Tải bản đầy đủ

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS. Nguyễn Năng Tâm


Lài cám ơn
Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2.
Tác giá chân thành cám ơn PGS. TS. Nguyen Năng Tâm đã t¾n tình
hưóng dan tác giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn này.
Tác giá xin cám ơn Ban Giám hi¾u, Phòng Sau đai hoc và các thay,
cô trong Khoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã quan tâm
giúp đõ trong quá trình hoc t¾p tai trưòng.
Tác giá chân thành cám ơn các thay cô giáo và các ban đong nghi¾p ó
Khoa Khoa hoc cơ bán Trưòng Cao đang Công Nghi¾p Hóa Chat đã
tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá.
Phú Tho, ngày 10 tháng 11 năm 2016
Tác giá lu¾n văn

Lê Th% Hong Hanh

i


Lài cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS. TS. Nguyen Năng
Tâm, lu¾n văn “Bài toán bat đang thúc bien phân trong không gian
Hilbert” đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ công trình khoa hoc
nào khác.
Trong quá trình hoàn thành lu¾n văn, tôi đã thùa ke nhung thành tnu
cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.
Phú Tho, ngày 10 tháng 11 năm 2016
Tác giá lu¾n văn

Lê Th% Hong Hanh

ii




Mnc lnc

Lài cám ơn

i

Lài cam đoan

ii

Mé ĐAU

1

1

4

Kien thNc chuan b%
1.1. Không gian Hilbert....................................................4
1.2. T¾p loi............................................................................7
1.3. M®t so toán tú đ¾c bi¾t trong không gian Hilbert . . .11
1.3.1. Toán tú liên tuc

.......11

1.3.2. Toán tú liên hop...................................................13
1.3.3. Toán tú chieu.......................................................15
1.3.4. Toán tú đang cn...................................................16
1.4. Bài toán toi ưu trong không gian Hilbert........................16
5


2

Bat đang thNc bien phân trong không gian Hilbert

19

2.1. Đ%nh nghĩa và ví du..............................................................19
2.2. M®t so đ%nh lý ve ton tai nghi¾m....................................... 23
2.3. M®t so phương pháp giái bài toán bat đang thúc bien
phân....................................................................................33
2.3.1. Phương pháp nhân tú Lagrange..........................33
2.3.2. Thu¾t toán hi¾u chính Tikhonov.......................... 35
2.3.3. Thu¾t toán điem gan ke........................................43
Ket lu¾n

51

Tài li¾u tham kháo

52

6


Mé ĐAU
1. Lý do chon đe tài
Bài toán Bat đang thúc bien phân (Variational Inequality Problem)
ra đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói các công trình cna G. Stampacchia, J. L. Lion và G. Fichera, xem [7, 8] và các tài li¾u đưoc
trích dan trong đó. Hi¾n nay, bài toán bat đang thúc bien phân đã
đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, chang han: bat đang
thúc bien phân véctơ, tna bat đang thúc bien phân, giá bat đang thúc
bien phân, bat đang thúc bien phân an, bat đang thúc bien phân suy
r®ng,
...
Bat đang thúc bien phân thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà
toán hoc vì các mô hình cna nó chúa nhieu bài toán quan trong cna
m®t so lĩnh vnc khác nhau trong toán hoc như là trưòng hop riêng, ví
du: toi ưu hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao
thông, ...
Sau khi hoc và nghiên cúu các môn Giái tích hàm, Bat đang thúc bien
phân, Lý thuyet toi ưu . . . và vói mong muon hieu biet sâu hơn ve Bat
đang thúc bien phân trong không gian Hilbert tôi đã lna chon đe tài:
“Bài toán Bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert.”
2. Mnc đích nghiên cNu
7


