Tải bản đầy đủ

Cấu trúc phô trương của một lớp toán tử phi tuyến compact

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu
đáo của PGS. TS Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và chỉ bảo cho tác
giả những kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa
học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS. TS Nguyễn
Phụ Hy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, các
thầy, cô trong Tổ Giải tích của Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
đã tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại
trường.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD – ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Phòng Giáo
dục huyện Sông Lô, Trường THCS Cao Phong, Đức Bác huyện Sông Lô, tỉnh
Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và hoàn thành luận văn.
Do điều kiện thời gian và khả năng bản thân còn có hạn, nên luận văn khó
tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy, cô cùng các bạn đọc nhận xét
và góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện và có ý nghĩa thực tiễn cao hơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả


Nguyễn Đức Thịnh


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu luận văn: “ Cấu trúc phổ dương của một lớp
toán tử phi tuyến compact ” đã giúp tác giả hiểu sâu hơn bộ môn Giải tích. Đặc
biệt là cấu trúc không gian sắp thứ tự và nửa sắp thứ tự, về cấu trúc phổ của một
số lớp toán tử phi tuyến. Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với công
tác nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin cam đoan luận văn được hình thành do sự cố gắng tìm tòi,
nghiên cứu của bản thân tác giả, dưới sự chỉ bảo của PGS. TS Nguyễn Phụ Hy
cũng như các thầy, cô Phòng Sau đại học, Tổ Giải tích của Khoa Toán Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tác giả đã tham khảo và kế thừa các thành
quả khoa học, nghiên cứu của các học viên Cao học, các thầy, cô giáo với sự trân
trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2010
Tác giả

Nguyễn Đức Thịnh


MỤC LỤC

Trang

Mở đầu
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị …………………………...

9

1.1. Khái niệm không gian Banach thực ……………………………

9

1.1.1. Các định nghĩa ……………………………………………….

9



1.1.2. Một số tính chất đơn giản ……………………………………

10

1.1.3. Một số không gian Banach thực……………………………...

11

1.2. Khái niệm phổ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
Banach thực ………………………………………………………...

16

1.2.1. Các định nghĩa………………………………………………..

16

1.2.2. Một số định lí về phổ của toán tử tuyến tính bị chặn…………

17

1.2.3. Phổ của một số toán tử tuyến tính…………………………….

20

1.3. Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự………………………..

24

1.3.1. Khái niệm nón trong không gian Banach thực……………….

24

1.3.2. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực ………….

25

1.3.3. Một số định lí về nón ………………………………………..

26

1.3.4. Không gian Eu ……………………………………………….

30

1.3.5. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự………………

32

Chương 2: Toán tử u0_lõm và toán tử lõm chính quy ………….

36

2.1. Toán tử u0_lõm …………………………………………………

36

2.1.1. Định nghĩa toán tử u0_lõm và các định nghĩa liên quan……...

36

2.1.2. Một số toán tử u0_lõm ……………………………………….

36

2.1.3. Điểm bất động của toán tử u0_lõm ………………………….

38

0

2.2. Toán tử lõm chính quy………………………………………….
2.2.1. Định nghĩa toán tử lõm chính quy và các định nghĩa liên
quan…………………………………………………………….........


Một số toán tử lõm chính quy………………………………...
Điểm bất động của toán tử lõm chính quy…………………… Chương 3: Cấu trúc phổ dương củ
3.1. Các định nghĩa………………………………………………….
Định nghĩa toán tử compact………………………………….
Định nghĩa toán tử compact đơn điệu………………………..
Vecto riêng dương và giá trị riêng dương………………………
Định nghĩa vecto riêng dương và giá trị riêng dương………..
Định nghĩa toán tử dương nghiêm ngặt………………………
Một số tính chất đơn giản về vecto riêng dương và giá trị riêng dương………………………………
Cấu trúc phổ dương của toán tử lõm chính quy hoàn toàn liên tục…………………………………
Kết luận
Tài liệu tham khảo


