Tải bản đầy đủ

Chuỗi fourier và phép biến đổi fourier

LèI

CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành dưói sn dưói sn hưóng dan nhi¾t tình, chu
đáo cna TS Tran Văn Vuông. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac cna
mình đen TS Tran văn Vuông. Trong quá trình hoc t¾p và hoàn thành
lu¾n văn tác giá nh¾n đưoc sn quan tâm giúp đõ rat nhieu tù khoa Toán,
phòng SĐH, trưòng Đai hoc Sư Pham Hà N®i 2. Tác giá xin trân trong
cám ơn sn giúp đõ quý báu đó.
Bên canh đó, tác giá cũng xin trân trong cám ơn phòng GD-ĐT Gia
Bình, Trưòng THCS Th% Tran huy¾n Gia Bình, phòng GD-ĐT thành
pho Bac Ninh, trưòng THCS Nguyen Đăng Đao tính Bac Ninh, ban bè
đong nghi¾p và ngưòi thân đã đ®ng viên và tao đieu ki¾n thu¾n loi trong
suot quá trình nghiên cúu và hoc t¾p đe hoàn thành lu¾n văn này.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá


2


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna TS. Tran Văn Vuông.
Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùa
nhung thành quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và
biet ơn.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá


Mnc lnc

Má đau

5

Chương 1. NHUNG KIEN THÚC CHUAN B±

7

1.1. Không gian Lp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Các đ%nh lí quan trong cna lý thuyet tích phân . .

7

1.1.2. Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞ . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3. Tích ch¾p....................................................................... 10
1.2. Vài đ%nh lý ve không gian Banach và không gian Hilbert


11

1.2.1. Đ%nh lý ánh xa mó và đ%nh lý Lax - Milgram . . .

11

1.2.2. H¾ trnc giao, trnc chuan trong không gian Hilbert

13

1.2.3. Tính đay đn cna m®t h¾ trnc giao, trnc chuan . .

14

1.3. M®t so đ%nh lý giái tích

15

1.4. Tích phân Dirichlet..................................................................... 15
Chương 2. CHUOI FOURIER

18

2.1. Chuoi Fourier.............................................................................. 18
2.2. Sn h®i tu....................................................................................19
2.3. Chuoi cosin, chuoi sin................................................................ 21


2.4. Sn h®i tu đeu.............................................................................22
2.5. Đ%nh lý Fejér..................................................................................26
2.6. Sn h®i tu trong L2.....................................................................30
2.7. Chuoi Fourier dang phúc, đang thúc Parseval........................35
2.8. Chuoi Fourier cna hàm trong Lp(−π, π)..................................37
2.9. Chuoi Fourier kép....................................................................... 41
Chương 3. PHÉP BIEN ĐOI FOURIER

46

3.1. Tích phân Fourier....................................................................46
3.2. Phép bien đoi Fourier................................................................. 49
3.3. Các tính chat cna phép bien đoi Fourier................................56
3.4. Phép bien đoi Fourier trong LP (R), 1 < p ≤ 2....................61
3.5. Hàm Cardinal............................................................................. 65
3.6. Ví du áp dung phương trình truyen nhi¾t.................................67
3.7. Chuoi Fourier ròi rac, phép bien đoi Fourier ròi rac

. . .

68

3.8. Tính chat cna phép bien đoi Fourier ròi rac...........................71
3.9. Thu¾t toán FFT (Fast Fourier Transform).............................72
Ket lu¾n

