Tải bản đầy đủ

Ảnh phổ tổng quát và biến đổi T- WIGNER

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ Bùi Kiên
Cưòng, ngưòi thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinh
nghi¾m quý báu trong hoc t¾p và nghiên cúu khoa hoc. Thay luôn đ®ng
viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p và vưot qua nhung
khó khăn trong chuyên môn. Tác giá xin bày tó lòng biet ơn, lòng
kính trong sâu sac nhat đoi vói thay.
Tác giá xin chân thành cám ơn ban giám hi¾u trưòng Đai hoc Sư
pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và to Giái tích cùng các
quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúc tot đep
chương trình Cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.
Tác giá xin trân trong cám ơn b® Công thương, trưòng Đai hoc Công
nghi¾p Quáng Ninh, khoa Khoa hoc cơ bán và đong nghi¾p đã tao moi
đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâm hoc t¾p và hoàn thành tot lu¾n văn.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá



LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi
dưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Bùi Kiên Cưòng.
Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoc cna
các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn.

Hà N®i, tháng 9 năm 2010
Tác giá


3

Mnc lnc
Báng kí hi¾u và viet

v

tat Má đau

viii

1 M®t so khái ni¾m và ket quá chuan b%
1.1

1

Không gian hàm suy r®ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Không gian hàm cơ bán . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian hàm suy r®ng Dt(Ω) . . . . . . . . . .



2

1.1.3

Không gian các hàm giám nhanh S (Rn) . . . . .

3

1.1.4

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m . . . . .

4

Bien đoi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Bien đoi Fourier và bien đoi Fourier ngưoc . . . .

4

1.2.2

Bien đoi Fourier và đao hàm . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3

Hàm Gauss và đ%nh lý Plancherel . . . . . . . . .

9

Giái tích thòi gian - tan so và nguyên lý không chac chan

13

1.3.1

Giái tích thòi gian - tan so . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Nguyên lý không chac chan

. . . . . . . . . . . .

15

1.4

Bien đoi Fourier thòi gian ngan . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5

Ánh pho và phân bo Wigner . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.1

Ánh pho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5.2

Phân bo Wigner

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Lóp phân bo Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

1.2

1.3

1.6


2 Bieu dien thài gian - tan so kieu τ -Wigner
2.1

2.2

35

Bieu dien τ -Wigner...................................................................35
2.1.1

Các đ%nh nghĩa..................................................................35

2.1.2

Các đ%nh lý và tính chat cna bieu dien τ -Wigner .

36

Tích phân cna bieu dien τ -Wigner............................................46

3 Má r®ng láp ánh pho tong quát

52

3.1

Ánh pho tong quát..................................................................52

3.2

Mó r®ng lóp ánh pho tong quát................................................64
3.2.1

Hai tham so hóa ánh pho............................................64

3.2.2

Các tính chat cna hai tham so hóa ánh pho

. . .

67

Ket lu¾n

74

Tài li¾u tham kháo

75


Báng kí hi¾u và viet tat

Z+ : T¾p hop các so nguyên dương.
n
R : T¾p hop các so thnc.
Rn : Không gian Ơclit n chieu.
C : T¾p hop các so phúc.
Rez : Phan thnc cna so phúc z.
Imz : Phan áo cna so phúc z.
z : So phúc liên hop cna so phúc z.
|z| : Mô đun cna so phúc z.
C ∞ : Không gian các hàm khá vi vô han.
p

"f"Lp : Chuan trong không gian L (Ω),
1
p

n
¸ |f (x)|
dx , Ω ⊂ R .
"f" p = 
p

L



Lp : Không gian các hàm đo đưoc Lebesgue, có chuan Lp huu han.
n
.
|α| : B¾c cna α, |α| =
αi, α = (α1, ..., αn) ∈+ Zn .
i=1

Dαf : Đao hàm cap α cna f .
suppf : Giá cna hàm f ∈ Lp(Ω).


Ck(Ω) : Là t¾p hop các hàm liên tuc khá vi k lan trong Ω.
(Ω) : T¾p các hàm trong
CC
k
0

C

0


(Ω) :

k

(Ω) có giá compact.