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình:
Ax   x  y

trong không gian định chuẩn X, trong đó A là toán tử tuyến tính, 

là số thực hay số phức, y cho trước thuộc X, x là phần tử phải tìm. Nội dung chủ
yếu của bài toán này là việc nghiên cứu phổ của toán tử A. Việc nghiên cứu phổ
của toán tử được nêu ra và giải quyết từ đầu thế kỷ 20, gắn liền với tên tuổi của
những nhà khoa học nổi tiếng như Hilbert, Banach, Frêsê… Một trong những
hướng lớn phát triển lí thuyết phổ là lí thuyết khai triển theo các vecto riêng của
một toán tử hoặc một họ hữu hạn các toán tử. Vấn đề này được nghiên cứu và
giải quyết vào những năm 40, 50 của thế kỷ 20, gắn liền với tên tuổi của những
nhà khoa học nổi tiếng như: Krein, Beredanxki, Rudin, Iôxida…. Từ những năm
70 của thế kỷ 20 lí thuyết khai triển theo vecto riêng được phát triển cho một hệ
vô hạn các toán tử liên hợp, do đó hình thành lí thuyết toán tử tuyến tính trong
không gian vô hạn biến. Công khai phá và phát triển lí thuyết mới này thuộc về
Viện sĩ Beredanxki và các học trò của ông. Nước ta, trong thời gian này, tác giả
Nguyễn Phụ Hy cũng đã có những đóng góp đáng kể vào lý thuyết phổ của toán
tử theo hướng mới này.
Tuy nhiên việc ứng dụng của lý thuyết phổ vào các ngành kế cận như:
Phương trình vi phân và tích phân, xác suất thống kê toán, động lực học, điều
khiển, lý thuyết trò chơi, toán kinh tế, … thì các toán tử A nói trên thường không
phải là tuyến tính, do đó lý thuyết Phương trình phi tuyến ra đời. Đặt nền móng
cho lý thuyết mới này là nhà toán học Hunggari Banach. Kế đến phải nói tới lý
thuyết nghiệm dương của các Phương trình toán tử phi tuyến trong các công
trình của nhà toán học Xô viết nổi tiếng Kraxnôxenxki và các học trò của ông.
Các nhà toán học đã lần lượt xét các toán tử khác nhau như: toán tử đơn điệu,
toán tử đo được, toán tử cực trị, toán tử có đạo hàm Frêsê hay đạo hàm tiệm cận,
toán tử lõm, …


Theo hướng nghiên cứu đó, được sự hướng dẫn, giúp đỡ của PGS. TS
Nguyễn Phụ Hy tôi muốn đi nghiên cứu, tìm hiểu về cấu trúc phổ của một lớp
toán tử phi tuyến compact và một vài ứng dụng của nó trong toán phổ thông. Vì
vậy tôi chọn đề tài: “ cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến “.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách hệ thống về phổ dương của một lớp
toán tử phi tuyến compact và một vài ứng dụng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài làm rõ các khái niệm trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự,
cấu trúc phổ dương của lớp toán tử phi tuyến lõm chính quy hoàn toàn liên tục
tác dụng trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu về cấu trúc phổ dương của toán tử lõm chính
quy hoàn toàn liên tục, vận dụng lý thuyết này thông qua một số ví dụ.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Toán tử u0_lõm và toán tử lõm chính quy
Chương 3: Cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi tuyến compact
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Phát triển những lý thuyết liên quan.
Xây dựng giả thuyết khoa học, chứng minh. Xây dựng các ví dụ cụ thể.
6. Giả thuyết khoa học
Luận văn nghiên cứu sâu về cấu trúc phổ dương của một lớp toán tử phi
tuyến compact, nâng nó thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó
trong giải quyết các vấn đề lý thuyết, thực tiễn về phổ của toán tử phi tuyến cũng
như về lý thuyết phương trình.


Vì mục đích nghiên cứu, học hỏi, luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích
cho sinh viên, học viên cao học, người yêu thích toán và người quan tâm tới lý
thuyết, ứng dụng phổ của toán tử và phương trình.