76

Tài li¾u tham kháo

77


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Có the nói trong so nhung bien đoi tích phân pho bien nhat thì bien
đoi Fourier ra đòi trưóc tiên. M¾c dù trưóc Fourier, Euler đã đưa ra khái
ni¾m khai trien m®t hàm so thành chuoi hàm lưong giác, song lí thuyet
này chưa đưoc hoàn chính. Fourier đã viet xong công trình ve bien đoi
Fourier vào năm 1807 nhưng do sn hoài nghi cna các nhà toán hoc thòi
bay giò nên đen năm 1815 công trình cna Fourier mói đưoc công bo. Sau
đó công trình tiep tuc đưoc Drichlet và Riemann bo sung và hoàn chính.
Lý thuyet ve chuoi Fourier còn nh¾n đưoc nhieu sn đóng góp cna nhieu
nhà toán hoc như: Heine, Lipschitz, . . .
Ngày nay, nhung chuyên gia ve xú lí tín hi¾u so là nhung ngưòi
hieu hơn ai het vai trò quan trong cna chuoi Fourier và phép bien đoi
Fourier. Có the nói rang hau het các thiet b% đi¾n tú liên quan đen
hình ánh và âm thanh mà chúng ta dùng hôm nay đeu chúa các “con
chíp” làm nhi¾m vu chuyen đoi các h¾ so Fourier thành hàm so (tín
hi¾u so) và đôi khi kiêm luôn chúc năng “khú nhieu” hay “hi¾u chính
tín hi¾u” dna trên các phép bien đoi Fourier. Ngoài ra phép bien đoi
Fourier còn có nhieu úng dung quan trong các lĩnh vnc so hoc, xác
suat, quang hoc, hình hoc và nhieu lĩnh vnc khác. Do tam quan trong
như v¾y cna chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier, vói mong muon
tìm hieu sâu hơn nua ve chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier, tôi đã
chon đe tài


6

“Chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier”
đe nghiên cúu.

2. Mnc đích nghiên cNu
Tìm hieu ve khái ni¾m, m®t so tính chat và m®t so úng dung cna
chuoi Fourier và bien đoi Fourier.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu chuoi Fourier, sn h®i tu. Chuoi Fourier dưói dang phúc.
Nghiên cúu chuoi Fourier kép, m®t so úng dung.
Nghiên cúu phép bien đoi Fourier và các tính chat.
Nghiên cúu m®t so úng dung cna phép bien đoi Fourier.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier

5. Phương pháp nghiên cNu
- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo.
- Phân tích, tong hop kien thúc phuc vu cho muc đích nghiên cúu.

6. DN kien đóng góp mái
Đây là bài tong quan ve chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier. Giúp
ngưòi đoc không chí hieu rõ hơn ve các tính chat cna nó mà còn thay
chuoi Fourier và phép bien đoi Fourier có the áp dung cho các bài toán
dao đ®ng, phương trình truyen nhi¾t cna v¾t lý, lý thuyet thông tin, . .
.


Chương 1
NHUNG KIEN THÚC CHUAN B±

1.1.
1.1.1.

Không gian Lp
Các đ%nh lí quan trong cúa lý thuyet tích phân

Đ%nh lý 1.1. Cho (fn) là dãy tăng các hàm khá tích Lesbesgue trên
¸
t¾p Ω ⊂ RN sao cho supn fn(∞. Khi đó, fn h®i tn hau khap nơi trên
¸
Ω ve m®t hàm f khá tích trên Ω và "fn − f"1 ≡ Ω |fn(x) − f (x)|dx
→ 0 khi n → ∞.
Đ%nh lý 1.2. Cho (fn) là dãy các hàm thnc (phúc) khá tích trên Ω.
Giá sú
a. fn(x) → f (x) hau khap nơi trên Ω,
b. ton tai hàm g khá tích sao cho vói moi n, |f (x)| ≤ g(x) hau khap nơi
trên Ω.
¸
Khi đó f khá tích và "fn − f"1 ≡ Ω |fn(x) − f (x)| dx → 0 khi n →
∞.
H¾ quá 1.1. Cho f là hàm đo đưoc và g là hàm khá tích trên Ω. Ta
có: Neu |fn(x)| ≤ g(x) hau khap nơi trên Ω thì f khá tích trên Ω.
Suy ra rang: Neu |f | khá tích thì f khá tích và ngưoc lai.


