Tải bản đầy đủ

Phép biến đổi Radon

LèI CÁM ƠN
Trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc tác giá đã nh¾n đưoc
sn giúp đõ nhi¾t tâm cna TS. Tran Văn Vuông, đưoc sn đ%nh hưóng
cna thay mà tác giá có đưoc lòng say mê Toán hoc và thnc hi¾n nghiên
cúu đe tài "Phép bien đoi Radon". Nhân d%p lu¾n văn đưoc hoàn
thành tác giá xin kính t¾ng thay bán lu¾n văn và bày tó lòng biet ơn
sâu sac nhat vói ngưòi thay quá co cna mình.
Tác giá chân thành cám ơn đen TS. Nguyen Văn Hào ngưòi đã
giúp tác giá hoàn thành lu¾n văn.
Tác giá xin trân trong cám ơn phòng Sau đai hoc, các thay giáo, cô
giáo trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 đã tao đieu ki¾n cho tác giá
trong thòi gian hoc t¾p tai trưòng. Tác giá rat biet ơn BGH trưàng
Cao đang Kinh te - Ky thu¾t Đi¾n Biên và các đong nghi¾p đã
tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá thnc hi¾n ke hoach hoc t¾p cna
mình. Tác giá xin cám ơn ngưòi thân, ban bè đã co vũ đ®ng viên tác
giá trong quá trình làm lu¾n văn.
Do thòi gian và kien thúc có han nên Lu¾n văn không tránh khói
nhung han che và van còn thieu sót nhat đ%nh. Tác giá xin chân thành
cám ơn đã nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna các thay giáo, cô giáo
và các ban hoc viên.


Hà N®i, tháng 6 năm 2011
Tác giá

Hoàng Th% Hoa

i


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn đ%nh hưóng cna Tien sĩ Tran Văn Vuông và đưoc hoàn
thành dưói sn hưóng dan cna Tien sĩ Nguyen Văn Hào.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 6 năm 2011
Tác giá

Hoàng Th% Hoa

ii


3

Mnc lnc
Má đau

v

1 M®t so kien thNc chuan b%

1

1.1

Không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1



1.1.1

M®t so khái ni¾m và tính chat cơ bán . . . . . . .

1

1.1.2

Ánh xa tuyen tính liên tuc trên không gian đ%nh
chuan

1.1.3
1.2

3

M®t so nguyên lý cơ bán trên không gian đ%nh chuan 8

Không gian Hilbert....................................................................12
1.2.1

1.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M®t so khái ni¾m cơ bán.................................................12

Không gian Lp............................................................................14
1.3.1

Các đ%nh lý quan trong cna lý thuyet tích phân

.

14

1.3.2
Không gian Lp
1.4

16

Tích ch¾p.........................................................................................19
1.4.1

Khái ni¾m ve tích ch¾p.....................................................19

1.4.2

M®t so tính chat cơ bán cna tích ch¾p

. . . . . .

19

1.5

Chuoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6

Bien đoi Fourier

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.6.1

Phép bien đoi Fourier trong không gian L1(R) . .

24

1.6.2

Phép bien đoi Fourier trong không gian L2 (R) . .

27

Hàm Delta Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.7


1.7.1

Hàm tiêu chuan...........................................................28

1.7.2

Hàm phân bo...............................................................29

1.7.3

Hàm Delta......................................................................32

2 Phép bien đoi Radon và Nng dnng
2.1

34

Đ%nh nghĩa bien đoi Radon......................................................34
2.1.1

Trưòng hop hai chieu.....................................................34

2.1.2

Trưòng hop nhieu chieu.................................................36

2.2

M®t so ví du...................................................................................38

2.3

Các tính chat cơ bán cna bien đoi Radon..............................39

2.4

2.3.1

Moi liên h¾ giua bien đoi Fourier và bien đoi Radon 39

2.3.2

Tính chat tuyen tính....................................................40

2.3.3

Tính chat chuyen d%ch.......................................................41

2.3.4

Tính chat thuan nhat...................................................42

2.3.5

Tính chat đoi xúng.........................................................42

Bien đoi Radon cna đao hàm.................................................46
2.4.1

Bien đoi Radon cna đao hàm b¾c nhat........................46

2.4.2

Bien đoi Radon cna đao hàm b¾c hai..........................47

2.5

Đao hàm cna bien đoi Radon....................................................48

2.6

Bien đoi Radon cna tích ch¾p...................................................50

2.7

Bien đoi Radon ngưoc...............................................................52

2.8

Áp dung cna bien đoi Radon đe giái bài toán Cauchy đoi
vói phương trình đao hàm riêng Hyperbolic.............................58

