Tải bản đầy đủ

Cấu trúc của không gian mầm các hàm chỉnh hình

LèI CÁM ƠN
Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS. Nguyen Văn Hào, ngưòi
thay đã t¾n tình giúp đõ tôi trong quá trình hoàn thành lu¾n văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hi¾u, phòng Sau đai hoc,
trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2 cùng toàn the các thay cô giáo trong
trưòng đã tao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tôi hoc t¾p và nghiên
cúu.
Trong quá trình thnc hi¾n công tác nghiên cúu không tránh khói
nhung han che và thieu sót, tôi xin chân thành cám ơn nhung ý kien
đóng góp cna các thay giáo, cô giáo và các ban hoc viên.

Hà N®i, tháng 10 năm 2010
Tác giá.


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS. Nguyen Văn Hào, khóa
lu¾n tot nghi¾p"Cau trúc cúa không gian mam các hàm chính
hình"đưoc hoàn thành, không trùng vói bat kỳ khóa lu¾n nào khác.
Trong quá trình làm khóa lu¾n, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna

các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 10 năm 2010
Tác giá

Đ¾ng Th% Bích Tháo


Mnc lnc
Má đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1. M®t so kien thNc chuan b%

1
4

1.1. Không gian véc tơ tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Đa thúc trên không gian loi đ%a phương......................................12
1.3. Hàm chính hình.......................................................................... 18
1.4. Không gian mam các hàm chính hình.......................................23
Chương 2. Cau trúc cúa không gian mam các hàm chính
hình

26

2.1. Tính chính quy cna không gian mam các hàm chính hình

26

2.2. Tính chính quy Cauchy cna không gian mam hàm chính
hình.............................................................................................31
2.3. M®t so ví du và phán ví du ve đieu ki¾n (B).........................34
2.4. Tính đay cna không gian mam các hàm chính hình

. . .

37


KET LU¾N............................................................................. 41
TÀI LIfiU THAM KHÁO.....................................................42


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Trong giái tích phúc, m®t van đe lón đưoc đ¾t ra đoi vói lý thuyet
các hàm chính hình đó là tính chính hình đ%a phương trên m®t t¾p con
K nào đó cna m®t không gian loi đ%a phương. Đieu đó dan đen khái
ni¾m mam hàm chính hình H(K) trên t¾p K. Ý nghĩa quan trong cna
khái ni¾m này là sn đ%a phương hóa khái ni¾m phan tú, thay cho vi¾c
xét m®t phan tú co đ%nh nào đó ngưòi ta xét lóp tat cá các phan tú
tương đương đoi vói phan tú này. Trong khái ni¾m mam ta phân ra các
đ¾c điem chung liên ket các phan tú tương đương lai vói nhau. T¾p các
mam hàm chính hình H(K) trên t¾p compact K có the đưoc xét theo
hai khía canh. M®t là, ve m¾t đai so ta có the xem nó như là m®t vành.
Các tính chat cna vành H(K) đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi, có the xem:
Bănică-Stănilă [2], Siu [7],...M¾t khác, H(K) có the đưoc xem như là
m®t không gian véc tơ tô pô trang b% tô pô loi đ%a phương tn nhiên bang
cách ket hop các tô pô cna không gian các hàm chính hình trên m®t lân
c¾n cna K. Theo hưóng nghiên cúu này phái ke đen các công trình cna
S. B. Chae [3], A. Grothendieck [10] và A. Martineau [14, 15],...
Vi¾c nghiên cúu m®t cách trnc tiep tô pô trên lóp không gian các
hàm chính hình không phái luôn đưoc tien hành m®t cách de dàng.
Trong khi đó không gian mam các hàm chính hình đôi khi lai có the
nghiên cúu m®t cách thu¾n loi. Trên H(K) ngưòi ta thưòng quan tâm
đen tính chính quy và tính đay cna lóp không gian này. Theo hưóng
nghiên cúu đó, S.
B. Chae [9] đã chúng tó tính chính quy cna H(K) vói K là t¾p compact
trong không gian Banach.


2

Đe nghiên cúu cau trúc cna không gian mam hàm chính hình H(K),
vói K là t¾p compact trong không gian loi đ%a phương metric tôi đã
chon đe tài:
"Cau trúc cía không gian mam các hàm chsnh hình".
Lu¾n văn đưoc chia làm 2 chương (ngoài phan mó đau, ket lu¾n và tài
li¾u tham kháo).
Chương 1: Kien thúc chuan b%.
Chương này đưoc bat đau bang vi¾c giói thi¾u m®t so các khái ni¾m
và đưa ra m®t so ket quá quan trong ve không gian véc tơ tô pô, can
thiet cho quá trình sú dung sau này. Tiep theo bang cách tiep c¾n ngan
gon chúng tôi se giói thi¾u khái ni¾m ve không gian mam các hàm chính
hình mà muc đích cna lu¾n án là nghiên cúu các tính chat tô pô trên lóp
các không gian này.
Chương 2: Cau trúc cna không gian mam các hàm chính hình.
Vói muc tiêu trong tâm là nghiên cúu van đe chính quy cna lóp
không gian mam các hàm chính hình trên các t¾p compact trong
không gian loi đ%a phương metric và tính đay cna lóp không gian mam
các hàm chính hình trên các t¾p compact cân trong không gian loi đ%a
phương metric, chương này lan lưot trình bày m®t cách có h¾ thong
m®t so ket quá ve tính chính quy và tính đay cna lóp không gian đó.

