Tải bản đầy đủ

Một số phương pháp giải phương trình toán tử

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hùng.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói các thay cô giáo trong
nhà trưòng và các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán Giái tích đã
giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và làm lu¾n văn.
Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè, đong nghi¾p
đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá hoàn thành bán
lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 10 năm 2009

Tác giá


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình cna nghiên cúu cna riêng tôi.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.


Hà N®i, tháng 10 năm 2009

Tác giá


Mnc lnc

Má đau

5

Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%

7

1.1. Không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Khái ni¾m không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Sn h®i tu trong không gian đ%nh chuan . . . . . . .

8

1.2. Toán tú tuyen tính trong không gian đ%nh chuan . . . . . .

10

1.2.1. Toán tú tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2. Toán tú tuyen tính liên tuc

. . . . . . . . . . . . .


11

1.3. Phép tính vi phân trong không gian đ%nh chuan . . . . . .

14

1.3.1. Đao hàm Fréchet trong không gian đ%nh chuan

. .

14

1.3.2. Đao hàm Gateaux trong không gian đ%nh chuan . .

15

1.3.3. M®t so tính chat cơ bán cna phép tính vi phân trong
không gian đ%nh chuan . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. M®t so phương pháp giái
phương trình toán tN

21

2.1. Phương pháp Ritz giái phương trình tuyen tính . . . . . .

21

2.2. Phương pháp Newton – Kantorovich . . . . . . . . . . . .

25

2.2.1. N®i dung phương pháp

. . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2. Sn h®i tu cna phương pháp

. . . . . . . . . . . . .

Chương 3. M®t so Nng dnng
3.1. Các úng dung cna phương pháp Ritz . . . . . . . . . . . .

25
26
32
32


4

3.1.1.

Giái bài toán biên tuyen tính đoi vói phương trình
vi phân thưòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.1.2.

Giái bài toán biên đoi vói phương trình vi phân elliptic 35

3.1.3.

Tìm giá tr% riêng cna toán tú tn liên hop xác đ%nh
dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2. Các úng dung cna phương pháp Newton – Kantorovich . .

41

3.2.1.

Giái phương trình đai so . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.2.2.

Giái phương trình tích phân phi tuyen . . . . . . .

44

Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54


Mé ĐAU

1. Lí do chon đe tài
Nhieu van đe, bài toán trong khoa hoc tn nhiên, kinh te, ky thu¾t,
cu®c song có the dan đen vi¾c nghiên cúu phương trình có dang
Ax = y,

(1)

trong đó A là m®t toán tú tù t¾p X đen t¾p Y , x ∈ X, y ∈ Y .
Phương trình có dang (1) đưoc goi là “ phương trình toán tú ”.
Đã có nhieu nhà khoa hoc noi tieng đe c¾p đen phương trình toán tú
dưói dang tong quát (1) như: Brezis H.R., Browder F.E., Nirenberg L., . . .
ho¾c nhung dang đ¾c bi¾t, cu the khi A là toán tú vi phân thưòng, là toán
tú đao hàm riêng, toán tú tích phân như Lions J.L., . . . Toán tú A có the
là tuyen tính ho¾c phi tuyen tính, đơn tr% ho¾c đa tr%. Mien xác đ%nh cna
A có the là các đa tap Euclid ho¾c không Euclid,. . .
Chính vì v¾y mà pham vi úng dung cna lý thuyet phương trình toán
tú là rat r®ng lón. Pham vi úng dung này càng r®ng rãi và càng có hi¾u
lnc trưóc sn phát trien nhanh chóng cna máy tính đi¾n tú vói sn phát trien
manh me các công trình nghiên cúu xap xí các phương trình dang (1).
Có rat nhieu phương pháp đe nghiên cúu xap xí phương trình dang
(1) dưói dang tong quát ho¾c khi A là các toán tú đ¾c bi¾t. Tuy nhiên, các
phương pháp thưòng đưoc sú dung ho¾c đưoc cái biên, phát trien thêm là
phương pháp l¾p, phương pháp sai phân, phương pháp đieu chính (tham
bien bé), phương pháp phan tú huu han mà tong quát hơn là phương pháp
chieu, phương pháp Newton, . . .
Chính vì nhung lý do trên, tôi đã chon đe tài nghiên cúu
“M®t so phương pháp giái phương trình toán tN”
làm đe tài lu¾n văn cna mình.


