Tải bản đầy đủ

Lý thuyết khung Gabor trong biểu diễn thời gian - tần số

1

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan t¾n
tình cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng, ngưòi thay đã hưóng dan, luôn đ®ng
viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung
khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n văn. Tác giá xin bày tó lòng
kính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích
cùng vói các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá
ket thúc tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn.

Hà N®i, tháng 10 năm 2010
Tác giá

Lưu Th% Thu Hương


LèI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna TS. Bùi Kiên Cưòng.
Trong quá trình nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành
quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 10 năm 2010
Tác giá

Lưu Th% Thu Hương


BÁNG KÝ HIfiU
N

T¾p so tn nhiên

R

T¾p so thnc

Z

T¾p so nguyên

C

T¾p so phúc

Rk

Không gian thnc k chieu

"."

Chuan



T¾p hop rong



Z+ = {0, 1, 2, ...} T¾p các so nguyên không âm


Mnc lnc

Má Đau

1

1 Các khái ni¾m và kien thNc chuan b%

3

1.1. M®t so không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.

Chuoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.

Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4. Công thúc tong Poisson

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. Giái tích thòi gian - tan so......................................................11
1.5.1. Hàm cúa so....................................................................12
1.5.2. Bien đoi Gabor...............................................................13
1.5.3. Cúa so thòi gian-tan so cna Bien đoi Fourier thòi
gian ngan........................................................................14
1.5.4. Cúa so thòi gian-tan so cna bien đoi sóng nhó liên
tuc................................................................................15
2 Khung Gabor

17

2.1. Lý thuyet khung trong không gian Hilbert . . . . . . . .

3

17


4

2.2. Khung Gabor..............................................................................26
2.3. Sn h®i tu không đieu ki¾n.............................................................29
2.4. Không gian Wiener....................................................................32
2.5. Tính b% ch¾n cna toán tú khung Gabor.......................................34
2.6. Bieu dien Walnut cna toán tú khung Gabor...........................37
2.7. Mó r®ng không trnc giao Painless............................................41
2.8. Tính trù m¾t cna khung Gabor.................................................43
3 Giái tích Gabor trong không gian bien đi¾u

44

3.1. Các lóp cúa so cna giái tích Gabor...........................................44
3.2. Tính b% ch¾n cna toán tú khung Gabor trên không gian
bien đi¾u..........................................................................................55
3.3. Cơ só Wilson trong không gian bien đi¾u................................64
3.4. Nén du li¾u.....................................................................................75
Ket lu¾n

79


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Giái tích sóng nhó ton tai tù th¾p niên đau cna the ký XX và đã
đưoc nhieu nhà khoa hoc trên the giói quan tâm nghiên cúu mà đi đau
là Morlet, Meyer Y.V, Daubechies I.,... Ky thu¾t sóng nhó giúp chúng
ta phân chia m®t hàm so phúc tap thành chuoi các hàm sơ cap nhò phép
giãn và phép d%ch chuyen, cung cap m®t công cu rat hi¾u quá và hap
dan trong phân tích và tong hop tín hi¾u.
Các nhà toán hoc đã có nhieu no lnc phát trien lý thuyet mói,
thu¾t toán cho các bieu dien và tong hop các hàm. Bieu dien sóng nhó
cùng bieu dien Gabor là các công cu toán hoc huu hi¾u nhat đe thnc
hi¾n nhi¾m vu này. Cu the là đã tìm thay nhieu úng dung trong phân
tích tín hi¾u và xú lý hình ánh.
Trong lý thuyet Gabor các nhà toán hoc rat quan tâm tói m®t đoi
tưong quan trong đó là khung Gabor. Thu¾t toán khung đưoc ca ngoi
là m®t phương pháp tái tao hi¾u quá. Vì v¾y vi¾c nghiên cúu lý thuyet
khung là m®t van đe rat lý thú.
Đen nay, lý thuyet khung Gabor đưoc trình bày trong nhieu tài li¾u
đi cùng vói sóng nhó. Vói mong muon nghiên cúu lý thuyet khung Gabor
trong bieu dien thòi gian - tan so, m®t m¾t trình bày lý thuyet khung
theo h¾ thong, m¾t khác mong muon tìm nhung úng dung cu the cna
lý thuyet này, dưói sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna tien sĩ Bùi Kiên
Cưòng tôi chon nghiên cúu đe tài:
"Lý thuyet khung Gabor trong bieu dien thài gian-tan so"


