Tải bản đầy đủ

Điểm bất động trong không gian Metric xác suất có kỳ vọng toán học

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

LÊ TH± THANH HOA

ĐIEM BAT Đ®NG TRONG KHÔNG GIAN
METRIC XÁC SUAT CÓ KÌ VONG TOÁN
HOC
Chuyên ngành: Toán Giái tích
Mã so: 604601

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan: TS. Hà ĐNc Vưang

Hà N®i - 2010


LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 dưói
sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong.

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành, sâu sac tói TS Hà Đúc
Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh
nghi¾m quí báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn quan
tâm, đ®ng viên, khích l¾ và t¾n tình hưóng dan đe tác giá vươn lên trong
hoc t¾p và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n
văn. Tác giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu
sac nhat đen thay.
Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành đen Ban giám hi¾u trưòng
Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhà
trưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích đã
tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.
Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên
và tao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này.
Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá

Lê Th% Thanh Hoa


LèI CAM ĐOAN

Tác giá xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tác
giá dưói sn hưóng dan cna TS Hà Đúc Vưong.
Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tác giá đã ke thùa
nhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet
ơn.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá

Lê Th% Thanh Hoa


Mnc lnc

Lài cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lài cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



ii

Mnc lnc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Má đau

1

Chương 1. Kien thNc chuan b%

6

1.1. Không gian metric xác suat . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Hàm phân bo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2. Chuan tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. M®t so chuan tam giác cơ bán . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4. Không gian metric xác suat . . . . . . . . . . . . .

10

1.2. Không gian đ%nh chuan xác suat . . . . . . . . . . . . . . .

23

Chương 2. Điem bat đ®ng trong không gian metric cau

30

2.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.2. Ánh xa co và điem bat đ®ng trong không gian metric 45
2.1.3. M®t so ví du úng dung . . . . . . . . . . . . . . . .

48


iv

2.2. Không gian metric cau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Chương 3. Điem bat đ®ng trong không gian metric xác suat
có kỳ vong toán hoc

59

3.1. Không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc . . . . . .

59

3.2. Điem bat đ®ng trong không gian metric xác suat có kỳ vong
toán hoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69



7

1. Lý do chon đe tài
Trong khoa hoc cũng như trong ky thu¾t nhieu bài toán dan tói vi¾c
nghiên cúu van đe sau:
Vói không gian X bat kỳ, M là m®t t¾p hop con cna X, A : M −→
M
là ánh xa tù M vào chính nó. Xét phương trình Ax = x, vói các đieu ki¾n
cu the ta khang đ%nh sn ton tai nghi¾m cna nó. Khi đó, điem x ∈ M
thóa mãn phương trình Ax = x đưoc goi là điem bat đ®ng cna ánh xa
A trên t¾p hop M . Vi¾c nghiên cúu ve điem bat đ®ng đã thu hút đông
đáo các nhà toán hoc quan tâm. Các ket quá nghiên cúu ve lĩnh vnc này
đã hình thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng”.
Sn phát trien cna “Lý thuyet điem bat đ®ng” gan lien vói tên tuoi cna
các nhà toán hoc lón trên the giói như: Banach, Brouwer, Schauder,
Tykhonov, Kakutani, Ky Fan,. . . M®t trong nhung đ%nh lý noi tieng
trong lý thuyet này là đ%nh lý điem bat đ®ng Banach hay chính là
Nguyên lý ánh xa co Banach.
Theo dòng l%ch sú, Lý thuyet điem bat đ®ng đưoc nghiên cúu theo hai
hưóng chính:
Hưóng thú nhat nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna các ánh xa liên tuc,
mó đau là Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912).
Hưóng thú hai nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna các ánh xa dang co,
mó đau là Nguyên lý ánh xa co Banach (1922).


