Tải bản đầy đủ

Hệ phương trình sai phân

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯƠNG THỊ THUÝ HẢO

HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI
PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2009


lời cảm ơn
Trớc hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu
sắc tới các thầy cô giáo, đặc biệt là TS.Nguyễn Văn Hùng,
những ngời đã hớng dẫn tận tình, hiệu quả, giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ban

lãnh đạo, các thầy cô giáo, cán bộ, nhân viên trờng Đại học S
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tôi
học tập tại trờng.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Vĩnh
Phúc, trờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc đã dành cho tôi những
điều kiện tốt nhất trong thời gian theo học sau đại học.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới bạn bè,
ngời thân và các đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên khích
lệ để tôi hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2009

Trơng Thị Thuý Hảo


lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của TS.Nguyễn Văn
Hùng.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả
khoa học của các nhà khoa học, nghiên cứu, đồng nghiệp
với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc

Hà Nội, ngày

tháng

năm 2009

Trơng Thị Thuý Hảo


Mục Lục

Trang


Mở đầu
Chơng 1: Một số kiến thức bổ trợ.

3
5

1.1.
g gian Banach.

Khôn
5

1.2.
toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai.

Bài
8

1.3.
ơng trình truyền nhiệt một chiều

Ph10

1.4.
ơng pháp sai phân

Ph11

1.5.

M

ột số khái niệm cơ bản về lý thuyết xấp xỉ các không gian
12 và các toán tử tuyến tính
Chơng 2: Hệ phơng trình sai phân
2.1.
17

17

Phơng trình sai phân

2.2.
Hệ phơng trình sai phân tuyến tính bậc nhất
19
2.3.Hệ phơng trình sai phân của phơng trình toán tử
39
Chơng 3: Một số ứng dụng của hệ phơng trình sai
phân
43
3.1.



ng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần đúng bài
toán 43 biên của phơng trình vi phân cấp hai
3.2. ứng dụng hệ phơng trình sai phân giải gần
đúng phơng

47 trình truyền nhiệt một chiều

3.3. ứng dụng của hệ phơng trình sai phân tính toán
ảnh hởng
53 của thuỷ triều đến chế độ ẩm của nền đờng
ở đồng bằng Nam bộ
3.4.
ứng dụng hệ phơng trình sai phân giải một số
bài toán dãy 62


số
Kết luận chung

72

Tài liệu tham khảo

73

Mở đầu
1.Lý do chọn
đề tài:
Phơng trình sai phân thờng xuất hiện khi mô tả những
hiện tợng tiến hoá quan sát đợc trong tự nhiên. Chẳng hạn,
xét quá trình phát triển dân số của một quốc gia hay một
vùng nào đó. Nếu gọi xn+1 là số dân tại thời điểm năm n+1
thì xn+1 là một hàm của số dân xn tại thời điểm năm trớc đó.
Sự liên hệ này đợc mô tả bởi hệ thức:

xn1 f (xn ,n),nN
n
0
Phơng trình sai phân theo một biến n và một hàm phải
tìm xn là phơng trình hàm có dạng

F(un1, un ,..., unk , n) 0,

(0.1)

nN n 0
ở đó k là số nguyên không âm, F là một hàm
theo các biến

un1, un ,..., unk và n là một số nguyên dơng đã cho. Trong
0
, n
trờng hợp
k là hữu hạn, phơng trình (0.1) đợc gọi là phơng trình sai
phân cấp k. Bằng phơng pháp tuyến tính hoá, mọi phơng
trình sai phân cấp k+1 đều có thể
đa đợc về phơng trình sai phân cấp một dạng
f (xn1, x n , n) 0,
0
n
Nn

(0.2)


xn
là những véctơ và hàm véctơ. Vì vậy khi
đâ
(n N n ) xét các phơng
y


0

trình sai phân có cấp hữu hạn trong không gian Rn ta
chỉ cần đề cập đến phơng trình sai phân cấp 1 dạng
(0.2)
Lý thuyết phơng trình sai phân tìm đợc nhiều ứng dụng
trong các lĩnh vực của toán học cũng nh các nghành khoa
học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết điều
khiển, lý thuyết trò chơi, giải tích tổ hợp, kinh tế học, tâm
lý học, Vì vậy, việc nghiên cứu phơng trình sai phân là
một vấn đề thời sự
đợc nhiều nhà toán học quan tâm.
Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài " Hệ phơng trình sai phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp.


