Tải bản đầy đủ

Phương pháp giải tích Fourier trong tổ hợp cộng tính

LèI CÁM ƠN
Trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc, tác giá đã
nh¾n đưoc sn hưóng dan nhi¾t tâm cna TS. Tran Văn Vuông
đưoc sn đ%nh hưóng cna thay mà tác giá thnc hi¾n đe tài "Phương
pháp giái tích Fourier trong to hap c®ng tính". Tác giá xin
bày tó lòng cám ơn sâu sac nhat đen ngưòi thay quá co cna mình.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS. Tran Văn
Bang ngưòi đã giúp tác giá hoàn thành lu¾n văn. Cám ơn các thay
cô giáo đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp tác giá
nâng cao trình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làm
lu¾n văn.
Tác giá rat biet ơn tói BGH Trung tâm giáo duc thưòng xuyênhưóng nghi¾p Đoan Hùng- Phú Tho và các đong nghi¾p đã quan
tâm giúp đõ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá thnc hi¾n ke
hoach hoc t¾p cna mình.
Tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè đã giúp đõ, đ®ng
viên tác giá trong quá trình hoàn thành lu¾n văn. Do thòi gian và
kien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khói nhung han che và
còn nhung thieu sót nhat đ%nh. Tác giá mong đưoc nhung ý kien
đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên.

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng
tôi dưói sn đ%nh hưóng cna TS. Tran Văn Vuông và đưoc
hoàn thành dưói sn hưóng dan cna TS. Tran Văn Bang.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa
hoc cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet
ơn.

Hà N®i, tháng 10 năm 2011
Tác giá


Mnc lnc
Má đau

4

1

8

M®t so kien thNc chuan b%
1.1

T¾p hop c®ng tính và cau trúc c®ng tính..........................8

1.2

M®t so ký hi¾u......................................................................13

1.3
1.4
2

1.2.1


Ve t¾p hop và hàm.................................................13

1.2.2

Ve h¾ thong so...........................................................14

1.2.3

Ký hi¾u ti¾m c¾n Landau........................................14

1.2.4

Ve cap c®ng................................................................15

Bien đoi Fourier..................................................................18
Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ trong to hop c®ng tính . . 24

Phương pháp giái tích Fourier trong to hap c®ng tính 28
2.1

Đ® l¾ch tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2

T¾p hop Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3

Các Λ(p)- hang so, Bh- t¾p hop và các t¾p phân ly . 43

2.4

Pho cna t¾p hop c®ng tính................................................52

2.5

Cap c®ng trong các t¾p tong.............................................59

Ket lu¾n

68

3


Mé ĐAU
1. Lí do chon đe tài
To hop c®ng tính là m®t trong nhung lĩnh vnc nghiên cúu ve cau
trúc c®ng tính cna các t¾p hop, đã và đang rat phát trien. Nó có
liên h¾ ch¾t che vói nhieu ngành như: giái tích đieu hòa, hình hoc
loi, lý thuyet đo th%, lý thuyet xác suat, hình hoc đai so, lý thuyet
egodic. . . Các bài toán cna To hop c®ng tính đòi hói phái sú dung
các công cu cna m®t ho¾c m®t so ngành nói trên, th¾m chí là cna
các ngành khác nua (xem [3]-[6]). Phương pháp xác suat rat quan
trong trong lý thuyet to hop c®ng tính, trong đó cau trúc c®ng cna
m®t đoi tưong ngau nhiên đưoc hieu thông qua vi¾c tính toán các
giá tr% trung bình ho¾c các moment cna đoi tưong đó. Lu¾n văn
này tìm hieu ve m®t công cu khác có tam quan trong không kém,
đó là giái tích Fourier. Đây là m®t cách khác đe tính các giá tr%
trung bình và các moment cna các đoi tưong có cau trúc c®ng. Nó
tương tn như phương pháp xác suat nhưng vói m®t thành phan mói
quan trong, đó là các đai lưong đưoc tính giá tr% trung bình se đưoc
"xoan" ho¾c "đưoc bien đi¾u" bói m®t so hàm pha giá tr% phúc, goi
là đ¾c trưng. Đieu này dan tói khái ni¾m h¾ so Fourier cna m®t t¾p
ho¾c cna m®t hàm- là cái đo đ® l¾ch cna đoi tưong đó vói m®t đ¾c
trưng. Các h¾ so Fourier cho phép ta đat đưoc 2 muc đích:
Thú nhat, ta khai thác tính trnc giao giua các đ¾c trưng khác