2

2. Mnc đích nghiên cNu
- Nghiên cúu tong quan ve lý thuyet khung Gabor.
- Nghiên cúu ve giái tích Gabor trong không gian bien đi¾u.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
- Trình bày các ket quá, tính chat cna toán tú khung Gabor.
- Tính b% ch¾n cna toán tú khung Gabor trong bieu dien thòi gian tan
so và trong không gian bien đi¾u.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu toán tú khung Gabor trong bieu dien thòi gian tan so
và trong không gian bien đi¾u.
5. Phương pháp nghiên cNu
Nghiên cúu lý thuyet : Thu th¾p tài li¾u, đoc và, phân tích, tong
hop đe nghiên cúu ve khung Gabor, toán tú khung Gabor.
6. DN kien đóng góp mái
Tìm m®t so úng dung cu the cna khung Gabor.


Chương 1
Các khái ni¾m và kien thNc chuan b
%
1.1.

M®t so không gian hàm

. .
p,q
Đ%nh nghĩa 1.1.1. (Không gian M
Rd ) Giá sú m (x, ω) là m®t
m
hàm không âm trên R2d, 1 ≤ p, q ≤ ∞ là các tham so khá tích, g ∈ S
. .
Rd là m®t cúa so co đ%nh. Khi đó chúng ta xác đ%nh chuan
  |Vg f (x,
1/q
p/q
¸
¸
p
m(x,

ω)|
 

p
"f"M p,q
=
dx

m
ω)
Rd

Rd

. .
Không gian con moi f ∈ St Rd vói chuan trên là huu han đưoc goi


. .
không gian bien đi¾u Mmp,q Rd .
Neu p = q thì ta viet
Mp

m

và neu m (z) ≡ 1 trên R2d

thay cho
M p,q

thì

m

ta viet M p,q và M p thay cho
M p,q

m

Đ%nh nghĩa 1.1.2. (Không gian

và M p,p .
m

Lmp,q

.

R

2d

.

) Giá sú m là m®t hàm trong


trên R2d và 1 ≤ p, q ≤ ∞. Khi đó không gian trong chuan hon hop
.
.
2d
p,q
Lm R
bao gom trá các hàm đo đưoc (Lebesgue) trên R2d sao cho
3


4



chua
n
"F "Lp,q
m

¸ ¸
  |F (x, ω)|p
=
m(x,
p
ω)
Rd

p/q
dx

1/q




Rd

là huu han.
Neu p = ∞ vói moi q = ∞ thì p− chuan tương úng thnc chat là
thay cho supremum. Do đó:
1/q
 
q
¸ 

"F "L∞,q =
ess
sup
|F
(x,
ω)|
m
(x,


ω)



m
d
Rd

x∈R


"F "Lp,∞
m



¸
= ess sup

|F (x, ω)|
p

m(x,
p
ω)



1/p

dx

ω∈Rd
Rd

Tù ω → F (., ω) m (., ω) có giá tr% trong Lp, không gian chuan hon
hop
q
Lp,m có the thay như m®t không gian giá tr% vectơ L .
q
Neu
p = q thì Lp,q =
p
là không gian Lp trong thông thưòng. Hơn nua
L
m
m
.
.
L∞
R2d bao gom tat cá các hàm (đo đưoc) f sao cho
m

ess sup |f (z)| m (z) ≤ C
ha
y

|f (z)| ≤ Cm(z)

−1

, z ∈ R2d

Theo đ%nh nghĩa thì "f"L∞m là infimum cúa tat cá các hang so C.
. .
. .
Đ%nh nghĩa 1.1.3. (Lóp S Rd ) Lóp Schwartz S Rd bao gom các
hàm


f∈C
Zd



.

R

d

.

.

5
α

.

β

sao cho : sup D X f (x) < ∞ ∀α, β ∈
.

