Tải bản đầy đủ

Bất đẳng thức biến phân Affine và ứng dụng

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi đưoc
thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna PGS. TS Nguyen Năng Tâm.

Hà N®i, tháng 9 năm 2009
Tác giá

Nguyen Tan Hòa


Mnc lnc

Lài giái thi¾u

4

Chương 1. BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE

6


1.1. Bat đang thúc bien phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Bài toán bù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3. Bat đang thúc bien phân affine

. . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Bài toán bù tuyen tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. SU TON TAI NGHIfiM CHO BÀI TOÁN BAT
ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE

25

2.1. Sn ton tai nghi¾m dưói đieu ki¾n đơn đi¾u . . . . . . . . .

25

2.2. Sn ton tai nghi¾m dưói đieu ki¾n đơn đi¾u nón . . . . . . .

32

Chương 3. ÚNG DUNG CÚA BAT ĐANG THÚC BIEN
PHÂN AFFINE VÀO BÀI TOÁN CÂN BANG GIAO
THÔNG

43

3.1. Mang lưói cân bang giao thông . . . . . . . . . . . . . . .

43



3.2. Đưa bài toán cân bang mang giao thông ve bài toán bù . .

46

3.3. Đưa bài toán cân bang mang giao thông ve bài toán bat
đang thúc bien phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53


M®T SO KÍ HIfi

Trong lu¾n văn sú dung các kí hi¾u cho trong báng sau
(, ·, )

tích vô hưóng trong không gian Hilbert

Rn

không gian thnc n−chieu
không gian các ma tr¾n cap n vói các
thành phan không âm
không gian các ma tr¾n đoi xúng cap n
không gian các ma tr¾n cõ n × m
nón lùi xa

+
Rn×
n

s
Rn×
n×m
n
R
O+ ∆


V I(φ, ∆)

t¾p rong
bài toán bat đang thúc bien phân
xác đ%nh bói t¾p ∆ và ánh xa φ
NCP (φ, ∆)
bài toán bù xác đ%nh bói nón loi
∆ và ánh xa φ
GLCP (M, q, ∆)
bài toán bù tuyen tính tong quát
AV I (M, q, ∆)
bài toán bat đang thúc bien phân affine
xác đ%nh bói t¾p loi ∆, ma tr¾n M và véc tơ
q SOL (AV I (M, q, ∆)) t¾p nghi¾m cna bài toán
bat đang thúc bien phân affine
int∆
phan trong cna ∆
∂f (x)
dưói vi phân cna f tai x


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Bài toán bat đang thúc bien phân ra đòi và phát trien góp phan cho
toán hoc úng dung phát trien manh me. Nó đưoc hình thành tù đieu ki¾n
can cnc tr% cna bài toán toi ưu. Lóp nhung bài toán bat đang thúc bien
phân trong không gian Hilbert có vai trò quan trong và có nhieu úng dung
r®ng rãi. Nhưng vói toán hoc úng dung càng đi sâu vào m®t phân ngành
thì tính úng dung càng r®ng rãi. Bat đang thúc bien phân affine là trưòng
hop đ¾c bi¾t cna bài toán bat đang thúc bien phân.
Sau khi hoc và nghiên cúu các môn Giái tích hàm, Giái tích loi, lí
thuyet toi ưu,... vói mong muon hieu sâu hơn ve phan lí thuyet và úng
dung cna bat đang thúc bien phân affine tôi đã lna chon đe tài:
"Bat đang thNc bien phân affine và Nng dnng"
2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích cna lu¾n văn là tìm hieu sâu ve lí thuyet bat đang thúc bien
phân affine, nghiên cúu ve sn ton tai nghi¾m cna bài toán này, nghiên cúu
bài toán bù và úng dung cna nó trong thnc te.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
N®i dung nghiên cúu cna lu¾n văn gom 03 chương:
Chương 1: Bat đang thúc bien phân affine
Trong chương này, chúng ta tìm hieu các khái ni¾m bat đang thúc
bien phân, bat đang thúc bien phân affine, khái ni¾m bài toán bù và các
tính chat cna chúng.
Chương 2: Sn ton tai nghi¾m cho bài toán bat đang thúc bien phân
affine
Trong chương này, chúng ta tìm hieu nhung đ%nh lí cơ bán ve sn ton
tai nghi¾m cna bài toán bat đang thúc bien phân affine.


