Tải bản đầy đủ

Đa tạp quán tính đối với một lớp phương trình tiến hoá cấp 2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO
TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

CUNG TH± HƯàNG

ĐA TAP QUÁN TÍNH ĐOI
VéI M®T LéP PHƯƠNG
TRÌNH TIEN HÓA CAP HAI

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC
Chuyên ngành: TOÁN GIÁI TÍCH
Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS. Cung The Anh

Hà N®i -2011


1

LèI CÁM ƠN
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2
dưói sn hưóng dan cna TS. Cung The Anh.

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS. Cung The Anh.
Sn t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay trong suot quá trình hoc t¾p
và làm lu¾n văn đã giúp tác giá trưóng thành hơn rat nhieu ve cách tiep
c¾n m®t van đe mói. Cám ơn các thay cô giáo giáng day chuyên ngành
Toán Giái tích đã nhi¾t tình cung cap các tri thúc khoa hoc giúp tác
giá nâng cao trình đ® tư duy, hoàn thành tot quá trình hoc t¾p và làm
lu¾n văn. Tác giá cũng xin đưoc cám ơn tói Ban Giám hi¾u và các đong
nghi¾p ó trưòng THPT Quang Minh đã quan tâm giúp đõ và tao moi
đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá yên tâm hoc t¾p trong suot hai năm vùa
qua.
Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè đã giúp
đõ, đ®ng viên k%p thòi đe tác giá hoàn thành bán lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá


LèI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi.
Trong khi nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc
cna các nhà khoa hoc và đong nghi¾p vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 10 năm 2011

Tác giá


Mnc lnc
Má đau....................................................................................4
Chương 1. SN ton tai và duy nhat nghi¾m cúa phương trình
tien hóa cap hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
........

7

1.1. Giái thi¾u toán tN A và nNa nhóm etA . . . . . . . . . . . . . .7
1.2. Phương trình tien hóa cap hai và đ%nh nghĩa nghi¾m tích
phân cúa nó.......................................................................................11
1.3. SN ton tai nghi¾m cúa phương trình tien hóa cap hai


16
1.3.1. Sn ton tai đ%a phương..............................................................................................16
1.3.2. Sn ton tai toàn cuc và tính duy nhat nghi¾m.................................................18

Chương 2. SN ton tai và các tính chat cúa đa tap quán tính

20

2.1. Đ%nh nghĩa đa tap quán tính...............................................20
2.2. SN ton tai và các tính chat cúa đa tap quán tính . . .

28

2.3. Ví dn áp dnng

35

2.3.1. Ví du 1............................................................................................................35
2.3.2. Ví du 2............................................................................................................37

KET LU¾N....................................................................39
Tài li¾u tham kháo..............................................................40


1. Lí do chon đe tài
Mé ĐAU
Vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu
là m®t trong nhung bài toán cơ bán cna v¾t lý toán hi¾n đai. M®t trong
nhung cách tiep c¾n bài toán này đoi vói các h¾ đ®ng lnc tán xa vô
han chieu, sinh bói các phương trình đao hàm riêng phi tuyen ho¾c các
phương trình vi phân hàm, là nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cna
t¾p hút toàn cuc. Đó là m®t t¾p compact, bat bien, hút moi t¾p b% ch¾n
và chúa nhieu thông tin ve dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m cna h¾ đ®ng
lnc đang xét.
Neu m®t h¾ đ®ng lnc vô han chieu có m®t t¾p hút toàn cuc vói so
chieu huu han thì có the đưa vi¾c nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna
h¾ đ®ng lnc đang xét ve vi¾c kháo sát các tính chat cna m®t h¾ đ®ng
lnc huu han chieu. Tuy nhiên vì cau trúc cna t¾p hút toàn cuc rat phúc
tap, nó không the mô tá chi tiet đưoc trong nhung trưòng hop quan
trong nhat, nên vi¾c kien thiet các h¾ đ®ng lnc huu han chieu này
không the tien hành đưoc. Ngoài ra, t¾p hút toàn cuc thưòng không on
đ%nh đoi vói các nhieu và toc đ® hút các nghi¾m vào t¾p hút toàn cuc
thưòng rat ch¾m.
Bói các lí do trên, các nhà toán hoc đã đưa ra m®t khái ni¾m mói
là khái ni¾m đa tap quán tính cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu, ( xem
[4]). Đa tap quán tính là m®t đa tap bat bien huu han chieu, nó chúa
t¾p hút toàn cuc và hút các quy đao nghi¾m theo toc đ® mũ. Hơn nua,
có the chuyen vi¾c nghiên cúu các h¾ đ®ng lnc vô han chieu ban đau ve


