Tải bản đầy đủ

Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không trơn 90

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————

NGUYỄN BÌNH

BÀI TOÁN HỖN HỢP
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————

NGUYỄN BÌNH


BÀI TOÁN HỖN HỢP
ĐỐI VỚI HỆ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
TRONG TRỤ VỚI ĐÁY LÀ MIỀN VỚI BIÊN KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI
TÍCH Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Mạnh
Hùng

HÀ NỘI, 2009


i

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy, cô giáo giảng dạy đã
giúp đỡ trong quá trình học tập, thực hiện đề tài, hoàn thành luận
văn tốt nghiệp và kết thúc tốt đẹp chương trình cao học.
Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Trường Đại học sư phạm Hà Nội - đã trực tiếp hướng dẫn tận tình
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tác giả cũng
xin cảm ơn các bạn học viên trong lớp đã giúp đỡ và có những đóng
góp quí báu cho bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TSKH Nguyễn Mạnh Hùng.
Trong khi nghiên cứu Luận văn, tôi đã kế thừa thành quả
khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.



Hà Nội, tháng 9 năm 2009
Tác giả


3

Mục lục
Danh mục kí hiệu

iv

Mở đầu

1

1

Không gian Sobolev

4

1.1

Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2
1.3

Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Không gian W m (Ω), W m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . .

7
9

1.4

Không gian H

2

p
m,k

p

(QT ), Hm,k(QT , S1)........................................17

Bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong trụ vớ
2.1 Đặt bài toán...................................................................................19
2.2 Tính giải được của bài toán........................................................ 21
2.2.1

Tính duy nhất nghiệm suy rộng....................................23

2.2.2

Sự tồn tại nghiệm suy rộng............................................28

2.2.3

Ví dụ..............................................................................34

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37


4

Danh mục kí hiệu
• Rn là không gian Euclid n−chiều.
• Ω là một miền trong Rn, tức là một tập mở liên thông, với biên
∂Ω.
Ω = Ω ∪ ∂Ω. Nếu Ωt ⊂ Ω sao cho Ωt ⊂ Ω, thì ta viết Ωt ⊂⊂
Ω. Giả sử 0 < T < ∞, kí hiệu
QT = Ω × (0, T ) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (0, T )}
là trụ trong Rn+1. Mặt xung quanh của nó là ST = ∂Ω×(0, T ) = {(x,
t) :
x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )}.
• x = (x1, . . . , xn) ∈ Ω,
u(x, t) = (u1(x, t), . . . , us(x, t)) là
vectơ hàm
phức; α = (α1, . . . , αn) (αi ∈ N, i = 1, . . . , n) là đa chỉ số; |α| =
α1 +
· · · + αn. Đạo hàm (suy rộng) cấp α được kí hiệu là
α|

Dα = Dα =

|

x

∂x

α1
1

Đặc
biệt

∂|α|/∂x

. . . ∂x

αn



α1

1

. . . ∂xαn.
n

n
s

|Dα u|2 =

2
. ui|

|Dα
i=1

Trường hợp (x, t) ∈ QT , để chỉ đạo hàm (suy rộng) cấp l theo biến
t ta viết
.
. l
l
l

u
∂t
u

u
s
1
utl ≡
.
l
l
∂t
∂t
,
.
.
.
∂tl

,




5

Giá của một hàm là bao đóng của tập hợp tất cả các điểm mà

hàm đó khác không và kí hiệu là supp. Kí hiệu Cl(Ω) là tập hợp tất
cả các hàm có các đạo hàm liên tục đến cấp l trong miền Ω, 0 ≤ l ≤
∞, C0(Ω) = C(Ω)


5
o

o

l

o

l

và C (Ω) = C (Ω) ∩ C (Ω), ở đó C(Ω) là tập hợp tất cả các hàm liên
tục
trong Ω và có giá compact thuộc Ω.
• Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x)
khả tổng cấp p theo Lesbegue trong Ω với chuẩn
.¸ |u|p .1/p
"u"Lp(Ω) =
dx
.


