Tải bản đầy đủ

Điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch toàn phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
2

ĐÀM TUẤN ANH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU TRONG BÀI
TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƢƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI
2

ĐÀM TUẤN ANH

ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU TRONG BÀI

TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƢƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI – 2016


LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i
2. Tác giã chân thành cãm ơn PGS. TS. Nguyen Năng Tâm đã t¾n tình
hưóng dan, tao đieu ki¾n cho tác giã hoàn thành lu¾n văn Thac sĩ.
Tác giã xin bày tõ lòng biet ơn các thay cô giáo và cán b® công nhân
viên cua Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã quan tâm giúp đõ.
Tác giã chân thành cãm ơn các thay cô giáo và các ban đong
nghi¾p đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giã hoàn thành lu¾n
văn thac sĩ.
Hà N®i, tháng 12 năm 2016
Tác giã lu¾n văn

Đàm Tuan Anh


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan lu¾n văn này là ket quã nghiên cúu cua riêng
tôi dưói sn hưóng dan cua PGS TS Nguyen Năng Tâm.
Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn tôi đã ke
thùa nhung thành quã khoa hoc cua các nhà khoa hoc và đong nghi¾p
vói sn trân trong và biet ơn.
Tôi xin cam đoan rang các thông tin trích dan trong lu¾n văn đã
đưoc chi rõ nguon goc.
Hà N®i, tháng 12 năm 2016
Tác giã lu¾n văn

Đàm Tuan Anh




Mnc lnc

Mé ĐAU

5

1 KI€N THÚC CHUAN B±

7

1.1. Không gian Euclide Rn....................................................... 7
1.2. T¾p loi, hàm loi.............................................................. 8
1.3. Bài toán quy hoach toàn phương.......................................9
2 ĐI€U KI›N TOI ƯU TRONG BÀI TOÁN QUY HOACH TOÀN
PHƯƠNG

28

2.1. Đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat...............................................28
2.2. Đieu ki¾n toi ưu b¾c hai................................................. 34
K€T LU¾N

48

TÀI LI›U THAM KHÁO

49

3


DANH MUC CÁC KÝ HI›U, CÁC CHU VI€T TAT
Rn

không gian Euclid n chieu.

f : X → Rn

ánh xa đi tù X vào Rn

int A

phan trong cua A

A

bao đóng cua A

∇ f (x)

gradient cua f tai điem x

(., .)

tích vô hưóng trong Rn

". "
chuan trong không gian Rn
(x, y) = {λx + (1 − λ) y|λ ∈ (0, 1)} đoan thang mõ noi x
và y
(x, y) = {λx + (1 − λ) y|λ ∈ [0, 1]} đoan thang đóng noi x
và y


Mó đau
1. Lý do chon đe tài
Quy hoach toàn phương là 1 b® ph¾n đ¾c bi¾t cua quy hoach
toán hocvà có nhieu úng dnng trong lý thuyet cũng như thnc te trong
vòng nua the ki nay, quy hoach toàn phương đưoc phát trien manh
me, các nhà toán hoc nghiên cúu các bài toán quy hoach ngày m®t sâu
sac cã ve các van đe đ%nh tính cũng như các thu¾t toán huu hi¾u đe
giãi các bài toán ve máy tính đi¾n tu. Sau khi đưoc hoc nhung kien
thúc ve toán hoc ve toán giãi tích vói mong muon tìm hieu sâu hơn
nên tôi đã chon đe tài "Đieu ki¾n toi ưu trong bài toán qui hoach toàn
phương" đe nghiên cúu.

2. Mnc đích nghiên cúu
Khão sát đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat, đieu ki¾n toi ưu b¾c hai
trong bài toán quy hoach toàn phương.


3. Nhi¾m vn nghiên cúu
Nghiên cúu ve đieu ki¾n toi ưu trong bài toán quy hoach toàn
phương trong Rn .

4. Đoi tưong và pham vi nghiên nghiên cúu
Đe tài chu yeu t¾p trung nghiên cúu ve bài toán quy hoach toi
ưu và đieu ki¾n toi ưu b¾c nhat, b¾c hai cua bài toán quy hoach toàn
phương.

