Tải bản đầy đủ

Nghiên cứu tính chất từ và nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại

BỘ GIÁO
LỜI CẢM
ƠNDỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Tôi xin bầy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến PGS.TS.
Lưu Thị Kim Thanh, cô đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện cho tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học và
thầyTHỊNH
cô trong Khoa Vật lý đã
ĐỖcác
NGỌC
giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình
học và luận văn tốt nghiệp này.
Cuối cùng tôi xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên
tôi, cổ vũ, động viên tôi và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT TỪ

VÀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM
thành luận văn.

Hà nội, tháng 11 năm 2011
Tác giả

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ
Đỗ Ngọc Thịnh

HÀ NỘI, 2011


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn này không
trùng lặp với các đề tài khác.
Tác giả

Đỗ Ngọc Thịnh


3

M U
6

Kim loi l loi vt rn cú tớnh dn in tt, dn in vo khng t 10
8

n 10 1 m-1. ú l vỡ trong kim loi cú cha rt nhiu electron cú th chuyn
ng t do khp tinh th kim loi. Nu mi nguyờn t cho mt electron thỡ trong
3

22

1cm ó cú khong 10 electron húa tr, liờn kt rt yu vi cỏc lừi nguyờn t.
Chỳng cú th chuyn ng t do trong tinh th tr thnh cỏc ht ti in, quyt
nh tớnh dn in ca kim loi, nờn c gi l cỏc electron dn [ 4], [5], [6].
Nu coi mt cỏch n gin rng cỏc in t t do ny khụng tng tỏc vi
nhau (núi chớnh xỏc hn l coi rng chỳng ch tng tỏc vi nhau theo mt cỏch


duy nht l va chm), thỡ khi ú cỏc in t ny to thnh mt cht khớ lý tng,
cũn nu coi cỏc in t ny cú tng tỏc vi nhau thỡ chỳng to thnh mt cht
lng. Vic nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim
loi ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh khoa hc trong v ngoi nc c v lý
thuyt ln thc nghim.
Tựy vo vic dựng hm phõn b no xột khớ in t t do m ta s cú
cỏc lý thuyt khỏc nhau [1], [2], [3]:
- Lý thuyt Drude, coi cỏc in t t do cú cựng mt giỏ tr nng lng, ta cú h
khớ c in n gin nht.
- Nu dựng phõn b Maxwell - Boltzmann c in, h khớ in t t do l h khớ
c in, c kho sỏt trong Lý thuyt Lorentz.
- Lý thuyt Sommerfeld dựng phõn b Fermi - Dirac lng t, h khớ in t t
do l h khớ Fermi lý tng.
Các tính toán lý thuyết đợc xây dựng đối với mô hình lý
tởng, do đó vẫn có những sai khác giữa kết quả lý thuyết và
thực nghiệm thu đợc. Khi đó ngời ta thờng dùng các phơng
pháp gần đúng để giải quyết. Nhóm lợng tử mà cấu trúc nó là
đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, là một
phơng pháp gần đúng của lí thuyết trờng lợng tử.