5

Chương 3: Úng dung cna bat đang thúc bien phân affine vào bài
toán cân bang mang giao thông.
Trong chương này, chúng ta tìm hieu các khái ni¾m lưói giao thông.
Sn tương úng cna bài toán bat đang thúc bien phân và sn cân bang mang
lưói giao thông.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu sn đ¾c bi¾t hóa tù bat đang thúc bien
phân thành bat đang thúc bien phân affine, nghiên cúu tính chat cna bài
toán bat đang thúc bien phân affine, sn ton tai nghi¾m cna nó và m®t phan
úng dung cna nó vào cân bang mang lưói giao thông.
5. Phương pháp nghiên cNu
Phân tích, tong hop,...
6. Giá thuyet khoa hoc
Dna trên giá thuyet khoa hoc cna các nhà Toán hoc đi trưóc.


Chương 1
BAT ĐANG THÚC BIEN PHÂN AFFINE

Khái ni¾m bat đang thúc biên phân affine và bài toán bù đưoc đưa ra
nhò sn thu hep khái ni¾m bat đang thúc bien phân.

1.1.

Bat đang thNc bien phân

Bài toán bat đang thúc bien phân bat nguon tù bài toán toi ưu hóa.
Cho φ : Rn → Rn là hàm C 1 và ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng, khác rong.
M¾nh đe 1.1. Neu x¯ là m®t nghi¾m đ%a phương cúa bài toán toi ưu
min {f (x) : x ∈ ∆} ,
(∇f (x) , y − x) ≥ 0, ∀y ∈ ∆.

th
ì

(1.1)
(1.2)

Chúng minh. Goi x ∈ ∆ là m®t nghi¾m đ%a phương cna (1.1). Chon µ sao
cho f (y) ≥ f (x) , y ∈ ∆ ∩ B (x, µ).
Lay bat kỳ x ∈ ∆\{x}, ta thay rang ton tai ∃δ > 0 sao cho x +
t (x − x) ∈ ∆ ∩ B (x, µ). é đó t ∈ (0, δ). Hơn the nua
0

lim f (x + t (x − x)) = f , (x, x − x) = (∇f (x) , x −
≤ t→0
− f (x)
x)
t
= (Dx + c, x − x) .

Đ¾t



∂f (x)
∂x1


 .
.
φ (x) = ∇f (x) 

 .
=

∂f (x)
∂xn




, ∀x ∈ R .

n


(1.3)


7

Chúng ta thay rang (1.2) có the viet lai
(φ (x) , y − x) “ 0,
(1.4)

R.

∀y ∈

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p con loi, đóng và φ : ∆ → Rn
là m®t ánh xa đã cho thì bài toán tìm x ∈ ∆ thóa mãn (1.4) đưoc goi là
bài toán bat đang thúc bien phân, ho¾c đơn gián là bat đang thúc bien
phân (kí hi¾u V I). Nó đưoc kí hi¾u bói V I(φ, ∆). T¾p nghi¾m Sol(V
I(φ, ∆)) cna bài toán V I(φ, ∆) là t¾p tat cá các x ∈ ∆ thóa mãn
(1.4).
Chúng ta de dàng kiem tra rang x ∈ (V I(φ, ∆)) neu và chí neu
0 ∈ φ (x) + N∆ (x) .
é
đó

N∆(x) := {ω : (ω, y − x) ≤ 0, ∀y ∈ ∆} ,

goi là nón pháp tuyen ngoài cna ∆ tai x.
M¾nh đe 1.1 chúng tó rang bài toán toi ưu trơn có the dan đen bat
đang thúc bien phân. M®t câu hói náy sinh m®t cách tn nhiên: Đưa ra
m®t bat đang thúc bien phân V I(φ, ∆) vói m®t hàm liên tuc φ : Rn
→ Rn có the tìm đưoc m®t hàm f : Rn → R, f ∈ C 1 sao cho bài toán V
I(φ, ∆) có the thu đưoc tù bài toán toi ưu (1.1) bói phương pháp mô tá
nào đó hay không? Neu ton tai f , chúng ta chac chan có
φ (x) = ∇f (x) ∀x ∈ ∆.