Năm 1942, K. Menger đã đưa ra khái ni¾m “metric xác suat ”. Đó là
sn mó r®ng “xác suat ” cna khái ni¾m metric thông thưòng: thay cho
vi¾c xét khoáng cách d(x, y) giua hai điem x, y trong không gian metric
(X, d), ngưòi ta xét hàm phân bo Fx,y (t) bieu dien xác suat đe cho d
(x, y) < t, vói t là m®t so thnc. Khái ni¾m này đã thu hút sn quan tâm
cna nhieu nhà toán hoc, đ¾c bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dnng lý
thuyet ve không gian metric xác suat, viet thành sách chuyên kháo xuat
bán năm 1983.
Đ¾c bi¾t, năm 1972, V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid đã công
bo ket quá ve dang xác suat cna nguyên lý ánh xa co Banach.
Năm 2009, m®t ket quá rat mói đưoc công bo trong bài báo: “Mathematical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point
Theorem” cna hai nhà Toán hoc: Gao Junyu và Su Yongfu. Đó là nguyên
lý ánh xa co trong không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc. Không
gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc đưoc đ%nh nghĩa vói metric là
tích phân suy r®ng:

¸
+∞

tFx,y (t) dt < +∞.

0

Sn huu han cna tích phân này dan đen khá năng xác đ%nh đưoc cna
m®t metric tương úng, goi là metric cau. Đong thòi trong bài báo này, hai
nhà Toán hoc nói trên đã đưa ra moi quan h¾ cna không gian metric cau
và không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc, tù đó mó r®ng đưoc
nguyên lý ánh xa co cho không gian metric xác suat.
Vói mong muon đưoc tìm hieu ve lý thuyet điem bat đ®ng và đưoc tiep
c¾n vói nhung ket quá mói trong lĩnh vnc này tác giá chon đe tài nghiên
cúu:
"ĐIEM BAT Đ®NG TRONG KHÔNG GIAN METRIC
XÁC SUAT CÓ KÌ VONG TOÁN HOC"
Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương n®i dung và m®t danh muc
tài li¾u tham kháo.


9

Chương 1 trình bày các khái ni¾m ve hàm phân bo, chuan tam giác đe
tù đó xây dnng đ%nh nghĩa ve không gian metric xác suat và không gian
đ%nh chuan xác suat.
Như ta đã biet, “Nguyên lý ánh xa co Banach (1922)” là ket quá kinh
đien cna “Lý thuyet điem bat đ®ng”. Năm 1972, V. M. Sehgal và A. T.
Bharucha – Reid mó r®ng ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa co
Banach trong không gian metric sang không gian metric xác suat. Ket quá
đó đưoc trình bày trong Đ%nh lý 1.1.1.
Trong không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆), neu t chuan
thóa mãn đieu ki¾n ∆ (a, a) “ a, ∀a ∈ [0; 1) thì (X, F, ∆) chúa m®t
ho giá metric. Đó chính là n®i dung Đ%nh lý 1.1.2.
Phan cuoi cna chương này, tác giá trình bày ve không gian đ%nh chuan
xác suat.
Vói moi không gian đ%nh chuan xác suat (X, F, min) ta có the xây
dnng
đưoc m®t không gian loi đ%a phương tách {X, pλ : λ ∈ (0; 1)} (vói pλ là
núa chuan trên X) mà tôpô cna chúng trùng nhau.
Chương 2 nói ve điem bat đ®ng trong không gian metric cau. Đau
chương, tác giá trình bày nhung kien thúc cơ bán ve không gian metric
như: đ%nh nghĩa không gian metric, sn h®i tu, dãy Cauchy, không gian
metric đay đn.
Tiep đó, tác giá trình bày nguyên lý ánh xa co Banach và m®t so ví du
úng dung cna nó.
Phan cuoi tác giá trình bày m®t khái ni¾m mói là không gian metric
cau. Không gian metric cau đưoc đ%nh nghĩa gan như tương tn không
gian metric. Tuy nhiên ó đieu ki¾n cuoi cùng thay vì bat đang thúc tam
giác thông thưòng, bat đang thúc tam giác ó đây xuat hi¾n m®t hang so
K “ 1 : dK (x, y) ™ K (dK (x, z) + dK (z, y)) . Trong không gian
metric
cau, nhung đ%nh nghĩa ve h®i tu, dãy Cauchy, tính đay đn cũng tương tn
như trong không gian metric.