8

Bo đe 1.1. Giá sú (fn) là m®t dãy các hàm khá tích sao cho
a. fn ≥ 0 hau khap nơi trên Ω, ∀n.
¸
b. sup fn < ∞.
Vói moi x ∈ Ω đ¾t f (x) = lim inf fn(x). Khi đó, f khá tích trên
Ω và
¸
¸
f
lim inf fn.
≤ n→∞
Giá sú Ω1 ⊂ R1, Ω2 ⊂ R2 là hai t¾p mó và F : Ω1 × Ω2 → R (ho¾c
C)
là hàm đo đưoc.
Đ%nh lý 1.3. Giá sú
¸

Ω1

dx¸
Ω2

¸
Ω2

|F (x, y)| dy < ∞ hau khap nơi vói x ∈ Ω1 và

|F (x, y)| dy < ∞. Khi đó, F khá tích trên Ω1 × Ω2.

Đ%nh lý 1.4. Cho F khá tích trên Ω1 × Ω2. Khi đó vói hau het x thu®c
Ω1
F (x, .) ≡ y → F (x, y) khá tích trên Ω2 và
x ›→

¸
Ω2

F (x, y)dy khá tích trên Ω1.

Ket lu¾n tương tn khi đoi vai trò x cho y, Ω1 cho Ω2.
Hơn nua, ta có
¸
¸
¸
dx
F (x, y)dy =

1.1.2.

¸
dy

Ω1

Ω2

Ω2

Ω1

F (x, y)dx ¸
F (x, y)dxdy.
=
Ω1×Ω
2

Không gian Lp, 1 ≤ p ≤ ∞

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho p ∈ R vói 1 ≤ p < ∞; ta đ%nh nghĩa
p

Lp(Ω) = { f : Ω → R (ho¾c C); f đo đưoc và |f | khá tích),
L∞(Ω) = { f : Ω → R (ho¾c C); f đo đưoc và ∃C,

|f (x)| ≤ C hau


khap nơi}.
Và ký
hi¾u

.1/p



"f"p
=

|f (x)|

dx

p


.

.

"f"∞ = inf C : |f (x)| ≤ C hau khap nơi .
NH¾N XÉT. Neu f ∈ L∞(Ω) thì
|f (x)| ≤ ||f ||∞ hau khap nơi vói x ∈ Ω.
Đ%nh lý 1.5 (Bat đang thúc Holder). Cho f ∈ Lp và g ∈ Lpr vói
1 1
1
+
1≤ p ≤ ∞ và pt là liên hop cúa p, nghĩa là
=
1.
Khi
đó
f.g

L
p


pt

¸

|f.g| ≤ "f"p . "g"pr
Dna vào bat đang thúc Holder ta chúng minh đưoc
Đ%nh lý 1.6. Lp là m®t không gian vectơ và "."p là m®t chuan vói
1 ≤ p ≤ ∞.
Đ%nh lý 1.7 (Fischer-Riez).
a. Lp là không gian Banach vói 1 ≤ p ≤ ∞.
b. Giá sú (fn) là dãy h®i tn ve f trong không gian Lp (1 ≤ p ≤ ∞) nghĩa
là "fn − f"p → 0.The thì dãy con (fnk )k=1,2,... sao cho
fnk (x) → f (x) hau khap nơi
p
∀k, |fnk (x)| ≤ h(x) hau khap nơi, vói h là m®t hàm trong L
.

Vói Ω là t¾p mó trong R, ta ký hi¾u Ck(Ω) là không gian các hàm so

Ck(Ω). Còn Cc(Ω) là
khá vi liên tuc đen cap k và C∞(Ω) = ∩k=
1 không


gian các hàm so f liên tuc trên Ω sao cho giá (support) cna f , túc là
t¾p hop supp f = {x ∈ Ω; f (x) ƒ= 0} là compact chúa trong Ω.
Đ¾t
c (Ω) = C k(Ω) ∩ Cc(Ω),
C
k


c ∞(Ω) = C (Ω) ∩ Cc(Ω).
C

Ta có ket quá sau đây ve tính trù m¾t
Đ%nh lý 1.8. Vói 1 ≤ p < ∞ thì C∞(Ω) trù m¾t trong Lp(Ω).
c

Đ%nh lý 1.9 (Riemann - Lesbesgue). Cho f ∈ L1(a, b), vói (a,b)
là khoáng vô han ho¾c huu han cúa R, thì ta có
¸ b
¸ a
li
f (x) cos N xdx =
f (x) sin N xdx = 0 khi N → ∞.
m
0, lim
N→∞

N→∞

b

a

1.1.3.