Nhóm lợng tử và đại số biến dạng đợc khảo sát thuận lợi
trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng. Trong
những năm gần đây việc nghiên cứu nhóm lợng tử và đại số
biến dạng đợc kích thích thêm bởi sự quan tâm ngày càng
nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống kê
Bose - Einstein và thống kê Fermi - Dirac nh thống kê para
Bose, para - Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng....,
với t cách là các thống kê mở rộng [7, 8, 9, 10]. Cho đến nay
cách mở rộng đáng chú ý nhất là trong khuôn khổ của đại số
biến dạng.
Trong quỏ trỡnh hc tp, tụi ó nhn thc c vic nghiờn cu tớnh cht
t v nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi l mt vic cú ý ngha khoa
hc trong nhiu lnh vc ca khoa hc k thut v i sng. Vỡ vy tôi đã
chọn
đề tài Nghiờn cu tớnh cht t v nhit dung ca khớ in t t do
trong kim loi.
Mục đích của đề tài là nghiờn cu mt cỏch cú h thng, y
v cỏc thuyt nhit dung ca khớ in t t do trong kim loi c c in
v lng t; Nghiờn cu cỏc tớnh cht t ca khớ in t t do. Xây dựng
phõn b Fermi - Dirac bin dng bằng phơng pháp lí thuyết trờng
lợng tử. p dng phõn b Fermi - Dirac bin dng -q kho sỏt h khớ
in t t do trong kim loi, tớnh nhit dung v cm t ca khớ in t t
do; S dng phn mm toỏn hc tớnh nhit dung i vi mt s kim loi c
th, thụng qua vic bin lun tham s bin dng q cho kt qu lý thuyt phự
hp tt vi kt qu thc nghim.
Cỏc phng phỏp chớnh ca ti l phng phỏp gii tớch toỏn hc,
phng phỏp lý thuyt trng lng t v cỏc phng phỏp nghiờn cu ca vt
lý cht rn.


Chương 1
LÝ THUYẾT VỀ NHIỆT DUNG CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TỰ DO
TRONG KIM LOẠI
1.1 Lý thuyết cổ điển về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Lý thuyết cổ điển về điện tử tự do đã được Drude và Lorentz xây dựng
vào khoảng đầu thế kỷ XX. Theo lý thuyết này, lực tương tác giữa các electron
hóa trị với các lõi nguyên tử được giả thiết là yếu, không đáng kể. Các electron
dẫn được coi như một chất khí lí tưởng tự do, không tương tác. Khi chuyển
động, các electron dẫn có thể va chạm với lõi nguyên tử, giữa hai lần va chạm
liên tiếp electron chuyển động hoàn toàn tự do.
1.1.1. Lý thuyết Drude
Các giả thuyết chính của Drude bao gồm:
- Các điện tử tạo thành khí, chuyển động nhiệt hỗn loạn vô hướng.
- Tại cùng một nhiệt độ, tất cả các điện tử đều có năng lượng như nhau:
2



mv T
2



3
2

kT (với vT 

3kT
m )

- Khi có điện trường tác dụng lên hệ thì có thêm thành phần chuyển động
có hướng, gọi là cuốn theo hướng của điện trường với tốc độ cuốn là

vd ,

tuy vậy:
vd << vT

Sau mỗi lần va chạm, điện tử mất hoàn toàn chuyển động có hướng mà nó đã
có trước đó.
1.1.2. Lý thuyết Lorentz
Theo thuyết electron cổ điển, các electron dẫn trong kim loại được xem
như chất khí electron lý tưởng. Các electron tự do tham gia vào chuyển động
nhiệt hỗn độn, va chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với


chúng. Lực tương tác giữa các electron này với các lõi nguyên tử được giả thiết
là yếu không đáng kể. Khi đó, năng lượng toàn phần của các electron chỉ bao
gồm động năng, bỏ qua thế năng. Các electron tự do này tuân theo định luật
phân bố vận tốc Maxwell - Boltzmann.


f (v)  4

m 



.e

 2kT 

.v

2

3

mv
2k
T

(1.3)

2



Từ hàm phân bố này ta sẽ đi xác định giá trị của vận tốc vT


v =  v . f (v)dv  4 
2

2
T

0

= 4

 vT 



3

m  v 2 .v 2
 .e
 2kT  0



mv

2

2kT

dv

 m 3 3

kT
 .

5  3
m
 2kT  8
 m 


 2kT 

3 kT m

(1.4)

Động năng trung bình của một phân tử khí:
2

E đ

mv T
2



3
2

kT

Vì động năng trung bình của chuyển động nhiệt của các electron có thể coi là
bằng động năng trung bình của các ion trong mạng, nên ta nói mỗi electron có
năng lượng là
 đ 3

(1.5)

kT
2

1.1.3. Nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Giả sử có N nguyên tử kim loại, mỗi một ion dao động của mạng tinh thể ứng
với một điện tử tự do. Khi đó năng lượng trung của các điện tử tự do trong kim
loại bằng
E  N. đ  3 NkT  3
2
RT
2

Ở đây

N: là hằng số Avôgađrô.