6

2. Mnc đích nghiên cNu
Nh¾n đưoc m®t so phương pháp giái xap xí “ phương trình toán tú ”
tuyen tính, phi tuyen tính và úng dung cna chúng.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu m®t so phương pháp giái gan đúng phương trình toán tú
và úng dung cna chúng.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Phương pháp Ritz (phương pháp bien phân), Phương pháp Newton –
Kantorovich và m®t so úng dung.
5. Phương pháp nghiên cNu
Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u tham kháo đe tong hop n®i dung các van
đe nghiên cúu.
6. NhÑng đóng góp mái cúa đe tài
Đưa ra m®t so ví du cu the cho các úng dung cna phương pháp Newton
- Kantorovich.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1.
1.1.1.

Không gian đ%nh chuan
Khái ni¾m không gian đ%nh chuan

Đ%nh nghĩa 1.1. Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian tuyen
tính đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng P (P = R
ho¾c P = C) cùng vói m®t toán tú tù X vào t¾p hop so thnc R, ký hi¾u
là ||.|| và đoc là chuan, thoá mãn các tiên đe sau
1. (∀x ∈ X) "x" ≥ 0, "x" = 0 ⇔ x = θ;
2. (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) "αx" = |α| "x" (tính thuan nhat cúa chuan);
3. (∀x, y ∈ X) "x + y" ≤ "x" + "y" (bat đang thúc tam giác).
So ||x|| goi là chuan cúa phan tú x. Ta cũng ký hi¾u không gian đ%nh chuan
là X. Các tiên đe 1), 2), 3), goi là h¾ tiên đe chuan.
Ví dn 1.1. Các không gian tuyen tính Rk, C[a,b], C L

[a,b]

đ%nh chuan, vói các chuan như sau:

‚.
.
.
k
R : "x" =
,
k

đeu là không gian

ξi ,

2

i=1

C[a,b] : "x" = max |x(t)|,
a≤t≤b
¸b
L
C[a,b]

|x(t)|dt.

: "x" =
a

Ví dn 1.2. Không gian Dk , gom tat cá các hàm x(t) xác đ%nh trên đoan
[a,b]
[a, b] và có đao hàm liên tuc đen cap k, cũng là không gian đ%nh chuan: các
phép toán tuyen tính như trong C[a,b], còn chuan đưoc xác đ%nh bói
..
..,
,
"x" =
|x(t)| , |xt(t)| , , ..., x(k)(t) .
max
.
.
a≤t≤b


8

( x(i)(t) là đao hàm cap i cna x(t)).
1.1.2.

SN h®i tn trong không gian đ%nh chuan

Vì không gian đ%nh chuan là trưòng hop riêng cna không gian metric
nên tat cá các sn ki¾n đã chúng minh cho không gian metric đeu đúng cho
không gian đ%nh chuan. Nhưng vì tam quan trong cna không gian đ%nh
chuan nên can nhac lai m®t so sn ki¾n ay và phát bieu theo chuan (thay
cho metric).
1)xn → x0 (dãy xn h®i tu tói x0 khi n → ∞) có nghĩa là
"xn − x0" → 0 khi n → ∞, vì ρ(xn, x0) ó đây là "xn − x0" .
2)Neu xn → x0 khi n → ∞ thì "xn" → "x0" , n → ∞ nói cách khác đi
chuan ||x|| là m®t hàm so liên tuc cna x.
Đe chúng minh đieu này, trưóc het ta chú ý rang ∀x, y ta có
|"x" − "y"| ≤ "x − y" .

(1.1)

Th¾t v¾y, theo bat đang thúc tam giác "x" ≤ "x" + "x − y",
hay "x" − "y" ≤ "x − y", và thay đoi vai trò cna x và y ta lai có "y"
− "x" ≤ "y − x", tù đó suy ra (1.1).
Áp dung công thúc (1.1), ta có |"xn" − "x0"| ≤ "xn − x0". V¾y
neu "xn − x0" → 0 thì càng phái có |"xn" − "x0"| → 0, chính là đieu đã
khang đ%nh.
3)Moi dãy h®i tu đeu b% ch¾n, túc là neu xn là dãy h®i tu thì
(∃K) (∀n) "xn" ≤ K.
Th¾y v¾y, giá sú xn−x0 → 0, n → ∞. Theo trên "xn" → "x0" , n → ∞
cho nên
(∃n0) (∀n ≥ n0) "xn" ≤ "x0" + 1.
Đ¾t K là so lón nhat trong các so "x1" , "x2" , , ..., "xn" + 1, thì rõ
ràng
(∀n) "xn" ≤ K.
4)Neu xn → x0, yn → y0 thì xn + yn → x0 + y0, neu xn → x0, αn →
α0 thì αnxn → α0x0. Nói cách khác, các phép toán x + y, αx là liên tuc.