2.Mục đích nghiên cứu:
- Nghiên cứu phơng pháp giải một số hệ phơng trình
sai phân tuyến tính cấp một và ứng dụng của nó.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phơng pháp giải và
ứng dụng của hệ phơng trình sai phân.
4.Đối tợng và phạm vi nghiên cứu:
Một số phơng pháp giải hệ phơng trình sai phân tuyến
tính cấp 1 và ứng dụng.
5.Phơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo, tổng hợp kiến
thức.
6.Dự kiến đóng góp mới
Mở rộng, nêu các ứng dụng của hệ phơng trình sai phân.

Do kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế, tôi rất mong
nhận đợc sự góp ý của thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để
luận văn đạt đợc mục tiêu và có hiệu quả hơn.


Chơng 1
một số kiến thức bổ trợ.
1.1.

Không gian Banach.

1.1.1.

Không gian Banach.

Định nghĩa 1.1.1: Một tập X đợc gọi là không gian
metric, nếu với mỗi cặp phần tử x và y của X (viết tắt là x,
yX ) tồn tại một hàm thực hai biến,
ký hiệu X (x, thoả mãn:

y)
* X (x, y)
0,

X (x, y) khi và chỉ khi x=y
= 0

* X (x, y) X ( y, x)
* X (x, y) X (x, z)
+X (z, y)

x, y, zX

Định nghĩa 1.1.2: Một dãy (xn) gồm
các phần tử
đến
phần tử

x0 X , x0 = im xn ,
nếuln
viết


xn X đợc gọi là
hội tụ

lim (xn , x0 ) 0
n

Định nghĩa 1.1.3: Không gian metric X đợc gọi là đầy đủ
nếu mọi dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X hội tụ đến một
phần tử thuộc X
Định nghĩa 1.1.4: Không gian metric X đợc gọi là tuyến
tính nếu với hai
phần tử bất kỳ x và y của X với các phép toán cộng x +y và
phép toán nhân một số với một phần tử

của X cho ta

những phần tử thuộc X thoả mãn các tính chất:
1. x+y=y+x
2. x+(y+z)=(x+y)+z
3. Tồn tại phần tử không (thờng đợc kí hiệu bằng
số 0) của không gian X sao cho với mỗi x X , x + 0 = x


4.Víi mçi phÇn tö x X , tån t¹i phÇn tö
®èi - xX sao cho x+(-x)=0
5.Víi hai sè , vµ mét phÇn tö bÊt k× x X
ta cã:

(x) ()x


1
0
6.Với mọi xX , x.1=x
7.Với mọi số
có:

, và phần tử bất kì x X ta

()x x x
8.Với mọi số
có:

và hai phần tử bất kì x, y của X ta

(x y) x y
Định nghĩa 1.1.5: Chuẩn của một không gian tuyến
tính X là một hàm, thờng đợc kí hiệu là . , xác định trên
toàn không gian X, nhận các giá trị hữu hạn và có các tính
chất sau:
1. x
0

x
X,

x

Với mọi x, yX,
xy

0 khi và chỉ khi x=0

x y

Với mọi số và phần tử bất kì
x của X ta có

x x

Nếu không gian tuyến tính X có chuẩn . thì nó đợc
gọi là không
gian định chuẩn. Không gian định chuẩn X bất kì có thể trở
thành không gian
metric khi
(x,
lấy

x-y

y)

Định nghĩa 1.1.6: Không gian định chuẩn X đợc gọi
là không gian Banach nếu X với với metric sinh bởi chuẩn là
không gian metric đầy.
Ví dụ: Rn và[a, là các không gian Banach
b]
C
1.1.2. Toán tử tuyến tính trong không gian
Banach.
Định nghĩa 1.1.7: Giả sử X và Y là hai không gian
Banach. ánh xạ
T: X Y đợc gọi là tuyến tính nếu :


1
1
K,
, x,
yX

T(x y)
T(x)+ T(y)

(1.1.1)

Định nghĩa 1.1.8: Cho hai không gian Banach X và Y. Một
toán tử A từ X vào Y đợc gọi là bị chặn ( giới nội) nếu tồn tại
hằng số k > 0 sao cho
Ax

k x
Y

X

(1.1.2)