vi¾c nghiên cúu m®t h¾ phương trình vi phân thưòng trên đa tap quán
tính. Hi¾n nay vi¾c nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cna đa tap
quán tính cna các h¾ đ®ng lnc vô han chieu là m®t chn đe thòi sn thu
hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc trong và ngoài nưóc, (
xem [1] - [10]).
Chính vì v¾y, chúng tôi chon đe tài cna lu¾n văn là: "Đa tap quán
tính đoi vói m®t lóp phương trình tien hóa cap 2".
2. Mnc đích nghiên cNu
Nghiên cúu sn ton tai và dáng đi¾u ti¾m c¾n cna nghi¾m cna m®t
lóp phương trình tien hóa cap 2 (theo bien thòi gian) có dang:

du
 d2 u
 2 + 2ε
+. Au = B(u, t) , t > s, ε > 0
dt
dtdu.
. =u
.
1
u|t=s =
d
u0 ,
t
t=s

trong đó A là toán tú tn liên hop dương vói pho ròi rac và B(·, ·) là m®t
ánh xa tù D(Aθ) × R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, thóa mãn các tính chat:
"B(0, t)" ≤ M0
"B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ M1"Aθ(u1 − u2)"
vói moi u1, u2 thu®c mien xác đ%nh Fθ = D(Aθ) cna toán tú Aθ, " ·
" là chuan cna không gian H.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
• Nghiên cúu sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân toàn cuc.
• Nghiên cúu sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán tính.
• Xây dnng m®t so ví du minh hoa ket quá cna lu¾n văn.


6

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
• Đoi tưong nghiên cúu: Phương trình tien hóa cap 2, sinh bói các
phương trình hyperbolic phi tuyen.
• Pham vi nghiên cúu: Sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán
tính.
5. Phương pháp nghiên cNu
• Sú dung phương pháp núa nhóm đe chúng minh sn ton tai duy nhat
nghi¾m tích phân.
• Sú dung phương pháp Lyapunov - Perron đe chúng minh sn ton tai
cna đa tap quán tính.
6. NhÑng đóng góp cúa đe tài
• Chúng minh đưoc sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân toàn
cuc.
• Nghiên cúu đưoc sn ton tai và các tính chat cna đa tap quán tính.
• Xây dnng đưoc m®t so ví du minh hoa ket quá cna lu¾n văn.


Chương 1
SN ton tai và duy nhat nghi¾m cúa
phương trình tien hóa cap hai
Trong chương này chúng tôi se phát bieu bài toán và chúng minh các
đ%nh lý ve sn ton tai và duy nhat nghi¾m cna phương trình tien hóa cap
hai trong m®t không gian Hilbert tách đưoc H.
Trưóc tiên ta xem xét m®t so kien thúc bo tro đóng vai trò quan
trong trong các phan tiep sau đó.

1.1.

Giái thi¾u toán tN A và nNa nhóm etA

Đ%nh nghĩa 1.1.1. Giá sú H là không gian Hilbert khá ly vói tích vô
hưóng (·, ·) và chuan " · ". Cho A là toán tú tuyen tính dương tn
liên hop vói mien xác đ%nh D(A). Khi đó toán tú A đưoc goi là có
pho ròi rac neu trong không gian H ton tai m®t cơ só trnc chuan gom
các vectơ riêng {ek}
(ek, ej ) = δkj,
= 1, 2, ... , (1.1.1)

Aek = λkek,

k, j


sao cho
0 < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . , lim λk = ∞.