2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu tính chính quy và tính đay đn cna không gian
mam các hàm chính hình H(K) vói K là t¾p compact trong không gian
loi đ%a phương metric.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vi¾c nghiên cúu lu¾n văn vói nhi¾m vu h¾ thong, làm rõ lý thuyet ve
không gian mam các hàm chính hình và cau trúc cna nó.


4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
- Tính chính quy cna không gian mam hàm chính hình H(K).
- Tính chính quy Cauchy cna không gian H(K).
- Tính đay cna không gian H(K) vói K là t¾p compact trong không
gian loi đ%a phương metric.

5. Phương pháp nghiên cNu
- Đoc sách, nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo.
- Tong hop kien thúc, v¾n dung cho muc đích nghiên cúu.

6. NhÑng đóng góp cúa đe tài
Trình bày m®t cách có h¾ thong m®t so ket quá ve tính chính quy và
tính đay đn dãy cna không gian mam các hàm chính hình H(K) vói K
là t¾p compact trong không gian loi đ%a phương.


Chương 1
M®t so kien thNc chuan b%
1.1.

Không gian véc tơ tô pô

Trong phan này, chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m và tính chat
cơ bán se đưoc sú dung ve sau.
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Cho E là m®t không gian véc tơ và A là m®t t¾p
con cna E
i) T¾p A đưoc goi là loi neu vói moi x, y ∈ A ta có: λx + µy ∈ A,
trong đó λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1.
ii) T¾p A đưoc goi là cân neu vói moi x ∈ A thì λx ∈ A khi | λ |≤ 1.
iii) T¾p A đưoc goi là tuy¾t đoi loi neu nó đong thòi là loi và cân.
iv) T¾p tat cá các to hop tuyen tính huu han
n
.

n

λi · xi vói λi ≥ 0,

i=1

.

λi = 1, xi ∈ A

i=1

là m®t t¾p loi chúa A và đưoc goi là bao loi cna A.
v) Bao tuy¾t đoi loi cna A là t¾p tat cá các to hop tuyen tính huu
n
n.
.
han
λi · xi vói
| λi |≤ 1 và vói moi xi ∈ A (là t¾p hop tuy¾t
đoi loi
i=1

i=1

nhó nhat chúa A).

vi) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ E, ton tai λ > 0 sao cho
x ∈ µA vói moi µ thóa mãn: | µ |≥ λ
Đ%nh nghĩa 1.1.2. M®t không gian véc tơ tô pô có m®t cơ só gom
nhung lân c¾n loi cna điem goc đưoc goi là không gian véc tơ tô pô loi
đ%a phương (không gian loi đ%a phương) và tô pô cna nó goi là tô pô loi
đ%a phương.


5

Đ%nh nghĩa 1.1.3. a) Giá sú E là m®t không gian véc tơ trên trưòng
K (K = C ho¾c K = R). M®t hàm p xác đ%nh trên E có giá tr% thnc
và không âm (huu han) đưoc goi là m®t núa chuan neu
+) p(x) ≥ 0,
+) p(λx) =| λ | p(x),
+) p(x + y) ≤ p(x) + p(y),
vói moi x, y ∈ E, λ ∈ K
b) M®t núa chuan p tương úng vói t¾p hop tuy¾t đoi loi và hút A đưoc
goi là hàm cõ cna t¾p A.
M¾nh đe 1.1.4. Trong m®t không gian loi đ%a phương E, m®t núa
chuan p là liên tnc khi và chs khi nó liên tnc tai điem goc.
ChNng minh. Neu p liên tuc tai điem goc và ε > 0 là m®t so cho trưóc
thì ton tai m®t lân c¾n V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V . Do đó, vói a
là m®t điem tùy ý cna E, ta có: | p(x)−p(a) |≤ p(x−a) < ε khi x ∈
a+V Q
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Không gian véc tơ E đưoc goi là khá đ%nh chuan
neu tô pô cna nó có the xác đ%nh đưoc bói m®t chuan p.
M¾nh đe 1.1.6. Không gian loi đ%a phương E là khá metric khi và
chs khi nó là tách và có m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc đem đưoc. Tô
pô cúa m®t không gian khá metric luôn luôn có the xác đ%nh đưoc bói
m®t metric, bat bien đoi vói các phép t%nh tien.
ChNng minh. Neu E là khá metric thì dĩ nhiên nó là tách và có m®t
cơ só đem đưoc nhung lân c¾n cna điem goc.
Ngưoc lai, neu E có m®t cơ só lân c¾n đem đưoc, thì vì moi lân c¾n
đeu chúa m®t lân c¾n tuy¾t đoi loi, nên ton tai m®t cơ só (un) nhung


