Tải bản đầy đủ

Biến đổi Stockwell và mở rộng

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường ĐHSP Hà
Nội 2, dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Tác giả xin bày
tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã dành
nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và kinh
nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập và
vượt qua những khó khăn trong chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà
Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao
học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Tác giả


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2009
Tác giả


Mục lục
Mở đầu

5

Chương 1. Một số khái niệm và kết quả ban đầu

8

1.1 Một số kí hiệu và không gian hàm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2 Biến đổi Fourier................................................................................................10
1.2.1. Đạo hàm suy rộng................................................................................10
1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1(Rn)................................12
1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz S(Rn)..................13
1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2(Rn)................................15
1.2.5. Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng......................................16
1.3 Biểu diễn thời gian tần số................................................................................17
1.3.1. Biến đổi Fourier thời gian ngắn...........................................................17
1.3.2. Biến đổi sóng nhỏ.....................................................................................29
Chương 2. Biến đổi Stockwell

46

2.1 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi Fourier thời gian ngắn . .

46

2.2 Nguồn gốc của biến đổi Stockwell từ biến đổi tích chập...................................48


2.3 Nguồn gốc biến đổi Stockwell từ biến đổi sóng nhỏ..........................................49
2.4 Tính chất của biến đổi Stockwell......................................................................... 51
2.4.1.

Nghịch đảo của biến đổi Stockwell và biến đổi Fourier.......................51

2.4.2. Biến đổi Stockwell ngược liên tục...........................................................52
2.5 Biến đổi Stockwell rời rạc....................................................................................55
2.6 Trường hợp hai chiều.......................................................................................59
2.6.1. Biến đổi Stockwell hai chiều không đẳng hướng...................................60
2.6.2. Biến đổi Stockwell cực hai chiều............................................................63
2.6.3. Cấu trúc của biến đổi Stockwell hai chiều..............................................65
2.6.4. Biến đổi Stockwell hai chiều rời rạc.......................................................66
2.7 Phép biến đổi Stockwell mở rộng........................................................................ 67
Kết luận

72

Tài liệu tham khảo

73
1


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phân tích phổ bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier đã là
một công cụ hữu hiệu trong việc phân tích các dữ liệu địa vật lý.
Một hạn chế của phép biến đổi Fourier là nó chỉ đưa ra được hình ảnh
quang phổ theo toàn bộ thời gian. Điều này là phù hợp đối với chuỗi
thời gian bất biến. Tuy nhiên, trong lĩnh vực địa vật lý, sự đứng yên
là sự lý tưởng hóa phi thực tế. Lượng quang phổ thay đổi theo chuỗi
thời gian, và biên độ thời gian trung bình được tìm thấy bởi các
phương pháp Fourier là không đủ để mô tả các hiện tượng như vậy. Vì
thế, những năm gần đây, giải tích Fourier đã đưa ra được một số
phương pháp cao cấp hơn trong việc biểu diễn phổ, một đại diện của
việc cải tiến kĩ thuật này là biểu diễn thời gian-tần số hay còn gọi là
phép biến đổi Forier thời gian ngắn, biến đổi sóng nhỏ liên tục.
Biến đổi Stockwell là phép biến đổi tích phân tiếp theo có những
ứng dụng thành công nhất trong lĩnh vực địa vật lý và xử lý ảnh trong y
học. Nó cũng giống như biến đổi sóng nhỏ liên tục trong việc có những
giải pháp liên tục để mô tả phổ của dấu hiệu, nhưng không giống như
biến đổi sóng nhỏ, biến đổi Stockwell hoàn toàn ghi nhớ được các pha
thông tin và trả lời bằng một tần số có biên độ bất biến. Xem xét một
cách tuyệt đối các thông tin từng pha có nghĩa là thông tin cho bởi biến
đổi Stockwell tham khảo đối số của hàm cosin tại thời điểm ban đầu.
Phép biến đổi Stockwell xác định những pha địa phương bằng con đường
trực quan, tại đỉnh quang phổ, cũng như ngoài đỉnh quang phổ, nơi tốc
độ thay đổi của các pha dẫn đến một kênh phân tích tần số tức thời.
Biến đổi Stockwell không chỉ ước lượng được năng lượng quang phổ địa
phương mà còn ước lượng được cả pha quang phổ.
5