(1.1.2)

k→∞

Cau trúc đưoc nói đen ó trên cna toán tú A giúp ta đ%nh nghĩa toán
tú f (A) cho m®t lóp r®ng các hàm f (λ) xác đ%nh trên núa truc
dương như sau:
.
D(f (A))
=

h=


.



ck e k ∈ H :

.

.

c2 [f (λk)]2 < ∞ ,

k

k=1


f (A)h =

.

k=1

ckf (λk)ek,

D(f (A)).

h∈

(1.1.3)

k=1

Đ¾c bi¾t, ta có the đ%nh nghĩa toán tú Aα vói α ∈ R như sau
.
.
.
.
α


2
D(A )
h=
ck ek ∈ H :
c [λα]2 < ∞ ,
=
k

k=1

α

A h=

.

k

k=1
k ckλ

α

ek, h ∈ D(Aα).

k=1

Vói α = −β < 0 thì các toán tú này b% ch¾n. Tuy nhiên, trong
trưòng hop này, vi¾c giói thi¾u các ”mien tuyen tính” D(Aα) cũng
thu¾n ti¾n neu ta xem D(A−β ) như m®t sn bo sung cna không gian H
vói vi¾c thùa nh¾n chuan "A−β".
Ta có m®t so tính chat sau cna toán tú Aα:
i. Vói bat kỳ β ∈ R toán tú Aβ là m®t toán tú b% ch¾n tù D(Aα)
vào D(Aα−β ) sao cho
Aβ D(Aα) = D(Aα−β ), Aβ1+β2 = Aβ1 .Aβ2 .

(1.1.4)

ii. Không gian Fα ≡ D(Aα) là m®t không gian Hilbert khá ly
vói tích vô hưóng (u, v)α = (Aαu, Aαv) và chuan |u"α =
"Aαu".


9

Đ%nh nghĩa 1.1.2. T¾p hop các không gian Hilbert thóa mãn các tính
chat:
1. Fα trù m¾t trong Fβ vói moi α > β;
2. Vói σ > 0 và f ∈ Fσ thì hàm tuyen tính F (g) ≡ (f, g) có
the thác trien liên tnc đưoc tù không gian H lên F−σ, và |(f,
g)| ≤ "f"σ ."g"−σ , vói bat kỳ f ∈ Fσ và g ∈ F−σ;
3. Bat kỳ hàm tuyen tính liên tnc F trên Fσ đeu có dang: F (f )
= (f, g), vói g ∈ F−σ. Như v¾y, F−σ là không gian các hàm
tuyen tính liên tnc trên Fσ,
thưòng đưoc goi là thang cúa các không gian Hilbert, ký hi¾u là {Fσ}
Trong thang {Fσ} ta xác đ%nh toán tú e−tA, t ≥ 0 dna vào các
bieu thúc (1.1.3) như sau:
e

−tA

∞.

h=



cke

−tλk

h=

ek,

k=1

.

ckek ∈ {Fσ}.

k=1

Các tính chat sau đây cna toán tú e−tA đóng vai trò quan trong trong
các van đe xét đen ve sau:
◦ Vói bat kỳ α ∈ R và t > 0, toán tú tuyen tính e−tA ánh xa
−tλ
T
t
Fα vào σ≥0 Fσ có tính chat: "e−A u"α ≤ 1 "u"α.
e
◦ (Tính chat núa nhóm) e−t1A.e−t2A = e−(t1+t2)A, t1, t2 ≥ 0.
◦ Vói moi u ∈ Fσ và σ ∈ R thì
lim "e−tAu − e−τ Au" = 0.
t→
τ

(1.1.5)


10

Bo đe 1.1.1. Cho QN là phép chieu trnc giao lên bao đóng cúa bao tuyen
tính cúa các phan tú {ek, k ≥ N + 1} trong H và cho PN = I−Q N ,
N = 0, 1, 2, . . .. Khi đó:
1) vói moi h ∈ H, β ≥ 0 và t ∈ R bat đang thúc sau
thóa mãn:
β

"Aβ PN e−tAh" ≤ Nλ eλN |t|"h";

(1.1.6)

2) vói moi h ∈ D(Aβ ), t > 0 và α ≥ β ưóc lưong sau
thóa mãn:
α−

"AαQN e−tAh" ≤

β
t

..