∩ Ck(Ω).

k

=

=0

o

X[a,b] : Hàm đ¾c trưng trên [a, b].
D (Ω) : Không gian các hàm cơ bán.
Dt (Ω) : Không gian hàm suy r®ng.
S (Rn) : Không gian các hàm giám nhanh.
S t (Rn) : Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m.
¸ f (x) e−2πixωdx.
fˆ, F (f ) : Bien đoi Fourier cna hàm f vói
fˆ(ω) =
Rn

F −1 (f ) : Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f .
F2, Ft→ω : Bien đoi Fourier riêng theo bien thú hai
¸
2n
cna hàm f trên R vói F2 = →ω = f (x, t)
−2πitω
dt.
Rn e
Ft
F t→x : Bien đoi Fourier theo bien thú nhat và thú
ξ→ω

hai cna hàm f trên R2n.
Txf : Phép t%nh tien theo x cna hàm f và Txf (t) = f (t −
x).
Tx f : Phép t%nh tien theo x cna hàm f vói bien d%ch chuyen là
[t]t
và T x f = f (t − x).
[t]
Mωf : Sn đieu bien theo ω cna hàm f
và Mωf (t) = e2πiωtf (t).


vii

t là bien bien đi¾u.
M ω f : Sn đieu bien theo ω cna hàm f vói
2
[t]

πx

ϕa (x) : Là hàm Gauss vói ϕa (x) = e−

a

.

Ta : Phép bien đoi toa đ® không đoi xúng
vói Taf (x, t) = f (t, t − x).
Ts : Phép bien đoi toa đ® đoi xúng
.
.
t
t
x
+
,
x
.
vói Tsf (x, t)

2
2
=f
Vgf : Bien đoi Fourier thòi gian ngan cna hàm f đoi vói
¸
hàm cúa so g, Vgf (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πitω dt.
Rn

f ⊗ g : Tích ten sơ cna hàm f và g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g
(t).
f ∗ g : Tích ch¾p cna hàm f và g.
W ig (f ) :

Phân bo Wigner cna hàm f .

W ig (f, g) : Phân bo Wigner chéo cna hàm f và g.
Qσf : Lóp phân bo Cohen.
W igτ (f ) : Phân bo τ -Wigner cna hàm f .
W igτ (f, g) : Phân bo τ -Wigner chéo cna hàm f và g.
R (f, g) : Bieu dien Rihaczek cna hai hàm f , g.
R∗ (f, g) :Bieu dien Rihaczek liên hop cna hai hàm f ,
g. Q (f, g) :

Tích phân cna bieu dien τ -Wigner.

SP ECg f, Sp gf : Ánh pho cna hàm f đoi vói hàm cúa so g.
Spφ,ψ (f, g) : Ánh pho tong quát cna hàm f , g đoi vói hàm cúa so φ, ψ.
(τ ,τ )

1 2
Spφ,ψ

(f, g) : Hai tham so hóa ánh pho.


8

Má đau
1. Lí do chon đe tài
Giái tích thòi gian - tan so bat đau phát trien tù rat sóm vào
khoáng năm 1930, trong cơ hoc lưong tú do H. Weyl, E. Wigner và J.
von Neumann vói muc đích tìm kiem các phân phoi xác suat đong thòi
cna các bien v% trí và xung lưong. Đen năm 1946, D. Gabor đã phát
trien lý thuyet nen táng cna lý thuyet thông tin và giái tích tín hi¾u
thông qua các bài báo cna ông ve lý thuyet cna sn truyen tin, khi đó
giái tích thòi gian - tan so đưoc xem như là m®t lĩnh vnc khoa hoc
phu thu®c vào toán hoc. Giái tích thòi gian - tan so tró thành m®t
lĩnh vnc toán hoc đ®c l¾p vào khoáng năm 1980 bói công cna Guido
Janssen, nhung nghiên cúu cna ông đã bao trùm moi khía canh cna
giái tích thòi gian - tan so. Tù 1990, sn phát trien cna giái tích thòi
gian - tan so đưoc tăng lên nhò sn xuat hi¾n cna lý thuyet sóng nhó,
tù đó cá hai lý thuyet này phát trien song song.
Ngày nay, giái tích thòi gian - tan so có rat nhieu úng dung,
m®t m¾t nó giái quyet nhung van đe trong giái tích tín hi¾u, lý thuyet
truyen tin và xú lí hình ánh, trong v¾t lí, nhieu khía canh cna giái tích
thòi gian - tan so xuat hi¾n dưói tên giái tích không gian pha ho¾c lý
thuyet trang thái thong nhat (coherent states). M¾t khác, giái tích thòi
gian - tan so liên quan đen nhieu ngành toán hoc úng dung như: giái tích
Fourier, giái tích phúc, giái tích hàm đieu hòa trên nhóm Heisenberg, lý


