ) −

kk = 0

dù chỉ với một giá trị  đủ nhỏ (hệ 1.34) sẽ được gọi là hệ số cộng hưởng.
Mỗi số hạng tương ứng của chuỗi sẽ được gọi là số hạng cộng hưởng.
Trường hợp (q,k

)−

≠ 0

kk dù chỉ với một giá trị  đủ nhỏ, hệ số

được gọi là không cộng hưởng, số hạng tương ứng là số hạng không cộng
ta có định lý sau:

q
q
(
)
(
)
q,k
hưởng. Từ hệ thức (

(q ) g
) − k −hY =
k
k
k  k

Định lý 1.3.3. Hệ phương trình bất kỳ dạng

x = A () x + X (x, )
với A() là ma trận đường chéo, nghĩa là

(

)

A() = diag k1 (),k2 (),...,kn ()
với phép biến
đổi

x = y
+ h (y)

(1.22) có hệ số giải tích đối với  đủ nhỏ,

sẽ biến thành hệ số có dạng chính tắc NF.
Ví dụ 1.3.3. Xét hệ phương trình
x = Ax + X (x
với

)

(1.20)


k1, = ±i . Sau khi đưa về
2
NF

n
=
2,
ma
trận
A có
các
giá
trị
riên
g
phải có dạng

x = ix
1
1
 1
+ X (x )

2

2

 x 2 = ix + X (x ).
 

(1.35)


Hệ (1.35) có hệ số phức. Vì vậy đối với (1.20) có thể xác định một
NF có hệ số thực và có mối quan hệ mật thiết với hệ (1.35). Thực tế một
hệ như vậy, có thể chọn:
(1.36)

z = −z +
2
1
1 2
 1
1
2
1 2
Z (z , z )

 z = z + Z (z , z
  2
với chuỗi Z (z , z ), Z
z

)

1

Nếu đặt

1

2

2

(z ,
1

2

)

là các chuỗi hệ số thực.

x
= z + iz
1
1
2

x= z − iz
2
 2 2

ta

X
Z
1

X
Z
2

x + x x − x 

− x 1
2
2
= 1
, iZ   + 1

1
2i
2
 2
 2




x + x x − x 
+ x x1 −2 x  
2
1
= 1
,  − iZ



1
2
2i
 2
 2




(1.37)

x + x x
2

,

1

2

2i



(1.38)

x
2

,

1

2

2i








với X là dạng liên hợp của X .
1
2
Sẽ cho chúng ta hệ phức (1.35).

1.4. Dạng chính tắc trên mặt bất biến NFIS
Định nghĩa 1.4.1 (Dạng chính tắc trên mặt bất biến). Nếu trong hệ
y ′ = J ′y ′ +Y ′ (y ′,y ′′)


y ′′ = A′′ y ′′ +Y ′′ y ′,y ′′ .
(



(1.39)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×