Định lý 1.1.9: Một toán tử tuyến tính A từ không gian
Banach X vào không gian Banach Y là liên tục khi và chỉ khi
nó bị chặn
Định lý 1.1.10: Toán tử tuyến tính A từ không gian
Banach X vào không gian Banach Y có nghịch đảo khi và
chỉ khi N(A)={0}, tức là phơng trình Ax=0 chỉ có một
nghiệm duy nhất x=0
Định lý 1.1.11: Cho A là toán tử tuyến tính từ không
gian Banach X vào không gian Banach Y. Nếu A có toán tử
1
A-1

nghịch đảo A-1 liên tục thì

xX và


(x
X)
,

m

ta có:





1





A-1




m

Ax
x

m

(1.1.3)
X

Y

Ngợc lại nếu có m > 0 nghiệm đúng (1.1.3) thì A-1 tồn tại,
liên tục và
1

ta
có :

A-1
m

Chuẩn trong không gian Banach Rn.

1.1.3.
a.

Hai chuẩn tơng đơng

Định nghĩa 1.1.12: Hai .
chuẩn

1

X đợc gọi là tơng đơng
và viết
C1

x1



x

2

. trên cùng một không gian
vectơ
2

. 1 . 2 nếu tồn tại C1, C2 >0 sao
cho

C
2

x 1 x

(1.1.4)

X
b.

Chuẩn trong không gian Rn

Với mỗi xRn , x=(x1, x2, , xn) ta ký hiệu:
n


□ x □1 x k
k1

□x □ max x : ChuÈn hép


ikn

k

1 n
□ x □□ 
x k
n  k1

1

2
: ChuÈn cÇu


2


Nhận xét :
Nếu

. là hai chuẩn trên không gian
vectơ X mà

.

1

.
.
thì
2
1

2

(X, . ) là không gian Banach khi và chỉ khi (X, . ) là không
gian Banach.
1

2

Định lý 1.1.13: Hai chuẩn tuỳ ý trên Rn là tơng đơng
1.1.4.

Sự hội tụ trong không gian Banach.

Định lý 1.1.14 : Trong không gian Banach, mọi chuỗi hội
tụ tuyệt đối
đều hội tụ và ta có ớc lợng




x k



k1

(1.1.5)

xk

k1

Nhận
xét:
Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và
chỉ khi với mọi
dãy

x n X,xn

xm

0 khi n, m là hội
tụ trong X

1.2.
Bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp
hai.
1.2.1. Định nghĩa:
Định nghĩa 1.2.1: Phơng trình vi phân cấp hai có dạng
tổng quát
F(x, y, y', y")=0

(1.2.1)

với F là một hàm xác định trong một miền D nào đó của
không gian R4. Trong phơng trình (1.2.1) có thể vắng mặt
một số biến nhng bắt buộc phải có biến y".
Nếu từ (1.2.1) ta giải ra đợc đạo hàm cấp cao nhất, tức
là phơng trình (1.2.1) có dạng
y"=f(x, y, y')

(1.2.2)


thì ta đợc phơng trình vi phân cấp hai đã giải ra đối với
đạo hàm cấp cao nhất.
Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phơng trình vi
phân cấp hai phụ thuộc hai hằng số C1 , C2. Trong thực tế,
ngời ta chỉ quan tâm đến nghiệm


của (1.2.1) hoặc (1.2.2) thoả mãn một số điều kiện nào
đấy, một trong các
điều kiện đó là điều kiện ban đầu:
'

y(x0)=y0,
y'(x0)= y0

(1.2.3)

Bài toán biên đối với phơng trình vi phân cấp hai:
Là bài toán tìm nghiệm y=y(x) của phơng trình (1.2.1)
thoả mãn các điều kiện ban yđầu :
y(x0)=y0;
y'(x0)=

y' trong đó
0 x 0, y 0,

'

là các giá trị tuỳ ý cho trớc mà
ta
gọi
0

là các giá trị ban đầu.
1.2.2. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán biên
Định nghĩa 1.2.2: Hàm f(x, u1, u2) xác
định trong miền

D

R3

đợc

gọi là thoả mãn điều kiện Lipsit theo các biến u1, u2 nếu tồn
tại hằng số L>0
(hằng số Lipsit) sao cho đối với hai
điểm bất kì

(x, u 1, u 2 )Dv
à

ta có bất đẳng thức:
(x, u , u )

D
1

2



f (x, u , u ) f u , u )
2
(x,
L u
1

1

1

2



u1
u 2


u2



(1.2.4)





Nhận xét: Điều kiện Lipsit sẽ đợc thoả mãn, chẳng hạn
nếu hàm f trong miền D có các đạo hàm riêng theo u1, u2 giới
f dơng
nội, tức làftồn tại số
u 1