thuyet bieu dien, lý thuyet phương trình vi phân và toán tú giá vi phân,
lý thuyet cna đai so toán tú, giái tích so.
Các bieu dien thòi gian - tan so đã tró thành m®t công cu thiet
yeu trong giái tích tín hi¾u và đ¾c bi¾t phân bo Wigner đã đưoc tin
tưóng là công cu toán hoc lý tưóng cna giái tích thòi gian - tan so. Sn
hieu biet ve phân bo Wigner là thiet yeu đoi vói vi¾c phân tích các toán
tú giá vi phân và đe tìm hieu sn phát trien vưot b¾c gan đây cna các
thu¾t toán so trong lý thuyet sóng nhó và trong giái tích thòi gian - tan
so.
Theo các ket quá đã nghiên cúu, bieu dien Wigner cho ta thay
hình ánh m®t tan so giá ó giua bat kì hai tan so thnc, các tan so này
đưoc goi là tan so áo ho¾c tan so giao thoa, đieu này xuat hi¾n nhung
khó khăn trong vi¾c giái thích ý nghĩa v¾t lí cna phân bo Wigner. Tù
đó, ngưòi ta mó r®ng nghiên cúu phân bo τ -Wigner phu thu®c tham so
τ ∈ [0, 1], do có sn xuat hi¾n cna tham so τ , các tan so áo tách ra

d%ch chuyen phu thu®c vào τ , còn các tan so thnc xuat hi¾n ó m®t v%
trí vói moi giá tr% cna τ . Loi dung đieu này, ngưòi ta đưa ra m®t bieu
dien mói dang Q là tích phân cna bieu dien τ -Wigner theo τ trên [0,
1], hi¾u quá là biên đ® cna các tan so áo giám đáng ke so vói biên đ®
cna các tan so thnc, do đó hình ánh thu đưoc se gan hơn vói thnc te
v¾t lí.
Hai trong so các bieu dien thòi gian - tan so thưòng đưoc sú
dung là phân bo Wigner và ánh pho. Các van đe ve lý thuyet liên quan
đen phân bo Wigner và ánh pho đã đưoc giói thi¾u và nghiên cúu
trong rat nhieu bài báo cna nhieu tác giá khác nhau. Vói mong muon
xây dnng m®t cách nhìn tong quát ve van đe này tù trưóc đen nay và
tao ra nen táng cơ só cho nhung nghiên cúu tiep theo, tôi đã chon đe
tài:
"Ánh pho tong quát và bien đoi τ -Wigner "


2. Mnc đích nghiên cNu
Lu¾n văn nghiên cúu bieu dien kieu Wigner W igτ phu thu®c
vào m®t tham so τ ∈ [0, 1].
Nghiên cúu m®t lóp "các bieu dien toàn phương" Spτ dna vào
bieu dien τ -Wigner như là m®t sn mó r®ng cna ánh pho tong quát.
Nghiên cúu các tính chat cơ bán cna ánh pho phu thu®c hai
tham so.
3. Nhi¾m vn nghiên cNu
Vói muc đích đã nêu ó trên, nhung nhi¾m vu nghiên cúu cna
lu¾n văn là:
+ Nghiên cúu bieu dien thòi gian tan so kieu τ -Wigner và
các tính chat cna nó.
+ Nghiên cúu moi liên h¾ giua hai tham so hoá ánh pho và bieu
dien τ -Wigner.
4. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
Ánh pho tong quát và bien đoi τ -Wigner.
5. Phương pháp nghiên cNu
Phương pháp nghiên cúu lý thuyet.
Phương pháp phân tích, tong hop.
6. DN kien đóng góp mái
Giói thi¾u tong quan ve giái tích thòi gian - tan so và các dang
bieu dien thòi gian - tan so.