Th¾t v¾y,
"(xn + yn) − (x0 + y0)" ≤ "xn − x0" + "yn − y0" → 0,
"αnxn − α0x0" = "(αnxn − αnx0) + (αnx0 − α0x0)"
≤ |αn| . "xn − x0" + |αn − α0| . "x0" → 0.
5)M®t dãy cơ bán trong không gian đ%nh chuan X là m®t dãy
xn
X sao cho lim
{ }
m,n→∞ "xn − xm" = 0. Neu trong không gian đ%nh chuan
⊂ moi dãy cơ bán đeu h®i tu, túc là "xn − xm" → 0 kéo theo sn ton tai
X
m®t x0 ∈ X, thì không gian ay đưoc goi là đn (theo đ%nh nghĩa trưóc đây
ve không gian metric đn). Vì ngưòi đau tiên xây dnng lý thuyet không gian
đ%nh chuan là Banach (nhà toán hoc Ba Lan) đã chú trong nhieu nhat các
không gian đn nên ngưòi ta thưòng goi các không gian đ%nh chuan đn là
không gian Banach.
M®t không gian đ%nh chuan X không đn bao giò cũng có the bo
sung (thêm nhung phan tú mói) thành m®t không gian Banach. Muon như
the ngưòi ta xem nó là m®t không gian metric không đn đe bo sung nó
thành m®t không gian metric đn Xˆ ,sau đó các phép toán đai so và
chuan
đưoc mó r®ng cho các phan tú mói đe bien

thành không gian đ%nh chuan

Xˆ đn. Ta không đi sâu vào van đe này.
6)M®t đieu mói trong không gian đ%nh chuan so vói không gian metric và
các không gian tuyen tính, là trong không gian đ%nh chuan ta có the xét
các chuoi vô t¾n
x1 + x2 + · · · + xn + · · ·

(1.2)

Chuoi này goi là h®i tu neu các tong b® ph¾n sn = x1 + x2 + · · ·
+ xn cna nó l¾p thành m®t dãy h®i tu. Trong trưòng hop đó giói han cna
sn se là goi là tong cna chuoi (1.2).
Chuoi (1.2) goi là h®i tu tuy¾t đoi neu chuoi so "x1" + "x2" + · · ·
+
"xn" + · · · h®i tu. Đáng chú ý là:


Trong không gian Banach, moi chuoi h®i tu tuy¾t đoi đeu h®i tu và
ta
.

xk .∞ "xk".
có ưóc lưong
k=
k=1 ≤
1

Th¾t v¾y, vói n > m ta có
"sn − sm" = "xn+1 + ... + xm" ≤ "xn+1" + ... + "xm" ,
cho nên neu chuoi "x1" + "x2" + · · · + "xn" + · · · h®i tu thì dãy sn
là dãy cơ bán và vì không gian đn nên sn phái có giói han, nghĩa là
chuoi (1.2) h®i tu. Ta có
(∀n) "sn" =

n

n

.

.
xk

"xk".

k=
1

k=1

Cho qua giói han n → ∞ trong bieu thúc trên ta đưoc ưóc lưong nói trên.

1.2.