Ket lu¾n

62

Phn lnc

65


Má đau
1. Lý do chon đe tài
Nguon goc cna phép bien đoi Radon đưoc đánh dau bói công trình
noi tieng năm 1917 cna nhà toán hoc Johan Radon [11] "Ve van đe xác
đ%nh các hàm tù các tích phân doc theo các đa tap nào đó". Trong công
trình phôi thai đó, Radon đã giái thích làm sao đe xây dnng đưoc m®t
hàm hai bien tù các tích phân đưòng cna nó trên tat cá các đưòng thang
trong m¾t phang. Ông cũng đã thiet l¾p sn tong quát khác cna bien đoi
này liên quan đen vi¾c xây dnng lai m®t hàm tù các tích phân cna nó
trên các đưòng cong trơn, cũng như vi¾c xây dnng lai m®t hàm n bien
tù các tích phân cna nó trên tat cá các siêu phang. M¾c dù, khi đó phép
bien đoi Radon đã có m®t so h¾ quá trnc tiep đen bài toán tìm nghi¾m
cna phương trình vi phân đao hàm riêng hyperbolic vói h¾ so hang so,
nhưng nó không nh¾n đưoc sn quan tâm cna các nhà Toán hoc cũng như
giói khoa hoc thòi bay giò.
Đen năm 1960, phép bien đoi Radon mói thu hút đưoc sn chú ý cna
các nhà khoa hoc trên nhieu lĩnh vnc. Điem nhan quan trong nhat cna
nó là vi¾c nghiên cúu sú dung phép bien đoi Radon đe xây dnng lai
m¾t cat cna cau trúc bên trong cna m®t v¾t the mà không can phái cat
hay làm hư hai gì đen đoi tưong. Thông qua sn tương tác cna các b®
ph¾n cna m®t v¾t the ho¾c "thăm dò" đoi tưong bang các loai tia X,
tia gamma, ánh sáng nhìn thay, đi¾n tú, ho¾c notron vói sóng siêu âm,


ngưòi ta thưòng thu đưoc các tích phân đưòng ho¾c tích phân trên các
siêu phang và nhò phép bien đoi Radon mà ngưòi ta xây dnng lai đưoc
cau trúc n®i tai bên trong cna v¾t the. Có m®t moi quan h¾ m¾t thiet
giua phép bien đoi Radon vói sn phát trien cna ky thu¾t quét X-quang
trong hình ánh y te. Trong thnc te, quét X-quang cung cap hình ánh
cna cơ quan n®i b® cna m®t cơ the con ngưòi ho¾c đ®ng v¾t và giúp ta
phát hi¾n, đ%nh v% nhung bat thưòng ó bên trong. M®t trong nhung ví
du noi b¾t nhat ve úng dung cna phép bien đoi Radon là sn ra đòi cna
máy tính ho tro chup cat lóp trong y hoc chuan đoán, phương pháp này
đưoc sú dung đe tao ra hình ánh bên trong cna các cơ quan cna con
ngưòi. Trong nhieu năm sau đó cùng vói sn ra đòi và phát trien manh
me cna ky thu¾t tin hoc các nhà khoa hoc đã liên tiep giói thi¾u nhung
thu¾t toán mói hơn vói toc đ® nhanh hơn trên máy tính đi¾n tú đem lai
sn phát trien nhanh chóng cna ky thu¾t chup cat lóp vi tính.
Hơn năm mươi năm sau ke tù khi phát hi¾n ra phép bien đoi Radon,
nhà v¾t lý tré ngưòi Nam Phi Allan Cormack đã quan tâm đen vi¾c tìm
kiem m®t b® bán đo cna các h¾ so hap thu cho các b® ph¾n khác nhau
cna cơ the con ngưòi. Đe làm cho vi¾c sú dung chup X-quang xa tr% đat
hi¾u quá hơn, ông đã nhanh chóng nh¾n thay tam quan trong cna bien
đoi Radon, nó tương tn như phép đo cna sn hap thu tia X-quang doc
theo m¾t cat cna chúng trong cơ the con ngưòi. Bói vì logarit cna tí so
cna sn co đưoc phán ánh cưòng đ® X-quang doc theo m®t đưòng thang
đã cho chính là tích phân đưòng cna h¾ so hap thu doc theo đưòng đó,
nên van đe toán hoc tương đương vói vi¾c tìm kiem m®t hàm tù các giá
tr% cna tích phân cna nó doc theo tat cá ho¾c m®t so đưòng trong m¾t
phang. Vào đau năm 1963, Cormack cũng đã thu đưoc ba lòi giái thay
cho van đe cot lõi này [2], [3], [4]. Cùng thòi gian đó kĩ sư y - sinh hoc tré
ngưòi Anh Godfrey Hounsfield nh¾n ra tam quan trong đ¾c bi¾t trong


