Tải bản đầy đủ

Phương pháp cực tiểu hoá

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Khuất Văn Ninh,
người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình
thực hiện luận văn.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại
học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và tạo
mọi điều kiện để tôi có thể hoàn thành bản luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2011

Lê Thị Hậu


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của TS. Khuất Văn Ninh.


Hà Nội, tháng 6 năm 2011

Lê Thị Hậu


MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU……………………………………………………………..

1

NỘI DUNG…………………………………………………………..

2

Chương 1: Kiến thức bổ trợ………………………………………..

2

1.1. Không gian

R ………………………………………………….

2

1.2. Đạo hàm và vi phân Frechet……………………........................

6

1.2.1. Khái niệm đạo hàm và vi phân Frechet…………………..

6

1.2.2. Các tính chất của đạo hàm và vi phân Frechet ………….

6

1.2.3. Một số ví dụ……………………………………………….



7

1.3. Đạo hàm và vi phân Gateaux…………………………………..

9

1.3.1. Khái niệm đạo hàm và vi phân Gateaux…………………..

9

n

1.3.2. Các định lý về mối liên hệ giữa
vi phân mạnh và vi phân yếu …………………………….

10

1.4. Các định nghĩa và định lý về cực tiểu, điểm tới hạn và ánh
xạ gradient……………………………………………………..

11

1.5. Các định lý về tính duy nhất …………………………………...

15

1.6. Các định lý về sự tồn tại………………………………………..

18

Chương 2: Phương pháp cực tiểu hoá…………………………….

23

2.1. Phương pháp paraboloid……………………………………….

23

2.2. Phương pháp gốc ………………………………………………

26

2.3. Thuật toán bước dài…………………………………………….

32

2.3.1. Nguyên lý cực tiểu hoá……………………………………

32

2.3.2. Nguyên lý Curry và Altman ……………….......................

33

2.3.3. Cực tiểu hoá gần đúng và tìm kiếm gốc ………………….

35

2.3.4. Nguyên lý Majorization………………………...................

37


2.3.5. Nguyên lý bước dài Goldstein…………………………….

40

2.4. Các phương pháp hướng liên hợp ……………………………..

43

2.5. Phương pháp Gauss – Newton và các phương pháp liên quan ..

48

2.6. Phụ lục 1………………………………………………..............

52

2.7. Phụ lục 2…………………………….......................................... 56
Chương 3: ứng dụng của phương pháp cực tiểu hoá ……………. 61
KẾT LUẬN

65

TÀI LIỆU THAM KHẢO

66
BẢNG KÍ HIỆU

không gian các số thực một chiều.
1

R

không gian các số thực n chiều.

Rn

không gian tuyến tính các toán tử tuyến tính từ Rn vào
n

m

L(R , R ), L(R
)

n

R , hoặc từ
n
R
m

vào Rn .

1

e ,...,
n
e

các vectơ đơn vị của Rn .

x (x1 ,..., xn )T

vectơ cột với các thành phần xi .

x 
k

.

dãy các vectơ .
chuẩn bất kì trên Rn .

x, y

tích vô hướng trong Rn .

S (x,
r)

quả cầu mở y Rn y

S (x,
r)
int(D)



r .

x

quả cầu đóng y
R

n

y
x

phần trong của tập hợp D .



r .


x,
y

tập z

A1

ma trận nghịch đảo của ma trận A.

R



z tx (1 t) y, t  0,1 .

n

ma trận chuyển vị của ma trận A.

AT

ma trận nghịch đảo suy rộng của ma trận A.

A

ma trận Hessian của g .

H g (x)
F : D  R
m
R
F '(x), F
''(x)
F 1

n

ánh xạ F có tập xác định D trong Rn và tập giá trị Rm .
đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai của F tại x .
hàm ngược của hàm F .

, 

phần tử bao gồm, tập hợp bao gồm.

, , 

hợp, giao, với mọi.

, 

tổng, tích.




kết thúc chứng minh.

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ thuật, cuộc
sống … có thể dẫn đến việc tìm cực trị của hàm n biến.
n

g : D  R  R

1

Có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến việc tìm cực trị của hàm n
biến, và có nhiều phương pháp để tìm cực trị của hàm n biến. Xong để
nghiên cứu sâu về phương pháp tìm cực trị của hàm n biến tôi chọn phương
pháp “cực tiểu hoá”. Đó cũng chính là lý do tôi chọn đề tài:
“Phương pháp cực tiểu hoá”
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu Phương pháp cực tiểu hoá và ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Ứng dụng của các phương pháp tìm cực tiểu của hàm n biến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
“Các phương pháp tìm cực tiểu của hàm n biến”.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng kết tài liệu.