(1.5)

Ta lưu ý rang, neu f là m®t hàm C 2 thì toán tú tuyen tính φ : Rn →
Rn đ%nh nghĩa bói (1.3) có ma tr¾n Jacobi đoi xúng. Giá sú rang neu
φ : Rn → Rn là m®t hàm véc tơ có các thành phan φ1, ..., φn trơn thì
ma tr¾n Jacobi cna φ tai x đ%nh nghĩa bói công thúc


∂φ1(x) ∂ φ1 (x)
∂ φ1 (x)
..
∂x2
∂xn 
 ∂x:1

:
:
.
Jφ (x) = 
.
.
. 


∂φn (x) ∂φn (x)
∂φn (x)
..
∂x1
∂x2
∂xn
.


Vì f đưoc giá sú là hàm C 2 , nên tù (1.3) chúng ta ket lu¾n rang
∂φi(x)
=

∂xj

∂ 2f
(x)

=

∂xj
xi

∂ 2f
(x)
∂xixj

=

∂φj
(x)
∂xi

,

vói moi i, j. Đieu đó chúng tó rang Jφ (x) là ma tr¾n đoi xúng.
M¾nh đe 1.2. [6] Cho ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng, khác rong. Neu
∂φj (x)
∂φi(x)
=
φ : Rn → Rn là m®t hàm véc tơ trơn tùng khúc đong thòi ∂x
∂xi
j
,
vói tat cá các i, j (m®t toán tú đoi xúng trơn), khi đó ton tai m®t hàm
f : Rn → Rn, f ∈ C 2 sao cho h¾ thúc (1.5) đưoc thóa mãn.
Vì v¾y, chúng ta thay rang bài toán toi ưu trơn C 2 tương úng
vói bài toán bat đang thúc bien phân vói toán tú trơn và đoi xúng. Hơn
the nua, khi nghiên cúu bài toán V I, chúng ta có the g¾p trưòng hop bài
toán V I vói toán tú không đoi xúng gián đoan.
M¾nh đe sau đây chúng tó rang, các nghi¾m cna các bài toán toi
ưu và bài toán V I là không tương đương, nghi¾m cna bài toán V I chí là
nghi¾m đ%a phương đ¾c trưng cna bài toán toi ưu.
_

M¾nh đe 1.3. Cho x ∈ ∆. Neu
.

_.

_

∃ε > 0 : φ(x), y
−x

_ _

“ 0, ∀y ∈ ∆ ∩ B(x, ε),

(1.6)

_

thì x ∈ Sol(V I(φ, ∆)).
Chúng minh. Giá sú s > 0 thóa mãn (1.6). Hien nhiên, vói y ∈ ∆, ∃t =
_

_

_ _

t (y) ∈ (0, 1) sao cho _y(t) := x_.+t(y.− _x) ∈ ∆_.∩ B(x, ε).
.
. Đieu đó suy ra rang
Theo (1.6), 0 ™ φ(x), y(t)
= t φ(x), y
− x _.
−x
_
. _
φ(x), y − “ 0 ∀y ∈ ∆. Do đó x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) Q
x
Bài toán V I(φ, ∆) phu thu®c hai đieu ki¾n: T¾p ∆ và ánh xa φ.
Cau trúc cna t¾p nghi¾m Sol(V I(φ, ∆)) đưoc quyet đ%nh bói t¾p ∆ và
ánh xa φ.