10

Chơng 1: một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Khái niệm không gian Banach thực
1.1.1.Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1
Ta gọi l không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến
tính định chuẩn)
mt không gian tuyến tính (hay khụng gian vecto) X trên trờng P cùng
với một
ánh xạ:
|| . || : X R
x || x ||
c là chuẩn, thoả mãn các tiên
đề sau: C1, ( x X) || x || 0, ||
x || = 0 x = 0; C2, ( x X) (
P) || x || = | | || x ||; C3, ( x, yX)
|| x+y || || x || + || y ||.
Ta kí hiệu không gian định chuẩn là ( X, || . || ) hoặc X.
Định nghĩa 1.1.2
Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
tới điểm xX,
nế lim || x x || = 0. Kí
n
u n
hiệu

lim
xn

= x.

n

Định nghĩa 1.1.3

lim
n,m

Dãy điểm ( xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản nếu
= 0.
xn x m

Định nghĩa 1.1.4
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu X
là không gian
tuyn tớnh trên trờng số thực ( P = R ).
nh ngha 1.1.5
Tp M X c gi l tp li, nu:


x1, x  M   R : 0    1 
2
,

 x1  (1   )x2  M

Tập rỗng  được coi là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.6
Tập X0   gọi là không gian định chuẩn con của không gian định chuẩn
X, nếu X0 là không gian tuyến tính con của không gian X và chuẩn xác định trên
X0 là chuẩn xác định trên X. Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong không gian X,
thì X0 gọi là không gian định chuẩn con đóng của không gian X.
1.1.2.Mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n.
(+) Nếu dãy điểm (xn) hội tụ tới x, thì dãy chuẩn (|| xn || ) hội tụ tới || x ||.
(+) Nếu dãy điểm (xn) hội tụ trong không gian định chuẩn X, thì dãy chuẩn
tương ứng ( ||xn || ) bị chặn.
(+) Nếu dãy điểm (xn) hội tụ tới x, dãy điểm (yn) hội tụ tới y trong không
gian định chuẩn X, dãy số  n  hội tụ tới  thì:
xn + yn  x + y ( n   ) ,

n xn   x ( n   ).

Định lí 1.1.1
Nếu X0 là không gian định chuẩn con đóng của không gian định chuẩn X
và X0  X, thì với số dương  cho trước tùy ý, tồn tại phần tử x  X, || x || = 1,
sao cho d( x, X0) = inf || x  y ||  1   .
yX 0

Chứng minh
Vì X0  X, nên tồn tại phần tử z  X \ X0.
Đặt:

  d (z, X 0 )  inf || z  y

(1.1.1)

||
yX 0

Rõ ràng   0 . Thật vậy, nếu

  0 , thì tồn tại dãy điểm

( yn )  X

sao cho

0

lim || z  yn ||  0 , vì X đóng
0
n

nên

z  X 0 , điều này mâu thuẫn với tính chất của

phần tử z  X \ X0. Mâu thuẫn đó chứng tỏ

  0 . Giả sử  là số tùy ý thuộc


khoảng (0;1). Theo định nghĩa cận dưới đúng, với số a = 
1

tử ya  X 0

 0 , tồn tại phần

sao cho   || z  ya ||    a .

Đặt
x
|| x  y || 

z  ya , thì || x || = 1 và ta có y  X
0
|| z  ya ||
z  ya  y
|| z  ya ||

1

|| z 
ya


||


|| z  ya ||

|| z  ( ya  || z 
ya





a



|| y) ||




1

  1 

Định lý được chứng minh.
1.1.3.Mét sè kh«ng gian
Banach thùc VÝ dô 1.1.1
TËp hîp c¸c sè thùc lµ kh«ng gian Banach thực víi chuÈn:
|| x || = | x |,  x  R
ThËt vËy, như đã biết, tập số thực R là một không gian tuyến tính
thực.
Đối với mỗi số thực x thì || x || = | x |

(1.1)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, ta có:
+/ x  R, || x ||  | x |  0 và || x ||  | x |  0  x  0 .
+/ x  R,  R, ||  x ||  |  x |  |  | . | x |  |  | . || x || .
+/ x, y  R, || x  y ||  | x  y |  | x |  | y |  || x ||  || y ||
Vậy công thức (1.1) cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương
ứng ký hiệu là R1. Không gian R1 là một không gian Banach, điều này có được là
do tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực.
VÝ dô 1.1.2
Xét không gian tuyến tính thực R n x  (x , x ,..., x ) : x  R,i  1, 2,..., n ,


1
2
n
i
nN
,

n  2 . Với bất

kỳ

x  (x1, x2 ,..., xn ) 
R
|| x || 

n

x
i1

2
i

n

ta đặt:

(1.2)


Ta sẽ chỉ ra công thức (1.2) cho một chuẩn trên

.

