Tải bản đầy đủ

Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều

1

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS GVCC Nguyễn Phụ Hy
người thầy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn
chỉnh đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải
tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các bạn học viên cao học Toán Giải tích
K13 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT Mê Linh đã tạo điều kiện về thời
gian cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và bảo vệ đề tài.
Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Tác giả.


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là
trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi
sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích
dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc .
Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả


MỤC LỤC
Mở đầu

Trang

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị..............................................................8
1.1 Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực........................................8
1.1.1 ác định nghĩa................................................................................... 8
1.1.2 Một số không gian định chuẩn thực................................................9
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự..................................................... 18
1.2.1 Một số định nghĩa và tính chất........................................................ 18
1.2.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.........................................25
1.2.3 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự..............................26
1.3 Không gian

E..............................................................................................34
u
0

1.3.1 Định nghĩa không gian

E................................................................34
u
0

1.3.2 Một số tính chất về không gian

E...................................................34
u
0

1.3.3 Một số ví dụ về không gian

E.........................................................37
u
0


Chương 2: Toán tử u0 - lõm và toán tử lõm chính quy đều.........................40
2.1 Toán tử

u0 -lõm............................................................................................40

2.1.1 Các định nghĩa.................................................................................40
2.1.2. Một số tính chất đơn giản về toán tử uo lõm..............................41
2.1.3. Ví dụ về toán tử uo lõm..............................................................44
2.2 – Toán tử lõm chính quy đều.......................................................................46
2.2.1 ác định nghĩa...................................................................................46
2.2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử lõm chính quy đều...............47
2.2.3 Ví dụ về toán tử lõm chính quy đều................................................49
Chương 3: Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều.........51


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tử lõm là lớp các toán tử quan trọng trong giải tích hàm phi tuyến.
Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về lớp toán tử này. Mở đầu là năm
1956 nhà toán học người Nga M.A. Craxnoxenki đã nghiên cứu về lớp toán tử này.
Ông đã đưa ra các kết quả quan trọng về toán tử lõm trong không gian Banach thực
nửa sắp thứ tự. Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học I. A. Baxtin đã mở rộng các kết quả
đó cho lớp toán tử u0 - lõm (1958) và u0 -lõm đều trong luận án tiến sĩ khoa học của
mình (1959, 1963).
Tuy nhiên khi ứng dụng các kết quả đạt được về lớp toán tử lõm và u0 -lõm
đều thì điều kiện u0 - đo được lại trở nên phức tạp trong một số trường hợp. Hơn
nữa, có những lớp toán tử phi tuyến tuy không thoả mãn điều kiện u0 - đo được
nhưng lại có các tính chất phổ dụng như toán tử lõm – đó là toán tử lõm chính quy.
Ở nước ta vào những năm 1980, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu và đạt
được một số kết quả cho lớp toán tử lõm chính quy, trong đó không yêu cầu lớp
toán tử này có tính chất u0 - đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu về toán tử lõm chính quy đều, cùng với sự hướng dẫn
tận tình của PGS.TS GVCC Nguyễn Phụ Hy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài:
“Điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều”
Luận văn chỉ tập trung nghiên cứu một số tính chất của toán tử lõm chính quy
đều và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử này.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu một số tính chất về toán tử lõm chính quy đều và điểm bất động
của loại toán tử này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu


- Nghiên cứu, hệ thống hóa các tính chất đã có về điểm bất động của toán tử

uo lõm.
- Trên cơ sở những tính chất về điểm bất động của toán tử u lõm, nghiên
o
cứu một số tính chất về điểm bất động và sự tồn tại điểm bất động của lớp toán tử
lõm chính quy đều.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Toán tử lõm chính quy đều, điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều.
- Sự tồn tại điểm bất động của toán tử lõm chính quy đều.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc sách, nghiên cứu lý luận và tài liệu tham khảo.
- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp mới
Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về điểm bất động của
toán tử lõm chính quy đều và một số ví dụ áp dụng.


CHƯƠNG I :

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 – Một số kiến thức về không gian định chuẩn thực.
1.1.1 Các định nghĩa.
Định nghĩa 1.1.1.1: Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn trên E là một
ánh xạ từ E vào R , kí hiệu là  ,thỏa mãn các tiên đề sau :
i.

x E,
x

ii.

x E, R,
x

iii.

x, y E x y
:


0,
x

0 x ( Phần tử trong E);
  . x ;

x y .

Không gian tuyến tính thực E cùng 1 chuẩn trên nó được gọi là không
gian định chuẩn thực, kí hiệu  E,  hay E. Số x được gọi là chuẩn của x .
Định nghĩa 1.1.1.2 : Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm



xn
tụ tới x E nếu lim x

0 . Kí hiệu lim xn x
hay

x

x

Ta có một số tính chất sau :
1) Nếu xn x  n  thì dãy
chuẩn

x

E gọi là hội
n n1

xn x  n  .

xn  x  n

hay nói cách

 

khác hàm là hàm giá trị thực liên tục theo biến x .

