Tải bản đầy đủ

Nguyên lý không chắc chắn, tính dương và bị chặn trong Lp của ảnh phổ tổng quát

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan t¾n tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng,
ngưòi thay đã hưóng dan và truyen đat cho tác giá nhung kinh nghi¾m
quý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng viên và
khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn
trong quá trình nghiên cúu và viet lu¾n văn. Tác giá xin bày tó lòng biet
ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và các quý thay cô đã
tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep chương trình
Cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin trân trong cám ơn Só Giáo duc và Đào tao tính Yên Bái,
trưòng Cao đang Sư pham Yên Bái, khoa Tn Nhiên. Tác giá cũng xin
đưoc cám ơn gia đình, ban bè và đong nghi¾p đã tao moi đieu ki¾n cho
giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn thành tot lu¾n văn tot nghi¾p
cna mình.

Hà N®i, ngày 30 tháng 11 năm
2011

Tác giá
Pham Th% Hang Thu


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn này là công trình nghiên cúu cna riêng
tôi dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, ngày 30 tháng 11 năm
2011
Tác giá
Pham Th% Hang Thu.


3

Mnc lnc
Báng kí hi¾u và viet tat

v

Má đau

ix

1 Kien thNc chuan b%
1.1

M®t so không gian hàm
1.1.1

1.2

1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Không gian Lp, các bat đang thúc trong không


gian Lp, công thúc tích ch¾p . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian hàm cơ bán . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Không gian hàm suy r®ng Dr(Ω) . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Không gian các hàm giám nhanh S (Rn) . . . . .

6

1.1.5

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn)

7

1.1.6

Các toán tú cơ bán

. . . . . . . . . . . . . . . .

9

Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Bien đoi Fourier cna các hàm thu®c Lp (Rn) và
S ( R n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2
1.3

1

9

Bien đoi Fourier cna hàm suy r®ng..............................15

Giái tích thòi gian-tan so........................................................16
1.3.1

Giái tích thòi gian-tan so............................................16

1.3.2

Nguyên lý không chac chan...........................................18

1.3.3

Bien đoi Fourier thòi gian ngan.....................................24

1.3.4

Ánh pho..........................................................................30


4

1.4

1.3.5

M®t so phân bo thòi gian-tan so quan trong . . .

30

1.3.6

Lóp phân bo Cohen

36

Toán tú giá vi phân.................................................................39
1.4.1

M®t so đ%nh nghĩa và ví du.............................................39

1.4.2

Tính b% ch¾n cna toán tú giá vi phân..........................42

2 Nguyên lý không chac chan, tính dương và b% ch¾n trong
Lp cúa ánh pho tong quát
2.1

51

Toán tú đ%a phương hoá............................................................51
2.1.1

Toán tú đ%a phương hoá vói bieu trưng thu®c S .R2n.
51

2.1.2

Toán tú đ%a phương hoá vói bieu trưng thu®c Lp .R2n.,
vói p ∈ [1, 2)................................................................53

2.2

2.3

Dang và toán tú cna ánh pho tong quát.................................55
2.2.1

Ánh pho tong quát.......................................................55

2.2.2

Toán tú cna ánh pho tong quát...................................58

Công thúc tích ch¾p cna ánh pho tong quát và tính dương
cna toán tú đ%a phương hóa......................................................63

2.4

Ánh pho tong quát và nguyên lý không chac chan...................67

2.5

Tính liên tuc và không liên tuc cna toán tú đ%a phương hóa 74

Ket lu¾n

82

Tài li¾u tham kháo

84


Báng kí hi¾u và viet tat

N:
N∗ :
|α| :

T¾p hop các so tn nhiên.
T¾p hop các so nguyên dương.
B¾c cna đa chí so α,
n
.
|α| =
αi, α = (α1, ..., αn) ∈ N∗.
i=1

R:
Rn :
C:
z, |z| :

T¾p hop các so thnc.
Không gian Ơclit n chieu.
T¾p hop các so phúc.
So phúc liên hop, mô đun cna so phúc

z. Dαf :Đao hàm cap α cna f, Dαf = (−1)|α|
∂ αf .
∂αu :

Đao hàm riêng cap α cna u,
(∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂αϕ).

C∞ :

Không gian các hàm khá vi vô han.

0 (Ω) : T¾p hop các hàm khá vi vô han giá compact.
C∞
C0(Rn) : Không gian các hàm liên tuc có giá compact.