lân c¾n tuy¾t đoi loi. Goi pn là hàm cõ cna un. Đ¾t
f (x) =

.



2−n inf{pn(x), 1}.

n=1

The thì f (x + y) ≤ f (x) + f (y) , f (−x) = f (x) và neu f (x) =
0 thì pn(x) = 0, vói moi n. Bói vì E là tách nên x = 0. Đ¾t d(x, y) =
f (x − y) thì d là m®t metric và d(x + z, y + z) = d(x, y). Như v¾y
d là bat bien đoi vói các phép t%nh tien. Trong tô pô metric, các t¾p
hop
Vn = {x : f (x) < 2−n}
l¾p thành m®t cơ só lân c¾n. Nhưng Vn là mó đoi vói tô pô xuat phát
bói moi pn và do đó f là liên tuc. Hơn nua Vn ⊂ Un bói vì neu x ∈/
Un
thì pn(x) ≥ 1, v¾y f (x) ≥ 2−n. Thành thú d xác đ%nh tô pô xuat
phát
cna E.

Q

Đ%nh nghĩa 1.1.7.
a) M®t hàm thnc ϕ(x) trên m®t không gian tuyen tính X đưoc goi
là dưói tuyen tính, neu
+) ϕ(x1 + x2) ≤ ϕ(x1) + ϕ(x2), vói moi x1, x2 ∈ X
+) ϕ(αx) = αϕ(x), vói moi x ∈ X và moi so α ≥ 0
b) M®t phiem hàm dưói tuyen tính ϕ(x) (trong không gian thnc hay
phúc) là m®t sơ chuan neu ϕ(αx) = |α|ϕ(x) vói moi x ∈ X và moi so
α∈K
M¾nh đe 1.1.8. M®t hàm p : X → R là sơ chuan khi và chs khi
nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút; nó là m®t chuan khi và chs khi
nó là hàm cõ cúa m®t t¾p loi, cân, hút và không chúa tron m®t đưòng
thang nào.
ChNng minh. Th¾t v¾y, neu B là m®t t¾p loi, cân, hút thì de thay
rang hàm cõ pB cna nó nghi¾m đúng pB (−x) = pB (x), do đó vói
moi


α < 0 : pB (αx) = −αpB (−x) = −αpB (x), cho nên pB (αx) =| α | pB
(x)
vói moi α và pB là m®t sơ chuan.
Ngưoc lai, neu p là m®t sơ chuan thì t¾p B = {x : p(x) < 1} loi vì
vói x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p(αx+(1−α)y) ≤ αp(x)
+(1−α)p(y) < 1. Hơn nua B cân đoi vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) =
p(x) < 1, và B cũng là hút vì neu x ∈ X và λ > p(x) thì p(x/λ) =
p(x)/λ < 1. De thay p(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λB} cho nên p(x) =
pB (x). Sau cùng, neu p là m®t chuan thì vói moi x ƒ= 0, p(x) > 0 cho
nên p(αx) = αp(x) ≥ 1 (vói α đn lón), túc là αx ƒ= B, chúng tó B
Q

không chúa tron m®t đưòng thang nào đi qua 0 và x

M¾nh đe 1.1.9. Trong m®t không gian tuyen tính X cho m®t ho sơ
chuan Γ tùy ý. Trên X có m®t tô pô tương thích vói cau trúc đai
so, trong đó moi sơ chuan thu®c ho Γ đeu liên tnc. Tô pô ay loi đ%a
phương và nh¾n làm cơ só lân c¾n cúa goc ho tat cá các t¾p có dang
{x : sup pi(x) < ε} (ε > 0, pi ∈ Γ)
1≤i≤n

(1.1).

Nó là m®t tô pô Hausdorff khi và chs khi
(∀x ƒ= 0)(∃p ∈ Γ)p(x) > 0

(1.2).

ChNng minh. Cho Bo là ho tat cá các t¾p có dang V = {x : p(x) <
1}, vói p ∈ Γ. Khi đó, các t¾p V loi, cân, hút nên có m®t tô pô trên X
tương hop vói cau trúc đai so, mà trong đó moi t¾p V là m®t lân c¾n,
túc là theo m¾nh đe 1.1.8, moi sơ chuan p ∈ Γ là liên tuc. Tô pô ay
loi đ%a phương, vói cơ só lân c¾n là ho tat cá các t¾p có dang
ε

\

n

i=1

Vi (ε > 0, Vi ∈ Bo).