N®i dung quan trong cna chương này là đ%nh lý 2.2.1 ve điem bat đ®ng
trong không gian metric cau.
Chương 3 tác giá trình bày ve điem bat đ®ng trong không gian metric
xác suat có kỳ vong toán hoc. Trong chương này tác giá trình bày ve đ%nh
nghĩa không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc, sau đó trình bày
moi quan h¾ giua không gian metric cau và không gian metric xác suat có
kỳ vong toán hoc (Đ%nh lý 3.1.1).
Tiep theo tác giá trình bày cách xây dnng tôpô trong không gian metric
xác suat có kỳ vong toán hoc (Đ%nh lý 3.1.2).
Cuoi cùng là Đ%nh lý 3.2.2 nói ve điem bat đ®ng cna ánh xa co xác suat
trong không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc.
2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích cna Lu¾n văn là tong ket, h¾ thong lai các ket quá ve nguyên
lý ánh xa co trong không gian metric xác suat, không gian metric cau và
không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc. Lu¾n văn dna trên ket quá
cna Gao Junyu và Su Yongfu trong bài báo: “ Mathematical Expectation of
Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem”.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu các ket quá đã đat đưoc ve điem bat đ®ng không gian
metric xác suat, không gian metric cau và không gian metric xác suat có
kỳ vong toán hoc.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Nghiên cúu ve: “Điem bat đ®ng trong không gian metric xác
suat có kỳ vong toán hoc”.
5. Phương pháp nghiên cNu
- Đoc sách, nghiên cúu tài li¾u chuyên kháo.


- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.
6. NhÑng đóng góp mái
Trình bày m®t cách h¾ thong các kien thúc cơ bán ve nguyên lý ánh xa
co trong không gian metric xác suat có kỳ vong toán hoc.


Chương 1
Kien thNc chuan b%

Khái ni¾m “Metric xác suat” đưoc nhà toán hoc Menger đưa ra vào
năm 1942, thay cho vi¾c xét khoáng cách d (x, y), ngưòi ta xét hàm
phân bo Fx,y (t) bieu dien xác suat đe d (x, y) < t, vói t là m®t so thnc
nào đó. Khái ni¾m này đã thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà
toán hoc trên the giói.
Chương này tác giá trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve không gian
metric xác suat, hàm phân bo, chuan tam giác và ket quá ve điem bat
đ®ng cna V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid. Sau đó giói thi¾u ve
không gian đ%nh chuan xác suat và xây dnng tôpô trong không gian này.

1.1.
1.1.1.

Không gian metric xác suat
Hàm phân bo

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xa bat
kỳ T : X → Y đưoc goi là núa liên tuc trên tai x0 ∈ X neu vói moi
t¾p mó G chúa T x0 đeu ton tai lân c¾n U cna x0 sao cho:
T (U ) ⊂ G.


1
3

Neu ánh xa T núa liên tuc trên tai moi điem x ∈ X, thì T là núa liên
tuc trên trên X.
Đ%nh nghĩa 1.1.2. [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xa bat
kỳ T : X → Y đưoc goi là núa liên tuc dưói tai x0 ∈ X neu vói moi
t¾p mó G mà G ∩ T x0 đeu ton tai lân c¾n U cna x0 sao cho:
T (U ) ∩ G ƒ= 0.
Neu ánh xa T núa liên tuc dưói tai moi điem x ∈ X, thì T là núa liên
tuc dưói trên X.
Nh¾n xét 1.1.1. Ta có t¾p hop {x ∈ X : Tx ™ α} là t¾p đóng thì ánh xa
T là núa liên tuc dưói.
Và t¾p hop {x ∈ X : Tx > α} là t¾p đóng thì ánh xa T là núa liên
tuc trên.
Các t¾p hop đó đưoc goi là các t¾p múc trên và t¾p múc dưói cna T .
Đ%nh nghĩa 1.1.3. [22] M®t ánh xa F : R → [0; 1] đưoc goi là m®t
hàm phân bo (distribution function) neu nó không giám, núa liên tuc
dưói và
inf F (t) = 0, sup F (t) = 1.
t∈R

t∈R

Ví dn 1.1.1. Cho F : R+ → [0; 1] đưoc xác đ%nh như sau:

t
vói ∀x,
Fx,y (t) =
y ∈ R+ . 
neu t > 0
 t + d (x, y)

0
neu t = 0
Khi đó Fx,y (t) là m®t hàm phân bo.