6

Biến đổi Stockwell mang tên chính tác giả - một nhà toán học trẻ
tuổi người Mỹ, Robert Stockwell, được giới thiệu lần đầu tiên vào năm
1996. Đến nay, các nỗ lực sự hiểu biết các nền tảng của toán học của
biến đổi Stockwell vẫn còn đang được tiến hành. Trong luận văn, chúng
tôi cũng mới chỉ dừng lại ở một số tính chất lý thuyết ban đầu. Những
ứng dụng thực tiễn phong phú của biến đổi này sẽ tiếp tục được nghiên
cứu, đây là một trong những lĩnh vực mới mẻ và lý thú của toán học
ứng dụng.
Với tính chất thời sự, tính hiệu quả của lí thuyết của biến đổi
Stockwell trong các lĩnh vực toán học và ứng dụng, đồng thời xuất phát
từ sự ham thích nghiên cứu của bản thân, tôi đã lựa chọn đề tài sau để
thực hiện luận văn tốt nghiệp:
"Biến đổi Stockwell và mở rộng"

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích là nghiên cứu phép biến đổi Stockwell và một số mở
rộng của nó và hệ thống hóa những kiến thức về biến đổi Stockwell, tìm
những mở rộng của phép biến đổi này.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell trong trường hợp một
chiều, biến đổi Stockwell rời rạc, biến đổi hai chiều.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đưa ra và chứng minh được những kết quả mới, điển hình về phép
biến đổi Stockwell một chiều, biến đổi Stockwell hai chiều.


5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu là sưu tầm, tổng hợp các tài liệu hình
thành bài viết tổng quan và tìm tòi, khám phá những chi tiết mới trong
vấn đề nghiên cứu.

6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của
đề tài
Trình bày tổng quan về biến đổi Stockwell, làm rõ nguồn gốc hình
thành lý thuyết về biến đổi này. Đồng thời chứng minh chi tiết một số
định lý trong các tài liệu tham khảo (mà ở đó không trình bày chứng
minh hoặc chứng minh vắn tắt), đưa ra được những ví dụ hoặc phản ví
dụ minh họa.


Chương 1

Một số khái niệm và kết quả ban
đầu
1.1

Một số kí hiệu và không gian hàm

N = {0, 1, 2, ...} là tập các số tự nhiên, Z+ = {0, 1, 2, ...}
là tập các số nguyên không âm, R là tập các số thực, C là tập các số
phức. Đơn vị
ảo √−1 = i. Với mỗi n ∈ N \ {0}, tập+ = {α = (α1, α2, ..., αn),
αj ∈
Zn
Z+, j = 1, 2, ..., n}, Rn = {x = (x1, x2, ..., xn), xj ∈ R, j = 1,
2, ..., n}.
Lấy x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn, y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rn.
Tích vô hướng x · y của x và y được xác định bởi
n

x ·y =

.
xjyj
j=1

và chuẩn | x | của x được cho bởi
.
| x |=

. 21

n

.

x2j

.

j=1

Giả sử Ω là một tập mở trong Rn, k ∈ Z+. Khi đó, ta có kí
hiệu các tập như sau:
C k (Ω) = {u : Ω −→ C, u là hàm khả vi liên tục đến cấp k},
C(Ω) = {u : Ω −→ C liên tục trên Ω}
C0k (Ω) = {u : Ω −→ C | u
∈C

k

(Ω), suppu là tập compact},


C∞(Ω)
=


\

0

Ck(Ω),
C∞(Ω) =

k=1


\

k

C (Ω),

0

k=1

8


9

trong đó supp u = {x ∈ Ω | u(x) ƒ= 0}.
Với mỗi số thực 1 ≤ p < ∞, kí hiệu
¸
đđ
L p(Ω) ={u : Ω −−
C|
| u(x)
Lebesgue
− −→
|

với p = ∞, kí hiệu

p

dx < ∞},



L∞(Ω) = {u : Ω −→ C | esssup | u(x) |< ∞},
x∈Ω

trong đó esssup | u(x) |= inf {M > 0 | µ{x ∈ Ω || u(x) |> M } =
0}, µ
x∈Ω

là độ đo Lebesgue.
Ta kí hiệu các toán tử vi phân



x



1

, ∂x∂ 2 , ..., ∂
x


n

trên Rn tương ứng

∂1, ∂2, ..., ∂n
và các toán tử vi phân −i∂1, −i∂2, ..., −i∂n trên Rn tương ứng là
D1, D2, ..., Dn.
Với đa chỉ số α = (α1, α2, ..., αn) , nghĩa là một bộ số nguyên
không
α
α
âm;
αj là độ dài của α, ta ký hiệu ∂α = ∂ 1 ∂ 2 ...∂αn ,
.n | α |=