Muc đích cna lu¾n văn là nghiên cúu ve Bat đang thúc bien phân
trong không gian Hilbert và m®t so phương pháp giái bài toán Bat
đang thúc bien phân trong không gian Hilbert.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Nghiên cúu m®t so kien thúc cơ bán ve không gian Hilbert, m®t so
toán tú đ¾c bi¾t và bài toán toi ưu trong không gian Hilbert.
Nghiên cúu ve Bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert và
m®t so phương pháp giái bài toán Bat đang thúc bien phân trong
không gian Hilbert. Lu¾n văn này trình bày m®t so khái ni¾m và
ket quá liên quan đen Bat đang thúc bien phân trong không gian
Hilbert. Lu¾n văn nghiên cúu 2 n®i dung.
Chương 1 trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho vi¾c trình
bày các ket quá chính trong chương tiep theo. Muc 1.1 trình bày khái
ni¾m không gian Hilbert. Muc 1.2 trình bày các kien thúc cơ bán ve
t¾p loi và hàm loi. Muc 1.3 trình bày m®t so toán tú đ¾c bi¾t trong
không gian Hilbert. Muc 1.4 giói thi¾u ve bài toán toi ưu trong không
gian Hilbert.
Chương 2 trình bày m®t so ket quá ve ton tai nghi¾m và m®t so thu¾t
toán đe giái bài toán bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert.
Muc 2.1 trình bày đ%nh nghĩa và các ví du ve bat đang thúc bien phân
không gian Hilbert. Muc 2.2 trình bày m®t so đ%nh lý ve sn ton tai


nghi¾m cna bài toán này. Muc 2.3 trình bày m®t so thu¾t toán đe
giái bài toán bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert gom:
phương pháp nhân tú Lagrange, thu¾t toán hi¾u chính Tikhonov, thu¾t
toán điem gan ke. Các ket quá chính trong chương này đưoc trình bày
dna trên cuon chuyên kháo [7] và bài báo [10].

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong và pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn là nghiên cúu không
gian Hilbert và bài toán Bat đang thúc bien phân trong không gian
Hilbert.

5. Phương pháp nghiên cNu
Tra cúu, tong hop tài li¾u tham kháo.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so kien thúc chuan b% can
thiet cho vi¾c trình bày các ket quá chính trong Chương 2. Muc 1.1
trình bày khái ni¾m không gian Hilbert. Muc 1.2 trình bày các kien
thúc cơ bán ve t¾p loi và hàm loi. Muc 1.3 trình bày m®t so toán tú
đ¾c bi¾t trong không gian Hilbert. Muc 1.4 giói thi¾u ve bài toán toi
ưu trong không gian Hilbert.

1.1.

Không gian Hilbert

Cho H là không gian véctơ trên trưòng so thnc R.
Đ%nh nghĩa 1.1. M®t ánh xa
(·, ·) : H × H → R
(x, y) ›→ (x, y)


đưoc goi là m®t tích vô hưóng trên H neu vói moi x, y, z ∈ R và α ∈
N
ta luôn có:
(i) (x, y) = (y, x);
(ii) (αx, y) = α(x, y);
(iii) (x, y + z) = (x, y) + (x, z);
(iv) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 khi và chí khi x = 0.
So (x, y) đưoc goi là tích vô hưóng cna x và y. Không gian véctơ H
cùng vói m®t tích vô hưóng xác đ%nh trên nó đưoc goi là không gian
có tích vô hưóng hay còn goi là không gian tien Hilbert và thưòng
đưoc viet là (H, (·, ·)).
M¾nh đe 1.1. Cho (H, (·, ·)) là m®t không gian tien Hilbert. Khi đó
công thúc
,
"x" := ( x, x)
xác đ%nh m®t chuan trên H.
Đ%nh nghĩa 1.2. Neu không gian có tích vô hưóng (H, (·, ·)) vói
chuan xác đ%nh như trên là m®t không gian đn thì ta goi (H, (·, ·))
là m®t không gian Hilbert và ký hi¾u đơn gián là H.
Ta goi so chieu cna H là so chieu cna không gian Hilbert H, ký hi¾u
dim H. Neu dim H < ∞ thì ta nói H là huu han chieu, trái lai ta
nói H là vô han chieu.
Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cna không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con cna không gian H.


Ví dn 1.1. Lay H = Rn, vói x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn)
∈H
bieu thúc

n

(x, y) :=

.

x iy i

i=1

xác đ%nh m®t tích vô hưóng trên không gian Rn và vói chuan
,
"x" := ( x, x).
Khi đó Rn tró thành không gian Hilbert huu han chieu.
Ví dn 1.2. Ký hi¾u l2 là không gian véctơ các dãy so x = (xn) sao

.
cho chuoi so |xn|2 h®i tu ∀x = (xn) ∈ l2, ∀y = (yn) ∈ l2 ta đ¾t
n=1


(x, y) :=

.

x n yn .