D (Ω) :
S (Rn) :

Không gian các hàm cơ bán.
Không gian các hàm giám nhanh.


S r (Rn) :

Không gian các hàm tăng ch¾m.

T xf :

Phép t%nh tien theo x cna hàm
f, Txf (t) = f (t − x) .

Mω f :

Sn đieu bien theo ω cna hàm f,
Mωf (t) = e2πit·ωf (t) .

f∗ :

Phép đoi hop cna f, f ∗ (x) = f

(−x). f˜ :

Phép đoi xúng cna f, f (x)

= f (−x).
f ∗ g : Tích ch¾p cna f và g,
¸
f (y)g(y − x)dy.
(f ∗ g)(x)
Rn

=

fˆ, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f .
F −1 (f ) , fˇ : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f .
F, fˆ : Liên hop cna bien đoi Fourier f .
X α f (x) : Toán tú nhân, X α f (x) = xαf (x)
. span{A} : Bao tuyen tính cna t¾p A.
Ap :

Hang so Babenko-Beckner,
Ap = . 1/
.1/2
p
p
.
(pr)1/p
r

Vgf :

Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói
hàm cúa so g,
¸
Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πit·ωdt.
Rn

F2 :

Bien đoi Fourier cna hàm F theo bien thú 2,
¸
F (x, t)e−2πit·ωdt.
F2F (x, ω)
=

Rn


vii

Lp :

Không gian các hàm đo đưoc Lebesgue,
có chuan Lp huu han.
1

"f"Lp (Ω)

p

¸ |f (x)|
dx .
= p


Hs(Rn) :

Không gian Sobolev cap s,
s

Hs(Rn) = {u ∈ Sr(Rn)| (ξ) Fu(ξ) ∈ L2(Rn)}.
Tσ :
Tσϕ(x)

Toán tú giá vi phân vói bieu trưng σ,
¸
−n/2
= (2π)
eix·ξ σ(x, ξ)ϕˆ(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn).
R

n

T∗
o

:

Liên hop hình thúc cna toán tú Tσ.

W ig (f ) : Phân bo Wigner cna hàm f .
W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f và g.
Qσf :

Lóp phân bo Cohen.

R (f ) : Bieu dien Rihaczek cna hàm f
R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g.
R∗ (f, g) : Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f , g.
SP ECg f, Sp gf :

Ánh pho cna hàm f đoi vói hàm cúa so g.

qφ,ψ (f, g) : Ánh pho tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ.
Tσ :

Toán tú giá vi phân vói bieu trưng σ.

AF :

Toán tú giá vi phân Kohn-Nirenberg vói bieu trưng F.

WF :

Toán tú Weyl vói bieu trưng F.

:

Toán tú đ%a phương hoá vói bieu trưng F,
¸
F
n
f (x) = F (z) (f, φz ) 2 ψz (x) dz, f ∈ S(R
).
L
L φ,ψ
L φ,ψ

F

Rn


8

X[a,b] :
ϕa (x) :
e−
Ta :

Hàm đ¾c trưng trên [a, b].
Là hàm Gauss vói ϕa (x) =

πx2
a

.

Phép bien đoi toa đ® không đoi xúng
vói Taf (x, t) = f (t, t − x).

Ts :

Phép bien đoi toa đ® đoi xúng
.
.
x
+
,
x
.
t
t
vói Tsf (x, t) =
2 −2
f

f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f và g,
(f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t).
B(L2(Rn)) :
"."∗ :

Là C ∗ − đai so cna tat cá nhung
toán tú b% ch¾n tù L2(Rn) vào L2(Rn).
Chuan trong B(L 2
(R )).
n

S hf :
(Shf )(x)
p

2n

L (R ) :
(R2n)}.