α

Dα =
D 1D
αn
...D .
1

1

α2j=1

2

2

n

n

Định nghĩa 1.1. Không gian D(Ω) là tập hợp gồm các hàm ϕ ∈ C0∞(Ω)
với khái niệm hội tụ sau: dãy {ϕj } các hàm trong C∞(Ω) được gọi là
j=
1



0

hội tụ đến hàm ϕ ∈ C0∞(Ω) nếu
(i) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...
(ii) lim sup | ∂αϕj (x) − ∂αϕ(x) | = 0, với mọi α+∈ Zn .
j→∞x∈Ω

Định nghĩa 1.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trên Ω nếu f là
một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Tập tất cả các hàm
r

suy rộng trên Ω được kí hiệu là D (Ω).


10

Hàm suy rộng f ∈ Dr (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết

< f, ϕ > . Hai hàm suy rộng f , g ∈ Dr (Ω) được gọi là bằng nhau nếu
< f, ϕ > = < g, ϕ >,

∀ϕ ∈ D(Ω).

Định nghĩa 1.3. Không gian S(Rn) là tập hợp
S(Rn) = {ϕ ∈ C∞(Ω) | | xα∂βϕ(x) |< Cα,β, ∀x ∈ Rn, ∀α, β ∈+Zn }
với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: dãy{ϕk}∞ trong S(Rn)
k=
1
n
n
được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R ) trong S(R ) nếu
lim sup | xα∂βϕk(x) − xα∂βϕ(x) |= 0,
k→∞x∈ Rn

∀α, β ∈ Z+n .

Khi đó, ta viết S_ lim ϕk = ϕ.
k→∞
n
Định nghĩa 1.4. Cho hàm f Dr
∈ (R ). Hàm suy rộng f được gọi là
hàm suy rộng tăng chậm nếu có một số tự nhiên m và một số dương

C sao cho



|< f, ϕ >|≤ C
sup

2 m

(1+ | x |
)
x∈ Rn 

.



α

| ∂ ϕ(x)
|
|α|≤m

n

,

∀ϕ ∈ D(R ).



Không gian các hàm suy rộng tăng chậm Sr (Rn) là tập tất cả
các hàm suy rộng tăng chậm.

1.2
1.2.1.

Biến đổi Fourier
Đạo hàm suy rộng
Giả sử α = (α1, α2, ..., αn) là một vector với các thành phần

nguyên không âm. Hàm f α (·) ∈ L1,loc(Ω) được gọi là đạo hàm suy
rộng cấp α trong miền Ω ⊂ Rn của hàm f (·) ∈ L1,loc(Ω) nếu đối
|α|

với hàm0 tuỳ ý g(·) ∈ C (Ω) ta có đẳng thức
¸
¸
f (x)∂αg(x)dx =
f α(x)g(x)dx.
(−1)|α|




(1.1)


Nhận xét 1.1. a) Nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng cấp α thì
đạo
hàm suy rộng đó là duy nhất. Thật vậy, giả sử f α(x) và f α(x) là hai
đạo
1

r

2

r

hàm suy rộng của f(x). Do (1.1) với Ω cố định tuỳ ý mà Ω ⊂⊂ Ω và
|α|
r
với g(x) ∈ C (Ω
) tuỳ ý ta có
0

¸

[f α(x) − f α(x)] g(x)dx = 0




1

r

2

α

r

α

α

(x) − f2 (x) ∈ L2(Ω ), suy ra f1 (x) − f2 (x) = 0 hầu khắp nơi
trên Ω
(theo bổ đề 1.1 bên dưới đây), có nghĩa là hầu khắp nơi trên Ω.
1

Bổ đề 1.1. Với mọi hàm khả tích địa phương g trên Rn, g không
bằng 0 hầu khắp nơi, tồn tại hàm ϕ ∈ D(R) sao cho
¸
g(x)ϕ(x)dx ƒ= 0.
b) Nếu f (x) ∈ C|α|(Ω) thì theo công thức Ostrogratski ta có
¸
¸
f (x)∂αg(x)dx =
f α (x)g(x)dx