5. Phương pháp nghiên cúu
Tong hop, phân tích, h¾ thong các kien thúc trong các tài li¾u ve
bài toán quy hoach phi toàn phương.

6. Giá thuyet khoa hoc
Trình bày bài toán quy hoach toàn phương tù đó đưa ra đieu
ki¾n toi ưu b¾c nhat và đieu ki¾n toi ưu b¾c hai cua bài toán quy
hoach toàn phương.


Chương 1
KI€N THÚC CHUAN B±
1.1.

Không gian Euclide Rn
T

T¾p hop Rn := ,x = (x1, ..., xn) : x1, ..., xn ∈ R, vói hai
phép
toán

T

T

(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ...,
T
xn + y n )
T

T

λ(x1, ..., xn) = (λx1, ..., λxn ) , λ ∈ R
l¾p thành m®t không gian véc tơ Euclide n− chieu.
T

Neu x = (x1, ..., xn) ∈ Rn thì xi goi là thành phan ho¾c toa
đ® thú i cua x. Véc tơ không cua không gian này goi là goc cua Rn và
T

đưoc ký hi¾u đơn giãn là 0, v¾y 0 = (0, ..., 0) .
Trong Rn ta đ%nh nghĩa tích vô hưóng chính tac (., .) như sau:
T

T

Vói (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) ∈ Rn ta có
n

(x, y) =



xiyi .

i=1

Đôi khi ta còn ký hi¾u là x Ty. Khi đó vói moi x = (x1, ..., xn)
Rn ta
đ%nh nghĩa
"x " :
(x, x) =
.
=

T




.



n

2

(x i )

i=1

và goi là chuan Euclide cua véc tơ x.

1.2.

T¾p loi, hàm loi

1.2.1. T¾p loi
Đ%nh nghĩa 1.2.1. T¾p X ⊂ Rn đưoc goi là t¾p loi, neu x, y ∈ X, ∀λ


[0, 1], ta có
λx + (1 − λ) y ∈ X
Neu X là t¾p loi và đong thòi là t¾p đóng (mõ) trong Rn thì ta goi X là
t¾p loi đóng (tương úng, mõ).
Ví dn 1.2.1. T¾p rong, hình cau trong Rn là nhung t¾p loi.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. T¾p X ⊂ Rn goi là t¾p đa di¾n loi neu X có dang
X = {x : Ax ≤ b}, trong đó A là ma tr¾n cap m × n và b ∈ Rn.
Đ%nh nghĩa 1.2.3. T¾p K ⊂ Rn goi là nón neu vói moi x ∈ K, t ≥ 0
ta có tx ∈ K. Neu nón K là t¾p loi thì K goi là nón loi.
Đ%nh nghĩa 1.2.4. Cho X ⊂ Rn là m®t t¾p loi và f : X → R. Ta nói
f là hàm loi trên X khi và chi khi
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λ f (x) + (1 − λ) f (y) , ∀ x, y ∈ X, λ ∈
[0, 1]
Ví dn 1.2.2. a) Hàm hang f (x) = a là m®t hàm loi trên R. b)
Hàm
f (x) = x3 là hàm không loi trên R.


1.3.

Bài toán quy hoach toàn phương

1.3.1. Bài toán quy hoach toàn phương
Đ%nh nghĩa 1.3.1. Ta nói rang f : Rn → R là m®t hàm toàn phương
tuyen tính neu õ đó ton tai m®t ma tr¾n D ∈ Rn×n, m®t véc tơ c ∈
Rn và m®t so thnc α sao cho

=

f (x)

1

Dx +
cT

T
vói moi x ∈ Rn . x
2
 d11...d1n
.............
Neu D

=
dn1...d

thành

x+α

=

1
2


 1

 .
.
, c =  c
.

c

(x, Dx) + (c, x) + α

 1

 .
 , x =  .x.


x

n

nn

.
1
f (x) =

nn

∑∑

d ij x i x j

(1.1)


, thì (1.1) trõ


n

.