M sao
cho

u 2

M ,

M

Định lý 1.2.3: Giả sử
trong miền

D R 3 hàm f(x, u , u )
liên tục và
1

2


thoả mãn điều kiện Lipsit theo u1, u2. Khi đó với bất
kì điểm trong

x , y , y
D
0

0

0

'

tồn tại duy nhất nghiệm y=y(x) của phơng trình
(1.2.2) thoả

mãn điều kiện ban đầu y '(x ) y'
y(x0)=y0,
0
0
Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của
x 0.
Hệ quả 1.2.4: Giả sử hàm f(x, u1, u2) liên tục trong
miền D cùng với
. Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm
f
các đạo hàm
f y=y(x) của
riêng
,
u
u2
1

phơng trình (1.2.2) thoả mãn điều kiện ban đầu (1.2.3)


1.2.3. Nghiệm tổng quát của bài toán biên đối với
phơng trình vi phân cấp hai
Giả thiết rằng D là miền tồn tại và duy nhất nghiệm
của bài toán biên (1.2.2), tức là nghiệm bài toán biên tồn tại
và duy nhất đối với mỗi điểm

x

0

, y0 ,

0

D .

y'
Hàm

y (x ,

xác định trong miền biến thiên của
các biến x,

C 1, C 2 )

C1, C2 có tất cả các đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp
hai đợc gọi là nghiệm tổng quát của phơng trình (1.2.2)
trong miền D nếu trong D từ hệ
y 0 (x 0 , C1 , C2 )
' (x , C ta có thể xác định đợc :
, C)
'
y
0 x 0
1
2

phơng
trình
C 0

C

0


1

cặp
số

2

2

0

1

0

1

0

y (x,
0
0
C , C )

0

0

0

0

y , y' )

2

là nghiệm của phơng trình (1.2.1)
ứng với mỗi

tìm đợc từ hệ phơng trình trên khi cho x biến
thiên trong D

C ,
0
C
1.3.

,
1

(x

,




hàm

y , y' )

(x

2

Phơng trình truyền nhiệt một chiều

Định nghĩa 1.3.1:
Trong
miền:

Q x, t : 0 x l, 0 t

chúng ta xét bài toán biên của phơng trình truyền nhiệt:
u
Lu
2u

f
(1.3.1)
2
a
t
x,
2
t
x


u

x l

u

u
0

x0

t0



(1.3.2)
(1.3.3)

x
Hàm u(x, t) đợc gọi là nghiệm cổ điển của bài toán
(1.3.1)-(1.3.3), nếu nó liên tục trong miền Q và thoả mãn các
điều kiện (1.3.2) (1.3.3), ngoài ra


trên
miền

Q x,t : 0 x

có các đạo hàm riêng
liên tục

l, 0 t

u 2u
thoả mãn phơng trình (1.3.1).

vàt x2


Định lý 1.3.2: Cho hàm C 0;t , hàm f liên tục
trong miền Q . Khi đó tồn tại không quá một nghiệm u(x,t)
của bài toán (1.3.1)-(1.3.3) thoả mãn điều
kiện
tăng

ax

2

, 0 < x < l, 0 < t < với A là hằng

u(x, t) Ae
số.
1.4.

Phơng pháp sai phân

1.4.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.4.1: Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm
số x(n)=xn với
n Z (hoặc nZ+, hoặc
n N) là hiệu : x

n



xn .

xn1

Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân,
ta gọi tắt sai phân hữu hạn là sai phân.
Định nghĩa 1.4.2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai
phân của sai phân cấp 1 của xn, và nói chung sai phân cấp
k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp k-1 của hàm số
đó.
Nh vậy, sai phân cấp 2 của hàm xn là
2

xn= ( xn)= xn+1- xn=xn+2-xn+1- (xn+1-

xn)= xn+2-2xn+1+xn; Sai phân cấp 3 của hàm xn là
3
2x = (
- 2x -2x
+x )
2x ) =
= x
(x 2x
x
+x
n

n
n+1

n

n+
2

n+
1

n+
2

n+1

n+3

= xn+3- 3xn+2+3xn+1-xn;
Nói chung , sai phân cấp k của hàm xn là:
k

n


k

 xn= ( 

k-1

x n) =
k-1
k-1
 xn+1-  xn=

(-1)i Cik

i=0 x

n+k-i

1.4.2. TÝnh chÊt cña sai ph©n
TÝnh chÊt 1: Sai ph©n c¸c cÊp ®Òu cã thÓ biÓu diÔn qua
c¸c gi¸ trÞ cña hµm sè. TÝnh chÊt 2: Sai ph©n mäi cÊp cña
hµm sè lµ mét to¸n tö tuyÕn tÝnh.