Toán tN tuyen tính trong không gian đ%nh chuan

Giá sú X, Y là hai không gian đ%nh chuan.
1.2.1.
Toán tN tuyen tính
Đ%nh nghĩa 1.2. M®t toán tú A : X → Y goi là m®t toán tú tuyen tính
neu
1. A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2), (∀x1, x2 ∈ X) ;
2. A(αx) = αA(x), (∀x ∈ X, ∀α ∈ P ) .
é đây đe cho gon ta viet Ax thay cho A(x) đe chí phan tú úng
vói
x trong toán tú A. Dĩ nhiên hai đieu ki¾n 1) và 2) tương đương vói
A(α1x1 + α2x2 + ... + αnxn) = α1Ax1 + α2Ax2 + ... +
αkAxk,
(∀x1, x2, ..., xk ∈ X, ∀α1, α2, ..., αk ∈ P ) .
Neu X = Y thì ta cũng nói A là m®t toán tú trong X.
Ta ký hi¾u ImA là mien giá tr% (hay pham vi) cna toán tú A, túc
là t¾p tat cá các y ∈ Y sao cho y = Ax, ∀x ∈ X nào đó. Rõ ràng neu


y1, y2 ∈ ImA thì α1y1 + α2y2 ∈ ImA, ∀α1, α2 ∈ P nên ImA bao giò
cũng là m®t không gian con cna Y .


Ví dn 1.3.
X = Rk, Y = Rm, A(ξ1, ξ2, , ..., ξk) = (η1, η2, , ..., ηm),
vói
ηi =

k
.

aijξj, (i = 1, 2, ..., m),

(1.3)

j=1

trong đó aij là nhung hang so. Ma tr¾n

a1 a1 · · ·
 1
2
···

a
a
 · 2· · · 2· · · · ·
am1 am2 · · ·

a1





a2 
···
amk
k

goi là ma tr¾n cna toán tú A.
De thay rang (1.3) là dang tong quát cna moi toán tú tuyen tính
tù Rk vào Rm. Th¾t v¾y, cho A là m®t toán tú tuyen tính bat kỳ tù Rk
vào Rm. Goi e1, e2, ..., ek và f1, f2, ..., fm là các cơ só cna Rk và Rm sao
cho vói
k

m

k
.

moi x = (ξ1, ξ2, , ..., ξk) ∈ R và y = (η1, η2, , ..., ηm) ∈ R :
=
x=

ξ je j, y

j=1

m
.

ηifi (chang han lay e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., ek = (0,
0, ..., 1),
i=1
k
và các f1, f2, ..., fm cũng tương tn). Vì A là tuyen tính nên Ax .
=
).

ξj (Aej

j=1

V¾y đ¾t Ax = (η1, η2, , ..., ηm), Aej = (a1j, a2j, ..., amj ) ta có (1.3).
Ví dn 1.4.

b

¸
X = Y = C[a,b], Ax(t) = K(t, s)x(s)ds,
a

trong đó K(t, s) là m®t hàm so liên tuc cna t và s trong hình vuông
a ≤ t, s ≤ b. Toán tú này goi là m®t toán tú tích phân vói hach là K(t, s).
1.2.2.

Toán tN tuyen tính liên tnc


Đ%nh nghĩa 1.3. M®t toán tú A : X → Y goi là liên tuc neu xn → x0(n →
∞) luôn kéo theo Axn → Ax0(n → ∞).


M®t toán tú tuyen tính tù Rk vào Rm bao giò cũng liên tuc. Th¾t
v¾y, như trên đã thay, m®t toán tú như the có dang (1.3).
(n)

(n)

(n)

(0)

(0
)

(0)

Neu xn = (ξ1 , ξ2 , ..., ξk ) → x0 = (ξ1 , ξ2 , ..., ξk ) thì do sn h®i
tu
(n)
(0)
trong Rk là h®i tu theo toa đ®, ta có ξ → ξ (j = 1, 2, ..., k). Do đó
j

η

k
.

(n)

i

=
j=1

(0
)

k
.

(n)



aijξj

j

j=
1

aijξj

(0)

= ηi ,

túc là Axn → Ax0.
Nhưng trong thnc te không gian đ%nh chuan bat kỳ thì toán tú tuyen
tính không nhat thiet liên tuc. é đây đieu ki¾n liên tuc tương đương vói
tính b% ch¾n đ%nh nghĩa như sau:
Đ%nh nghĩa 1.4. M®t toán tú A : X → Y goi là b% ch¾n (giói n®i) neu có
m®t hang so K đe cho
(∀x ∈ X) "Ax" ≤ K "x" .