Đi sâu nghiên cúu bieu dien thòi gian - tan so kieu τ -Wigner,
đưa ra m®t dang bieu dien mói Q là tích phân cna bieu dien τ -Wigner.
Nghiên cúu ve ánh pho tong quát, mó r®ng nghiên cúu các tính
chat cna ánh pho tong quát phu thu®c hai tham so đưoc goi là hai tham
so hóa ánh pho.


1

Chương 1
M®t so khái ni¾m và ket quá chuan
b%
1.1

Không gian hàm suy r®ng

1.1.1 Không gian hàm cơ bán
Đ%nh nghĩa 1.1.1. Không gian hàm cơ bán đưoc kí hi¾u là D(Ω), là
không gian gom các hàm ϕ ∈ C∞0 (Ω) vói khái ni¾m h®i tu sau:
dãy

}
∞ j

các hàm trong C∞(Ω) đưoc goi là h®i tu đen hàm ϕ ∈ C∞(Ω)
0

j=1

0

neu
i, Có m®t t¾p compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 1, 2, ...
ii, lim sup |Dαϕj (x) − Dαϕ(x)| = 0, ∀α ∈+ Zn .
j→∞

Khi đó ta viet là ϕ = D− lim ϕj .
j→∞

é
đây

ϕ, ∀α ∈ Zn .
Dαϕ = D

α1

1

α
α1
α
∂α2 ... ∂ n
D 2 ...Dαn ϕ =∂
2

n

α

α2

1

2

∂x 1 ∂x

Đ%nh lí 1.1.1. Không gian D(Ω) là đay đú.

∂x

αn
n

+


1.1.2 Không gian hàm suy r®ng Dt(Ω)
Đ%nh nghĩa 1.1.2. Ta nói rang f là m®t hàm suy r®ng trong Ω neu f
là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc trên D(Ω). Không gian hàm suy
r®ng trong Ω, kí hi¾u là Dt(Ω).
Hàm suy r®ng f ∈ Dt(Ω) tác đ®ng lên moi ϕ ∈ D(Ω) đưoc viet là (f,
ϕ).
Chúng ta xét các ví du sau:
Ví dn 1: Hàm suy r®ng chính quy f ∈ L1lo
¸
f : ϕ ›→ (f, ϕ)

(Ω)

c

f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω).

=


Ví dn 2: Hàm Dirac
δ : ϕ ›→ (δ, ϕ) = ϕ (0) , ϕ ∈ D(Ω).
Đ%nh nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ Dt (Ω), α = (α1, α2, ..., αn) +∈ Zn . Đao
hàm cap α cna hàm suy r®ng f trong Ω, kí hi¾u là Dαf , là ánh xa tù
D (Ω) vào C đưoc xác đ%nh bói
|α|

Dαf : ϕ ›→ (−1)

(f, Dαϕ) , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + ... + αn.

Đ%nh nghĩa 1.1.4. Cho fk, f ∈ Dt (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rang,
dãy

t
{fk}k= h®i tu đen f trong D (Ω) khi k tien ra vô cùng neu
1

lim
k→∞

(fk, ϕ) = (f, ϕ) , ∀ϕ ∈ D (Ω) .

Kí hi¾u Dt_ lim fk = f .
k→∞

Đ%nh lí 1.1.2. Không gian hàm suy r®ng Dt(Ω) là đay đú.


1.1.3 Không gian các hàm giám nhanh S (Rn)
Đ%nh nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm giám nhanh, kí hi¾u là S (Rn)
là t¾p hop
.. α β
.
.

n
n
S (R ) = ϕ ∈ C (R ) x D ϕ (x) ≤ cα,β, ∀x ∈ Rn, ∀α, β ∈ Zn
.
..
.
+

vói khái ni¾m h®i tu đưoc đ%nh nghĩa như sau


n
n
Dãy {ϕk}k= trong S
. α(Rβ ) đưoc goiαlà βh®i tu. đen ϕ ∈ S (R ) neu
n
1
lim sup . x D ϕk (x) − x D ϕ (x). = 0, ∀α, β ∈ Z .
+
k→∞ x∈Rn

Kí hi¾u S_ lim
k→∞

ϕk = ϕ.