(−1)|α|

|α|

với hàm tuỳ ý g(x) ∈ C
(Ω). Có nghĩa là hàm f (x) có đạo hàm
0
suy rộng cấp α và f α(x) bằng ∂α f (x). Đặc biệt nếu hàm g(x) bằng
hằng số hầu khắp nơi trên Ω thì có đạo hàm suy rộng tuỳ ý f α(x) =
0.
∂ |α|
c) Nếu
g là hàm số trơn thì đạo hàm
không phụ thuộc vào thứ
g
1

∂xα ...∂xα
1

n

n

tự lấy vi phân, cho nên với công thức (1.1) và sự duy nhất cuả đạo hàm
suy rộng, ta suy ra đạo hàm suy rộng cũng không phụ thuộc vào thứ tự
lấy vi phân.
d) Nếu các hàm số f1(x), f2(x) có đạo hàm suy rộng ∂αf1, ∂αf2
trong


miền Ω thì hàm c1f1(x) + c2f2(x) với c1, c2 là các hằng số, cũng có
đạo hàm suy rộng cấp α và
∂α(c1f1(x) + c2f2(x)) = c1∂αf1(x) + c2∂αf2(x).


e) Nếu ∂αf (x) là đạo hàm suy rộng của f (x) trên Ω ⊂ Rn thì ∂αf
(x)
r

cũng là đạo hàm suy rộng của g(x) trên một miền con tuỳ ý
⊂ Ω vì

|α|
r ) và được thác triển thành 0 bên ngoài r sẽ thuộc
hàm g(x) ∈ C (Ω

C

0

|α|

(Ω). Do đó, nếu hàm f (x) có đạo hàm suy rộng trên Ω là Dαf
(x)
0

r

và f (x) = c (h.k.n) trên ⊂ Ω thì ∂α f = 0 (h.k.n) trên Ω. Đặc

biệt
đạo hàm suy rộng (nếu nó tồn tại) của một hàm tiêu hạn f (x) trên

sẽ tiêu hạn trên Ω và vì vậy thuộc L1(Ω)
f) Khác với đạo hàm cổ điển, đạo hàm suy rộng ∂αf (x) được xác
định ngay đối với cấp |α| mà không cần giả thiết các đạo hàm cấp
thấp hơn tương ứng tồn tại.
Chú ý 1.1. Nếu hàm f ∈ L2,loc(Ω) có đạo hàm suy rộng ∂αf = F còn
hàm F có đạo hàm suy rộng ∂ β F = G thì tồn tại đạo hàm suy
rộng
∂α+βf = G
|α+β|

Thật vậy, giả sử g(x) ∈ C0
¸

f∂ α+β gdx =

(Ω) nên
¸
∂ α f∂ β gdx

(−1)|α|





= (−1)|α| ¸

F ∂ α gdx



= (−1)|α|+|β|

¸
∂ β F gdx


= (−1)|α+β| ¸

Ggdx.



1.2.2. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (Rn )


Định nghĩa 1.5. Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L1 (Rn ) là hàm
fˆ, xác định trên Rn bởi
F f (ξ) = fˆ(ξ) =
(2π)− 2



Rn

e−ix.ξf (x)dx,

ξ ∈ R n.


ở đó xξ = x1ξ1 + ... + xnξn . Ta còn ký hiệu biến đổi Fourier của
hàm f
bởi F f .
Định nghĩa 1.6. Nếu các hàm u, ϕ khả tích trên Rn thì tích chập của
u và ϕ kí hiệu là u ∗ ϕ, được định nghĩa bởi
¸
(u ∗ ϕ)(x)
u(y)ϕ(x − y)dy
=
n
R
Định lý 1.1. (Phép biến đổi Fourier của tích chập). u, ϕ ∈ L1(Rn)
thì
n
ˆ
(u ∗ ϕ)(ξ) = (2π) 2 uˆ(ξ)ϕˆ(ξ)

Định lý 1.2. Cho f ∈ L1(Rn) khi đó phép biến đổi Fourier của f
có các tính chất sau:
n
ˆ
ˆ
ˆ
) và ||f ||L∞(Rn) ≤ ||f ||L1(Rn).
b)f ∈
L∞ (R
ii ˆ
f liên tục trên Rn.
.
ˆ
iii f (ξ) → 0 khi | ξ |→ ∞
.
iv. Nếu fj → f trong L1(Rn) khi j → ∞
thì
Rn khi j → ∞.