5

nhau đe nh¾n đưoc các c¾n (không tam thưòng) cna các h¾ so đó;
tính trnc giao này có vai trò tương tn như tính đ®c l¾p trong lý
thuyet xác suat.
Thú hai, các h¾ so Fourier rat tot đe đieu khien tích ch¾p cna
các hàm, tương tn như phép toán tong các t¾p hop.
Vì the, giái tích Fourier là m®t công cu huu hi¾u đe nghiên cúu
các đai lưong so hoc, đáng chú ý nhat là năng lưong c®ng tính.
Sú dung giái tích Fourier, ta có the phân chia các t¾p hop c®ng
tính A theo hai thái cnc:
Thái cnc thú nhat, bao gom các t¾p hop giá ngau nhiên, là các
t¾p có bien đoi Fourier rat nhó (trù ra tai điem 0). Vói các t¾p này
chúng ta se can tói khái ni¾m đ® l¾ch tuyen tính "A"u và các Λ(p)hang so đe đo tính giá ngau nhiên. Các t¾p hop như v¾y rat "l®n
x®n" đoi vói phép c®ng t¾p hop (cũng như vi¾c xác đ%nh các cap
c®ng có đ® dài 3) và các thu¾t ngu trên cũng cho thay, ít nhieu
chúng giong như các t¾p hop ngau nhiên.
Thái cnc thú hai, bao gom các t¾p hau tuan hoàn, gom các cap
c®ng, các t¾p hop Bohr và các t¾p hop khác có hang so kép nhó
ho¾c có năng lưong c®ng tính lón. Dáng đi¾u cna các t¾p hop này
đoi vói phép c®ng và các cap so có đ® dài 3 đưoc mô tá hau đay
đn bói m®t pho nhó Specα(A)- là t¾p hop các tan so, ó đó bien đoi
Fourier cna hàm đ¾c trưng 1A là lón.
Giái tích Fourier có the đưoc thnc hi¾n trên m®t nhóm c®ng tính
Z bat kỳ (th¾m chí cá vói các nhóm không giao hoán). Tuy nhiên,
lu¾n văn này chí xét trên các nhóm huu han, ó đó lý thuyet đơn
gián hơn m®t chút ve m¾t ky thu¾t. Các trưòng hop Z = ZN , Z
= R/Z, Z = R cũng rat quan trong trong to hop c®ng tính (đ¾c
bi¾t là đe dan đen phương pháp vòng Hardy-Littlewood trong lý
thuyet


so giái tích), nhưng ta cũng chí ra rang lý thuyet Fourier trên các
nhóm huu han có the đưoc thay cho lý thuyet Fourier trên các
nhóm vô han trong các úng dung cna chúng ta.
Bưóc đau tìm hieu ve Giái tích to hop, đưoc sn đ%nh hưóng cna thay
TS . Tran Văn Vuông, em chon đe tài
“Phương pháp giái tích Fourier trong to hap c®ng tính”
Đây là m®t trong ba công cu cơ bán đe nghiên cúu To hop c®ng
tính đã đưoc trình bày trong cuon sách Additive Combinatoric cna
Terence Tao và Vũ Hà Văn.


2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu m®t so van đe cna to hop c®ng tính bang phương
pháp giái tích Fourier.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
• Nghiên cúu m®t so khái ni¾m trong to hop c®ng tính.
• Nghiên cúu m®t so khái ni¾m trong giái tích Fourier.
• V¾n dung phép bien đoi Fourier đe giái quyet m®t so van đe
trong to hop c®ng tính.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Úng dung phép bien đoi Fourier trong nghiên cúu to hop c®ng
tính.
5. Phương pháp nghiên cNu
• Nghiên cúu tài li¾u tham kháo.
• Tong hop, phân tích, h¾ thong lai các khái ni¾m, tính chat.
• Hói ý kien chuyên gia.
6. NhÑng đóng góp cúa đe tài
M®t cách úng dung phép bien đoi Fourier trong to hop c®ng tính.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1

T¾p hap c®ng tính và cau trúc c®ng tính

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Nhóm c®ng là m®t nhóm giao hoán (hay Abel)
Z vói phép toán +.
Tù nay ve sau ta luôn giá thiet Z là m®t nhóm c®ng, còn vành so
nguyên, trưòng so thnc, trưòng so phúc lan lưot là Z, R, C.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. T¾p hop c®ng tính là m®t c¾p (A,Z), trong
đó A ƒ= ∅ là m®t t¾p con huu han cna Z. Ta thưòng ký hi¾u đơn
gián (A, Z) là A.
Neu A, B là các t¾p hop c®ng tính trong Z thì t¾p tong
A + B := {a + b : a ∈ A, b ∈ B},
t¾p
hi¾u

A − B := {a − b : a ∈ A, b ∈ B},

t¾p tong l¾p kA, k ∈ Z+ :
kA := {a1 + a2 + · · · + ak : a1, a2, . . . , ak ∈ A}.
Đe ý rang t¾p tong l¾p kA nói chung là khác vói t¾p v% tn k.A
cna A,
k.A = {ka : a ∈ A, k ∈ Z+}.
8