Chú ý 1.1.3.
1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn) là giám nhanh, nghĩa là vói moi α, β ∈ Z+n có
.
.
α β
.
.x D ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn khi và chí khi
a) vói moi m ∈ Z+, β ∈ Z+n có
m.
.
β
n
.1 + |x| .D ϕ (x). ≤ cm,β , ∀x ∈ R
2

.

b) hay vói moi m ∈ Z+ có
m .
.1
2

+ |x|

|β|≤m

.

.
.Dβϕ (x). ≤ cm , ∀x ∈ Rn.

.

2.Vói moi λ, µ ∈ C , ϕk, ψk, ϕ, ψ ∈ S (Rn) , k = 1, 2, ... neu
ϕk = ϕ, S_ ψk = ψ
lim

S_
lim
k→∞

thì

S_ lim
k→∞

k→∞

(λϕk + µψk) = λϕ + µψ.

n
α
3. Vói moi α ∈ Z
+ , phép toán đao hàm D là ánh xa tuyen tính liên tuc

tù S (Rn) vào S (Rn).
4. T¾p C ∞ (Rn) trù m¾t trong không gian S (Rn).
0

Đ%nh lí 1.1.4. Không gian S (Rn) là đay đú.


1.1.4 Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m
Đ%nh nghĩa 1.1.6. Cho hàm suy r®ng f ∈ Dt (Rn). Hàm suy r®ng
f đưoc goi là hàm suy r®ng tăng ch¾m neu ton tai m®t so tn nhiên m
và m®t so dương C sao cho
.
|(f, ϕ)| ≤ C sup
1+|
n
x∈R

x|

2.m

. |Dαϕ (x)|, ∀ϕ ∈ D (Rn) .
|α|≤m

Không gian các hàm suy r®ng tăng ch¾m là không gian véctơ tat cá các
hàm suy r®ng tăng ch¾m. Kí hi¾u St (Rn).
Chú ý 1.1.5. Không gian hàm suy r®ng tăng ch¾m S t (Rn) là không
gian các phiem hàm tuyen tính liên tuc trên S (Rn).
Đ%nh nghĩa 1.1.7. Cho fk, f ∈ S t (Rn) , k = 1, 2, .... Dãy


k=
1

đưoc

{fk}
goi là h®i tu trong S t (Rn) đen hàm f ∈ S t (Rn), kí hi¾u S t _ lim fk = f ,
k→∞

neu

Có m®t so tn nhiên m và m®t so dương C sao cho
.
.m . α

n
|(fk, ϕ)| ≤ C sup
|D
ϕ
(x)|,
∀ϕ

C
(R
) , k = 1, 2,
2
1+|
n
x∈R
0
|α|≤m ...
x|
i)

ii)


t
n
Dãy {fk}k= là h®i tu trong D (R ) đen f .
1

Đ%nh lí 1.1.6. Không gian S t (Rn) là đay đú.

1.2
1.2.1

Bien đoi Fourier
Bien đoi Fourier và bien đoi Fourier ngưac

Ta kí hi¾u x.ω
=

n
.
i=1

xiωi , ∀x, ω ∈ Rn là tích vô hưóng trên Rn và

viet tat x2 = x.x, ∀x ∈ Rn, chuan Euclide là |x| =


x.x.


Đ%nh nghĩa 1.2.1. Bien đoi Fourier cna hàm f ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là
fˆ ho¾c F (f ), là m®t hàm đưoc xác đ%nh bói
¸
fˆ(ω) = f (x) e−2πixωdx , ω ∈ Rn.
(1.1)
Rn

Nh¾n xét 1.2.1.
1. Tù (1.1) ta suy ra f

≤ "f" .