(1.1)

n=1

De dàng thay h¾ thúc (1.1) thóa mãn các đieu ki¾n tích vô hưóng.
Không gian l2 vói chuan sinh ra bói tích vô hưóng (1.1)

. .. ∞
"x" =, |xn| , x = (xn) ∈ l2
2
n=1

là m®t không gian đn và không gian véctơ l2 cùng vói tích vô hưóng
(1.1) là m®t không gian Hilbert.
Đ%nh lý 1.1. (Bat đang thúc Cauchy- Schawatz) Cho H là không gian
tien Hilbert. Ta luôn có bat đang thúc sau:
|(x, y)| ≤ "x"."y"

∀x, y ∈ H.

Đ%nh lý 1.2. Cho H là không gian Hilbert. Khi đó, (·, ·) : H × H → R
là m®t hàm liên tnc (theo cá hai bien).
1
2


Đ%nh nghĩa 1.3. Cho không gian Hilbert H, x, y ∈ H và t¾p con
M ⊂ H, M ƒ= ∅. Ta nói:
Phan tú x goi là trnc giao vói phan tú y và viet là x⊥y neu (x, y) =
0.
Phan tú x ∈ H goi là trnc giao vói t¾p M , neu x⊥y (∀y ∈ M ) và
ký hi¾u x⊥M.
Tù đ%nh nghĩa ta có the suy ra tính chat đơn gián sau:
1. 0⊥ x ∀x ∈ X;
2. x⊥y ⇒ y⊥x;
3. x⊥{y1, y2, . . . , yn} ⇒ x⊥(α1y1 + α2y2 + . . . + αnyn), n ∈ N∗,
vói moi
αi ∈ R, i = 1, . . . , n;
4. x⊥yn vói moi n ∈ N và yn → y khi n → ∞ thì x⊥y.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho H là không gian Hilbert, t¾p M ⊂ H. Phan
bù trnc giao cna M , kí hi¾u là
M ⊥ := {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M}.

1.2.

T¾p loi

Đ%nh nghĩa 1.5. Cho hai điem a, b ∈ H.
(i) M®t đưòng thang đi qua a, b là t¾p hop có dang:
{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.


(ii) Đoan thang noi hai điem a, b trong H có dang:
{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.
Đ%nh nghĩa 1.6. M®t t¾p D đưoc goi là t¾p affin neu D chúa đưòng
thang đi qua hai điem bat kỳ x, y ∈ D, túc là
∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D.
M¾nh đe 1.2. T¾p D ƒ= ∅ là t¾p affin khi và chs khi nó có
dang D = M + a vói M là m®t không gian con cúa H và a ∈ H.
Không gian M đưoc xác đ%nh duy nhat và đưoc goi là không gian con
song song cúa D.
Đ%nh nghĩa 1.7. Thú nguyên (hay chieu) cna m®t t¾p affin D là thú
nguyên cna không gian con song song vói D và đưoc ký hi¾u là dim
D.
Đ%nh nghĩa 1.8. Siêu phang trong không gian H là m®t t¾p hop các
điem có dang
{x ∈ H : aT x = α},
trong đó a ∈ H là m®t véctơ khác 0 và α ∈ R.
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho a ∈ H là m®t véctơ khác véctơ không và α ∈ R.
T¾p {x : aT x ≥ α} goi là núa không gian đóng.
Đ%nh nghĩa 1.10. M®t t¾p D đưoc goi là t¾p loi neu vói moi a, b ∈
D
và moi λ ∈ [0; 1], ta có :
λa + (1 − λ)b ∈
D.


Ví dn 1.3. T¾p rong là t¾p loi.
+ Toàn b® không gian là t¾p loi.
+ Các không gian con là các t¾p loi.
+ Các tam giác, hình tròn trong m¾t phang là các t¾p loi.
+ Quá cau C = {x | "x" ≤ 1} là t¾p loi.
Đ%nh lý 1.3. T¾p loi đóng vói phép giao, phép c®ng, phép nhân vói
m®t so thnc; túc là neu C và D là hai t¾p loi trong H thì C ∩ D, λC
+ βD cũng là các t¾p loi.
Đ%nh nghĩa 1.11. Ta nói x là to hop loi cna các điem (véctơ) x1, . . . ,
xk
neu
x=

k
.

k

λ jxj, λj ≥ 0 (j = 1, . . . , k),

.

