Tải bản đầy đủ

Phương trình động Boltzmann và một số hiệu ứng động trong vật liệu bán dẫn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
2

LÊ VĂN THANH

PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG BOLTZMANN VÀ
MỘT SỐ HIỆU ỨNG ĐỘNG TRONG VẬT LIỆU
BÁN DẪN
Chuyên ngành: Vật lý chất
rắn Mã số: 604407

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Người hướng dẫn khoa học: TS. TRẦN THÁI HOA

HÀ NỘI, 2010


Lời cảm ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Thái Hoa, người

đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để
tôi hoàn thành bài luận văn này. Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng
tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc
cùng thầy.
Tôi xin cảm ơn các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, Khoa Vật Lý
Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi
những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu
khoa học.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Phương Sơn, các thầy các cô ở Tổ Vật Lý, Ban
Giám Hiệu Trường THPT Hiệp Hòa Số 3 đã luôn tạo mọi điều kiện tốt nhất
cho tôi hoàn thành khóa học tại Trường ĐHSP Hà Nội 2.
Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân
trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho
tôi trong suốt quá trình học tập và công tác của mình.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Lê Văn Thanh


Lời cam đoan
Tên tôi là : Lê Văn Thanh, học viên cao học khóa 2008 – 2010.
Tôi xin cam đoan đề tài: “ Phương trình động Boltzmann và một số hiệu
ứng trong vật liệu bán dẫn”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi.
Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các
tác giả khác.
Hà Nội, tháng 10 năm 2010
Tác giả

Lê Văn Thanh


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong hàng ngũ đông đảo các ngành vật lý chất rắn, ngành vật lý
bán dẫn chiếm một vị trí rất quan trọng, đã được quan tâm, nghiên cứu trong
suốt nửa thế kỷ qua. Đến nay, ngành vật lý bán dẫn đã đạt được nhiều thành
tựu to lớn. Với những thành tựu đó, chất bán dẫn được ứng dụng rộng rãi
trong hầu hết các ngành công nghiệp mũi nhọn như công nghiệp điện tử, du
hành vũ trụ, các ngành khoa học kỹ thuật và các ngành công nghiệp khác.


Thành công của cách mạng khoa học kỹ thuật cùng với việc sử dụng
rộng rãi các vật liệu bán dẫn dã cho ra đời nhiều loại thiết bị mới, hiện đại
phục vụ cho nhu cầu sinh hoạt, nghiên cứu khoa học, sản xuất, kinh
doanh...như máy tính xách tay, điện thoại di động, máy thu hình....
Theo yêu cầu khoa học công nghệ, ngành vật lý bán dẫn đang đứng
trước thách thức cần tạo ra các những linh kiện bán dẫn nhỏ gọn với những
tính năng ưu việt nhất. Trước tình hình đó, vấn đề tìm hiểu, giải thích các
hiệu ứng của vật liệu bán dẫn trở lên quan trọng và cấp thiết hơn. Qua đó,
chúng ta có thể xây dựng các mô hình thực thi ứng dụng các hiệu ứng trong
vật liệu bán dẫn vào trong các mạch, vi mạch điện tử theo yêu cầu sử dụng.
Nếu tinh thể bán dẫn không đặt trong trường ngoài (điện trường, từ
trường, gradien nhiệt độ...) thì hệ các electron dẫn trong tinh thể chỉ chịu tác
dụng của trường lực tinh thể gây bởi các iôn dương nút mạng. Khi đó, hệ các
electron dẫn ở trạng thái cân bằng và tuân theo qui luật phân bố Fecmi –
Dirac, hay phân bố Boltzmann. Nếu tinh thể bán dẫn được đặt trong trường
ngoài, hệ các electron dẫn sẽ ở trạng thái không cân bằng (trạng thái động). Ở
trạng thái này, hệ các electron dẫn tuân theo hàm phân bố không cân bằng.
Khi đó, trong chất bán dẫn sẽ xảy ra các hiện tượng liên quan đến chuyển
động của các electron dẫn, gọi chung là hiên tượng truyền hay hiện tượng
động[1], [2], [6], [11], [12].