ˆ

1



2. Ta dùng kí hi¾u F (f ) đe nhan manh rang phép bien đoi Fourier là
m®t toán tú tuyen tính tác đ®ng trên m®t không gian hàm f ∈ L1 (Rn).
3. Ngoài đ%nh nghĩa bien đoi Fourier như trên ta còn có the đ%nh nghĩa
bien đoi Fourier theo m®t cách khác như sau


ˆ
f (ω) = (2π) f (x) e−ixωdx
2

Rn

ho¾c
fˆ(ω) =

¸

f (x) e−ixωdx.

Rn

4. Neu f là m®t tín hi¾u, đoi vói m®t kĩ sư ω là m®t tan so và fˆ(ω)
đưoc
¸ so ω cna tín hi¾u f . Trong v¾t lý, ω là bien đ®ng
hieu là biên đ® cna tan
lưong. Do đó f −2 .f
là xác suat cna chat điem trong trang
. (ω).2dω
.

ˆ
.
I
2

thái f có đ®ng lưong cna nó trong mien I ⊂ Rn.

Bo đe 1.2.1. (Riemann - Lebesgue) Neu f ∈ L1 (Rn) thì fˆ liên tnc
đeu

và lim
.. ˆ(ω)... = 0.

.f
|ω|→∞

Giá sú C0 (Rn) là không gian Banach cna các hàm liên tuc tri¾t
tiêu tai vô han, khi đó bo đe Riemann - Lebesgue dien đat tính chat
ánh xa cna bien đoi Fourier như sau


F : L1 (Rn) → C0
(Rn) .


Neu chúng ta bó đi đieu ki¾n mà bien đoi Fourier đưoc đ%nh nghĩa theo
tùng điem bói công thúc (1.1). Chúng ta có the thác trien nó trong
không gian hàm khác. Ket quá cơ bán là đ%nh lí Plancherel mà chúng ta
se nghiên cúu sau.
Đ%nh lí 1.2.2. (Hausdorff - Young) Giá sú 1 ≤ p ≤ 2 và pt là so
thóa
1
mãn
+ = 1 thì
1
p

F : Lp (Rn) → Lpr (Rn)

pr




pr

≤ "f"p .

Chú ý 1.2.3. Beckner và Brascamp Lieb đã phát bieu hình thúc khác
cna Đ%nh lý Hausdorff - Young như sau
.

Đ¾t Ap
=

p1
2
p
1

. là hang so Babenko - Beckner.

(1.2)

1

t pr

p
Khi đó

n



p

r

≤ Ap "f"p , ∀f ∈
L

p

n

(R ) , 1 ≤ p ≤ 2.

(1.3)

Đ%nh nghĩa 1.2.2. (Các toán tú cơ bán) Vói x, ω, y, t ∈ Rn và f ∈
S (Rn) ta đ%nh nghĩa các toán tú sau đây:
1. Phép t%nh tien theo x cna f , kí hi¾u Txf là m®t sn d%ch chuyen
thòi gian đưoc xác đ%nh bói
Txf (t) = f (t − x) .
2. Sn đieu bien theo ω cna f , kí hi¾u Mωf đưoc xác đ%nh bói
Mωf (t) = e2πiωtf (t) .


3. Phép đoi hop cna f , kí hi¾u f ∗ đưoc đ%nh nghĩa bói f ∗ (x) = f
(−x).
4. Toán tú đoi xúng cna f , kí hi¾u f˜ đưoc xác đ%nh bói f˜(x) = f
(−x).


5. Tích ch¾p cna hai hàm f, g ∈ L1 (Rn), kí hi¾u là f ∗ g đưoc xác đ
%nh
bói (f ∗ g) (x) = f (y)g (x − y) dy.
¸
Rn

Tính chat: Vói x, ω ∈ Rn và f ∈ S (Rn) ta có các tính chat sau
1) TxMω = e−2πi xωMωTx.
2) "TxMω f"Lp = "f"Lp .


3) (Txf ) = M−xfˆ.

4) (Mω f ) = Tω fˆ.


5) (Tx Mω f ) = M−x Tω fˆ =
e−

(1.4)
(1.5)
2πi xω

Tω M−x fˆ.