(1.6)


k: là hằng số Boltzmann.
R: là hằng số khí, R  1,99 Kcall/độ.
Vậy nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại là:
C 
el

dE
dT



3

(1.7)

R
2

Mặt khác, như ta đã biết đóng góp của dao động mạng tinh thể vào nhiệt dung
ở các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) là:
 ion  3NkT  3RT

(1.8)

 C ion  d ion  3R
dT

(1.9)

Khi đó, nhiệt dung của toàn bộ kim loại bao gồm nhiệt dung của ion và nhiệt
dung của điện tử:
CV  Cel  Cion 

3
2

R  3R 

9
2

R

(1.10)

Nhưng thực tế chỉ quan sát thấy C  3R
đối với mọi chất rắn (định luật
V
Duylong - Petit). Vậy tại các nhiệt độ cao (từ nhiệt độ phòng trở lên) chuyển
động của các electron chỉ đóng góp một phần rất nhỏ vào nhiệt dung của kim
loại (chỉ vào khoảng 1/100 giá trị trên).
Vậy nhiệt dung của kim loại tính theo thuyết electron cổ điển là không phù
hợp. Lý thuyết này không chỉ ra được sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung.
Do vậy, ta cần sử dụng lý thuyết lượng tử để nghiên cứu.
1.2. Lý thuyết lượng tử về nhiệt dung của khí điện tử tự do trong kim loại
Năm 1927, sử dụng các khái niệm cơ học lượng tử cho hệ vĩ mô, Sommerfeld
là người đầu tiên đưa ra mô hình khí điện tử tự do đối với kim loại, trong đó sử
dụng thống kê Fermi - Dirac thay cho thống kê cổ điển Maxwell - Botltzmann,
nhờ đó đã khắc phục được nhiều thiếu sót của mô hình cổ điển của Drude và
Lorentz.


Hệ các hạt đồng nhất là hệ các hạt có đặc trưng vật lý giống hệt nhau như có
cùng khối lượng, điện tích, mômen từ, spin... được coi là các hạt đồng nhất.
Trong cơ học lượng tử, khái niệm quĩ đạo của các hạt mất hết ý nghĩa. Thực
ra, chỉ có thể biết mật độ xác suất ở một vị trí đã cho của hạt thuộc hệ đồng nhất
là bao nhiêu. Hơn nữa, ta không thể phân biệt được các hạt trong hệ đồng nhất
dù đã đánh dấu chúng. Đó chính là nội dung của nguyên lí không thể phân biệt
được các hạt đồng nhất.
Theo thuyết lượng tử:
-

Đối với tất cả các hạt có spin nguyên (gọi chung là các Boson) như photon,
 - meson, K-meson... thì không bị hạn chế về số hạt cùng nằm trên một mức

năng lượng, hàm sóng của hệ là đối xứng, nghĩa là không thay đổi khi hoán vị
các hạt. Các hạt Boson tuân theo thống kê Bose - Einstein.
-

Đối với các hạt có spin bán nguyên (gọi là các hạt Fermion) như electron,
proton, neutron, positron... thì chỉ có 0 hoặc 1 hạt cùng nằm trên một mức năng
lượng (nói cách khác là tất cả các Fermion đều phải có năng lượng khác nhau).
Hạn chế này gọi là nguyên lý loại trừ Pauli. Hàm sóng của hệ Fermion là đối
xứng, nghĩa là khi hoán vị hai hạt bất kì cho nhau thì hàm sóng của hệ đổi dấu.
Các hạt Fermion tuân theo thống kê Fermi - Dirac.
1.2.1 Hình thức luận dao động tử điều hòa
Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển
động dọc theo một trục ox nào đó dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F=-kx.
Toán tử Hammiltonian của dao động tử điều hòa một chiều có dạng
Hˆ 

pˆx
2

2



2m

1

kxˆ

2

Với xˆ 
là toán tử tọa độ.
x

pˆ x

d
 i



là toán tử xung lượng.

dx

k
m

là tần số góc của dao động.