ChÚng minh.
Trưóc het ta chúng minh Fx,y (t) là hàm không giám. Vói t1, t2 ∈ R+,
giá sú 0 < t1 < t2 ta có
Fx,y (t1) =

t1
,
t1 + d (x, y)

Fx,y (t2) =

t2
.
t2 + d (x, y)
Ta phái chúng minh Fx,y (t1) ™ Fx,y (t2).
Th¾t v¾y, ta có
t2

(t2 − t1 ) d (x, y)

t1

t2 + d (x, y)
t1 + d

=
(t2 + d (x, y)) (t1 + d (x, y))

(x, y)
Do t2 > t1 > 0 nên t2 − t1 >
0. M¾t khác

t1 + d (x, y) > 0, t2 + d (x, y) > 0.
Suy ra

(t2 − t1 ) d (x, y)


(t2 + d (x, y)) (t1 + d (x,
0.
y))
t2
t1

0. “
t2 + d (x, y)
t1 + d (x, y)

Hay

Ta


Fx,y (t1) ™ Fx,y (t2) .

V¾y Fx,y (t) là hàm không giám.
Tiep theo, ta chúng minh Fx,y (t) là hàm núa liên tuc dưói.
Do Fx,y (t) là hàm liên tuc nên Fx,y (t) là núa liên tuc
dưói.
Cuoi cùng ta tính sup Fx,y (t) và
inf
Ta


li
m
t→+∞

y)

Fx,y (t).

t∈R+

t∈R+

t
t + d (x,

.

.
= lim 1

t→+∞



d (x, y)

.

t + d (x, y)
d (x, y)


= lim 1
t→+∞

= 1.

lim
→+∞

t + d (x, y)


V¾y sup Fx,y (t) = 1.
t∈R+

Fx,y (t) =
M¾t khác, do Fx,y (t) = 0 khi t = 0 nên hien nhiên ta có
inf 0.
t∈R+

V¾y Fx,y (t) là hàm phân bo.
1.1.2.



Chuan tam giác

Đ%nh nghĩa 1.1.4. [22] M®t ánh xa ∆: [0; 1] × [0; 1] −→ [0; 1]
đưoc goi là m®t chuan tam giác (triangular norm) hay viet tat là t chuan neu nhung đieu ki¾n sau đưoc thóa mãn:
1. ∆(a, 1) = a, ∀a ∈ [0, 1].
2. ∆(a, b) = ∆(b, a), ∀a, b ∈ [0; 1].
3. ∆(a, b) ™ ∆(c, d) neu a ™ c, b ™ d và a, b, c, d ∈ [0; 1].
.
.
.
.
4. ∆ a, ∆(b, c) = ∆ ∆(a, b), c , ∀a, b, c ∈ [0; 1].
1.1.3.

M®t so chuan tam giác cơ bán

Ta xét m®t so chuan tam giác cơ bán thưòng g¾p sau đây:
∆1(a, b) = max {a + b − 1, 0}.
∆2(a, b) = a.b.
∆3(a, b) = min {a, b}.
Các t - chuan trên có the đưoc sap xep theo thú tn sau đây:
∆1 ™ ∆2 ™ ∆3 .
Th¾t
v¾y: Ta

∆1(a, b) = max{a + b − 1,
0} =


0

neu a + b − 1 < 0

 a + b − 1 neu a + b − 1 “ 0.


Vì a, b ∈ [0; 1] nên a − 1 ™ 0, b − 1 ™ 0 suy ra
ab − a − b + 1 “ 0 ⇐⇒ ab “ a + b − 1.
Vì v¾y ∆1 ™ ∆2.
M¾t khác, do a, b ∈ [0; 1] nên ab ™ min{a, b}, hay ∆2
™ ∆3. V¾y ta có
∆1 ™ ∆2 ™ ∆3 .
1.1.4.

Không gian metric xác suat

Đ%nh nghĩa 1.1.5. [22] Không gian metric xác suat (probabilistic metric
space) là m®t c¾p sap thú tn (X, F ). é đây X là m®t t¾p khác rong và
ho các hàm phân bo F = {Fx,y (t) : x, y ∈ X} , t ∈ R thóa mãn các
đieu ki¾n sau:
1. Fx,y (0) = 0, ∀x, y ∈ X.
2. Fx,y (t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ x = y.
3. Fx,y (t) = Fy,x(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X.
4. Neu Fx,z (t1) = 1 và Fz,y (t2) = 1 thì Fx,y (t1 + t2) = 1, ∀x, y, z
∈ X.
Ví dn 1.1.2. Cho không gian metric (X, d), xác suat P . Vói moi x, y ∈
X, moi t ∈ R đ¾t Fx,y (t) = P {d (x, y) < t}.
Ho các hàm phân bo F = {Fx,y (·)} , ∀x, y ∈ X là m®t metric xác
suat trên X.
Khi đó ta có (X, F ) là m®t không gian metric xác suat.
ChÚng minh.
Ta kiem tra các đieu ki¾n trong Đ%nh nghĩa 1.1.5:
1. Do d(x, y) “ 0, ∀x, y ∈ X nên
Fx,y (0) = P {d(x, y) < 0} = P (∅) = 0.