6) "f ∗ g "L1 ≤ "f"L1 "g"L1 , (f ∗ g)∧ g
.
= fˆ.ˆ
ˆ
˜
7) fˆ∗
f ˜ = f ˆ.
= fˆ,

(1.6)
(1.7)

8) (f ∗ g)(x) = (f, Txg∗) .
Đ%nh lí 1.2.4. (Đ%nh lý Young) Neu f ∈ Lp (Rn) và g ∈ Lq (Rn)

n
1

1

1

r

n

(R ) và "f ∗ g"r ≤
(ApAqArr )

+ q = 1 + r thì f ∗ g
∈L
là hang so Babenko - Beckner.
p

"f"p "g"q , Ap

Đ%nh nghĩa 1.2.3. Cho f ∈ L1 (Rn). Bien đoi Fourier ngưoc cna hàm
f , kí hi¾u F−1 (f ) đưoc đ%nh nghĩa bói
¸
F −1 (f )
f (ω) e2πixωdω , ∀x ∈ Rn.
=
Rn

˜
Tù đ%nh nghĩa trên ta có F −1 (f ) = f ˆ.

(1.8)


Đ%nh lí 1.2.5. Neu f ∈ L1 (Rn)

fˆ ∈ L1 (Rn ) thì


¸
f (x) =

fˆ(ω) e2πixω dω , ∀x ∈ Rn
Rn

nghĩa là F−1 và F là các toán tú ngưoc cúa nhau.


Đ%nh nghĩa 1.2.4. Cho f ∈ S t (Rn). Bien đoi Fourier cna hàm suy
r®ng
f , kí hi¾u là Ff là hàm suy r®ng tăng ch¾m xác đ%nh bói
(Ff, ϕ) = (f, Fϕ) , ϕ ∈ S (Rn)
và bien đoi Fourier ngưoc cna hàm f , kí hi¾u là F−1 f là hàm suy
r®ng tăng ch¾m xác đ%nh bói
.

1.2.2

.
.
.
F−1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn) .

Bien đoi Fourier và đao hàm

Cho m®t đa chí so α = (α1, α2, ..., αn) ∈ Zn .
+

Ta kí
hi¾u

n

|α| =

ωα =

.

j=
1
n
Y

αj

ω
j , trong đó ω = (ω1, ω2, ..., ωn).

j=1
α1

D = ∂
α

α j.

∂α2 ... ∂αn là đao hàm riêng cap α.

α

α2

1

2

∂x 1 ∂x

∂x

αn
n

Xα f (x) = xαf (x) là toán tú nhân.
Lay bien đoi Fourier cna đao hàm cap α cna f ta đưoc
α

(Dαf ) (ω) = (2πiω)
ˆ f (ω)
ˆ

(1.9)

((−2πix) fˆ) (ω) = Dα fˆ(ω)

(1.10)


α

ho¾c viet dưói dang toán tú FD α = (2πi)

|α|

. .|α|
XαF và FX α = 2 i
Dα F
π

.
Th¾t v¾y, (1.9) và (1.10) đưoc chúng minh de dàng bói các phép tính


trnc tiep. Ví du, đe chúng minh (1.10) ta có
¸
. −2πixω.
α ˆ
α
D f (ω) = f (x) D e
dx
Rn

.

¸

n

= f (x)

Rn

¸

=

.

e

−2π

. x iωi
i=1

..

dx

i
n

f (x)

Y

α

(−2πixi) i e−2πixωdx

i=1

R¸n

α

(−2πix) f (x)e−2πixωdx

=
Rn

α

= (( 2πix) f ) (ω) .
ˆ

1.2.3

Hàm Gauss và đ%nh lý Plancherel

Đ%nh nghĩa 1.2.5. Hàm Gauss chưa đưoc chuan hóa vói đ® r®ng a > 0
trên Rn, kí hi¾u là ϕa (x) đưoc xác đ%nh bói
πx2
a

ϕa (x) =
e−

ó đây x2 = x.x, x ∈
Rn .