9

Ví dn 1.1.3. Các ví du đien hình ve nhóm c®ng là t¾p các so nguyên
Z, nhóm xyclic ZN , không gian Euclide Rn ho¾c m®t trưòng hình
hoc huu han F pn.
Tù ký hi¾u và khái ni¾m nêu trên, ta có the hình dung các t¾p
c®ng tính như là nhung đoi tưong chính can xem xét và chúng có
the đưoc nhúng trong m®t so nhóm khác nhau. Các t¾p hop c®ng
tính ít nhieu có "cau trúc c®ng".
Ví dn 1.1.4. M®t ví du đien hình ve t¾p hop c®ng tính có “cau trúc
c®ng ít” là các t¾p con đưoc chon m®t cách ngau nhiên cna m®t
nhóm c®ng huu han vói lnc lưong đã cho.
Ví dn 1.1.5. Đoi l¾p vói t¾p hop c®ng tính có cau trúc c®ng ít là
t¾p hop c®ng tính có “cau trúc c®ng cao” là “ cap c®ng ”
a + [0, N ) · r := {a, a + r, . . . , a + (N − 1)r},
trong đó a, r ∈ Z và N ∈ Z+; ho¾c các “ cap c®ng tong quát dchieu” a + [0, N ) · v := {a + n1v1 + . . . + ndvd : 0 ≤ nj ≤ Nj
, ∀1 ≤ j ≤ d}, trong đó a ∈ Z, v = (v1, . . . , vd) ∈ Z d , N =
(N1, . . . , Nd) ∈ (Z+)d; ho¾c các “h®p l¾p phương d- chieu”
a + {0, 1}d · v := {a + ε1v1 + . . . + εdvd : ε1, . . . , εd ∈ {0,
1}};
ho¾c t¾p "các tong- t¾p con" .
.
F S(A) :=

.
a: B⊆A

a∈B

cna m®t t¾p huu han A.
M®t trong nhung nhi¾m vu cơ bán cna To hop c®ng tính là tìm


ra nhung cách đo (đ%nh lưong) ve cau trúc c®ng cna m®t t¾p hop
và nghiên cúu xem đoi vói nhung đoi tưong nào thì nhung ket quá đ
%nh lưong đó tương đương vói nhau. Chang han m®t trong các
khang đ%nh sau đây đeu là m®t cách khang đ%nh “A có cau trúc
c®ng ”:
• A + A nhó;
• A − A nhó;
• A − A đưoc phn bói m®t so nhó các ánh t%nh tien cna A;
• kA nhó vói moi k co đ%nh;
• Có nhieu b® 4: (a1, a2, a3, a4) ∈ A × A × A × A sao cho
a1 + a2 = a3 + a4 ;
• Có nhieu b® 4: (a1, a2, a3, a4) ∈ A × A × A × A sao cho
a1 − a2 = a3 − a4 ;
• Tích ch¾p 1A ∗ 1A t¾p trung cao;
• T¾p các tong- t¾p con F S(A) := {

.

a : B ⊆ A} có tính

b®i
cao;

a∈B

• Bien đoi Fourier ˆ1A t¾p trung
cao;
• Bien đoi Fourier ˆ1A t¾p trung cao trong m®t h®p l¾p phương;
• A có m®t giao lón vói m®t cap c®ng suy r®ng có cõ so sánh
đưoc vói A;
• A chúa trong m®t cap c®ng suy r®ng có cõ so sánh đưoc vói A;
• A (ho¾c A − A ho¾c 2A − 2A) chúa m®t cap c®ng suy r®ng
lón.


Sau đây ta nghiên cúu m®t kieu đ¾c bi¾t cna nhóm c®ng trong
không gian Euclide:
Đ%nh nghĩa 1.1.6. [Dàn] M®t dàn Γ trong Rd là m®t nhóm con
c®ng tính trong Rd, trong đó Γ là ròi rac (nghĩa là moi điem thu®c
Γ đeu là điem cô l¾p).
Neu không gian tuyen tính sinh bói dàn Γ có so chieu bang k thì ta
nói Γ có hang k, do v¾y 0 ≤ k ≤ d.
Neu k = d ta nói Γ có hang đay đú.
Neu Γr là m®t dàn khác trong Rd đưoc chúa trong Γ thì ta nói Γr là
dàn con cna Γ.
Ví dn 1.1.7. Zd là dàn có hang đay đn trong Rd. Tong quát hơn, ví
du đien hình ve m®t dàn hang k là: Zd·v, trong đó v = (v1, v2, . . . ,
vk) là m®t ho k vectơ đ®c l¾p tuyen tính trong Rd vói 0 ≤ k ≤ d.
Khang đ%nh này là m®t phan cna đ%nh lý sau:
Đ%nh lý 1.1.8. [Đ%nh lý cơ bán ve dàn] Neu Γ là m®t dàn có
hang k trong Rd thì ton tai các vectơ đ®c l¾p tuyen tính v1, . . . ,
vk trong Rd sao cho Γ = Zk · v. Nói riêng, moi dàn hang k đeu
huu han sinh và đang cau (qua m®t phép bien đoi tuyen tính khá
ngh%ch hang k tù không gian tuyen tính sinh bói Γ tói Rd) vói
dàn Zd. Hơn nua, neu ω là m®t vectơ bat khá quy trong Γ ta chon
phép bieu dien trên là Γ = Zd · v đe v = ω.
Đ%nh lý 1.1.9. [John] Cho B loi, đoi xúng trong Rd và Γ là dàn
hang r trong Rd. Khi đó ton tai w = (w1, . . . , wr) ∈ Γr gom r
vectơ đ®c l¾p tuyen tính trong Γ và N = (N1, . . . , Nr) gom r
so nguyên dương thóa mãn:
(r−2r · B) ∩ Γ ⊆ (−N, N ) · w ⊆ B ∩ Γ ⊆ (−r2rN, r2rN ) ·
w.