2. Ta chúng minh Fx,y (t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ P {d (x, y) < t} = 1,
∀t > 0.
Neu x ƒ= y =⇒ d (x, y) > 0. Đ¾t t1 = d
(x, y), do tính trù m¾t cna t¾p R nên
t1 > 0 =⇒ ∃t2 > 0 vói 0 < t2 < t1 .
Suy ra P {d (x, y) < t2} = 0 mâu thuan vói giá
thiet. V¾y x = y.
Neu x = y, ∀t > 0 suy ra
Fx,y (t) = Fx,x (t)
= P {d (x, x) < t}
= P {0 < t}
= 1.
V¾y Fx,y (t) = 1, ∀t > 0, ∀x, y ∈ X ⇐⇒ x = y.
3. Do d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X nên
Fx,y (t) = P {d(x, y) < t}
= P {d(y, x) < t}
= Fy,x(t).
V¾y Fx,y (t) = Fy,x (t).
4. Giá sú ta có
Fx,y (t) = P {d(x, y) < t} = 1, ∀x, y ∈ X, ∀t ∈ R,
Fy,z (s) = P {d(y, z) < s} = 1, ∀x, y ∈ X, ∀s
∈ R. Ta can chúng minh Fx,z (t + s) = P {d(x, z) < t +
s} = 1. Th¾t v¾y, do
Fx,y (t) = P {d(x, y) < t} = 1 ⇐⇒ d(x, y) < t, ∀x, y ∈ X,


Fy,z (s) = P {d(y, z) < s} = 1 ⇐⇒ d(y, z) < s, ∀y, z ∈ X.
Suy ra
d(x, z) ™ d(x, y) + d(y, z) < t + s, ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó

Fx,z (t + s) = P {d(x, z) < t + s} = 1.

V¾y ho F = {Fx,y (·)}, ∀x, y ∈ X là m®t metric xác suat trên X và (X,
F)
là m®t không gian metric xác suat.



Đ%nh nghĩa 1.1.6. [22] Không gian metric xác suat Menger (Menger
prob- abilistic metric space) là m®t b® ba có thú tn (X, F, ∆). Trong đó
(X, F ) là không gian metric xác suat, ∆ là t- chuan thóa mãn các đieu
ki¾n sau:
1. Fx,y (0) = 0, ∀x, y ∈ X.
2. Fx,y (t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ x = y.
3. Fx,y (t) = Fy,x(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X.
4. ∆ (Fx,y (t) , Fy,z (s)) ™ Fx,z (t + s) , ∀t, s ∈ R, ∀x, y, z ∈ X.
Nh¾n xét 1.1.2. Ta nh¾n thay không gian metric xác suat Menger là
trưòng hop riêng cna không gian metric xác suat. Vì các đieu ki¾n 1, 2, 3
cna Đ%nh nghĩa 1.1.5 và Đ%nh nghĩa 1.1.6 trùng nhau nên ta chí can kiem
tra đieu ki¾n 4 cna Đ%nh nghĩa 1.1.6.
Th¾t v¾y, giá sú Fx,y (t) = 1, Fy,z (s) = 1, ∀t, s ∈ R, vói moi x, y, z ∈ X
thì
Fx,z (t + s) “ ∆ (Fx,y (t) , Fy,z (t))
= ∆ (1, 1)
= 1.


Do đ%nh nghĩa cna hàm phân bo: sup Fx,y (t) = 1 nên suy ra Fx,z (t + s) =
1.
t∈R

V¾y không gian metric xác suat Menger là trưòng hop riêng cna không
gian metric xác suat.
Nh¾n xét 1.1.3. Neu (X, F, ∆) là m®t không gian metric xác suat
Menger thì nó là m®t không gian tô pô Hausdorff, tô pô sinh bói m®t
ho (ε, λ)- lân c¾n:
{Ux (ε, λ) : x ∈ X, ε > 0, λ > 0} ,
ó
đây

Ux (ε, λ) = {y ∈ X : Fx,y (ε) > 1 −
λ} .