Thật vậy:
n

(+) x = (x1,x2 ,...,xn )  R

|| x ||  0 

n

0

x

2
i

i1

x

|| x || 

ta có:

n

i1

2
i

0

n

x

2
i

i  1; 2;...;n  x  

 0  xi  0,

i 1

(+) x  (x , x ,..., x )  Rn   R , ta cã:
1
2
,

n

||  x || 



2

 ( x )

i 1

i 1

n

(+) x  (x1, x2 ,..., xn ) 
n

n

|| x  y ||   (xi  yi ) 2
n

  xi  2
2

i1





i1

i

i

x

2
i

i 1

n



i1

n

n

| |

n

y  ( y1, y2 ,..., yn ) 
R

R,




x



i

2

n
22

2

i1

n

x

x 

i 1

n
i

2

i1

2

xi  2  xi yi 



i1
2

, ta cã:

n

y

2

i

i 1

n

2
i



y

i

2

i1

2 
y 


n i

i1

y

 |  | . || x ||

 || x ||  || y ||2
n

n

 || x  y ||  || x ||  || y ||, x  (x1, x2 ,..., xn )  R y  ( y1, y2 ,..., yn )  R
,

Vậy công thức (1.2) cho ta một chuẩn trên không gian Rn. Do đó không
gian Rn là một không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn tương ứng ký
hiệu là Rn và thường gọi là không gian Eukleides.
Ta sẽ chỉ ra không gian định chuẩn Rn là không gian Banach.
Trước hết, ta sẽ chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian
Rn tương đương với sự hội tụ theo tọa độ.
Thật vậy, giả sử dãy điểm x( m)  (x ( m) , x(m) ,..., x(m ) m  1, 2,... hội tụ tới điểm
),

1

2

n

x = ( x1, x2, … xn ) trong Rn. Theo định nghĩa:
n
0

0

  0, m  N : m  m sao cho : || x
*

( m)

 x || 

(x  x )

i1

(m)
i

i

2




Suy ra | x( m)  x |  ,m  m ,i  1, 2,..., n
i

i

(1.3) .

0

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ rằng, với mỗi i = 1, 2, …, n dãy số thực
(x(i m) hội tụ tới xi khi m   . Sự hội tụ đó gọi là sự hội tụ theo tọa độ.
)

Ngược lại, giả sử dãy điểm:
 (x1

x

,
x2
( m)

( m)

hội tụ theo tọa độ tới điểm x = (x1, x2,

), m  1,
2,...

,...,
xn
(m)

(m )

n

…, xn) trong R . Theo định nghĩa,   0 , với mỗi i  1, 2,..., m  N *, m  m ,
i
n,


(m)

| xi

 xi | 

n

i

.

Đặt m0  max(m1, m2 ,..., mn )
 (x

( m)
i

2

2

x) 



0
thì m  m , | x(m)  xi | 

,
n

i  1, 2,..., n

i  1, 2,..., n

,
n
n



 (x
i1

n


 || x

i
( m)

 xi )   ,
2

m  m0

2

0

(x  x )
( m)
i

i1
(m)

2

i

 x ||   ,

,

m  m

m  m0

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian Rn.
Bây giờ ta sẽ chứng minh không gian Rn là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử x( m)  (x ( m) , x(m) ,..., x( m) m  1,
là dãy cơ bản trong
),

1

2

2,...

n

không gian Rn. Theo định nghĩa dãy cơ bản:   0,
m

*

 N ,m, p  m :
0

|| x

( m)

hay

x

(p)

n
i1

0

||  

(x  x
( m)
i

i

(p)

)

   | xi

( m)

 xi

(p

|   , m, p  m0 , i  1, 2,..., n

Các bất đẳng thức này chứng tỏ với mỗi i = 1, 2, …, n dãy (x ( m) ) là dãy số
i
thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn: lim x( m)  x , i  1, 2,..., n .
m

i

i

n đã cho hội tụ theo tọa độ tới x,
Đặt x = (x1, x2, …, xn) thì dãy (x(m)
)R
i


nghĩa là dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn.