2

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC BỔ TRỢ
1.1. Không gian R n .
1.1.1.

R là không gian vectơ.
n

Thật vậy, ta kiểm tra 8 tiên đề về không gian véctơ.
1.

x, y R

n

, x (x1, x2 ,..., xn ), y ( y1, y2 ,..., yn ) ta có:

x y (x1 , x2 ,..., xn ) ( y1 , y2 ,..., yn ) (x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn )
( y1 x1 , y2 x2 ,..., yn xn )  y x
2.

x, y, z
n
R

, x (x1, x2 ,..., xn ), y ( y1, y2 ,..., yn ), z (z1, z2 ,..., zn ) ta có:

(x y) z (x1 , x2 ,..., xn ) ( y1 , y2 ,..., yn )  (z1 , z2 ,..., zn )
(x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn ) (z1 , z2 ,..., zn )
(x1 y1 z1 , x2 y2 z2 ,..., xn yn zn )

x1 ( y1 z1 ), x2 ( y2 z2 ),..., xn ( yn zn )x ( y z)
n
3. x
R , x (x , x ,..., x ),  (0,0,...,0)
n

R

1

2

ta có:

n

x  (x1 , x2 ,..., xn ) (0,0,...,0) (x1 0, x2 0,..., xn 0)
(x1 , x2 ,...xn )  x

4. x
R

n

n

, x (x1, x2 ,..., xn ), (x) R , (x) (x1,x2 ,...,xn ) ta có:

x (x) (x1 , x2 ,..., xn ) (x1 ,x2 ,...,xn ) (x1 (x1 ), x2 (x2 ),..., xn (xn ))
(0,0,...,0) 

5. x, y Rn , x (x , x ,..., x ), y ( y , y ,..., y
),

1

2

n

1

2

k R ta có:
1

n

k (x y) k (x1 y1 , x2 y2 ,..., xn yn ) (kx1 ky1 , kx2 ky2 ,..., kxn kyn )
(kx1 , kx2 ,..., kxn ) (ky1 , ky2 ,..., kyn ) k (x1 , x2 ,..., xn ) k ( y1 , y2 ,..., yn )
kx ky

6. x Rn , x (x , x ,..., x
),

1

2

1
k,l R ta có:

n

(k l)x (k l)x1 , (k l)x 2 ,..., (k l)x n (kx1 lx1 , kx2 lx2 ,..., kxn lxn )
(kx1 , kx2 ,..., kxn ) (lx1 , lx2 ,..., lxn ) k (x1 , x2 ,..., xn ) l(x1 , x2 ,..., xn )
kx lx

7. x Rn , x (x , x ,..., x
),

1

2

n

k,l R ta có:
1


k (lx) klx1 , lx2 ,..., lxn (klx1 , klx2 ,..., klxn )
(kl)(x1 , x2 ,..., xn ) (kl)x

8. x
R

, x (x1, x2 ,..., xn ta có:
)

n

1.x 1x1 , x2 ,..., xn (x1 , x2 ,..., xn ) x .
n

1.1.2. Rn là không gian mêtric với mêtric d (x, y) 

)2 .
jj
y

 (x
j 1

Thật vậy, với hai vectơ bất kỳ x, y

R

ta đặt:
n

d (x, y) 

 (x
j 1

, x (x1, x2 ,..., xn ); y ( y1, y2 ,..., yn )

n

)2 .
jj
y

(1.1.1)

Dễ dàng kiểm tra hệ thức (1.1.1) thoả mãn các tiên đề 1) và 2) về
mêtric. Để kiểm tra hệ thức (1.1.1) thoả mãn tiên đề 3) về mêtric, trước hết ta
chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopski: với 2n số thực
a j , bj ( j
1,2,...n)

ta có:
n

a j b j


n

a

2

.