(1.4)

Đ%nh lý 1.1. M®t toán tú A : X → Y là liên tnc khi và chí khi nó b% ch¾n.
Chúng minh. Giá sú toán tú A liên tuc. Ta chúng minh rang trưóc het phái
có m®t hang so K đe cho "Ax" ≤ K vói moi ||x|| = 1. Th¾t v¾y, neu
trái
lai túc là (∀n) (∃xn) "xn" = 1, "Axn" > n, thì lay
xt


t

"Ax " = Ax
n

n

n

=
n

1

xn ta có xt → θ

n

n

> 1,

= "
"Ax
n
n

trái vói giá thiet A liên tuc. V¾y phái có so K vói tính chat trên.
x
Vói moi x ƒ= θ ta
= 1 cho nên
≤ K. Do đó "Ax" ≤
"Ax"

"x"
"x"
K "x"
.
Ngưoc lai, giá sú có hang so K vói tính chat (1.4) và xn → x0. Ta se

"Axn − Ax0" = "A(xn − x0)" ≤ K "xn − x0" → 0.


V¾y A liên tuc tai x0.
So K nhó nhat thóa mãn đieu ki¾n (1.4) goi là chuan cna toán tú A


và đưoc ký hi¾u là ||A||.
Như v¾y:
1. (∀x ∈ X) "Ax" ≤ "A" "x"
2. (∀x ∈ X) "Ax" ≤ K "x" thì ||A|| ≤ K.

Đ%nh lý 1.2. Ta


"A" = sup
"Ax"
xƒ=θ

"x
"

=
sup

"Ax" .

(1.5)

"x"=1

Chúng minh. So K ≥ 0 nhó nhat thóa mãn (1.4) dĩ nhiên cũng là so K ≥ 0
nhó nhat thóa mãn ( x X, x ="Ax"
θ)
≤ K, do đó
∀ ∈
ƒ
"x"
.
.
"A" = sup
x
=
sup
A
= sup "Ay" .
"Ax"
xƒ=θ

"x

xƒ=θ

"

"x

"y"=1

"

H¾ quá 1.1. Toán tú tuyen tính A b% ch¾n (liên tnc) neu t¾p các giá tr%
cúa nó trên m¾t cau (tùy ý) b% ch¾n.
(M¾t cau tâm x0 bán kính r, ký hi¾u S(x0, r) là t¾p hop các điem x
sao cho ||x − x0|| = r).
Chúng minh. Th¾t v¾y, neu chang han "Ax" ≤ N, ∀x thu®c m¾t cau S
= S(x0, r) thì (∀x) "x" = 1, ta có rx + x0 ∈ S, cho nên "A(rx + x0)"
≤ N và do đó "rAx + Ax0)" ≤ N hay r "Ax" ≤ N + "Ax0", tù đó
N + "Ax0"
"Ax" ≤
.
"Ax"
r
V¾y, theo (1.5) ta có sup x" =
"Ax" ≤ K, vói K =
sup
xƒ=θ

"

N +"Ax0"
r

"x"=1

Tró lai (1.2.2) ve toán tú tuyen tính ó muc .trưóc, ta có
.
"Ax" = max
.¸b

.

.


b

.
a≤t≤b .
.

a

..
¸
K(t, s)x(s)ds ≤ "x" max |K(t, s)| xds,
.
a≤t≤b
.
.
b

a

cho nên đoi vói toán tú này "A" ≤ max ¸ |K(t, s)| xds.
a≤t≤b a


1.3.

Phép tính vi phân trong không gian đ%nh chuan

1.3.1.

Đao hàm Fréchet trong không gian đ%nh chuan

Cho hai không gian đ%nh chuan X, Y bat kỳ. Ta nói toán tú f : X → Y
là khá vi tai điem x0 ∈ X neu ton tai m®t toán tú tuyen tính, liên tuc
A : X → Y sao cho
f (x0 + h) − f (x0) = A(h) + r(h), h ∈ X,
r(h)
trong đó r(h) = 0("h"), nghĩa


"h

→ 0 khi ||h|| → 0. Phan tú A(h) goi

"
là vi phân (hay bien phân) cap m®t cna f tai x0 vói gia lưong h và đưoc

hi¾u df (x0 , h). Toán tú tuyen tính A goi là đao hàm cap m®t (theo
nghĩa Fréchet) cna f tai x0 , ký hi¾u f t (x0 ) = A. Thành thú df (x0 , h)
= f t (x0 )(h).
Ví dn 1.5. Xét ánh xa
f : C[0,1] → R
x

