Tải bản đầy đủ

Ánh xạ không giãn xác suất và điểm bất động

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành dưói sn hưóng dan t¾n
tình cna Tien sĩ Hà Đúc Vưong, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho
tác giá nhung kinh nghi¾m quí báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa
hoc. Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p
và vưot qua nhung khó khăn trong quá trình hoàn thành lu¾n văn. Tác
giá xin bày tó lòng kính trong, lòng biet ơn chân thành và sâu sac nhat
đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn Ban Giám hi¾u Trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, Phòng Sau đai hoc, Khoa Toán và To Giái tích cùng
vói các quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc
tot đep chương trình cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá chân thành cám ơn Só GD và ĐT Bac Giang, Trưòng THPT
Lang Giang so 3 đã tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc
t¾p và hoàn thành tot lu¾n văn.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá



2

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói
sn hưóng dan cna TS. Hà Đúc Vưong. Lu¾n văn không he trùng l¾p vói
đe tài khác.
Trong quá trình nghiên cúu lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành
quá khoa hoc cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá


Mnc lnc

Má đau
1

1

Kien thNc chuan b%

6

1.1. Không gian loi đ%a phương . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. T¾p loi, t¾p cân, t¾p hút trong không gian vectơ.

7

1.1.2. Không gian tôpô.............................................................12
1.1.3. Không gian vectơ tôpô...................................................14
1.1.4. Không gian loi đ%a phương.............................................. 17
1.2. Không gian đ%nh chuan xác suat..............................................31
1.2.1. Chuan tam giác............................................................31
1.2.2. M®t so chuan tam giác cơ bán......................................32
1.2.3. Không gian đ%nh chuan xác suat..................................33


2

Điem bat đ®ng cúa ánh xa không giãn trong không gian loi
đ%a phương

39

iii


4

2.1. Ánh xa không giãn trong không gian loi đ%a phương . . .

41

2.2. Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong không gian
loi đ%a phương................................................................................44
3

M®t so ket quá ve điem bat đ®ng cúa ánh xa không giãn
xác suat

48

3.1. Ánh xa không giãn xác suat......................................................49
3.1.1. Ánh xa không giãn xác suat..........................................49
3.1.2. Cau trúc chuan tac xác suat........................................50
3.1.3. Không gian loi ch¾t xác suat........................................52
3.2. Điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn xác suat......................53
Ket lu¾n

54

Tài li¾u tham kháo

55


Mé ĐAU

1. Lý do chon đe tài
Nhieu bài toán khác nhau cna khoa hoc và ky thu¾t đã dan đen vi¾c
nghiên cúu van đe sau:
Cho X là m®t không gian, ánh xa T : M → M là ánh xa đi tù t¾p con
M cúa không gian X vào chính nó. Xét phương trình phi tuyen Tx = x
(x ∈ M ), dưói các đieu ki¾n cn the hãy khang đ%nh sn ton tai
nghi¾m cúa phương trình đó? Điem x ∈ M thóa mãn phương trình Tx
= x đưoc
goi là điem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¾p M.
Vi¾c nghiên cúu van đe trên đã góp phan đac lnc cho vi¾c giái quyet
hàng loat bài toán quan trong trong Toán hoc nói riêng, trong Khoa hoc
ky thu¾t nói chung. Đieu này dan đen m®t hưóng nghiên cúu mói trong
Toán hoc và đã hình thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng”.
Lý thuyet điem bat đ®ng là m®t trong nhung lĩnh vnc quan trong cna
Giái tích hàm phi tuyen. Ngay tù đau the kí 20 các nhà toán hoc trên
the giói đã quan tâm đen lĩnh vnc này và cho tói nay có the khang đ%nh
lý thuyet điem bat đ®ng đã phát trien het súc sâu r®ng, tró thành công
cu không the thieu đe giái quyet nhieu bài toán khác nhau. Sn phát trien
cna lĩnh vnc này gan lien vói tên tuoi các nhà toán hoc lón trên the giói
như Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov, Kakutani, Ky Fan, . . .
Nhung ket quá kinh đien cna lý thuyet điem bat đ®ng, đong thòi
cũng