Nhưng rõ ràng
n

ε

\

Vi = {εx : pi(x) < 1, i = 1, 2, · · ·, n}

i=1

= {x : pi(x) < ε, i = 1, 2, · · ·, n}
= {x : sup pi(x) < ε}
1≤i≤

n

nghĩa là các t¾p ε

Tn

Vi (ε > 0, Vi ∈ Bo) chính là các t¾p (1.1).

i=1

M¾t khác, X là không gian Hausdorff khi và chí khi giao cna tat cá các
t¾p (1.1) là {0}, mà đieu này lai tương đương vói: bat kỳ x ƒ= 0, ton
tai m®t t¾p (1.1) không chúa x, túc là ton tai m®t ε > 0 và m®t p ∈ Γ
sao cho p(x) ≥ ε
Q
Đ%nh nghĩa 1.1.10.
a) M®t không gian loi đ%a phương mà tô pô đưoc xác đ%nh bói m®t
ho sơ chuan Γ huu han ho¾c đem đưoc, và thoá mãn đieu ki¾n tách
(1.2), goi là không gian đem đưoc chuan.
b) M®t không gian đem đưoc chuan và đn goi là m®t không gian
Frechet. Như v¾y moi không gian Banach (không gian đ%nh chuan đn)
đeu là không gian Frechet.
c) M®t t¾p loi, cân đoi, đóng và hap thu trong m®t không gian loi đ
%a phương goi là m®t thùng. M®t không gian loi đ%a phương trong đó
moi thùng đeu là lân c¾n cna goc goi là m®t không gian thùng và moi
không gian Frechet là không gian thùng.
Đ%nh nghĩa 1.1.11. Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng tùy ý. Vói
moi α ∈ I, cho να : E → Eα là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian
véc tơ E vào không gian loi đ%a phương Eα. Tô pô xa ánh trên E là
tô pô yeu nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa να là liên tuc.


Tô pô xa ánh trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen
tính η : G → E cna m®t không gian véc tơ tô pô G vào E là liên tuc
neu và chí neu να ◦ η là liên tuc vói moi α ∈ I.
Đ%nh nghĩa 1.1.12. Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng. Vói moi α ∈ I,
cho Eα là m®t không gian loi đ%a phương và giá sú rang vói moi α ≤ β,
ton tai m®t ánh xa tuyen tính liên tuc uαβ : Eβ → Eα sao cho
i) uαα là ánh xa đong nhat, vói moi α ∈ I.
ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ , vói moi α ≤ β ≤ γ.
Khi đó ho các không gian và các ánh xa tuyen tính {Eα, uαβ }
đưoc goi là m®t h¾ xa ánh. Không gian con:
Y
E = {{xα} ∈
Eα : uαβ (xβ ) = xα , vói moi α ≤ β}
α∈I

Q

Eα vói tô pô cám sinh đưoc goi là giói han xa ánh cna {Eα, uαβ

cna
}
α∈I

và ta viet là
E = lim proj Eα.
α

M¾nh đe 1.1.13. Moi không gian loi đ%a phương là giói han xa ánh
cúa m®t ho không gian đ%nh chuan.
ChNng minh. Cho X là m®t không gian loi đ%a phương bat kỳ, Γ là
m®t ho sơ chuan úng vói m®t cơ só lân c¾n B cna X. Ta biet là trong
m®t không gian loi đ%a phương, ho các t¾p b% ch¾n yeu trùng vói ho
các t¾p
b% ch¾n nên ta thay rang vói moi p ∈ Γ t¾p p−1(0) là m®t không gian con
cna X và p xác đ%nh m®t chuan trên không gian thương Xp =
X/p−1(0). Khi ay, goi up là ánh xa cho tương úng vói x ∈ X phan tú
x˜ ∈ Xp (x˜ là lóp các xr ∈ X vói p(xr − x) = 0), và dna vào m¾nh
đe 1.1.9 ta thay X chính là giói han xa ánh cna các Xp đoi vói các up. Q


10

M¾nh đe 1.1.14.