fˆj hội tụ đều
tới

Mệnh đề 1.1. Nếu f ∈ C∞(Rn) và Dαf ∈ L1(Rn)
0
thì

Dˆα f =
(ξ)αfˆ(ξ)

Mệnh đề 1.2. f, g ∈ L1(Rn) thì
fˆ(x)g(x)dx =

¸
¸
Rn
Rn


trong

f (x)gˆ(x)dx


1.2.3. Phép biến đổi Fourier trong không gian Schwartz
S(Rn )
Định nghĩa 1.7. Biến đổi Fourier của hàm f ∈ S(Rn ) là hàm số,
kí hiệu fˆ, hay F f được định nghĩa bởi:
− −ix.ξ
fˆ(ξ) = (2π)
2
e
f (x)dx, ∈ Rn.
ξ



Rn


Định nghĩa 1.8. Biến đổi Fourier ngược của hàm f ∈ S(Rn) là
hàm số, kí hiệu F−1f , được định nghĩa
bởi:
¸
−n

eix.ξf (ξ)dξ, x ∈ Rn.

−1

F f (x) =
(2π) 2

Rn

Mệnh đề 1.3. Cho f ∈ S(Rn) khi đó ta có:
i. ˆ
f ∈ S(Rn ).
ii Dˆα f = (ξ)αfˆ(ξ) với mọi đa chỉ
. số α. xˆα f = (−Dξ )α fˆ(ξ) với mọi
iii đa chỉ số α.
.
iv. ánh xạ f ›→ fˆ là ánh xạ liên tục trên S(Rn).
Mệnh đề 1.4. Cho f, g ∈ S(Rn) khi đó ta có:
¸
i R fˆ(x)g(x)dx = f (x)gˆ(x)dx.
. ¸n
n

R
ii. ˆ (ξ) = (2π) n f (ξ).gˆ(ξ).
2 ˆ
(f ∗ g)
ˆ
iii.
f (ξ)(ξ) = (2π) −n gˆ(ξ).
2 ˆ

(f.g
)

Định lý 1.3. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ S(Rn) lên
S(Rn). Hơn nữa, với mỗi hàm f ∈ ¸S(Rn), ta có
−n

f (x) =
(2π) 2

eix.ξ fˆ(ξ)dξ.
Rn

Định lý 1.4. Đối với mỗi u, v ∈ S(Rn) ta có đẳng thức
¸
¸
u(x)v(x)dx
uˆ(ξ)vˆ(ξ)dξ.
Rn
=
Rn

Nhận xét 1.2. Từ Định lý 1.4, chọn u = v ta nhận được với mọi
u ∈ S(Rn)


¸

u(x) 2dx =
|
|
Rn

¸

|
dξ.
uˆ(ξ)
|
2
Rn

Đẳng thức này có tên là đẳng thức Parseval.


Định lý 1.5 (Định lý Parseval). ánh xạ f ›→ fˆ xác định trên
S(Rn ) có thể mở rộng duy nhất thành một đẳng cấu từ L2(Rn) vào
chính nó.
Định lý 1.6. Phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier
ngược là các phép biến đổi tuyến tính liên tục từ S(Rn) lên
S(Rn). Hơn nữa nếu α và β là các đa chỉ số tùy ý thì (iξ)α∂ β
fˆ(ξ) = F [∂ α((−ix)β f (x))](ξ).
1.2.4. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (Rn )
Định nghĩa 1.9. Giả sử f ∈ L2(Rn). Do S(Rn) trù mật trong
L2(Rn)
n
nên tồn tại dãy {fjj=
} ⊂ S(R ) sao cho ||fj − f 2||L (Rn) → 0 khi j →
1 ∞.

Suy ra dãy {fj j=
} là dãy Cauchy trong L2(Rn). Do đẳng thức Parseval,
1

,

ˆ
chúng ta cũng có dãy fj ,
là dãy Cauchy (Rn). Do (Rn) là đầy
j=
L2
1 L2

nên dãy ,fˆj , hội tụ đến một hàm nào đó mà ta kí hiệu là fˆ và
j=1
gọi
nó là phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L2 (Rn ).
Định lý 1.7. Nếu f ∈ L2(Rn)
thì

fˆ ∈ L2 (Rn) và ta có

||f ||L2 (Rn ) = ||fˆ| |L2 (Rn).
Định lý 1.8. Nếu u, ϕ ∈ L2(Rn) thì
n
ˆ
(u ∗ ϕ)(ξ) = (2π) 2 uˆ(ξ).ϕˆ(ξ).