vii

nhung ý tưóng lón cna Radon và Cormack và sú dung chúng đe phát
trien m®t loai máy X-quang mói đem lai m®t cu®c cách mang hóa toàn
b® lĩnh vnc hình ánh y te. Ngay sau đó Cormack và Hounsfield c®ng tác
cùng nhau thnc hi¾n nhieu phương pháp tinh te trong vi¾c giái quyet
các van đe ve hình ánh y te. Sn c®ng tác cna ho đem lai m®t khám phá
quan trong cna ky thu¾t quét CT và giành giái Nobel năm 1979 trong
lĩnh vnc v¾t lý và y khoa [11].
Phép bien đoi Radon đem lai rat nhieu huu ích đoi vói các lĩnh vnc đa
dang cna khoa hoc và ky thu¾t bao gom: hình ánh y te, thiên văn hoc,
tinh the, hien vi đi¾n tú, đ%a v¾t lý, khoa hoc v¾t li¾u và quang hoc.
M®t van đe quan trong đáng phái đe c¾p tói là phép bien đoi Radon
đưoc sú dung trong vi¾c chup cat lóp ho tro máy tính phuc vu huu
hi¾u trong y hoc đem lai ket quá chuan đoán b¾nh chính xác ngày càng
cao. Ý nghĩa quan trong cna van đe này chính là vi¾c xác đ%nh cau
trúc n®i tai cna m®t v¾t the bang sn quan sát ho¾c hình ánh cna nó
liên quan m¾t thiet vói phép bien đoi Radon.
Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài "Phép
bien đoi Radon" đe hoàn thành khóa đào tao thac sy chuyên ngành
Toán giái tích. Bo cuc cna lu¾n văn ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài
li¾u tham kháo đưoc trình bày trong hai chương
Chương 1. Chương này dành cho vi¾c trình bày m®t so kien thúc
chuan b% bao gom: Không gian đ%nh chuan cùng các nguyên lý cơ bán
cna ánh xa tuyen tính liên tuc trên lóp không gian này; M®t so khái
ni¾m và ket quá quan trong trong không gian Hilbert và không gian Lp;
Bien đoi Fourier; và cuoi cùng là các khái ni¾m cùng tính chat cna các
hàm Delta-Dirac phuc vu trnc tiep cho vi¾c xác đ%nh tính toán bien đoi
Radon.
Chương 2. Đây là chương chính cna lu¾n văn, chúng tôi trình bày


viii

m®t cách h¾ thong ve bien đoi Radon bao gom: Khái ni¾m ve bien đoi
Radon trong không gian hai chieu và không gian n chieu; Tính chat cna
bien đoi Radon; Đao hàm cna bien đoi Radon và bien đoi Radon cna đao
hàm; Bien đoi Radon cna tích ch¾p; Moi liên h¾ giua bien đoi Fourier và
bien đoi Radon; Cuoi chương chúng tôi trình bày m®t áp dung cna phép
bien đoi Radon trong vi¾c giái bài toán Cauchy đoi vói phương trình đao
hàm riêng Hyperbolic.
2. Đoi tưang, mnc đích, nhi¾m vn và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve bien đoi Radon và moi quan h¾ cna bien đoi này vói
bien đoi Fourier.
Bien đoi Radon có nhieu úng dung r®ng rãi trong các lĩnh vnc khác
nhau cna các ngành khoa hoc cũng như trong đòi song thnc tien. Tuy
nhiên trong lu¾n văn này chúng tôi chí đe c¾p đen m®t úng dung cna nó
đoi vói bài toán Cauchy trong vi¾c giái phương trình vi phân đao hàm
riêng loai hyperbolic.
3. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, tra cúu tài li¾u, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích
nghiên cúu.
4. DN kien đóng góp cúa đe tài
H¾ thong m®t cách căn bán m®t so kien thúc cơ bán nhat ve bien đoi
Radon. Minh hoa ý nghĩa cna bien đoi Radon đoi vói cách lĩnh vnc khoa
hoc và đòi song thnc tien thông qua vi¾c giái quyet bài toán Cauchy
trong vi¾c giái phương trình vi phân đao hàm riêng loai hyperbolic.