.
α−β

+
λ

α−
β N .e−tλN +1 "Aβh",
+1

(1.1.7)

trong trưòng hop α − β = 0 ta giá sú rang 00 = 0 trong
(1.1.7).
Đ¾c bi¾t, ta chú ý rang, tù (1.1.7) ta có
"Aαe−tAh" ≤
β

..

α −

α−
β

t

.

α−β


.
1
.e−tλ
1

"Aβ ",
h
α

≥ β.

(1.1.8)

Tù đó, ta suy ra đưoc
"e−tAu − e−sAu"θ ≤ Cθ,σ|t − s|σ−θ"u"σ; t, s > 0,

(1.1.9)

vói θ < σ ≤ 1 + θ và Cθ,σ là hang so không phu thu®c t và s. Hơn
nua,
"Aαe−tA" ≤

α αe−α,
.
t
.

t > 0,

α > 0.

(1.1.10)


1.2.

Phương trình tien hóa cap hai và đ%nh nghĩa
nghi¾m tích phân cúa nó

Trong không gian Hilbert tách đưoc H ta xét bài toán dang:

du
 d2 u
(1.2.11)
 2 + 2ε
+ Au = B(u, t) , t > s,
dt
dt
ε>0
.
du
.
. =u

.
1
 u|t=s =
d
u0 ,
t
t=s

trong đó A là toán tú tn liên hop dương vói pho ròi rac và B(·, ·) là m®t
ánh xa tù D(Aθ) × R vào H, 0 ≤ θ ≤ 1/2, có tính chat:
"B(0, t)" ≤ M0

(1.2.12)

"B(u1, t) − B(u2, t)" ≤ M1"Aθ(u1 −
u2)"
vói moi u1 và u2 tù mien xác đ%nh Fθ = D(Aθ) cna toán tú Aθ , " · "

chuan cna không gian H.
Đ¾t H = D(A1/2) × H thì H là không gian Hilbert tách vói tích
vô hưóng
(U, V ) = (Au0, v0) + (u1, v1)

(1.2.13)

ó đó U = (u0; u1) và V = (v0; v1) là các phan tú cna H. Trong
không gian H bài toán (1.2.11) có the viet lai như m®t phương trình
cap m®t:
d

dt

U (t) + AU (t) = B(U (t), t), t > .s; = U .
0
.
U t=s

(1.2.14)


é
đây

U (t)
=

.
u(t)
;

∂u(t)
.
, U0 = (u0; u1) ∈ H.
∂t


Toán tú tuyen tính A và ánh xa B(U, t) đưoc đ%nh nghĩa bói các
đang thúc:
AU = (−u1; Au0 + 2εu1),
= D(A) × D(A1/2),

D(A)

(1.2.15)

B(U, t) = (0; B(u0, t)),
(u0; u1).
(1.2.16)

U0 =

De dàng kiem tra đưoc các giá tr% riêng và vectơ riêng cna toán tú A có
công thúc
λn± =
±
f

n

,

ε ± ε2 − µn
±

= (en; −λn en),

(1.2.17)
(1.2.18)

trong đó µn và en là các giá tr% riêng và vectơ riêng cna toán tú A.
Ta chúng minh tính giái đưoc cna bài toán (1.2.11).
Xét bài toán tuyen tính

du
 d2 u
 2 + 2ε
+ Au = h(t) ,
dt
dt
t > .s
du
.
. = u

.
1
 u|t=s =
d
u0 ,
t

(1.2.19)

t=s

Phương trình này có the viet lai dưói dang
d
.. = U ,
U (t) + AU (t) = H(t),
0
U
t=s
dt
.
.
.
.
ó đó U (t) = u(t); u˙ (t) và H(t) = 0; h(t) .