6

là nhung công trình khói đau cho lĩnh vnc nghiên cúu này như
Nguyên lý ánh xa co Banach, Nguyên lý điem bat đ®ng
Brouwer đưoc áp dung ó nhieu lĩnh vnc cna Toán hoc hi¾n đai như:
Phương trình vi phân, Phương trình tích phân, Lý thuyet đieu khien,
Lý thuyet toi ưu hóa, Đai so, Giái tích so, . . .
Trên cơ só các nguyên lý cơ bán trên, Lý thuyet điem bat đ®ng đã
phát trien theo 2 hưóng chính:
- Hưóng thú nhat nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna các ánh xa dang co,
mó đau là Nguyên lý ánh xa co Banach (1922).
- Hưóng thú hai nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna các ánh xa liên tuc,
mó đau là Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer (1912).
Vào nhung năm 60 cna the kí 20, m®t hưóng mói có the xem là trung
gian cna hai hưóng trên đã xuat hi¾n trong Lý thuyet điem bat đ®ng. Đó
là vi¾c nghiên cúu điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong không
gian Banach. M®t câu hói đ¾t ra là: can đieu ki¾n gì trên t¾p M và
không gian X đe ton tai điem bat đ®ng cna m®t ánh xa không giãn
T :M→M?
Vì như chúng ta đã biet, moi ánh xa co đeu là ánh xa không giãn và
moi ánh xa không giãn đeu liên tuc nên các đieu ki¾n này phái manh
hơn đieu ki¾n trong Nguyên lý ánh xa co Banach và yeu hơn đieu ki¾n
trong Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer.
Câu trá lòi chính xác phái đoi đen năm 1965 mói đưoc Browder và
Gohde đ®c l¾p tìm ra. Đe giái quyet bài toán này, hai nhà toán hoc trên


đã sú dung kĩ thu¾t đ®c đáo dna vào nhung thành tnu cna m®t hưóng
nghiên cúu mói có tên là: “Hình hoc các không gian Banach” do Clarkson
khói xưóng năm 1936.
Năm 1942 Lý thuyet ve không gian metric xác suat đưoc giói thi¾u
bói Menger. Đó là sn mó r®ng “xác suat” cna khái ni¾m metric thông
thưòng: thay cho vi¾c xét khoáng cách d(x, y), ngưòi ta xét hàm
phân bo Fx,y(t) bieu dien xác suat đe cho d(x, y) < t, vói t là m®t
so thnc. Khái ni¾m này đã thu hút sn quan tâm cna nhieu nhà toán
hoc, đ¾c bi¾t là Schweizer và Sklar đã xây dnng thành lý thuyet ve
không gian metric xác suat, viet thành sách chuyên kháo xuat bán
năm 1983. Sau đó nó đưoc phát trien và có úng dung rat quan trong
trong V¾t lý lưong tú, Lý thuyet dòng và Lý thuyet b¾c . . . đưoc
nghiên cúu bói El Naschie và Abdolrahman Razani Maryam
Shirdarvazdi.
Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, nhò sn giúp đõ,
hưóng dan t¾n tình cna TS. Hà Đúc Vưong, tôi manh dan chon nghiên
cúu đe tài:

“Ánh xa không giãn xác suat và điem bat đ®ng” .
Ngoài lòi mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, lu¾n văn có ba
chương n®i dung:
Chương 1: trình bày ve không gian vectơ tôpô, không gian loi đ%a
phương, không gian đ%nh chuan xác suat, moi liên h¾ giua không gian
loi đ%a phương và không gian đ%nh chuan xác suat.
Chương 2: trình bày ve ánh xa không giãn và đ%nh lý ve điem bat


đ®ng cna ánh xa không giãn trong không gian loi đ%a phương.
Chương 3: trình bày ve ánh xa không giãn xác suat và đ%nh lý ve điem
bat đ®ng cna ánh xa không giãn xác suat.

2. Mnc đích nghiên cNu
Muc đích cna lu¾n văn là xây dnng m®t bài tong quan ve ánh xa
không giãn xác suat và điem bat đ®ng cna lóp ánh xa này. Công trình
nghiên cúu dna trên các ket quá cna TS. Hà Đúc Vưong trong bài báo “A
fixed point theorem for nonexpansive mappings in locally convex spaces”
đăng trên tap chí Vietnam Journal of Mathematics năm 2006.

3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói muc đích nghiên cúu ó trên, nhi¾m vu nghiên cúu cna lu¾n văn
là:
- Nghiên cúu ve không gian loi đ%a phương và điem bat đ®ng cna ánh xa
không giãn trong không gian loi đ%a phương.
- Nghiên cúu ve không gian đ%nh chuan xác suat, moi liên h¾ giua không
gian loi đ%a phương và không gian đ%nh chuan xác suat.
- Nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn xác suat.