1

›→ f (x) =¸ α(t)x(t)dt
0

Ta có
1

f (x + h) − f
(x) =

1

¸

¸

1

α(t)(x(t) + h(t))dt −
0

1

1

¸
=

α(t)x(t)dt +

0

α(t)x(t)dt

α(t)h(t)dt −
0

0
1

¸
=

¸

¸

0

α(t)h(t)dt
0

Suy ra

α(t)x(t)dt

1

¸


A(h) =

α(t)h(t)dt
0


De thay A tuyen tính đoi vói h. Ta chúng minh A liên tuc.
..¸
.
1
.. ¸1
|A(h)| = . α(t)h(t)dt . ≤ |α(t)| |h(t)| dt
.
.
.

.

0

01

¸


max |α(t)| max |h(t)| dt = "α" "h"
0

0≤t≤1

0≤t≤1

Suy ra ||A|| ≤ ||α||, do đó A liên tuc.
V¾y

f t(x0) : C[0,1] → R
h

1.3.2.

t

›→ f (x0)(h) =

¸1

α(t)h(t)dt

0

Đao hàm Gateaux trong không gian đ%nh chuan

Cho hai không gian đ%nh chuan X, Y bat kỳ và toán tú
f : X → Y, x0 ∈ X, h ∈ X, t ∈ R.
Vi phân yeu (hay vi phân Gateaux) cna toán tú f tai x0, ký hi¾u
Df (x0, h) đưoc đ%nh nghĩa như sau:
.
d
f (x0 + th) − f (x0)
.
.
f (x0 + th)
= lim
,
Df (x0, h)
.
dt
t→0
t
t=0
=
giói han ó ve phái cna bieu thúc trên đưoc hieu là giói han trong Y , túc là
= 0.
f (x0 + th) − f − Df (x0, h)
lim
(x0)
t→0
t
t
(x0) :
Neu vi phân yeu là toán tú tuyen tính đoi vói h, thì toán tú f W

X → Y đưoc đ%nh nghĩa Df (x0, h) = fW(x0) [h] và đưoc goi là đao hàm
t

yeu (đao hàm Gateaux) cna toán tú f tai x0.
1.3.3.

M®t so tính chat cơ bán cúa phép tính vi phân trong
không gian đ%nh chuan

Đ%nh lý 1.3. (Tính duy nhat cúa đao hàm Fréchet) Đao hàm cúa m®t
toán tú (neu có) là duy nhat.


Chúng minh. Th¾t v¾y, neu có hai toán tú tuyen tính liên tuc A, B
cùng là đao hàm cna f tai x, thì khi h → θ
rB (h) −
A( h ) −
rA(h)
B( h )
=
→ 0.
"h"
"h"
Nhưng vói moi phan tú k ∈ X và moi ε > 0 ta có
A(εk) −
A (k ) −
B(εk)
B(k)
=
→ 0.
"εk"
"k"
Khi ε → 0 thì εk → 0 nên ve phái dan tói 0, v¾y ve phái bang 0 túc
là A(k) = B(k) hay A ≡ B.
Đ%nh lý 1.4. Neu f là toán tú tuyen tính liên tnc tù không gian đ%nh
chuan X vào không gian đ%nh chuan Y, x0 ∈ X khi đó f t(x0) = f. Nói
cách khác đao hàm cúa toán tú tuyen tính liên tnc chính bang toán tú
đó.
Chúng minh. Giá sú x ∈ X, h ∈ X khi đó
f (x0 + h) − f (x0) = f (x0) + f (h) − f (x0) = f (h),
suy ra f (x0 + h) −f (x0) −f (h) = 0 = r(h), "θ" = 0 = o("h") khi ||h||
→ 0. Do đó theo đ%nh nghĩa f t(x0)[h] = f (h).
Đ%nh lý 1.5. Neu ton tai vi phân manh (vi phân Fréchet) df (x, h) thì
ton tai vi phân yeu (vi phân Gateaux) Df (x, h) và hai vi phân đó bang
nhau, túc là
df (x, h) = Df (x, h).
Chúng minh. Ta có
f (x + th) − f (x) = df (x, th) + r(th) = tdf (x, h) + r(th),
vói r(th) = o("th") = o(|t| "h") = o(|t|) khi co đ%nh h, do đó
r(th)
f (x + th) − f
= df (x, h) +
→ df (x, h), khi t → 0.
t
(x)
t
f (x+th)
Và như v¾y Df (x, h) = lim
= df (x, h), ngoài ra chúng
−f (x)
ta
t→0

t


đã chúng minh sn ton tai cna vi phân yeu và đang thúc manh cna nó.