.

x∈Rd

X α f (x) = xαf (x)

vói
+


α1

Dα = ∂ ... ∂αd
α
α
∂x 11 ∂x dd
. .
. .
t d d
d
Không gian đoi ngau cúa S R ký hi¾u là S R .
Đ%nh nghĩa 1.1.4. Nhóm đơn hình Sp (d) là nhóm cúa tat cá các
ma tr¾n A ∈ GL (2d, R) thóa mãn: [Az, Azt] = [z, zt ] vói moi z, zt
∈ R2d.
.
.
.
.
Đ%nh nghĩa 1.1.5. ( Không gian lp,q Z2d ) Không gian lp,q Z2d bao
m

m

2 tói C) vói chuan
gom tat cá các dãy a = (akn)k,n∈Zd ( các hàm tù Z
d

p,q
"a"l
m(k, . 1/q
.
q/p
m
.
p n)p

=
.
|akn|

d
n∈Z
k∈Z

là huu
han.

d

. .
Đ%nh nghĩa 1.1.6. ( Không gian SC Rd ) Không gian cúa các cúa so
đ¾c bi¾t đưoc đ%nh nghĩa
.
¸
. d. .
.
.
SC R
F (x, ω) Mω Tx ϕdxdω
f ∈ L2 Rd : f = ϕV
=
2
R

d
F =
.
.

2d
ó đây F ∈ L R
và suppF là compact.
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho m®t hàm cúa so co đ%nh g ƒ= 0. Khi đó
STFT cúa hàm f đoi vói g đưoc xác đ%nh
¸
Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πitωdt
vói x, ω ∈
R d.

Rd

Đ%nh nghĩa 1.1.8. Hàm trong trên R2d là m®t hàm không âm, khá tích
đ%a phương trên R2d.
Cho các hàm trong m, v trên R2d, m đưoc goi là v−ôn hòa neu ton tai
hang so c sao cho


m (z1 + z2) ≤ cv (z1) m (z2) , ∀z1, z2 ∈ R2d.


Sau này chúng ta sú dnng m đe bieu th% m®t hàm v−trong ôn hòa.
Cho x, ω ∈ Rd chúng ta đ%nh nghĩa các toán tú:
Txf (t) = f (t − x)
Mωf (t) = e2πiωtf
(t) .
Vói moi n ∈ N\ {0} , t¾p
Zn

+

= {α = (α1, α2, ..., αn) , αj ∈ Z+, j = 1,
2, ..., n}

Rn = {x = (x1, x2, ..., xn) , xj ∈, j = 1, 2, ..., n} .
Vói moi so thnc 1 ≤ p < ∞, ký hi¾u:
..
.
.
Lp (Ω)
u : Ω → C . ess sup |u (x) |< trong đó :
=

.
x∈Ω
ess sup |u (x)| = inf {M > 0 |µ {x ∈ Ω ||u (x) | > M} = 0 } , µ là đ®
đo
x∈Ω

Lebesgue.

1.2.

Chuoi Fourier

Chuoi Fourier bieu dien hàm tuan hoàn giá tr% thnc p (t) [p (t) = p (t + T
)]
như sau:



p (t)
=
Vói
:

.

αk =

(1.1)

k=−


1

αkejkω0t

jkω t


0+T

p (t) e−

T

(1.2)

0
0

t0

ó đây αk là các h¾ so Fourier và chu kỳ T =


ω


vói ω0 là tan so cơ só.

.
.
T¾p hop các hàm so {ek} = ejkω0 , k ∈ Z tao thành m®t cơ só trnc
¸
giao trong L2 [t0, t0 + T ] và
k eldt =
k,l.
t
t0+T

e
0


H¾ so αk đưoc viet dưói dang cna m®t tích ch¾p:

αk = 1 .

p (t)
,eT

jkω0 t

.

.

(1.3)

M®t chuoi Fourier có the bieu dien dưói dang khác. Bieu dien sú dung
hàm sin và cos như sau:

.
p (t) = a0
+ (ak cos kω0t + bk sin kω0t)
2 k=1

(1.4)

trong đó akvà bk là các h¾ so thnc. Bieu dien dưói dang phúc sú dung
chí vói hàm đieu hòa dương đưoc viet như sau:


p (t) = c0 +

.

ckcos (kω0t + θk)

k=1

Vói
|ck | = . 2
a +
b2 , θ k =
−1
tan
k

k

.

k.

−b

ak

é đây ck = |ck| ejθk là đai lưong phúc.
Công thúc bieu dien ak và bk :

ak = 2

¸ p (t) cos kω0

T

T
bk = 2

0

¸ p (t) sin kω0tdt.

T

T

0

.

(1.5)


1.3.