Toán tú Hilbert-Schmidt trên L2(Rn),
¸
= h(x, y)f (y)dy, x ∈ Rn, f ∈ L2(Rn).
Rn

vói Lp(R2n) = {σ ∈ Lp (R2n)"σˆ ∈ Lpr



Má đau
1. Lí do chon đe tài
Phép bieu dien thòi gian-tan so là m®t dang toàn phương,
trong đó úng vói moi tín hi¾u f trên Rn là m®t hàm ho¾c m®t phân
bo Qf trên m¾t phang thòi gian-tan so Rn × Rn . Hàm Qf (x, w) bieu
dien cho

x

w

phân bo năng lưong cna tín hi¾u đoi vói bien thòi gian x và bien tan so
w, đieu đó nói lên rang tan so w nào có m¾t trong tín hi¾u f quanh
thòi điem x. Trong trưòng hop này chúng ta se sú dung các thu¾t ngu
khác
nhau là "phép bieu dien" ho¾c là "dang". Hàm Qf thưòng đòi hói phái
đưoc thóa mãn vài đieu ki¾n, cu the là:(thoá mãn tính dương) Qf “
0
vói moi x, w; (thoá mãn tính không tràn) neu supp f ⊆ I vói
khoáng
I ⊆ R thì πx supp f ⊆ I (πx là phép chieu trnc giao trên m¾t phang
thòi gian-tan so Rn × Rn ) và tương tn supp fˆ ⊂ J kéo theo πw
supp Qf ⊂ J ;

¸
x
w
(thoá mãn đieu ki¾n le cúa hàm phân phoi) Qf (x, w)dx = .fˆ(w).2 và
¸
.
.
Qf (x, w)dw =
Rn
.
.
.fˆ(x).2.
.
.
Rn

.

.

Ý nghĩa cna nhung yêu cau này có the tìm thay trong cuon
"Giái tích thòi gian-tan so" cna L. Cohen (xem [10]). Tuy nhiên, theo
nguyên lý không chac chan, đieu ki¾n này là không tương thích và do
đó chúng chí có the đưoc thóa mãn vói m®t đ® gan đúng nào đó. Vì the


nhieu phép bieu dien khác nhau đưoc đ%nh nghĩa trong lý thuyet giái
tích thòi gian-tan so vói sn co gang đe chúng càng gan càng tot phép


bieu dien lý tưóng.
Ba trong so nhieu phép bieu dien thòi gian-tan so đưoc sú dung
nhieu là ánh pho, phép bieu dien Rihaczek và bieu dien Wigner. Vi¾c
nghiên cúu các tính chat cna các bieu dien này đã đưoc trình bày trong
[9]. Tuy nhiên, dưói góc đ® cna nhung phép bien đoi, thì nhung tính chat
cna ánh xa, chang han tính b% ch¾n, là chưa đưoc đe c¾p tói.
M¾t khác giái tích thòi gian-tan so có nhieu moi liên h¾ vói lý
thuyet toán tú giá vi phân. Ví du như: phép bieu dien Wigner liên h¾
vói toán tú Weyl, trong khi đó toán tú đ%a phương hóa lai đưoc quan
tâm đen như là b® loc cna tín hi¾u.
Trong các bài báo [6], [7], các tác giá đã nghiên cúu và công bo
nhung ket quá ve tính dương, tính b% ch¾n và tính compact cna m®t so
lóp bieu dien thòi gian tan so. Đong thòi liên h¾ vói các toán tú giá vi
phân tương úng đe thu đưoc các ket quá ve tính b% ch¾n, tính compact
cna m®t so lóp toán tú giá vi phân trong Lp. Trong lu¾n văn này, tôi se
t¾p trung chn yeu vào vi¾c nghiên cúu các ket quá đã đưoc công bo trong
các tài li¾u nêu trên. Có the khái quát sơ lưoc nhung van đe nghiên cúu
như sau:
+ Đau tiên, các tác giá xây dnng ánh pho tong quát dna trên
hai-cúa so φ, ψ và chí ra rang, theo cách tương tn như phép bieu dien
cna Wigner cho lóp các toán tú Weyl, ánh pho tong quát tương úng lóp
các toán tú đ%a phương hóa.
+ Tiep theo, các tác giá chúng minh rang, cũng tương tn như
đoi vói ánh pho, ánh pho tong quát là tích ch¾p cna các bieu dien
Wigner và do đó lóp ánh pho tong quát là m®t lóp con cna lóp
Cohen, chúng minh đưoc rang phép bieu dien Rihaczek có the van
đưoc xem như m®t ánh pho tong quát vói hàm cúa so phù hop, trong
khi đó phép bieu dien Wigner không thu®c lóp ánh pho tong quát.