 Nếu dãy điểm xn hội tụ trong không gian định chuẩn E thì dãy
chuẩn tương ứng

x

n

bị chặn.


 Nếu lim xn x, lim yn y trong không gian E và dãy số n hội tụ

x

y

tới  thì : lim xn yn x y ; lim  n xn x .
n

n


Định nghĩa 1.1.1.3 : Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
E


xn n1

gọi là

*

dãy cơ bản trong E nếu : lim x
n
n,m
xm

m, n n0 ta


xn
xm

0 . Hay

 



0  n0 N

sao cho

.

Định nghĩa 1.1.1.4 : Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach nếu mọi
dãy cơ bản trong E đều hội tụ về một phần tử thuộc E.
1.1.2 Một số không gian định chuẩn.
– Không gian

1.1.2.1

c0

Xét không gian tuyến tính :
c0  x xn  , xn R,  n 1, 2, 3,...., xn hội tụ về 0}.
Với 2 phép cộng và nhân thông thường, tức với
x y x1 y1 , x2 y2 ,...

x xn  , y yn

và ℝ thì

 c0

x x1 ,x2 ,...
1)

c là một không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử x x



0

x max
xn
1n

Thật vậy, vì

n n1

.
(1.1)

 
x  xn

hội tụ về 0 và
n1

x  ℝn
n

nên vế phải của (1.1) tồn

tại. Ta đi kiểm tra ba tiên đề về chuẩn đối với (1.1).
i.

cho

x xn  c0 ta đều
có :

x max
x

0 ,

1n

Hơn nữa x 0 max
xn
1n

0 xn 0n 1, 2, 3,...


ii.

x 0, 0, 0,...., 0,..x  (là vecto không trong không
gian

x c0 , R , ta có :

x max
xn
1n

  max
xn
1n

  . x .

c0 ).


10

iii.

x, y c0 : x xn  , y yn , ta có :
x y Ma x
n
x
yn
1n

 yn x max y

max 1n

max

x

n
1n

x y .

1n

Vậy công thức (1.1) xác định một chuẩn trên c0 .
Sự hội tụ trong không gian c0 tương ứng với sự hội tụ đều của dãy số thực.

2)

Giả sử dãy




lim
s

x
x



 s



x

hội tụ tới x
trong không
s1
xn gian

s

c0 . Theo định nghĩa có:



 0 , nghĩa là:

 
0



s0
x

N   s s  :
0

max
1n

x 

 

s
xn x s s0 

 s

 xn  xn

Chứng tỏ dãy

s

*

s s0 , n 1, 2,...

 x s hội tụ đều
tới

Ngược lại, giả sử có dãy

s
n N * .


xn

n

khi





s

 s 

, y 

,...

y
c





0

y

1

 s 

,y

s

2

y y1 , y2 ,.... Theo sự hội tụ đều của dãy số ta có :



 
0



s0
N

*

 s

s0

:
yn

 s

 yn 

n ℕ

*

hội tụ đều tới


11



 n ℕ

*

yn

s0 

y 


y 

lim y
Do

0

s

n

0

n

Suy ra max
yn
y
gian

 s 

 y
n

 s0 

 y
n

.

n

0 , nghĩa


n
n



s 

y
,

y , s s0
n

1n

s0

y

nhỏ tuỳ ý nên lim
y


 0 s 

n
n

3)

y

s0 

 y

hội tụ về y trong không

y c .
0

s s0

c0 .

c0 là không gian Banach.



Giả sử

 s

x







s 

 x1 ,
s 1
x2

s 





,...........

s1

là một dãy cơ bản tùy ý trong c0 .


Theo định nghĩa dãy cơ bản thì :





*

 0 s0
N

hay



max s  p
x x

0

s 

 x

n



x
n

 s 

s

x

 ,

*

x

n

n

1.2

.

 s, p s0 , n
N

Chứng tỏ rằng với mỗi n cố định, dãy

lim x

p 

p

n

giới hạn :

s 

x



n

1n

, s, p s  :

x là dãy số thực cơ bản nên có
s

n

n 1, 2, 3,...

Đặt x  x , x ,.......
 1 2
. Do (1.2) không phụ thuộc vào n cho p trong
(1.2) ta có :
xn s   x  s s0 , n
1.3
*
n
,
N


Từ (1.3) ta có max x ns  xn


Do dãy

x


s s0 , n N*

hội tụ về 0 với mỗi s cố định suy ra

 s 

n

max x 

1n

n

lim xn 0
.



n

Do đó dãy

s






x



 x1

s 

s 

,
x2


,...

s1

Vậy

c0

1.1.2.2

là không gian Banach.