9

Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1
1.1.1

Không gian đ%nh chuan
M®t so khái ni¾m và tính chat cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Giá sú E là m®t không gian vector. M®t giá tr%
hàm thnc "·" : E → R đưoc goi là m®t chuan trên E neu thóa mãn các
đieu ki¾n
(N1) "x" “ 0; vói moi x ∈ E và "x" = 0 neu
x = 0. (N2) "λx" = |λ| "x" ; vói moi x ∈ E và
moi λ ∈ R. (N3) "x + y" ™ "x" + "y" ; vói
moi x, y ∈ E.
Không gian vector E cùng vói "·" đưoc goi là m®t không gian tuyen tính
đ%nh chuan hay nói gon là không gian đ%nh chuan.
M¾nh đe 1.1.1. Giá sú E là không gian đ%nh chuan "·". Vói moi x, y
∈ E ta đ¾t ρ (x, y) = "x − y". Khi đó ρ là m®t khoáng cách trên E
và goi là khoáng cách sinh bói chuan.
Chúng minh.
+ Hien nhiên ρ (x, y) = "x − y" “ 0 vói moi phan tú x, y ∈ E.
Thêm nua neu ρ (x, y) = 0 thì "x − y" = 0. Tù tiên đe (N1) ta suy
ra x − y = 0 hay x = y.


+ Ta cũng nh¾n thay rang ρ (x, y) = "x − y" = "y − x" = ρ (y, x) ;
vói
moi x, y ∈ E.
+ Cuoi cùng vói moi x, y, z ∈ E, bói tiên đe (N3) ta có
ρ (x, z) = "x − z" ™ "x − y" + "y − z" = ρ (x, y) + ρ (y, z)
Như v¾y, moi không gian đ%nh chuan là không gian metric vói khoáng
cách đưoc sinh bói chuan.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Không gian đ%nh chuan E goi là không gian
Banach neu E cùng khoáng cách sinh bói chuan là m®t không gian
metric đay.
M¾nh đe 1.1.2. Không gian đ%nh chuan E là không gian Banach neu
và chs neu vói moi dãy {xn} ⊂ E mà "xn − xm" → 0 khi n, m → ∞
thì dãy đó h®i tn.
Chúng minh.
Th¾t v¾y, giá sú {xn} ⊂ E mà "xn − xm" → 0 khi n, m → ∞. Đieu
đó tương đương vói
ρ (xn, xm) → 0; khi n, m → ∞
Đieu đó chúng tó rang {xn} là m®t dãy Cauchy trong không gian
metric
E. Tù đó suy ra đieu nh¾n xét trên đây.


Đ%nh lí 1.1.1. Dãy {xk}k= ⊂ Rn h®i tn khi và chs khi nó là dãy
1

Cauchy.

Như v¾y Rn là m®t không gian Banach.
Chúng minh.
Đieu ki¾n can. Giá sú {xk}



là dãy h®i tu tói phan tú x trong Rn. Khi

k=
1

đó theo đ%nh nghĩa vói moi ε > 0 ton tai N0 sao cho vói moi k “
N0
chúng ta có
"xk − x" < ε/2.


Khi đó vói moi l “ N0 chúng ta cũng có
"xl − x" < ε/2.
"xk − xl" < ε.

Tù đó suy ra

là dãy Cauchy trong Rn. Khi đó theo đ%nh
Đieu ki¾n đn. Giá sú

{xk}
k=1

nghĩa vói moi ε > 0 ton tai so nguyên dương N sao cho vói moi k, l
“ N
chúng ta có
.
.
.
.
.2
.. (k)
(l)
(l)
(l)
2

"xk − xl"
=

x1 −
x1

2

(k)

+ ...
+

+ x2 −
x2

(k)

< ε.

xn −
xn

Tù đó suy ra
..
.
(l).
(k)
.xi − . < ε; vói moi i = 1, 2, ..., n và vói moi k, l “ N.
xi
(k)
Đieu đó có nghĩa rang moi dãy ,x ,∞ là dãy Cauchy các so thnc.
i

k=1

Theo tiêu chuan Cauchy ve sn h®i tu cna dãy so thnc, ton tai
lim
k→∞

(k)

xi

= xi; vói moi i = 1, 2, ..., n.