Bien đoi Fourier

Tù mó r®ng chuoi Fourier đen bien đoi Fourier, chúng ta cùng xét
(1.1) và (1.2). Hàm thòi gian p (t) trong (1.1) có the sú dung bieu th%
ó


(1.2) như sau:
. T/2
¸ p (tt)
.
1
p (t) = ∞

T −T/ e

.
ejkω0t

2

k=−∞

=

jkω0tr

1



. ∞ω


T/2
−T/
2

0
k=−∞

t

p (t ) e

−jkωtr

. ejkω0t
dt

t

(1.6)

Chúng ta mó r®ng chu kỳ T tói vô han, như v¾y ω0 xap xí dω và kω
xap xí ω.
Phép lay tong trong (1.6) tró thành tích phân:
p (t) = 1

¸



.







−∞

−∞

p (tt)
r
e−jωt

ejωtdω.

(1.7)

Tích phân trong dau ngo¾c đưoc bieu dien bói m®t hàm pˆ (ω)

và (1.7) tró thành :


(ω)
=

¸



p (tt)e−jωtrdtt

(1.8)

−∞

p (t) = 1

¸

pˆ (ω)ejωt dω.

(1.9)



2π −∞
Phương trình (1.8) và (1.9) đưoc biet như c¾p bien đoi Fourier.
Tù đây chúng ta sú dung f (t) đe bieu dien m®t hàm cna mien
thòi gian, còn p (t) bieu dien hàm thòi gian tuan hoàn. Chúng ta
viet lai (1.8) vói ký hi¾u mói. Bien đoi Fourier cna m®t hàm năng
lưong han che f (t) ∈ L2 (R) cna m®t bien thnc t đưoc đ%nh nghĩa
bói tích phân :
fˆ (ω) =

¸∞f

(t) e−jωtdt

(1.10)


−∞

Kí hi¾u tích vô hưóng bói < f, g >=

¸


the bieu th% như sau:

g (t)h (t)dt , bien đoi Fourier


.
.
fˆ(ω) = f (t) , ejωt

(1.11)


Sn the hi¾n cna (1.11) là rat quan trong. Phương trình này trình bày
bieu dien b® ph¾n cau thành cna f (t) tai ω . Neu chúng ta có the
xác đ%nh tat cá các thành phan cna f (t) trên truc ω, sn chong chat
cna các thành phan này se xây dnng lai hàm goc f (t):
f (t) =

¸

1

fˆ (ω)ejωt dω.





(1.12)

−∞

Tù (1.12) có the xem lai sn chong chat tích phân là thác trien tù các
thành phan cna nó. Tích phân liên quan tói bien đoi Fourier ngưoc cna
fˆ(ω). Neu bien t bieu dien thòi gian, đưoc goi là pho cna f (t) . Neu
t
bieu dien không gian, fˆ(ω) đưoc goi là pho không gian.

1.4.

Công thNc tong Poisson

Công thúc tong Poisson có ích trong moi liên h¾ thông tin mien
thòi gian cna m®t hàm so vói quang pho cna nó. Lay f (t) ∈ L2
(R). Tuan hoàn hóa cna f(t), goi là fp (t), đưoc bieu dien bói :


fp (t) :=

. f (t + 2πn).

(1.13)

n=−


é đây T = 2π là chu kỳ cna fp (t).
Tù đó ω0 =


T

= 1 và chuoi Fourier bieu dien fp (t) như sau:


fp (t)
=
vói các h¾ so ck xác đ%nh bói :



.
k=−


ckejkt

(1.14)


¸

1
0 fp
2
¸ π2π .
1
= 2π 0
n∈Z

ck =

(t) e−jktdt
f (t + 2πn) e−jktdt


¸

.

f (t + 2πn) jktdt
= 2π
1 2π 0
e−
n∈Z
. ¸
jkt
f (t +
= 2π
dt
1 2π 0

2πn)e
n∈Z

1 .
=

n∈Z

¸

2π(n+1)

f (ξ)e−jk(ξ−2πn)dξ.


n

(1.15)

é đây sú dung phép đoi bien ξ = t + 2πn . Tù đó
¸

ck = 1




jk
ξ

f (ξ)
e−


=

1

fˆ(k) .