(1.11)


Thay toán tử tọa độ xˆ và toán tử xung
lượng

pˆ bằng toán tử tọa độ và xung
x

lượng chính tắc mới qˆ, pˆ ,
xˆ  qˆ  mx
i d
pˆ  pˆ  
x
m dx

(1.12)

Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ :

mx 


i d
( mx) 
m dx

 pˆ , qˆ   pˆqˆ  qˆpˆ


  i
m

Từ (1.12) suy ra

. m

i

mx.

.
m

x  qˆ
m
2 d2
2
pˆ  

m dx

2

i d 

m
dx 

d
 i . mx
 i
dx
dx
m

d

d



2

dx

2

(1.14)

m



(1.13)


2
2

Thay (1.14) vào (1.11) ta được:
(1.15)

1
2
2
Hˆ  ( pˆ  
2

qˆ )

Đặt
qˆ 

2


2

pˆ 
i

aˆ  aˆ 


2



(1.16)

aˆ  aˆ


Khi đó
2

 
 
aˆ  aˆ
aˆ  aˆ .i 2
2




2

aˆ 2  aˆ aˆ  aˆaˆ  aˆ
2

pˆ  i











2

qˆ 



aˆ  aˆ
. 2




2

aˆ  aˆ 







aˆ





2

2

Thay







 aˆ aˆ  aˆaˆ  aˆ 2

vào (1.15) ta được

2

pˆ ,
2


H ˆ  1  

2  2

aˆ




Hˆ 



 aˆ aˆ  aˆaˆ
 aˆ

 2

  1  

2  2



aˆ  aˆ

.
2





aˆ  aˆaˆ  aˆ
2

2

2







(2aˆ aˆ  2aˆaˆ ) 

4











(aˆ aˆ  aˆaˆ )

2

Dựa vào (1.13) ta xét

 pˆ , qˆ   pˆqˆ  qˆpˆ
i

=




Vậy

i


2



2aˆ

aˆ  aˆ  i

 aˆ





2



 aˆ)



(aˆ  aˆ )(aˆ

2

aˆ aˆ  aˆ 2  aˆ  aˆaˆ   aˆaˆ  aˆ  aˆ 2  aˆ aˆ






2





2



2
i

2aˆ
2





aˆ  2aˆaˆ





aˆ aˆ  aˆaˆ  1




 aˆaˆ  aˆ aˆ  1

Hay: aˆ, aˆ   

(1.17)

1

Ta cũng có:
Hˆ  



2
aˆ aˆaˆ



Đặt:








2




1

1
 
aˆ aˆ    aˆ aˆ 

 



(1.18)


2

Nˆ  aˆ aˆ


Xét hệ thức giao hoán giữa toán tử Nˆ với các toán tử aˆ  , aˆ .

Nˆ , aˆ  Nˆaˆ  aˆNˆ  aˆ
Nˆ , aˆ   Nˆaˆ


Vậy:











aˆaˆ  aˆaˆ aˆ  aˆ aˆ  aˆaˆ



aˆ  aˆ

 aˆ Nˆ  aˆ aˆaˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ (aˆaˆ  aˆ aˆ)  aˆ



















Nˆ , aˆ  aˆ

(1.19)

Nˆ , aˆ   aˆ




Kí hiệu n là vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, ta có
phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Nˆ như sau:

n

(1.20)

nn

Từ (1.20) ta có: n 
2

Vì n

   n r 

n

Mà Nˆ , aˆ 

n Nˆ n n aˆ  aˆ n
0
nn 
nn

(1.21)


dr  0

là các toán tử Hermite nên ta có

, aˆ

2

n Nˆ
n



 n aˆ aˆ  aˆ n r  dr 0

n

(1.22)

● Kết luận 1: n  0 nghĩa là các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm.
● Kết luận 2: Nếu n là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, thì
aˆ n

cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1),
2

aˆ n

... aˆ p
n

cũng là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n2), là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-p)...