Các hiện tượng động tuân theo phương trình động. Khi giải phương
trình động ta tìm được hàm phân bố không cân bằng, giải thích được các hiệu
ứng trong chất bán dẫn và tìm ra biểu thức định lượng cho các đại lượng đặc
trưng cho các hiệu ứng[1], [2], [6], [11], [13], [22], [26].
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết lập phương trình động cho các hiện tượng động
Tìm ra phương pháp giải
Giải phương trình động trong một vài trường hợp cụ thể
Nghiên cứu hệ hai chiều trong từ trường
3. Những vấn đề chính được nghiên cứu
Thiết lập phương trình động Boltzmann
Phương pháp giải gần đúng thời gian hồi phục
Giải phương trình động Boltzmann trong trường hợp tinh thể đặt trong
điện trường và từ trường, trường âm điện từ
Nghiên cứu hiệu ứng Hall, hiệu ứng âm điện từ
Nghiên cứu quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh có sự kích
thích của áng sang đơn sắc.
4. Đối tượng nghiên cứu
Vật liệu bán dẫn có cấu trúc đơn tinh thể lý tưởng
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích hiện tượng, đề xuất bài toán
Phương pháp số


Nội dung của luận văn
Chương 1. Phương trình động Boltzmann
1.1. Phương trình động Boltzmann
1.2. Trạng thái cân bằng
1.3. Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục giải phương trình
động Boltzmann
Chương 2. Hiệu ứng Hall
2.1. Hiệu ứng Hall
2.2. Nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Hall
2.3. Giải phương trình động Boltzmann khi có tác động đồng thời của
điện trường và từ trường lên tinh thể bán dẫn
2.4. Các hệ số nhiệt động K11, K12
2.5. Các đại lượng đặc trưng của hiệu ứng Hall
2.6. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn suy biến
2.7. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn không suy biến
2.8. Hiệu úng Hall trong bán dẫn có tính hỗn độn điện tử và lỗ trống
Chương 3. Hiệu ứng âm điện từ trong bán dẫn
3.1. Hiệu ứng âm điện từ
3.2. Các phương trình cơ bản của hiệu ứng âm điện từ
3.3. Biểu thức của trường âm điện từ
Chương 4. Quang dẫn của Polaron trong điện trường mạnh
4.1. Phương trình động học của polaron trong điện trường mạnh
4.2. Polaron liên kết yếu
4.3. Polaron liên kết mạnh


Nội dung
Chương 1. Phương trình động Boltzmann
1.1.

Phương trình động Boltzmann
Trong tinh thể lý tưởng[1], [12], Ở trạng thái cân bằng nhiệt động, hàm sóng


của electron   (r)
k

không thay đổi theo thời gian. Tính chất của điện tử xác

định bởi phân bố lượng tử Fecmi - Dirăc :
 
f0 (r,k )
=

1
exp{
− F

(1.1)
E

}-1
kBT

Hay hàm phân bố cổ điển Maxoen- Boltzmann :
 
f (r,k ) =
exp{−

E
kBT

}.exp{

F

(1.2)

}

kB T

Khi có trường ngoài tác dụng[1], [2], [6], [12], [15], khí điện tử sẽ ở
trạng thái không cân bằng. Khi đó trong tinh thể sẽ xảy ra các hiện tượng liên
quan đến chuyển động của các hạt dẫn như: hiện tượng dẫn điện, dẫn nhiệt, các
hiện tượng nhiệt điện, hiện tượng từ Ganvanic…gọi chung là hiện tượng truyền
hay hiện tượng động. Các hiện tượng động là các quá trình không thuận nghịch,
nó tuân theo phương trình động. Ở gần đúng bậc thấp, tương ứng với tác động
bên ngoài là nhỏ và chỉ xét đến những hiệu ứng tuyến tính, phương trình động
gọi là phương trình động Boltzmann.
Biểu thị hàm mật độ hạt tải điện trong trạng thái đặc trưng bởi vectơ sóng


k tại điểm r là

f (r,k
còn gọi là hàm phân bố. Hàm phân bố có thể thay đổi
)

theo thời gian, nên trong trường hợp tổng quát có thể ký hiệu là f (r,k, t) . Hàm
phân bố tuân theo phương trình động Boltzmann.
Trong phần tử thể tích pha của một đơn vị thể tích tinh thể ta có:
dG =

d rd

3

p

=  d


r

d

k

(1.3)