Tính chất 3: Sai phân cấp k của đa
thức bậc m là: i, Đa thức bậc mk nếu k < m
ii, Hằng số nếu
k=m iii, Bằng 0
khi k > m
N

Tính
chất 4:

k
k-1

x n

n

a

với kZ +

k-1

x N1 -
xa

1.5. Một số khái niệm cơ bản về lý thuyết xấp xỉ các
không gian và các toán tử tuyến tính
1.5.1.Xấp xỉ một không gian Banach bằng một dãy các
không gian Banach Giả sử X là một không gian Banach
cho trớc. Để xấp xỉ một phần tử
của X ta sử dụng cấu trúc sau đây.



Xét dãy các không gian
Banach X n



, mà nhờ đó chúng ta sẽ
xấp xỉ

1

không gian X. Liên quan giữa các
không gian X n
sử dụng dãy toán tử tuyến
tính
T
n





1

và không gian X chúng
ta



, TnL X, X
đồng thời

(n = 1, 2),

chúng ta giả thiết Tn X
là tập hợp tất cả các hàm liên tục
Xn .
rằng Ví dụ
trên đoạn
X
1.5.1: Lấy
C0,1
[0;1]. Giả sử nN* là một số tự nhiên bất kỳ, ta chia đoạn
[0;1] thành n phần bằng nhau với các mút chia
t2 < < tn = 1

0 = t0 < t1 <
n


n

Ch Xn R , chúng ta có thể xác định toán tử X
tuyến tính T :

o nh
Xn
sau:
Với x(t) X bất kỳ ta lấy: Tnx(t) = (x(t1);
x(t2), , x (tn)) Dễ dàng thấy rằng Tn là một
toán tử tuyến tính và TnX = Xn
Chúng ta sẽ luôn luôn chọn Xn và Tn sao cho dimXn <
+, Im (Tn) 0
đồng thời số chiều của Xn sẽ là một dãy số tự nhiên tăng và
dần tới vô cùng. Khi đó chúng ta sẽ gọi Tn là toán tử thu hẹp.


Giả sử trong mỗi một không gian Xn ta chọn một phần tử
xn và sắp xếp
chúng thành một dãy có chỉ số
tăng dần
sai lệch
giữa

. Khi đó ta có thể so
sánh độ

xn

1

và phần tử x X bởi
xn
X đại lợng x
n

n

Tnx
X n

và ta




khái niệm hội tụ của
dãy đến phần tử x nh sau:
x
n

1

Định nghĩa 1.5.1: Ta nói rằng
x
dãy
n



1

lim x

n

Khi đó ta ký
hiệu: xn



n

Tnx
X

n

là T hội tụ đến x
X, nếu:

0

n hoặc T
T
lim x n x
n


x,

Bằng cách kiểm nghiệm trực tiếp ta có thể chỉ ra rằng
khái niệm T hội tụ có một số tính chất giống nh khái niệm
hội tụ của dãy số thông thờng. Tuy nhiên T giới hạn của một
dãy bất kỳ có thể là không duy nhất. Để khắc phục
điều đó chúng ta có thể bổ sung thêm cho đúng điều kiện
không suy biến.
Định nghĩa 1.5.2: Ta nói rằng các
chuẩn trong X n
nếu từ : lim T
0 ta suy ra x = 0
x
n

n

là không suy
biến

Xn

Định lý 1.5.3 : Điều kiện cần và đủ để T giới hạn luôn
luôn duy nhất là các chuẩn trong Xn không suy biến.
1.5.2.Xấp xỉ toán tử tuyến tính


Giả sử X và Y là các không gian Banach và A: X
Y là một toán tử tuyến tính có miền xác định
D(A) và miền giá trị R(A), trong đó D(A) X và R(A)
Y. Để xấp xỉ các không gian Banach X và Y ta sẽ sử
dụng các dãy
không gian Banach

X





n

tử thu hẹp
1.5.1.

Y
n

1

, tơng ứng với chúng ta là dãy
các toán


1

'
Tnvà
Tnthoả mãn các điều kiện trong phần


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×