+ Các tác giá đã mó r®ng đánh giá cna Lieb vói ánh pho tong
quát và chúng minh đưoc sn mó r®ng tn nhiên cna nguyên lý không chac
chan Lieb cho ánh pho tong quát trong không gian Lp .
+ T¾p trung vào các toán tú tương úng, như m®t h¾ quá khác
cna công thúc tích ch¾p, các tác giá thu đưoc bieu trưng dương F và
cho ket quá là các toán tú đ%a phương hóa LFφ, dương neu và chí neu
ψ

φ=
Cψ.

+ Cuoi cùng, xét tính b% ch¾n trong Lp cna toán tú đ%a phương

hóa bang vi¾c sú dung ánh pho tong quát tương úng, đong thòi chí ra
tính không b% ch¾n cna toán tú đ%a phương hóa trong m®t so trưòng hop
đoi vói p.
Vói mong muon hieu biet sâu hơn ve giái tích thòi gian-tan so,
các van đe liên quan đen ánh pho tong quát và đưoc sn hưóng dan cna
TS Bùi Kiên Cưòng nên trong lu¾n văn tot nghi¾p cna mình tôi lna
chon đe tài:
"Nguyên lý không chac chan, tính dương và b% ch¾n trong Lp
cía ánh pho tong quát"
2. Mnc đích nghiên cNu
Dang và toán tú cna ánh pho tong quát.
Nguyên lý không chac chan cna ánh pho tong quát.
Xét tính dương cna toán tú đ%a phương hoá bang vi¾c sú dung
ánh pho tong quát tương úng.
Toán tú đ%a phương hóa. Tính liên tuc và không liên tuc cna
toán tú đ%a phương hóa trong không gian Lp.


xii

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói muc đích đã nêu ó trên, nhung nhi¾m vu nghiên cúu cna
lu¾n văn là:
+ Nghiên cúu dang, toán tú, nguyên lý không chac chan cna
ánh pho tong quát, tính dương cna toán tú đ%a phương hoá.
+ Nghiên cúu ve toán tú đ%a phương hóa. Tính liên tuc và
không liên tuc cna m®t so lóp toán tú đ%a phương hóa trong không
gian Lp .
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong nghiên cúu: Nguyên lý không chac chan, tính dương
và b% ch¾n trong Lp cna ánh pho tong quát.
Pham vi nghiên cúu: Các bài báo và các tài li¾u trong và ngoài
nưóc liên quan đen nguyên lý không chac chan cna ánh pho tong quát,
tính dương và b% ch¾n trong Lp cna toán tú đ%a phương hoá.
5. Phương pháp nghiên cNu
Phương pháp nghiên cúu lý thuyet.
Phương pháp phân tích, tong hop.
6. DN kien ket quá nghiên cNu
Giói thi¾u tong quan ve giái tích thòi gian-tan so và các dang
bieu dien cna các lóp thòi gian-tan so.
Đi sâu nghiên cúu ve m®t so van đe liên quan đen ánh pho tong
quát.


1

Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1

M®t so không gian hàm

N®i dung cna phan này đưoc tham kháo ó [1], [2], [3], [4].
1.1.1 Không gian Lp, các bat đang thNc trong không gian Lp,
công thNc tích ch¾p
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho không gian E và m®t đ® đo µ trên m®t σ-đai
so F các t¾p con cna E. Ho tat cá các hàm f có lũy thùa b¾c p (1 ≤ p <
∞) cna modun khá tích trên E, có nghĩa là:
¸
p
|f | dµ < ∞,
E

đưoc goi là không gian Lp(E, µ).
Đ%nh lí 1.1.1. Lp(E, µ) là không gian Banach có chuan đưoc xác đ%nh
bói:

p

¸ |f (x)|
dx .
= p
1

"f"Lp

E

H¾ quá 1.1.1. Neu m®t dãy {fn} h®i tn trong Lp(E, µ) thì nó chúa m®t
dãy con {fnk } h®i tn hau khap nơi.


Đ%nh lí 1.1.2. Neu µ(E) < ∞ và 1 ≤ p ≤ q < ∞ thì
1

"f"p ≤ "f"q (µ(E))

p

1

−q

và Lq(E, µ) ⊂ Lp(E, µ) ⊂ L1(E, µ).