Tích ch¾p

Đ%nh nghĩa 1.2. Cho hai hàm so f và g xác đ%nh trên RN thì hàm so
¸
f ∗ g xác đ%nh bói (f ∗ g) (x) = RN f (x − y)g(y)dy, vói giá
thiet tích phân ó trên ton tai, đưoc goi là tích ch¾p cna f và g.
Đ%nh lý 1.10. Giá sú f ∈ L1(RN ) và g ∈ Lp(RN ) vói 1 ≤ p ≤
∞. Khi đó, vói moi x ∈ RN , hàm so y ›→ f (x − y)g(y) khá tích
trên RN và f ∗ g ∈ Lp(RN ).
Hơn nua "f ∗ g" ≤ "f"1 "g"p .


1.2.

Vài đ%nh lý ve không gian Banach và
không gian Hilbert

1.2.1.

Đ%nh lý ánh xa má và đ%nh lý Lax - Milgram

Đ%nh nghĩa 1.3. Cho X và Y là hai không gian đ%nh chuan và A là ánh
xa tuyen tính tù X vào Y . Ta đ%nh nghĩa "A" = sup {"Ax" : x ∈ X, "x" ≤
1} .
Ánh xa A đưoc goi là b% ch¾n neu "A" < ∞.
Tính chat 1.1. Vói m®t ánh xa tuyen tính A tù không gian đ%nh chuan
X vào không gian đ%nh chuan Y , các đieu ki¾n sau là tương đương
a. A b% ch¾n.
b. A liên tnc.
c. A liên tnc tai m®t điem nào đó.
Đ%nh lý 1.11. Cho A là m®t toàn ánh tù X lên Y và giá sú A tuyen
tính, b% ch¾n. Khi đó A(U ) là mó trong Y , Vói U là t¾p mó bat kỳ trong
X.
Đ%nh nghĩa 1.4. Không gian vectơ (thnc ho¾c phúc) H đưoc goi là
không gian có tích trong neu moi c¾p thú tn (x, y) trong H × H
đưoc
liên ket vói m®t so (thnc ho¾c phúc), cũng đưoc ký hi¾u là (x, y),
sao cho
(a) (y, x) = (x, y), dau gach ký hi¾u cho liên hop phúc.
(b) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) vói moi x, y, z trong H.
(c) (αx, y) = α(x, y)∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R (ho¾c C neu H là không gian
vectơ phúc)
(d) (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ H.


(e) (x, x) = 0 neu chí neu x = 0.
Khi đó, (., .) đưoc goi là tích trong (tích vô hưóng) hay dang Hermite.
Tính chat 1.2. Cho H là không gian vectơ vói tích trong (.,.). Thì vói
moi x, y trong H. Ta có
a. Bat đang thúc Schwartz
2

|(x, y)| ≤ (x, x).(y, y).
b. Bat đang thúc Minkovski
1/2

(x + y, x + y)

1/2

≤ (x, x)

+ (y, y)

1/2

.