– Không gian

M a, b.



s1

hội tụ tới


x  x1 , x2
,...



.
c0


Xét không gian các hàm số xác định và bị chặn trên a, b:
M

x x  t : x

a.b{ t  t 
hường.

xác định và bị chặn trên a, b} với 2 phép toán thông

x y  t x t y t , t  a, b
x  t x t ,R, t  a, b
Với x x t  , y y t  M a, b ,R .


1) M a, blà không gian đinh chuẩn với chuẩn của phần
tử

x x  t cho bởi :



x sup x t .

(1.4)

at b

Vì x  t bị chặn trên

nên tồn tại sup
at
b

a,b

x  t . Do đó vế phải của (1.4) xác định.

Ta đi kiểm tra ba tiên đề về chuẩn đối với (1.4).
x x  t  M a, b  , ta có :

i.

x sup x  t
at b

x  t 0 sup x  t 0
at b


 mà

Hơn nữa x 0 sup x  t 0
at b

x 0 .

ii.

x t 0 .



x  t 0t  a, b



x x t  M  a, b , R ta có :
x sup x  t .sup x  t  x .
at b

iii.

at b

x x t  , y y  t  M a, b  , ta có :
x y sup y x  t

sup
at b

x  t y  t
at b

sup

x t
at b

sup

at b

y t

x y .



Vậy M a, blà không gian định chuẩn.

2) Sự hội tụ trong không gian M a, btương ứng với sự hội tụ đều của dãy
hàm bị chặn trên a, b.
Thật vậy, giả sử dãy hàm xn t
gian

M a, b.

Ta có : lim


n1

xn x 0

M  a,
b

hội tụ tới x t trong
không

hay 0  n N *   n n

:

x


x 
0

n

sup x t x t , n
   
at b n
n0 
xn t



n

xn  t x  t , n n0 , t
 a, b

hội tụ đều đến x  t trên a, b.



0


Ngược lại, giả sử dãy hàm xn




n1

M  a,

Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm: b 





*

 0 n0
N



t  a, b , x  t
 xn

Do hàm

t

x

0



n
n0

t






a, b :

t x t
xn

xác định và bị chặn trên a,

hội tụ đều về x.

0

 x
t



 .

t  .
0

nên hàm x t xác định và bị chặn

b

n

xn
t





trên a, b, nghĩa x t  M  a,b. Suy ra:


0



 n n

*

xn
x

Vậy
n

t


t


a, b

sup xn  t x  t 

thì xn t x t


hay

x

0

n
N

at
b

, n n0 .

hội tụ về x  t trong không gian M a, b.



3) Không gian M a,
Thật vậy:

là không gian Banach với chuẩn xác định bởi (1.4).

b

Giả sử xn t là một dãy hàm cơ bản thì

0 n0
xm  t x

N
*

n

t


m, n n

0

có :



sup xm  t xn  t 
at
b

xm  t xn  t , m, n n0 , t   a, b  .

Hệ thức (1.5) chứng tỏ với mỗi t  a,b
  cố định,
dãy

(1.5)
xm t là một dãy cơ


bản nên tồn tại giới hạn lim x  t x  t  ,t   a,b
m
m

– Có hàm x t xác định trên a, b .

 


– Trong (1.5), do không phụ thuộc vào n nên cho n , được :
xm  t x  t , m n0 , t  a, b
 x  t  x  t , m n , t   a, b
m
0


sup x t
at b

sup

xm  t , m n0

at b

x sup x t , m n
0
at b m

Do xm t bị chặn nên x t bị chặn, hay x t  M a, b.





Mà theo (1.5) : x t x t , m, n n , t   a, b  , không phụ
m
n
0
thuộc


t nên cho n , ta
được

xn  t x  t , t   a,
b   Dãy x

trên a, b. Mà sự hội tụ đều
x  t trong



 x t

m

M  a,
b

t  hội tụ đều về
n

n1

tương đương với sự hội tụ nên

hội tụ về x  t khi m .