• Wpm(Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian bao gồm các hàm u(x) ∈
Lp(Ω), sao cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ Lp(Ω), |α| ≤ m, với chuẩn
"u"W m
=.

|D u| dx
.

p

¸

.

1/p

.

(Ω)

α

|α|≤m Ω

Nói riêng, khi p = 2 ta dùng kí hiệu Hm(Ω) thay cho W2m (Ω)
.1/2
.
. |D αu|
dx
.
¸
"u"Hm(Ω) =
|α|≤m Ω



o∞

mo

W

p

(Ω) là bao đóng của

m

(Ω) trong không gian Wp (Ω).

C
• H (QT ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈ L2(QT ),
m,k

sao cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈ L2(QT ), |α| ≤ m và utl ∈ L2(QT ), 1
≤ l ≤ k với chuẩn
. ¸
. ¸
.
.

"u"Hm,k(QT )
=

Nói riêng

α

k

2

2
l=1

|D u| dxdt
|α|≤mQ
+
T

QT

α

.

.
"u"Hm,0(QT ) =

¸

u

2

1/2

l

|ut| dxdt

|D

|

.


.

dxdt

6
1/2

.

|α|≤mQ
T

• Giả sử ∂Ω = Γ1 ∪ Γ2; Γ1 ∩ Γ2 = ∅, S1 = Γ1 × (0, T ). Kí hiệu
C∞(Ω, Γ1)
là tập hợp các hàm liên tục trên Ω, triệt tiêu gần mặt Γ1. Hm(Ω, Γ1)



không gian con của Hm(Ω) sao cho C∞(Ω, Γ1) trù mật trong Hm(Ω,
Γ 1)
theo chuẩn của Hm,k (QT ).
• Hm,k(QT , S1) là không gian con của Hm,k(QT ) có tập hợp trù
mật trong nó là các hàm thuộc C∞(QT ), triệt tiêu gần mặt S1.


1

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các bài toán biên tổng quát trong các miền với biên
trơn đến nay đã khá hoàn thiện [4, 5, 6]. Các bài toán biên ban đầu
đối với phương trình và hệ phương trình không dừng trong các hình
trụ với đáy là miền với biên không trơn được xét không nhiều. Các
bài toán biên ban đầu đối với hệ Schrodinger đã được xét trong công
trình [2, 8, 10]. Các bài toán biên loại này đối với hệ phương trình
Parabolic cũng đã được nghiên cứu [9]. Trong các công trình này đã
nhận được các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng và
các kết quả về tính trơn cũng như biểu diễn tiệm cận của nghiệm.
Bài toán biên ban đầu thứ nhất và thứ hai đối với hệ phương
trình hyperbolic đã được nghiên cứu trong các công trình [7, 11], ở
đó đã nhận được các kết quả về tính giải được, tính trơn và biểu diễn
tiệm cận nghiệm suy rộng trong các lân cận của điểm kỳ dị. Bài
toán biên hỗn hợp trong các miền trụ với đáy là miền với biên không
trơn đến nay còn được xét rất ít.
Lý do trên đề tài được chọn: Bài toán hỗn hợp đối với hệ
phương trình Schrodinger trong trụ với đáy là miền với biên không
trơn.


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu bài toán hỗn hợp đối với
hệ phương trình Schrodinger trong hình trụ với đáy là miền với biên
không trơn, nhận được các định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm
suy rộng trong không gian kiểu Sobolev.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán biên hỗn hợp đối với hệ Schrodinger trong hình trụ
với đáy là miền với biên không trơn; nghiên cứu không gian kiểu
Sobolev; nghiên cứu nghiệm suy rộng.

4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp được sử dụng là phương pháp Galerkin, các
phương pháp của giải tích hàm để đánh giá bất đẳng thức, phương
pháp tìm giới hạn.

5. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của
đề tài
Nhận được các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy
rộng của bài toán biên hỗn hợp trong lý thuyết tổng quát về các bài
toán biên đối với hệ không dừng trong miền với biên không trơn. Góp
phần hoàn thiện lý thuyết giải các bài toán biên trong miền với điểm
kỳ dị của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng.


6. Nội dung
Luận văn bao gồm hai chương:
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức bổ trợ, bao gồm các
không gian hàm.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn trình bày cách đặt
bài toán hỗn hợp đối với hệ phương trình Schrodinger trong hình
trụ với đáy là miền với biên không trơn; trình bày nghiệm suy rộng,
sự tồn tại và duy nhất nghiệm suy rộng của bài toán hỗn hợp.


Chương 1
Không gian Sobolev
1.1

Trung bình hóa
Giả sử θ(x), x ∈ Rn, là một hàm sao cho
o

θ ∈ C ∞(Rn), θ(x) = θ(−x), θ(x) ≥ 0, θ(x) = 0 nếu |x| ≥ 1, và
¸
θ(x)dx = 1.
(1.1)
Rn

Ví dụ, ta có thể lấy hàm sau:

1
C.exp(−
), nếu |x| < 1,
1−|x|2
θ(x) = 
0,
nếu |x| ≥ 1,
ở đó hằng số C được chọn để điều kiện (1.1) được thỏa mãn.
Với h > 0, ta đặt
θh(x) =
h−nθ(

x

),

x∈
R n. h

o

Khi đó

θh ∈ C ∞(Rn),

θh(x) ≥ 0,

θh(x) = 0, nếu |x| ≥ h,
¸
θh(x)dx = 1.
Rn

Định nghĩa 1.1.1. θh được gọi là nhân trung bình hóa.


Giả sử Ω là một miền trong Rn và u ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞.
Ta thác triển u(x) bằng 0 trên Rn\Ω và xét tích chập θh ∗ u := uh
¸
uh(x) = θh(x − y)u(y)dy.
Rn

(Chính xác hơn, tích phân lấy trên Ω ∩ { y : |x − y| < h
}) Khi đó, ta có
¸
α

uh ∈ C∞(Rn) và Dαuh(x) = D θh(x − y)u(y)dy (do θh ∈ C );
x

Rn

uh(x) = 0 nếu dist{x; Ω} ≥ h ( vì θh(x − y) = 0, y ∈ Ω).
Định nghĩa 1.1.2. uh(x) được gọi là hàm trung bình hóa hay hàm
trung bình của u(x).
Định lí 1.1.1 ([1], Định lí 3.4). Giả sử u ∈ Lp(Ω) với p ≥ 1. Khi
đó
lim "uh − u"Lp(Ω) = 0.
h→0

Chứng minh. Đặt u(x) = 0 đối với x ∈ Rn\Ω. Khi đó,
¸
x−y
θ(
)u(y)dy θ(z)u(x + hz)dz.
uh(x) =


Bở i
vậy,

=

h

¸

Rn

¸
uh(x) − u(x) = θ(z)[(u(x + hz) − u(x)]dz,
Rn

|uh(x) − u(x)|p

≤C

¸

p

|u(x + hz) − u(x)| dz.

|z|
<1

Sau khi lấy tích phân bất đẳng thức này theo x và đổi thứ tự lấy
tích phân nhờ định lí Fubini ta nhận được
¸
¸
¸
p
|uh(x) − u(x)| dx
dz [u(x + hz) − u(x)| pdx



|z|<1


Do tính liên tục toàn cục của hàm thuộc không gian Lp(Ω), p ≥ 1,
tích phân sau cùng dần đến không khi h → 0. Định lí được chứng
minh.
Định lí 1.1.2 ([1], Định lí 3.5). Nếu f, g ∈ L1(Ω) thì
¸
¸
fh(x)g(x)dx = f (x)gh(x)dx




Chứng minh. Theo định nghĩa trung bình hóa, ta có
.
¸
¸
.
f

x −y
(y)dy g(x)dx
θ
.
fh(x)g(x)dx = h−n




¸



¸
=h

−n

¸
=

f
(y)dy


h

θ
.