λj =

1.
j=1

j=1

M¾nh đe 1.3. T¾p hop D là loi khi và chs khi nó chúa moi to hop loi
cúa các điem cúa nó; túc là D loi khi và chs khi
k

∀k ∈ R, ∀λ1,, . . . , λk ∈ D ⇒

.

λjxj ∈ D.

j=1

Đ%nh nghĩa 1.12. M®t t¾p đưoc goi là t¾p loi đa di¾n neu nó là giao
huu han các núa không gian đóng.
Như v¾y, theo đ%nh nghĩa t¾p loi đa di¾n là t¾p nghi¾m cna m®t h¾
huu han các bat phương trình tuyen tính. Dang tưòng minh cna t¾p
loi đa di¾n đưoc cho như sau:
C := {x ∈ H | (aj, x) ≤ b j, j ∈ I, |I| < +∞}.
15


Đ%nh nghĩa 1.13. M®t t¾p C ⊂ H đưoc goi là nón neu
∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ C.
M®t nón đưoc goi là nón loi neu nó là nón và là m®t t¾p loi.
Đ%nh nghĩa 1.14. Cho D là m®t t¾p loi và f : D → R ∪ {+∞}. Hàm
f đưoc goi là loi trên D neu
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1;
loi ch¾t neu
f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1.
Hàm f lõm (lõm ch¾t) neu −f là loi (loi ch¾t).
Ví dn 1.4. Các hàm sau đây đeu loi:
1. Hàm a-phin. f (x) := aT x + a, trong đó a ∈ H, α ∈ R.
2. Hàm tna. Hàm dưói đây đưoc goi là hàm tna cna m®t t¾p loi C tai
y:
sC (y) := sup(y, x).
x∈C

3. Hàm khoáng cách. Cho C là loi đóng, hàm khoáng cách tù điem x
đen t¾p C đưoc đ%nh nghĩa bói
dC (x) := min"x − y".
y∈C

4. Hàm chuan:
f (x) := "x" = (x2 + . . . +
x2 )1/2.
1

n


Đ%nh lý 1.4. Cho f và g là hai hàm loi trên t¾p loi C và D tương
úng. Khi đó, vói moi α, β ≥ 0 các hàm so αf + βg, max{f, g}
cũng loi trên C ∩ D.
M®t hàm loi có the không liên tuc tai m®t điem trên biên mien xác
đ%nh cna nó, tuy nhiên nó liên tuc tai moi điem trong t¾p đó.
Đ%nh lý 1.5. M®t hàm loi f xác đ%nh trên t¾p loi D thì f liên tnc tai
moi điem trong cúa D.

1.3.

M®t so toán tN đ¾c bi¾t trong không gian
Hilbert

1.3.1.

Toán tN liên tnc

Đ%nh nghĩa 1.15. Giá sú H và H r là hai không gian Hilbert. Ánh xa
A : H → H r đưoc goi là m®t ánh xa tuyen tính, ho¾c là toán tú tuyen
tính, hay goi tat là toán tú neu:
1, (∀x, y ∈ H) : A(x + y) = Ax + Ay;
2, (∀x ∈ H)(∀α ∈ R) : A(αx) = αAx.
Cho m®t toán tú A.
T¾p {Ax | x ∈ H} goi là ánh cna A và ký hi¾u là R(A) ho¾c RanA.
T¾p {x ∈ H | Ax = 0} đưoc goi là hat nhân cna A và ký hi¾u là N
(A) ho¾c KerA.


Đ%nh nghĩa 1.16. Cho H và H r là hai không gian Hilbert. Toán tú
tuyen tính A : H → H r đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai hang so α ≥ 0
sao cho
"Ax" ≤ α"x" ∀x ∈ X.

(1.2)

Đ%nh nghĩa 1.17. Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert H r . Hang so α ≥ 0 nhó nhat thóa
mãn h¾ thúc (1.2) goi là chuan cna toán tú A và ký hi¾u là "A".
Tù đ%nh nghĩa de thay chuan cna toán tú có các tính chat:
1. (∀x ∈ H)"Ax" ≤ "A""x";
2. (∀ε > 0)(∃xε ∈ H) sao cho ("A" − ε)"xε" < "Axε".
Đ%nh lý 1.6. Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian Hilbert H vào
không gian Hilbert H r . Các m¾nh đe sau là tương đương:
(i) A liên tnc;
(ii) A liên tnc tai moi điem x0 ∈ H;
(iii) A liên tnc tai 0;
(iv) A b% ch¾n.
Đ%nh lý 1.7. Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian Hilbert H vào
không gian Hilbert Hr . Neu toán tú A liên tnc thì
"A" = sup "Ax"
"x"≤1

ho¾c
là,

"Ax".