Với

d r
=

dxdydz là phần tử thể tích trong không gian thường

d =
p
3d

là phần tử thể tích trong không gian xung lượng

Số ô cơ sở pha trong dG là : dG
(2 )

3

, mà trong đó, mỗi ô cơ sở pha có thể tồn

tại hai electron với spin ngược dấu. Do đó, trong phần tử dG chứa

trạng thái lượng tử. Với f (r,k,

t)

dG
2 (2 )3

là xác suất tìm điện tử ở trạng thái này, thì

số điện tử trong thể tích pha dG bằng :
 
d
G
f ( r , k , t ).2
=
3
(2)

dn
=

 
d k
f ( r , k , t ) 3 d
r
4

(1.4)

Xét hệ điện tử ở trong không gian thông thường (không gian hình
học). Để đơn giản, chúng ta đặt trường lực bên ngoài tác dụng vào hệ điện tử
chuyển động dọc theo hướng dương trục Ox với vận tốc vx . Trong phần tử
thể tích d r , số điện tử đi qua mặt bên trái trong thời gian dt với vận tốc vx
bằng :

f (k,x, y,z,t)
.v x

d  k .d yd zd
3
4 t

(1.5)

số điện tử đi qua mặt bên phải là:

d k
f ( k , x + dx , y , z , t
.d yd zd t
4 3
).v x

Như vậy, trong thời gian dt số điện tử trong




= − vx

∂x

d r

thay đổi một lượng :

d k
f ( k , x + dx , y , z , t )].v x . .dyd
zdt
3
4

[f ( k , x , y , z ,
t)−
∂f d 
k

(1.6)

4 3

(1.7)


.dxdyd zdt

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động của điện tử với vận tốc v(vx, vy,
vz) thì sự thay đổi điện tử với vectơ sóng k đã cho trong phần tử dr trong
khoảng thời gian dt bằng:


∂f

∂f

∂f

−[
v x ∂x
+ v

y

d k

d k

].
.d .dt = −(v∇ f )..d
.dt 3
r
r
3
∂z 4
4

∂y
+ vz

(1.8)
r

Sự thay đổi số lượng hạt dẫn này gây ra bởi sự khuếch tán dọc theo gradien
nhiệt độ, hoặc do sự không đồng đều của nồng độ hạt dẫn.
Tương tự như ở trên chúng ta nhận được sự thay đổi số lượng điện tử trong yếu
tố thể tích

d k , trong khoảng thời gian dt bằng :

∂kx
∂ ky
d k
dk
d k
∂kz
∂f

f
∂f
].
.d .dt
= r −(
−[
+
+
3
∇k f ). 3 .d r (1.9)
∂t ∂x
∂y
∂z 4
4
∂t
∂t
dt
.dt
= −
1
(F.∇

Ở đây :

k

f ).

d k
4

.d

3

.dt

r



d k 1d
1 
=
= F (r,
t)
dt

 dt

(1.10)



Sự thay đổi số lượng điện tử ở đây là do tác dụng của trường ngoài. Tác dụng
của trường ngoài đặc trưng bởi lực F (r,t)
Hàm phân bố còn thay đổi theo thời gian do tán xạ của điện tử trên các hạt khác
làm biến đổi trạng thái của điện tử từ trạng thái ( r, k ) sang trạng thái ( r ', k
'). Với:
 
d k
f (r,k ,t). 3 là số điện tử ở trạng thái
4

{1


 
f ( r ,k ', t )}.d k '
4

k

là số chỗ trống ở trạng thái k '

3

Trong quá trình va chạm (Tán xạ) vị trí của điện tử hầu như không thay đổi
đáng kể, nên xác suất chuyển mức trong một đơn vị thời gian không phụ thuộc


vào r và r ' . Gọi W(k,k’) là xác suất chuyển điện tử từ trạng thái k sang trạng
thái k’ trống hoàn toàn . Như vậy, trong thời gian dt, điện tử chuyển từ trạng
thái k sang trạng thái k’ do tán xạ làm số lượng điện tử trong dG giảm đi một
lượng :


d k
f
(r
,
k
',
t
)].
d '
− f (r , k , t )W (k ,
3 . 3 k .d 4 r .
4

k ')[1 −
dt

(1.11)