H¾ quá 1.1.2. Không gian Lp(E, µ) tách đưoc.
Đ%nh lí 1.1.3 (Bat đang thúc Ho¨lder). Giá sú (E, F, µ) là m®t
không gian đ® đo. Neu f, g là nhung hàm đo đưoc xác đ%nh trên E và
p, q là
1 1
hai so thnc sao cho 1 < p < ∞ và + = 1 thì:
p q

p1 ¸
 q1
¸
¸
p
q



(1.1)
|fg| dµ ≤
|f dµ
|g| dµ .
|
E
E
E

Đ%nh lí 1.1.4 (Bat đang thúc Minkowski). Neu f, g là nhung hàm
đo đưoc xác đ%nh trên E và p là so thnc sao cho 1 ≤ p < ∞ thì:
|f |
1p
 |g|p
 p1

1 q
 p
¸
.
(1.2)
¸
¸
 |f + g|p dµ ≤ 





+
E

E

E

Đ%nh lí 1.1.5 (Bat đang thúc Young). Giá sú f ∈ L1(Rn) và g ∈ Lp(Rn)
¸
thì tích phân f (x − y)g(y)dy là ton tai hau khap nơi theo x ∈ Rn.
Rn

Neu
giá tr% cúa tích phân này đưoc ký hi¾u bói (f ∗ g) (x) thì f ∗ g ∈ Lp
(Rn)

||f ∗ g| |p ≤ "f"1 · "g"p.

(1.3)

Đ%nh nghĩa 1.1.2. Cho f ∈ L1(Rn), g ∈ Lp(Rn) vói 1 ≤ p ≤ ∞. Khi
đó
¸
ta goi hàm so (f ∗ g) (x) = f (x − y)g(y)dy là tích ch¾p cna hai
Rn

hàm

f và g.
1.1.2 Không gian hàm cơ bán


Vói Ω là m®t t¾p con mó cna Rn chúng ta có:


Đ%nh nghĩa 1.1.3. Không gian các hàm cơ bán đưoc kí hi¾u là D(Ω),
là không gian gom tat cá các hàm ϕ ∈ C∞(Ω). V¾y D(Ω) = C∞(Ω). Các
0

0

hàm thu®c D(Ω) đưoc goi là hàm thú (hay hàm cơ bán).


Đ%nh nghĩa 1.1.4. Dãy {ϕj} j= các hàm trong D(Ω) đưoc goi là h®i tu
1

đen hàm ϕ ∈ D(Ω) neu thóa mãn hai đieu ki¾n sau:
1. Có m®t t¾p compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 0, 1, 2, ...
2. lim sup |Dαϕj (x) − Dαϕ(x)| = 0, vói moi α ∈ Nn.
0

j→∞

Khi đó ta viet là ϕj → ϕ khi j → ∞ trong D(Ω).
é đây vói moi đa chí so α = (α1, α2, ..., αn) ∈ 0 ta có:
α2

Nn
α

α

1

2

|α|

α
αn
1
2
D
∂ ϕ = D D ...D ϕ = (−i)

α1



... ∂

α

α2

1

2

∂x 1 ∂x

n

αn

∂x

ϕ.
αn
n

Đ%nh lí 1.1.6. Không gian D(Ω) là đay đú.
1.1.3 Không gian hàm suy r®ng Dr(Ω)
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Moi phiem hàm tuyen tính liên tuc trên D(Ω) đưoc
goi là m®t hàm suy r®ng trong Ω. Không gian tat cá các hàm suy r®ng
trong Ω, đưoc kí hi¾u là Dr(Ω). Hàm suy r®ng còn đưoc goi là phân bo.
Hàm suy r®ng f ∈ Dr(Ω) tác đ®ng lên moi ϕ ∈ D(Ω) đưoc viet là (f,
ϕ).
Nh¾n xét 1.1.7. Tính liên tuc và tuyen tính cna hàm suy r®ng
f ∈ Dr(Ω) đưoc hieu như sau:
1. Tính tuyen tính: vói moi ϕ, ψ ∈ D(Ω), vói moi λ, µ ∈ C ta có:
f (λϕ + µψ) = λf (ϕ) + µf (ψ).
2. f liên tuc khi và chí khi vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, ton tai Cj >
0
và N ∈ Z+ sao cho: |f (ϕ)| ≤ C sup |Dαϕ(x)|, |α| ≤ N .
K,α

Chúng ta xét các ví du sau:


1 (Ω) sao cho:
Ví dn 1.1.8. Cho f ∈ Llo
c
¸

f : ϕ ›→ (f, ϕ)

f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω).