Đ%nh nghĩa 1.5. Cho H là không gian vectơ vói tích trong (.,.). Tù
tính chat trên ta có (H, "." ) là m®t không gian đ%nh chuan, trong
đó
"x" = (x,
x)

1/2

. Ta nói H là không gian Hilbert neu H đay đn vói chuan

".".
Đ%nh lý 1.12 (Lax - Milgram). Cho H là không gian Hilbert và a:H ×
H → Φ (Φ = R ho¾c C) là dang song tuyen tính liên tnc trên H,
nghĩa là co đ%nh m®t bien thì a tuyen tính theo bien còn lai và
|a(u, v)| ≤ M "u" "v" , ∀u, v ∈ H.
Giá sú a cưõng búc trên H nghĩa là có so α)0 sao cho
α(u, u) ≥ α"u" , ∀u ∈ H.
2

Khi đó, vói moi phiem hàm tuyen tính liên tnc l : H → Φ, ton tai duy
nhat m®t ul ∈ H, phn thu®c liên tnc vào l, thóa mãn
a(ul, v) = (l, v) ∀v ∈ H.


1.2.2.

H¾ trNc giao, trNc chuan trong không gian Hilbert

Hai vectơ x và y trong không gian Hilbert H đưoc goi là trnc giao
neu (x, y) = 0, và ta viet x⊥y. Ký hi¾u x⊥ là t¾p hop các vectơ
trong H trnc giao vói x. Tương tn, cho t¾p A ⊂ H, A⊥ chí t¾p hop
các vectơ trong H vuông góc vói moi vectơ trong A.
Ho vectơ (vα)α∈A trong không gian Hilbert H, vói A là t¾p “chí so” bat
kỳ, đưoc goi là h¾ (ho) trnc giao neu ho này không chúa vectơ 0 ∈ H
và vα⊥vβ, ∀α, β ∈ A và α ƒ= β.
Ho vectơ (vα)α∈A đưoc goi là h¾ trnc chuan neu nó là ho trnc giao và
∀α ∈ A, "vα" = 1.
Cho m®t h¾ trnc chuan (vα)α∈A.Vói moi vectơ x ∈ H, ta đ¾t
xˆ(α) = (x, vα ), α ∈ A,
thì xˆ(α), ∀α ∈ A, đưoc goi là các h¾ so Fourier cna x úng vói h¾
trnc
chuan (vα)α∈A.
Cho (αi)i∈I là m®t ho các so thnc dương, vói I là t¾p “chí so” bat kỳ.
Đ¾t Finite(I) là ho các t¾p con cna I có huu han phan tú. Ta đ%nh
nghĩa
.
.
αi =
αi.
sup
.
Giá tr% cna tong
huu
han. Ta có

K∈F inite(I i∈K
)

i∈I

αi đưoc đ%nh nghĩa như trên có the vô han hay

i∈I

Đ%nh lý 1.13.
(a) Cho (vi)i=1,n là ho n vectơ trnc giao tùng đôi m®t thì
n

.

2
i
=1

n

vi

2


=

.

i=1

"vi" .


(b) Cho (vi)i=1,n là ho trnc chuan gom n vectơ, (ti)i=1,n là n so thnc
(hay
phúc). Ta có
n

.tv

2

n

i i

=
.

i=1

2

|ti| .

i=1

(c) Bat đang thúc Bessel: Cho (vα)α∈A là m®t ho trnc chuan. Vói x ∈ H
bat kỳ thì

.
α∈A

2

|

≤ "x" ,

xˆ(α)
|

trong

xˆ(α), α ∈ A, là các h¾ so Fourier cúa x đoi vói h¾ trnc

đó đã

chuan

cho.
1.2.3.

Tính đay đú cúa m®t h¾ trNc giao, trNc chuan

Đ%nh nghĩa 1.6. M®t h¾ trnc chuan (vα)α∈A đưoc goi là đay đn (hay
cơ só đay đn) nghĩa là vói moi x trong H ta có đang thúc Parseval sau
đây
2
.
= "x"
| .
α∈A
.
.
−1
xˆ(α)
|
H¾ trnc giao (vα)α∈A đưoc goi là đay đn neu h¾ trnc
chuan

"vα
"


α∈A

là đay đn.
Đ%nh lý 1.14. Cho (vα)α∈A là m®t h¾ trnc chuan trong không gian
Hilbert H. Ta có các đieu ki¾n sau là tương đương:
(a) (vα)α∈A là h¾ đay đú.
(b) (vα)α∈A là h¾ trnc chuan toi đai trong H, nghĩa là không có h¾ trnc
chuan nào trong H r®ng hơn chúa (vα)α∈A ngoai trù chính nó.