Đ%nh nghĩa 1.1.7. [22] Cho không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆)
.
Dãy {xn} ⊂ X đưoc goi là h®i tu tói x ∈ X neu vói ε > 0 và λ > 0
tùy ý, ton tai m®t so nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho Fxn,x (ε) > 1
− λ vói moi n > N .
Đieu này nghĩa là:
Vói ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho Fxn,x (ε) > 1 −
λ
vói moi n > N . Túc là lim
n→∞

Fxn,x (ε) = 1.

Đ%nh nghĩa 1.1.8. [22] Cho không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆)
.
Dãy {xn} ⊂ X đưoc goi là m®t dãy Cauchy neu vói ε > 0 và λ > 0 tùy
ý, ton tai m®t so nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho Fxn,xm (ε) > 1 −
λ vói moi n, m > N .
Đieu này nghĩa là:
Vói ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho Fxn,xm (ε) > 1
−λ


vói moi n, m > N . Túc là lim
n,m→∞

Fxn,xm (ε) = 1.


Đ%nh nghĩa 1.1.9. [22] M®t không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆)
đưoc goi là đay đn neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i tu đen m®t điem
thu®c X.
Ví dn 1.1.3. Cho không gian metric xác suat Menger (X, F, ∆) và dãy
{xn} ⊂ X. Giá sú ∆ (a, b) = min {a, b}. Neu ton tai m®t hang so h ∈ (0;
1)
sao cho
Fxn,xn+1 (ht) “
Fxn



1,x
n

(t) , n = 1, 2, 3, ...

thì {xn} là m®t dãy Cauchy thu®c X.
ChÚng minh.
Theo giá thiet ta có:
Fxn,xn+1 (ht) “
Fxn
Suy ra

− 1,x
n

(t) , ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .
.

⇐⇒ Fxn ,xn+1 (t) “
Fxn−1 ,xn

Fxn,xn+1

.
.

h

“ F xn
t

1,x

t

.



.

.
, ∀t > 0, n = 1, 2, 3, . . .

“ ...“
t Fx1,x2

t
2hn−1

..

2h2

2h

Lay m bat kỳ. Khi đó ta có
.
.
t
t
Fxn,xn+m (t) = Fxn,xn+m
+
2 2
.
.
t
.
“ ∆ Fxn,xn+1

.

2

.

, Fxn+1,xn+m

= min .
.
Fxn,xn+1
.t
.

2
.

t

.

t

..

2
, Fxn+1,xn+m

(1.1)


.

t

..

2
“ min Fxn,xn+1
... ... .. .
.
“ min Fxn,xn+1

.

t

.

,
2 Fxn+1,xn+2
.
.

t

,
2
Fxn+1,xn+2

.
, Fxn+2,xn+m

4
.
.
4

t

..

4
.

t



, . . . , Fxn+m

t

..

n+m
1,x

2m

.


.

Suy ra

.
Fxn,xn+1

Fxn,xn+m (t) “
min

.

t

. , . . . , Fxn+m


t
,x ..
1n+m

2

.

(1.2)

2m

Tù (1.1) và (1.2) ta có

.

Fxn,xn+m (t) “
Fx1,x2

.
t
.
2mhn−1

Vói h ∈ (0; 1) , t > 0, m bat kỳ ta có
t
.
Vì sup
Fx1,x2

→ ∞, khi n → ∞.
m n−1
t .2 h
2mhn−
= 1 nên vói λ > 0 và n đn lón ta đưoc
1

Fx1,x2 .

t
m
2 hn−1

. > 1 − λ.

Suy ra
Fxn,xn+m (t) > 1 − λ.
Khi đó ta có
lim
n→∞

Fxn,xn+m (t) = 1.

V¾y {xn} là dãy Cauchy.



Đ%nh nghĩa 1.1.10. [27] Cho (X, F, ∆) là không gian metric xác
suat Menger. Giá sú ∆ (a, b) = min {a, b}. Ánh xa T tù không gian
metric xác suat Menger vào chính nó goi là ánh xa co xác suat neu có
m®t hang so k ∈ (0; 1) sao cho
FT x,T y (t) “
Fx,y

.
.t
k

.


Năm 1972, V. M. Sehgal và A. T. Bharucha – Reid đã mó r®ng ket
quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa co Banach trong không gian metric sang
không gian metric xác suat. Sau đây tác giá trình bày ket quá này.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×