=


Khi đó f là hàm suy r®ng.
Chúng minh.
+ Ta thay ngay f là tuyen tính.
+ Ta có f liên tuc, vì ϕ ∈ D(Ω) do đó ϕ có giá là t¾p compact nam trong
Ω khi đó ton tai Kj trong h¾ thong các t¾p compact sao cho supp ϕ ⊂ Kj
, ton tai Cj > 0 và N = 0 sao cho:
.
.
.. ¸
.. ¸ |f (x)| |ϕ(x)|dx
|f (ϕ)| = . f (x)ϕ(x)dx. ≤
.
.
.
.
j
K
¸Ω


|f (x)|dx · sup |ϕ(x)|
Kj

Kj

= Cj sup {|Dαϕ(x)| | |α| = 0} .
Kj

Tù đây ta suy ra đieu phái chúng minh.
Ví dn 1.1.9. Chúng minh rang hàm Dirac
δ : ϕ ›→ (δ, ϕ) = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω)
là hàm suy r®ng.
Chúng minh.
+ Ta có δ là tuyen tính. Do:
(δ, ϕ1 + ϕ2) = (ϕ1 + ϕ2)(0) = ϕ1(0) + ϕ2(0) = (δ, ϕ1) + (δ, ϕ2) .
(δ, λϕ) = (λϕ)(0) = λ ϕ(0) = λ (δ, ϕ) .


+ Ta có δ liên tuc, vì ϕ ∈ D(Ω) do đó ϕ có giá là t¾p compact nam trong
Ω khi đó ton tai Kj trong h¾ thong các t¾p compact sao cho supp ϕ ⊂
Kj , ton tai Cj = 1 và N = 0 sao cho:
|δ(ϕ)| = |ϕ(0)| ≤ sup |ϕ(x)|
Kj

= sup {|Dαϕ(x)| |α| = 0} .
Kj,α

Tù đây suy ra ta có δ là hàm suy r®ng.
Đ%nh nghĩa 1.1.6 (Đao hàm cna hàm suy r®ng). Cho f ∈ Dr (Ω),
α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Nn. Đao hàm cap α cna hàm suy r®ng f trong

kí hi¾u bói Dαf , là ánh xa tù D (Ω) vào C đưoc xác đ%nh như sau:
|α|

Dαf : ϕ ›→ (−1)

(f, Dαϕ) , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + ... + αn.

Đ%nh lí 1.1.10 (Công thúc Leibniz). Cho u ∈ Dr(Ω), f ∈ C∞(Ω) và
α ∈ + thì
.
α β
α
α−β
:
n
D
(fu)
=
.
.D f D
u.
Z
β
β≤α
n!
.
1
..
2
.
, khi β ≤ α.
. .
. n.
α
α
α =
Trong
α...
đó
=
β

β1
β2

βn

β!(α − β)!

Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho fk, f ∈ Dr (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rang,
dãy


{fk}k= h®i tu đen f trong Dr (Ω) khi k tien ra vô cùng neu:
1

lim
k→∞

(fk, ϕ) = (f, ϕ) , vói moi ϕ ∈ D (Ω) .

Kí hi¾u Dr_ lim fk = f .
k→∞

Đ%nh lí 1.1.11. Không gian các hàm suy r®ng Dr(Ω) là đay đú.


1.1.4 Không gian các hàm giám nhanh S (Rn)
Đ%nh nghĩa 1.1.8. Không gian các hàm giám nhanh, đưoc kí hi¾u
..
S (Rn) là
t¾p. hop đưoc xác đ%nh
bói: .
S (Rn) = ϕ ∈ C ∞ (Rn) xαDβϕ (x) ≤ cα,β, ∀x ∈ Rn, ∀α, β ∈ Zn
.
..
.
+

cùng vói khái ni¾m h®i tu đưoc đ%nh nghĩa như sau:


Dãy {ϕk}k= trong .S (Rn) đưoc goi là h®i tu. đen ϕ ∈ S (Rn) neu:
1
sup. xαDβϕk (x) − xαDβϕ (x). = 0, ∀α, β ∈ Zn .
lim
+

k→∞ x∈Rn

Kí hi¾u S_ lim ϕk = ϕ.
k→∞

Chú ý 1.1.12.
1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn) là giám nhanh, nghĩa là vói moi α, β ∈ Zn+ có
.
.
α β
.
.x D ϕ (x) ≤ cα,β, vói moi x ∈ Rn khi và chí khi m®t trong hai đieu
ki¾n sau đưoc thóa mãn:
a) Vói moi m ∈ Z+, β ∈ Z+n có
m.
.
.Dβϕ (x). ≤ cm,β , ∀x ∈ Rn
.1 + |x|
2

.