j j 1

n

b

2

(1.1.2)

j j 1

j 1

Thật vậy,
0
b

⎡
⎢  (a
n

n

i 1

⎣j 1

a b ) ⎤⎥
2

i

j



a b
b
n

n

j
i 1 1



n

j i

2

i

2

2 a b a

j



n

n

i1



n

j
j 1

i i

j

a b
n

n

i1 j 1

2

j

2

i

⎞2

⎛
2
2
2⎜a ⎟.⎜  b ⎟2⎜a b ⎟
j ⎟⎜ j
j ⎟



j
1

⎝
⎝j
⎠⎝ j 1
1

n

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.2).
Với 3 vectơ bất kì

x, y, z
n
R

, x (x1, x2 ,..., xn ), y ( y1, y2 ,..., yn ),


z (z1 , z2 ,..., zn ) ta có:


2

d (x, y) 

n

 (x
j
1

n

j



n

j

j

(
x

(x z ) 2
j 1

y )



j

j



2


n

j

j
2

z ) (z
j








y )2   (
j 1
j
xj
n



j

j 1
2

j

j

y )


 z )
(z

j

(
z

y )

2

j 1

2

d (x, z) 2d (x, z).d (z, y) d ( y, z)
d (x, z) d (z, y

2

d (x, y) d (x, z) d (z, y)

Do đó hệ thức (1.1.1) thoả mãn tiên đề 3) về mêtric.

R .
n

Vì vậy hệ thức (1.1.1) xác định một mêtric trên không gian
Không gian mêtric

R thường gọi là không gian Euclid. Mêtric (1.1.1)
n

gọi là mêtric Euclid.
1.1.3. Rn là không gian mêtric đầy.
Thật vậy, giả sử x (k ) x (k ) , x (k ) ,..., x (k
)

,

1

2

là dãy cơ bản tuỳ ý

(k
1,2,...)

n

trong không gian Euclid Rn . Theo định nghĩa dãy cơ bản
( 0) (n0 N * ) (k, l n0 ) d (x

(k )

, x ) 
(l )

Hay
n

 (x
j 1

 x

(k)

x

(l )

j

j

(kj )

x j(l ) ) 2 

, k, l n , j 1,2,...,
n
0

j 1,2,...,

Các bất đẳng thức (1.1.3) chứng tỏ, với mỗi n
các số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:
lim x

(k )

k 

j

x ,
j

dãy xj (k ) là
dãy

( j 1,2,..., n)

Đặt x (x1 , x2 ,..., xn ) , ta nhận được dãy

x

(1.1.3)

(k
)

R

đã cho hội tụ theo toạ

n

độ tới x . Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid Rn tương đương với sự hội


tụ theo toạ độ, nên dãy cơ bản
gian
Vậy không gian Euclid

x đã cho hội tụ tới
(k )

R là không gian đầy.
n

x trong không

R .
n


Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian metric M ( X , d ) .
Tập

K
 X

gọi là tập

compact trong không gian M , nếu mọi dãy cơ bản các phần tử thuộc K đều
chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K .
Định lý 1.1.2. Cho f là ánh xạ từ không gian metric M ( X , d vào không
)

gian metric R1 . Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K

 X

thì f đạt một

giá trị lớn nhất và một giá trị nhỏ nhất trên K .
Định lý 1.1.3. Trong không gian Euclid

R tập đóng bất kì và bị chặn là tập
n

compact.
1.1.4. Rn là không gian định chuẩn.
Với các chuẩn:
n

x 1 xi ,
i1

n

x

2

x



2
i

x



max xi
i1,n

,
i1

1.1.5. Rn là không gian định chuẩn đủ (không gian Banach).
1.1.6. R n là không gian Hilbert.
Thật vậy, x, y Rn

, x (x1, x2 ,..., xn ), y ( y1, y2 ,..., yn ) ta đặt
n

(x, y) x j y j

(1.1.4)

j 1

Dễ thấy hệ thức (1.1.4) thoả mãn tiên đề về tích vô hướng. Chuẩn sinh ra
bởi tích vô hướng (1.1.4)
n

x  (x, x) 

x

2

, 1

j

x (x1 ,
x2

,..., x n ) R
n

j

Không gian vectơ thực R n cùng với tích vô hướng (1.1.4) là một không
gian Hilbert.