ˆ
Và aˆ  n là hàm riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n+1),


2

n

... aˆ 
P

n

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+2),
là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n+p)...

Ta dễ dàng chứng minh được kết luận này như sau:
Nˆ n

nn

Mà Nˆ , aˆ   aˆ
 Nˆ aˆ  aˆ  aˆNˆ
 Nˆ aˆ  aˆ  aˆNˆ n
n
n


 Nˆ aˆ
n

 aˆNˆ – aˆ
n
n

 aˆn
n

– aˆ
n

 n  1aˆ n


13

Vậy aˆ

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-1).

n

Ta có:

Nˆ , aˆaˆ  aˆ

2

 Nˆ aˆ  aˆNˆ aˆ  aˆ
2

2
 Nˆ aˆ
n


aˆNˆ aˆ
n

2

– aˆ n

 aˆ n  1aˆ
n
2
 n  1aˆ
n

Vậy aˆ 2

2

– aˆ
n

2

– aˆ
n

2

 n  2aˆ n
2

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n-2).

n

Chứng minh tương tự ta được aˆ p
n

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị

riêng (n-p)...
Đối với vector trạng thái


n



, ta cũng tác dụng lên vector trạng thái này

toán tử Nˆ và sử dụng công thức (1.19) ta có:

Nˆ aˆ


 aˆ Nˆ  aˆ n
n
n

 Nˆ aˆ
n



 aˆ n  aˆ
n
n

Vậy aˆ 
n





 (n  1)aˆ n

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n +1).

Ta có: Nˆ , aˆ  aˆ   aˆ  2

2
 Nˆ aˆ 2

 (n  2)aˆ n
n
2

Điều này chứng tỏ aˆ 
n

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n

+2).
...Tương tự ta cũng chứng minh được
trị riêng (n+p)...



p

n


14

là hàm riêng của toán tử Nˆ ứng với

● Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin=0.
Vì n  0  nmin=0.
Trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất này là trạng thái chân không: n  0
Trạng thái chân không được xác định bởi phương trình aˆ 0  0


Vì từ kết luận 2 ta thấy, n là trị riêng của toán tử Nˆ thì chuỗi các số không
âm (n-1), (n-2), (n-3)... cũng là trị riêng của toán tử Nˆ . Chuỗi này giảm dần
nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất để aˆ nmin  0 .
Nếu aˆ nmin 

thì đó là vector trạng thái ứng với trị riêng nmin - 1< nmin, điều

0

này trái với giả thiết nmin là nhỏ nhất.
Vậy aˆ nmin 
0

hay aˆ  0 .
0

Trong trạng thái chân không này ta cũng có:
aˆ 0

 0 tỉ lệ với trị riêng 1 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n=1.



aˆ 2
0

... aˆ 

 0 tỉ lệ với trị riêng 2 của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n=2.
 0 tỉ lệ với trị riêng n của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n.

n

0

ˆ
ˆ
Từ công thức (1.18) ta có: H   N 


1

2

(1.23)

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử năng lượng
Hˆ n

En

(1.24)

Từ (1.23) ta cũng có:
1

H ˆ n   Nˆ  1 
 n
 n
 n 2
2 




(1.25)

Từ (1.24) và (1.25) suy ra: E   n  1 


n


(1.26)

2

Nên: 0 là vector riêng của toán tử Hˆ ứng với trị
riêng

1
E   .
0
2

1

E  1   .
1
riêng

2
1

E   n   .
... n là vector riêng của toán tử Hˆ ứng với trị riêng n  2 
1 là vector riêng của toán tử Hˆ ứng với trị

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn
với các giá trị cách đều nhau. Hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau
luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  .



Trạng thái 0

ứng với mức năng lượng thấp nhất là E0.