Đ¾t x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, chúng ta suy ra dãy
{xk}



k=
1

h®i tu đen

điem x.
1.1.2

Ánh xa tuyen tính liên tnc trên không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Giá sú E và F là hai không gian tuyen tính đ%nh
chuan. Ánh xa T : E → F đưoc goi là tuyen tính liên tuc neu thóa mãn
hai đieu ki¾n dưói đây
(i) T là tuyen tính
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y) ;


vói moi α, β ∈ R và moi x, y ∈ E.
(ii) T là liên tuc


lim
n→∞

T xn = T x; vói moi x ∈ E.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Giá sú E và F là hai không gian tuyen tính đ%nh
chuan. Ánh xa T : E → F đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai hang so C
> 0 sao cho
"T x" ™ C "x" ; vói moi x ∈ E.
So C > 0 nhó nhat thóa mãn h¾ thúc trên đưoc goi là chuan cna
toán tú T và kí hi¾u là "T " .
Đ%nh lí 1.1.2. Giá sú T : E → F là ánh xa tuyen tính giua hai không
gian đ%nh chuan E và F. Khi đó, các khang đ%nh sau là tương đương
(i) T liên tnc trên E
(ii) T liên tnc tai x0 ∈ E.
(iii) T b% ch¾n. Chúng
minh.
(i) ⇒ (ii) là hien nhiên.
(ii) ⇒ (iii) Giá sú ngưoc lai T không b% ch¾n. Khi đó, vói moi so nguyên
dương n ton tai xn ∈ E sao cho "T xn " > n "xn" . Hien nhiên xn ƒ=
0,
đ¾t yn
=

1

thì "yn"
=

xn
n
"xn

n

"

→ 0 (n → ∞) .

Khi đó yn + x0 → x0 (n → ∞) . Tù tính liên tuc cna T , ta suy ra
"T yn " = "T (yn + x0) − T x0 " → 0 (n → ∞) .
Nhưng đieu đó mâu thuan vói
"T yn " =
T

.

n .
x
=
n "xn"

1

"T xn " > 1.

n
"xn"

(iii)

⇒ (i) Giá sú ánh xa tuyen tính T là b% ch¾n, túc là ton tai so C > 0

sao cho


"T x" ™ C "x" ; vói moi x ∈ E.
Lay phan tú bat kì x ∈ E và dãy xn ∈ E mà xn → x (n → ∞) . Khi đó
ta có
"T xn − T x" = "T (xn − x)" ™ C "xn − x" → 0;
khi n → ∞. V¾y T là ánh xa tuyen tính liên tuc.
M¾nh đe 1.1.3.
Cho E và F là các không gian đ%nh chuan và T : E → F là ánh xa
tuyen tính liên tnc. Khi đó
"T " = sup {"T (x)" : "x" ™ 1} .
Chúng minh.
Đ¾t α = sup {"T (x)" : "x" ™ 1} . Vói moi x ∈ E mà "x" ™ 1, ta

"T x" ™ "T " . "x" ™ "T " .
Do đó, ta nh¾n đưoc
α = sup {"T (x)" : "x" ™ 1} ™ "T " .
x thì "y" ™ 1. Do
Ngưoc lai, lay phan tú x ∈ E mà x ƒ= 0 và đ¾t y =
"x"
đó, ta nh¾n đưoc "T y" ™ sup {"T x" : "x" ™ 1} = α.

Tù đó, suy ra
"T y" =
T

.

.
x
"x

™ α hay "T x" ™ α "x" .

"
Như v¾y "T " ™ α. M¾nh đe đưoc chúng minh.
Kí hi¾u L (E, F ) là t¾p tat cá các ánh xa tuyen tính liên tuc tù E
vào
F. Ta de dàng kiem tra đưoc L (E, F ) là không gian vector vói các phép
toán đưoc xác đ%nh như sau


(T + S) (x) = T (x) + S(x)
T (λx) = λT x.
M¾nh đe 1.1.4. Cho E và F là các không gian đ%nh chuan. Khi đó,
L (E, F ) là không gian đ%nh chuan vói chuan đưoc xác đ%nh như
trên. Ngoài ra neu F là không gian Banach thì L (E, F ) là không gian
Banach.
Chúng minh.
+ Rõ ràng "T " “ 0 vói moi T ∈ L (E, F ) . Giá sú "T " = 0 túc là
sup {"T (x)" : "x" ™ 1} = 0.
Khi đó, vói moi y ∈ E, ta có

.
.
y
:
y

E
T
"y
"y
"
"
.
.
.
.
y
y
= "y" . sup
:
™1
T
"y
"y"
= "y" . "T " = "
0.

sup {"T (y)" : y ∈ E} ™ sup

.

.

Tù đó suy ra T =
0.
+ Vói moi λ ∈ R và moi x ∈ E ta có
"λT " = sup {"λT x" : "x" ™ 1}
= |λ| sup {"T x" : "x" ™ 1}
= |λ| "T " .
+ Cuoi cùng
"T + S" = sup {"(T + S) x" : "x" ™ 1}
™ sup {"T x" : "x" ™ 1} + sup {"Sx" : "x" ™
1}


= "T " + "S" .