1.2. Đạo hàm và vi phân Frechet.
1.2.1. Khái niệm đạo hàm và vi phân Frechet.
là ánh xạ,

Cho X,Y là các không gian vectơ định chuẩn, f : X
Y

x X . Ta nói ánh xạ f khả vi tại x0 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A,
0

A L( X ,Y sao cho
0
0
0
)
f (x h)  f (x )  A(h) (x , h), h X .
lim

Trong đó

h 0

(x 0 ,

0 .

h) h

Biểu thức A(h) được gọi là vi phân của ánh xạ f tại

x X .
0

Kí hiệu: df (x 0 , h) .
Ánh xạ tuyến tính liên tục A
h a A(h) df (x , h) .
0

A : X Y ,

gọi là đạo hàm của ánh xạ f tại x0 . Kí hiệu: A  f ' (x 0 ) .
Do đó: df (x 0 , h) f ' (x 0 )(h) .


Ánh xạ f khả vi theo nghĩa trên gọi là ánh xạ khả vi theo nghĩa
Frechet (khả vi theo nghĩa mạnh).
1.2.2. Các tính chất của đạo hàm và vi phân Frechet.
Định lý 1.2.2.1: Cho X,Y là các không gian vectơ định chuẩn, nếu
là ánh xạ tuyến tính thì f ' (x 0 )(h) f (h), h X .


Chứng minh: Vì f là ánh xạ tuyến tính nên ta có:
0

0

f (x h)  f (x ) f (x 0 )  f (h)  f (x 0 )

0

f ' (x )(h)


f (h),

(x

0

, h) 0, h

Định lý 1.2.2.2: Cho X, Y, Z là các không gian vectơ định chuẩn.



f : X Y


: X Y ,  : Y
Z

là các ánh xạ. Nếu  khả vi Frechet tại x 0 X ,  khả vi

Frechet tại y 0  (x 0 )
Y

thì ánh xạ f 0: X

khả vi tại x0 và ta có

Z

0

f ' (x )(h)
(

0

 )'(x 0 )(h) ' ( y 0 ). ' (x 0 )(h), (h X ) .


Định lý 1.2.2.3: Cho X ,

là các không gian vectơ định chuẩn, nếu ánh xạ

Y
f :X
Y

khả vi tại x 0 X , thì f liên tục
tại

1.2.3. Một số ví dụ.

h0

0

tại

0

(x0 , h)

x khi và chỉ khi

0

0

f (x h)  f (x )

lim

0

f : R R, x R . Ánh xạ f khả vi

Ví dụ 1.2.3.1: Cho ánh
xạ

Trong đó

x .

f ' (x )h (x , h), h R .
0

0

0 .

h

Ví dụ 1.2.3.2: Cho ánh

f : R R, x R , h R , f khả vi Frechet
n

0

n

n

x ta
0

tại

xạ có:

f (x h)  f (x )  A(h) (x , h) .
0

0

0

Ở đó A là ánh xạ tuyến tính liên tục, A : Rn R1. . Giả sử
T

A (a1 , a2 ,..., an )
R

Khi đó:

n

, h (h1 , h2 ,..., hn ) R .
n

⎛h ⎞
1
⎜ h⎟
⎜ 2 ⎟
A(h) (a a ...a )
a h a h ... a h
1 2
n
1 1
2 2
n n
⎜

...
⎜ ⎟
⎜h ⎟
⎝ n⎠

Như vậy, f khả vi
tại

x nếu tồn tại bộ số (a , a ,..., a
)
1

sao
cho

không phụ thuộc h

0

0

0

f (x h)  f (x ) a
h

a
h

1 1

2

2

2

n

(x , h) .
0

... a
h

n

n

(x ,
0

Trong đó

lim

h) h 0 .

h 0

Ví dụ 1.2.3.3: Cho ánh xạ
0

f : R R .
n

n

m

0

x , h R , x (x , ,...,
x
x
1

2

n

), h (h , h ,...,
h
1

2

) .
T

n


0

m

0

0

f (x ) R : f (x ) ( f (x ), (x 0 ),..., f (x 0 )) .
1
2
f
m

f khả vi Frechet tại x 0 R n tacó:
f (x h)  f (x )  A(h) (x , h) .
0

0

0


⎛f1


f1

⎜x1
⎜f 2

x2
f

...

f1 ⎞


2

Trong đó A  f ' (x 0 ) ⎜
x

(x 0 , h)

xn

f 2

...

x



x

0 .

lim



n ⎟
h 0
... ⎟
fm ⎟
...

n ⎠
x
⎛ n f ⎞
⎜  1 hi ⎟
⎜i 1 x i ⎟
0

f
'
(x
)h

...
A(h) 

f

n
⎜
⎜ m h i ⎟⎟
⎜
x
⎝i1 i ⎠

⎜ 1
⎜ ...
⎜⎜f m
⎝x1

2

...
fm
x 2

h

...