Giói han xa ánh cúa m®t ho các không gian loi

đ%a phương đay là đay.
M¾nh đe 1.1.15. Neu E là m®t không gian loi đ%a phương Hausdorff
và đay thì
E = lim proj Eˆ/ ker α
α

ó đây, α chay trên tat cá các núa chuan liên tnc trên E.
M¾nh đe 1.1.16. Cho E là giói han xa ánh cúa các không gian loi
đ%a phương Eα đoi vói các ánh xa να. M®t t¾p M trong E b% ch¾n khi và
chs khi να(M ) cũng b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.1.17. Cho I là t¾p chí so đ%nh hưóng tùy ý. Vói moi
α ∈ I, cho να : Eα → E là m®t ánh xa tuyen tính tù không gian loi đ%a
S
phương Eα vào không gian véc tơ E = να(Eα). Tô pô quy nap trên
E
α

là tô pô manh nhat trên E sao cho tat cá các ánh xa tuyen tính να là
liên tuc.
Tô pô quy nap trên E là tô pô loi đ%a phương và m®t ánh xa tuyen
tính η : E → F cna E vào m®t không gian véc tơ tô pô F là liên tuc
neu và chí neu η ◦ να là liên tuc vói moi α ∈ I.
Đ%nh nghĩa 1.1.18. Cho không gian véc tơ E là hop cna m®t ho các
không gian loi đ%a phương {Eα} đưoc đ%nh hưóng bói quan h¾ bao hàm
và moi ánh xa bao hàm Eα ‹→ Eβ là liên tuc. Khi đó, E đưoc trang b%
bói tô pô quy nap vói các ánh xa bao hàm Eα ‹→ E đưoc goi là giói han
quy nap cna các không gian con Eα và đưoc kí hi¾u bói
E = lim ind Eα.
α


11

Ví dn 1.1.19. Ví du đơn gián và quan trong ve giói han quy nap là
không gian thương. Cho X0 là m®t không gian loi đ%a phương, M là m®t
không gian tuyen tính con cna X0, và X = X0/M . Goi v là ánh xa chính
tac tù X0 vào X (túc là ánh xa cho tương úng vói moi x ∈ X0 lóp tương
đương chúa nó), thì de thay rang tô pô thương chính là tô pô loi đ%a

phương manh nhat đe η liên tuc.
Đ%nh nghĩa 1.1.20. Cho E = lim ind Eα là giói han quy nap cna
các
α

không gian con Eα. Khi đó ta nói rang
i) E là giói han quy nap ch¾t neu Eα có tô pô cám sinh cna Eβ moi
khi Eα ⊂ Eβ .
ii) E là đay đn neu moi lưói Cauchy trong E là h®i tu.
iii) E là giói han quy nap chính quy neu moi t¾p b% ch¾n cna E là b%
chúa và b% ch¾n trong Eα nào đó.
iv) E là giói han quy nap chính quy Cauchy neu cho trưóc B ⊂ E
b% ch¾n thì ton tai α sao cho B b% chúa và b% ch¾n trong Eα và ngoài ra
moi lưói {xα} ⊂ B là E-Cauchy neu và chí neu nó là Eα-Cauchy.
M¾nh đe 1.1.21. ([6], tr 58-59, m¾nh đe 6.4-6.6) Cho E = lim ind
En
là giói han quy nap ch¾t cúa m®t dãy các không gian con En thì

n

i) Moi En có tô pô cám sinh cúa E.
ii) Neu En là đóng trong En+1, vói moi n thì E = lim ind En là
giói
han quy nap chính quy Cauchy.

n

iii) Neu moi En là Hausdorff và đay thì E là Hausdorff và đay. Đ
%nh nghĩa 1.1.22.

M®t không gian loi đ%a phương E là m®t (DF )-

không gian neu
a) E có m®t dãy cơ bán cna các t¾p b% ch¾n.
b) Moi hop đem đưoc b% ch¾n manh cna các t¾p con đong liên tuc
cna E là đong liên tuc.


M¾nh đe 1.1.23. ([10], tr 77, h¾ quá 2) M®t (DF )-không gian
tna đay là đay.
M¾nh đe 1.1.24. ([10], tr 78, đ%nh lý 9) Cho E là giói han quy nap cúa
m®t dãy tăng cúa (DF )-không gian En. Khi đó, E là m®t (DF)-không
gian và moi t¾p con b% ch¾n cúa E b% chúa trong bao đóng E cúa m®t
t¾p con b% ch¾n cúa En.

1.2.

Đa thNc trên không gian loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.2.1. Cho E là m®t không gian véc tơ trên trưòng C.
M®t ánh xa L : En → C đưoc goi là n tuyen tính trên E neu nó tuyen
tính theo tùng bien moi khi co đ%nh các bien còn lai. Ký hi¾u t¾p hop
tat cá các ánh xa n tuyen tính bói La(nE).
Đ%nh nghĩa 1.2.2. M®t ánh xa tuyen tính L : E → C đưoc goi là
đoi xúng neu
L(x1, x2, ..., xn) = L(xσ(1), xσ(2), ..., xσ(n)),
vói moi x1, x2, ..., xn ∈ E và σ là phép hoán v% bat kỳ cna n so tn
nhiên đau tiên. Chúng ta ký hi¾u
Ls (nE) là không gian véc tơ cna tat
a
cá các ánh xa n tuyen tính đoi xúng trên E.
Chúng ta có the liên ket m®t ánh xa n tuyen tính đoi xúng vói moi
ánh xa n tuyen tính bói toàn ánh chính tac s : La(nE) → Ls a(nE) đưoc
xác đ%nh bói công thúc

1
.

s(L)(x1, x2, ..., xn)
=
n!