Trong lý thuyet bat đang thúc bien phân, van đe sau đây là cơ bán:
Sn ton tai và duy nhat cna nghi¾m, tính on đ%nh và sn phu thu®c (đ® nhay)


cna t¾p nghi¾m vào sn thay đoi (nhieu) cna đieu ki¾n bài toán, thu¾t toán
tìm tat cá các nghi¾m ho¾c m®t phan cna t¾p nghi¾m.
Đ%nh lí Hartman - Stampacchia sau đây là đ%nh lí cơ bán cho sn ton
tai bài toán V I. Nó đưoc chúng minh nhò vi¾c công nh¾n đ%nh lí Brouwer.
Đ%nh lý 1.1. [11], [22] Neu ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p loi, compact, khác rong và
φ : ∆ → Rn là liên tnc, khi đó bài toán V I(φ, ∆) có nghi¾m.
Dưói đieu ki¾n búc thích hop chúng ta có the có đ%nh lí cho bài
toán trên t¾p loi không compact.
Đ%nh lý 1.2. [11] Cho ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng, khác rong và φ : ∆

Rn là ánh xa tuyen. tính. Neu ∃x0 ∈ ∆ .
φ(y) − φ(x0), y − x0
||y − x0||
thì bài toán V I(φ, ∆) có nghi¾m.

→ +∞, y ∈ ∆,

(1.7)

Ta có (1.7) tương đương vói đieu ki¾n sau đây
.
.
φ(y) − φ(x0), y − x0
∀γ > 0, ∃ρ >
“ γ, ∀y ∈ ∆ :" y "“ ρ.
" y − x0
0:
"
Đieu đó chúng tó rang neu ∆ là t¾p compact thì bat kỳ x0 ∈ ∆,
(1.7) là đúng. Neu ∃x0 ∈ ∆ sao cho (1.7) van còn đúng khi đó ta nói rang
đieu ki¾n búc thoá mãn. Đieu ki¾n búc giu m®t vai trò khá quan trong
trong vi¾c nghiên cúu bat đang thúc biên phân trên t¾p ràng bu®c không
compact. Chú ý rang (1.7) là m®t trưòng hop quan trong cna các đieu ki¾n
búc.
Neu ∃x0 ∈ ∆ và α ∈ R+
.
.
0
0
φ(y) − φ(x ), y − x “ α " y −
x0 "

, ∀y ∈ ∆,

(1.8)

2

thì chac chan (1.7) van còn đúng. Đieu đó rõ ràng rang ∃α > 0 sao cho


(φ(y) − φ(x), y − x) “ α " y −0 x2 , ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆,
"
thì (1.8) thoá mãn.

(1.9)


Đ%nh nghĩa 1.2. Neu ∃α > 0 sao cho (1.9) đúng thì φ goi là đơn đi¾u
manh trên ∆.
Neu nhung đieu ki¾n yeu hơn sau đây
(φ(y) − φ(x), y − x) > 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆, x ƒ= y, (1.10)
(φ(y) − φ(x), y − x) “ 0, ∀x ∈ ∆, ∀y ∈ ∆,
(1.11)
thoá mãn, thì φ goi là đơn đi¾u ng¾t trên ∆ và đơn đi¾u trên ∆ tương úng.
Ví dn 1.1. Cho ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng, khác rong. Cho D ∈
Rn×m
và c ∈ Rn.
Neu ma tr¾n D xác đ%nh dương thì toán tú tuyen tính φ : ∆ → Rn
xác đ%nh bói φ(x) = Dx + c là đơn đi¾u manh trên ∆. Trong trưòng
hop
này, chúng ta de dàng
. thú lai rang α can tìm ó .công thúc (1.9) có the xác
đ%nh bói α = inf vT Fv : v ∈ Rn, " v "= 1 .
Hơn nua, Neu D là núa xác đ%nh dương thì công thúc φ(x) = Dx +
c
xác đ%nh m®t toán tú đơn đi¾u.
M¾nh đe 1.4. Các đieu ki¾n sau đây là đúng
i, Neu φ đơn đi¾u ng¾t trên ∆ thì bài toán V I(φ, ∆) có 1
nghi¾m. ii, Neu φ là đơn đi¾u và liên tnc trên ∆ thì t¾p nghi¾m
cúa bài toán
V I(φ, ∆) là t¾p loi đóng.
Đe chúng minh đieu ki¾n thú hai ó m¾nh đe trên chúng ta can sú
dung các đieu ki¾n ve đơn đi¾u sau đây cna bài toán V I.
Bo đe 1.1. [11] Neu ∆ ⊂ Rn là m®t t¾p loi, đóng và φ : ∆ → Rn là m®t
_

toán tú tuyen tính, đơn đi¾u thì x ∈ Sol(V I(φ, ∆)) khi và chí khi x ∈


(φ (y) , y − x) “ 0, ∀y ∈ ∆.