(1.2.20)

Đ%nh nghĩa 1.2.1. M®t hàm u(t) đưoc goi là m®t nghi¾m tích
phân (trong Fθ) cúa bài toán (1.2.19) (hay (1.2.20)) trên đoan khoáng [s,
s+T ] neu nó thu®c lóp


Ls,T ≡ C(s, s + T ; F1/2) ∩ C1(s, s + T ; H) ∩ C2(s, s
+ T;
−1/
F
và thóa mãn phương trình (1.2.19).

2

)


13

Có the chúng minh sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân cna bài
toán (1.2.19) bang phương pháp Galerkin. Trưóc tiên ta có nghi¾m xap
xí Galerkin cap m là hàm
m

um(t) =

.

gk(t)ek
thóa mãn phương trình


(u¨(t), ej ) + 2ε(u˙

k=
1
m (t),

ej ) + (Aum (t), ej ) = (h(t), ej

), t > s,

(um (s), ej ) = (u0 , ej ) ,

(u˙

m (s),

ej ) = (u1 , ej )
(1.2.21)

vói j = 1, 2, ..., m.; gj (t) ∈ C1(s, s
+ T ) và

g˙ j (t) là liên tuc tuy¾t đoi;

v˙ (t) = dv/dt. Khi đó (1.2.21)viet lai dưói dang


u¨m (t) + 2εu˙ m (t) + Aum (t)
= pm h(t),

.
.
t=s

.

 t=s =
u
m.
p u ,

u˙ m

(1.2.22)

= pm u1 ,

m 0

ó đó pm là phép chieu vuông góc lên Lin{e1, ...em} trên H.
Dưói đây ta giá sú rang
h(t) ∈ L∞(R, H), u0 ∈ D(A1/2), u1 ∈ H.

(1.2.23)

Khi đó (1.2.21) có the viet thành:


g¨j (t) + 2εg˙ j (t) + gj (t)λj = (h(t), ej ), t > s

gj (s) = (u0 , g˙ j (s) = (u1 , ej ); j = 1, 2...m.
ej );


14

Đây là h¾ phương trình vi phân thưòng vói các hàm gj (t) do đó
(1.2.21) có duy nhat nghi¾m um(t) trên moi đoan [s, s + T ] và um(t)
∈ Ls,T .


Bây giò, giá sú {um(t)} là dãy nghi¾m xap xí cna (1.2.22). Nhân vô
hưóng (1.2.22) vói u˙ m (t) ta có
.
.
d
+2ε(u˙ m (t), u˙ m (t)) + (Aum (t), u˙ m (t)) = (Pm h(t),
u˙ m (t), u˙
u˙ m (t)),
dt
m (t)
suy ra
1d

2

d
+ 2ε"u˙
m (t)"

"u˙

2 dt
m (t)"

1

2

1/2

+

2

um(t)
"

A
2 dt"

= (Pm h(t), u˙ m (t)).

Lay tích phân tù s đen t cá hai ve ta có:
t

.

"u˙
1
2
m (t)"

2

1

+
"A

1/
2

um(t)"
2

2

¸ "u˙ m(τ )dτ
+ 2ε
s

2

.

.

t

¸

1/2

+
P
"A
" m u0 +(h(τ ), u˙ m (τ )dτ
=.
"Pmu1"
s
2
t
t
¸
.
¸
2
≤ 1.
|h(τ )| dτ +
"u˙ m (τ 2
2+
1/ u0
+1
dτ.
"
2
"u1" "A 2
)"


2
s
Do đó
s
"u˙
m (t)"

2+

"A

1/
2

um(t)" ≤ "u1 "2 +
2

"A1/2

1
+
h(t) .
u0"
4ε"
"
2

(1.2.24)

M¾t khác, tù phương trình ta có
u¨m (t) = −2εu˙

m (t)

− Aum (t) + Pm h(t),

tù đó suy ra
A−1/2 u¨m (t) = −2εA−1/2 u˙ m (t) + A1/2 um (t) +
Pm A1/2 h(t).
Do D(A1/2 ⊂ H ⊂ D(A−1/2)) và h(t) ∈ L∞(R, H) nên


"A−1/2 u¨m (t)" ≤ 2εC"u˙ m (t)" + "A1/2 um (t)" +
"h(t)".