Đ%nh lý 1.1.10. [Đ%nh lý cơ bán ve nhóm c®ng huu han] Moi
nhóm c®ng huu han G đeu đang cau vói tong trnc tiep cúa m®t
so huu han nhóm xyclic ZN = Z/N Z.
Chúng minh.
Goi g1, . . . , gd là t¾p huu han các phan tú sinh cna
G. Khi đó ánh xa
φ :Zd −→ G là m®t toàn ánh
n −→ φ(n) := n · (g1 , . . . , gd )
và do đó G đang cau vói Zd/φ−1(0) là m®t nhóm con cna
Rd/φ−1(0). Hat nhân φ−1(0) là dàn hang k vói 0 ≤ k ≤ d, do đó
theo Đ%nh lý cơ bán ve dàn, nó đưoc sinh bói k vectơ đ®c l¾p
tuyen tính v1, . . . , vk trong Zd.
Ta phái có k = d vì neu không thì Zd/φ−1(0) là vô han và do đó G
vô han. Ta có the viet φ−1(0) là m®t dàn đưoc sinh bói N1e1, . . .
, Nded vói m®t b® so nguyên N1, . . . , Nd ≥ 1. Do v¾y
G c Z/N1Z ⊕ . . . ⊕ Z/NdZ.
Ta có đieu phái chúng minh.


1.2
1.2.1

M®t so ký hi¾u
Ve t¾p hap và hàm

Vói m®t t¾p A bat kỳ, ta sú dung các kí hi¾u:
Ad := A × A × . . . × A = {(a1, . . . , ad) : a1, . . . , ad ∈ A}
là tích đe các d lan cna A, chang han Zd là dàn so nguyên d- chieu.
Đôi khi ta ký hi¾u Ad bói A⊕d đe phân bi¾t vói t¾p các lũy thùa
b¾c d cna A là
A·d = A.A . . . A = A∧d := {ad : a ∈ A}.
Vói hai t¾p A, B thì ta kí hi¾u
A \ B := {a ∈ A : a ∈/ B}
là hi¾u cna A và B.
B A := {ánh xa f : A −→ B};
2A := {B : B ⊂ A}- ho tat cá các t¾p con cnaA;
|A| lnc lưong cna t¾pA.
Đ%nh nghĩa 1.2.1. [Hàm đ¾c trưng]
Neu A ⊂ Z thì 1A : Z −→ {0, 1} là hàm đ¾c trưng (hay hàm
chí đ%nh) cna t¾p A xác đ%nh bói
1A(x) =
.1

neu x ∈ A

0 neu x ∈/

(1.1)

A.

Tương tn như v¾y, neu P là m®t tính chat nào đó thì đ¾t
.1 neu P xáy ra
I(P ) =
0 neu trái lai
chang han 1A(x) = I(x ∈ A).

(1.2)


1.2.2

Ve h¾ thong so

Ta thưòng xuyên làm vi¾c vói t¾p các so nguyên Z và các t¾p
con cna nó như:
Z+ := {1, 2, . . .}, N :=
≥ = {0, 1, 2, . . .};
0

Z

t¾p so thnc R và các t¾p con cna R như:
R+ := {x ∈ R : x > 0},≥ := {x ∈ R : x ≥ 0};
R

0

t¾p các so phúc C và nhóm đưòng tròn
R/Z := {x + Z : x ∈ R}.
Vói so tn nhiên N ∈ N, ta kí hi¾u ZN := Z/N Z là nhóm xyclic
cap N và sú dung kí hi¾u n −→ n mod N cho phép chieu chính
tac tù Z lên ZN .
Neu q là m®t lũy thùa nguyên to thì Fq là trưòng huu han cap q.
Nói riêng neu p là so nguyên to thì Fp có the đưoc đong nhat vói
Zp .
Vói x ∈ R thì [x] là phan nguyên cna x.
1.2.3

Ký hi¾u ti¾m c¾n Landau

Cho n là bien dương (thưòng lay giá tr% trên N, Z+, R≥ ho¾c R+
và thưòng đưoc giá thiet là lón) và goi f (n), g(n) là các0 hàm giá
tr% cna n. Khi đó
• g(n) = O(f (n)) nghĩa là f không âm và ∃C > 0 sao cho
|g(n)| ≤ Cf (n), ∀n.