Vậy không gian Rn là không gian Banach.
VÝ dô 1.1.3
Kh«ng gian vecto C[a,b] c¸c hµm liªn tôc trªn [a,b] lµ kh«ng
gian Banach thùc víi chuÈn:
|| x || = max | x(t) | ,

 x C[a,b]

at b

(1.4)

(+) Dễ dàng kiểm tra C[a,b] là không gian vecto trên trường số thực R.
(+) Do x C ,
 a;b

x(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [ a; b ] nên hàm số

| x(t) | liên tục trên đoạn [ a; b ], do đó | x(t) | đạt giá trị lớn nhất trên [a; b]. Suy
ra công thức (1.4) xác định một ánh xạ từ C[a; b] vào tập số thực R.
Ta sẽ chỉ ra công thức (1.4) cho một chuẩn trên C[a,b] . Thật vậy:
(+) Rõ ràng x  C a;b , || x ||  max | x(t) |  0 ,
at b

|| x ||  0 

max | x(t) | 
0

 | x(t) |  0,t   a;b

at b

 x(t)  0, t  a;b 

(+) x C a;b ,  R

x ;

ta có:

||  x ||  max | ( x)(t) |

at b

(+) x, y C a;b ta có: || x  y || 

max |  x(t) |  |  | max | x(t) |  | x | . || x ||;
at b

at b

max | x(t)  y(t) |
at b

Mặt khác, t   a;b ta có:

| (x  y)(t) |  | x(t)  y(t) |  | x(t) |  | y(t) |  max | x(t) |  max | y(t) |.
at b

Từ đó max | (x  y)(t) | 
at b

at b

max | x(t) |  max | y(t) hay || x  y ||  || x ||  || y || .
|
at b

at b

Vậy công thức (1.4) cho một chuẩn trên không gian C[a; b]. Nên không
gian tuyến tính C[a; b] cùng với công thức (1.4) là không gian định chuẩn. Không
gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là C[a; b].
Ta sẽ chỉ ra không gian C[a; b] là không gian Banach.
Trước hết, ta sẽ chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian
C[a; b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a;b].


Thật vậy, giả sử dãy hàm  xn   Ca;b
C[a; b]. Theo định nghĩa:   0,n

hội tụ tới hàm x trong không gian

*

0

 N ,n  n

0

|| xn  x ||  max | (x  x)(t) |  max | x (t)  x(t) |   .
n
n
at b

at b

Từ đó suy ra | xn (t)  x(t) |   ,

n  n0 , t   a;b

(1.5)

Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ dãy hàm số liên tục ( xn(t) ) hội tụ đều
tới hàm số x(t) trên đoạn [a; b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm ( xn(t)) các hàm số liên tục trên đoạn [a; b],
nghĩa là  xn   Ca;b , hội tụ đều tới hàm số x(t) trên đoạn [a; b]. Khi đó x(t) liên
tục trên đoạn [a; b], theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, thì:
  0, n  N *, n  n ,t   a;b  : | x (t)  x(t) |   .
0

0

Từ đó suy ra: max | xn (t)  x(t) | 
at b

n

 , n  n0  || xn  x || 

 , n  n0 .

Do đó dãy ( xn(t) ) hội tụ tới hàm số x(t) theo chuẩn của không gian C[a; b].
Bây giờ, ta chứng minh không gian C[a; b] là không gian Banach.
Thật vậy, giả sử (xn) là dãy cơ bản tùy ý trong không gian C[a; b].
Theo định nghĩa dãy cơ bản:   0, n  N *,m, n  n , || x  x ||  
0

Hay

max | xm (t)  xn (t) |


  | xm (t)  xn (t) |   ,

0

m, n  n0 ,t  a;b

m

n

(1.6)

at b

Các bất đẳng thức (1.6) này chứng tỏ với mỗi t cố định tùy ý thuộc đoạn
[a;b] dãy ( xn(t) ) là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn
lim xn (t)  x(t), t [a;b]. Ta nhận được hàm số x(t) xác định trên đoạn [a;b].
n

Vì các bất đẳng thức (1.6) không phụ thuộc m nên chuyển qua giới hạn các
bất đẳng thức này khi m   ta được

| xn (t)  x(t) |


bất đẳng thức này chứng tỏ dãy hàm số  xn   Ca;b

 , n  n0 , t  a;b . Các

hội tụ đều đến hàm số x(t)

trên đoạn [a;b] nên x C
 a; b . Do sự hội tụ trong không gian C[a, b] tương đương
với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a; b], nên dãy cơ bản (xn) đã
cho hội tụ tới x trong không gian C[a; b] .