(1.12)

Chúng
_
minh.
Đieu ki¾n can. Cho x ∈ Sol(V I(φ, ∆)). Vì tính đơn đi¾u cna φ, chúng
ta



(φ(y) − φ(x), y − x) “ 0, ∀y ∈ ∆.


Ket hop vói đieu ki¾n (1.4) suy ra
(φ(y), y − x) “ (φ(x), y − x) “ 0, ∀y ∈ ∆.
Tính chat (1.12) đưoc chúng minh.
Đieu ki¾n đú. Giá sú rang x ∈ ∆ và (1.12) thoá mãn. Co đ%nh y ∈ ∆
bat kỳ. Vì ∆ loi, y(t) := x + t(y − x) ∈ ∆, ∀ =∈ (0; 1). The y(t)
vào (1.12) ta thu đưoc
0 ≤ (φ (y (t)) , y (t) − x) = (φ (x + t (y − x)) , t (y − x)) .
Đieu đó chúng tó rang
(φ (x + t (y − x)) , y − x) ≥ 0, ∀t ∈ (0; 1) .
Cho t → 0, vì tính liên tuc cna φ ta thu đưoc (φ (x) , y − x) ≥ 0.
Vì bat đang thúc trên đúng ∀y ∈ ∆, chúng ta ket lu¾n rang x ∈
Sol (V I (φ, ∆)).

Q

Chúng minh m¾nh đe 1.4
Chúng minh. i, Giá sú ngưoc lai rang φ đơn đi¾u ng¾t trên ∆, nhưng bài
toán V I (φ, ∆) có hai nghi¾m khác nhau x và y . Khi đó (φ (x) , y −
x) ≥ 0 và (φ (y) , x − y) ≥ 0. Ket hop hai bat đang thúc đó ta có
(φ (x) − φ (y) , y − x) ≥ 0.
Bat đang thúc này mâu thuan vói bat đang thúc
(φ (y) − φ (x) , y − x) > 0.
ii, Giá thiet rang φ đơn đi¾u và liên tuc trên ∆, ∀y ∈ ∆ kí hi¾u
Ω(y) là t¾p tat cá nhung x ∈ ∆ thoá mãn bat đang thúc (φ (y) , y −
x) ≥ 0. Tù đó chúng ta suy ra rang Ω(y) là m®t t¾p loi đóng. Tù bo đe
1.1 suy ra rang
Sol (V I (φ, ∆)) =

\

y∈∆

Ω (y).


Do đó Sol (V I (φ, ∆)) là t¾p loi đóng. Q
Tù đ%nh lí 1.2 và bo đe 1.4(i) suy ra rang, neu ∆ ƒ= ∅ và φ :
∆ → Rn
đơn đi¾u manh và liên tuc thì bài toán V I (φ, ∆) có nghi¾m duy nhat.
Trong phan tiep theo, chúng ta xét bài toán bat đang thúc bien phân
trong trưòng hop ràng bu®c cna ∆ là nón.

1.2.

Bài toán bù

Nhung đieu ki¾n dan đen bài toán bù.
M¾nh đe 1.5. Neu ∆ là m®t nón loi đóng, thì bài toán V I (φ, ∆) có
the viet lai tương đương như sau
x ∈ ∆, φ(x) ∈ ∆+, (φ(x), x) = 0.
(1.13)
á đó ∆+ = {ξ ∈ Rn : (ξ, v) “ 0, ∀v ∈ ∆} kí hi¾u cho nón đoi ngau
dương cúa ∆.
Chúng minh. Cho x là m®t nghi¾m cna (1.4) Vói bat kỳ v ∈ ∆ vì ∆ là
m®t nón loi, chúng ta có x + v ∈ ∆. Tù (1.4) chúng ta ket lu¾n rang