n

+



i=1

ci xi + α

j=1 i=1

2.
.
Vì x T Dx = 21 xT D + DT x vói moi x ∈ Rn, nên trong (1.1)
chúng ta
.
.
có the thay D bõi m®t ma tr¾n đoi xúng 1 D + DT . Vì v¾y,
chúng
2
ta giã su rang ma tr¾n vuông trong bieu dien cua hàm toàn phương
tuyen tính là đoi xúng. Không gian các ma tr¾n đoi xúng n × n
n×n
đưoc ký hi¾u
.
S là R

Đ%nh nghĩa 1.3.2. Bài toán (P) đưoc goi là m®t bài toán quy hoach
toán hoc toàn phương tuyen tính (ho¾c quy hoach toàn phương) neu
f là m®t hàm toàn phương tuyen tính và ∆ là m®t t¾p đa di¾n loi.
Trong (1.1), neu D là ma tr¾n không thì f là m®t hàm afine. Do v¾y,
lóp các quy hoach tuyen tính là m®t lóp con cua lóp các quy hoach


toàn phương. Trong trưòng hop tong quát, các quy hoach toàn
phương là các bài toán quy hoach không loi.


Ví dn 1.3.1. Bài toán quy hoach toàn phương sau là không loi
min f ( x ) = x2 − x2 , x ∈ ∆
1

2

.
.
trong đó ∆ = x = (x1, x2) ∈ R2| 1 ≤ x1 ≤ 3, 1 ≤ x2 ≤ 3 .
Rõ ràng neu chúng ta bõ hang so α trong bieu thúc (1.1) cua f thì
ta không làm thay đoi t¾p nghi¾m cua bài toán min { f (x) : x ∈
∆}, trong đó ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p đa di¾n loi. Do đó, thay cho (1.1)
chúng ta
có dang đơn giãn hơn f ( x ) 1 Dx + x cua hàm mnc tiêu
T
=
T c
x
2
Chúng ta goi các bài toán quy hoach toàn phương
.
.
min 1 x T Dx + c T x : x ∈ n, Ax ≥ b
,
2
.
.
min 1 x T Dx + c T x : x ∈ n, Ax ≥ b, x
2
≥0
.
1
2
,
.
T
T
n
min
x Dx + c x : x ∈ , Ax ≥ b, Cx = d
là dang chuan tac, dang chính tac và dang tong quát (tương úng). Đ
%nh nghĩa trên cua bài toán quy hoach toàn phương chính tac là đưoc
thùa nh¾n bõi vì bài toán quy hoach toàn phương cua dang này có rat
nhieu quan h¾ vói bài toán dang tuyen tính.
Đ%nh nghĩa 1.3.3. M®t ma tr¾n D ∈ Rn đưoc goi là xác đ%nh
dương (xác đ%nh âm) neu vT Dv > 0 (tương úng v T Dv < 0) vói
moi v ∈ Rn \ {0}. Neu v T Dv ≥ 0 (tương úng v T Dv ≤ 0) vói moi v
∈ Rn thì D
đưoc goi là nua xác đ%nh dương (tương úng là nua xác đ%nh âm).
M¾nh đe 1.3.1. Cho f ( x )

=

1
T
x
2

Dx +
cT

x + α vói D ∈ Rn×n, c ∈
Rn
S


và α ∈ R. Neu D là ma tr¾n nua xác đ%nh dương thì f là m®t hàm loi.
Chnng minh. Vì x ›→ c T x + α là m®t hàm loi và tong cua hai hàm loi
là m®t hàm loi nên đe chúng minh f là hàm loi ta chi ra rang f1 (x)
:=


x T Dx là m®t hàm loi. Giã su D là m®t ma tr¾n nua xác đ%nh
dương. Khi đó, vói moi u ∈ Rn và v ∈ Rn ta có
0 ≤ (u −

T

D (u − v) = u T Du − 2v T Du + v T Dv

v)
Tù bat đang thúc trên suy ra
v T Dv ≤ u T Du − 2v T D (u − v)

(1.2)