.y − x g
(x)dx
h



f (x)gh(x)dx.


Định lí được chứng minh.
Định lí 1.1.3 ([1], Định lí 3.6). Nếu f ∈ L1(Ω) và
o

¸


f (x)η(x)dx =
0

với mọi η ∈ C ∞(Ω) thì f = 0 hầu khắp nơi.
o

Chứng minh. Với s > 0, ∀ψ ∈ C ∞(Ω) sao cho
¸
¸
| fh (ψ(x) − signfh(x)) dx| ≤ |fh (ψ(x) − signfh(x)) |dx





Khi đó

¸
0=

¸
fψh dx =



=

¸



|fh|dx +





¸
¸


1
|fh|dx −

2

¸

2Ω

|fh|dx + s.

¸
fh(ψ − signfh + signfh)dx

fhψdx =

¸

1



fh(ψ − signfh)dx





|fh|dx − s.


Do đó fh = 0 và vì "f − fh"Lp(Ω) → 0, nên f = 0 hầu khắp nơi.
Định lí được chứng minh.

1.2

Đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u, v ∈ L1(Ω) và α là một đa chỉ số. Khi
đó
v được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của u, kí hiệu Dαu, nếu
¸
¸
o
α
|α|
u(x)D η(x)dx = (−1)
v(x)η(x)dx,
∀η ∈ C ∞(Ω). (1.2)




Chú ý:
a) Nếu u(x) đủ trơn để có đạo hàm liên tục Dαu, ta có
¸
¸
|α| α
u(x)Dαη(x)dx = (−1) D u(x)η(x)dx.




Từ đó, đạo hàm cổ điển Dαu cũng là đạo hàm suy rộng. Tuy
nhiên, Dαu có thể tồn tại theo nghĩa suy rộng mà không tồn tại
theo nghĩa thông thường. Để làm ví dụ ta lấy u(x) = |x|, x ∈
(−1, 1). Dễ kiểm
tra được hàm u(x) có đạo hàm suy rộng trong khoảng (−1, 1).
Tuy
nhiên, hàm này không có đạo hàm thông thường tại điểm x = 0.
b) Từ công thức Green cổ điển suy ra một hàm u(x) có đạo hàm
thông thường liên tục cấp α thì nó có đạo hàm suy rộng Dαu. Từ
định nghĩa đạo hàm suy rộng, ta rút ra hàm v(x) có không quá
một đạo hàm suy rộng. Thật vậy, giả sử u ∈ L1(Ω) và v, w ∈
L1(Ω) là hai đạo hàm
suy rộng của u. Khi đó, theo (1.2) có
¸
o
(v(x) − w(x))η(x)dx = 0, ∀η ∈ C ∞(Ω).


Theo Định lí 1.1.3,

v(x) = w(x) với hầu khắp x ∈ Ω.


c) Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng
có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ωt ⊂ Ω. Thật vậy, giả
sử
o

α

D u = v trong Ω. Cố định η ∈ C ∞(Ωt), Ωt ⊂ Ω. Khi coi η(x) = 0
o

t

với x ∈ Ω\Ω , ta nhận được η(x) ∈ C ∞(Ω).
Ta có hệ thức:
¸
¸ u(x)Dαη(x)dx
u(x)Dαη(x)dx =
¸
Ωr



= (−1)|α|

v(x)η(x)dx


¸
= (−1)|α|

v(x)η(x)dx.
Ωr

Từ đó, ta có Dαu = v trong Ωt.
Đạo hàm suy rộng trong miền Ωt được gọi là thu hẹp của đạo
hàm suy rộng trong Ω vào Ωt.
d) Có thể kiểm tra được rằng:
Dα+βv = Dα(Dβv), aDαv1 + bDαv2 = Dα(av1 + bv2),
ở đó a và b là các hằng số tùy ý.
e) Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm
suy rộng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm. Nói chung, đạo
hàm suy rộng bảo toàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa
thông thường. Tuy nhiên không phải là tất cả, chẳng hạn từ sự tồn
tại đạo hàm suy rộng cấp α không suy ra được sự tồn tại đạo hàm
suy rộng cấp nhỏ hơn α.
Sau đây ta xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và
trung bình hóa.