L(xσ(1), xσ(2), ..., xσ(n)),

σ∈S
n

ó đó Sn ký hi¾u là t¾p tat cá các phép hoán v% cna n so tn nhiên đau tiên.


Đ%nh nghĩa 1.2.3. Cho E là m®t không gian véc tơ tô pô loi đ%a
phương trên C. M®t ánh xa P : E → C đưoc goi là m®t đa thúc n thuan
nhat neu ton tai m®t ánh xa n tuyen tính L : En → C sao cho P = L◦∆,
trong đó ∆(x) = xn, x ∈ E. Ký hi¾u Pa(nE) là không gian véc tơ
cna
tat cá các đa thúc n thuan nhat trên E.
M®t đa thúc trên E là m®t tong huu han cna các đa thúc thuan nhat
trên E. Ta ký hi¾u Pa(E) là không gian véc tơ tat cá các đa thúc trên
E.
Ví dn 1.2.4. Giá sú L : Cn × Cn → C là m®t ánh xa 2 tuyen tính trên
Cn. Khi đó ton tai m®t ma tr¾n A = (aij )1 n,1 n sao cho
j
i

≤≤

L(z, w) =
.

≤≤

aij ziwj ,

1™i™
n
1™j™
n

vói moi z = (z1, z2, ..., zn) ∈ Cn và w = (w1, w2, ..., wn) ∈ Cn. Do
đó, m®t đa thúc 2 thuan nhat P : Cn → C trên Cn có dang
P (z) = L(z, z) =
.

aij zizj .

1™i™
n
1™j™
n

Trong trưòng hop tong quát không có sn tương úng 1-1 giua các đa
thúc n thuan nhat và các ánh xa n tuyen tính. Tuy nhiên neu chí han
che trên t¾p hop các ánh xa n tuyen tính đoi xúng chúng ta thu đưoc
m®t tương úng duy nhat. Theo đ%nh nghĩa cna các đa thúc n thuan nhat
và toán tú đoi xúng bieu đo sau giao hoán
La(nE)


,,,

,,

Las (nE)

V
,, ,
, , s,st
Pa(nE)

Như m®t h¾ quá cna công thúc phân rã, chúng ta chúng minh đưoc ánh
xa ∧ là m®t đơn ánh. Do đó chúng ta nh¾n đưoc m®t song ánh chính tac


14

giua không gian các ánh xa n tuyen tính đoi xúng và không gian các đa
thúc n thuan nhat trên E.
Đ%nh lý 1.2.5. (Công thúc phân rã). Cho E là m®t không gian loi đ%a
phương trên C. Khi đó, neu L ∈ Ls (nE) và x1, x2, ..., xn ∈ E thì
a
.
ε1 ...εn L . n
.
1 . ˆ
L(x1, x2, ..., xn)
εj xj .
ε
i=±
=
j=
2 nn 1
1
!
ChNng minh. Bói tính tuyen tính và tính đoi xúng
..
.
..
..
n
n
n

=L
εj xj , · · ·,
ε j xj
εj x j
j=1
j=1
.j=1
m1
m1
n!
=
ε ···
L(x ) · · ·
(x
εmn
1
1
n
m
!
·
·
·
m
!
1
n
0™m
i™n
.

)m n .
n

mi=n

Do đó
1 .

. .n
ε1...ε
ˆ
L
n

2nn!εi =±1

j=1

1 .

.
εx =
j

j




n!
m1

= mn
ε
...ε
2n.0™mi™n 1
mi=n

L(x1)m1 ...(xn)mn
n




.
ε



...εmn+1  .

1

 εj =±1


m1!...mn!

m1+1

n

i™j™n
m1+1 m2+1
mn+1

Neu m1 = m2 = ... = mn = 1 thì. ε
các
εj =±1
i™j™n

1

ε

...ε

2




= 2n và

n

h¾ so cna L(x1, x2, ...xn) trong khai trien trên bang 1.
Neu mi > 1 vói i nào đó thì mj = 0 vói j nào đó. Khi đó chúng
ta nh¾n
.đưoc
···ε n
1

=

ε

j

.

ε1

···ε
ε j
.