Vói bat kỳ x ∈ Rn , y ∈ Rn và t ∈ (0, 1) cho trưóc bat kỳ, chúng ta
đ¾t
z = tx + (1 − t) y.
Tù (1.2) chúng ta có
z T Dz ≤ y T Dy − 2zT D (y − z)
z T Dz ≤ x T Dy − 2zT D (x − z)
Vì y − z = t (y − x) và x − z = (1 − t) (x − y), tù hai bat
đang thúc cuoi chúng ta suy ra rang

(1 − t) z T Dz + tz T Dz ≤ (1 − t) y T Dy + tx T Dx
Do đó
f1 (tx + (1 − t) y) = f1 (z) ≤ t f1 (x) + (1 − t) f (y)
V¾y f1 là m®t hàm loi.
Neu D là nua xác đ%nh âm thì hàm f đưoc cho bõi (1.1) là
lõm, nghĩa là
f (tx + (1 − t) y) = f1 (z) ≥ t f (x) + (1 − t) f (y)
vói moi x ∈ Rn, y ∈ Rn và t ∈ (0, 1). Trong trưòng hop ma tr¾n
D
không nua xác đ%nh dương và cũng không nua xác đ%nh âm, chúng ta
nói rang f (x)

=

1
T
x
2

Dx +
cT

x, õ đây c ∈
Rn

là m®t hàm toàn phương


tuyen tính không xác đ%nh. Bài toán quy hoach toàn phương vói hàm
mnc tiêu toàn phương tuyen tính không xác đ%nh đưoc goi là quy
hoach toàn phương không xác đ%nh.
Chú ý. De thay rang neu f đưoc cho bõi công thúc (1.1), thì ta có

∇2 f (x) = D vói moi x ∈ Rn.
Ví dn 1.3.2. Cho k điem a1, a2, ..., ak trong Rn, chúng ta muon tìm
m®t điem x ∈ Rn mà tong
2

f ( x ) := " x −

+ ... + "x − a2k"

a1 "
đat giá tr% cnc tieu cua nó. Ta thay rang
.

k

f (x) =



k

T

( x − ai ) ( x − ai ) =

kx T x − 2



i=1

k

.

x+

T

ai

i=1

∑i

aTai
i=1

là m®t hàm toàn phương loi. Ta có x là m®t nghi¾m cua bài toán
neu và chi neu ∇ f (x) = 0. Vì
k

∇ f (x) = 2kx − 2 ∑ ai,
i=1

chúng ta có the viet đieu ki¾n 0 = ∇ f ( x ) tương đương vói
x=
Như v¾y x

=

1
k

1
k

k



ai .

i=1

k

∑ ai là nghi¾m duy nhat cua bài toán. Điem đ¾c bi¾t
i=1

x đưoc goi là barycenter cua h¾ {a1, a2, ..., ak} .
1
1
a
+
a2 . Đ¾t
1
Đau tiên, chúng ta đ%nh nghĩa z1
2
2

=

i

1
i−1


vói moi i ≥
2.

zi

=

z
i+1

+

a
i+1


Bang phương pháp quy nap không khó đe chi ra rang x := zk−1
là barycenter cua h¾ {a1, a2, ..., ak}. Thnc hi¾n xây dnng theo
thú tn trong tâm cua m®t h¾ các điem trong R2, đó là ti¾n ích đe
su dnng
trong dang véc tơ cua công thúc xác đ%nh zi sau đây:
1

−−z−
i
− →z

vói moi i ≥
2.

1

i + −−z−i −1→ai
1

i

=
Ví dn 1.3.3. Lay ∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, Cx = d}, õ đó A ∈ R m ×
n, C ∈ Rs×n, b ∈ Rm và d ∈ Rs. (Đang thúc Cx = d có the
thieu trong công thúc. Tương tn, bat đang thúc Ax ≥ b cũng có
the thieu). Lay
αi (i = 1, ..., na
) , ˜ (i = 1, ...,
n), β và thnc thõa mãn các đieu
ki¾n

β˜ là m®t ho cua 2n + 2 các giá
tr%



i



=

1,

ai

i=1

Chú ý rang

=1

n

n

(1.3)