Ví dụ 1.2.3.4: Cho ánh xạ f : C0,1 R, x

1

f (x)  x (t)dt . Tính đạo hàm
3

a

0

Frechet của ánh xạ f tại x 0 C .
0,1
Bài làm: Với x 0 C 0,1 , h C 0,1 . Ta có:
 
 
1

1

f (x h)  f (x )  (x h) (t)dt (x ) (t)dt
0

0

0

3

0 3

0

1

0



 (x h) (x )
0

0

3

0 3

(t)dt

1

 (3(x ) h 3x h h )dt
0 2

0

2

3

0

1

1

1

 3(x ) hdt 3x h dt h dt
0 2

0

0

1

0

1

2

3

0

1

Đặt A(h)  3(x ) hdt, (x , h) 3 x h dt  h3 dt



0 2

0

0

0

2

0

0

*) Ta chứng minh A là ánh xạ tuyến tính liên tục từ C0,1vào R1 .
+ , R, h1 , h2 C0,1ta có
1
0

1

1

0

0

A(h1 h2 )   3(x ) 2 (h h )dt  3(x0 )2 h dt  3(x0 )2 h2 dt A(h1 ) A(h2 )
1
2
1


0


Vậy A là ánh xạ tuyến tính.


+ A(h)

1

1

A(h)   3(x )
hdt

0

0

Trong đó

1

2

3x (t) h(t) dt 3(x ) (t)dt.max h(t) M . h .

0 2

0 2

0

t0,1

0

1

M 3(x ) (t)dt .
0 2

0

Vậy A(h) M

. Do đó A là ánh xạ liên tục.

h

*) Ta đánh giá (x 0 , h) .
1



(x 0 , h)  (x 0 , h)  (3x0 h 2 h3 )  3 x 0

dt

h

0

1
2

h

3

dt



0

1


0
2
3
⎨3 x (max h(t) ) (max h(t) ) ⎬dt
t0,1
t0,1
0 ⎩

1



h

2

3 x h dt
0



Suy ra,

0

 x 0 h
(

lim


⎛1
 lim ⎜ 3 x h dt ⎟
h
0
h 0
0

⎜

⎝0



, )
h

h 0

Vậy ta có:



f (x h)  f (x )  A(h) (x , h) .
0

Trong đó

0

0

A L(C0,1, R), lim (x 0 ,
h 0

0 .

h) h
1

df (x , h)   3x (t)h(t)dt
0

0

0

1

f ' (x ) là ánh xạ h
a
0

f ' (x )(h)   3(x ) (t)h(t)dt .
0

0 2

0

1.3. Đạo hàm và vi phân Gateaux.
1.3.1. Khái niệm đạo hàm và vi phân Gateaux.

Ch
o
X,

Y là


các không gian vectơ định chuẩn,
x X , h X , t R . Nếu tồn tại giới hạn
0

f :X
Y

là ánh xạ,


0

lim
)

0

f ( x th) f ( x

(1.3.1)

t

t 0

Thì giới hạn (1.3.1) được gọi là biến phân của hàm f tại

x .
0

Nếu biến phân là một ánh xạ tuyến tính liên tục theo h thì biến phân đó
được gọi là vi phân của hàm f tại

x (vi phân Gateaux hay vi phân yếu) và kí
0

hiệu là Df (x 0 , h) .
0
d
0
Df (x , h)  f (x th)
t
dt

0

lim

0

Nghĩa là,  0, ) sao cho t R

0

f (x 0 th)  f (x )
t

t 0

t


.

thì

0

f ( x th) f ( x )
0
Df (x ,
t
h)

.