Trong khái ni¾m Df (x, h) không thích hop yêu cau tuyen tính đoi
vói h. Neu nó ton tai thì Df (x, h) = fW(x) [h], trong đó fW(x) là toán tú
t

t

tuyen tính đoi vói h. Goi f Wt (x) là đao hàm yeu cna hàm f (x) tai điem
x.
Đ%nh lý 1.6. Neu trong hình cau ||x − x0|| ≤ r trong không gian đ%nh
chuan X ton tai vi phân yeu Df (x, h) và Df (x, h) liên tnc đeu theo x,
liên tnc theo h thì trong hình cau đó ton tai vi phân manh và hai vi
phân đó
bang nhau, túc df (x, h) = Df (x, h) và f t (x)W(x).
=f t
Chúng minh. Trong khi ||h|| ≤ r(x), so r(x) là bán kính cna điem lân c¾n x
mà thu®c hình cau ||x − x0 || ≤ r, trong tat cá nhung điem xt = x + th, 0

t ≤ 1, ton tai vi phân Df (xt, h) bói vì
f (xt + ∆th) − f (xt)
Df (xt, h) = lim
,
∆t→0
∆t
và xt + ∆th = x + (t + ∆t)h = xt+∆t, do đó
f (xt + ∆th) − f (xt) d
d
Df (xt, h) = lim
f (x + th).
=
f
(x
)
t
∆t→0
dt
dt
=
∆t
Chúng ta chúng minh tính c®ng tính cna vi phân Df (xt, h) theo
đoi so h.
Df (x, h1 + h2) = Df (x, h1) + Df (x, h2).

(1.6)

Trưóc het, chúng ta thay tù giá thiet tính liên tuc cna hàm so
d
f (x + th),
Df (xt, h)
dt
=
chúng ta có
¸t

=

f (x + th1) − f (x)

0

=

t
0

t

¸


d

f (x + τ h1 )dτ

Df (x + τ h1 , h1)dτ = tDf (x + τ h1 ) + ω1,
(1.7)
trong đó ω1 = ¸ [Df (x + τ h1 , h1) − Df (x, h1)] dτ.



0

Tương tn
f (x + t(h1 + h2)) − f (x) = tDf (x, h1 + h2) + ω2, (1.8)


t

trong đó ω2 = ¸ [Df (x + τ (h1 + h2), h1 + h2) − Df (x, h1 + h2)] dτ và
0

f (x + t(h1 + h2)) − f (x + th1) = tDf (x, h2) + ω3, (1.9)
t

trong đó ω3 = ¸ [Df (x + th1 + τ h2 ), h2) − Df (x, h2)] dτ .
0

Bói vì Df (xt, h) liên tuc theo đoi so x, thì đoi vói ε > 0 tùy ý, t > 0
đn nhó và 0 ≤ τ ≤ t thì
ε
"Df (x + τ h1 , h1) − Df (x, h1)" <

3

,

ε
"Df (x + τ (h1 + h2), h1 + h2) − Df (x, h1 + h2)" < ,
3
ε
"Df (x + th1 + τ h2 ), h2) − Df (x, h2)" <

v¾y
"ω1" =

.

¸t

0

và tương
tn

3

[Df (x + τ h1 , h1) − Df (x, h1)] dτ ε 3
"ω2"
<

ε
3t, "ω3" <

ε
3

t.

Tù (1.7), (1.8), (1.9) suy ra
0 = [f (x + th1, h1) − f (x, h1)] + [f (x + t(h1 + h2)) − f (x + th1)] −
− [f (x + t(h1 + h2)) − f (x)]
= t [Df (x, h1) + Df (x, h2) − Df (x, h1 +
h2)] +
+ ω1 + ω2 + ω3 .
Tù đó Df (x, h1) + Df (x, h2) − Df (x, h1 + ω1 + ω2 + ω3
, suy ra
h 2) =
t
tiep theo
"Df (x, h1) + Df (x, h2) − Df (x, h1 +
"
h2)" ≤

ω1" + "ω2" +
"ω3"
t

< ε.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×