4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Đoi tưong và pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn là: Ánh xa không giãn
xác suat và điem bat đ®ng cna lóp ánh xa này.


5. Phương pháp nghiên cNu
- Nghiên cúu lý lu¾n, tài li¾u chuyên kháo.
- Phân tích, tong hop kien thúc.

6. DN kien đóng góp mái
Đây là bài tong quan ve ánh xa không giãn, không giãn xác suat và
điem bat đ®ng cna chúng. Giúp ngưòi đoc hieu đưoc moi liên h¾ giua
không gian loi đ%a phương và không gian đ%nh chuan xác suat. Tù đó
dna trên ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa không giãn trong không
gian loi đ%a phương đe tìm ra ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa
không giãn xác suat trong không gian đ%nh chuan xác suat.


Chương 1
Kien thNc chuan b%
Má đau
M®t cách đơn gián đe đưa m®t tôpô vào m®t không gian vectơ sao
cho tôpô tương thích vói cau trúc đai so là cho trưóc m®t chuan. Tuy
nhiên, lóp không gian đó chưa đn r®ng đe nghiên cúu các van đe cu the
cna giái tích, bói vì nhieu không gian vectơ quan trong náy sinh mà tôpô
tn nhiên trên nó không the cho đưoc bói chuan nào. Ta se kháo sát lóp
không gian này, chúng tong quát hơn các không gian đ%nh chuan và goi
là các không gian vectơ tôpô.
é chương này, chúng tôi trình bày m®t so ket quá can thiet ve t¾p
loi, t¾p cân, t¾p hút - là công cu quan trong trong vi¾c kháo sát tôpô
cna không gian vectơ tôpô, không gian loi đ%a phương - không gian tong
quát hơn không gian đ%nh chuan nhưng van báo toàn nhieu tính chat
cna không gian đ%nh chuan, núa chuan, moi liên h¾ giua ho núa chuan

6


1
1

và tính chat loi đ%a phương.
Tiep theo, chúng tôi trình bày ve chuan tam giác, hàm phân bo, không
gian đ%nh chuan xác suat, và chí ra rang úng vói moi không gian đ%nh
chuan xác suat ta có the xây dnng m®t không gian loi đ%a phương mà
tôpô trong chúng trùng nhau.

1.1.
1.1.1.

Không gian loi đ%a phương
T¾p loi, t¾p cân, t¾p hút trong không gian vectơ.

Đ%nh nghĩa 1.1.1. [8]. Cho X là không gian vectơ trên trưòng K (thnc
ho¾c phúc). A ⊂ X.
a) T¾p A đưoc goi là loi neu ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1] ta có
tx + (1 − t)y ∈ A.
b) T¾p A đưoc goi là cân neu vói moi x ∈ A ta đeu có λx ∈ A khi
|λ| ™ 1, λ ∈ K.
d) T¾p A đưoc goi là tuy¾t đoi loi neu nó là t¾p loi và cân.
c) T¾p A đưoc goi là hút neu vói moi x ∈ X đeu ton tai t > 0
sao cho x ∈ sA vói moi s thóa mãn |s| “ t.

Nh¾n xét 1.1.1. Bao đóng cna m®t t¾p loi là loi. Th¾t v¾y
Giá sú A là t¾p loi và x1, x2 ∈ A. Vói t ∈ [0, 1], đ¾t
x = tx1 + (1 − t)x2


Giá sú U là m®t lân c¾n cna điem 0. Do x1, x2 ∈ A nên
(xi + U ) ∩ A ƒ= ∅
do đó ton tai
xt
Đ¾t xt =
txt

1+

i

(i = 1, 2)

∈ (xi + U ) ∩ A (i = 1, 2)
t
(1 − t)x
2 . Khi đó

xt ∈ t(x1 + U ) + (1 − t)(x2 + U ) = x + U

suy ra

ha
y

(x + U ) ∩ A ƒ= ∅

x = tx1 + (1 − t)x2 ∈ A

chúng tó A là t¾p loi.

Ví dn 1.1.1.
1. H + = {x ∈ Rn : (x, a) “ α, α ∈ R, a ∈ Rn} là t¾p loi trong Rn.
2. B = {x ∈ Rn : ||x|| ™ 1} là t¾p loi, cân trong Rn.