Nếu vi phân Gateaux tuyến tính đối với h thì ta viết
0

Df (x , h)

Lh

0

f 'G (x )h

Toán tử
f 'G (x 0 ) : h a Df (x 0 , h)

gọi là đạo hàm Gateaux (đạo hàm yếu) của ánh xạ f . Suy ra
0

Df (x , h)  f (x 0 )(h)
'G

1.3.2. Các định lý về mối liên hệ giữa vi phân mạnh và vi phân yếu.
Định lý 1.3.2.1. Nếu tồn tại vi phân mạnh
tại vi phân yếu Df (x 0 ,

0

df (x ,
h)

của ánh xạ f tại x0 thì tồn

của ánh xạ f tại x0 và hai vi phân đó bằng nhau.

h)

Chứng minh: Giả sử tồn tại vi phân mạnh của ánh xạ f tại x 0 . Khi đó
h X , t
1
R

với t đủ nhỏ ta có:

0

f (x
th)  f


0

0

(x ) df (x ,
0
th) (x , th)
lim

Trong đó,

th 0

(1.3.2)
(x 0 ,

0 .

th)
th

Cho h cố định và t 0

thì th 0 ta có:


0

0

df (x , th) tdf (x , h)

Do df (x 0 ,
th)

tuyến tính đối với th , từ (1.3.2) suy ra,
0
0
0
f (x th)  f (x df (x , h) (x 0 ,
)

th) t

(1.3.3)

t

Ta có:
1

(x 0 ,

lim

0 lim h
t 0

th)

t 0

.

(x 0 , th)
t

0

(1.3.4)

th

Suy ra,
lim

(x 0 ,

t 0

0 lim

t th)

(x0

, th)

t 0

Do đó tồn tại giới hạn

 0

t
0

0

f ( x th) f ( x )
0
lim
 df (x , h)
t 0
t

Hay là Df (x 0 , h) df (x 0 , h) .
Định lý 1.3.2.2. Nếu trong hình cầu x x r tồn tại vi phân yếu Df (x, h)
0

Và Df (x,
h)

liên tục đều theo x , liên tục theo h , thì trong hình cầu đó tồn tại

vi phân mạnh df (x,
h)


Df (x, h) df (x, h), x
:

x x

r .

0

1.4. Các định nghĩa và định lý về cực tiểu, điểm tới hạn và ánh xạ gradient.
Định nghĩa 1.4.1. Cho

g : D  R R . Điểm x*
D
n

1

là cực tiểu địa phương

của g nếu có một lân cận mở S của x* sao cho với mọi x S D
*

g(x)  g(x )

(1.4.1)


x là cực tiểu địa phương thực sự của g nếu bất đẳng thức (1.4.1) đúng ngặt
*

với mọi x S D x  x* . Nếu bất đẳng thức (1.4.1) đúng với mọi x thuộc tập
,
con

D0 của D chứa x , thì x là cực tiểu toàn cục của g trên tập D0 .
*

*


Định nghĩa 1.4.2. Điểm x * int

là điểm tới hạn của g : D  Rn R1 nếu g

D

khả vi tại x* và g'(x * ) 0 (hay g'(x * )T 0 ).
Định lý 1.4.3. Giả sử x * int

là cực tiểu địa phương của g : D Rn R1 .

D

Nếu g khả vi tại x* , thì g'(x * ) 0 .
Chứng minh: Từ x * int D


x là cực tiểu địa phương của g , suy ra
*

g(x th) g(x ) 0 , với h tuỳ
*

*

h
và t đủ nhỏ. Do đó,
n
R
1
*
*
*
g'(x )h lim⎜ ⎟ g(x th) g(x ) 0
⎛ ⎞

t 0 ⎝t ⎠

ý





Vì h tuỳ ý nên g'(x * ) 0 .



Định lý 1.4.4. Cho g : D Rn R1 và giả sử tồn tại đạo hàm cấp hai của g tại
x int D .
*

Nếu

x là điểm tới hạn của g và g''(x * ) xác định dương, thì x là
*

*

cực tiểu địa phương thực sự của g . Ngược lại, nếu x* là cực tiểu địa phương
của g ,
thì

*
g''(x ) nửa xác định dương.

Chứng minh: Giả sử x* là điểm tới hạn của g và g''(x * ) xác định dương. Khi
đó với h cố định h R n , h 0
, ta có
1
lim⎜
)hh



*

*



⎟ g(x th) g(x ) 

⎛ ⎞

2
t 0 ⎝t


1

g''(x

*

(1.4.2)

2

Do g''(x * ) là xác định dương nên g''(x * ) 0 .
Vì g(x * th) g(x * ) 0 với t đủ nhỏ. Từ h tuỳ ý, nên x* là cực tiểu địa
phương thực sự của g .
Ngược lại, x* là cực tiểu địa phương của g , giả sử g''(x * ) không nửa xác
định dương. Thì tồn tại h sao cho g''(x * )hh 0 , và (1.4.2) chứng tỏ rằng với t


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×