• g(n) = Ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và ∃c > 0 sao cho
g(n) ≥ cf (n), ∀n đn lón.
• g(n) = θ(f (n)) nghĩa là ∃c, C > 0 sao cho
cf (n) ≤ g(n) ≤ Cf (n), ∀n.
• g(n) = o(f (n)) nghĩa là f không âm và g(n) =
O(a(n)f (n)) vói m®t hàm a(n) −→ 0 khi n → ∞; neu f
(n) > 0 thì đieu đó có nghĩa là
lim g(n
= 0.
)
n→∞ f (n)
• g(n) = ω(f (n)) nghĩa là f, g không âm và f (n) =
o(g(n)). Neu các hang so c, C ho¾c hàm suy giám a(n) phu
thu®c vào tham so khác thì ta se chí ra sn phu thu®c đó bói chí so
dưói. Chang han g(n) = Ok(f (n)) nghĩa là ton tai hang so
dương Ck phu thu®c vào
k sao cho g(n) ≤ Ckf (n), ∀n, . . ..
1.2.4

Ve cap c®ng

Trong muc thú nhat ta đã nhac đen khái ni¾m cap c®ng và cap
c®ng suy r®ng. é đây ta se đe c¾p m®t cách chi tiet hơn. Vói các
so nguyên a ≤ b ta goi đoan [a, b] là khoáng đóng ròi rac
[a, b] := {n ∈ Z : a ≤ n ≤ b}.
Tương tn

[a, b) := {n ∈ Z : a ≤ n < b}, . . .

Tong quát hơn, neu a = (a1, . . . , ad) và b = (b1, . . . , bd) ∈ Zd sao
cho
aj ≤ bj , ∀j = 1, 2, . . . , d thì ta đ%nh nghĩa h®p ròi rac
[a, b] := {(n1, . . . , nd) ∈ Zd : aj ≤ nj ≤ bj , ∀1 ≤ j ≤ d},


[a, b) := {(n1, . . . , nd) ∈ Zd : aj ≤ nj < bj , ∀1 ≤ j ≤ d}, . . .
Đ%nh nghĩa 1.2.2. [Cap c®ng] Neu Z là m®t nhóm c®ng, thì ta
đ%nh nghĩa cap c®ng suy r®ng (goi tat là cap c®ng) là t¾p hop bat
kỳ có dang P = a + [0, N ] · v, trong đó
a ∈ Z, N = (N1, . . . , Nd) ∈ Nd, [0, N ] ⊂ Zd
là m®t h®p ròi rac, v = (v1, . . . , vd) ∈ Zd, ánh xa
· : Zd × Z d −→ Z là tích cham
(n1, . . . , nd) · (v1, . . . , vd) := n1v1 + . . . + ndvd,
và [0, N ] · v := {n · v := n ∈ [0, N ]}.
Nói cách khác,
P := {a + n1v1 + . . . + ndvd : 0 ≤ nj ≤ Nj , ∀1 ≤ j ≤ d}.
Ta goi a là điem nen cna P , v = (v1, . . . , vd) là các vectơ cơ só
cna
P , N là chieu cna P , d là so chieu hay hang cna P và
d

vol(P ) := |[0, N ]| =

Y

(Nj + 1)

j=1

là the tích cna [0, N ].
Đ%nh nghĩa 1.2.3. [Cap c®ng proper] Ta nói cap c®ng P là
proper neu ánh xa n −→ n · v là đơn ánh trên [0, N ] hay neu lnc
lưong cna P bang the tích cna P . Trưòng hop P không là proper
xáy ra khi các vectơ cơ só cna nó phu thu®c tuyen tính trên Z.
Ta nói P là đoi xúng neu −P = P , chang han
[−N, N ] · v = −N · v + [0, 2N ] · v
là m®t cap c®ng đoi xúng.


Đ%nh nghĩa 1.2.4. [Năng lưong c®ng tính] Neu A, B là các t¾p
c®ng tính trong cùng m®t nhóm Z, ta đ%nh nghĩa năng lưong c®ng
tính E(A, B) là lưong
E(A, B) := |{(a, ar, b, br) ∈ A × A × B × B : a + b = ar + br}|.
Đ%nh lý 1.2.5. [Bat đang thúc Cauchy- Schwarz] Cho A, B là
các t¾p c®ng tính. Ta có
E(A, B) ≤ E(A, A)1/2E(B, B)1/2.