M¾nh đe 1.1.1. Neu t¾p A là tuy¾t đoi loi khi và chs khi ∀x, y ∈ A,
∀λ, µ thóa mãn: |λ| + |µ| ™ 1 ta có
λx + µy ∈ A.
Chúng minh.
Giá sú A loi và cân, x, y ∈ A và |λ| + |µ| ™ 1.


Neu λ = 0 ho¾c µ = 0 thì rõ ràng λx + µy ∈ A.
µ
Neu λ ƒ= 0 và µ ƒ= 0 thì λ x ∈ A và y ∈ A (do A là t¾p cân).
|λ|

|µ|

hơn nua

nên

|λ|
|µ|
+
= 1
|λ| + |
|λ| + |µ|
µ|
.

λx + µy = (|λ| + |
µ|)

|λ|

λx . | µ|

+
|λ| + |µ| |λ|

µy

∈ A.

|λ| + |µ| |µ|

V¾y λx + µy ∈ A, vói x, y ∈ A và |λ| + |µ| ™ 1.
Ngưoc lai neu λx + µy ∈ A, vói x, y ∈ A và |λ| + |µ| ™ 1 thì de dàng
suy ra A là t¾p loi và cân.

Đ%nh lý 1.1.1. Cho A, B ⊂ X, x ∈ X và α ∈ K. Kí hi¾u
x + A = {x + y|y ∈
A} , αA = {αy|y ∈ A}
,
A + B = {y + z|y ∈ A, z ∈ B}
Khi đó
a) Neu A là t¾p loi thì αA, x + A là các t¾p loi. Hơn nua neu B là t¾p
loi thì A + B cũng là t¾p loi.
b) Neu A là t¾p cân thì αA là t¾p cân. Hơn nua neu B là t¾p cân thì
A + B cũng là t¾p cân.
c) Neu A là t¾p hút, {rn} là dãy so không b% ch¾n thì
X=

[∞
n=1

rnA


d) Neu A là t¾p cân thì vói moi α ∈ K thóa mãn |α| = 1 thì αA = A.
e) Neu A là t¾p cân thì vói moi α, β ∈ K sao cho |α| ™ |β| thì αA ⊂ βA.
Chúng minh.
Phép chúng minh cna a) và b) là tam thưòng. é đây chúng tôi xin
trình bày phép chúng minh cna c) d) và e).
c) De thay 0 ∈ A vì A là t¾p hút nên vói x = 0 ∈ X ton tai t > 0 sao
cho vói moi s thóa mãn |s| “ t ta có 0 ∈ sA hay ton tai y ∈ A sao
cho
0 = sy hay 0 = y ∈ A.
Lay x ∈ X. Vì A là t¾p hút nên ton tai t > 0 sao cho vói moi s ∈ K mà
|s| > t thì x ∈ sA.
Vì {rn} không b% ch¾n nên ton tai n0 đe |nr0 | > t và khi đó x ∈ nr0 A.
S∞
n=
rnA.
Tù đó ta có X
1

Bao hàm thúc ngưoc lai là hien nhiên.
d) Giá sú A là t¾p cân và |α| = 1. Ta
có |α| = 1 ™ 1 nên αA ⊂ A.
Lai có |α−1| = 1 ™ 1 nên α−1A ⊂ A. hay A ⊂ αA.
V¾y α−1A = A.
Bây giò giá sú A là t¾p cân và |α| ™ |β|.
Neu β = 0 thì α = 0 nên αA ⊂ βA.
Neu β ƒ= 0 thì

.. .
. α. ™ 1
.. β .


nên theo đ%nh nghĩa t¾p cân ta có
α
β

túc là αA ⊂
βA.

A⊂A

Đ%nh lý 1.1.2. Giá sú (Ai)i∈I là m®t ho khác rong các t¾p con cúa X
T
và A = Ai. Khi đó
i∈I

a) Neu Ai là t¾p loi vói moi i ∈ I thì A là t¾p loi.
b) Neu Ai là t¾p cân vói moi i ∈ I thì A là t¾p cân.
Chúng minh.
a) Lay tùy ý x, y ∈ A và t ∈ [0, 1].
Khi đó vói moi i ∈ I, do Ai là t¾p loi và x, y ∈ Ai nên
tx + (1 − t)y ∈ Ai.
Suy ra tx + (1 − t)y ∈ A hay A là t¾p loi.
b) Lay tùy ý α ∈ K thóa mãn |α| ™ 1. Vì
moi Ai là t¾p cân nên αA ⊂ A, ∀i ∈ I.
Do đó
αA =

\

i∈

V¾y A là m®t t¾p
cân.