(1.16)

−∞

Ket hop (1.13), (1.14) và (1.15) ta có công thúc tong Poisson :


.
.
1
f (t + 2πn)
fˆ(k)ejkt
=

n=−∞

(1.17)

k=−∞

Vói m®t chu kỳ T tùy ý, công thúc đưoc tong quát hóa




.

f (t + nT )
n=−∞ =

1 .
T

fˆ(kω ) ejkω0t.

k=− 0


(1.18)

Neu g (t) là m®t hàm b¾c thang cna f (t) túc là
g (t) = f (at) , a > 0
ta
có:

g
=(ω)
ˆ

1f . ω ..
ˆ
a
a

Công thúc tong Poisson cho f (at)
là :





.

f (at + 2πan)
=

1

.

.

k



.
ejkt.

(1.19)


2πa

n=−∞

k=−∞

a

Neu at đưoc coi như t ta có:


.
f (t + 2πan)
=
n=−∞

1


.

2πa

.

.
k
jkt/a
.
fˆ e
a

k=−∞

(1.20)


Hai dang khác cna tong Poisson se can cho phép lay đao hàm ve sau. Ta
có:

.
1
a

1.5.

.
fˆ(ω + 2πk)
f (k)ejkω
k∈Z
k∈Z =
.
−jkω
.ω+2πk
.
.
=
f (ak)e.
ˆ
f
a

k∈Z

(1.21)

k∈Z

Giái tích thài gian - tan so

M¾c dù phương pháp giái tích Fourier có nhieu tác dung trong
nhung lĩnh vnc khác nhau, nhưng nó tró nên không thóa đáng khi
liên quan đen khái ni¾m tan so đ%a phương cna m®t tín hi¾u bói
quang pho Fourier không cung cap nhieu thông tin mien thòi gian ve
tín hi¾u. Đe súa khiem khuyet này, sn phân tích đ%a phương là can
thiet và là sn ket hop cá giái tích mien thòi gian và mien tan so đe đat
đưoc giái tích thòi gian- tan so, bang phương pháp mà chúng ta có the
rút ra các n®i dung tan so đ%a phương cna m®t tín hi¾u. Đây là đieu
rat quan trong, tù đó mà trong thnc hành chúng ta chí can quan tâm
đen m®t vài phan đ¾c bi¾t cna quang pho và do đó chúng ta có the
tương tn nhung đieu đã biet ve m®t phan cna tín hi¾u mien thòi gian
là nguon goc, nguyên nhân mang đen nét đ¾c trưng cna quang pho.
Phương hưóng chung đieu khien đe biet các n®i dung tan so đ%a phương
cna m®t tín hi¾u là chúng ta nên bó đi m®t phan không mong muon tù
tín hi¾u đã cho và sau đó lay bien đoi Fourier cna phan mà ta mong
muon.


1.5.1.

Hàm cNa so

Giá sú φ (t) ∈ L2 (R) là m®t hàm cúa so giá tr% thnc. Khi đó
tích f (t) φ (t − b) =: fb (t) se chúa đnng các thông tin cna f (t)
gan t = b . Đ¾c bi¾t neu φ (t) = χ[−τ,τ ) (t) thì:

fb (t) =  f (t) , t ∈ [b − τ, b + τ )
 0, t ∈/ [b − τ, b + τ )

(1.22)

Bang cách thay đoi tham so b chúng ta có the trưot hàm cúa so theo
truc thòi gian đe phân tích dáng đi¾u đ%a phương cna hàm f (t)
trong các khoáng khác nhau.
Hai tham so quan trong nhat cna m®t hàm cúa so là tâm và chieu r®ng
cna nó. Cuoi cùng là hai lan bán kính. Xóa bó tâm và be r®ng chuan
cna hàm cúa so lan lưot tai 0 và 2t. Vói m®t hàm cúa so tong quát φ
(t),
chúng ta đ%nh nghĩa tâm t∗ cna nó như sau:
t∗ :=

1

¸



dt
t|φ (t)|2

(1.23)

2

"φ" −∞
và căn b¾c hai bán kính (RMS) ∆φ như sau:

∆φ :=

1 .¸


−∞



(t −
t∗ )

.

|φ (t)|
2

2

(1.24)

1/2

dt

"
Cúa so đ¾c bi¾t de dàng thú lai vói t∗ = 0 và ∆φ =√ . Do đó, be r®ng
t
3

RMS nhó hơn be r®ng chuan

1

3

.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×