1.3

Bien đoi Fourier

Cho Z là nhóm c®ng huu han (ví du như nhóm xyclic ZN ).
Trong muc này ta nhac lai lý thuyet cơ bán cna bien đoi Fourier
trên các nhóm huu han đó. Giái tích Fourier dna trên tính đoi
ngau giua m®t nhóm Z và đoi ngau Pontryagin Zˆ cna nó, Zˆ là
không gian tat cá các đong cau tù Z vào nhóm R/Z. Trong trưòng
hop Z là nhóm
huu han, thì ta se chí ra rang Z và


luôn đang cau, do đó ta se

đong nhat hai nhóm này vói nhau. Đieu này đưoc thnc hi¾n nhò
dang song tuyen tính không suy bien.
Đ%nh nghĩa 1.3.1. [Dang song tuyen tính] M®t dang song tuyen
tính trong nhóm c®ng Z là m®t ánh xa (ξ, x) −→ ξ · x tù Z × Z
vào R/Z sao cho nó là m®t đong cau theo tùng bien ξ, x.
Dang song tuyen tính đó goi là không suy bien neu ∀ξ ƒ= 0 ánh
xa x −→ ξ · x không đong nhat bang 0 và vói ∀x ƒ= 0 ánh xa ξ
−→ ξ · x không đong nhat bang 0; là đoi xúng neu ξ · x = x · ξ.
Ví dn 1.3.2. Neu Z là m®t nhóm xyclic ZN thì dang song tuyen
tính xξ =
là đoi xúng và không suy bien. Neu Z là m®t không
N


gian vectơ F n trên trưòng huu han F thì dang song tuyen tính
(x1, x2, . . . , xn) · (ξ1, ξ2, . . . , ξn) = φ(x1ξ1 + . . . + xnξn)
là đoi xúng và không suy bien khi φ : F −→ R/Z là đong
cau không tam thưòng tù F vào R/Z (ví du neu F = Zp ta có
the lay φ(x) =

x

).

p

Vói sn lna chon cu the này ta còn có aξ · x = ξ · ax, ∀a ∈ F ; x, ξ
∈ Z.
Bo đe 1.3.3. [Sn ton tai dang song tuyen tính] Moi nhóm c®ng
huu han Z có ít nhat m®t dang song tuyen tính đoi xúng không
suy bien.


Chúng minh. Tù Đ%nh lý cơ bán cna nhóm c®ng huu han 1.1.10 ta
có moi nhóm c®ng huu han là tong trnc tiep cna các nhóm xyclic.
Trong ví du 1.3.2 ta lai có moi nhóm xyclic đeu có m®t dang song
tuyen tính đoi xúng không suy bien. Hơn nua, neu Z1 và Z2 có dang
song tuyen tính đoi xúng không suy bien thì tong trnc tiep Z1 ⊕ Z2
cũng có dang song tuyen tính đoi xúng không suy bien, đưoc đ%nh
nghĩa bói
(ξ1, ξ2) · (x1, x2) = ξ1 · x1 + ξ2 · x2.
V¾y ta có đieu phái chúng minh.
Nh¾n xét 1.3.4. Moi nhóm c®ng tính Z thưòng có nhieu dang song
tuyen tính nhưng theo giái tích Fourier thì chúng đeu tương đương
nhau. Tính đoi xúng có m®t vài ưu the nhưng không phái là nhat
thiet đoi vói lý thuyet Fourier. Vì bien không gian và bien tan so
nói chung có vai trò rat khác nhau.
Tù nay tró đi, ta co đ%nh m®t nhóm c®ng huu han Z, cùng vói
m®t dang song tuyen tính không suy bien ξ · x.
Đe trình bày ve giái tích Fourier, se thu¾n loi hơn khi ta dùng ký
hi¾u cna lý thuyet "ergodic".
Goi CZ là không gian các hàm giá tr% phúc f : Z −→ C. Neu
f ∈ CZ , ta đ%nh nghĩa giá tr% trung bình hay kỳ vong cna f bói
EZ (f ) = Ex∈Z f
(x) :=

1 .
|Z|

x∈Z

f (x)

(1.3)

Tương tn, neu A ⊆ Z, ta xác đ%nh m¾t đ® hay xác suat cna A, là
giá tr%
|A|
P (A) = P (x A) = E (1 ) =
(1.4)

Z
x∈Z
Z
|Z|
A


Ta cũng có the sú dung các ký hi¾u này đoi vói m®t t¾p huu han,
khác rong bat kỳ, chang han
1
Ex∈A,y∈B f (x, y) :=
|A||B|

.

f (x, y).

x∈A,y∈B

Ký hi¾u này không chí goi ý đen moi liên h¾ giua giái tích Fourier,
lý thuyet ergodic và xác suat mà nó còn rat gon vì ngoài vi¾c lay
tong nó còn bao gom các thn tuc chuan hóa (chia cho |Z|). Nói
chung, ta se sú dung ký hi¾u ergodic cho các bien không gian và sú
.
dung ký hi¾u ròi rac ξ∈Z f (ξ) và |A| (không có chuan hóa
theo
|Z|) cho bien tan so. Ta cũng se thưòng xuyên sú dung hàm so mũ
e : R/Z −→ C đưoc đ%nh nghĩa bói
e(θ) = e2πiθ.
Hai tính chat trnc giao sau tao thành nen móng cho giái tích Fourier.
Bo đe 1.3.5. [Tính trnc giao]
Vói bat kỳ ξ, ξr ∈ Z, ta có
Ex∈Z e(ξ · x)e(ξr · x) = I(ξ = ξr )
và vói moi x, xr ∈ Z, ta có
.
e(ξ · x)e(ξ · xr) = |Z|I(x = xr).
ξ∈Z