(c) Không gian vectơ sinh bói h¾ (vα)α∈A, túc là không gian gom tat cá
các to hop tuyen tính cúa m®t so huu han vectơ trong h¾ (vα)α∈A, là
trù m¾t trong H.


1.3.

M®t so đ%nh lý giái tích

Đ%nh lý 1.15 (Stone - Weierstrass). Cho m®t hàm so f liên tnc
trên đoan đóng b% ch¾n [a, b], thì có m®t dãy đa thúc h®i tn đeu trên
[a, b] ve f.
Đ%nh lý 1.16 (Weiertrass). Giá sú vói moi n ∈ N, fn là m®t hàm
(phúc) giái tích trên mien Ωn sao cho dãy (fn) h®i tn tùng điem trên
mien Ω ve m®t hàm f và h®i tn đeu trên moi t¾p compact cúa Ω. Khi
đó f giái
tích trên Ω. Hơn nua, f h®i tn đeu tói f r trên moi t¾p con compact
n
r
cúa
Ω.
Đ%nh lý 1.17. Cho f là hàm thnc đơn đi¾u trên [a, b] và g là hàm thnc
liên tnc trên [a, b]. Khi đó, ton tai điem x ∈ [a, b] sao cho
¸ b
¸
¸ g(t)dt.
x

b

f (t)g(t)dt = f (a) g(t)dt + f
a
a (b)
x

1.4.

Tích phân Dirichlet

Đ%nh nghĩa 1.7. Cho f là hàm so (thnc hay phúc) xác đ%nh trên [a,
b]. Giá sú P = {x0, x1, ..., xn} là m®t phân hoach cna [a, b], nghĩa là
a = x0 < x1 < · · · < xn = b. Đ¾t
n
.
V (f ) = V (f ; a, b) = sup
|∆fi|,
P

i=1

trong đó ∆fi = f (xi) − f (xi−1), sup lay trên tat cá các phân
hoach cna
[a, b]. Ta goi V (f ) là bien phân toàn phan cna f trên [a, b]. Hàm f
goi là có bien phân b% ch¾n trên [a, b] neu V (f ) < +∞.


Tính chat 1.3. Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác đ%nh trên [a, b].
Khi đó
(a) f có bien phân b% ch¾n neu và chs neu Re [f ] và Im [f ], túc phan
thnc và phan áo cúa f, có bien phân b% ch¾n.
(b) Neu f có bien phân b% ch¾n thì f b% ch¾n, cn the,
|f (x)| ≤ |f (a)| + V (f ; a, b), ∀x ∈ [a, b] .
(c) Neu f là hàm thnc có bien phân b% ch¾n thì ton tai hai hàm thnc p, q
đơn đi¾u tăng trên [a, b] sao cho f (x) = p(x) − q(x) ∀x ∈ [a,
b]. Hơn nua, neu f liên tnc thì p, q cũng liên tnc.
Bo đe 1.2 (tích phân Dirichlet). Cho f là hàm so (thnc ho¾c phúc) xác
đ%nh trên (a, b) thóa mãn m®t trong hai đieu kiên Dirichlet sau đây
(i) ton tai f (a+), f (b−) và f có bien phân b% ch¾n trên [a, b], (ta xem
như f xác đ%nh trên [a, b] vói giá tr% tai biên là f (a+)và f (b−)).
(ii) Có huu han điem thu®c đoan [a, b] sao cho khi bó đi các lân c¾n bé
tùy ý cúa nhung điem này thì f có bien phân b% ch¾n trên các phan còn
lai cúa đoan [a, b]; hơn nua f ∈ L1(a, b). Khi đó, ta có
Neu 0 < a < b thì lim ¸ b
sin
f
µ→∞
µx dx = 0
(x)
a

x
Neu 0 = a < b, ∃ f (0 ) và f có bien phân b% ch¾n trên m®t lân c¾n
[0, δ]
+

cúa 0 (δ > 0) thì lim ¸

b

µ→∞
0

sin
f
dx
µx =
(x)
x

π
2

f (0+).