0 ™ (φ (x) , (x + v) − x) = (φ (x) , v) .
V¾y φ (x) ∈ ∆+. Hơn nua, vì 1 x ∈ ∆ và 2x ∈ ∆, theo (1.4) chúng
2
ta
1
.
.
1
0≤



φ (x) , x −
x
2

=−

2

(φ (x) , x) ,

1

0 ™ (φ (x) , 2x −
(φ (x) , x) .
x) =
2
⇒ (φ(x), x) = 0.
Bây giò, lay x sao cho (1.13) đúng. Vói bat kỳ y ∈ ∆, vì (φ (x) , x) =
0
và φ (x) ∈ ∆+, chúng ta có
(φ (x) , y − x) = (φ (x) , y) “ 0.
Đieu đó suy ra rang x ∈ Sol (V I (φ, ∆)). Q


Đ%nh nghĩa 1.3. Bài toán (1.13), ó đó ∆ ⊂ Rn là m®t nón loi, đóng và
φ : Rn → Rn đưoc kí hi¾u bói NCP (φ, ∆) và goi là bài toán bù xác đ
%nh bói φ và ∆.

1.3.

Bat đang thNc bien phân affine

Neu x là m®t nghi¾m đ%a phương cna bài toán toàn phương
1 T
.
,
x Mx + qT x : x
f
(x)
min
∆.
=
2

ó đó M ∈

s

(1.14)

là ma tr¾n đoi xúng cap n, q ∈ Rn và ∆ ⊂ Rn là m®t đa

Rn×n
di¾n loi, thì (Mx + q, y − x) “ 0, ∀y ∈ ∆. Đieu đó suy ra rang x là
m®t
nghi¾m cna bài toán V I(φ, ∆). é đó φ (x) = Mx + q là m®t toán tú
affine vói M là ma tr¾n Jacobian đoi xúng co đ%nh.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho M ∈ Rn×n, q ∈ Rn, ∆ ⊂ Rn là m®t đa di¾n loi.
Bài toán bat đang thúc bien phân
Tìm x ∈ ∆ sao cho (M x + q, y − x) “ 0, ∀y ∈ ∆,

(1.15)

đưoc goi là bat đang thúc bien phân affine xác đ%nh bói các du ki¾n
{M, q, ∆} và kí hi¾u bói AV I (M, q, ∆). T¾p nghi¾m cna bài toán
này
đưoc viet ngan gon là Sol (AV I (M, q, ∆)).
Đ%nh lí sau đây chúng tó rang nghi¾m cna bài toán AV I(M, q,
∆)
có the bieu th% bói nhân tú Lagrange.
Bo đe 1.2. (Bo đe Farkas) Cho A ∈ Rm×n, b ∈ Rm. Khi đó trong hai
h¾ dưói đây có m®t và chí m®t h¾ có nghi¾m


Ax “ 0, bT x < 0, x ∈
Rm, AT = b, y “ 0, y
∈ Rm .


.

.

Đ¾t λi = 0, ∀i ∈ I1 và λ = λ1, λ2, ..., λm ∈ Rm. Vì ai =i AT ,
∀i =
1, 2, ...m. Tù (1.18) ta thu đưoc bat đang thúc thú nhat trong (1.17).

x ∈ ∆ (A, b) và λi (Aix − bi) = 0 vói m®t i ∈ I đieu ki¾n còn lai
trong (1.17) cũng đưoc thoá mãn.
Đ%nh lý 1.3. [14]
Cho

∆ = {x ∈ Rn : Ax “ b} ,

(1.16)

vói A ∈ Rm×n, b ∈ Rm. Khi đó x ∈ Rn là m®t nghi¾m cúa (1.15) khi và
.
.
chí khi ton tai λ = λ1, λ2, ..., λm ∈ Rm sao cho

λ+q=0
T
 Mx − A
Ax “ b, λ “ 0
 T
λ (Ax b) = 0

(1.17)


Chúng minh. Chúng ta kí hi¾u Ai là c®t thú i cna ma tr¾n A và bi là toa
đ® thú i cna véc tơ b. Ta đ¾t ai = AT , ∀i = 1, 2, ...m.
i