˜

2

.

i=1

.
n

x ∈ Rn :

M=



ai xi + β = 0

i=1



.
M˜ =

.
x ∈ R : ∑˜ ai xi + β˜ = 0
n

n

i=1

là hai siêu phang trong Rn. Tìm x ∈ ∆ sao cho hàm
2

f ( x ) = (dist ( x, M )) − .dist .x,2 M˜ .. ,
trong đó dist (x, Ω) = inf {"x − z" : z ∈ Ω} là khoãng cách tù x
đen
m®t t¾p con Ω ⊂ Rn, đat cnc tieu. Chúng ta có
.
.
n


dist (x, M) = .∑ αi xi +
β.
..
..
.i=1
.

(1.4)


Đe chúng minh công thúc này chúng ta xét quy hoach toàn phương
loi sau đây
2

min ,ϕ (z) = "x − z" : z ∈ M,

(1.5)

Ta có z = (z1, ..., zn) ∈ M là nghi¾m cua (1.5) neu và chi neu õ đó
ton tai µ ∈ R sao cho
0 ∈ ∂ϕ (z) + µ (α1, ..., αn) .
Khi đó ∂ϕ (z) = {∇ ϕ (z)} = {−2 (x − z)}, ket lu¾n này là đat
đưoc neu và chi neu
µ
Có nghĩa là z = x −
ta có

2 (x − z) = µ (α1, ..., αn) .

2

α, õ đây α := (α1, ..., αn). Khi z ∈ M, chúng

µ
0 = (α, z) + β = (α, x) − (α, α) + β.
2
The vào (1.3) chúng ta thu đưoc µ = 2 ((α, x) + β2). Do đó
µ
2
2
(dist (x, M)) = "x − z" = x − .x − α.
2
=.
.
µ 2
2
(α, α) = ((α, x) + β) .
2
Do đó (1.5) luôn đúng. Tương tn ta có
.
.
n
.
.dist .x, M˜ .. = .∑ αi xi + β˜ .

y

.. ˜
.i =1
.

f (x)

=

n

.
. −

2



=

∑∑

˜˜
j=1 i=1

.

∑ α˜

xi

αixi + β

i=1
n n

n

.

i=1
αiα j xixj

αiαj −

.
.
.

.2
+ β˜

i

+ 2n .βαi − β˜α.i



i=1

˜

xi +
2
2
.β − β . .
˜


Tù đây chúng ta ket lu¾n rang f (x) là hàm toàn phương tuyen
tính; v¾y bài toán chúng ta xét õ trên là m®t bài toán quy hoach toàn
phương õ dang tong quát.


De dàng chi ra như v¾y neu chúng ta chon
 10

A = 
01

 −10


1 






 , b = 1 



 −3 




0−1

−3

α = (1, 0) , β = 0, ˜α = (0, 1) , β˜ = 0
thì bài toán đưoc thnc hi¾n, õ đây phương trình Cx = d b%
khuyet. Trong trưòng hop này, chúng ta có
M = {x = (x1, x2) : x1 = 0, x2 ∈ R} ,
M˜ = { x = ( x1 , x2 ) : x1 ∈ R, x2 = 0} ,
dist ( x, M) = | x1 | và dist .x, M˜ . = | x2 |
1.3.2. Đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m bài toán quy hoach toàn phương
Xét m®t bài toán quy hoach toàn phương dang chuan tac
min f (x)
:=

1
T
x
2

Dx +
CT

x vói x ∈
Rn

, Ax ≥ b

(1.6)

trong đó D ∈ Rn×n
, A ∈ Rm×n, c ∈ Rn và b ∈ Rm
S
Đ%nh lý 1.3.1. [10, trang 108] Neu θ = in f { f (x) : x ∈ ∆ (A, b)}
là m®t so thnc hñu han thì bài toán (1.6) có m®t nghi¾m.
Chnng minh. Chúng ta se chúng minh theo Blum and Oettli (1972). Tù
giã thiet θ ∈ Rn, suy ra ∆ (A, b) ƒ= ∅. Chon m®t điem x0 ∈ ∆ (A,
b). Lay ρ > 0 tùy ý cho trưóc. Đ¾t
.
.
∆ρ = ∆ (A, b) ∩ B x0, ρ .
Chú ý rang ∆ρ là t¾p loi, khác rong và compact. Xét bài toán sau
.
.
min f (x) : x ∈ ∆ ρ
(1.7)


Theo đ%nh lý Weierstrass, ton tai y ∈ ∆ρ sao cho
f (y) = qρ := min

.

f (x ) : x ∈ ∆ ρ

.