Giá sú F là không gian Banach và {Tn} ⊂ L (E, F ) là dãy Cauchy.
Bói

"Tnx − Tmx" = "(Tn − Tm) x"
™ "Tn − Tm " . "x" → 0;
khi n, m → ∞ và F là không gian Banach nên ton tai
Tx = lim T x.
n
n→∞

Do Tn tuyen tính vói moi n nên T cũng tuyen tính. Ta còn phái chúng
tó rang T liên tuc và "Tn − T" → 0 khi n → ∞. Bói vì {Tn} ⊂ L (E,
F)
là dãy Cauchy, nên vói moi ε > 0 ton tai N sao cho
sup {"Tnx − Tmx" : "x" ™ 1} = "Tn − Tm" < ε;
vói moi n, m “ N. Do đó
"Tnx − Tmx" < ε;
vói moi n, m “ N và vói moi "x" ™ 1. Cho m → ∞ ta nh¾n đưoc
"Tnx − T x" < ε;
vói moi n, m “ N và vói moi "x" ™ 1. Tù đó suy ra
"T x" ™ "(T − TN ) x" + "TN x" ™ ε + "TN " ;
vói moi "x" ™ 1. V¾y T ∈ L (E, F ) và "Tn − T" ™ ε; vói moi n
“ N.
Túc là "Tn − T" → 0 khi n → ∞.
M¾nh đe 1.1.5. Giá sú E, F và G là các không gian đ%nh chuan. Neu
T ∈ L (E, F ) và S ∈ L (F, G) thì S · T ∈ L (E, G) . Hơn nua ta có
"S · T" ™ "S" . "T " .
Chúng minh.


Hien nhiên S · T ∈ L (E, G) . Tù các đánh giá sau
"(S · T ) x" = "S (T x)" ™ "S" . "T x" ™ "S" . "T " . "x"
ta suy ra
"S · T" ™ "S" . "T " .

1.1.3

M®t so nguyên lý cơ bán trên không gian đ%nh chuan

Đ%nh lí 1.1.3 (Nguyên lý ánh xa mó). Neu A là toán tú tuyen tính liên
tnc ánh xa không gian Banach X lên không gian Banach Y, thì A là ánh
xa mó.
Chúng minh.
+ Trưóc het ta chúng minh toán tú A là ánh xa hình cau mó bat kỳ W
tâm θ bán kính r > 0 nào đó trong không gian X l¾p thành t¾p A(W
) sao cho A (W ) chúa hình cau mó V tâm θ trong không gian Y.
Th¾t v¾y,

r

. Kí hi¾u
2
S − S = {x − xr : x ∈ S, xr ∈ Sr } , nS = {nx : x ∈ S, n ∈ N ∗ }

ta xét hình cau mó S tâm θ bán kính nhó hơn
Khi đó, vói moi x, xr ∈ S ta có
r

"x − x " ™ "x" +
"xr" <

r
2

+

r
2

= r.

Tù đó suy ra x − xr ∈ W hay S − S ⊂ W. Bói tính tuyen tính cna ánh
xa A ta nh¾n đưoc
A (W ) ⊃ A (S) − A (S) .
x
Vói m®t điem bat kì x ∈ X thì hien nhiên
→ θ, (n → ∞) . Do đó
x
n
∈ S vói n đn lón hay x ∈ nS. Tù đó ta suy ra
n


. [∞ .
[
[
S
X=
nS, Y = A
=
nA (S)
n=1 n
(X) = A
n=1

n=1


Theo Nguyên lý pham trù Baire, ton tai m®t t¾p hop n0A (S) không là
t¾p không đâu trù m¾t. Do đó ton tai hình cau mó V0 ⊂ Y sao cho moi
hình cau bao hàm trong V0 đeu có giao khác rong vói t¾p n0A (S) ,
nghĩa là t¾p n0A (S) trù m¾t trong V0 hay n0A (S) ⊃ V0. Tù đó suy
ra
A (S) ⊃

1
n0

V0 = V, vói moi n “ n0.