Quá trình chuyển từ trạng thái k sang trạng thái k’ trong thời gian dt xảy ra do
tán xạ với xác suất W(k’,k) làm số lượng điện tử trong dG tăng lên một lượng :
d  ' d
(1.12)
f (r, k ',t)W (k ', k)[1− f (r, k,t)]. k . k .
dt
.d
r
3
3
4 4
Như vậy, quá trình tán xạ trên các nút khuyết, nguyên tử ion tạp chất, dao động
nhiệt của mạng tinh thể đã làm cho số hạt tải trong yếu tố thể tích dG thay đổi
một lượng :
{f '(k ')W(k,k ')[1− f (k)]− f (k)W(k ',k)
d
[1− f (k ')]}

k
3

4


d
4

'
k

d dt
r

3

Số điện tử trong thể tích dG thay đổi một lượng :
d k
d dt ∫ {f (k ')W(k ',k)[1− f (k)]− f (k)W(k,k ')[1− f
d '
(k ')]} k

4

3

r

4

VB

(1.13)

(1.14)

3

Sự thay đổi toàn phần của số điện tử do chuyển động khuếch tán, do tác dụng
của trường ngoài, và do tán xạ làm thay đổi số điện tử trong yếu tố thể tích dG
của không gian pha. Trong khoảng thời gian từ t đến t+dt sự thay đổi số lượng
điện tử trong yếu tố thể tích dG là:
d
d k
f (r, k, t + dt) d − f (r, k, t) k d
r
r
3
= 4 3 d r dt
d k
4
∂f
3

4
t

(1.15)

Do đó
∂f d  k

d dt =
−(v.∇
∂t 4 3

r
k

1

f)−
(F .∇
r

f)+



(1.16)
d ' d


+(

∫ { f (k ')W (k ', k )[1− f (k )] −

VB

=>

=
∂f
−(v
∂t
∇r

f)
1


(F.∇


k

f)
+

f (k )W (k , k ')[1− f (k ')]}
3
4
4 3

k

r

k

(1.17)

d '
+(
VB



d dt

k

{ f (k ')W (k ', k)[1 − f (k )] − f (k)W (k, k ')[1− f (k ')]}

4 3


∂f

f−) 1
=
−(v∇
(F.

∂t



r

W
(k, k ')[ f (k ') − f
(k )]

f+)



k

d '

(1.18)
k

VB

4

3

Vì xác suất chuyển trạng thái giữa hai trạng thái k và k’ là W(k,k’) và W(k’,k) là
như nhau : W(k,k’) = W(k’,k)

(1.19)

Phương trình (1.18) gọi là phương trình động Boltzmann. Đây là phương
trình vi tích phân. Giải phương trình này ta tìm được nghiệm là hàm phân bố
f(r,k,t). Hàm f(r,k,t) biến đổi theo thời gian theo ba thành phần :
Do khuếch tán hạt tải (diffusion):
 ∂f 
  =
∂
−(v∇
t
diff
r f )

(1.20)

Do tác dụng của trường ngoài :
 ∂f 

= −

1


(F.∇ f )
 ∂t  field 

(1.21)

k

Do tán xạ trên các nút khuyết, ion tạp, nguyên tử tạp, dao động mạng :
= −
W (k, k ')[ f (k ')

f (k )]

∂
f 

∂
t 


d '



scatt

k

(1.22)

4 3

VB

Ta xét quá trình dừng (không nhất thiết là cân bằng) tại điểm r bất kỳ
trong tinh thể, với giá trị k bất kỳ. Hàm f(r,k,t) không phụ thuộc tường minh vào
thời gian : ∂f = 0 . Ta suy ra :
∂t

∂
f 


+
∂f 

 
 ∂t
diff

Hay :

+

 ∂f 

(1.23),

=
  0 
 ∂t   ∂t scatt
field

(v.∇r

k

f)+

1


(F.∇


f)=

d

'

W (k, k ')[ (k )
f (k ') − f ] k V∫
B

4 3

(1.24)

Biểu thức này cho thấy, ở trạng thái dừng, sự biến đổi hàm phân bố do chuyển
động khuếch tán của hạt tải và sự biến đổi hàm phân bố do tác dụng của trường
lực bên ngoài cân bằng với sự biến đổi hàm phân bố do tán xạ của hạt tải trên
các sai lệch mạng (ion tạp, nguyên tử tạp, dao dộng mạng)


1.2.