Do đó và do (1.2.24) ta có
"A−1/2

+ "u˙
m (t)

u¨m (t)"

+

2

"

um(t)" ≤ C(T, u0, u1).

(1.2.25)

"A1/2

Qua giói han m → ∞ trong phương trình (1.2.22) ta đưoc u¨(t)+2εu˙
(t)+
Au(t) = h(t) trong D(A−1/2) vói hau khap t ∈ (s, s + T ).
Bây giò ta chúng minh nghi¾m u(t) là duy nhat. Th¾t v¾y, giá sú
(1.2.19) còn có nghi¾m v(t). Đ¾t w = u − v thì wm = um − vmr .
L¾p lai các bưóc bien đoi tương tn như trên ta có ưóc lưong:
"A−1/2 (u¨m (t) − v¨mr (t))"2 +
+ "u˙ m (t) − v˙ mr (t)" + "A1/2 (um −
" vmr )

2



≤ CT "(pm − pmr )u1 "2 +
+ "A
u 0"

1/2

2

2

(pm − pmr ) + ess sup "(pm − pmr )h(τ )"
τ∈[s,s+
T]

vói moi t ∈ [s, s + T ] và T > 0 là so tùy ý. Qua giói han m, mr →

đưoc w = 0.
V¾y dưói đieu ki¾n (1.2.23) bài toán (1.2.19) có duy nhat nghi¾m tích
phân trên moi đoan [s, s + T ]. Đ¾c bi¾t khi h(t) ≡ 0 bài toán
(1.2.19) sinh ra m®t núa nhóm tien hóa e−tA trong không gian H bói
công thúc
e

−tA

.
.
(u0 ; u1 ) = u(t); u˙ (t) ,

(1.2.26)

ó đó u(t) là m®t nghi¾m tích phân cna bài toán (1.2.19) vói h(t) ≡
0. Lay tích phân tù s đen t cna (1.2.19) ta chúng minh đưoc rang
nghi¾m tích phân cna (1.2.19) có the bieu dien dưói dang
t

¸

(u˙ (t); u(t)) = e−
(t−s)A

(u0 ; u1 ) +


s

e−(t−s)A(0; h(τ ))dτ.

(1.2.27)


Bây giò ta xét bài toán phi tuyen (1.2.11)và đ%nh nghĩa nghi¾m tích
phân cna nó.
Đ%nh nghĩa 1.2.2. Nghi¾m tích phân cúa bài toán (1.2.11) là hàm
U (t) ≡ (u(t); u˙ (t)) ∈ C([s, s + T ]; H) thóa mãn phương trình tích
phân
¸t
−(t−s)A
B(U (τ ), τ )dτ
U (t) = e−(t−s)AU0 e

(1.2.28)

+
s

(1.2.29)

.
.
trên [s, s + T ]. á đó B(U (t), t) = 0; B(u(t), t) và U0 = (u0;
u1); H =
D(A1/2) × H.

1.3.

SN ton tai nghi¾m cúa phương trình tien hóa
cap hai

Theo (1.2.14) phương trình tien hóa cap hai có the viet lai dưói dang
phương trình cap m®t; trong đó ánh xa B thóa mãn các tính chat:
"B(U, t)"H ≤ M (1 + "U "H )

(1.3.30)

"B(U1, t) − B(U2, t)"H ≤ M "U1 − U2"H.

(1.3.31)

Do đó ta chúng minh sn ton tai và duy nhat nghi¾m tích phân cna bài
toán (1.2.14).
1.3.1.

SN ton tai đ%a phương

Phương pháp điem bat đ®ng giúp ta chúng minh khang đ%nh sau ve
sn ton tai đ%a phương cna nghi¾m tích phân cna bài toán(1.2.14).


Đ%nh lý 1.3.1. Cho U0 ∈ H. Khi đó ton tai T ∗ phn thu®c vào "U0"
sao cho bài toán (1.2.14) có duy nhat nghi¾m tích phân trên núa khoáng
[s, s + T ∗ ). Hơn nua, ho¾c T ∗ = ∞ ho¾c nghi¾m không the liên tnc
trên H cho đen thòi điem t = s + T ∗ .
Chúng minh. Trên không gian Cs ≡ C(s, s + T ; H) ta xác đ%nh ánh
xa:
¸t
G[U ](t) = e−(t−s)A ×

e−(t−τ )AB(U (τ ), τ )dτ.