···ε

1

ε m1
+1

ε

j

=
±

1
1™i™
n

= 0.


mn+1

εj
=±1

εj
=±1
1™i™
n,iƒ=j

m1+1

15

mj
−1

+1



mj+1+
1
j+1

mn+1
n

Do đó tat cá các so hang khác tri¾t tiêu và công thúc đưoc chúng minh. Q


H¾ quá 1.2.6. Ánh xa ∧ : Lsa (nE) → Pa(nE) là m®t song ánh tuyen
tính.
ChNng minh. Bói công thúc phân rã L ∈ Lsa (nE) đong nhat bang 0
neu và chí neu đong nhat bang 0. Do đó, ánh xa ∧ là tuyen tính có

hat nhân bang 0 và là đơn ánh. Như v¾y, nó là m®t song ánh tuyen tính.
Q
Cho A là m®t t¾p con cna m®t không gian loi đ%a phương E và hàm
f : A → C, ta đ¾t
"f"A = sup | f (x) |.
x∈A

Đ%nh lý 1.2.7. Cho E là m®t không gian loi đ%a phương trên C và A
là m®t t¾p loi cân trong E. Khinđó, ta có
n
s n
ˆ
"L "A ™ "L"An
"Lˆ "A, vói moi L ∈ La ( E)
n!

ChNng minh. Bat đang thúc thú nhat là tam thưòng vì Lˆ (A) ⊂
L(An ). Theo công thúc phân rã, ta có
1 1 .
n
ˆ.
sup
εi x i ) .
·
L(
"L"An = 2n
i=
n!
Bói vì A là
thì
n
1.
εx
i i
i=1
n


εj =±1xi∈
1™i™nA

1

loi cân nên neu xi ∈ A, vói moi i = 1, 2, ..., n và εi = ±1
A. Do đó
.
.
. .
..
n
ε
x
)
.L(
i i =
.
n.
ˆ
.
.
i=1

. .
..
..
.
.n
n ˆ 1
εixi . ™
.L
n
.
.
n

A.

i=1

Do đó, chúng ta nh¾n đưoc
1 1 . n
n "Lˆ "A
"L"An ™ 2n ·
εj
=±1
=
1™i™
n!
n
Đ%nh lý đưoc chúng minh.

n"Lˆ "

nn
n!

"L"An.

Q


Bo đe 1.2.8. Neu L ∈ Ls (n E) và P = Lˆ ∈ Pa (n E) thì vói moi x, y ∈
a
E
n   
và λ ∈ C ta
n

P (x + λy) =


.
r

 L(x) n−r (y)rλ ;
r



r=0

n−1

P
.(x + y) = P (x) + P (y) +

r=0


n

 L(x) n−r (y) .

r

Bo đe 1.2.9. Cho E là m®t không gian loi đ%a phương trên C. Neu A
là m®t t¾p cân trong E và x ∈ E, thì
"P "A ™ "P "x+A.
Hơn nua, neu λ ƒ= 0, λx ∈ E và A là m®t t¾p loi thì
"P "x+A ™ .

1
+

.n 1 "P " .
A
λ

ChNng minh. Ta có
"P "x+A = sup | P (x + y) |
y∈A

= sup
y∈A,θ∈R

| P (x + eiθy) |

= sup | P (eiθx + y) |
y∈A,θ∈R

≥ sup | P (y) |

(vì A là t¾p cân)
(vì tính thuan nhat)

(theo nguyên lý modul cnc đai)

y∈A

= "P "A.
Neu λx ∈ A thì x + A


1
A+A
=
λ

.

A và do đó ta có

. 1
1
.n
+
1
λ
.


"P "x+A ™ "P "(1+λ )1 = 1 +
A

λ

"P "A.


Không gian véc tơ cna tat cá các đa thúc n thuan nhat liên tuc trên
không gian loi đ%a phương E đưoc ký hi¾u bói P (nE). Không gian véc
tơ tat cá các đa thúc liên tuc trên E đưoc ký hi¾u bói P (E)
M¾nh đe 1.2.10. Cho E là m®t không gian loi đ%a phương trên C
và P ∈ Pa(nE). Khi đó các m¾nh đe sau tương đương
a) P là liên tnc.
b) P liên tnc tai goc.
c) P b% ch¾n trong lân c¾n nào đó cúa điem goc.
d) P là b% ch¾n đ%a phương (nghĩa là b% ch¾n trong lân c¾n cúa moi
điem).
ChNng minh. Các kéo theo a) ⇒ b) ⇒ c) là tam thưòng. Theo bo đe
1.2.9 ó trên ta nh¾n đưoc c) ⇔ d). Van đe còn lai là ta chúng minh
ˆ
c) ⇒ a). Cho A ∈ Ls(nE) và giá sú A = P , theo công thúc phân rã

c) ton tai m®t lân c¾n loi cân V cna 0 sao cho "A"V n = M < ∞. Vói
xo ∈ E tùy ý chon α > 0 sao cho αxo ∈ V . Theo bo đe 1.2.8, ta có
 n
 sup A(xo)R−n(y)R · δR
sup
. "P (xo + δy) − P (xo )" ≤

y∈V
y∈
R
R=1
V

n  n
1

R−
=.
(y)R · δR
n R supo A(αx )
n
R α −

y∈V
R=1
n

n

 n

=.
R=1

R


..
=M
1
α

M



αn−R
.n



· δR
.