Giá sú x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)).
Ta đ¾t
I = {1, 2, ..., m} , I0 = {i ∈ ∆ : (ai, x) = bi} ,

I1 = {i ∈ I : (ai, x) > bi} .
Giá sú bat kỳ v ∈ Rn thoá mãn
(ai, v) “ 0, ∀i ∈ I0.
Chúng ta de dàng thay rang ton tai δ1 > 0 sao cho (ai, x + tv)

bi, ∀i ∈ I và t ∈ (0; δ1). Thay y = x + tv, ó đó t ∈ (0; δ1), vào
(1.15) dan
đen
(M x + q, v) “ 0.


Th¾t v¾y,(−M x − q, v) ™ 0. Cho bat kỳ v ∈ Rn thoá mãn (−ai, v)

0, ∀i ∈ I0. Theo bo đe Farakas, ton tai so thnc không âm λi, (i ∈ I0) sao


ch
o

.

λi (−ai) = −M x − q.

(1.18)

i∈I

Trong phan tiep theo ta chúng minh đieu ki¾n đn, giá sú rang ton
.
.
tai λ = λ1, λ2, ..., λm ∈ Rm sao cho (1.17) đúng. Khi đó, cho y ∈ ∆
chúng
ta cũng có
.
.
(M x + q, y − x) = AT λ, y − x
.
.
= λ, (Ay − b) − (Ax − b)
.
.
= λ, (Ay − b) − (Ax − b)
T

T

= λ (Ay − b)
−λ

(Ax − b)

T

= λ (Ay − b) “ 0.
Đieu đó chúng tó rang x là m®t nghi¾m cna (1.15). Đó là đieu phái
chúng minh.

Q

Tù đ%nh lí 1.3 chúng ta có the suy ra hai h¾ quá sau đây. M®t trong
hai h¾ quá đó là úng dung cho trưòng hop mà ó đó ∆ bieu dien dang
∆ = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} ,

(1.19)

và h¾ quá còn lai úng dung trưòng hop mà ó đó ∆ bieu dien dang
∆ = {x ∈ Rn : Ax “ b, Cx = d} .

(1.20)

H¾ quá 1.1. Cho ∆ đưoc xác đ%nh bói công thúc (1.19). Khi đó x ∈ Rn
.
.
là m®t nghi¾m cúa (1.15) khi và chí khi ton tai λ = λ1, λ2, ..., λm ∈
Rm
sao cho




Mx −
AT

λ+q“ 0

Ax “ b, x “ 0, λ T“ 0
.
 T .
x M x − AT λ + q (Ax − b) = 0


(1.21)


Chúng minh. Đ%nh nghĩa ma tr¾n A˜ ∈ R(m×n)×n và véc tơ ˜b ∈ Rm×n
xác
.
.
đ%nh bói
.
, ˜b
b . Khi đó, bài toán (1.15), ó đó ∆ đưoc
.
A
=
A˜ =
0
E


xác đ%nh bói công thúc (1.19) thì tương đương vói bài toán: Tìm x ∈ ∆˜
:=
,
n
,x ∈ R : A˜x
sao cho (Mx + q, y − x) “ 0, ∀y ∈ ∆˜ .
“ ˜b
Úng dung đ%nh lí 1.3 vào bài toán AV I này chúng ta ket lu¾n rang x
là m®t nghi¾m cna bài toán khi và chí khi λ˜ = (λ1 , λ2 , ..., λm+2s ) ∈
sao cho

Rm+2s
Mx −
A

T

λ˜ + q = 0, A˜x “ ˜b, λ˜ “
0, λ˜T .A˜x − ˜b

.
= 0,

.
.
vói λ = λ1, λ2, ..., λm ∈ Rm. é đó, λi = λi, ∀i ∈ {1, 2, ..., m}.
Chúng ta có the thu đưoc các tính chat trong (1.21) tù nhung đieu
trên.
H¾ quá 1.2. Cho ∆ đưoc xác đ%nh bói công thúc (1.20). Khi đó x ∈
.
.
Rn là m®t nghi¾m cúa (1.15) khi và chí khi ton tai λ = λ1, λ2, ..., λm
∈ Rm và µ = (µ1, µ2, ..., µs) ∈ Rs sao cho