U0 +
s

Ta se chúng minh rang G[U ](t) ∈ C(s, s + T, H) vói moi T > 0.
Giá sú
rang t1, t2 ∈ [s, s + T ] và t1 < t2. Khi đó ta có:
t2

G[U ](t2) = e−(t2−t1)AG[U ]
(t1) +

¸

e−(t2−τ )AB(U (τ ), τ )dτ. (1.3.32)

t1

Do (1.1.5) ta có: neu t2 → t1 thì "G[U ](t1) − e−(t2−t1)AG[U ](t1)" →
0.
Đieu này đn đe ta ưóc lưong so hang thú hai trong (1.3.32). Bat đang
thúc (1.1.7) chí ra rang :
t2

¸

t2

e− (t2−τ )
A

t1

B(U (τ ), τ )
dτ ≤

¸

dτ max "B(U (τ ), τ )"
τ∈[s,s+

T]
t1

≤ |t2 − t1 | max "B(U (τ ), τ )".
τ∈[s,s+T ]

(1.3.33)

Do đó G ánh xa Cs = C(s, s+T, H) vào chính nó. Cho V0(t) = e−
(t−s)A

U 0.

Trong Cs ta xem xét hình cau dang:


U = {U (t) ∈ Cs : |U − V0 | ≡
"U (t) − V0(t)" ≤ 1}.
max
τ∈[s,s+T ]

Ta chí ra rang vói T đn nhó, toán tú G ánh xa U vào chính nó và là ánh
xa co. Tù "U" ≤ "U − U0" + "U0" suy ra |U |Cs ≤ 1 + "U0", vói U
∈ U.


Tù (1.3.31) cho ta:
max "B(U (τ ), τ )" ≤
"B(U0, τ )"+M +M (1+"U0") ≡ C(T0,
max
τ∈[s,s+T ] "U0")
vói moi T ≤ T0, ó đây T0 là so co đ%nh. Do đó, theo (1.3.33) ta thay
rang:

.
.
.G[U ] − V0. ≤ T C(T0 , "U0").
sC
.
Tương tn. ta có: G[U ]
≤ T C1 (T0 , "U0")|U −V |Cs , vói U, V ∈
U.
− G[V ]
.
. s
C

Cho nên neu ta chon T1 sao cho :
T1C(T0, "U0") ≤ 1 và T1C1(T0, "U0") < 1,
ta có đưoc G là ánh xa co tù U vào chính nó. Do đó, G có duy nhat
m®t điem bat đ®ng trong U ⊂ Cs. Vì v¾y ta xây dnng đưoc m®t
nghi¾m trên đoan [s, s + T1]. Lay s + T1 như thòi điem ban đau, ta
có the xây dnng m®t nghi¾m trên đoan [s + T1, s + T1 + T2] vói
đieu ki¾n ban đau U0 = U (s + T1). Neu ta tiep tuc l¾p lu¾n này, thì
ta có the xây dnng m®t nghi¾m trên núa khoáng cnc đai [s, s + T ∗ ].
Hơn nua, có the có T ∗ = ∞. Đ%nh lý đưoc chúng minh.
1.3.2.

SN ton tai toàn cnc và tính duy nhat nghi¾m

Đ%nh lý 1.3.2. Theo (1.3.31), ánh xa B(u, t) thóa mãn đieu ki¾n
Lip- schitz toàn cnc. Khi đó bài toán (1.2.14) có duy nhat nghi¾m tích
phân trên moi đoan [s, s + T ] vói U0 ∈ H.
Chúng minh. Cho U (t) là m®t nghi¾m cna bài toán (1.2.14) trên
núa khoáng cnc đai [s, s + T ). Giá sú T < ∞, đieu ki¾n (1.3.30) cho
ta:
"B(u, t)" ≤ M (1 + "u")


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×