Chúng minh. Ta chí chúng minh đong nhat thúc thú nhat, đong
nhat thúc thú hai làm tương tn.
Vì e(ξ · x)e(ξr · x) = e((ξ − ξr ) · x) nên ta chí can chúng minh
trong
trưòng hop ξr = 0, nghĩa là chúng minh Ex∈Z e(ξ · x) = I(ξ =
0). Đieu này đúng trong trưòng hop ξ = 0. Neu ξ ƒ= 0 thì do tính
không suy bien, ∃h ∈ Z sao cho e(ξ · h) ƒ= 1. Thay x bói x + h
ta có:
Ex∈Z e(ξ · x) = Ex∈Z e(ξ · (x + h)) = e(ξ · h)Ex∈Z e(ξ · x)


nên Ex∈Z e(ξ · x) = 0 = I(ξ = 0) như mong muon. Vói moi ξ
∈ Z ta
có the đ%nh nghĩa m®t đ¾c trưng liên ket eξ ∈ CZ bói eξ (x) =
e(ξ ·x).
Bo đe trên chúng tó rang eξ là m®t h¾ trnc chuan trong CZ ,
vói cau trúc không gian Hilbert phúc
(f, g)CZ = EZ (fg) = Ex∈Z f (x)g(x).
Vì so các đ¾c trưng |Z| bang vói so chieu cna không gian, nên ta
thay h¾ đó là m®t h¾ trnc chuan đay đn. Tù đây ta có:
Đ%nh nghĩa 1.3.6. [Bien đoi Fourier] Neu f ∈ CZ , thì ta đ%nh
nghĩa bien đoi
fˆ ∈ CZ bói công thúc
Fourier
fˆ(ξ) := (f, eξ )CZ = Ex∈Z f (x)e(ξ · x).
Ta goi fˆ(ξ) là h¾ so Fourier cna f tai tan so ξ.
Vì eξ là cơ só trnc chuan đay đn nên ta có đong nhat thúc Parseval
..
.1
2 21
2 2
ˆ
(EZ |f | ) =
|f (ξ)| ,
(1.5)
ξ∈Z

đ%nh lý
Plancherel
(f, g)CZ =

.

ξ∈Z

gfˆ(ξ)ˆ ξ),
(

(1.6)

và công thúc Fourier ngưoc
f =

.

fˆ(ξ)eξ .

(1.7)

ξ∈Z

Nói riêng, hai hàm là bang nhau neu và chí neu các h¾ so
Fourier cna chúng bang nhau tai moi tan so.
Nói cách khác: bien đoi Fourier là m®t song ánh tù CZ vào CZ .


Tù Bo đe 1.3.5 ta thay các h¾ so Fourier cna đ¾c trưng eξ chính là
hàm delta Kronecker: e (ξr) = I(ξ = ξr).
ξ
ˆ
Trưòng hop đ¾c bi¾t ˆ1(ξ) = I(ξ = 0). M®t vai trò đ¾c bi¾t
trong lý thuyet c®ng tính cna bien đoi Fourier đưoc thnc hi¾n bói
tan so không ξ = 0.
Đó là vì, h¾ so Fourier không chính là khái ni¾m kỳ vong
fˆ(0) = (f, 1)CZ = EZ (f ).
Neu S là t¾p con cna Z thì phan bù trnc giao S ⊥ ⊆ Z cna S là t¾p
S⊥ := {ξ ∈ Z : ξ · x = 0, ∀x ∈ S}.
De thay S ⊥ là m®t nhóm con cna Z. Hơn nua, ta có đong nhat thúc
1ˆtt = PZ (G)1tt⊥ ,
vói moi nhóm con G cna Z.
Bây giò ta đưa ra khái ni¾m cơ bán là tích ch¾p, là khái ni¾m liên
ket bien đoi Fourier vói lý thuyet ve các t¾p tong.
Đ%nh nghĩa 1.3.7. [Tích ch¾p] Neu f, g ∈ L2(Z) là các bien
ngau nhiên, ta đ%nh nghĩa tích ch¾p cna chúng là bien ngau
nhiên f ∗ g
f ∗ g(x) = Ey∈Z f (x − y)g(y) = Ey∈Z f (y)g(x − y).
Ta cũng đ%nh nghĩa giá supp(f ) cna f là t¾p hop
supp(f ) = {f ƒ= 0} = {x ∈ Z : f (x) ƒ= 0}.
Ý nghĩa cna tích ch¾p đoi vói các t¾p tong nam trong phép nhúng
hien nhiên sau
supp(f ∗ g) ⊆ supp(f ) + supp(g)


và đ¾c bi¾t là trong đang thúc
A + B = supp(1A ∗ 1B ).
Th¾t v¾y, ta có khang đ%nh cu the hơn nua
1A ∗ 1B (x) = PZ (A ∩ (x − B)).
Sn liên quan cna bien đoi Fourier vói tích ch¾p nam trong công
thúc sau
fˆ∗ g =gfˆ · ˆ
.
Áp dung (1.8) tai tan so không ta có công thúc cơ bán
EZ (f ∗ g) = (EZ f ) · (EZ g).