Trạng thái cân bằng:
Khi có cân bằng nhiệt động, hàm phân bố hạt tải có dạng hàm phân bố

cân bằng (phân bố Fecmi- Dirăc với hệ suy biến, phân bố Boltzmann với hệ
không suy biến). Chuyển động của điện tử trong tinh thể gây nên bởi năng
lượng nhiệt. Đối với trường hợp cân bằng thì chuyển động của điện tử do
khuếch tán cân bằng với chuyển động của điện tử do trường ngoai f tác dụng.
Vì vậy:


4

VB

d '
k
W (k, k ')[ f0 (k ') − f0 (k )]
= 0
3

(1.25)
(1.26)

=> f0 (k ') = f0 (k )

Ta viết biêu thức tường minh :
1

− F1
+1 kB}+1
T

E
exp{
= E '− F
2
exp{
k BT }
1

Suy ra : E – F1 = E’ – F2

(1.27)

Trong điều kiện cân bằng nhiệt động, năng lượng toàn phần của điện tử
không thay đổi : E = E’ ta suy ra : F1 = F2

(1.28)

Như vậy, ở trạng thái cân bằng nhiệt động trong tất cả các phần của hệ, giữa
chúng có thể xảy ra mức chuyển điện tử, vị trí mức Fecmi là như nhau.
1.3.

Phương pháp gần đúng thời gian hồi phục :
Xét trường hợp hệ điện tử nằm ở trạng thái kích thích tại thời điểm t = 0

ta ngắt trường kích thích, hệ sẽ dần trở về vị trí cân bằng, quá trình trở về trạng
thái cân bằng gọi là quá trình hồi phục. Phương trình mô tả quá trình hồi phục.
∂f

=
∂f 
 
t  ∂t scatt


(1.29)


Ở thời điểm ngắt trường ngoài hệ nằm ở trạng thái không cân bằng, sau
khi ngắt trường ngoài những quá trình va chạm và tán xạ làm hạt trở về trạng
thái cân bằng mới.
Để đơn giản ta giả thiết đối với diễn biến quá trình hồi phục là tốc độ thiết lập
sự cân bằng tỷ lệ với độ lệch [f(k)-f0(k) ] từ sự cân bằng
∂f  ∂f 
f
=
 
∂ t  ∂t = −
− f0
scatt
 (k )

Với

(1.30)

f0 là hàm phân bố ở trạng thái cân bằng
f

là hàm phân bố ở trạng thái không cân bằng
1 là hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào vectơ sóng k ; có ý nghĩa nghịch đảo thời

 (k )

gian hồi phục xung lượng.
Giải phương trình 1.30 ta được
f −
f0

= ( f f 0) t

= o .e

t

(1.31)

(k)

Từ biểu thức (1.31) ta ngận thấy, sau khi ngắt trường ngoài, hiệu số (f-f0) giảm
đi theo qui luật hàm số mũ đối với hằng số thời gian  (k ) ,  (k )

được gọi là thời

gian hồi phục xung lượng (thời gian hồi phục).
Ta viết hàm phân bố không cân bằng dưới dạng:
f (k ) f0 (k ) + f1
=
(k )


đây,

f1 (k là bổ chính của hàm phân bố cân bằng xuất hiện nhờ tác dụng của
)

trường bên ngoài tới hệ. Chúng ta biểu diễn f1 (k ) dưới
∂f 0
dạng
f (k ) =
1
∂E

Với

(1.32)

 (E)

k  (E)

là hàm vectơ chưa biết. Để tìm f1(k) ta cần phải tìm  (E) .