αAi ⊂

\

Ai = A

i∈I

I

Đ%nh nghĩa 1.1.2. [3]. Cho A là t¾p con cúa không gian X, ta goi bao
loi cúa A là giao cúa tat cá các t¾p loi chúa A. Kí hi¾u convA.


1.1.2.

Không gian tôpô.

Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho t¾p X ƒ= ∅, m®t ho T các t¾p con cúa X
đưoc goi là m®t tôpô trên X neu:
a) ∅, X ∈ T
b) Neu (Gα)α∈I ⊂ T thì Gα ∈ T
S
α∈I

c) Neu G1, G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T
C¾p (X, T) đưoc goi là không gian tôpô. Moi phan tú cúa X đưoc
goi là m®t điem, moi phan tú cúa T đưoc goi là t¾p mó (hay T - mó).

Ví dn 1.1.2.
1. Vói moi t¾p X, giá sú T1 là ho tat cá các t¾p con cna X. Khi đó T1
là m®t tôpô trên X.
2. Vói moi t¾p X, giá sú T2 = {∅, X}. Khi đó T2 là m®t tôpô trên X.
3. Giá sú X = {0, 1, 2} thì khi đó T3 = {∅, X, {0}, {1, 2}} là
m®t tôpô
trên X.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho (X, T) là không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ∈ X.
A đưoc goi là lân c¾n cúa x0 neu ton tai t¾p mó G ∈ T sao cho x0 ∈
G và G ⊂ A.


Nh¾n xét 1.1.2. Neu Ux là t¾p hop tat cá các lân c¾n cna điem x thu®c
không gian tôpô X thì Ux có các tính chat sau:
1)
2)
3)
4)

x∈
Neu
Neu
Neu

U
U
U
U

vói moi U ∈ Ux.
∈ Ux và V ∈ Ux thì U ∩ V ∈ Ux.
∈ Ux và U ⊂ V thì V ∈ Ux.
∈ Ux thì ton tai V ∈ Ux sao cho U ∈ Uy vói moi y ∈ V (ta có

the lay V là phan trong cna U ).
Ngưoc lai, giá sú X là m®t t¾p hop tùy ý và vói moi phan tú x ∈ X
chí ra đưoc m®t t¾p hop (không rong) Ux các t¾p con cna cna X. Khi
đó neu các đieu ki¾n trên đưoc thóa mãn thì, ta có the xác đ%nh đưoc
m®t tôpô duy nhat trên X, bang cách xác đ%nh các t¾p hop mó sao cho
vói moi x, Ux là t¾p hop tat cá các lân c¾n cna x. (T¾p A ⊂ X là mó
neu vói moi x ∈ A đeu ton tai U ∈ Ux sao cho U ⊂ A.)

Đ%nh nghĩa 1.1.5. Giá sú X và Y là hai không gian tôpô. Ánh xa
f :X→Y
Hàm f đưoc goi là liên tnc tai điem x ∈ X neu vói moi lân c¾n V
cúa f (x) trong Y đeu ton tai m®t lân c¾n U cúa x trong X sao cho f
(U ) ⊂ V. Hàm f đưoc goi là liên tnc neu nó liên tnc tai moi x ∈ X.
Hàm f đưoc goi là m®t phép đong phôi neu f và f −1 liên tnc.

Đ%nh nghĩa 1.1.6. M®t không gian tôpô (X, T) goi là tách
(Hausdorff) neu và chs neu vói 2 điem bat kì khác nhau x, y ∈ X ton
tai U, V ∈ T


thóa mãn x ∈ U, y ∈ V và U ∩ V = ∅.

Đ%nh nghĩa 1.1.7. M®t t¾p hop con Vx cúa t¾p hop Ux các lân c¾n cúa
x đưoc goi là m®t cơ só lân c¾n cúa x neu vói moi U ∈ Ux đeu ton tai
V ∈ Vx sao cho V ⊂ U.
Chang han các t¾p hop mó chúa x l¾p thành m®t cơ só lân c¾n cna
x.

1.1.3.

Không gian vectơ tôpô.