"A" =
sup
"x"=1


Đ%nh nghĩa 1.18. Giá sú H không gian Hilbert và A : H → H là
toán tú tuyen tính. Véc tơ x ƒ= 0 đưoc goi là véctơ riêng cna A úng
vói giá tr% riêng λ, neu
Ax = λx,
hay


(A − λI)x = 0.

Đ%nh nghĩa 1.19. Giá sú A là toán tú tuyen tính b% ch¾n trong không
gian Hilbert H. So λ đưoc goi là thu®c pho cna A hay m®t giá tr% pho
cna A neu không ton tai toán tú ngưoc b% ch¾n (A − λI)−1. T¾p tat
cá các giá tr% pho cna A đưoc goi là pho cna A, ký hi¾u là σ(A).
Đ%nh nghĩa 1.20. Toán tú tuyen tính liên tuc A : H → H đưoc goi
là toán tú eliptic, neu ton tai α > 0 sao cho (Ax, x) ≥
α"x"
1.3.2.

2

, ∀x ∈ H.

Toán tN liên hap

Đ%nh nghĩa 1.21. Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert Hr . Toán tú B tù không gian Hilbert
H r vào không gian Hilbert H goi là toán tú liên hop vói toán tú A,
neu
(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ H, ∀y ∈ Hr .
Toán tú liên hop B đưoc ký hi¾u là A∗.


Đ%nh nghĩa 1.22. Toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian Hilbert
H vào chính nó goi là tn liên hop neu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.
Toán tú tn liên hop còn goi là toán tú đoi xúng.
Đ%nh lý 1.8. Giá sú A là toán tú tuyen tính liên tnc trong không gian
Hilbert phúc H. Khi đó, A tn liên hop khi và chs khi (∀x ∈ H)(Ax, x)
là so thnc.
H¾ quá 1.1. Giá sú A là toán tú tn liên hop trong không gian Hilbert
H. Khi đó, moi giá tr% riêng λ cúa A là so thnc.
Đ%nh lý 1.9. Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert Hr . Khi đó ton tai toán tú A∗ liên hop
vói toán tú A tù không gian H r vào không gian H.
Đ%nh lý 1.10. Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian Hilbert
H vào không gian Hilbert Hr . Khi đó toán tú liên hop A∗ vói toán
tú A cũng là toán tú tuyen tính b% ch¾n và "A∗" = "A".
Đ%nh nghĩa 1.23. Cho A là toán tú tuyen tính liên tuc tù không gian
Hilbert H vào không gian Hilbert Hr . Khi đó:
(i) T¾p hop
A−1(0) = {x ∈ H : Ax = 0}
đưoc goi là không gian con cna A và ký hi¾u N (A).
(ii) T¾p hop
A(X) = {y ∈ Hr : y = Ax, x ∈ H}


đưoc goi là mien giá tr% cna A và ký hi¾u R(A).
Đ%nh lý 1.11. Giá sú H và H r là các không gian Hilbert. A : H → H r
là toán tú tuyen tính liên tnc. Khi đó,
H = N (A) ⊕ R(A∗), H r = N (A∗) ⊕ R(A).
Vói A ⊕ B là tong trnc tiep cúa A và B.
1.3.3.

Toán tN chieu

Đ%nh lý 1.12. Cho M là t¾p loi đóng khác rong trong không gian
Hilbert H. Khi đó, vói moi x ∈ H ton tai duy nhat y ∈ M sao
cho "x − y" = inf{"x − z"|z ∈ M}.
Ta ký hi¾u d(x, M ) = inf{"x − z" |z ∈ M}.
Đ%nh lý 1.13. Giá sú M là không gian con đóng cúa không gian
Hilbert H. Khi đó, vói moi phan tú x ∈ H đưoc bieu dien m®t cách
duy nhat dưói dang x = y + z, trong đó y ∈ M và z ∈ M ⊥ đưoc goi
là hình chieu trnc giao cúa x lên M.
Đ%nh nghĩa 1.24. Theo đ%nh lý trên, moi x ∈ H đeu bieu dien đưoc
duy nhat dưói dang x = y + z vói y ∈ M, z ∈ M ⊥ . Như v¾y H
= M ⊕ M⊥.
Ánh xa P : H → M , xác đ%nh P (x) = y vói x = y + z ∈ M ⊕
M ⊥ , đưoc goi là phép chieu trnc giao tù H lên M .