Vậy

M a,

là không gian Banach.

b

1.1.2.3

– Không gian D a, b
m
Xét không gian các hàm số giá trị thực, xác định và có đạo hàm liên tục

đến cấp m trên a, b , m ℕ*
Dm  a, b{ x x t  xác định và khả vi liên tục đến cấp m trên a, b  } với hai

phép
xác định như trong M  a,
1. Không gian b.
Dm a,
b

là không gian định chuẩn với chuẩn của phần tử


x x t  xác định bởi :



 

'
''
'''
x max x t , x  t , x  t , x  t ,....... x m  t  .
atb

(1.6)

Do hàm x t  xác định và khả vi liên tục đến cấp m trên đoạn

 a,b

các hàm số

x  t  , x '  t ,...,
x

 m

liên tục trên  a,b , do đó mỗi hàm có giá trị lớn

t 

nhất trên  a,b . Vậy vế phải của (1.6) tồn tại. Ta chứng minh các tiên đề
về chuẩn :
i.

nên

x x t  Dm a, bTa có :




x max x t , x'  t , x''  t , x''' t ,....... x
at b

0

 m

t  0



'
''
'''
x max x  t , x  t , x  t , x t ,....... x

mà x 

at b

t  0

 m

 x  t  x '  t ... xm t 0, t   a, b

x  t 0, t   a,
b

ta có:

x .

ii.

x x  t  Dm a,
b ,R

x max x  t , x' t , x''  t , x''' t ,....... x
at b





  .max x t , x  t , x  t , x  t ,....... x
atb

'

''

'''

t 

 m

 m



t 

  . x .

iii. x, y Dm a, có :
b



'
'
x y max x  t y t , x  t y  t ,......., x
at b



max x  t

at b

y  t ,......., x





max x  t ,......., x
at b

 m

x y

 m 

t

y

m

 m 

t y t 
m

t  

t  Max y t ,......., y t 
m

at b

Vậy công thức (1.6) xác định một chuẩn trên D a, b
.
m

2. Sự hội tụ trong D a,
m

đối với chuẩn (1.6) tương đương với sự hội tụ

b

đều của dãy hàm khả vi liên tục cấp m trên a,
b

cùng với dãy đạo hàm của nó.


Thật vậy, giả sử dãy hàm

gian D a, b  . Ta
m
có:

x n
n1

lim xn x 0
n

hội tụ đến hàm x x t trong không






 n n

0  N *
n
:
0

max

0

x t,x  t

 

x n k

 0 

xn

 

t x k t

x
Vậy dãy

x

x  t






k

xn

t

t x m t  
 

n

t  a,

k 1, 2,..., m,

0

t x t .

hội tụ đều đến x  t trên đoạn  a,b  cùng với dãy đạo

n


hàm

 m

b ,

t
,

t

'

n

,
trong đó

n

x  t x  t ,.........., x
'

n

atb

x x 



hội tụ đều đến đạo hàm x

 k 

t trên
b , đoạn a,

Ngược lại, giả sử dãy hàm xn t Dm a,

k 1, 2,..., m.

hội tụ đều đến hàm x  t cùng



b



với

dãy đạo hàm

k

xn

t

hội tụ đều đến đạo hàm x

 k 

t trên đoạn a, b,

 k 1, 2,...,
m  . Hiển

x t  Dm a, b  . Theo định nghĩa hội tụ đều ta có

nhiên,

 0 



n0
N

*

 n n



a, b:

t


0

xn t x t ,
x ' n t x '  t ,


 m 

xn

max
x
at b




t 

x


t  ,

t x t ,.............,n x t x t  
 m 

n

 m

xn x

 m 


, t  a, b , n
n0
xn t hội tụ x  t

tới

trong

Dm a, b  .

iv. Không gian D a, blà không gian Banach với chuẩn (1.6)
m
Giả sử xn  xn  t là một dãy cơ bản tùy ý trong không gian Dm a, b  .



Ta có :

0 

0

n0 ℕ *



n, p n

thì xn xp 


hay max
x



t ,......., xmt xm t  ,
t
x
n

at b

p

n

p

xn  t x p  t ,


x 'n t x 'p

t 


,

(1.7)

...
xnmt

x t 

 n, p n0 t  a, b
,
,

m

Với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc  a,b dãy

 


xn t

tồn tại

lim xn  t x  t . Ta nhận được hàm

số

là dãy số thực cơ bản, nên

n1

x  t xác định trên đoạn a, b. Do



n

bất đẳng thức đầu tiên trong (1.7) không phụ thuộc t, cho p  ta được:

xn  t xp

t 
nghĩa là dãy

 


xn

t

 n n0 ,
,

hội tụ đều tới hàm x t trên
nên a, b,

x t xác định và

n1

liên tục trên a,
b.

Lập luận hoàn toàn tương tự, dãy đạo hàm cấp một

 x ' t

n

hội tụ đều đến hàm


 t trên a, b. Theo một định lí trong giải tích cổ điển thì hàm





số

hàm liên tục trên đoạn a,

x 't

bvà

t  ,
x 'n  t x '  t



Giả

sử dãy đạo hàm

 1 . Khi đó
k1m


x  t có đạo



xn

k



t  a, b  . Do đó:

n n0 , t   a, b.

k

k 

hội tụ đều đến đạo hàm

xn

t
 k 

 , .
 ',
t  x t
t  a b


n

x


t

trên
b đoạn a,

với


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×