Vậy không gian C[a; b] là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.4
Xét

n  1,
2,3,...,



l p   x  (x n) n1: x  R,



| x |
n


n

p


  , với 1  p   .


n1

Trên lp ta xác định hai phép toán:
x  y  (x  y ) 
n
n n1
x

( xn)n1




Với x  (xn )n1 l p , y  ( yn )n1  lp ,   R .
Khi đó:







n

|x|

p



n1`p

n

| |p     x  l
x

p

n1

(+) Với mỗi k cố định, áp dụng bất đẳng thức Minkovki trong không gian Rn ta
có:
1

k

(  | xn 
n1`

k

y n | p )  (  | xn

| p) p (k| yn
1



 (| x
n

1
p

p

1
p

p

1
p

| )

n1`

n1`

p

p

| p) p (| yn
1

| )

n1`

n1`

Cho k   ta được:


Do (




(  | xn 
n1`

n

|

x

1
p

p

| )  , (
y

n1`



1

y n | p )  (  | xn



1

n

p

| )

n1`

n1`

p



| p) p (| yn

1
p

| )   nên:

|

n1`

k

( | xn  yn | )

p

n1`

1
p

k

   | xn |

p



   x  y

 (xn  yn )n1  lp

n1`

Dễ dàng thấy rằng lp cùng với hai phép toán trên là một không gian vecto
trên trường số thực R.
(+) Với x 
lp

1



ta đặt: || x ||  (| xn | )p

(1)

n1`

Dễ dàng chứng minh công thức (1) thỏa mãn các tiên đề 1, 2 về chuẩn. Theo chứng
minh trên ta có:


( | xn 
n1`

yn | p ) p  (| xn
1

n1`

 || x  y ||  || x ||  || y ||

| p) p (| yn
1

p

| )

1
p

n1`

Công thức (1) thỏa mãn tiên đề 3 về chuẩn. Vậy lp cùng với (1) là một
không gian định chuẩn.
(+) Ta chứng minh lp là không gian Banach.


Tht vy, gi s (x ) l , vi

x (x ) 1 , l dóy Cauchy trong khụng

n n1

ni i

n

gian lp. Khi ú vi 0 tựy ý, tn ti n0 N sao cho:
n





m

|| x x || (

ni

|x x

mi

p

1
p

| )

(2)

i1`

Vi n n0 , m n0 .
Khi ú vi mi i c nh thỡ: | x n xm | . Vy vi mi i c nh, dóy


(x ) 1 l dóy Cauchy trong R, do ú (x ) hi t.
n n
n n1
t y lim x , i 1,
i

i

i

i

i

n

ni

2,3...

Ta chng minh rng y ( yi )



l mt phn t ca lp v lim || xn y || 0
n

i1

Tht vy, t (2) suy ra rng, vi s t nhiờn s tựy ý ta cú:
s | xn xm | , n n0 , m n0
(3)

p
i

i 1`

p

i

Trong (3) cho m ta c:
s

| x

i 1`

p

ni

p

yi | , n n0

Do (4) ỳng vi mi s t nhiờn s, nờn:
| x y | ,
n n0

n
i
i 1`

Vy vi mi n n0

i

p

thỡ

(4)

(5)

p

y xn l p . Do ú, y

xn ( y xn ) l p .

Mt khỏc, t bt ng thc (5) suy ra || xn y || , n n0 , tc l
lim xn y trong l .
p
n

Vy lp l mt khụng gian Banach thc.
1.2. Khái niệm phổ của toán tử tuyến tính bị chặn
trong không gian Banach thực
1.2.1.Các định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1
Cho hai không gian tuyến tính X, Y. nh xạ A từ X vào Y
gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thoả mãn các điều kiện:
1, ( x, x* X) A( x + x*) = Ax + Ax*;
2, ( x X) ( R) Ax = Ax.
Định nghĩa 1.2.2


Toán tử tuyến A từ không gian định chuẩn X vào không
gian định chuẩn Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số c > 0
sao cho:
|| Ax || cx,



x X.