λ− µ+q=0
T

T
 Mx
− C
A
Ax “ b, Cx = d,
λ“ 0

T
λ (Ax b) = 0

(1.22)


Chúng minh. Đ%nh nghĩa A˜ ∈ R(m+2s)×n và ˜b ∈ Rm×2s . Khi đó, bài
toán
(1.15) ó đó, ∆ xác đ%nh bói (1.20) là tương đương vói bài toán
Tìm x ∈
∆˜

:= x ∈ Rn : A˜x
,

“ ˜b,

sao cho (Mx + q, y − x) “ 0, ∀y ∈
∆˜ .

Úng dung đ%nh lí 1.3 vào bài toán AV I này chúng ta ket lu¾n rang x


là m®t nghi¾m cna bài toán khi và chí khi λ˜ = (λ1 , λ2 , ..., λm+2s ) ∈
sao cho
Rm+2s
Mx −
˜ λ˜ + q = 0, A˜x “
AT
˜b, λ˜ “ 0, λ˜

T

.

.
A˜x − ˜b

=0

.
.
vói λ = λ1, λ2, ..., λm ∈ Rm và µ = (µ1, µ2, ..., µs) ∈ Rs é đó, λi =
λi, ∀i ∈
{1, 2, ..., m} và µj = λm+j − λm+s+j , ∀j ∈ {1, 2, ..., s} .


Chúng ta có the thu đưoc các tính chat trong (1.22) tù nhung đieu
trên.

Đ%nh lý 1.4. T¾p nghi¾m cúa bài toán bat đang thúc biên phân affine là
hop huu han nhung t¾p đa di¾n loi.
Chúng minh. Xét bài toán AV I tong quát tù (1.15). Vì ∆ là m®t t¾p đa di¾n
loi, nên ton tai m ∈ N, A ∈ Rm×n, b ∈ Rm sao cho ∆ = {x ∈ Rn : Ax “
b}. Theo đ%nh lí 1.3 x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)) khi và chi khi

T
 Mx − A λ + q = 0
Ax “ b, λ “ 0

λT (Ax − b)

(1.23)

=0
Cho I (1, 2, ..., m) lay m®t điem x ∈ Sol (AV I (M, q, ∆)),
chúng ta goi I0 = {i ∈ I : Aix = bi} , I1 = I\I0 = {i ∈ I : Aix > bi}.
Tù bat đang thúc trên trong (1.23) chúng ta có đưoc
λi = 0, ∀i ∈ I1 .
Do đó (x, λ) thoá mãn
 h¾ thúc
Mx − AT λ + q = 0
 AI
I
I
x
=
b
,
λ
0
0
0 “ 0

AI1 x “ bI1 , λI1 = 0

(1.24)

Co đ%nh t¾p I0 ⊂ I và t¾p QI0 xác đ%nh bói tat cá (x, λ) thoá
mãn
(1.24). Tù đó suy ra rang QI0 là t¾p đa di¾n loi. Tù đó, ta có đieu sau đây
Sol (AV I (M, q, ∆)) = ∪ {PrRn (QI0 ) : I0 ⊂ I} .

(1.25)

é đó, PrRn (x, λ) := x. Vì PrRn (.)n: R n → R là m®t toán tú tuyen
×R

n

tính, cho bat kỳ I0 ⊂ I, PrRn (QI0 ) là m®t t¾p đa di¾n loi.
Tù (1.25) chúng ta có đieu sau đây Sol (AV I (M, q, ∆)) là hop
huu han các t¾p đa di¾n loi. Q


Đ%nh nghĩa 1.5. M®t núa đưòng thang ωδ = {x + tv : t “ 0}, ó đó
v ∈ Rn\ {0} và δ > 0, mà là m®t t¾p con cna Sol (AV I (M, q, ∆))
thì đưoc goi là m®t tia nghi¾m cna bài toán (1.15).


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×