Trạng thái 1 ứng với mức năng lượng là E1= E0+  , có thể được xem là kết
quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0
Trạng thái 2

ứng với mức năng lượng thấp nhất là E2= E1+  , có thể được

xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng 

vào trạng thái 1 ,

hay thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 ...
Nếu lấy gốc năng lượng là

E
0



thì En  n.

2

Ta có thể coi 0 là trạng thái không chứa lượng tử năng lượng nào.
1

là trạng thái chứa một lượng tử năng lượng.

... n là trạng thái chứa n lượng tử năng lượng.
Toán tử Nˆ có các trị riêng không âm, cách nhau một đơn vị được đoán
nhận là toán tử số lượng tử năng lượng nên gọi Nˆ là toán tử ‘‘số hạt’’.
Toán tử aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng
thái

n  1 , do đó aˆ

được

đoán nhận là toán tử ‘‘hủy’’ lượng tử năng lượng, hay aˆ được gọi là toán
tử ‘‘hủy’’ hạt.
Toán tử aˆ khi tác dụng lên trạng thái n cho trạng thái n  1 , do đó aˆ  được


đoán nhận là toán tử ‘‘sinh’’ lượng tử năng lượng, hay aˆ gọi là toán tử ‘‘sinh’’

hạt.
Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể
coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  .
Cuối cùng, ta đi tính các hệ số n Nˆ trong các hệ thức
n
aˆ n   n n  1


aˆ n   n n  1
n   n aˆ n 0

Để cho các vector trạng thái là trực giao, chuẩn hóa

(1.27)


m n   m,n

(1.28)
n Nˆ n
n n  n Nˆ
n

Từ (1.21) và (1.28) ta có n 

Vì aˆ,


(1.29)

là các vector Hermite nên:



n aˆ   n  1
n
*

*

- n aˆ   n n  1

n  n Nˆ n  n aˆ  aˆ n
*

 n  1 n 
n
n
2
1
n
n

Coi  là số thực nên  n 
n

2

n1n1

n

Mặt khác ta lại có:
n  n Nˆ
n
 n aˆaˆ
n



 n aˆaˆ  1 n


– n n

*

 n1 n1  1
n
n
2
n  1

Coi  n là số thực nên:  n 


aˆ n 0 


 n 1







 n 1

n1.
11

0
 1aˆ  n 
2


aˆ 1  1  n  2


2

... 
1.2...n


  n

2

1

 n n

n

n
n!

n!

Vậy ta có các công thức sau:
aˆ n 

n

a
ˆ



n 


n1
n1

n 

n1
1

aˆ n
n n!

(1.30)


Yếu tố ma trận của aˆ, aˆ  , Nˆ trong n biểu diễn có thể tính nhờ các biểu
thức
sau:
,

,

n

n n n1


n aˆ n


,

n ,n1



,

n aˆ n  n  1 n , n  1 
,
n Nˆ
n

n  1 n, ,n1

n n, ,n

,

nn n 

Dạng ma trận của các toán tử aˆ, aˆ  , là:


0

1


0
aˆ  0
0


0
0
...

0

0

1

0
ˆN   0

...

0




0

0

...

2
0

0 ...
3 ...

...

...

...

0

0

...



... 
... 
... 


...

0

0

0

2

0

0

0

3

0

... ... ...
0
0 0

aˆ 


0

 1
0

0

...



n
1

0

0

...

...

0

...

2
0
...

0
0
3
...

...
...

0

0

0

...
...
...
...







... 

...


n1

...

...
...

...

n


(1.31)

1.2.2 Dao động tử Fermion, thống kê Fermi - Dirac
1.2.2.1 Dao động tử Fermion
Các hạt Fermion được đặc trưng bởi các toán tử sinh hạt, hủy hạt Fermion

bˆ ,
và toán tử số hạt Nˆ  bˆ  bˆ .
ˆ
b

Hàm sóng của hệ N hạt Fermion đồng nhất  k ,k ,,,k
1

2

N

(x1 , x2 ,...xN
)

có thể lựa chọn

là tổ hợp tuyến tính của tích các hàm sóng  k x1  của từng hạt Fermion
k ,k ,...k
1

2

N

x1 , x2

,...xN  

1
v

 1 P

N! v


v

k

(x1 )k (x2 )... k (xN )
N

k x1   (x )
k
2

...