Hằng số c nhỏ nhất thoả mãn hệ thức trên gọi là chuẩn
của toán tử A, kí hiệu l ||A||.
Định nghĩa 1.2.3
Cho X là không gian định chuẩn, xét phơng trình: ( A- I
)x = y;

y X

l phn t ó cho, x X l phn t cn tỡm, P, I là toán tử đồng nhất.
Nếu tồn tại toán tử
R =( A- là toán tử ngợc của toán tử A = A-

-1
I)
I thì
R đợc gọi là toán tử giải.

Số P gọi là giá trị chính quy ( hay điểm chính quy) của
toán tử A, nếu toán tử R xác định và bị chặn trên toàn X. Số
gọi là giá trị phổ ( hay điểm phổ ) của toán tử A, nếu không
là giá trị chính quy của toán tử A.
Tập hợp tất cả các giá trị phổ của toán tử A gọi là phổ
của toán tử A, kớ hiu l (A).
Định nghĩa 1.2.4
Cho không gian định chuẩn X, tập M X đợc gọi là
compact nếu mọi dãy vô hạn trong M đều tồn tại dãy con hội tụ
tới một phần tử thuộc M.
Tập M X đợc gọi là compact tơng đối nếu bao đóng M
của tập M là compact.
Định nghĩa 1.2.5
Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X
vào không gian
định chuẩn Y gọi là toán tử compact nếu A ánh xạ tập bị
chặn bất kỳ trong X thành tập compact tơng đối trong Y.
1.2.2. Một số định lý về phổ của toán tử tuyến tính bị
chặn.
Định lí 1.2.1


20

Cho các toán tử tuyến tính bị chặn A, B tác dụng trong
không gian Banach X sao cho toán tử A có toán tử ngợc A-1 bị
chặn và toán tử B có:

|| B ||

<
1
1

|| A ||

. Khi đó toán tử A+ B có toán tử ngợc bị chặn.

Chứng minh
Giả sử y là phần tử cố định tùy ý thuộc không gian X. Với
mỗi x X ta
đặt: Cx = A-1y - A-1Bx,
A-1B = A-1

trong đó

0

B (1.2.1)

Với hai phần tử bất kỳ x, x* X ta có:
d( Cx, Cx* ) = || Cx - Cx* || = || A-1Bx - A-1Bx* || = || A-1B( x-x* )||
-1

-1

|| A || . || B( x-x* ) || || A || . || B || d( x, x* )

Vì || A-1 || . || B || = < 1, nên toán tử C cho bởi hệ thức (1.2.1)
là ánh xạ co ánh xạ không gian Banach X vào chính nó. Do đó
tồn tại điểm bất động duy nhất x0
-1

-1

X của toán tử C sao cho: x0 = Cx0 = A y - A Bx0 => y = ( A+B )

x0

nhng mọi nghiệm x* của phong trình ( A+B )x = y đều là
điểm bất động của toán tử C, nên x* = x0. Vì vậy, y X phơng trình ( A+B )x = y bao giờ cũng có nghiệm duy nhất trên
không gian X, nghĩa là toán tử A + B có toán tử ngợc xác định
trên toàn không gian X. Theo nguyên lí ánh xạ mở Banach,
-1

toán tử ngợc ( A+B ) bị chặn.
Định lí đợc chứng minh.
Hệ quả 1.2.1
Số 0

P là giá trị chính quy của toán tử A, thì mọi số

P thỏa mãn
điều
kiện:

| 0 | <

1
1

|| A 0 I ||

đều là giá trị chính quy của A.

Định lí 1.2.2
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn tác dụng trong không
gian Banach X


và số P thoả mãn điều
kiện: | |

21

> || A ||. Khi đó là giá trị chính
quy của

toán tử A và toán tử giải R có biểu diễn dạng:
-1

R = (A- I) =

1



k

A

k
k
0


Chứng minh


1











1

1

A

Ta có A - I = I A ,

P, | |

A 1,

A

||



Do đó các điều kiện của định lí 1.2.1 đợc thỏa mãn, nên tồn
tại toán tử ngợc (A- I)

-1

xác định trên toàn không gian X và bị

chặn, nghĩa là số là giá trị

và1 ,

chính quy của toán tử A.1

A











1 k
A

k 0



k = 0; 1; 2; nên chuỗi

Ak





gian I(X, X) suy ra
chuỗi

1

1
A






A

k

,

k





hội tụ. Từ đó và từ tính đủ
của không



hội tụ trong không gian I(X, X).