Định lí 1.2.1 ([1], Định lí 4.1). Giả sử Ω là một miền trong Rn
và Ωt
là một miền con của Ω, sao cho khoảng cách giữa Ωt và
∂Ω bằng d > 0.
Khi đó, đối với 0 < h < d và x ∈ Ωt, ta có
(Dαu)h(x) = Dαuh(x).
o

t

Chứng minh. Do 0 < h < d và x ∈ Ω , còn hàm θ((x − y)/h) ∈ C

(Ω)
đối với x ∈ Ωt, nên khi sử dụng định nghĩa đạo hàm suy rộng ta
nhận được
¸
)u(y)dy
α
α −n
x−
D uh(x) = Dx h
θ(
n
¸ R y
h
=h

(−1)|α|Dαθ(

−n

y



¸

x−y

)u(y)dy

h

θ( x − )Dαu(y)dy
y
y
h

= h−n


= (Dα u)h(x).
Định lí được chứng minh.

1.3

o

Không gian W m(Ω), W m(Ω)
p

p

Định nghĩa 1.3.1. Không gian W mp(Ω), 1 ≤ p < ∞ là không gian
bao gồm các hàm u(x) ∈ L2(Ω), sao cho đạo hàm suy rộng Dαu ∈
L2(Ω),
|α| ≤ m, với chuẩn
.
|D αu|
.
(1.3)
"u"W m
1/p
p
(Ω)
dx
=.
¸
.
|α|≤m Ω

Định nghĩa 1.3.2. Không gian

o

o
p


W m (Ω), 1 ≤ p < ∞ là bao đóng
của

m
C (Ω) trong chuẩn của không gian Wp (Ω).
Chú ý:


10

a) Wp0(Ω) = Lp(Ω).
b) Ta kí hiệu Hm(Ω) thay cho W2m (Ω). Không gian Hm(Ω) là một
không gian Hilbert cùng với tích vô hướng
¸ .
(u, v)Hm(Ω) =
Dαu · Dαvdx,

u, v ∈ Hm(Ω).

Ω |α|
≤m

Định lí 1.3.1 ([1], Định lí 4.5). Giả sử Ω là một miền trong
Rn và
m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞. Khi đó pW m(Ω) là một không gian Banach.
Chứng minh. 1) Trước hết, ta kiểm tra pW m (Ω) là một không gian
tuyến tính định chuẩn với chuẩn (1.3). Thật vậy:
Dễ thấy
+

"λu"W m = |
W m (Ω) .
p
(Ω) λ|"u"
p
m
+ "u"W
= 0 ⇔ u = 0.
p
(Ω) u, v ∈ W m (Ω). Khi đó với 1 ≤ p < ∞, áp dụng bất
+
Giả sử
p
đẳng
.
thức Minkowski
=.
.
|D αu + Dαp v| 1/p
¸
"u + v"W m
p

(Ω)

|α|≤m Ω

.
.




|α|≤m

.p.1/p

¸
|Dαu| +



|Dαv|


¸
.1/p
.1/p .
¸
.
.
.
|Dαu|
|D αv|
+

|α|≤m Ω

= "u"W m
p

(Ω)

+
"v"

|α|≤m Ω

W m (Ω)

.

p

2) Tiếp theo, ta chứng minh Wpm (Ω) là không gian đầy.
Giả sử {uj }
m
j= là dãy Cauchy trong W (Ω), tức là với mỗi số tự

1

nhiên k:

p


.

|

− uj+k)|
¸
α

D (uj
|α|≤m Ω

11

dx → 0, j → ∞.