Đ%nh nghĩa 1.1.8. Giá sú X là m®t không gian vectơ trên trưòng K
(thnc hay phúc). M®t tôpô trên X đưoc goi là tương thích vói cau trúc
đai so cúa X neu các phép toán c®ng hai vectơ, nhân m®t vô hưóng vói
m®t vectơ trong X là liên tnc. Nghĩa là
a) Vói moi c¾p (x, y) ∈ X × X và V là m®t lân c¾n tùy ý cúa x + y thì
ton tai các lân c¾n V1 cúa x và V2 cúa y sao cho V1 + V2 ⊂ V .
b) Vói moi x ∈ X, α ∈ K và V là lân c¾n tùy ý cúa αx, ton tai ε > 0 và
lân c¾n U cúa x sao cho vói moi β ∈ K mà |β − α| < ε thì βU ⊂ V .
M®t không gian vectơ tôpô trên K là m®t không gian vectơ cùng vói
m®t tôpô tương thích.
M¾nh đe 1.1.2. [8]. Vói moi a ∈ X, phép t%nh tien f : f (x) = x +
a là m®t phép đong phôi tù X lên chính nó.


Chúng minh.
Neu f (x) = x + a = y thì f −1 (y) = x = y − a. Do đó f là
song ánh tù X lên chính nó.
Hơn nua, f và ánh xa ngưoc cna nó liên tuc
V¾y f là m®t phép đong phôi.
Tù m¾nh đe trên ta suy ra: neu U là lân c¾n cna điem goc thì U +
a là lân c¾n cna điem a. Đ¾c bi¾t neu U là m®t cơ só lân c¾n cna điem
goc thì U + a là m®t cơ só lân c¾n cna a.
Như v¾y toàn b® cau trúc cna X đưoc xác đ%nh bói m®t cơ só lân c¾n
cna điem goc. Nên ta se làm vi¾c chn yeu vói các lân c¾n cna điem goc.
M¾nh đe 1.1.3. [8]. Vói moi so khác không α ∈ K, ánh xa f : f (x)
= αx là m®t phép đong phôi tù X lên chính nó. Đ¾c bi¾t neu U là m®t
lân c¾n cúa điem goc thì vói moi α ƒ= 0, αU cũng là lân c¾n cúa
điem goc.
Chúng minh.
Neu f : f (x) = αx = y thì f −1 (y) = x = α−1y.
V¾y f là song ánh liên tuc hay f là m®t phép đong phôi.

Đ%nh lý 1.1.3. [8]. Neu U là m®t cơ só lân c¾n cúa điem goc thì vói
moi U ∈ U ta có:
a) U là t¾p hút.
b) ton tai V ∈ U sao cho V + V ⊂ U.


c) ton tai lân c¾n cân cúa điem goc W ⊂ U.
Chúng minh.
a) Giá sú x ∈ X, đ¾t f (λ) = λx thì f liên tuc tai λ = 0,
Do đó ton tai m®t lân c¾n {λ : |λ| ≤ ε} cna 0 ∈ K đưoc ánh xa vào U
. V¾y λx ∈ U khi |λ| ≤ ε.
Do đó x ∈ µU khi |µ| ≥ ε−1 hay U là t¾p hút.
b) Đ¾t g(x, y) = x + y thì g liên tuc tai x = 0, y = 0, do đó ton tai
hai lân c¾n V1 và V2 sao cho x + y ∈ U khi x ∈ V1 và y ∈ V2. Ton
tai V ∈ U vói V ⊂ V1 ∩ V2. V¾y V + V ⊂ U .
c) Đ¾t h(λ, x) = λx thì h là liên tuc tai λ = 0, x = 0, do đó ton tai
m®t lân c¾n V và so ε > 0 sao cho λx ∈ V khi |λ| ≤ ε và x ∈ V .
V¾y λV ⊂ U khi |λ| ≤ ε, do đó εV ⊂ µU khi |µ| ≥ 1.
T
Suy ra εV ⊂ W =
µU .
|µ|≥1

Vì εV là m®t lân c¾n (theo m¾nh đe trên) nên W cũng là m®t lân c¾n.
µ

Neu x ∈ W và 0 < |λ| ≤ 1 thì vói |µ| ≥ 1 ta có x ∈ U , v¾y λx ∈
λ
µU
khi |λ| ≤ 1. Thành thú λx ∈ W .
V¾y W cân và chúa trong U .
Tù m¾nh đe này suy ra rang moi không gian vectơ tôpô đeu có m®t
cơ só gom nhung lân c¾n cân. Trong các không gian vectơ tôpô quan
trong nhat và thưòng đưoc sú dung thì còn có cá m®t cơ só gom nhung
lân c¾n loi cna điem goc, đó là không gian loi đ%a phương.