(1.11)

Bo đe 1.2.2. (Bien đoi Fourier cúa hàm Gauss) Vói moi a > 0
n

ϕa (ω) = a 2 ϕ 1 (ω) .
ˆ
a
−πx
Đ¾c bi¾t là, vói a = 1 thì .e 2 . (ω) = e−πω2 .
ˆ
Chúng minh.
i)

Vói n = 1, ta có ϕa (x) =
e−

πx2
a

(1.12)

suy ra
−1

ϕt
a (x)

=
−2πxa

ϕa (x)

(1.13)


Lay đao hàm cna bien đoi Fourier cna hàm ϕa (ω)
d

ϕa (ω) = (−2πiXϕa) (ω) (do
(1.10))
ˆ
ˆ

.
.
d
ϕ
= ia
ˆ (ω) (do (1.13))
dx
ϕa (1.9))
(ω) (do
a
d

ˆ

= ia
ϕa (ω) (2πiω) ˆ
.

Tù đó suy ra

ϕa, phương

Đây là m®t phương trình vi phân tuyen tính b¾c nhat đoi vói ˆ
2
trình
này có t¾p nghi¾m là ϕ (ω) =
, hang so c đưoc xác đ%nh
ce−πaω
ˆa
bói
¸+∞
πx2
c = ϕ (0) =

a dx =
a
a

e
ˆ


−∞

ϕ (ω) = a 2 e−
ˆ
1

2

1

= a2 ϕ 1
(ω) .

a
πaω

a

Suy ra (1.12) đúng vói n = 1.
ii)

Vói n > 1, chúng ta nh¾n xét rang bien đoi Fourier trên Rn báo toàn

tích, nghĩa là

.

Y
n

F
n

Vì ϕa (x)
=

Q

πx2
j
a

.

n

fj (xj ) = Y fˆj (ωj )

j=
1
n

j=
1

trên R và (1.12) đúng vói n = 1 nên (1.12) đúng

e−
j=1

vói n bat kì.
Bo đe 1.2.3. (Sn d%ch chuyen thòi gian tan so cúa hàm Gauss) Vói
∀a > 0 và ∀x, u, ω, η ∈ Rn chúng ta có
.a .n
2
(TxMωϕa, TuMηϕa)
eπi(u−x)
(η+ω)
=
2

ϕ2a (u − x) ϕa 2 (η − ω) .


Chúng minh.

¸

π(t−x)2

πt2



(ϕa, MωTxϕa) =
Rn

e
e−
¸

a
a

πx2

= e− 2a

e− 2πiω
dt
t

2
2π(t− x )
2

e− a e−2πiωtdt
Rn .
.
= ϕ2a (x) T x ˆϕ a (ω)
22
.a . n
2
ϕ (x) ϕa 2 (ω) . (do (1.4) và Bo đe 1.2.2)
= e −πixω
2a
2
Tù đang thúc M−ωTu−xMη = 2πiη(u−x Mη−ωTu−x, chúng ta suy ra
)

e−

(TxMωϕa, TuMηϕa) = (ϕa, M−ωTu−xMηϕa)
−ω u−xϕa)

= e2πiη(u−x) (ϕa, T


.a . n
2
x) ϕ 2 − ω)
= 2 e2πiη(u−x)e−πi(u−x)(η−x)ϕ
2a (u
(η a
. .n
= a 2 eπi(u−x)(η+ω)ϕ2a (u − x) ϕ 2 (η − ω) .
a
2

Bo đe 1.2.4. (Tính trù m¾t) Vói moi a > 0, bao tuyen tính cúa t¾p
{TxMωϕa : x, ω ∈ Rn} sinh ra m®t không gian con trù m¾t cúa L2
(Rn), nói cách khác span {TxMωϕa : x, ω ∈ Rn} = L2 (Rn).
Đ%nh lí 1.2.6. (Đ%nh lý Plancherel) Neu f ∈ L1 (Rn) ∩ L2 (Rn)
thì
"f"L2 = ˆf .
Do đó có the mó r®ng tói m®t toán tú unita trên L2 (Rn) và thóa mãn
L2

đang thúc Parseval
(f, g) =
.f

, g.

ˆˆ

, ∀f, g ∈
L2

(Rn) .

Chúng minh. Giá sú X = span {TxMωϕ1 : x, ω ∈ Rn}.
Do Bo đe 1.2.2 và (1.6) nên
ˆ


Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay

×