Đối với mỗi α, dãy {Dαujj=
} là dãy Cauchy trong Lp(Ω). Bởi vì Lp(Ω)


1

là không gian đầy, nên tồn tại một hàm uα ∈ Lp(Ω) sao cho
¸
|D αuj − uα| dx → 0, j → ∞.

(1.4)



Đặc biệt u0 ∈ Lp(Ω), tức là
¸
p
|uj − u0| dx → 0, j → ∞.

(1.5)



Theo định nghĩa đạo hàm suy rộng cấp α, ta có hệ thức
o
¸
¸ α
∀ψ ∈ C ∞(Ω)
α
|α| D u jψdx,
uj D ψdx = (−1)


(1.6)



Từ (1.4) và (1.5) suy ra có thể chuyển qua giới hạn đẳng thức (1.6) khi
j → ∞. Kết quả ta nhận được
¸
¸
α
|α|
u0D ψdx = (−1)
uαψdx,


o

∀ψ ∈ C ∞(Ω).



Điều đó chứng tỏ rằng, uα là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm u0
trong miền Ω và
"uj − u0"W m → 0, j → ∞.
p

Định lí được chứng minh.

(Ω)

Ta xét vấn đề xấp xỉ một hàm thuộc không gian Wp m(Ω) bằng
các
hàm thuộc C∞(Ω).
Định lí 1.3.2 ([1], Định lí 4.6). Giả sử Ω là một miền thuộc Rn
và Ωt
m
là một miền con của Ω sao cho Ωt ⊂⊂ Ω. Nếu
p u ∈ W (Ω),
thì

lim "uh −
u"W m
h→0

r

p

(Ω )

= 0.


Chứng minh. Do Định lí 1.2.1, ta có
"uh −
u"Wm

r
p

(Ω )

=

.

.

¸

α

|D (u − u)|pdx

.1/p

h

|α|≤m Ωr

.
=.

.

¸ |(D u)h − D u| 1/p
α
α
dx
p

(1.7)

|α|≤m Ωr

Đặt vα = Dαu. Từ Định lí 1.1.1 ta nhận được
¸
|(vα)h − vα|pdx → 0, h → 0.
Ωr

Từ đây và từ (1.7) nhận được
"uh −
u"Wm

r
p

→ 0, h → 0.

(Ω )

Định lí được chứng minh.
Định nghĩa 1.3.3. Miền Ω thuộc Rn gọi là có tính chất đoạn,
nếu với mỗi x ∈ ∂Ω, tồn tại tập mở Ux và vectơ yx ƒ= 0 sao cho
x ∈ Ux và nếu z ∈ Ω ∩ Ux thì z + tyx ∈ Ω với 0 < t < 1.
Miền Ω gọi là có tính chất nón nếu tồn tại nón hữu hạn C
sao cho mỗi điểm x ∈ Ω là đỉnh của nón hữu hạn Cx chứa trong Ω và
đồng dạng với C.
Miền Ω gọi là có tính chất nón đều nếu tồn tại phủ mở
hữu hạn địa phương {Uj } của ∂Ω và dãy con {Cj } của nón hữu
hạn, đồng dạng với nón hữu hạn cố định C, sao cho:
i)
ii)
iii)

Với M hữu hạn, mọi Uj có đường kính nhỏ hơn M .
S∞
Với δ > 0, j= Uj ⊃ Ωδ ≡ {x ∈ Ω : dist{x, ∂Ω} < δ}.
S1
Với mọi j, x U (x + Cj ) ≡ Qj ⊂ Ω.


iv)

∈ ∩

j

Với hữu hạn R, giao của mọi tập hợp của R+1 tập Qj bằng rỗng.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×