NH¾N XÉT. Hàm f ∈ L1(a, b) trơn tùng khúc thì f thóa mãn đieu
ki¾n Dirichlet. Neu f b% ch¾n và đơn đi¾u tùng khúc trên (a, b) thì
f thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet (i). Neu có huu han điem thu®c [a, b]
sao cho khi bó đi lân c¾n bé tùy ý cna nhung điem này thì f đơn đi¾u
tùng


khúc trên các đoan còn lai, thêm vào đó f ∈ L1(a, b) thì f thóa mãn
đieu ki¾n Dirichlet (ii).


Chương 2
CHUOI

2.1.

FOURIER

Chuoi Fourier

Vói hàm f ∈ L1 [−π, π], nghĩa là f khá tích Lebesgue trên [−π, π],
ta đ%nh

.nghĩa chuoi Fourier cna f là chuoi hàm lưong giác như sau
a0
+
cos nx + sin nx) (2.1)
(a
bn
2
n

1

n=1

trong đó an =
bn = 1

π
¸

π

¸

r

π

f (xt)cosnx dxt, n = 0, 1, 2, ...
−π

f (xt) sinnxtdxt, n = 1, 2, ... (2.2)

−π

π
Moi liên h¾ giua (2.1) và (2.2) cũng đưoc ký hi¾u là
f (x) ∼



a0
2

+

.

(an cos nx + bn sin nx).

n=
1

Neu f là hàm tuan hoàn vói chu kỳ 2π, ta đ%nh nghĩa chuoi Fourier
cna f tương tn như trên, trong các h¾ so an, bn đưoc tính trên m®t
đoan tùy ý [a, a + 2π].
Neu f là hàm tuan hoàn chu kỳ 2l, bang phép đoi bien t = πx/l, ta
đưa ve trưòng hop tuan hoàn chu kỳ 2π.
Ta thay rang vì f ∈ L1[−π, π] nên các tích phân trong (2.2) ton tai.


21

2.2.

SN h®i tn

Đ%nh lý 2.1. Cho f ∈ L1 [−π, π]. Neu f thóa mãn đieu ki¾n
Dirichlet trong (−π, π) thì chuoi Fourier cúa f se h®i tn ve f (x)
tai các điem
x ∈ (−π, π) mà tai đó hàm f liên tnc, h®i tn
ve

1.
f
+

)+f
(x−

.
) neu

1 (x
2.
.
+

f ( π ) + f (π )
x là điem gián đoan thông thưòng, h®i tn ve
tai −
x = ±π neu f (−π+) và f (π−) ton tai.
2
Chúng minh. Đ¾t Sn(x)
=

2

Ta có
Sn
=

1



a0
+

.

(ancos nx+bn sin nx)

n=
1

¸ f (xt) [1 + 2(cos xt cos x + sin xt sin x)+

π

· · · + 2(cos nxt cos nx + sin nxt sin nx)]dxt


−π

1
=

¸

π


−π

1

f (xt) [1 + 2 cos(xt − x) + · · · + 2 cos n(xt − x)]dxt
sin 1 (2n + 1)(xt − x)

¸

π

f (xt)

=


2
1
2

sin
n

(xt − x)

−π

do công thúc 1 + 2 . cos ku =
Suy ra
Sn
=

1

x

dxt,
1

sin



sin


−π
2

(2n + 1)u
1

k=
1

¸

2

2

.

u

1
(2n
1)(xt
1 +
f (xt)sin2sin
(xt − x)

x)


22

dxt
1
+

Đoi bien α
=

x−
t

¸

π
x

và α
=

t
t
sin21 (2n + 1)(x
f
1
t dx .

x)
sin
(x
− x)
(xt)
2

xt −

lan lưot trong tích phân thú nhat và

x
x
2
2
tích phân thú hai cna đang thúc trên, ta đưoc


1

Sn
=

¸

(x+π)/2

π

sin(2n +
1)α

f (x −
2α)

sin
α

0

1
+

f (x +
2α)

¸

(π−x)/2

π

dx

sin(2n +
1)α

dx.