1.1.4.

Không gian loi đ%a phương

Đ%nh nghĩa 1.1.9. Không gian vectơ tôpô có m®t cơ só gom nhung lân
c¾n loi cúa điem goc đưoc goi là không gian vectơ tôpô loi đ%a phương
hay không gian loi đ%a phương.

Đ%nh lý 1.1.4. M®t không gian loi đ%a phương X có m®t cơ só U nhung
lân c¾n cúa điem goc vói các tính chat sau:
a) Neu U ∈ U, V ∈ U thì ton tai W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V .
b) Neu U ∈ U thì αU ∈ U vói ∀α ƒ= 0.
c) Moi U ∈ U là tuy¾t đoi loi và hút.
Ngưoc lai, cho m®t t¾p U (khác rong) nhung t¾p con cúa không gian
vectơ X vói các tính chat a) - c) thì ton tai m®t tôpô làm cho X tró
thành m®t không gian loi đ%a phương vói U là m®t cơ só lân c¾n cúa
điem goc.
Chúng minh.
Neu X là không gian loi đ%a phương thì theo đ%nh nghĩa, ton tai m®t
cơ só lân c¾n loi.

T

Neu U là m®t lân c¾n loi thì

µU là m®t lân c¾n cân chúa trong U
|µ|≥1

(m¾nh đe 1.1.3).
T
µU cũng là loi vì là giao cna các t¾p loi.
|µ|≥1

Như v¾y ton tai m®t cơ só V gom nhung lân c¾n tuy¾t đoi loi. Khi
đó có só lân c¾n phái tìm là t¾p hop U tat cá các t¾p hop αV vói α ƒ=
0 và


V ∈ V.
Th¾t v¾y, theo m¾nh đe 1.1.3, các t¾p hop cna U là nhung lân c¾n và U
là m®t cơ só.
Khi đó
Neu U ∈ U, V ∈ U thì U ∩ V ∈ U, suy ra ton tai W ∈ U sao cho
W⊂U∩V.
Tù cách xây dnng U, suy ra neu U ∈ U thì αU ∈ U vói ∀α ƒ= 0.
Tù đó và tù m¾nh đe 1.1.3, suy ra moi U ∈ U là tuy¾t đoi loi và hút.
Ngưoc lai giá sú U là t¾p hop vói các tính chat a) - c).
Goi V là t¾p hop tat cá các t¾p con cna X chúa m®t t¾p hop cna U và
vói moi x ∈ X ta lay V + x là t¾p hop các lân c¾n cna x.
Trưóc het, ba m¾nh đe
1) x ∈ U vói moi U ∈ V + x.
2) Neu U ∈ V + x và V ∈ V + x thì U ∩ V ∈ V + x.
3) Neu U ∈ V + x và U ⊂ V thì V ∈ V + x. là
hien nhiên đúng.
Neu V ∈ V thì ton tai U ∈ U vói U ⊂ V . De dàng chúng minh đưoc
rang V + x là lân c¾n cna moi điem thu®c 21 U + x.
V¾y neu U ∈ V + x thì ton tai V ∈ V + x sao cho U ∈ Vy vói moi y ∈
V . Đe chúng minh tính liên tuc cna phép c®ng tai x = a, y = b ta
giá sú
U ∈ U, the thì neu x ∈
+b.

1

U + a và y ∈

2

2

1

U + b thì x + y ∈

1

U+a

2

Cuoi cùng đe chúng minh rang λx liên tuc tai λ = α, x = a ta chí
vi¾c tìm η và δ sao cho λx − αa ∈ U khi |λ − α| < η và x ∈ δU + a.


Nhưng ton tai µ > 0 sao cho a ∈ µU , do đó ta chon η sao cho 0 < 2η
<
µ−1 và chon δ sao cho 0 < 2δ < (|α| + η)

−1

thì khi đó

λx − αa = λ (x − a) + (λ − α) a ∈ (|α| + η) δU + ηµU ⊂ U.
Đ%nh lý đưoc chúng minh.