(1.8)

(1.9)

Nói riêng, neu f ho¾c g có kỳ vong bang không thì f ∗ g cũng
có kỳ vong bang không. Như m®t h¾ quá cna (1.8), ta thay rang
tích ch¾p là song tuyen tính, đoi xúng và ket hop. Ta cũng có
công thúc
.
fˆ∗ g(ξ) =
fˆ(η)ˆ
ξ − η).
g
(
η∈Z
Công thúc này chuyen tích tùng điem thành tích ch¾p.
Đ%nh lý 1.3.8. [Markov] Cho X là bien không âm. Khi đó vói moi
so thnc dương λ,
P(X ≥ λ) ≤

E(X
)

.
λ
H¾ quá 1.3.9. Cho H là nhóm nhân con cúa Fp thóa mãn
|H| ≥ pδ , ∀ 0 < δ ≤ 1.
Khi đó ton tai ε = ε(δ) > 0 chí phn thu®c vào δ, sao cho
E(A, H) ≤ p−ε|A||H|2, ∀A ⊆ Fp, 1 ≤ |A| ≤ p1−δ
neu p đú lón và phn thu®c δ.


Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ trong to hap c®ng
tính

1.4

Chúng ta quay tró lai lý thuyet giái tích ve bien đoi Fourier và
tích ch¾p, bat đau vói lý thuyet Lp và sau đó úng dung nó vào bài
toán xác đ%nh cap so hoc cna các t¾p hop tong.
Đ%nh nghĩa 1.4.1. Cho p ∈ R vói 1 ≤ p < ∞; ta đ%nh nghĩa
Lp (Ω) = {f : Ω −→ R ho¾c C; f đo đưoc và |f |p khá tích},
L∞ (Ω) = {f : Ω −→ R ho¾c C; f đo đưoc và ∃C : |f (x)| ≤ C hau khap
nơi}. Và ký hi¾u

"f"p = . ¸


. p1
|f (x)|p dx ,

"f"∞ = inf{|f (x)| ≤ C hau khap
nơi}.
Nh¾n xét 1.4.2. Neu f ∈ L∞(Ω) thì |f (x)| ≤ ||f ||∞ tai hau het
x ∈ Ω.
Đ%nh lý 1.4.3. Lp là m®t không gian vectơ và " · "p là m®t
chuan vói 1 ≤ p ≤ ∞.
Đ%nh nghĩa 1.4.4. Neu f ∈ CZ và 0 < p < ∞, ta đ%nh nghĩa
Lp(Z)- chuan cna f là giá tr%
1

1

"f"Lp (Z) := (EZ |f | p )p =

∈Z

|f (x)|p)p .

(Ex
Chang han "f"L2 (Z) là đ® dài trong không gian Hilbert cna f .
Ta cũng đ%nh nghĩa
"f"L∞(Z) = sup |f (x)|.
x∈Z


Tương tn, ta đ%nh nghĩa

 p1
.
"f"lp (Z) =  |f (ξ)| , 0 < p < ∞
p
ξ∈Z


"f"l∞ (Z) := sup |f (ξ)|.
ξ∈Z

Ta có hai Lp- đánh giá đoi vói bien đoi Fourier và tích ch¾p như
sau:
Đ%nh lý 1.4.5. Cho f, g : Z −→ C là các hàm trong nhóm
c®ng Z.
Khi đó vói moi 1 ≤ p ≤ 2 ta có bat đang thúc Hausdorff- Young
"fˆ"lpr (Z) ≤ "f"Lp (Z) ,
ó đó so mũ đoi ngau pr cúa p đưoc đ%nh nghĩa bói 1 + = 1.
1

Hơn nua, vói bat cú 1 ≤ p, q, r ≤ ∞ thoá mãn

1

1

p

bat đang thúc
Young

p

pr

+ = 1 + 1 ta

q

r

"f ∗ g"Lr (Z) ≤ "f"Lp (Z) "g"Lq (Z).
Tù khái ni¾m năng lưong c®ng tính E(A, B) giua hai t¾p
hop c®ng tính A, B trong Z ta thay:
3

E(A, B) = |Z| "1A∗1B 2"L2(Z).
Theo đong nhat thúc Parseval (1.5) và moi liên h¾ giua bien đoi
Fourier và tích ch¾p, ta có đong nhat thúc cơ bán
.
3
3
E(A, B) = |Z| E(1A, 1B ) = |Z|
|ˆ1A(ξ)|2 |ˆ1B (ξ)|2 .
ξ∈Z

Công thúc này có the làm sáng tó m®t vài thu®c tính cna năng
lưong c®ng tính, thí du như tính đoi xúng


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×