(2.3)

sin α

0

Vói x ∈ (−π, π) co đ%nh, ta có các hàm theo bien α là f (x ± 2α)
thóa
mãn đieu ki¾n Dirichlet trong các khoáng tương úng (0,
π+x
).

π−x

) và (0,

2

2

Do đó, neu f (x+) và f (x−) ton tai, theo bo đe 1.2, ta có
lim Sn (x)
=
n→∞

.
.
1 . f (x−) π f (x+). 1 f (x−) + f (x+) .
π +
=
π 2
2
2

Vói x = π, do (2.3) ta có
Sn(x)
=

1
π

π
1
=

π−ξ

π
α
1
=

¸

¸

0

sin(2n +
1)α
sin
α

0

f (π −
2α)


sin(2n + +
1)α
sin

0

π−ξ

π

¸ f (π −
2α)

f (π −
2α)


sin(2n + +
1)α
sin α



1

¸

π

π

f (π −
2α)

sin(2n + 1)α

sin α

π−ξ

1
ξ

π

¸

sin(2n +
f (2α − 1)xt
π)

dxt

sin xt

0

Trong đó, ta đoi bien xt = π − α ó tích phân thú hai. Áp dung bo đe
1.2, ta có


lim Sn (x)
=
n→∞

1.
f (π−) + f (

2

.
π +) .

Vói x = −π, chúng minh tương tn.
CHÚ THÍCH. Có nhung hàm f liên tuc trên [−π, π] mà tai nhung
điem nào đó thu®c đoan [−π, π], chuoi fourier cna f không h®i tu.
Van đe khôi phuc hàm f trong trưòng hop đó se đưoc xét ó muc 2.5.


2.3.

Chuoi cosin, chuoi sin

Cho f ∈ L1 [0, π] và thoá mãn đieu ki¾n Dirichlet trên (0, π). Ta đ
%nh nghĩa f trên (−π, 0) bang công thúc f (x) = f (−x).
Khi đó, f ∈ L1 [−π, π], và thoá mãn đieu ki¾n Dirichlet trên (−π, π),
vì v¾y có the áp dung ket quá phan trên. Ngoài ra, do f là hàm chan
a0
=


π

f (xt) dxt, an 2 ¸
=
π

π 0
Ta có đ%nh lý sau

π

cos nxtf (xt) dxt, bn = 0, n = 1, 2,
...
0

Đ%nh lý 2.2. Cho f ∈ L1 [0, π] và thoá mãn đieu ki¾n Dirichlet
trên
(0, π). Khi đó, ta có chuoi consin
.
¸ π f (xt) dxt 2
cos
1
¸

+
nx
π

0

n=1

π

π

f (xt) cos nxtdxt

(2.4)

0

1. . .
. +..

f
x
+
f
x
tai nhung điem x (0, π) mà f (x−)
h®i tn

ve

2
f (x+) ton tai, h®i tn ve f (0+) tai x = 0 neu f (0+) ton tai; h®i
tn ve
f (π−) tai x = π neu f (π−) ton tai.
Đ%nh lý 2.3. Cho f ∈ L1 [0, π] và thóa mãn đieu ki¾n Dirichlet
trên
(0, π). Khi đó, ta có chuoi sin


¸ π
2.
f (xt) sin nxt dxt
sin nx
π
0

(2.5)

n=1

1. . .
. ..
f x− + f x+ tai nhung điem x (0, π) mà f (x−)
h®i tn

ve

2
f (x+) ton tai; h®i tn ve 0 tai x = 0 hay x = π.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×