Đ%nh nghĩa 1.25. Phép chieu trnc giao P tù không gian Hilbert H
lên không gian con đóng M ƒ= {0} là m®t toán tú tuyen tính liên
tuc.
1.3.4.

Toán tN đang cN

Đ%nh nghĩa 1.26. Cho H và H r là hai không gian Hilbert và toán tú
tuyen tính A : H → H r sao cho "Ax" = "x" vói ∀x ∈ H. Khi đó A
đưoc goi là toán tú đang cn.
Đ%nh nghĩa 1.27. Neu A là toán tú đang cn và là toàn ánh thì A
đưoc goi là toán tú Unita.
Đ%nh lý 1.14. Cho H và H r là hai không gian Hilbert và A : H → H r
là toán tú tuyen tính. Lúc đó các m¾nh đe sau là tương đương:
(i) A là toán tú đang cn;
(ii) A liên tnc và A∗ · A = IX (IX là toán tú đong nhat trong H);
(iii) A báo toàn tích vô hưóng: (Ax1, Ax2) = (x1, x2) ∀x1, x2 ∈ H.

1.4.

Bài toán toi ưu trong không gian Hilbert

Bài toán 1.1. Cho ϕ : H → R là hàm khá vi Fréchet trên t¾p mó Ω
chúa K. Xét bài toán :
(P )

min{ϕ(x) : x ∈ K}.

(1.3)


ϕ là hàm muc tiêu và K là t¾p ràng bu®c.
T¾p nghi¾m cna bài toán (P ) là
Sol(P ) := {x¯ ∈ K | ϕ(x) ≥ ϕ(x¯), ∀x ∈ K}.
T¾p nghi¾m đ%a phương cna bài toán (P ) là
Loc(P ) := {x¯ ∈ K | ∃ε > 0 sao cho ϕ(x) ≥ ϕ(x¯), ∀x ∈ K ∩ B(x¯,
ε)}
Đ%nh lý 1.15. (Quy tac Fermat) Neu x¯ ∈ Loc(P ), thì
(∇ϕ(x¯), x − x¯) ≥ 0, ∀x ∈ K.
Ngưoc lai, neu K, ϕ loi


x¯ ∈ K thóa (1.4)

(1.4)

x¯ ∈ Sol(P ).

thì

Chúng minh. (⇒) Do x¯ ∈ Sol(P ) nên ton tai ε > 0 sao cho
ϕ(x) ≥ ϕ(x¯), ∀x ∈ K ∩ B(x¯, ε).
Lay x ∈ K tùy ý, chon t ∈ (0, 1) sao cho xt = x¯ + t(x − x¯) ∈
B(x¯, ε).
Khi đó xt ∈ K ∩ B(x¯, ε). Ta có
ϕ(xt) ≥ ϕ(x¯),
hay


ϕ(x¯ + t(x − x¯)) − ϕ(x¯) ≥ 0.

Chia hai ve cna bat đang thúc cho t > 0 ta thu đưoc
ϕ(x¯ + t(x − x¯)) − ϕ(x¯)
t
Cho t ↓ 0 ta có

≥ 0.


(∇ϕ(x¯), x − x¯)) ≥ 0.


(⇐) Giá sú x¯ ∈ Kvà thóa mãn (1.4). Lay x ∈ K. Do tính loi cna
K,
ta có xt = tx + (1 − t)x¯ ∈ K vói t ∈ [0, 1].
Do ϕ là loi nên
ϕ(xt) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(xt)
hay


ϕ(xt) − ϕ(x¯)

Cho t ↓ 0 ta thu đưoc

t

≤ ϕ(x) − ϕ(x¯).

(∇ϕ(x¯), x − x¯)) ≤ ϕ(x) − ϕ(x¯).
Do (1.4) nên ϕ(x) − ϕ(x¯) ≥ 0. Vì v¾y, ϕ(x) ≥ ϕ(x¯), ∀x ∈ K. Đieu
đó có nghĩa là x¯ ∈ Sol(P ).


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×