(1.33)


Giả thiết rằng thời gian để hệ chuyển từ trạng thái không cân bằng về trạng thái
cân bằng không phụ thuộc vào trường bên ngoài. Phương trình động Boltzmann
có dạng sau:


(v.∇

f)

f)+
(F.∇k
r

= −
− f0

(1.34)

f

 (k )

Vì hàm f0(k) là hàm phân bố ở trạng thái cân bằng nên:



d '
k
W (k, k ')[ f0 (k ') − f0 (k )]

4 3

(1.35)

= 0

VB

Do vậy từ 1.30 ta có:
 ∂f 
=
1
3

4


t scatt

'
W (k,
k ')[ f (k ') − f (k
)].d



1

1
k

=

1 (k )

f

(1.36)

 (k )

VB

Từ đây ta tính được
1
1
3
=

 (k)
4 V

B

1



f (k ') − f1 (k )
W (k, k ') 1
d '
k
f1 (k )
∂f 0
k '  (E ')

( 1.37)

].d k

= ∂E
∫ W' (k, k ')[1−
3

∂f
4 VB

k  (E)
∂E
0

Xét quá trình tán xạ của điện tử trên các sai lệch mạng là các tán xạ đàn
hồi (tán xạ mà động năng của hệ được bảo toàn). Điều này có nghĩa là trong quá
trình va chạm vận tốc của điện tử không thay đổi về độ lớn mà chi thay đổi về
phương, chiều. Tức là :
k ' = ; v = v ' . Suy ra : E’ = E
k

(1.38)

nếu vùng năng lượng có dạng hình cầu.
Khi tính đến (1.38) ta có:
1
=
1

 (k)

4


3
VB

(1.39)

k '  (E ') '
W (k, k ')[1−
].d
k (E)

k

Các vectơ k, k’ có thể mô tả bởi hình vẽ sau:


k'
k




Hình 1.1 sự biến đổi vectơ sóng điện tử khi tán xạ
Hình chiếu của k , k′ lên 
k = k
k ' = k 'cos = kcos

với  là góc lệch của điện tử khỏi phương ban đầu do tán xạ
Thành thử :
1
=
1
3
 (k)
4
1
4

3

∫ W(k,k')[1- k



'

]d

k

k

VB

W(k,k')[1-cos ]d



'

'

(1.40 )
k

VB

0

Xét trường hợp đặc biệt khi hạt tải tán xạ với góc  = 180 . Khi đó k’
cùng giá trị với k nhưng trái dấu. Do đó:
∂f0
f1 (k ') =

 (E ')

∂E '

là hàm lẻ

k'

W(k,k’) = W(k’,k) là hàm chẵn
∂f0

'

∫ W(k, k ') f (k ')d
1

k

= −

(E)d  k = 0
VB

∫ ∂E W(k, k ')k ' 

(1.41)

VB

Tích phân tán xạ
 ∂f 

∂
t 

'

1

=
4

scatt

3

W(k, k ') f (k ')d


VB

1

(k )−
=

' 1

k

 (k )

f

(1.42)


Ta rút ra thời gian hồi phục đối với quá trình tán xạ dẫn đến sự phân bố vận tốc
cá biệt :

1

 1 
 =
 (k)

4

scatt

k

3

W(k,k').d

'



(1.43 )

VB

Như vậy, khi giải bài toán khảo sát các quá trình truyền (tức là tìm các
đại lượng đặc trưng cho hiệu ứng động) ta cần phải tìm hàm phân bố không cân
bằng f(k). Bài toán sẽ được giải quyết khi tính được thời gian hồi phục  (k ) .Đại
lượng này tìm được nếu ta biết được cơ chế tán xạ của hạt dẫn lên các sai lệch
mạng (biết góc  ).
• Trường hợp tán xạ trên các iôn tạp chất[2], [6], [11], [13] :

 i (k )
=

 2 2 m0 *2 v3
2 N Zi 2 e 4 ln [1+(

* 2

 m0 v

(1.44)

)]

2 Ni 1/ 3 Ze2

Trong đó :

(m*)

−1

(1.45)

1 ∂
= 2 2
E

2
k

m* gọi là khối lượng hiệu dụng của điện tử
Ni là nồng độ iôn tạp chất
v
 = 2 1 / 2
E

m*



(1.46)

là vận tốc của điện tử
Thành thử :
2

i( k )
=

2

2  0 ( m
2 4
 N Z e ln [1 + (

* 1/ 2

)

 0 E

)]
E
2

3/


(1.47)
i

 i (k ) =  0
.E

N i1/ 3 Ze
3/
2

2

(1.48)



Với : 0
=

2 2 2 (m * )1/ 2
2

0

4

 N Z e ln [1+(
i

0

 0 E

(1.49)

)]

N i1/ 3 Ze 2

hầu như không phụ thuộc vào năng lượng.
• Tán xạ trên nguyên tử tạp trung hoà[6], [11]:

a( k )

e(m*)