Mệnh đề 1.5 (Công thức tổng Poisson). Giả sử f ∈ L2(Rn) thỏa
mãn các điều kiện:
.
(i) Chuỗi
f (x + 2πk) hội tụ khắp nơi về hàm liên tục nào đó.
n
k ∈Z

ikx
ˆ
(ii) Chuỗi Fourier
. f (βk)e hội tụ khắp nơi, thế thì với mọi α, β >
0
n
k ∈Z


mà αβ = 2π, đẳng thức sau đây là đúng:
n
.
.
f (βk)
=

fˆ(αk),

α
k ∈Z
n

(2π)n

k∈Z
n

Đẳng thức này gọi là công thức tổng Poisson.

(1.2)


1.2.5.
Phép biến đổi Fourier đối với hàm suy rộng
n
r
Định nghĩa 1.10. Nếu u ∈ D (R
), ϕ ∈ C∞(Rn) thì tích chập u ∗
ϕ
0

được định nghĩa bởi
¸
(u ∗ ϕ)(x) = uy(ϕ(x −
y)) =

u(y)ϕ(x − y)dy,
Rn

trong đó u(y) là hàm suy rộng theo biến y.
Định lý 1.9. Nếu u ∈ Dr (Rn), ϕ


n
r (R ), ϕ C∞(Rn)
C∞(Rn) hay
u0



n
E
thì (u ∗ ϕ) ∈ C (R ) và supp(u ∗ ϕ) ⊂ supp u + supp
ϕ. Ngoài ra

Dα(u ∗ ϕ) = Dαu ∗ ϕ = u ∗ Dαϕ,
với mọi đa chỉ số α ∈ Nn.
r

Định nghĩa 1.11. Nếu u ∈ S (Rn) thì phép biến đổi Fourier của u,
kí hiệu là F u hay uˆ được định nghĩa bởi
(F u, ϕ) = uˆ(ϕ) = u(ϕˆ),

∀ϕ ∈ S(Rn ).

Định lý 1.10. Phép biến đổi Fourier là một đẳng cấu từ Sr (Rn)
lên
r

S (Rn).
r

Định lý 1.11 (Công thức biến đổi ngược). Nếu u ∈ S (Rn) là hàm suy
rộng ôn hòa và F u = là phép biến đổi Fourier của u thì


u(ϕ) = u (ϕ).
ˆ






trong đó u (ϕ) = u(ϕ ), ϕ (x) = ϕ(−x).
Chú ý 1.2. Từ định lý trên, ta có thể định nghĩa biến đổi Fourier
ngược của một hàm suy rộng ôn hòa u bởi:
F −1(u) = F[u(−x)], u ∈ S (Rn).
r


1.3

Biểu diễn thời gian tần số

1.3.1.

Biến đổi Fourier thời gian ngắn

Định nghĩa 1.12. Cố định một hàm g ƒ= 0 (gọi là hàm cửa sổ).
Biến đổi Fourier thời gian ngắn (STFT) của hàm f đối với g được định
nghĩa là
Vgf (x, ω)
=

¸

f (t)g(t − x)e−2πit.ωdt, với x, ω ∈ Rn.

(1.3)

Rn

Chú ý 1.3. i) Nếu g có giá compact với tâm giá của nó đặt tại gốc,
thì Vg f (x, ·) là biến đổi Fourier của một đoạn của f đặt ở tâm
trong một lân cận tâm là x. Khi x biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo
trục x
đến vị trí khác. Vì lí do này biến đổi Fourier thời gian ngắn
thường được gọi là "Biến đổi Fourier cửa sổ trượt". Với một vài
hạn chế, Vgf (x, ω) có thể được nghĩ như là độ đo của biên độ
dải tần số ω tại thời điểm x. Theo ý nghĩa này Vgf (x, ω) là một
khắc cho điều không thể "phổ tần số tức thời" tại x của phép
biến đổi Fourier.
b) Trong phân tích, ít nhất số chiều n = 1, R2n được gọi là mặt
phẳng thời gian-tần số, và trong vật lý R2n được gọi là không
gian pha.
c) Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính với f và tuyến
tính liên hợp với g. Thông thường cửa sổ g sẽ được giữ cố định
và Vgf được xem như ánh xạ tuyến tính từ các hàm trên Rn đến
các hàm
trên R2n. Rõ ràng hàm Vgf và các tính chất của ánh xạ f ›→ Vgf
phụ thuộc chủ yếu vào sự lựa chọn cửa sổ g.
Kí hiệu ∗ là phép đối hợp : g∗(x) = g(−x). Ta có bổ đề sau:


Bổ đề 1.2. Nếu f, g ∈ L2(R) thì Vgf là liên tục đều trên R2n và
Vgf (x, ω)= (f · Tx g)ˆ(ω)

(1.4)

=< f, Mω Txg >

(1.5)

=< fˆ, Tω M−x gˆ >

(1.6)

= e−2πix.ω (fˆTω gˆ)ˆ(

(1.7)


= x)
e−2πix.ω Vgˆfˆ(ω,

(1.8)

−x)
= e−2πix.ω (f ∗ Mωg∗)
(x)(fˆ ∗ M−xgˆ∗ )(ω)
=
¸
x
x
−πix.ω
=e
f (t + )g(t )e−2πit.ωdt.

(1.9)

Rn

2

(1.10)
(1.11)

2

Các công thức này thể hiện các mặt khác nhau của biến đổi
Fourier thời gian ngắn (STFT). Trong (1.4) và (1.7), STFT được viết
như một biến đổi Fourier địa phương của f và fˆ, theo như ý tưởng
chính với định
nghĩa của nó, ngược lại trong (1.9) và (1.10), STFT được viết như là
tích chập. Trong (1.5) và (1.6), Vgf được viết như là một tích của f với
một phép dịch chuyển thời gian-tần số. Dạng đối xứng
¸
x
x) )e−2πit.ωdt
f (t +
)g(t 2
Rn
2


(1.12)

thường được gọi là hàm nhập nhằng chéo. Nó đóng vai trò quan trọng
trong rada và trong quang học. Ngoại trừ thừa số pha e−2πix.ω, nó trùng
với STFT.
Công thức (1.8), nghĩa là
Vg f (x, ω) = e−2πix.ω Vgˆfˆ(ω, −x).

(1.13)

Đây là đồng nhất thức cơ bản của giải thích thời gian-tần số. Nó kết
hợp cả f và fˆ trong một biểu diễn thời gian-tần số. Trong biểu diễn


này, biến đổi Fourier chẳng khác gì phép quay mặt phẳng thời gian tần số


một góc π2 .
Trong Bổ đề 1.2, chúng ta đã nhấn mạnh tính chất tuyến tính của
STFT trong trường hợp của một cửa sổ cố định g. Ngoài ra STFT có
thể được coi như là dạng bán song tuyến tính (f, g) ›→ Vgf .
Cho f ⊗ g là tích tensor (f ⊗ g)(x, t) = f (x).g(t), giả sử Ta là
phép biến
đổi tọa độ không đối xứng
TaF (x, t) = F (t, t − x)

(1.14)

và giả sử F2 là phép biến đổi Fourier riêng
¸
F2F (x, ω)
F (x, t)e−2πit.ωdt
=
Rn

(1.15)

của một hàm F trên R2n. Bằng cách sử dụng kí hiệu này, định
nghĩa (1.12) có thể biểu diễn như sau
Bổ đề 1.3. Nếu f, g ∈ L2(Rn), thì
Vgf = F2Ta(f ⊗ g).

(1.16)

Miền xác định của phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
Trong Định nghĩa 1.12, chúng ta đã không chỉ ra miền xác định
của
f và g. Rõ ràng, nếu f, g ∈ L2(Rn), thì f · Txg ∈ L1(Rn) và Vgf (x, ω)
= (f · Txg)ˆ(ω) được định nghĩa từng điểm. Tương tự, nếu g ∈
.

Lp (Rn ) và f ∈ Lpr (Rn) thì do bất đẳng
thức Holder f · Txg ∈ L1(Rn)
.
và STFT lại được xác định theo từng điểm.
Viết STFT như là tích vô hướng Vgf (x, ω) =< f, MωTxg > là
cách hữu ích để mở rộng miền xác định của STFT trong trường hợp tích
phân không được xác định. Như là một kinh nghiệm, chúng ta có thể
xem xét STFT, khi mà dấu ngoặc < ·, · > được xác định bởi một vài
dạng đối
r

ngẫu. Ví dụ, nếu B là một không gian Banach chứa trong S (Rn) là
bất biến dưới sự dịch chuyển thời gian - tần số, thì STFT được xác
định


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×