1

1

(x )
1 k 2 1
= N! ...
k (x1 )
N

k (x N )
1

k (x 2) ... k (x N )
2

...
 k (x2)
N



2

2

...
...

Xét trạng thái được mô tả bởi hàm sóng  (0) .

...
 k (x N )
N

(1.32)



bˆ  (0)  
k

k

(1.33)

(x)

Tác dụng liên tiếp các toán tử sinh hạt Fermion lên trạng thái  (0) ta được
 
bˆ bˆ  (0) 

k1

1

 (1)



k2

2!
1



v

P
v

v



2!

bk bk bk  (0)
1

2



3!

3

1



1

k2

2



v


( 1) Pv  k (x1 )k (x2 )k (x3 )
1

v



3!



1

2

1



k1



(x1 )k (x2 )  k (x2 )k2 (x )
1

k

1
ˆ ˆ  ˆ

(x )

(x )

k

2

3

(x1 )k (x2 )k3 (x3 ) 

1

k

2

  k (x2 )k
1



(x1 )k (x3 )k (x2 )
1

2

3

(x1 )k (x3 )   k (x3 )
2

k

3

1

(x2 )k (x1 )
2

 k (x2 )k (x3 )k (x1 )   k (x3 )k

... bˆ  bˆ  ...bˆ   (0) 

1

3

(x ) (x )...

2

1
k1

k2



k

 (1)

v

v

k1

1

k2

2

2
3

(x )

P

N!

N

1

kN

3

(x1 )k (x2 ) 



(1.34)

N

v

Khi hoán vị ki , k
j

thì tổng (1.34) đổi dấu, do đó hàm sóng đổi dấu. Ta có:











bˆ bˆ bˆ bˆ ...bˆ  (0)  bˆ bˆ bˆ bˆ ...bˆ  (0)
k,

k

k1

k2

k

k

N

 bˆ ˆ
bbˆ  bˆ

k


k,


k,



k



, bˆ




k

k1

k,

k2

kN

  0 (tính chất giao hoán)

(1.35)


k,

Vì toán tử bˆ  liên hiệp với toán tử bˆ nên
k

(1.36)

k

bˆ , bˆ   0
,

k

k

Khi k  k , ta thấy: bˆ  bˆ   bˆ bˆ  0
k

k

k

k

Giả sử trạng thái hệ N hạt Fermion có n1 hạt ở trạng thái k1, n2 hạt ở trạng thái
k2,...ns hạt ở trạng thái ks. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ N hạt Fermion trong
biểu diễn số lấp đầy có dạng:


     

(n , n ,...n )  bˆ  n1 bˆ  n2 ... bˆ  ns
 0 
1

2
s

k1

k2

Với: N = n1 +n2+...ns
Chú ý rằng



ˆ ˆ

k

b b


k

nk



bˆ
nk  0
k
 khi
nk  1
0

ks

(1.37)




khi



 ˆ k

 b


k
l
 bˆ  bˆ 
l k
 (1 


n
Suy ra: bˆ bˆ

 

nl  0

nl

nl  1, l  k



 


) bˆ l nk

nk
k

k

k

 

k

khi l  k

 



bˆ bˆ nl  (1) nl bˆ  nl


k

l

l

(1.38)

k

Sử dụng (1.38) ta xét tác dụng của toán tử

bˆk lên hàm sóng của hệ N hạt


Fermion (n1 , n2 ,...ns ) ta có

  bˆ n2 ...bˆ ns  (0)




bˆ (n , n ,...n )  bˆ bˆ n1
k

1
s

2

k



k1



k2

n  n2 ... nk 1

 (1) 1

ks

bˆ n1 bˆ n2 ...bˆ bˆ nk ...bˆ ns  (0)
)bˆ n1 bˆ n2 ...bˆ 1nk ...bˆ ns  (0)
(1 




k1



k2

k

k

k1



k



 (1)n1  n2 ... nk 1
n



ks



k2



k



ks

v

 (1) (1  nk )(n1 , n2 ,...(1  nk ),...ns )