Hay
b)

Vói moi m ∈ Z+

m

.1

+ |x|

.

.

.
n
.
|β|≤m .D ϕ (x) ≤ cm, vói moi x ∈ R .
β

2

.

2. Vói moi α ∈ Z+n , phép toán đao hàm Dα là ánh xa tuyen tính liên tuc
tù S (Rn) vào S (Rn).
3. Vói moi λ, µ ∈ C, ϕk, ψk, ϕ, ψ ∈ S (Rn) , k = 1, 2, . . .
ϕk = ϕ và ψk = ψ thì
Neu S_ lim
k→∞

lim
k→∞

S_ lim (λϕk + µψk) = λϕ + µψ.
k→∞

4. T¾p C0∞ (Rn) trù m¾t trong không gian S (Rn).
Đ%nh lí 1.1.13. Không gian S (Rn) là đay đú.


1.1.5 Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn)
Đ%nh nghĩa 1.1.9. Cho hàm suy r®ng f ∈ Dr (Rn). Hàm suy r®ng f
đưoc goi là hàm suy r®ng tăng ch¾m neu ton tai m®t so tn nhiên m và
m®t so dương C sao cho:
|(f, ϕ)| ≤ C sup .1 + |x| .m
n
x∈R

2

.

|Dαϕ (x)|, vói moi ϕ ∈ D (Rn) .

|α|≤m

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m là không gian véctơ gom tat
cá các hàm suy r®ng tăng ch¾m, đưoc kí hi¾u là S r (Rn).
Nh¾n xét 1.1.14. Không gian hàm suy r®ng tăng ch¾m S r (Rn) là
không gian các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên S (Rn).
Đ%nh nghĩa 1.1.10. Cho fk, f ∈ S r (Rn) , k = 1, 2, .... Dãy


k=
1

đưoc

{fk}
goi là h®i tu trong S r (Rn) đen hàm f ∈ S r (Rn), kí hi¾u S r _ lim fk = f
k→∞
,
neu thóa mãn hai đieu ki¾n sau:
Có m®t so tn nhiên m và m®t so dương C sao cho:
.m .
|(fk, ϕ)| ≤ C sup
|Dαϕ (x)|, ϕ ∈ C ∞ (Rn) , k = 1, 2, ...
.
1
+
|x|
n

1.

x∈R

|α|≤m

0

2
2.



Dãy {fk}k= là h®i tu trong Dr (Rn) đen f .
1

Chúng ta xét các ví du sau:
N


Ví dn 1.1.15. Cho v ∈ L1,loc. và |v(x)|
. .. ≤ C(x) vói N ∈ N nào đó, ta
có v ∈ Sr(Rn). é đây (x) = 1 + x2 1 2 .
. .

Chúng minh. Th¾t v¾y:
.
.

.. ¸
|(v, ϕ)| = . vϕdx . ≤ |v(x)| |ϕ(x)| dx
.
.
.
.
,N
, ¸
N



Csup

N +n+1

(x)
Rn

−n−1

|ϕ(x)| |x ∈

≤ Cr p N +n+1(ϕ), vói moi ϕ ∈ S.

(x)

dx

N

(1.4)


N
22

Trong đó pN (ϕ) = sup .1 + |x|
Rn

.

.

|Dαϕ (x)| .

|α |≤N

Tù đó suy ra v liên tuc và ta có v là tuyen tính. Do đó v ∈ Sr(Rn).
Ví dn 1.1.16. Chúng minh rang hàm Dirac
δ : ϕ ›→ (δ, ϕ) = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω)
và đao hàm cna nó Dαδ là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m trong S r .
Chúng minh.
..
1. Vói moi α ∈ Nn ta có |(Dαδ, ϕ)| =. .Dαϕ(0) ≤
p
suy ra Dαδ liên tuc.

.

.