1

.n .

α


→ 0 khi n → ∞.
Như v¾y P liên tuc tai xo và vi¾c chúng minh đưoc hoàn thành.

Q


1.3.

Hàm chính hình

Đ%nh nghĩa 1.3.1. M®t t¾p con U cna không gian loi đ%a phương
E đưoc goi là mó huu han neu U ∩ F là m®t t¾p con mó cna không gian
Euclide F vói moi không gian con huu han chieu F cna E.
Các t¾p con mó huu han cna E xác đ%nh m®t bat bien tô pô tf . Các
tf lân c¾n cân l¾p thành m®t cơ só đoi vói tf lân c¾n cna 0 trong E.
Đ%nh nghĩa 1.3.2. M®t hàm f xác đ%nh trên t¾p con mó huu han
chieu U cna không gian loi đ%a phương E đưoc goi là G chính hình
(Gateaux chính hình) neu han che cna f tói moi đưòng thang phúc là
chính hình. Nghĩa là: vói moi a ∈ U, 0 ƒ= b ∈ E sao cho a + λb ∈ U
vói λ ∈ C thì ánh xa λ → f (a + λb) là chính hình. Ta ký hi¾u HG(E)
là t¾p tat cá các hàm G chính hình trên E.
Đ%nh nghĩa 1.3.3. M®t ánh xa f : U → C đưoc goi là b% ch¾n đ%a
phương neu vói moi ξ ∈ U thì ton tai m®t lân c¾n Vξ cna ξ trong U sao
cho f (Vξ ) là t¾p b% ch¾n trong C.
Moi quan h¾ giua ánh xa chính hình và ánh xa b% ch¾n đ%a phương
đưoc phán ánh trong ket quá sau
M¾nh đe 1.3.4. ([16], tr 25, đ%nh lý 1.2.8)Cho ánh xa f : U → C.
Khi đó các đieu ki¾n sau là tương đương.
i) f là chsnh hình.
ii) f là G chsnh hình và liên tnc.
iii) f là G chsnh hình và b% ch¾n đ%a phương.
Bo đe 1.3.5. Neu U là m®t t¾p con mó cúa không gian véc tơ E và
f ∈ HG(E) thì f là liên tnc khi U đưoc cho bói tô pô mó huu han.


ChNng minh. De dàng thay rang tf là tô pô giói han quy nap đưoc
cho bói các ánh xa bao hàm G ‹→ E, ó đó G chay trên tat cá các
không gian
con huu han chieu cna E. Do đó m®t hàm f xác đ%nh trên m®t t¾p con
tf mó cna E là liên tuc neu và chí neu han che cna nó lên moi phan huu
han chieu cna U là liên tuc. Nhưng các hàm nhieu bien là liên tuc nên
chúng ta nh¾n đưoc đieu can chúng minh.
Q
M¾nh đe 1.3.6. Neu U là m®t t¾p con mó huu han trong không gian
véc tơ E và f ∈ HG(E) thì vói moi ξ ∈ U ton tai duy nhat m®t dãy
đa thúc thuan nhat trên E

.dˆ

m

f (ξ) .∞

m!
sao
cho



m=0

dˆm f (ξ)
.
f (ξ + y) =
(y)
m!
m=0

vói moi y trong tf lân c¾n nào đó cúa 0.
ChNng minh. Co đ%nh điem ξ ∈ U . Vói moi so nguyên dương m ta đ¾t
¸
1
f (ξ + λx)
Pm,ξ =
λm+1

i

|λ|
=ρx

dλ,

ó đó ρx đưoc chon sao cho ξ + {λx : |λ| ≤ ρx} ⊂ U . Bói vì f là G chính
hình nên Pm,ξ không phu thu®c vào ρx và
¸
.

f (ξ + λx)
f (ξ + x) =
dλ.
m+1
1
m=0


i |λ|=ρx

λ

Theo bo đe 1.3.5, hàm f liên tuc nên tích phân
¸
1
f (ξ + λx)
Pm,ξ =
λm+1
|λ|
2π =ρ
dλ,
x
i


là hoàn toàn xác đ%nh. Bói vì han che cna f tói moi phan huu han
chieu cna U là chính hình nên hàm x ›→ Pm,ξ (x) là m®t đa thúc n
thuan nhat.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×