(Với vk  n1  n2  ...nk 1 : tổng các số lấp đầy đứng trước k).
Vậy



(1.39)

(n1 , n2 ,...ns )  (1) v (1  nk )(n1 , n2 ,...(1  nk
k ),...n )
s
k
bˆk tác dụng lên hàm

(n1 , n2 ,...ns ) và dựa vào định

Tương tự, cho toán tử sóng
nghĩa sau
bˆ (n ,
n
k

1

2

,...0k,...n )  bˆ  (n ,
n
s

k

1

,...1k,...n )
2

s

  1k  (n1 , n2 ,...,0k,...ns )

(1.40)

Với  là hệ số cần xác định.
Ta có thể viết: bˆ (n1 , n2 ,...nk ,...ns ) 
 n k

k

 (n1 , n2 ,...,1 
nk

,...ns )

(1.41)

Với  nk  thỏa mãn điều kiện nk  0  0 .
Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng trong biểu diễn số lấp đầy, ta có:
ˆ
(n1 , n2 ,..., (1  nk ),...ns ) (n1 , n2 ,..., nk ,...ns )
bk
ˆ
 bk (n1 , n2 ,...(1  nk ),...ns ) (n1 , n2 ,...nk ,...ns )



v
(1) k
v

1  (1  nk ) (n1 , n2 ,...1  (1 
nk ),...ns

 (1) k
n
k

(n , n ,...
n
1
s

2

k

,...n ) (n , n ,...
n
1

2

(n1 , n2 ,...nk ,...ns )
v

,...n )  (1) k n
k

s

k


Vậy  nk  = (1) nvk
k

Suy ra: bˆ (n1 , n2 ,...n s )  (1)v n  (n ,
k n
k

k

,...,1  ,...n )
n

1

2

k

(1.42)

s

ˆ ˆ
ˆ
Toán tử N k  bk là toán tử số hạt và nk=0 ;1 (do nguyên lý loại trừ Pauli).
bk
Nˆ (n ,
n
k

1
s

,...
n
2

,...

,...n )  bˆ bˆ (n , n
n
k

k

k

1

2

,...n )

k

 (1) k .n bˆ  (n ,
n
v

,...(1  ),...n )
n



k

k

1

vk

 (1) .nk .(1)k

v

s

2

k

s

1  (1  nk ) (n1 , n2 ,...1  (1  nk ),...ns )

2
k

 n  (n1 , n2 ,...nk ,...n )

Vì nk=0 ;1 nên nk2  nk
Suy ra:

1

2

k

s

k

1

2

k

Nˆ (n , n ,...n ,...n )  n  (n , n ,...n ,...n )

(1.43)

ˆ ˆ

Sử dụng các công thức (1.41),(1.42) ta dễ dàng thấy rằng các toán tử bk , bk
tuân theo hệ thức phản giao hoán sau

bˆ , bˆ   bˆ , bˆ   0
bˆ , bˆ   


l

k

l



k



l

k

(1.44)

l ,k

1.2.2.2Thống kê Fermi - Dirac
Để xây dựng thống Fermi - Dirac ta có thể sử dụng phương pháp lý thuyết
trường lượng tử như sau
Xuất phát từ biểu thức tính trị trung bình của một đại lượng vật lý F, tương
ứng với toán tử Fˆ trên tập hợp chính tắc lớn:

  Hˆ  Nˆ

Tr exp  
Fˆ 
.Fˆ

 

  


Tr exp   Hˆ  Nˆ

trong đó

 : Thế hóa học
Hˆ : Toán tử Hamiltonian của hệ
1

k
T

với k: Là hằng số Boltzmann

(1.45)


T: Nhiệt độ của hệ.
Chọn gốc tính năng lượng là

E
0


2

.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×