k

k 0

Với mỗi số tự nhiên n = 1; 2; 3; . ta có:
1




I A


An1





Ak



n1



k

k 0

A

A


k 0

k

1



,



An1

I A I



n 1; 2; 3; ... và lim
n

n1



k

n

n

( 1.2.2)

n1
A



n1

0 , nên chuyển

qua

giới hạn trong hệ thức (1.2.2) theo chuẩn của không gian I(X, X)
khi
n
ta đợc:

I



Vì vậy
R





1k







A





k 0



A





k

k
k 0

1 1

I A



A I 1



1



A

k 0

k
k

Định lí đợc chứng minh.
Định lí 1.2.3

k

A I 1

A




k 0





k
A
k I


I


Nếu A là toán tử tuyến tính compact tác dụng trong không
gian Banach X, thì với mọi số > 0 toán tử A chỉ có hữu hạn
vecto riêng độc lập tuyến tính tơng ứng với các giá trị riêng
mà | | .


Chứng minh
Giả sử toán tử A có một dãy vô hạn (xn) các vecto riêng độc
lập tuyến tính
tơng ứng với dãy các giá trị riêng
n với mọi n = 1; 2; 3;
n mà
Ta kí hiệu Xn là khômg gian con đóng sinh bởi các
vecto x1; x2; x3; ; xn ( n = 1; 2; 3;). Theo định lí về
hình chiếu trên không gian con đóng, đối với mỗi số tự
nhiên n = 1; 2; 3; tồn tại phần tử yn Xn, || yn || = 1 sao
cho:
1

d( yn, Xn-1) = inf y x
xX
n
2
yn bị chặn, nhng A yn không chứa dãy con
Khi đó

nào

dãy
dãy
n
n
n
thì:
yn a k xk
hội tụ. Thật vậy,
k 1
giả sử
n1

n

y
Ax
A n



n

a

a
n1

k



k

x

k 1

k

trong đó zn



a
n1

k

k 1



n n

ax

n

y z

n

n

n

k 1

k
k

k


1 xk

n



X n1

( n = 1, 2, 3,
)

Với hai số tự nhiên bất kỳ p, q, p > q ta có:
yp
yq
A
A

p

Trong đó



y z

q

p

y z
p

q

q



y y z
p

q

z
q

p



1
2

yq + zq - zp Xp-1. Bất đẳng thức trên mâu

thuẫn với tính compact của toán tử A. Vì vậy, chỉ có hữu
hạn vecto riêng độc lập tuyến tính
tơng ứng với giá trị riêng

Định lí đợc chứng
minh.
1.2.4. Phổ của một số
toán tử Ví dụ 1.2.1

.


Xét A : Rn  Rm (m  n) , xác định bởi ma trận:


 1

0

0
.

0

2



.

. . .

0

. . . 0
. . . .


. . . m

0
Khi đó, với mỗi y 
xét phương trình:
m
R
Ax-x = y hay ( A   I )x  y
 1  
0
. . .
0

 



 x1 

 y1 


 

.
.
2  
    
 . 
.
.

 




x
y
0
0
. . . m  n 
 m
0xi  yi . Vậy, nếu yi  0 thì phương trình trên vô
0
.

. . .
. . .

0
.

(+) Nếu   i thì
nghiệm. Vậy   i là các giá trị phổ của toán tử A.
(+) Nếu   i , i  1, 2,..., m
thì
nghiệm với mọi y  Rm .
Vậy  ( A)  {i , i = 1,2,...,m} .
VÝ dô 1.2.2

yi

xi 

i  

. Vậy phương trình trên luôn có

T×m phæ cña to¸n tö Volterre
t

(Ax)(t) =
0

 x  s ds ,

x(s)  C[0;1], 0  t  1

t¸c dông trong kh«ng gian C[0;1].
(+) Dễ thấy A là toán tử tuyến tính. Thật vậy, từ tính chất của tích phân
với biến cận trên ta thấy (Ax)(t)  C[0;1],  x(t)  C[0;1] , nên với  x(s), y(s) 
C[ 0; 1],  ,   R ta có:
A( x   y)(t) 

t

  x  s   y  s  ds
0

t

t

   x(s)ds    y(s)ds
0

  Ax   Ay

(+) Ta có:

0


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×