Cuoi cùng ta đưoc
A (W ) ⊃ A (S) − A (S) ⊃ A (S) − A (S) ⊃ V − V ⊃ V.
+ Tiep theo ta chúng minh toán tú A ánh xa hình cau bat kì W tâm
tai θ trong không gian X thành t¾p A (W ) chúa hình cau V tâm tai
θ trong không gian Y. Th¾t v¾y, vói so ε > 0 nào đó ta kí hi¾u
Wε = {x ∈ X : "x" < ε} , Vε = {y ∈ Y : "y" <
ε} . ε
(i = 1, 2, ...) theo chúng minh trên ton tai hình
2i
cau
mó Vri tâm tai θ, bán kính ri > 0 sao cho Vri ⊂ A (Wεi ) (i = 1, 2, ...)
. Có
Vói moi so εi
=

the coi r1 > r2 > ... > rn > ... và rn → 0 (n → ∞) . Nhò đó, vói y ∈
Vr1
ton tai x1 ∈ Wε1 sao cho "y − Ax1" < r2, ton tai x2 ∈ Wε2 sao cho
"(y − Ax1) − Ax2" = "y − (Ax1 + Ax2)"
= "y − A (x1 + x2)" < r3, ...
Quá trình này tiep tuc mãi mãi, ta nh¾n đưoc dãy điem xi ∈ Wεi
(i = 1, 2, ...) sao cho
.
y−A

n
.
i=1

.
xi < rn+1 (n = 1, 2, ...)


Đ¾t sn =

n
.

xi (n = 1, 2, ...) , ta có

i=1
p

.x
n+i
"sn+p − sn" =

i=1
p

ε

<
. 2n+i
i=1

p

.

"xn+i"

i=
1
p

. 1
= ε
2n i=1 i
2
<

ε
2n

→ 0 (n → ∞, ∀p) .

Do đó dãy (sn) là dãy cơ bán trong không gian Banach X, nên ton tai
li
m sn = x trong không gian X. Nhưng
n→∞

n
.

n

. xi ™
lim

"x" =
lim
n→∞

i=1

n→∞ i=
1

n

.ε1
"xi" < lim
< ε,
n→∞

i=1

2i

Wε. Tù ket quá đó và tù lim
n→∞ rn = 0 ta suy ra

.
..
.
.
n
n
A
.
= Ax ⇒ Ax ∈ A (Wε) .
y=
=A
lim
xi
i
lim
x
n→∞

nên x

i=
1

n→∞

i=1

Do đó, vói moi y ∈ Vr1 ton tai x ∈ Wε sao cho y = Ax, nghĩa

Vr1 ⊂ A (Wε) .
+ Cuoi cùng ta chúng minh khang đ%nh cna đ%nh lý. Giá sú U là hình
cau mó bat kì tâm tai x0 trong X. Đ¾t W = U − x0 = {x − x0 : x ∈
U} ,
thì U là hình cau mó tâm θ trong X. Theo chúng minh ó phan trên, t¾p
A (W ) chúa hình cau mó V tâm θ trong Y. Do đó, ta có
A (U ) = A (W ) + Ax0 ⊃ V + Ax0,
trong đó V + Ax0 là hình cau mó tâm Ax0 trong Y. Giá sú G là
t¾p mó bat kì trong không gian X và y ∈ A (G) . Khi đó ton tai x ∈
G sao cho y = Ax. Do t¾p G mó, nên ton tai hình cau mó W tâm x
sao cho W ⊂ G. Theo chúng minh trên, t¾p A (W ) chúa hình cau mó


V tâm tai Ax sao cho y ∈ V ⊂ A (W ) ⊂ A (G) . Nhò tính chat tùy
ý cna điem y, nên t¾p A (G) mó.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.


H¾ quá 1.1.1 (Đ%nh lý ánh xa ngưoc). Neu toán tú A là tuyen tính,
liên tnc và là 1 − 1 tù không gian Banach X lên không gian Banach
Y thì ánh xa ngưoc A−1 cũng liên tnc.
Đ%nh lí 1.1.4 (Banach - Steinhaus). Giá sú X là không gian Banach và
Y là không gian đ%nh chuan. Khi đó, moi ho toán tú tuyen tính liên tnc
{At : X → Y }t∈T mà b% ch¾n tai moi điem, nghĩa là sup "At (x)" <

t∈T

tai moi x, thì b% ch¾n đeu.
Chúng minh.
Vói moi so tn nhiên n = 1, 2, ... ta đ¾t
.
.
En = x ∈ X : sup "Atx" ™ n
T

.

t∈T

{x ∈ X : "Atx" ™ n} . Nhò tính liên tuc
cna
t∈T
moi toán tú At và tính liên tuc cna chuan, moi t¾p {x ∈ X : "Atx" ™
n}
là t¾p đóng trong không gian X (n = 1, 2, ...) . Hien nhiên, En ⊂
X
S∞
n=
n = 1, 2, ...
En ⊂ X.
1
nên
De dàng ta thay En =

M¾t khác, vói moi x ∈ X, t¾p ("Atx")t∈T b% ch¾n, nên ton tai so tn
S∞
nhiên n sao cho sup "Atx" ™ n, do đó x ∈ En, suy ra X n= En.
1
=
t∈T