. Vì t¾p nghi¾m cua (1.7) là khác rong và compact, nên ton tai yρ ∈ ∆ρ
sao cho
yρ − x
min

0

.

=

y=x

0

.
: y ∈ ∆ ρ , f (y) = qρ

Chúng ta khang đ%nh rang õ đó phãi ton tai ρ > 0 sao cho
yρ − x 0

< ρ vói moi ρ ≥ ρ

(1.8)

Th¾t v¾y, neu khang đ%nh này sai thì chúng ta se tìm m®t dãy tăng
ρk → +∞ sao cho vói moi k ton tai yρk ∈ ∆ρk sao cho
.
.
f yρ k = qρk,


− x 0 = ρk

(1.9)

k

Đe đơn giãn các ký hi¾u, chúng ta viet yk thay cho yρk. Khi đó yk ∈
∆ (A, b), chúng ta có Aiyk ≥ bi vói i = 1, ..., m, trong đó Ai bieu th
% dòng thú i cua A và bi bieu th% phan tu thú i cua b. Vói i = 1,
khi
đó dãy .A 1 y k . là b% ch¾n dưói, chúng ta có the chon dãy con {kr } ⊂
{k} sao cho lim
A1ykr ton tai. Không mat tính tong quát, giã su rang
kr →∞
.
.
{kr } ≡ {k}, khi đó dãy A 1 y k h®i tn tói chính nó. Tương tn, vói i = 2
õ đó ton tai m®t dãy con { kr } ⊂ {k} sao cho lim A2ykr . Không mat
r

kr→∞

tính tong quát, giã su rang {k } ≡ {k}. Tiep tnc quá trình trên vói
i = m đe tìm m®t không gian con {kr } ⊂ {k} sao cho tat cã các giói
han
lim
kr →∞

Aiykr , (i = 1, ..., m)

ton tai. Đe đơn giãn, chúng ta giã su rang {kr } ≡ {k} . Lay I =


{1, ..., m} ,
I0 =

.
.
.
.
k
k

I
=
I
\
I
=
1
0
i ∈ I : lim Aiy = bi
i ∈ I : lim Aiy > bi .
k→∞

k→∞


Do v¾y tai đó ton tai ε > 0 và i ∈ I1 sao cho
lim Aiyk > bi + ε
.

Theo (1.9),

k→∞

.

yk − x0 /ρ k

= 1 vói moi k. Vì hình cau đơn v% trong
Rn

là m®t t¾p compact, không mat tính tong quát, giã su rang dãy
. k
.
y − x0
ρk
h®i tn đen v ∈ Rn khi k → ∞. Rõ ràng, "v" = 1. Khi ρk → +∞,
vói moi i ∈ I0 chúng ta có
.

0 = lim .A i y k − bi . =
lim
k→∞

= lim

.

. ρk 0
Ax b
i .−
+ lim
k→∞

.

k→∞ .

Aiyk − bi

yk
Ai

x0

i

k→∞


ρ

=

Ai v.

ρk

k

Tương tn, vói moi i ∈ I1 chúng ta

.

Aiyk − bi

.


k

0 ≤ lim inf .A i y − bi . =
lim inf
k→∞

k→∞

.

= lim

yk − x0 +
lim
.
k→∞

Ai
k→∞


v¾y

ρk

ρk

.

Ai x 0 −
.
bi
ρk

= Ai v
Aiv = 0 vói moi i ∈ I0, Ai v ≥ 0 vói moi i ∈ I1.

(1.10)


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×