H¾ quá 1.1.1. Giá sú V là m®t t¾p hop tùy ý nhung t¾p hop con tuy¾t
đoi loi và hút cúa không gian vectơ X. Khi đó ton tai trên X m®t tôpô
yeu nhat và tương thích vói cau trúc đai so, sao cho moi t¾p hop thu®c V
là m®t lân c¾n. Vói tôpô ay, X là m®t không gian loi đ%a phương và m®t
T
cơ só lân c¾n cúa điem goc đưoc tao thành bói các t¾p hop ε(
Vi),
1≤i≤n

ε > 0, Vi ⊂ V.
Chúng minh.

T

T¾p hop U tat cá các t¾p con có dang ε(

Vi), ε > 0, Vi ⊂ V
thóa

1≤i≤n

mãn các đieu ki¾n.
a) Neu U ∈ U, V ∈ U thì ton tai W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V .
b) Neu U ∈ U thì αU ∈ U vói ∀α ƒ= 0.
c) Moi U ∈ U là tuy¾t đoi loi và hút.
V¾y U tró thành m®t cơ só lân c¾n trong m®t tôpô T trên X làm X
tró thành không gian loi đ%a phương.
Hơn nua trong moi tôpô tương thích (trong đó các t¾p hop cna V là
nhung lân c¾n) thì các t¾p cna U cũng phái là nhung lân c¾n (theo
Nh¾n xét 1.1.2 và M¾nh đe 1.1.3). V¾y tôpô T là tôpô yeu nhat trong


moi tôpô tương thích.
Tù đây tró đi, ta se chí nghiên cúu trên các không gian loi đ%a phương.
Trong thnc te đó là nhung không gian ta thưòng g¾p.
Đ%nh nghĩa 1.1.10. [3]. Cho X là không gian loi đ%a phương, D ⊂ X
và hàm f : D → R, trong đó R = R ∪ {−∞, +∞}, các t¾p:
domf = {x ∈ D| f (x) < +∞} ,
epif = {(x, α) ∈ D × R| f (x) ≤ α} ,
đưoc goi lan lưot là mien huu hi¾u và trên đo th% cúa hàm f.
Hàm f : D → R đưoc goi là loi trên D neu trên đo th% cúa nó là m®t
t¾p loi trong X × R.

Nh¾n xét 1.1.3. Neu f là hàm loi thì domf loi.
Th¾t v¾y, domf là hình chieu cna epif trên X:
domf = {x ∈ X| f (x) < +∞} = {x|∃r, (x, r) ∈ epif}.
Lai có f là hàm loi nên epif là hàm loi, như v¾y domf là ánh cna
t¾p loi epif qua m®t ánh xa tuyen tính. Do đó domf loi.

Đ%nh lý 1.1.5. [3]. Giá sú D là t¾p loi trong không gian loi đ%a phương
X, hàm f : D → (−∞, +∞]. Khi đó, f là loi trên D khi và chs khi
vói


moi t ∈ [0, 1], vói moi x, y ∈ D ta có
f (tx + (1 − t)y) ™ tf (x) + (1 − t)f (y).
Chúng minh.
Giá sú f là hàm loi trên D. Ta chúng minh
f (tx + (1 − t)y) ™ tf (x) + (1 − t)f (y).
Hien nhiên bat đang thúc là đúng khi t = 0 ho¾c t = 1.
Xét t ∈ (0, 1).
Không the xáy ra trưòng hop f (x) < +∞ và f (y) < +∞ mà f
(tx +
(1 − t)y) = +∞ (do domf loi). Neu domf ho¾c y
x ∈/

∈/

domf
thì

f (x) = +∞ ho¾c f (y) = +∞, do đó bat đang thúc là đúng.
Do epif loi, ∀(x, r) ∈ epif, ∀(y, s) ∈ epif, ∀t ∈ (0, 1) ta có
t(x, r) + (1 − t)(y, s) = (tx + (1 − t)y, tr + (1 − t)s) ∈
epif
suy ra

f (tx + (1 − t)y) ™ tr +
(1 − t)s

chon r = f (x), s = f (y) ta đưoc
f (tx + (1 − t)y) ™ tf (x) + (1 − t)f (y).
Ngưoc lai, giá sú ∀t ∈ [0, 1], ∀x, y ∈ D ta có
f (tx + (1 − t)y) ™ tf (x) + (1 − t)f (y).
Lay (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif, ∀t ∈ (0, 1) ta phái chúng minh
t(x, r) + (1 − t)(y, s) ∈
epif.


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×