Theo nguyên lý pham trù Baire, ton tai m®t t¾p En0 không là t¾p
không đâu trù m¾t. Do đó, ton tai hình cau đóng Sr tâm x0 bán kính
r > 0 sao cho moi hình cau bao hàm trong S r đeu có giao khác rong
vói t¾p En0 , nghĩa là t¾p En0 trù m¾t trong Sr hay En0 = En0 ⊃ S r .
Giá sú x ∈ X, "x" = 1, ta có "(x0 + rx) − x0" = r.
Như v¾y x0 + rx ∈ S r và
"At (x0 + rx)" ™ n0, ∀t ∈ T.


Tù đó, suy ra vói moi t ∈ T ta

"Atx" =
+

1

1
A tx 0

r
A tx −

r

Atx 0

1
=
At (x0 +
1
Atx0
r
1
rx) r−
1
™ "At (x0 + rx)" + "Atx0"
r
nr0

+ n0 2n0
r
=
r.
r
H¾ thúc trên đúng vói moi x ∈ X mà "x" = 1, nên
2n0
"At" ™
, ∀t ∈ T.
r
Vì v¾y, t¾p ("At")t∈T b% ch¾n hay ho (At)t∈T b% ch¾n đeu. Đ%nh lý
đưoc
chúng minh.

1.2
1.2.1

Không gian Hilbert
M®t so khái ni¾m cơ bán

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho H là không gian vector vói tích vô hưóng (., .) .
1

Khi đó, (H, "") là m®t không gian đ%nh chuan vói chuan "x" = (x, x) 2
.
Ta nói H là không gian Hilbert neu H là đay đn vói chuan "" .
Hai vector x và y trong không gian Hilbert H đưoc goi là h¾ trnc
giao neu (x, y) = 0, kí hi¾u x⊥y. Kí hi¾u x⊥ là t¾p hop tat cá các
vector trong X trnc giao vói x. Cho t¾p A ⊂ X thì A⊥ là kí hi¾u t¾p tat
cá các
vector trong H trnc giao vói moi vector trong A.
Ho vector (vα)α∈A trong không gian Hilbert H vói t¾p A là t¾p
"chí so" bat kì, đưoc goi là h¾ trnc giao neu h¾ này không chúa vector 0
∈ H và vα⊥vβ vói moi α, β ∈ A, α ƒ= β. Ho vector (vα)α∈A đưoc goi


là h¾ trnc chuan neu nó là h¾ trnc giao và vói moi α ∈ A thì "vα" =
1.
Cho m®t h¾ trnc chuan (vα)α∈A, ta
xˆ (α) = (x, vα ) , α ∈ A,
đ¾t
vói


moi vector x ∈ H. Khi đó, xˆ (α) , α ∈ A đưoc goi là các h¾ so
Fourier
cna x úng vói h¾ trnc chuan (vα)α∈A.
Cho (αi)i∈I là ho các so thnc dương, vói I là t¾p "chí so" bat kì. Đ¾t
F (I) là ho các t¾p con cna I có huu han phan tú. Ta đ%nh nghĩa
.
.
αi =sup
α i.
(1.1)
K∈F (I) i∈K

i∈I

Giá tr% cna tong ó bên trái có the huu han ho¾c vô han.
Đ%nh lí 1.2.1. Giá sú H là m®t không gian Hilbert. Khi đó
(i) Neu {v1, v2, ..., vn} là ho n vector trong H trnc giao tùng đôi
m®t,
th
ì

2

n

.
i=1

vi

n

2
"vi" .

=
.

(1.2)

i=1

(ii) Giá sú {v1, v2, ..., vn} là ho n vector trnc chuan và {t1, t2, ...,
t n}
là n so thnc (ho¾c phúc). Khi đó, ta có
n

.tv

2

n
2

i i

i=1

=
.

|ti| ."vi " .

(1.3)

2

i=1

(iii) (Bat đang thúc .
Bessel). Giá sú 2(vα)α∈A là m®t h¾ trnc chuan.
2
Vói x ∈ H bat kì thì
|xˆ (α)| ™ , trong đó xˆ (α) , α ∈ A là các
α∈A

"x"

so Fourier cúa x úng vói h¾ trnc chuan đã cho.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. M®t h¾ trnc chuan (vα)α∈A đưoc goi là m®t h¾
đay đn (hay cơ só đay đn) neu x ∈ H ta có đang thúc Parseval
. |xˆ (α)|
=
2
α∈A "x"

.

(1.4)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×