=

20e

2

.
3

1
Na

(1.50)

Với Na là nồng độ nguyên tử tạp chất.
Theo công thức này, thời gian hồi phục khi hạt tải tán xạ trên nguyên tử tạp
trung hoà không phụ thuộc vào nhiệt độ, cũng không phụ thuộc vào năng lượng
của hạt tải. Song giá trị của nó chỉ đáng kể ở nhiệt độ rất thấp khi mật độ các
nguyên tử tạp bị iôn hoá nhỏ hơn mật độ các nguyên tử tạp trung hoà. Khi đó
vai trò tán xạ trên nguyên tử tạp trung hoà mới đáng kể so với tán xạ trên iôn
tạp chất. Điều đó chỉ xảy ra ở nhiệt độ rất thấp.
• Tán xạ trên dao động mạng[6]:
Hạt tải có thể tán xạ trên các phonon, trao đổi với phonon năng lượng cũng như
xung lượng của chúng. Tương tác điện tử phonon thể hiện qua việc sinh (phát)
hoặc hủy (hấp thụ) phonon làm điện tử biến đổi từ trạng thái k sang trạng thái
k’. Khi một điện tử tương tác cho năng lượng làm sinh ra một phonon có năng
lượng q . Ngược lại, khi một điện tử tương tác nhận năng lượng và làm mất
một phonon có năng lượng 
q.
Trong quá trình va chạm hệ luôn thoả mãn định luật bảo toàn năng lượng
và xung lượng :
Hấp thụ phonon

E '(k ') = E(k) + q


k’ = k + q

(1.50)

phát xạ phonon

E '(k ') = E(k) − q
k’ = k - q

(1.51)

Nếu điện tử tán xạ trên phonon âm dọc thì thời gian hồi phục xác định theo
công thức :


1

1
=4  3



W (k,

k

'

')[1 - k ]d  '
k

k

VB

1
=
4 3

q
W ( k , k ')[ ±
k


VB


k

]d '

q
13
+
'
= 4 ∫W (k , k ')k d k +413


VB

∫W



q
(k , k ') d '
k

(1.52)
k



VB

số hạng thứ nhất được coi là huỷ phonon, số hạng thứ hai được coi là sinh
phonon.
Xác suất chuyển của điện tử trong trường hợp huỷ phonon và chuyển từ
trạng thái k sang trạng thái k’.
W
4

+

( k , k ') = C 2 q 2 N  ( E '−
E
9

Nq

−  )

(1.53)

q

Trong trường hợp sinh phonon :

W



(k , k ') =

4

C 2 q ( N q + 1) ( E '− E
9 2
−  q )
N

(1.54)

q

Những tính toán gần đúng đưa đến kết quả là thời gian hồi phục

 L (k)

do tán

xạ trên phonon âm có dạng :

 L (k) =  0 E

−3
/2

Trong đó  0 hầu như không phụ thuộc vào năng lượng.

(1.55)


Trong chất bán dẫn có thể có nhiều loại tâm tán xạ. Tuy nhiên các chất
bán dẫn thường dùng để chế tạo các linh kiện bán dẫn hiện nay thường là đơn
tinh thể. Do tính hoàn hảo của tinh thể, chủ yếu chỉ có hai loại tâm tán xạ : đó
là tán xạ trên các iôn tạp chất và các phonon dao động mạng tinh thể. Đây là hai
dạng tán xạ quan trọng nhất của chất bán dẫn.
Tán xạ trên iôn tạp chất đưa đến biểu thức của thời gian hồi phục phụ
thuộc vào năng lượng :

 i (k) =  0
.E
Nghĩa là  (k)
i

3/
2

phụ thuộc vào
3/2
T

(1.47)

, hay  i (k)

tăng theo nhiệt độ. Ngược lại,

trong trường hợp tán xạ trên các phonon dao động mạng dẫn đến biểu thức của
thời gian hồi phục giảm theo nhiệt độ vì nó phụ thuộc vào năng lượng theo biểu
thức :

 L (k) =  0 E −3
/2
Nghĩa là  L (k ) phụ thuộc vào T- , hay  (k) giảm theo nhiệt độ
L
3/2

(1.55)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×