(ϕ), ∀ϕ ∈ S. Tù đó
|α|

2. M¾t khác ta de chúng minh đưoc Dαδ là tuyen tính.
Do đó ta suy ra đieu phái chúng minh.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho u là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m, vói moi
đa chí so α đao hàm cna u ký hi¾u ∂αu đưoc xác đ%nh bói:
(∂αu)(ϕ) = (−1)|α|u(∂αϕ), ϕ ∈ S(Rn).
Nh¾n xét 1.1.17. Đao hàm ∂αu cũng là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m.
Neu ϕk ⊂ S(Rn) sao cho ϕk → 0 trong S(Rn) thì
∂αϕk → 0 trong S(Rn) khi k → ∞.
Do đó (∂αu)(ϕk) → 0 khi k → ∞.
V¾y ∂αu : Sr(Rn) → Sr (Rn) là ánh xa tuyen tính liên tuc.
Đ%nh lí 1.1.18. Không gian S r (Rn) là đay đú.
Nh¾n xét 1.1.19. Chúng ta có
S(Rn) ⊂ Lp(Rn) ⊂ Sr(Rn), vói 1 ≤ p ≤ ∞.


1.1.6 Các toán tN cơ bán
Đ%nh nghĩa 1.1.12. Vói x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈ S (Rn) ta đ%nh nghĩa
các toán tú sau đây:
1. Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u Txf là m®t "sn d%ch chuyen
thòi gian" đưoc xác đ%nh bói:
Txf (t) = f (t − x) .
2. Sn đieu bien theo ω cna f , kí hi¾u Mωf đưoc xác đ%nh bói:
Mωf (t) = e2πit·ωf (t) .
3. Phép đoi hop cna f , kí hi¾u f ∗ đưoc đ%nh nghĩa bói:
f ∗ (x) = f (−x).
4. Toán tú đoi xúng cna f , kí hi¾u f˜ đưoc xác đ%nh bói:
f˜(x) = f (−x) .
Tính chat: Vói x, ω ∈ Rn và f ∈ S (Rn) ta có các tính chat
sau:
1. TxMω = e−2πix·ωMωTx.
2. "Tx Mω f"Lp = "f"Lp .
3. (f ∗ g)(x) = (f, Txg∗) .

1.2

Bien đoi Fourier

N®i dung phan này chn yeu đưoc tham kháo tù [3], [9], [12].
1.2.1 Bien đoi Fourier cúa các hàm thu®c Lp (Rn) và S (Rn)
Đ%nh nghĩa 1.2.1. Bien đoi Fourier cna hàm f ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là
fˆ ho¾c Ff , là m®t hàm đưoc xác đ%nh bói
¸
fˆ(ω) = f (x) e−2πix·ωdx , ω ∈ Rn.
(1.5)
Rn


≤ "f" .

Nh¾n xét 1.2.1.
1. Tù (1.5) ta suy ra f
ˆ

1



2. Ta dùng kí hi¾u F (f ) đe nhan manh rang phép bien đoi Fourier là
m®t toán tú tuyen tính tác đ®ng trên m®t không gian hàm f ∈ L1 (Rn).
3. Ngoài đ%nh nghĩa bien đoi Fourier như trên ta còn có the đ%nh nghĩa
bien đoi Fourier theo m®t cách khác như sau:


ˆ
f (x) e−ix·ωdx.
Ff (x) = f (ω) = (2π)

(1.6)

2

Rn

4. Neu f là m®t tín hi¾u, thì ω là m®t tan so và fˆ(ω) đưoc hieu là biên
đ® cna tan so ω cna¸ tín hi¾u f . Trong v¾t lý, ω đưoc goi là bien đ®ng
lưong. Do đó f −2 .f
là xác suat cna chat điem trong trang
. (ω).2dω
.

ˆ
.
2 I

thái f có đ®ng lưong cna nó trong mien I ⊂ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Cho f ∈ L1 (Rn). Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm
f , kí hi¾u F −1f ho¾c fˇđưoc đ%nh nghĩa bói
fˇ(x) =

¸

f (ω) e2πix·ωdω , x


Rn,

(1.7)

Rn

và theo (1.6) ta có
F

−1



f (x) = (2π)



2

f (ω) eix·ωdω , x ∈ Rn.

(1.8)

Rn

˜
Tù đ%nh nghĩa trên ta có F −1 f = f ˆ.
Đ%nh lí 1.2.2. Neu f ∈ L1(Rn) fˆ ∈ L1 (Rn) thì neu theo (1.5) ta


¸
f (x) = fˆ(ω) e2πix·ω dω , x ∈ Rn
Rn

và theo (1.6) ta


−2
f (x) = (2π)

Rn


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×